微积分第八章

第八章多元函数微积分

§8.1空间解析几何简介§8.2多元函数的概念

§8.3二元函数的极限与连续

主要教学内容

(1) 空间解析几何的一些基本常识；(2) 多元函数的概念；

3)二元函数极限与连续．

教学目的及要求:

了解空间解析几何的一些基本常识、掌握多元函数的概念，会求二元函数的定义域、了解二元函数极限与连续的概念．

重点难点及解决措施:

重点:会看空间图形，求二元函数的定义域.

难点: 多元函数概念的理解.

解决措施:注重启发与分析.

教学方法及段设计: 讲授法.

课时：2课时

教学设计：

一、本章主题

从这次课开始，我们学习多元函数微分学的内容。即多元函数的极限、连续、可导、可积等内容。之前我们是就一元函数的极限、连续、可导、可积进行学习的。二元函数的理论与一元函数的理论有很大的区别，但二元函数与三元函数以及四元函数等的理论差别不大，因此，我们研究多元函数的理论主要研究二元函数的理论。要学好二元函数的知识，必需先了解一些空间解析几何的知识，这次课我们就空间

解析几何的知识进行学习。

二、 空间解析几何的基本概念及常见的曲面方程和图形

1、 空间直角坐标系

（为了确定平面上一点的位置，我们建立了平面直角坐标系。那么，要确定空间中一点的位置，我们也需要空间上的直角坐标系）

在空间中取定一点O ，过点O 做三条相互垂直的直线Oz Oy Ox ，，，称它们为坐标轴。三条轴都以为O 原点，各具有长度单位，并规定了正方向。这三条轴又称为轴。轴，轴，z y x 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz 坐标系.

注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;

(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上, 而z 轴则是铅垂线;

(3)数轴的正向通常符合右手规则. 2、坐标平面

在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面， 这种平面称为坐

标面， 比如，x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面， 另两个坐标面是面yOz

面和zOx 。

3、卦限

三个坐标面把空间分成八个部分， 每一部分叫做卦限，含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限， 它位于xOy 面的上方。 在xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限。 在xOy 面的下方， 与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限。八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 4、空间中一点M 的坐标 坐标原点O 的坐标为（0，0，0） x 轴上任意一点的坐标为（x ，0，0） y 轴上任意一点的坐标为（0，y ，0） z 轴上任意一点的坐标为（0，0，z ） 5、空间任意两点间的距离

给定空间两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则点),,(1111z y x M 与

),,(2222z y x M 之间的距离公式为：

(

)()()z z y y x x M

M 1212122

2

2

2

1

---++

=

特别地，),,(z y x M 点到原点的距离为

z y x 22

2++

例1、 在z 轴上求与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点。

解：由于在z 轴上的点横坐标，纵坐标都是0，因此设所求点的坐标为（0，0，z ）

根据题意()()()()()z z --++=-++-253714222222 解得9

14

=z

即所求的点是（0，0，14/9） 6、曲面与方程

在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹。 在这样的意义下，如果曲面S 与三元方程0),,(=z y x F 有下述关系： (1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ；

(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程0),,(=z y x F ，

那么， 方程0),,(=z y x F 就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程0),,(=z y x F 的图形。

常见的曲面的方程：

1）平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 2)母线垂直于xOy 平面的圆柱面方程 022

2=-+a y x

3）球心在

()z y x 0

,,，半径为R 的球面方程 (

)()()R z z y y x x 20202

02=-+-+-

4）椭球面的方程 12

2

2222=++c z b y a x （图见书上）

5）椭圆抛物面的方程

b y a x z 2

2

22+=

（图见书上）

6）双曲抛物面（又叫马鞍面）的方程 a x b y z 2

22

2-=

（图见书上）

7）椭圆锥面的方程

02

2

2222=-+c z b y a x （图见书上）

例2、 指出下列各方程表示哪种曲面

1.

125

942

22=++z y x 2. 492522=+y x 3.122=-y x 4.1222=++z y x

解：（1）中心在原点的椭球面

（2）母线垂直于xOy 面的柱面，与xOy 面的截面是椭圆 （3）母线垂直于xOy 面的柱面，与xOy 面的截面是双曲线 （4）球心在原点的球面

三、多元函数的概念

定义1 设D 为一个非空的n 元有序数组的集合。对于每一个有序数组

D x x x n ∈),,,(21 ，按照某一确定对应规则f ，都有唯一确定的实数y 与之对应，

则称此对应规则f 为定义在D 上的n 元函数，记为),,,(21n x x x f y =

D x x x n ∈),,,(21

变量n x x x ,,,21 称为自变量，y 称为因变量，D 称为函数的定义域，记为()D f 。对于D x x x n ∈),,,(0

0201 ，所对应的y 值，记为

),,,(0

20

10n x x x f y =或),,(0

010

11n

x x x x x x f y n n === 称为当),,,(),,,(0

20121n n x x x x x x =时，函数),,,(21n x x x f y =的函数值。全体函数值的集合 }),,,(),,,,(|{2121D x x x x x x f y y n n ∈= 称为函数的值域，记为

()Z f 。

当1=n 时，为一元函数，记作(),y f x x D =∈ 当2=n 时，为二元函数，记作(,),(,)z f x y x y D =∈

二元及二元以上的函数统称为多元函数。与一元函数一样，多元函数的定义包含着两个要点：一是对应关系f ，二是定义域与值域。