3.1.2函数的表示法+教案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
人教A版必修第一册3.1.2函数的表示法PPT课件
课本P72,习题3.1 3 ， 7 P101 7
例如，当x=2时， M(2)=max{f(2),g(2)}=max{3,9}=9,请分别用图 像法和解析法表示M(x)
P73页13.函数f (x) [x]的函数值表示不超过x的最大整数， 例如，[3.5] 4，[2.1] 2.当x (2.5,3]时， 写出函数f (x)的解析式，并画出函数的图像。
2.求抽象函数的定义域的方法：
已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域:
已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域:
(1)定义域是指x的取值范围; (2)f(x)与f(g(x))这两个括号的范围是一致的
探索点二 求函数的值域 (金版 P49)
【例 2】 (1)函数 y= 的值域为 (-∞,2)∪(2,+∞) .
4
x, x 0
3
y x, x 0
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
在定义域内不同部分上,有不同的 解析表达式的函数通常叫做分段函数
分段函数：对于一个函数，在定义域的不同部 分，有不同的表达式，图象由不同的几段构成.
（1）分段函数是一个函数， 不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的 并集，值域是各段值域的并集．
测 试
成绩 序 第1次
号 姓名
第2次
第3次 第4次
第5次 第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
3.1.2函数的表示法-高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
= 0.8 × 189600 − 117360 = 34320.
将t的值代入(1)中，得y = 0.03 × 34320 = 1029.6.
所以，小王应缴纳得综合所得税税额为1029.6元.
练习巩固
2x + 1，x < 1，
练习1：已知函数f(x) =
则f(9) =( )
f(x − 3)，x ≥ 1，
(1)在同一直角坐标系中画出f(x)，g(x)的图象；
解：在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象.
练习巩固
例6：给定函数f(x) = x + 1，g(x) = (x + 1)2 ，x ∈ R，
(2)∀x ∈ R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x) = max{f(x)，g(x)}.
解：由2 (−) + () = ，①
可得2 + − = −.②
联立①②，得：f x = −x.
小结
解析法
常用表示法
列表法
图像法
函数的表示法
定义
分段函数
图像
函数的实际应用
练习巩固
例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国
个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年１月１日起，个税税
额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所
得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收
复习导入
新知探究
问题1：我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是三种
方法吗？
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
3.1.2 函数的表示法(一)课件- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
∴ 2f
消去f
1
x
1
x
+f x
1
x
1
f
x
1
=
x
解得 = −2 + 1 ．
= x x ≠ 0 ，求f x 的解析式.
=x x≠0 ，
Байду номын сангаас
x≠0 ，
，解得f x =
2x
3
−
1
，x
3x
≠ 0.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
方法总结
当同一个对应关系f 中的两个变量之间有互为相反数
1
（或互为倒数）关系时，可以用−x(或 )代替原式中的x
x
所得方程与原方程联立构造方程组求解．
，
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
角度3 赋值法求函数解析式
例6：已知对任意实数x，y都有f x + y − 2f y = x 2 + 2xy − y 2 + 3x − 3y，
求函数f x 的解析式.
2
x
x
x
1
2
1
+ +1 −2 +1 +3
x2
x
x
2
1
1
+ 1 − 2 + 1 + 3,
x
x
1
1 2
1
f 1+ = 1+
− 2 1 + + 3，
x
x
x
1
2
f x = x − 2x + 3. 又∵ 1 + ≠ 1,
x
高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2第1课时函数的表示法学案含解析第一册
3。
1。
2 函数的表示法第1课时函数的表示法学习目标核心素养1。
掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点）1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养。
(1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．（2)如图是我国人口出生率变化曲线:(3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780。
3980.1210.050。
01问题：根据初中所学知识，请判断问题（1)、(2）、（3）分别是用什么法表示函数的?提示：解析法、图象法和列表法．函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗?提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此,图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝错误!列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”)（1)任何一个函数都可以用解析法表示．(）(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．（）[答案](1)×(2)×2．已知函数f(x）由下表给出，则f（3）等于(）x1≤x<222<x≤4f(x)123A。
1B．2C．3D．不存在C[∵当2〈x≤4时，f(x)＝3，∴f（3）＝3。
]3．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其定义域是______．［－2,3］［由图象可知f（x）的定义域为[－2，3］．］4．若f(x)＝x2＋bx＋c,且f（1）＝0，f（3）＝0，则f（－1)＝________。
3.1.2.1 函数的表示法 课件-人教A版高中数学必修第一册
温故知新
函数的概念
定义域 函数定义域的求法
函数的三要素 值域
对应关系f
函数的符号表示 y=f(x)
特殊函数的定义域、值域
同一函数的判断
区间的表示
新课导入
回想函数的表示方法有哪几种？
解析法，列表法，图象法.
