初中数学竞赛精品标准教程及练习54整数解
五四制鲁教版初一数学奥赛题
五四制鲁教版初一数学奥赛题
摘要：
1.五四制鲁教版初一数学奥赛题概述
2.五四制鲁教版初一数学奥赛题的解题技巧
3.五四制鲁教版初一数学奥赛题的例题解析
正文：
【五四制鲁教版初一数学奥赛题概述】
五四制鲁教版初一数学奥赛题是指根据五四制（小学五年，初中四年）的教学大纲，针对初中一年级学生的数学奥林匹克竞赛题目。
这类题目旨在选拔和培养优秀的数学人才，提高学生的数学素养和解题能力。
【五四制鲁教版初一数学奥赛题的解题技巧】
1.扎实掌握基础知识：数学奥林匹克竞赛题目往往以初中一年级的教学大纲为基础，要求学生对基础知识有扎实的理解。
2.善于归纳总结：在解题过程中，要注意从题目中挖掘出规律，并善于归纳总结，形成解题思路。
3.灵活运用数学方法：数学奥林匹克竞赛题目涉及多种数学方法，如代数法、几何法、逻辑法等，学生要熟练掌握并灵活运用这些方法。
4.提高计算能力：数学奥林匹克竞赛题目往往有较高的计算要求，学生要通过大量的练习提高自己的计算能力。
【五四制鲁教版初一数学奥赛题的例题解析】
例题：一个正方形的对角线长是10√2 厘米，求这个正方形的面积。
解：
1.根据正方形的性质，知道正方形的两条对角线相等且互相垂直。
2.根据勾股定理，得到正方形的边长为10 厘米。
3.根据正方形的面积公式，计算得到面积为100 平方厘米。
通过以上例题，我们可以看出五四制鲁教版初一数学奥赛题的解题关键是掌握基础知识、灵活运用数学方法和提高计算能力。
初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑴
初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
初中数学竞赛中定方程的整数解问题定方程的整数解问题
初中数学竞赛中不定方程的整数解问题1.利用整数分离在解决不定方程问题时，首先逆用分式的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分子为常数的分式的和或差的形式，然后利用整数整除的性质通过对简单分式的分析来解决问题。
这种方法是处理含有分式不定方程的整数解问题的一种有效途径。
例1. 方程301x y x +-=+的整数解共有几组？2.因式分解法当不定方程的一边容易化为两个一次因式的乘积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决不定方程的整数解问题。
例2.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有几组?例3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为 c. 若a,b,c 均为正整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用△≥0，求出参数的范围，然后求解。
例4． 关于x,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x,y ）有几组？4.放缩法是指根据已知条件将不定方程中某些未知数放大或缩小，从而确定某个未知数的取值范围，进而确定该未知数的整数解，然后将其代入原方程求其他未知数的整数解一种解题方法。
例5 当x y z ≤≤时，求方程11178x y z ++=的正整数解。
5.利用整除和同余例6． 关于x,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为多少？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，则可利用设参数法，即设△=2k ，然后求出方程的解，再利用数论的相关知识求解，或通过因式分解，直接从△=2k 求解例7.设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+。
求a,b 的值。
练习题1. 求方程6xy x y ++=的整数解。
2. 求满足方程2242011x y -=的整数对（x,y ）的组数有多少？3. 方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x,y ）的组数为几组？4. 求方程11156x y z ++=的正整数解。
初中数学竞赛标准教程及练习44数的整除(二)
初中数学比赛精选标准教程及练习（44 ）数的整除（二）一、内容概要第一讲介绍了能被2，3，4 ，5，7，8 ，9，11 ，13，25 整除的自然数的特点，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法例：⑴n 个连续正整数的积能被 n ！整除 .（n 的阶乘： n ！＝ 1 ×2×3× ×n ）.例如： a 为整数时，2 a(a+1) ， 6 a(a+1)(a+2),24 a(a+1)(a+2)(a+3)，⑵若 a b且 a c, 则 a (b c).⑶若 a, b 互质，且 a c, b c ，则 ab c .反过来也建立： a, b 互质，ab c，则 a c, b c.比如： 8 和 15 互质， 8 ｜a, 15|a ，则 120 ｜a.反过来也建立：若 120 ｜a. 则8 ｜a, 15|a.⑷由乘法公式（ n 为正整数）推得：由(a －b)(a n-1 +a n-2 b++ab n-2 +b n-1 )=a n－b n . 得(a －b)|(a n－b n ).(a+b)(a 2n－ a2n－1 b+ ab 2n － 1 +b 2n )=a 2n+1 +b 2n+1 . (a+b)|(a 2n+1 +b 2n+1 ).(a+b)(a 2n － 1 －a2n － 2b+ +ab 2n － 2 －b 2n － 1)=a 2n －b 2n . (a+b)|(a 2n－b 2n ).归纳起来：齐偶数次幂的差式a2n －b 2n 含有因式 a＋b 和 a－b.齐奇数次幂的和或差式a2n+1 ＋b 2n+1 或a2n+1 －b 2n+1 只分别含有因式 a＋b 或 a－b.比如（ a+b ）| (a 6－b 6 ), (a－b)| (a 8－b 8 )；(a+b)|(a 5 +b 5)，(a －b)|(a 5－b 5).二、例题例1. 已知 :整数 n>2.求证： n 5 －5n 3 +4n 能被 120 整除 ..证明： n 5－5n 3 +4n ＝n(n 4－5n 2+4)=n(n －1)(n+1)(n+2)(n －2).∵(n －2) (n －1)n(n+1) (n ＋2)是五个连续整数，能被n! 整除，∴ 120 ｜n 5－5n 3+4n.例2. 已知： n 为正整数 .求证： n 3+ 3n 2+ 1 2 2证明： n 3+ 3 n 2 + 1 n ＝ 1n （2n 2 +3n+1 ）2 22= 1n(n+1)(2n+1)2n 是 3 的倍数 .= 1n(n+1)(n+2+n－1)2= 1 n(n+1)(n+2)+1n(n+1)(n －1).22∵ 3 ！｜ n(n+1)(n+2) ， ∴ 3 ｜ 1n(n+1)(n+2)+ 1 22且 3！｜ n(n+1)(n －1)..n(n+1)(n －1).即 n 3+ 3n 2+ 1n 是 3 的倍数 .2 2（上两例关鍵在于创建连续整数）例 3.求证：⑴ 33 ｜ 255 ＋ 1 ；⑵1989 ｜（ 1990 1990 －19881988）.证明：⑴255 ＋1＝25×11 ＋111＝32 11 ＋111 .∵(32 ＋1)|(32 11+1 11) ， 即 33 ｜255 ＋1.⑵1990 1990 － 1988 1988 ＝ 1990 1990 － 1988 1990 ＋ 1988 1990 －19881988.（添两项）∵（1990 ＋1988 ）｜（ 1990 1990 －1988 1990 ）.即 1989 ×2 ｜（ 1990 1990 －1988 1990 ）.∵ 1988 1990 －1988 1988 =1988 1988 (1988 2－1)＝19881988（1988 ＋1）（1988 －1）.