建模习题答案

田佳王伊陈鹏
《数学建模入门》练习题
练习题1：发现新大陆！
发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。

为什么哥伦布能做到呢？
(参考答案：有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。

)
答： 1）从其主观条件分析：
他具有一个优秀水手的素质：对大海的热爱，具有宝贵的航海经验，接触过航海所必不可少的宇宙学和数学，并且学会了绘制地图和使用各种航海工具。

更为重要的事，在航海强国葡萄牙，哥伦布在思想上为远航做好了准备。

他阅读了《马可·波罗游记》，对东方的富饶遐想无限，使他产生了到东方区的想法；他接触了学者托斯勘内里，接受了“地圆学说”，坚定了从海上到达东方的信念。

2）从客观条件分析：
出于共同的对黄金的追求，哥伦布与西班牙王室达成了一致（签订《圣塔菲协定》），西班牙为其提供了自己的船队、自己的船员。

当时中国的指南针也已传到航海界，这一发明对其也有及其重要的作用
练习题2：棋盘问题
有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。

问能否用这些骨牌盖住这62个方格？
答：这个问题涉及到数学上的一个典型排列：完美覆
盖
31张不重叠的多米诺牌则盖住31个白方格和31个
黑方格。

因此，这副被剪过的棋盘没有完美覆盖，上述推
理可总结为：
31黑白 32黑＋30白
更一般地．可以将棋盘上的方格交替徐成黑色和自色，切除一些方格，得到一块切过的棋盘什么时候能有一个完美覆盖？
为使完美覆盖存在，这块被切过的棋盘必须又有相等的黑方格数和白方格数但是，这个条件却不是充分的，最后是不能够用这些骨牌盖住其余方格的
练习题3：硬币游戏
如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。

最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。

为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？
答：决定先放。

首先将硬币放在长方形桌子的中心，然后根据对手所放的硬币，找一桌子中心为对称中心的位置，直至对手没有地方放硬币为止，由于长方形的对称性，只有中心不存在对称位置，故先放者赢。

练习题4：高速问题
一个人从A 地出发，以每小时30公里的速度到达B 地，问他从B 地回到A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？
答：
模型假设：假设A、B两地距离为S，从B地到A地的速度为V,往返的评速度均为。

模型建立：从A地到B地所用的时间t = ，从B地回到A地时间为t = ，往返路程时间为t + t = + ，则往返A、B的平均速度 = = 。

模型求解：由于往返路程的距离为2S，平均速度要达到60km每小时，而从A地到B地的速度为每小时30km，所以v>60。

令v=60， =4 ，继续增大v，发现只有v + 时，才可能有 =60.
练习题5：登山问题
某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。

问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？
答：
A能否在同一地点来回的时间相同可以等价于在同一天A,B两人的相遇问题。

模型假设：
1、在这两天中除了A的出发地点与终点不同外，其他因素相同。

2、从山顶到山底和从山底到山顶定的距离相同，A、B两人除了出发点与终点不同外，其他因素相同。

3、山顶到山底之间路程是连续的。

4、在登山与下山过程中无意外发生。

模型建立：t为A在路上的某时刻，为t时刻A离山底距离，为t时刻B离山顶的距离，为t时刻A离山底和B离山顶的距离之和，s为从山底到山顶的距离。

模型求解：在t=8:00时，，；在t=17:00时，，所以有。

由连续函数介值定理可知：存在某一时刻使，即，综上所述，存在某一时刻是A、B在同一时刻同一地点相遇。

可知，A必在这两天中同一时刻经过同一地点。

练习题6：兄弟三人戴帽子问题
解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。

县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。

题目如下：
兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。

此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。

只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。

现在开始！(县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答吗？)
答：全红1种，2红1黑3种，1红2黑3种。

