微积分第八章

第八章多元函数微积分§8.1空间解析几何简介§8.2多元函数的概念§8.3二元函数的极限与连续主要教学内容(1) 空间解析几何的一些基本常识；(2) 多元函数的概念；3)二元函数极限与连续．教学目的及要求:了解空间解析几何的一些基本常识、掌握多元函数的概念，会求二元函数的定义域、了解二元函数极限与连续的概念．重点难点及解决措施:重点:会看空间图形，求二元函数的定义域.难点: 多元函数概念的理解.解决措施:注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时教学设计：一、本章主题从这次课开始，我们学习多元函数微分学的内容。

即多元函数的极限、连续、可导、可积等内容。

之前我们是就一元函数的极限、连续、可导、可积进行学习的。

二元函数的理论与一元函数的理论有很大的区别，但二元函数与三元函数以及四元函数等的理论差别不大，因此，我们研究多元函数的理论主要研究二元函数的理论。

要学好二元函数的知识，必需先了解一些空间解析几何的知识，这次课我们就空间解析几何的知识进行学习。

二、 空间解析几何的基本概念及常见的曲面方程和图形1、 空间直角坐标系（为了确定平面上一点的位置，我们建立了平面直角坐标系。

那么，要确定空间中一点的位置，我们也需要空间上的直角坐标系）在空间中取定一点O ，过点O 做三条相互垂直的直线Oz Oy Ox ，，，称它们为坐标轴。

三条轴都以为O 原点，各具有长度单位，并规定了正方向。

这三条轴又称为轴。

轴，轴，z y x 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz 坐标系.注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上, 而z 轴则是铅垂线;(3)数轴的正向通常符合右手规则. 2、坐标平面在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面， 这种平面称为坐标面， 比如，x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面， 另两个坐标面是面yOz面和zOx 。

3、卦限三个坐标面把空间分成八个部分， 每一部分叫做卦限，含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限， 它位于xOy 面的上方。

在xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限。

在xOy 面的下方， 与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限。

八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 4、空间中一点M 的坐标 坐标原点O 的坐标为（0，0，0） x 轴上任意一点的坐标为（x ，0，0） y 轴上任意一点的坐标为（0，y ，0） z 轴上任意一点的坐标为（0，0，z ） 5、空间任意两点间的距离给定空间两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则点),,(1111z y x M 与),,(2222z y x M 之间的距离公式为：()()()z z y y x x MM 12121222221---++=特别地，),,(z y x M 点到原点的距离为z y x 222++例1、 在z 轴上求与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点。

解：由于在z 轴上的点横坐标，纵坐标都是0，因此设所求点的坐标为（0，0，z ）根据题意()()()()()z z --++=-++-253714222222 解得914=z即所求的点是（0，0，14/9） 6、曲面与方程在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹。

在这样的意义下，如果曲面S 与三元方程0),,(=z y x F 有下述关系： (1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ；(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程0),,(=z y x F ，那么， 方程0),,(=z y x F 就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程0),,(=z y x F 的图形。

常见的曲面的方程：1）平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 2)母线垂直于xOy 平面的圆柱面方程 0222=-+a y x3）球心在()z y x 0,,，半径为R 的球面方程 ()()()R z z y y x x 2020202=-+-+-4）椭球面的方程 1222222=++c z b y a x （图见书上）5）椭圆抛物面的方程b y a x z 2222+=（图见书上）6）双曲抛物面（又叫马鞍面）的方程 a x b y z 2222-=（图见书上）7）椭圆锥面的方程0222222=-+c z b y a x （图见书上）例2、 指出下列各方程表示哪种曲面1.12594222=++z y x 2. 492522=+y x 3.122=-y x 4.1222=++z y x解：（1）中心在原点的椭球面（2）母线垂直于xOy 面的柱面，与xOy 面的截面是椭圆 （3）母线垂直于xOy 面的柱面，与xOy 面的截面是双曲线 （4）球心在原点的球面三、多元函数的概念定义1 设D 为一个非空的n 元有序数组的集合。

对于每一个有序数组D x x x n ∈),,,(21 ，按照某一确定对应规则f ，都有唯一确定的实数y 与之对应，则称此对应规则f 为定义在D 上的n 元函数，记为),,,(21n x x x f y =D x x x n ∈),,,(21变量n x x x ,,,21 称为自变量，y 称为因变量，D 称为函数的定义域，记为()D f 。

对于D x x x n ∈),,,(00201 ，所对应的y 值，记为),,,(02010n x x x f y =或),,(001011nx x x x x x f y n n === 称为当),,,(),,,(020121n n x x x x x x =时，函数),,,(21n x x x f y =的函数值。

全体函数值的集合 }),,,(),,,,(|{2121D x x x x x x f y y n n ∈= 称为函数的值域，记为()Z f 。

当1=n 时，为一元函数，记作(),y f x x D =∈ 当2=n 时，为二元函数，记作(,),(,)z f x y x y D =∈二元及二元以上的函数统称为多元函数。