即 1990 1990 － 1988 1988 ＝1989 ×2N ＋1989 ×1988 1988 ×1987.（ N 是整数）19901988实用文档 2证明： 32n+1+2n+2＝ 3×3 2n +4 ×2 n =3 ×9 n +4 ×2 n ＋3×2 n －3×2n（添两项）＝（ 4×2 n ＋3 ×2 n ）＋（ 3 ×9 n －3×2 n ）＝（ 4＋3 ）＋ 3（9 n －2 n ）＝ 7×2 n＋3 （9－2）N . （N 是整数）∴7 ｜（3 2n+1 +2 n+2 ）（例 3，4 是想法利用乘法公式）例5. 已知 19xy87 能被 33 整除，求 x, y 的值 .解：∵33 ＝3×11 ，∴1＋9+x+y+8+7 其和是 3 的倍数， 即 x+y=3K －25 (k 为整数).又（1＋x+8 ）－(9+y+7) 其差是 11 的倍数，即 x －y=11h+7(h 是整数 ).∵0≤x ≤9 ， 0≤y ≤9 ，∴0≤x ＋y ≤18 ，9≤x －y ≤9 ，x+y>x －y, 且 x+y 和 x －y 同是奇 数或偶数 .切合条件的有 x 11或 x 14 或 x 8 .y 7 y 4 y4解得x9或 x 5或 x 2 . y 2 y 9 y 6例 6.设 N ＝ 2x78 ，且 17｜N,求 x..解： N ＝2078 ＋100x=17 ×122 ＋4 ＋17 ×6x －2x＝ 17 ×（122 ＋6x ）+4 －2x.∵ 17｜N ，∴17｜4 －2x ，当 4－2x=0.∴ x=2.三、练习 441. 要使 2n +1 能被 3 整除，整数 n 应取＿＿＿，若 6 ｜（5 n－1）, 则整数 n 应取＿＿＿ .2.求证：①4!| （n 4 +2n 3－n 2－2n ）；②24 ｜n(n 2－1)(3n+2) ；③6｜（ n 3+11n ）；④30 ｜（ n 5－n ）.3.求证：①100 ｜99 10－1）；② 57 ｜（ 23333＋ 72222）；③995 ｜（996 996－994 994）；④ 1992 ｜（997 997＋995 995）.4.设 n 是正整数，求证 3 n +3 n+2 +6 2n能被 33 整除 .5.求证：六位数 abcabc 能被7，11，13，整除.6. 已知：五位数3xy98 能被77整除，求x, y的值.7. 已知： a, b, c 都是正整数，且 6｜（ a+b+c ）.求证： 6 ｜（ a3+b 3 +c 3）.三、练习 44 参照答案：1.正奇数；正偶数2. ①，②分解为4个连续整数③ n(n-1)(n+1)+12n④n(n-1)(n+1)(n 2 -4+5)3.②81111＋49 1111③添项－ 1，1④添项 995 997－995 9974.化为 3n(1+3 2)+36 n=11 ×3n＋36 n－3n＝5. 7 ×11 ×13 ＝1001 六位数 10 5 a+10 4b+10 3 c+10 2 a+10b+c=6.仿例 57. 由 6 ｜（ a+b+c ）可知 a,b,c 中起码有一个是偶数，且 a3 +b 3+c 3－3abc 含有因式 a+b+c。
数学竞赛中方程整数解的实用求法
数学竞赛中方程整数解的实用求法(本讲适合初中)近年来，在各级各类数学竞赛中，方程整数解的问题备受关注，它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合，涉及面宽、范围广，往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧. 笔者根据自己的体会讲讲求解这类问题的方法和基本思考途径，供读者参考.1 不定方程的整数解一般地，不定方程有无数组解. 但是，若加上限制条件如整数解等，就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法. 常用的有下述三种方法.1.1 因式分解法这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为常数的方程. 根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正整数都可以惟一地分解成素数的乘积. 方法是分解常数后构造方程组求解.例1 求方程xy ＋x ＋y ＝6的整数解.(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)解：方程两边加上1，得xy ＋x ＋y ＋1＝7.左边＝(x ＋1)(y ＋1)，右边＝1×7＝(－1)×(－7).故原方程的整数解由下列方程组确定：⎩⎨⎧++；＝，＝7111y x ⎩⎨⎧++；＝，＝1171y x ⎩⎨⎧++；＝－，＝－7111y x ⎩⎨⎧++.1171＝－，＝－y x 解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧.2882066044332211＝－，＝－；＝－，＝－；＝，＝；＝，＝y x y x y x y x 1.2 选取主元法有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.例2 求方程7322＝yxy x y x +-+的所有整数解. (第十二届全俄数学竞赛)解：以x 为主元，将方程整理为3x 2－(3y ＋7)x ＋(3y 2－7y)＝0因x 是整数，则△＝［－(3y ＋7) ］2－4×3（3y 2－7y ）≥0 ⇒931421-≤y ≤931421+ ⇒整数y ＝0，1，2，3，4，5.将y 的值分别代入原方程中计算知：只有y ＝4或5时，方程才有整数解，即x 1＝5，y 1＝4；x 2＝4，y 2＝5. 1.3 整式分离法当分式中分子的次数不小于分母的次数时，可将分子除以分母，把整式(即所得商式)分离出来.若所得余式为常数，则用倍数约数分析法求解较容易；若余式不是常数，则可以根据实际情况构造二次方程，选取原先变量为主元求解. 例3 题目同例1.解：用含y 的式子表示x ，得x ＝16+-y y . 分离整式得x ＝－1＋17+y . 因x 为整数，则17+y 为整数.故y ＋1为7的约数，y ＋1＝±1，±7.(笔者注：这种思考方法就是倍数约数分析法)得y ＝0，－2，6，－8.进而x ＝6，－8，0，－2.2 含参数的二次方程的整数解这类整数根问题，近年考查最频繁.实用思考途径有下列四种.2.1 途径一：从判别式入手因为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有根x ＝ab 2∆±-，所以要使方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.这是基本思想.常用方法如下.1. 当△＝b 2－4ac 为完全平方式时，直接求方程的解，然后解不定方程.例4 已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15＝0(其中a 为非负整数)至少有一个整数根.那么，a ＝_________.(1998，全国初中数学竞赛)解：显然a ≠0.故原方程为关于x 的二次方程.△＝[－(3a 2－8a )]2－4a 2(2a 2－13a ＋15)＝[a (a ＋2)]2是完全平方式.故x ＝222)2()83(aa a a a +±- 即 x 1＝a a 32-＝2－a 3，x 2＝a a 5-＝1－a5. 从而，由倍数约数分析法知a ＝1，3或5.2. 当△＝b 2－4ac ≥0且不是完全平方式时，一般有下列三种思考途径.(1)利用题设参数的范围，直接求解.例5 设m ∈Z ，且4＜m ＜40,方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.解：因方程有整数根，则△＝[－2(2m －3)]2－4(4m 2－14m ＋8)＝4(2m ＋1)为完全平方数.从而，2m ＋1为完全平方数.又因m ∈Z 且4＜m ＜40,故当m ＝12或24时，2m ＋1才为完全平方数.