共7种不同的戴法。

给老三戴红帽最难了。

从最简单的开始看起。

首先肯定是老大猜，因为他能看到老二老三的帽子颜色，如果老二老三帽子都是黑的，那么老大马上就能判断自己帽子是红的，这就是1红2黑的3种中的一种情况。

共1种，这种情况最
简单。

但是万一老大猜不出来呢？那就是老二老三帽子要么1黑1红， 要么2红，这个时候，该让老二猜了，如果老二看到老三的帽子是黑的，他马上就可以猜到自己帽子是红的。

（因为老大不能猜出来，则肯定老二老三的帽子1红1黑或2红）如果让老二猜，并且猜出来，这是较难的戴帽方法，包括2红1黑3种中的一种，1红2黑3种中的一种。

共2种，这2种较难。

但是万一老二也猜不出来呢？那就是老三的帽子是红的，老二不能猜出来，老三要经过老大老二都不能猜出来分析来判断自己的帽子是红的。

包括3红情况下的1种，2红1黑3种情况下中的2种，1红2黑3种情况中的一种，共4种。

这4种是最难的。

这只是理论上分析，实际应用中，我们还要考虑人的心理研究。

俗话说“最危险的地方就是最安全的地方”，也许选用看起来最简单的方案会得到意想不到的结果。

练习题7：做出空间图形
做出由曲面222y x z +=与2226y x z --=相交的空间曲线和所围成的立体的图形。

答： 程序:
syms x y z x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[x y]=meshgrid(x,y); z1=x.^2+2*y.^2; z2=6-2*x.^2-y.^2; nx=length(x); ny=length(y); for i=1:nx;
for j=1:ny;
if ~(isreal(z1(i,j))) z1(i,j)=0; end end end
mesh(x,y,z1) hold on
mesh(x,y,z2) hold off
图像：
改编自变量取值范围
syms x y z
x=-1.5:0.1:1.5;
y=-1.5:0.1:1.5;
[x y]=meshgrid(x,y);
z1=x.^2+2*y.^2;
z2=6-2*x.^2-y.^2;
nx=length(x);
ny=length(y);
for i=1:nx;
for j=1:ny;
if ~(isreal(z1(i,j))) z1(i,j)=0;
end
end
end
mesh(x,y,z1)
hold on
mesh(x,y,z2)
hold off
练习题8：网球比赛问题？
n个男网球运动员进行网球单打比赛，要决出冠军，至少要打多少场比赛？
思路：冠军只有一个，必然要淘汰n-1个选手才能产生冠军，又因为是单败淘汰赛，淘汰n-1个选手必然有n-1场比赛。

练习题9：身高和年龄的关系
你不认为“身高和年龄之间有关系吗？”
请你们三个人分别按照每人从出生到现在每年的身高和对应的年龄记录下来（在你本人的宝宝成长纪念册中），制成表（注明：男生、女生，籍贯），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。

性名年龄
身高
A B C
1 78 75 74
2 87 85 86
3 96 93 91
4 10
5 103 101
5 114 109 110
6 120 114 117
7 126 123 125
8 130 129 130
由图可得，在一定一年龄段内，身高与年龄的关系为：
y = 36.348Ln(x) + 61.81
附录：
1、男性身高=出生时身长(厘米)÷0.2949;女性身高=出生时身长(厘米)÷0.3109。

用此公式要注意：只适用于正常足月新生儿;测量身长数据时如能精确到0.1厘米，身高的预测将更准确。

2、男性身高=3岁时身高×0.545 父母平均身高×0.544 37.69(厘米);女性身高=3岁时身高×0.545 父母平均身高×0.544 25.63(厘米)，人体标准身高预测公式(遗传法则)
男性身高=(父亲身高+母亲身高)×1.08÷2(厘米)
女性身高=(父亲身高×0.923+母亲身高)÷2(厘米)
上述公式大体上符合“高加高生高，高加矮生高，矮加矮生矮”的遗传学原则。