与一元函数一样，多元函数的定义包含着两个要点：一是对应关系f ，二是定义域与值域。

一元函数与多元函数的差别在于：自变量在不同的空间取值（元数与空间维数一致），函数的图形是比自变量取值范围高一维的空间曲面。

具有两个及两个以上自变量的函数又称为多元函数 四、二元函数的几何意义一元函数的几何意义是平面上的一条曲线 二元函数的几何意义是空间中的一张曲面五、二元函数的定义域二元函数(,)z f x y =的定义域就是使这个解析式有定义的自变量取值),(y x 的全体所确定的集合，在几何上表示一个平面区域。

所谓平面区域可以是整个平面或者是xy 平面上由几条曲线所围成的部分。

围成平面区域的曲线称为该区域的边界；包括边界在内的区域称为闭区域；不包括边界的区域称为开区域；包括部分边界的区域称为半开区域；如果区域延伸到无穷远处，则称为无界区域，否则称为有界区域；例1、 求下列函数的定义域1、y y x y x x z n n n n +++=--11...2、()y x z +=ln3、by ax z arccos arcsin +=4、()y x y x z 222221ln --+-+=5、yx xy z -+-=112解：1、定义域是全平面 无界的开区域o2、定义域是(){}0|,>+=y x y x D3、要使函数有意义，必须⎪⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-1111by a x即⎩⎨⎧≤≤-≤≤-b y b ax a故函数的定义域是(){}b y b a x a y x D ≤≤-≤≤-=,|, 有界闭区域4、要使函数有意义，必须⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-+02012222y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+212222y x y x 亦即2122≤+<y x 故函数的定义域为(){}21|,22≤+<=y x y x D 有界区域 5、使函数有意义，必须⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<<<>>->-x y x x y x y y x x y 22200亦即即 故函数的定义域为(){}x y x y x D <<=2|, 有界开区域 六、邻域1、点0P 的δ邻域2、内点3、边界点 七、二元函数的极限定义2 设二元函数)()(y x f P f ，=的定义域为D , 如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正数δ,使得当δρ<-+-=<2020)()(0y y x x 时,ε<-A y x f ),(恒成立，则称当),(y x 趋于),(00y x 时，函数),(y x f 以A 为极限。

记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 或A y x f p =→),(lim 0注意：(1) 二重极限存在，是指P 以任何方式趋于0P 时, 函数都无限接近于A(2) 当P 以两种不同方式趋于0P 时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在。

例如()()yx xyy x 220,0,lim+→当点)(y x ，沿着x 轴趋近于（0，0）时，由于x 轴上的点y 坐标都是0 原式=()()00lim20,0,=+→xy x当点)(y x ，沿着直线y=x 趋于（0，0）时，由于直线y=x 上的点横坐标与纵坐标相等，则原式=()()212lim220,0,=→x x y x因此()()y x xyy x 220,0,lim+→不存在八、二元函数的连续性1、二元函数连续的定义 设二元函数(,)f x y 满足条件：（1）在点),(00y x 的某个邻域内有定义； （2）),(lim ),(),(00y x f y x y x →存在； （3）),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→则称函数),(y x f 在点),(00y x 处连续，否则称点),(00y x 是函数),(y x f 的间断点。

2、如果函数),(y x f 在平面区域D 内的每一点都连续则称函数),(y x f 在区域D 内连续3、连续函数的图形是一张无孔隙、无裂缝而稠密的曲面4、可以证明，一切多元初等函数在其定义区间内是连续的。

由这个结论我们可以求二元函数的极限5、求下列函数的极限 （1）()()()()()()()x xy xy xy y x ye y x y x x y x sin lim)3( 11lim )2 1cos lim0,0,0,0,0,0,→→→-+++（解：（1）原式=10010cos 0=++e （2）原式=()()()211lim0,0,=++→xy y x（3）原式=()()()0sin lim0,0,=⋅→y xyxy y x九、有界闭区域上连续函数的性质性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值. 十、小结1、空间直角坐标系，空间两点的距离2、曲面与方程的概念，旋转曲面和柱面方程3、多元函数的概念4、二元函数的极限与连续性的概念十一、作业 P362 1、(2)---(5)§8.4 偏导数 §8.5 全微分主要教学内容(1) 偏导数; (2) 全微分.教学目的及要求: 掌握偏导数的概念，会求二元函数的偏导数和二阶偏导数；掌握全微分的定义，会求二元函数的全微分重点难点及解决措施:重点: 掌握二元函数的偏导数、全微分的计算 难点: 高阶偏导数.解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时教学设计：一、偏导数的概念由于多元函数的自变量的变化是彼此无关的，因此我们可以讨论函数关于一个自变量的变化率，而其他的自变量都固定（即看作常数），这种变化率叫偏导数。