因为x ＝(2m －3)±12+m ，所以，当m ＝12时，x 1＝16，x 2＝26；当m ＝24时，x 3＝38，x 4＝52.(2)先用△≥0求出参数的范围.例6 已知方程x 2－(k ＋3)x ＋k 2＝0的根都是整数.求整数k 的值及方程的根.解：△＝[－(k ＋3)]2－4k 2＝－3k 2＋6k ＋9≥0⇒ k 2－2 k －3≤0⇒－1≤k ≤3⇒整数k ＝－1，0，1，2，3.由求根公式知x ＝2)3(∆±+k ，故 当k ＝－1时，△＝0，x ＝1；当k ＝0时，△＝9，x ＝0或3；当k ＝1时，△＝12不是完全平方数，整根x 不存在；当k ＝2时，△＝9，x ＝1或4；当k ＝3时，△＝0，x ＝3.因此，k ＝－1，0，2，3，x ＝1，0，3，4.(3)设参数法，即设△＝k 2.当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法.例7 当x 为何有理数时－代数式9x 2＋23x －2的值恰为两个连续正偶数的乘积？(1998，山东省初中数学竞赛)解：设两个连续正偶数为k ﹑k ＋2.则9x 2＋23－2＝k (k ＋2),即 9x 2＋23－( k 2＋2k ＋2)＝0.由于x 是有理数，所以判别式为完全平方数，即△＝232＋4×9(k 2＋2 k ＋2)＝565＋[6(k ＋1)]2令△＝p 2(p ≥0)，有p 2－[6(k ＋1)]2＝565＝113×5＝565×1.左边＝[p ＋6(k ＋1)][ p －6(k ＋1)]，p ≥0，k ＞0，得）（＝＝1,5)1(6,113)1(6⎩⎨⎧+-++k p k p或 )2(,1)1(6,565)1(6⎩⎨⎧+-++＝＝k p k p解(1)得k ＝8，于是，x ＝2或－941； 解(2)得k ＝46，于是，x ＝－17或9130. 总之，当x ＝2，－941或x ＝－17，9130时. 9x 2＋23x －2恰为两正偶数8和10，或者46和48的乘积. 2.2 途径二：从韦达定理入手1. 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.例8 a 是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x 的二次方程x 2＋(k 2＋ak )x ＋1999＋ k 2＋ ak ＝0的两个根均为质数. 求a 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：设方程的两个质数根为p ﹑q . 由根与系数的关系，有 p ＋q ＝－(k 2＋ak )， ①pq ＝1 999＋k 2＋ak . ②①＋②，得 p ＋q ＋pq ＝1 999则(p ＋1)(q ＋1)＝24×53. ③由③知，p 、q 显然均不为2，所以必为奇数.故21+p 和21+q 均为整数，且2121+⋅+q p ＝22×53. 若21+p 为奇数，则必21+p ＝5r (r ＝1，2，3)，从而，p ＝2×5r －1为合数，矛盾. 因此，21+p 必为偶数.同理，21+q 也为偶数.所以，21+p 和21+q 均为整数，且4141+⋅+q p ＝53.不妨设p ≤q ，则41+p ＝1或5. 当41+p ＝1时，41+q ＝53，得p ＝3，q ＝499，均为质数.当41+p ＝5时，41+q ＝52，得p ＝19，q ＝99，q 为合数，不合题意.综上可知，p ＝3，q ＝499.代入①得k 2＋ak ＋502＝0. ④依题意，方程④有惟一的实数解.故△＝a 2－4×502＝0.有a ＝25022.利用“两根为整数时，其和、积必为整数”.例9 求满足如下条件的整数k ，使关于x 的二次方程(k －1) x 2＋( k －5) x ＋k ＝0的根都是整数.解：设方程的两根为x 1﹑x 2.则x 1＋ x 2＝－15--k k ＝－1＋14-k ， x 1 x 2＝1-k k ＝1＋11-k ， 且 x 1＋x 2和x 1 x 2都是整数.从而，14-k 和11-k 都是整数. 于是，k －1为4和1的约数.故k －1＝±1⇒ k ＝0或2.检验知，k ＝0或2时，方程的两根均为整数.所以，k ＝0或2. 2.3 途径三：联想二次函数因为一元二次方程与二次函数联系密切，所以适时地借助二次函数知识解决方程问题，往往十分奏效.例10 已知b ，c 为整数，方程5x 2＋bx ＋c ＝0的两根都大于－1且小于0.求b 和c 的值.(1999，全国初中数学联赛)解：根据二次函数y ＝5x 2＋bx ＋c 的图像和题设条件知： 当x ＝0时，5x 2＋bx ＋c ＞0，有c ＞0； ① 当x ＝－1时，5 x 2＋bx ＋c ＞0，有b ＞5＋c . ②因抛物线顶点的横坐标－52⨯b 满足1－＜－52⨯b ＜0， 则0＜b ＜10. ③ 又因△≥0，即b 2－20c ≥0,故b 2≥20c. ④ 由①、③、④得100＞b 2≥20c ，c ＜5.若c ＝1，则由②、④得0＜b ＜6且b 2≥20,得b ＝5； 若c ＝2，则0＜b ＜7且b 2≥40，无整数解；若c ＝3，则0＜b ＜8且b 2≥60，无整数解；若c ＝4，则0＜b ＜9且b 2≥80，无整数解.故所求b 、c 的值为b ＝5，c ＝1.2.4 途径四：变更主元法当方程中参数的次数相同时，可考虑以参数为主元求解. 例11 试求所有这样的正整数a ，使方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a－3)＝0至少有一个整数解.(第三届祖冲之杯数学竞赛)解： 因为方程中参数a 是一次，所以可将a 用x 表示，即a ＝2)2()6(2++x x . ① 又a 是正整数，则2)2()6(2++x x ≥1. 解得－4≤x ≤2且x ≠－2.故x ＝－4,－3,－1,0,1,2.分别人入①得a ＝1,3,6,10.3 其他类型3.1 分类讨论型当方程中最高次项的系数含有变参数时，应先分系数为0或不为0讨论.例12 求使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数的k 值.(第十三届江苏省初中数学竞赛)解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论.当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程.设两个整数根为x 1和x 2,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=+-=+②① .111,1112121k k k x x k k k x x由①－②得x 1＋x 2－x 1x 2＝－2⇒(x 1－1)(x 2－1)＝3.＝1×3＝(－1)×(－3).有⎩⎨⎧=-=-;31,1121x x ⎩⎨⎧-=--=-;31,1121x x ⎩⎨⎧=-=-;11,3121x x ⎩⎨⎧-=--=-.11,3121x x 故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即 －1－k 1＝6或－1－k1＝－2. 解得k ＝－71或k ＝1. 又△＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－71或k ＝1时，都有△＞0.所以，满足要求的k 值为k ＝0，k ＝－71，k ＝1. 3.2 数形结合型当问题是以几何形式出现，或容易联想到几何模型的时候，可考虑用数形结合法.这是一种极为重要的解题方法，它具有形 象直观的特点，可使许多问题获得巧解.例13 以关于m 的方程m 2＋(k －4)m ＋k ＝0数根为直径作⊙O.P 为⊙O 外一点，过P 切线PA 和割线PBC ，如图1，A 为切点.这时发现PA 、PB 、PC 都是整数，且PB 、BC 都不是合数，求PA 、PB 、PC 的长. 解： 设方程两根为m 1、m 2则⎩⎨⎧=-=+②① .,42121k m m k m m 又设PA ＝x ，PB ＝y ，BC ＝z ，则x ﹑y ﹑z 都是正整数. 