七年级数学代数值的求法(含练习)

活用因式分解巧求代数式值

例1. （1）已知

求

（2）已知求

解：（1）

由题意得：

说明：（1）是一个整式求值问题，为了方便，本题中应用了“换元法”，使代数式简化，展开后因式分解，进而求解。

（2）利用代数式恒等变形，通过添项构造成能运用公式分解因式的代数式（向已知条件靠拢），从而求出代数式的值。

例2. （1）已知

解：（1）由

（2）

说明：利用（拆项）恒等变形，可将方程的一边写成两个完全平方形式，而使另一边为零，利用因式分解及非负数的和为零，则每个非负数必须为零，从而求出未知数的值，进而求出代数式的值。

例3. 长方形周长是16cm，它的两边x、y是整数，且满足，求其面积。

解：由

解：（I）得

答：长方形的面积为15cm2。

说明：本题综合应用了因式分解、方程思想及取整知识，从而能顺利求解，解求值题重在认真观察分析题意，灵活运用因式分解及相关知识，化未知为已知，从而达到解题的目的。

［练习］：

（1）已知

（2）

（3）

（4）已知

点击代数式求值方法

运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要内容之一。它除了按常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的

目的。下面举数例介绍常用的几种方法和技巧。

一、常值代换求值法

常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值。

例1 已知ab=1，求

2

211

11b a +++的值 [解] 把ab=1代入，得

2

211

11b

a +++ =

22b ab ab

a a

b ab +++

=

b

a a

b a b +++ =1

[评注] 将待求的代数式中的常数1，用a ·b 代入是解决该问题的技巧。而运用分式的基本性质及运用法则，对代入后所得的代数式进行化简是解决该问题的保证。

二、运用“非负数的性质”求值法

该法是指运用“若几个非负数的和为零，则每一个非负数应为零”来确定代数式中的字母的值，从而达到求代数式的值的一种方法。

例2 若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0，求b

a

a b +之值。 [解] ∵a 2b 2

+a 2

+b 2

-4ab+1

=(a 2b 2-2ab+1)(a 2-2ab+b 2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0

∴⎩⎨⎧==-.

1,0ab b a

解得⎩⎨⎧==;1,1b a ⎩⎨⎧-=-=.1,1b a

当a=1，b=1时，

b

a

a b +=1+1=2 当a=-1，b=-1时，

b

a

a b +=1+1=2 [评注] 根据已知条件提供的有价信息，对其进行恰当的分组分解，达到变形为几个非负数的和为零，这一新的“式结构”是解决本题的有效策略，解决本题要注意分类讨论的方法的运用。

三、整体代入求值法

整体代入法是将已条件不作任何变换变形，把它作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法。

例3 若x 2+x+1=0，试求x 4+2003x 2+2002x+2004的值。 [解] ∵x 4+2003x 2+2002x+2004

= x 4-x+2003x 2+2003x+2003+1 =x(x-1)(x 2+x+1)+2003(x 2+x+1)+1 又x 2+x+1=0

∴x 4+2003x 2+2002x+2004=1

[评注] ∵x 2+x+1=0 ∴x 不是实数，那么通过求出x 的值，再求代数式x 4+2003x 2+2002x+2004之值，显然枉然无望。对求值的代数式进行适当的变形，将已知条件整体代入到求值的代数式中去，是解决本题的方法又是解决本题的技巧。

四、因式分解求值法

因式分解法求代数式的值是指将已知条件和求值的代数式之一或全部进行因式分解，达到求出代数式的值的一种方法。

例4 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b 之值 [解] ∵|a|+|b|=|ab|+1

∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0 (|a|-1)(|b|-1)=0

|a|=1 |b|=1 ∴a=±1或b=±1. 则当a=1，b=1时，a+b=2 当a=1，b=-1时，a+b=0 当a=-1，b=1时，a+b=0 当a=-1，b=-1时，a+b=-2

[评注] 运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A ·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。另一种途径是对待求的代数式进行因式分解，分解成含有已知条件的代数式，然后再将已知条件代入求值。

五、运用倒数求值法

倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而达到求出代数式的值的一种方法。

例5 已知2311

222--=-x x ，求)1

()1111(2x x x x x +-÷+--的值。 [解] 由已知，得2312

2

2--=-x

x 所以，2312

12--=-

x

则232

2--=-

x

)1

()1111(2x x x x x +-÷+-- =232

1122

322--=-=-•-x

x x x x [评注] 采用此法要注意先对已知部分和求值的代数式进行化简变形，后再作选择。像本题先对待求的代数式进行化简得到结果为22

x

-

，根据这样一个“式