练习题10：过三峡大坝
请你说明船舶是如何从上游通过长江三峡大坝去下游的，又是如何从下游通过长江三峡大坝去上游的。

换句话说，船舶是如何通过长江三峡大坝的。

答：三峡大坝蓄水后，上下游水位落差高达几十米，从坝下60多米的水面，要上升到坝上135米的江面
简单地说,船闸是连接大坝上下游水位的高低差的媒介.即利用连通器原理使船闸内水位变化的装置,利用这个装置可使船顺利通过船闸进入上游或下游.
实现原理:
当船需从上游的高水位进入下游低水位时,关闭下游闸门,开启上游闸门,使船闸内的水位和上游一致,这时上游的船可顺利进入船闸内.
再关闭上游闸门,开启下游闸门,使船闸内的水位下降至坝下游水位,以便船闸内的船顺利从下游闸门开往大坝的下游.
水涨船高,水落船低.
三峡船闸分五级，为五级船闸。

三峡大坝113米的落差，这犹如高台跳水，不可能一次完成，只能分级“接力”转换，就要考虑多级船闸。

船从下游驶来，需过大坝上行，先将五闸室水位降到与下游水位一致，打开下闸门，船舶进入闸室；关闭下闸门，输水系统充水抬高闸室水位，船舶随闸室水位上升而上升，当水位与四闸室水位齐平时，打开五闸首人字闸门，船舶就好像爬过一级阶梯，轻松驶入上一级闸室。

如此上升，直至驶出一闸室，如同攀登五级台阶，进入高峡平湖。

如船舶是从上游往下游走，过程正好相反。

另外一种船舶过坝方式，是通过升船机完成，相当于人坐电梯。

升船机将在未来的6年内完成。

届时，吨位较小的船只将通过升船机一次性提升过坝，通过时间比走双线五级船闸要少。

练习题11：你如何解释？
首都博物馆里有一个展品是一个出土的石盒子容器（见下图），它的外侧表面的石刻画中，有一个佛的头像是一个方形的洞，这如何解释呢？
仔细看那几个佛像的头部，好象和身体并不是一体雕刻成的，也就是说头部是单独雕刻然后安装上去的，那么这个洞就是安装佛头用的，现在这个佛头丢失了，就露出了这个洞。

如果把其它几个佛像(特别是头部后面带圆圈的那几个佛像)的头也去悼，后现很可能也会有洞。

看下面那尊龙门石窟中的大佛，头后面也有洞，那是当初为了保护佛像，在佛像外面安装了一个木制档棚，那个方孔就是固定支架用的。

练习题12：海盗分金币
有五个海盗在海上抢得了100枚金币，上岸后他们要分赃。

他们五个人排了个顺序，第一个人先制定一个分配方案，如果第一个人的方案被通过并执行，此次分金币的事结束，如果第一个人的方案被否决，把第一个人杀掉。

100枚金币由其余的四个人分，再由第二个人制定一个分配方案，依次类推，直到金币被分完。

请你替第一个人制定一个合适的分配方案。

（注：分配方案被通过是指同意的人数大于反对的人数，否则方案被否决。

）
答：分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。

推理过程是这样的：99哦，，
从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。

所以，4号惟有支持3号才能保命。

3号知道这一点，就会提出“100，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。

不过，2号推知3号的方案，就会提出“98，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。

由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。

这样，2号将拿走98枚金币。

同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。

由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。

这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。

分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。

练习题13：学会管理工作
你的公司需要确定五名员工值一个月（30天）的班，每天只需要安排这五名员工中的二名值班。

请你们安排一个公平、合理、科学的值班表。

答：30 天可以分成6 组，每5 天一组，这样循环值班。

每轮值班情况如下：
将5 个人假设为A,B,C,D,E.
注：员工顺序可以调换，但是还是每5 天保证2 天班。

这样每个员工在五天内都可以值两天班，这样公平，合理又科学
练习题14：近几年北京市空气质量好多了!
你不认为“近几年北京市空气质量好多了吗？”
请你们寻找近10年北京市空气质量的数据，并用得到的数据找出年份和对应的蓝天数之间的关系，用数学模型的方法表示出来。

再用你们建立的数学模型预测今年、明年北京市空气质量(主要指蓝天数)。

再用你们建立的数学模型预测一下，到那年北京市空气质量全达标(主要指蓝天数等于全年的天数)。

直接由图得出在一定范围内，对应的年份与蓝天数的关系：蓝天数y 与年份x 的关系为：
x
203
y038.0
e
8.
当x=9,10 时，带入公式得 y=287,298。