由切割线定知PA 2＝PB •PC ＝PB (PC ＋BC )，即 x 2＝y 2＋yz ⇒(x ＋y )(x －y )＝yz . ③消去①和②中的k ，得m 1m 2＝4－m 1－m 2.整理分解，得(m 1＋1)(m 2＋1)＝5.图1因为⊙O 的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根m ＝4.进而，z ＝BC ≤4.又正整数z 不是合数，故z ＝3，2，1.当z ＝3时，(x ＋y )(x －y )＝3y ，有⎩⎨⎧=-=+;,3y y x y x ⎩⎨⎧=-=+;3,y x y y x ⎩⎨⎧=-=+.1,3y x y y x 可得适合题意的解为x ＝2，y ＝1.当z ＝1和z ＝2时，没有适合题意的解，所以，PA ＝x ＝2，PB ＝y ＝1，PC ＝y ＋z ＝4.3.3 综合探索型当已知方程不止一个或结论不明确时，常用综合分析、假设探索法求解.例14 已知关于x 的方程4x 2－8nx －3n ＝2和x 2－(n ＋3)x －2n 2＋2＝0.问是否存在这样的n 的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.(2000，湖北省初中数学选拔赛)解： 由△1＝(－8n )2－4×4×(－3n －2)＝(8n ＋3)2＋23＞0，知n 为任意实数时，方程(1)都有实数根.设第一个方程的两根为βα、.则α＋β＝2n ，αβ＝42n 3--. 于是，(βα-)2＝(βα+)2－4αβ＝4n 2＋3n 2＋2.由第二个方程得[x －(2n ＋2)][x ＋(n －1)]＝0解得两根为x 1＝2n ＋2，x 2＝－n ＋1.若x 1为整数，则4n 2＋3n ＋2＝2n ＋2.于是n 1＝0，n 2＝－41. 当n ＝0时，x 1＝2是整数；n ＝－41时，x ＝23不是整数，舍去.若x 2为整数，则4n 2＋3n ＋2＝1－n .有n 3＝n 4＝－21.此时x 2＝23不是整数，舍去. 综合上述知，当n ＝0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根.练 习 题1. 设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使(x ＋a)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )，则a 可取的值为_________(1998，上海市鹏欣杯数学竞赛)(提示：变形后用因式分解法. a ＝9，－15，－39)2. 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数. 求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)(提示：求出二根x 1＝－1－42-k ，x 2＝－1－24-k ，从中消去k 得x 1x 2＋3x 1＋2＝0，分解得x 1(x 2＋3)＝－2.借助方程组得k ＝6，3，310) 3. 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程x 2－3ax ＋2b ＝0，x 2－3bx ＋2c ＝0，x 2－3cx ＋2a ＝0的所有的根都是正整数. (2000，全国初中数学联赛)(提示：从根与系数的关系入手，结合奇偶性分析，得a ＝b ＝c ＝1.)4. 已知方程：x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有二整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.(1)求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0.(2)求证：b －1≤c ≤b ＋1.(3)求b 、c 的值.(1993，全国初中数学竞赛)(答案：b ＝5，c ＝6或b ＝6，c ＝5.)5.x 、y 为正整数，100111=-y x .则y 的最大值为_________. (1998，重庆市初中数学竞赛)(提示：用因式分解法，结果为9 900.)6.k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？(1995，山东省初中数学竞赛)(提示：对系数(6－k)(9－k)分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15.)一元二次方程的整数根问题(本讲适合初中)迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件，通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的范围.整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.例1 设方程mx2－(m－2)x＋m－3＝0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程的所有整数解.分析：若m＝0，则2x－3＝0，此时方程无整数解；当m≠0时，考察△＝－3m2＋8m＋4，注意到二次项系数为负，方程有解，则－3m2＋8m＋4≥0.解得3724-≤m≤3724+.+因为m是整数，故只能取1，2，3.当m＝1时，方程有解：－2和1；当m＝2时，方程无整数解：当m＝3时，方程有整数解：0.注：当判别式二次系数为负时，解不等式得关于参数的一个有限长区间，又因为参数为整数，可以讨论得解.例2 当x为何有理数时，代数式9x2＋23x－2的值恰好为两个连续的偶数积.(1998，山东省初中数学竞赛)分析：设两个连续的偶数为n，n＋2，问题转化为：当n为何值时，方程9x2＋23x－2＝n(n＋2)有有理数根.有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为一个整数或有理数的完全平方.考察判别式△＝232＋36(n2＋2n＋2)＝36(n ＋1)2＋565.由于n 是整数，所以判别式应为整数的完全平方.设 36(n ＋1)2＋565＝m 2(m 为大于565的自然数).移项因式分解，得(m ＋6n ＋6)(m －6n －6)＝1×5×113.只有⎩⎨⎧=--=++566,11366n m n m 或 ⎩⎨⎧=--=++.166,56566n m n m 解得n ＝8，或n ＝46.分别代入原方程得方程有理数解为－941，2或9130，－17. 注：当判别式为关于某一参数的二次式，且二次项系数为正时，可采用配方法变形为：ƒ2(α) ＋常数(α是整数).然后采用例1的方法，通过分析得解.例3 求一实数p ，使用三次方程5x 3－5(p ＋1)x 2＋(71p －1)x＋1＝66p 的三个根均为自然数.(1995，全国高中数学联赛)分析：观察可知，1是方程的解，方程可转化为(x －1)(5x 2－5px ＋66p －1)＝0问题转化为：求一切实数p 使方程5x 2－5px ＋66p －1＝0的解为自然数.由韦达定理知，p 为方程两根之和，即p 是自然数.仿例2得△＝(5p －132)2－17 404.设(5p －132)2－17 404＝n 2(n ＞0，n 为自然数).移项分解可得(5p －132＋n)(5p －132－n)＝22×19×229.又(5p －132＋n)，(5p －132－n)同奇偶，所以，⎩⎨⎧⨯=--⨯=+-.1921325,22921325n p n p 解得p ＝76.注：从表面上看，此题中的p 是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是自然数，故可采用前法求得.例4设m 为整数，且4＜m ＜40，又方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0有两个整数根.求m 的值及方程的根.(1993,天津市初中数学竞赛)分析：考察判别式△＝4(2m ＋1)，因是关于m 的一次式，故例1，例2的方法均不可用.由已知4＜m ＜40，可知9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49.当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26； 当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52.注：当判别式不是二次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围，进而求解；当判别式较复杂时，则应改用其他办法，参见例5.例5 α是大于零的实数，已知存在惟一的实数k ，使得关于x的方程x 2＋(k 2＋αk )x ＋1 999＋k 2＋αk ＝0的两根为质数.求α的值.(1999，全国初中数学联赛)分析：因为α、k 均为实数，判别式法不能解决.设方程两根为x 1、x 2，且x 1≤x 2，x 1、x 2均为质数，则⎪⎩⎪⎨⎧++=--=+.9991,221221k k x x k k x x αα 消掉参数得x 1＋x 2＋x 1x 2＝1 999，即 (x 1＋1)(x 2＋1)＝2 000＝24×53.显然，x 1≠2. 于是，x 1＋1，x 2＋1都是偶数且x 1＋1≤x 2＋1.故只有如下可能：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,2132221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=+;521,213231x x ⎩⎨⎧⨯=+⨯=+;521,5212321x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+;521,52122221x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+22221521,521x x ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+.521,5212231x x符合题意的只有⎩⎨⎧==.499,321x x 于是，3＋499＝－k 2－αk .因为存在惟一的k ，故方程k 2＋αk ＋502＝0有两等根. 判别式△＝α2－4×502＝0，解得α＝2502.注：应用韦达定理的关键在于消去参数，首先求得方程的解，在消去参数之后，要注意因式分解的使用.例6 设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.(2000，全国初中数学联赛)分析：方程的表达式比较复杂，判别式法和韦达定理均不可用.将原方程变形得(k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0. 分解因式得[(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k , x 2＝－22-+k k . 消去k 得x 1x 2＋3x 2＋2＝0∴ x 2(x 1＋3)＝－2.讨论得⎩⎨⎧=+-=;13,212x x 或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 解x 1、x 2，代入原式得k 值为6，3，310. 注：当判别式与韦达定理均难解决时，这时反而意味着可用因式分解法求出方程的根，然后再整理转化.例7 设α为整数，若存在整数b 和c ，使得(x ＋α)(x －15)－25＝(x ＋b )(x ＋c )成立，求α可取的值.(1998，上海市初中数学竞赛)分析：此题可转化为：当α为何值时，方程(x ＋α)(x －15)－25＝0有两个整数根.方程可化为x 2－(15－α)x －15α－25＝0视其为关于α的一次方程，整理得α(x －15)＝－x 2＋15x ＋25.易知x ≠15，∴α＝1525152-++-x x x ＝－x ＋1525-x .注：此解法为分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况.如此题变形为α＝ƒ(x )，然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法.上面只介绍了处理整数根问题的常用解法，这些解法的基本依据是：方程有整数根的必要条件. 基本方法是：(1)判别式讨论法(主要讨论由判别式决定的参数范围，由判别式为完全平方数求参数)；(2)韦达定理法；(3)判别式与韦达定理结合法；(4)分离参数法(通过分离参数，利用根为整数的条件讨论).需说明的是，每个题的解法都不是惟一的，本文所给的只是较简洁的一种.同学们在解题时，应因题而定方法，不断求新，才能领悟数学的美感.练习题1. 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程kx ＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数.(第十三届江苏省初中数学竞赛)(k ＝0，k ＝－71，k ＝1) 2. 关于x 的方程(m 3－2m 2)x 2－(m 3－3m 2－4m ＋8)x ＋12－4m ＝0的根均为整数，求实数m 的值.(提示：应用求根消参法，得m ＝1，或m ＝2.)3. 求所有正实数α，使方程x 2－αx ＋4α＝0仅有整数根. (1998，全国初中数学联赛)(提示：分离参数法. α＝42-x x ＝x ＋4＋416-x ，讨论得α＝25，或18，或16).4. 已知方程x 2＋bx ＋c ＝0及x 2＋cx ＋b ＝0分别各有两个整数根x 1、x 2及x ’1、x ’2，且x 1x 2＞0，x ’1x ’2＞0.①求证：x 1＜0，x 2＜0，x ’1＜0，x ’2＜0；②求证：b －1≤c ≤b ＋1；③求b 、c 所有可能的值.(1993，全国初中数学联赛)(提示：应用韦达定理，得⎩⎨⎧==65c b ⎩⎨⎧==56c b ⎩⎨⎧==44c b )5.某顾客有钱10元，第一次在商店买x 件小商品花去y 元，第二次再去买该小商品时，发现每打(12件)降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去2元.问他第一次买的小商品是多少件？(x 、y 为正整数)(提示：列方程128.0102=+-x x y 问题转化为：y 为何值时，方程x 2＋(40－15y )x －150y ＝0有正整数解，利用判别式可求得x ＝5，或x ＝50.)。
2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习绝对值
二、例题
例1.已知方程 ＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值.
解：当x<0时，原方程为－x=ax+1,x= ,∴a+1>0.
∴a>－1；
当x>0时，原方程为x=ax+1,x= ,∴1－a>0.
∴a<1.
∵方程有一个负根并且没有正根，
∴a>－1且a≮1，
∴a的取值范围是a≥1.
例2.求函数y=2 的最小、最大值.
解：当x<0时，y=－x+6；
当0≤x<3时，y=－3x+6；
当x≥3时，y=x－6 .
根据图象有最低点而没有最高点
∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).
例3.解方程：① ； ② .
②点(x)到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.
在数轴上表达，如图：
∴不等式的解集是x>1.
例5.a取什么值时，方程 有三个整数解？
解：化去绝对值符号，得 =±a, =1±a , x－2=±(1±a)，
∴x=2±(1±a) .
当a=1时，x恰好是三个解4，2，0.
用图象解答更直观；
（1）先作函数y= 图象，
解：①∵点（x）到点A（－2）和点B（4）的距离相等（如下图），
∴x=1.