所以今年，明年的蓝天数分别
为287 天,298 天。

当 y=365 时，可得x=15.3 ,所以蓝天数达到去年天数时的时间是2017
练习题15：为什么要更改名字？
我校为了庆祝建校30周年，在校园内立了几个雕塑，其中一个（见下图）刚立时名字叫“麦比乌斯环”，可是过了一段时间后就把名字改了，为什么要更改名字呢？
答：环分为两侧，内侧与外侧，若放一蚂蚁在环的外侧，则蚂蚁一直在外侧爬行，若把蚂蚁放在内侧，则蚂蚁一直在内侧，则蚂蚁一直在内侧爬行。

故，蚂蚁在环上爬行的时候，不能达到环的所有位置。

而麦比乌斯环的特点是，若放一蚂蚁在环上，蚂蚁爬行可达到环的任意一个位置，即环没有内外侧之分。

这样的环才称为麦比乌斯环。

而上图中的环有内外侧之分，故不是麦比乌斯环。

所以要更正名字。

真正的麦比乌斯环如下图：
练习题16：椅子能在不平的地面上放稳吗？
考虑椅子的四脚呈长方形的情形。

答：模型假设：
假设1 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四个椅
脚的连线为长方形。

假设 2 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像
台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面。

假设3 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅
子在任何位置至少有三只脚同时着地。

模型建立：
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的移动。

要把椅子挪动放稳，通常可以拖动和转动，即为数学中的平移和旋转。

然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质的变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。

于是可尝试将椅子就地旋转，并
试图在旋转过程中找到一种能放稳的情形。

注意到椅脚连线成长方形，长方形为中
心对称图形，绕他的对称中心旋转︒180后，
椅子仍在原地。

把长方形绕它的对称中心旋转可以表示
为椅子位置的改变。

于是，旋转角θ表示了
椅子的位置。

为此，在平面上建立直角坐标
系来解决问题。

设椅脚连线为长方形ABCD ，以对角线AC
所在直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立
平面直角坐标系。

椅子绕O 点沿逆时针方向旋转θ后，长方形ABCD 旋转至D C B A ''''的位置，则可以用旋转角θ（0π≤≤θ）表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。

其次，把椅子脚是否着地用数学形式表示出来。

当椅脚与地面的垂直距离为零时，椅脚就着地了，当距离大于零是，椅脚不着地。

由于椅子在不同位置是θ函数，则椅脚与地面的垂直距离也是θ函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的垂直距离有四个，它们都是),(θg 函数，椅子在任何时刻至少有三支脚着地，即对于任意的θ，其函数值至少三个同时为零。

考虑到长方形ABCD 是对称中心对称图形，饶其对称中心O 逆时针转︒180后，长方形位置不变，但A ，C 和B ，D 对换了。

因此，记A ，B 两脚与地面的竖直距离之和为)(θf ,C,D 两脚与地面的竖直距离之和为),(θg 其中θ],0[π∈。

则可以化为求解数学问题。

;0)(,0)(≥≥θθg f )(θf 和),(θg 都是关于θ的连续函数，)(θf 和),(θg 中至少
有一个为零，即0)()(=θθg f ，)0((
),0()(f g g f ==π）θ 。

证明存在],0[0π∈θ，使得
0)()(00==θθg f 。

模型求解：
如果0)0()0(==g f ，那么结论成立。

如果)0(f 与)0(g 不同时为零，不妨设)0(f >0, )0(g =0.这是，将长方形ABCD 绕O 逆时针旋转︒180后，点A,B 与点C,D 互换，但长方形ABCD 在地面上所处的位置不变，由此可知)0()(),0()(f g g f ==ππ，而由)0(f >0, )0(g =0,得0)(,0)(=>ππf g 。

令)()()(θθθg f h -=，由于)(θf 和),(θg 都是关于θ的连续函数，因此)()()(θθθg f h -=也是关于θ的连续函数。

又0
)()()(,0)0()0()0(<-=>-=πππg f h g f h 根据介值定理，必存在],0[0π
∈θ，使)()(0(000θθθg f h ==，即），又，）0()(00=θθg f 所以 0)()(00==θθg f 。