②∵点（x）到点A（－1）与到点B（2）的距离的和等于4， ＝3
∴x=2.5,x=-1.5.
例4.解不等式:①1≤ ≤3； ② .
解：①点（x）到点A（－2）的距离大于或等于1而小于或等于3
在数轴上表达如图，
∴不等式的解集是： －5≤x≤－3或－1≤x≤1
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。
实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。
下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。
Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。
用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。
这时x1=6，x2=4。
解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。
设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。
归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。
例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。
分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。
我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。
解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。
例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。
初中数学竞赛精品标准教程及练习48非负数
初中数学竞赛精品标准教程及练习48非负数教程部分：第一章：数与式的认识1.数的认识和计算（十进制、分数、百分数）2.四则运算的规则和性质（加、减、乘、除）3.代数式的认识和计算（表达式、方程式）4.点、线、面的认识和性质5.常见数的表示方法（科学计数法、循环小数）6.数列的认识和性质（等差数列、等比数列）第二章：方程与不等式1.一次方程的解与应用2.二次方程的解与应用3.一元二次不等式的解与应用4.一次不等式的解与应用5.复合不等式的解与应用6.根与系数的关系第三章：几何与图形1.初中几何基本概念（点、线、面、角、圆）2.相交线的性质与应用（相交线、平行线、垂直线）3.三角形的性质与应用（等腰三角形、直角三角形）4.四边形的性质与应用（矩形、正方形、菱形、平行四边形）5.圆的性质与应用（圆心角、圆周角、弧）6.空间几何与图形的投影应用第四章：函数与图像1.实数的认识和性质2.函数的认识和性质（定义域、值域、图像）3.一次函数的性质与图像（斜率、截距）4.二次函数的性质与图像（开口方向、顶点坐标）5.指数函数与对数函数的性质与图像（增减性、单调性）6.函数的复合与反函数（复合函数、反函数的求解）第五章：统计与概率1.数据的整理和分析（频数、频率、分布图）2.中心与离散的认识和计算（平均数、标准差）3.概率的认识和计算（事件的概率、相互关系）4.抽样与调查的方法与应用（随机抽样、问卷调查）5.实际问题的建立与解决（应用统计与概率知识解决问题）练习部分：第一章练习题目50道，包括选择题、填空题、计算题等，针对数与式的认识和计算。
第二章练习题目50道，包括选择题、计算题、解答题等，针对方程与不等式的解与应用。
第三章练习题目50道，包括选择题、计算题、证明题等，针对几何与图形的性质和应用。
第四章练习题目50道，包括选择题、计算题、图像题等，针对函数与图像的性质和应用。
第五章练习题目50道，包括选择题、计算题、应用题等，针对统计与概率的计算和应用。
2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习数学符号
初中数学竞赛精品原则教程及练习（6）数学符号一、内容提纲数学符号是体现数学语言旳特殊文字。
每一种符号均有确定旳意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表达其他意义。
数学符号一般可分为：1, 元素符号：一般用小写字母表达数，用大写字母表达点，用⊙和△表达园和三角形等。
2, 关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。
3, 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4, 逻辑符号：略5, 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，假如a 除以b 旳商旳整数部份记作Z （b a ），而它旳余数记作R （ba ）， 那么Z （310）＝3，R （310）＝1；又如设[]x 表达不不小于x 旳最大整数，那么[]2.5＝5，[]2.5-＝－6，⎥⎦⎤⎢⎣⎡32＝0，[]3-＝－3。
对旳使用符号旳关健是明确它所示旳意义（即定义）对题设中临时约定旳符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由详细到抽象，逐渐加深理解。
在解题过程中为了简要表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确旳定义，所用符号不要与常规符号混淆。
二、例题例1设[]Z 表达不不小于Z 旳最大整数，＜n>为正整数n 除以3旳余数 计算：①〔4.07〕＋〔－732〕－〈13;〉＋〈2023〉②〈〔14.7〕〉＋〔234><〕。
解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0②原式＝＜14＞＋〔21〕＝2＋0＝2例2①求19871988旳个位数②阐明19871989－19931991能被10整除旳理由解：设N （x ）表达整数x 旳个位数，N （19871988）＝N （74×497）＝N （74）＝1②∵N （19871989）－N （19931991）＝N （74×497＋1）－N （34×497＋3）＝N （71）－N （33）＝7－7＝0∴19871989－19931991能被10整除由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。
初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑷
初一数学竞赛讲座第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
初中数学竞赛教程及练习之二元一次方程的整数解附答案
二元一次方程的整数解【知识精读】1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y yy y 2515101--=-- (1) , 设k k y(51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数）方法二，公式法：设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bkx x 00（x 0,y 0可用观察法）3， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ② 用观察法直接写出。
【分类解析】例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918yy y y y -++=-++=+ 设k y=-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y kx 5399 （k 为整数）又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==2y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
讲解初中数学竞赛试题及答案
讲解初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等数学领域。
下面是一个模拟的初中数学竞赛试题及其答案的讲解。
题目一：代数问题题目：已知 \( a, b \) 为正整数，且满足 \( a^2 - b^2 = 1 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。
答案：根据题目中的等式 \( a^2 - b^2 = 1 \)，我们可以将其转换为 \( (a+b)(a-b) = 1 \)。
因为 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，所以 \( a+b \) 和 \( a-b \) 也必须是正整数，并且它们的乘积为1。
考虑到正整数的性质，可能的组合只有 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)或 \( (2, 1) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)，显然不可能，因为 \( a+b \) 和\( a-b \) 不能同时为1。
对于 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \)，我们可以得到 \( a =\frac{3}{2} \) 和 \( b = \frac{1}{2} \)，但这不是正整数，所以不符合题意。
因此，我们考虑 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \) 或 \( (4, 3) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \)，我们可以得到 \( a = 2.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这同样不是正整数。
对于 \( (a+b, a-b) = (4, 3) \)，我们可以得到 \( a = 3.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这也不是正整数。
但是，如果我们考虑 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \) 的整数解，我们可以得到 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \)，这满足题目要求。
讲解：这个问题考察了平方差公式的应用，通过将等式转换为\( (a+b)(a-b) = 1 \) 并考虑正整数的性质来找到可能的解。
初中数学竞赛精品标准教程及练习56列表法
初中数学竞赛精品标准教程及练习56列表法一、列表法的基本概念1.列表法是一种用表格、列表等形式整理信息的解题方法，适用于一些情景题、排列组合等问题。
2.列表法的优点是能将问题的信息清晰地展示出来，便于分析和求解。
二、列表法的基本步骤1.阅读题目，确定问题的要求和条件，并将其用表格、列表等形式清晰地呈现出来。
2.根据问题的要求和条件，分析所需的信息。
3.列表法的关键是记录信息，可以用表格的形式，也可以用列表的形式。
具体形式可以根据题目的要求进行选择。
4.根据所记录的信息，进行计算和分析，得到问题的答案。
三、列表法的练习题下面列举一些使用列表法解题的练习题，供大家练习。
1.在一个班级里，男生和女生的人数之比为5:7，如果班级总人数为120人，那么男生和女生各有多少人？解法：设男生人数为5x，女生人数为7x。
根据题目条件，可列出如下的表格：男生，女生--------，--------5x，7x根据问题的要求可得：5x+7x=120，即12x=120，解得x=10。
所以男生人数为5x=50，女生人数为7x=70。
2.一个由A、B、C三个字母组成的三位数的各位数字互不相同，且满足A>B>C，那么满足条件的三位数有多少个？解法：根据题目的要求，可以得到以下条件：-A、B、C三个字母代表各位数字，且互不相同。
-满足A>B>C。
我们可以使用列表法来解决问题。
首先，列出所有可能的情况：A，B，C-----，-----，-----1，0，91，2，01，2，9...，...，...通过观察列表，我们可以发现，A的取值范围为1-9，B的取值范围为0-9，C的取值范围为0-9、且A>B>C。
所以满足条件的三位数个数为9*10*9=810个。
四、总结列表法是一种常用的解题方法，在初中数学竞赛中经常会用到。
通过使用列表法，我们可以将问题的信息清晰地展示出来，有助于分析和求解。
在解题时，记得将条件和信息用表格、列表等形式整理出来，这样可以大大提高解题的效率。
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除数的整除是初中数学竞赛中常见的考点之一，在解题过程中需要掌握一些基本的概念和操作方法。
本文将介绍数的整除的基本概念和性质，并附上一些练习题供大家练习。
一、整除的定义对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=c*b，那么我们就说a能够被b整除，b是a的一个因数，同时也说b是a的一个除数，记作b，a。
例如，2能够被4整除，就表示4是2的一个因数。
二、整除性质1.若a能够被c整除，而c能够被b整除，则a能够被b整除。
2.若a能够被b整除，且b能够被c整除，则a能够被c整除。
3.0除以任何非零整数都为0。
4.任何整数除以1都为本身。
5.任何整数除以0是没有意义的，应避免这样的操作。
三、整除的判定方法1.因数的概念：如果a能够被b整除，那么a一定是b的倍数，b一定是a的因数。
2.除数的性质：如果一个数a的除数是b，那么b的倍数一定是a的倍数。
3.余数的性质：如果一个数a除以b的余数为0，那么a一定能够被b整除。
四、整除的应用整除的概念和性质在解决一些实际问题时经常用到。
例如，求一个数的因数或倍数，判断一个数是否是另一个数的因数等等。
在这些问题中，我们可以应用整除性质和判定方法，进行推理和计算。
五、练习题1.一个数能够同时被3和5整除，它最小是多少？2.一个两位数，可以被3整除，这个两位数的十位数字加上个位数字等于6，这个两位数最大是多少？3.一个数同时是4和5的倍数，它最大是多少？解答：1.因为一个数能够同时被3和5整除，那么这个数一定是3和5的公倍数，即这个数是3和5的最小公倍数。
最小公倍数是两个数的乘积除以它们的最大公因数。
由于3和5没有公因数，所以它们的最大公因数是1，最小公倍数是3*5=15、所以这个数最小是152.设这个两位数为10a+b，其中a为十位数字，b为个位数字。
根据题意，有10a+b可以被3整除，且a+b=6、根据整除的判定方法，可以得到10a+b的各个位数之和能够被3整除。
初中数学竞赛精品标准教程及练习56列表法
初中数学竞赛精品标准教程及练习56列表法列表法是初中数学竞赛中常用的解题方法之一、通过将问题中给定的条件、要求逐一列出来，进行分类、整理和分析，从而推导出最终答案。
一、列表法的基本思路1.仔细阅读题目，将题目中给出的条件和要求整理出来。
2.将所有可能的情况列成一个表格或列表，便于分类和分析。
3.根据题目中给出的条件和要求，筛选出符合要求的情况。
4.分析不同情况的特点，寻找规律，从而得出最终答案。
二、列表法的应用举例以一个典型的列表法题目为例，进行详细讲解。
【例题】班有10个学生，他们的年龄都不相同。
其中有个比所有其他人都小的学生，也有个比所有其他人都大的学生。
现在将这10个学生按照年龄从小到大排成一排，请问这两个学生在排列中的相对位置有多少种可能的情况？【解析】1.题目中给出了10个学生，其中有一个最小和一个最大的学生。
2.按照题目要求，将这10个学生排成一排，共有10!种排列情况。
3.通过列表法分析，我们可以得出以下结论：a.最小的学生只能站在最左边，最大的学生只能站在最右边。
剩下的8个学生可以任意排列。
b.另一种情况是最小的学生站在最右边，最大的学生站在最左边。
剩下的8个学生可以任意排列。
4.根据题目条件，最小和最大的学生只能站在两种位置中的一种，剩下的8个学生任意排列。
5.按照排列组合的方法，最小和最大的学生所在的位置共有C(2,1)=2种选择。
6.最小和最大的学生所在的位置确定后，剩下的8个学生可以任意排列，有8!种排列情况。
三、练习题1.在一个正方形网格中，从左上角沿着直线向右下角移动，每次只能向下或向右移动一个单位。
如果从左上角到右下角的路径不经过正方形网格的对角线上的点，那么有多少种不同的路径？2.小明有8只相同的红球和6只相同的白球，将它们放入一个盒子中。
从盒子中随机取出球，每次只能取一只。
如果取到的是红球，小明得1分；如果取到的是白球，小明得2分。
那么，小明能够得到的分数有多少种可能的情况？3.求方程9x+7y=250的所有正整数解。
五四知识竞赛初中数学试卷
1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. 0D. -52. 下列方程中，解为整数的是（）A. x - 3 = 2B. x^2 - 4 = 0C. 2x + 1 = 0D. x^2 + 3x + 2 = 03. 一个长方形的长是8cm，宽是5cm，它的周长是（）A. 18cmB. 23cmC. 26cmD. 33cm4. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 平行四边形D. 三角形5. 下列各数中，不是有理数的是（）A. -1/3B. 0.333...C. √4D. π6. 一个数的平方是25，那么这个数是（）A. 5B. -5C. 5或-5D. ±57. 下列代数式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^28. 下列几何图形中，中心对称图形是（）A. 矩形B. 菱形C. 等腰三角形D. 正五边形9. 下列分数中，最简分数是（）A. 8/12B. 6/9C. 5/7D. 4/1010. 下列算式中，计算正确的是（）A. 3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17B. 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16C. 2^2 × 3^2 = 4 × 9 = 36D. 4^2 ÷ 2^2 = 16 ÷ 4 = 411. -5与5的相反数分别是_________和_________。