椅子四只脚着地，放稳了。

练习题17：商人们怎样安全过河？
四名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。

商人们怎样才能安全渡河呢?
答：记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ,,......2,1=k 4,3,2,1,0,=k k y x .将二维向量),(k k k y x s =定义为状态。

安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S ．不难写出 }
2,1;4,3,2,1,0,3;4,3,2,1,0,0|),{(=======y x y x y x y x S
(1) 记第k 次渡船上的商人数为k u ，随从数为k v .将二维向量),(k k k
v u d =定义
为决策。

允许决策集合记作D ，由小船的容量可知
}2,1|),{(=+=v u v u D (2)
因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶回此岸(见下表)，
后商人数大于随从数，不能安全过河（2）若彼岸的随从划船去此岸，则彼岸的商人数大于随从数，也不能安全过河。

综上所述，商人不能安全过河。

练习题18：学习检验问题
在第三章（初等模型）第三节（划艇比赛的成绩）中利用最小二乘法和表中各种艇的平均成绩检验公式111.021.7-=n t ，要求小数点后保留四位。

答：四组数据（n ，t ）分别为（1,7.21）、（2,6.88）、（4,6.32）、（8,5.84） 设logn logt βα+'=，（t n log ,log ）分别为(0,0.8579)、（0.3010，0.8375）、（0.6021,0.8007）、（0.9031,0.7664）
n t log log βα-=' t
n t n t n 22log log log *log log *log --=β将数据代入上式得β=-0.0253、α'=0.8270，则n t log 0253.08270.0log -=即 1134.02343.7-=n t
练习题19：航天飞机的水箱的设计
考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。

水箱的形状为在直圆锥顶上装一个球体(像冰激凌的形状，见如图)。

如果球体的半径限定为正好6=r 英尺，设计的水箱表面积为450平方英尺，1x 为直圆锥的高，2x 为球冠的高，请确定1x 、2x 的尺寸，使水箱容积最大。

答：很明显此题是在一定条件下求最值的问题。

假设模型：在一定程度上中，考虑水箱的形状和尺寸、体
积、表面积及球体的半径求体积的最大值
建立模型：把体积分为两部分，即锥顶和所截球面，具体
分析求解。

定义变量：V c 为锥顶的体积V c =3
π(221212x x x rx - ) s V 为被锥所截后球体部分的体积
)4,4(1=s )0,0(
)2,4()2,0()4,4(112=-=-=d s s
)2,0( )3,4()1,0()2,4(223=+=+=d s s
)1,0( )1,4()2,0()3,4(334=-=-=d s s
)3,0( )2,4()1,0()1,4(445=+=+=d s s
)2,0( )2,2()0,2()2,4(556=-=-=d s s
)2,2(
）（π22323rx 3-x r 43
+=s V w V 为水箱体积)234(3
2212122323x x x rx rx x r V V V s c w -+-+=+=π c S 为锥的表面积)2)(2(22221222x rx x x rx S c -+-=π
s S 为被锥所截后球体部分的表面积2224
rx r S s ππ-=水箱表面积 )2)(2(242222122222x rx x x rx rx r S S S s c t -+-+-=+=πππ
我们希望在有限的表面积下得到最大的体积，所以归结为在条件
)2)(2(242222122222x rx x x rx rx r S S S s c t -+-+-=+=πππ=450下，求
)2343
),(221212232321x x x rx rx x r x x V w -+-+=（π的最大值。

模型求解：
=),,(21λx x L )2343
2221223231x x x rx rx x r -+-+（π-]450-224[22222）（πππx rx rx r -+-λ 将r=6,代入上式，化简得到
=
),,(21λx x L ]450-12)(1212144[-1218-8643
222212222221213222）（πππ）（πx x x x x rx x x x x x x -+-+--++λ将L 对变量λ,,21x x 分别求偏导，并令他们为0，求解得
英尺英尺，20233.18585.1121≈≈x x
所求的最大体积为895.472立方英尺。