12. 下列各数中，负数是_________。
13. 下列各数中，小数部分是0.6的是_________。
14. 下列各数中，能被2整除的是_________。
15. 下列各数中，能被3整除的是_________。
16. 下列各数中，能被5整除的是_________。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第5讲一元二次方程的整数整数解
第五讲一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各种数学比赛中，一元二次方程的整数解问题向来是个热门，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知知趣联合，波及面广，解法灵巧，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根下手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从鉴别式手，运用鉴别式求出参数或解的取值范围，或引入参数 (设△ = k 2 )，经过穷举，迫近求解；从韦达定理下手，从根与系数的关系式中消去参数，获得对于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从更改主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既波及方程的解法、鉴别式、韦达定理等与方程有关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识亲密有关．【例题求解】【例 1】若对于x的方程 (6k )(9)x2 (11715 )x540的解都是整数，则切合条件的整k k数是的值有个．思路点拨用因式分解法可获得根的简单表达式，因方程的种类未指明，故须按一次方程、二次方程两种情况议论，这样确立是的值才能全面而正确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，依据问题的题设条件，看能否要分类议论．【例 2】已知 a 、 b 为质数且是方程x 2 13x c0 的根，那么b a的值是 ()a bA ．127125123121 B．22C．D．222222思路点拨由韦达定理 a 、b的关系式，联合整数性质求出 a 、b、 c 的值．【例 3】试确立全部有理数r ，使得对于x 的方程rx2(r 2) x r 10 有根且只有整数根．思路点拨因为方程的种类未确立，因此应分类议论．当r 0 时，由根与系数关系获得关于 r 的两个等式，消去r，利用因式 (数 )分解先求出方程两整数根．【例 4】当m为整数时，对于x的方程(21)x 2(2m1)x10能否有有理根 ?假如有，m求出 m 的值；假如没有，请说明原因．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完整平方数．设△ = ( 2m 1)24(2m 1) 4m24m 5 (2m 1)2 4 n 2 ( n为整数 )解不定方程，议论m 的存在性．注：一元二次方程 ax2bx c0 (a≠ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△= b 24ac 为完整平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例 5】若对于x的方程 ax22(a 3)x (a 13)0 起码有一个整数根，求非负整数 a 的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的 a 的两个关系式中消去 a 也较困难，又因a 的次数低于 x 的次数，故可将原方程变形为对于 a 的一次方程．学历训练1．已知对于x的方程 (a1)x22x a10 的根都是整数，那么切合条件的整数 a 有．2．已知方程 x21999x m0 有两个质数解，则m＝．3．给出四个命题：①整系数方程ax2bx c0 (a≠ 0)中，若△为一个完整平方数，则方程必有有理根；②整系数方程 ax2bx c0(a≠ 0)中，若方程有有理数根，则△为完整平方数；③无理数系数方程ax2bx c0 (a≠ 0)的根只好是无理数；④若 a 、b、 c 均为奇数，则方程 ax2bx c 0没有有理数根，此中真命题是．4．已知对于x 的一元二次方程x2(2a1)x a 20( a为整数 )的两个实数根是x1、 x2，则 x1x2=．5．设 rn 为整数，且 4<m<40 ，方程 x22(2m3) x4m214m8 0 有两个整数根，求 m 的值及方程的根． (山西省比赛题 )6．已知方程 ax2(3a 28a)x2a 213a 150 (a≠0) 起码有一个整数根，求 a 的值．7．求使对于x的方程 kx2(k1) x k10 的根都是整数的k 值．8．当n为正整数时，对于x 的方程2x28nx10x n235n760的两根均为质数，试解此方程．9．设对于x的二次方程 ( k26k 8) x2(2k 26k4)x k2 4 的两根都是整数，试求知足条件的全部实数 k 的值．10．试求全部这样的正整数 a ，使得方程ax22( 2a 1) x 4(a 3)0 起码有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程x2 2 px p 2 5 p10 的两根都是整数，求出p 的全部可能值．0 及x2cx b0 分别各有两个整数根x1、 x2及x1、x2，且12 ．已知方程x2bxcx1 x2>0， x1 x2>0．(1)求证： x1 <0, x2 <0 ， x1 <0, x2 < 0；(2)求证： b 1 c b 1 ；(3)求 b 、c全部可能的值．13．假如直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx22x m 1 0 的根 ( m为整数 )，这样的直角三角形能否存在?若存在，求出知足条件的全部三角形的三边长；若不存在，请说明原因．参照答案。
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初中数学竞赛精品标准教程及练习54整数解整数解是指能够满足一个等式或不等式的整数值。
在初中数学竞赛中，整数解是经常涉及的一个概念，因此掌握解决整数解的方法对于竞赛备考
非常重要。
本文将介绍有关整数解的基本概念、解决整数解问题的方法和
一些例题。
一、整数解的基本概念
对于一个等式或不等式，如果存在一个符合条件的整数值，那么这个
整数值就是该等式或不等式的整数解。
对于一般的算式，可以通过代入整
数值验证是否成立。
二、解决整数解问题的方法
1.穷举法：对于给定的整数范围，可以通过穷举法逐个尝试每一个整
数值，检验是否满足等式或不等式的条件。
这种方法适用于范围较小的问题，但可能会耗费较多时间。
2.分析法：通过对等式或不等式进行逻辑推理，结合数学性质和规律，找出能够满足等式或不等式条件的整数解。
这种方法需要较强的数学思维
和推理能力，适用于范围较大或复杂度较高的问题。
3.利用数学工具：对于一些特定类型的问题，可以利用数学工具如代
数方程、不等式、模运算等进行求解。
这种方法需要具备一定的数学知识
和技巧，适用于特定的问题类型。
三、例题解析
下面通过一些例题来说明解决整数解问题的方法。
例题1：求使方程2x+1=9成立的整数解。
解法1：穷举法。
在给定的整数范围内逐个尝试，发现当x=4时，方
程成立，所以解为x=4
解法2：分析法。
观察方程2x+1=9，可以发现当x=4时，等式两边相等。
所以解为x=4
例题2：求满足不等式2x+1<9的整数解。
解法1：穷举法。
在给定的整数范围内逐个尝试，发现当x=3时，不
等式成立，而当x=4时，不等式不成立。
所以解为x=3
解法2：分析法。
观察不等式2x+1<9，可以推导出x<4、根据整数解
的定义，x最大为3，所以解为x=3
例题3：求满足方程x^2-5x+6=0的整数解。
解法1：代数法。
将方程化简为(x-2)(x-3)=0，由此可得x=2或x=3、所以解为x=2或x=3
解法2：分析法。
观察方程x^2-5x+6=0，可以使用因式分解将方程化简。
根据整数解的定义，x只能取整数值2或3、所以解为x=2或x=3。