用图象表示两个变量之 间的对应关系
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
笔记本数m 1 2 3 4 5
5
钱数y 5 10 15 20 25
0 1 2 34 5
m
在用三种方法表示函数时要注意：
【1】解析法必须标明函数的定义域 【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系 【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”
（1）比较函数的三种表示法，它们各有什么特点？ （2）所有函数都能用解析法吗？列表法与图像法 呢？请你举出实例加以说明
同学的成绩变化情况.如果将每位同学的成绩和测试序号之间的函数关系分别用
图像表示出来，就可以直观的看到他们成绩变化的情况.
【分析】从图像中我们可以直观地看到：王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅， 张城同学的成绩波动较大，赵磊同学的成绩整体有下降趋势，但三位同 学的成绩基本上都大幅领先于班级平均水平.
(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类 型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待 定系数，进而求出函数解析式.
(3)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析 式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求 出f(t)，从而求出f(x).
类型二 图象法表示函数
最新人教A版高中数学必修一课件：3.1.2 第一课时 函数的表示法
【对点练清】 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，
值域是________． 解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]． 答案：[－3,3] [－2,2]
2．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)． 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图1. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1 之间的部分后剩余曲线．如图2.
3．1.2 函数的表示法
明确目标
发展素养
1.掌握函数的三种表示方法：解 1.通过用图象法表示函数，培养直观想
析法、图象法、列表法． 象素养．
2.会根据不同的需要选择恰当的 2.通过求函数解析式及分段函数求值，
方法表示函数．理解函数图象 培养数学运算素养．
的作用． 3.利用分段函数解决实际问题，培养数
【学透用活】 [典例 3] 求下列函数的解析式： (1)已知函数 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)； (2)已知函数 f(x)是二次函数，且 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求 f(x)．
题型三 函数解析式的求法 [探究发现] (1)什么是函数解析式？ (2)一次函数、二次函数、反比例函数的解析式各是什么？ 提示：(1)用数学表达式表示两个变量 x，y 之间的对应关系． (2)一次函数的解析式是 y＝kx＋b(k≠0)，二次函数解析式是 y＝ax2＋bx＋
c(a≠0)，反比例函数的解析式是 y＝kx(k≠0)．
()
第三章-3.1.2 函数的表示法高中数学必修第一册人教A版
1, 为有理数,
分别定义如下：对任意的 ∈ ，函数 = ቊ
称为狄利克雷函数；记
0, 为无理数,
[]为不超过的最大整数，则称 = []为高斯函数.下列关于狄利克雷函数与高斯
函数的结论，错误的是( C
A.
=1
C. + − = 0
)
B. + 1 =
（1）写出函数的解析式；
【解析】由题设条件知，当 = 2时， = 100，当 = 14时， = 28，代入关系式得
2
2 + = 100,
= 1,
൞
解得ቊ
= 196.
14 + = 28,
14
所以 =
196
+ .
又 ≤ 20，且为正整数，所以函数的定义域是{|0 < ≤ 20， ∈ + }．
围，否则易出错），则 = − 1 2 ，所以
= −1
2
+ 2 − 1 = 2 − 1 ≥ 1 ,
所以函数 的解析式为 = 2 − 1 ≥ 1 .
方法2 （配凑法）
+ 1 = + 2 = + 2 + 1 − 1 = ( + 1)2 − 1.
= ( + ) = ( + ) + = 2 + + = 4 + 6,
= 2, = −2,
2 = 4,
于是有ቊ
解得ቊ
或ቊ
= −6,
=2
+ = 6,
所以 = 2 + 2或 = −2 − 6.
高一数学人教A版选择性必修第一册3.1.2函数的表示法 课件【共17张PPT】
=34320
将t的值代入③，得 y=0.03×34320=1029.6
所以, 小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元。
同学们，函数的表示方法有哪几种？你能谈谈 它们的优缺点吗？
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对 应关系. 如3.1.1的问题3.
这三种方法是常用的函数表示法 .
例4 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2， 3，4，5})个笔记本需要 y 元 . 试用函数的三种 表示法表示函数y=f(x).
解：这个函数的定义域是数集{1, 2, 3, 4, 5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y
4 3 2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
例6 给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R，
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x) , g(x)的图象； 解: (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x) , g(x)
的图象，如图。
例6 给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R， (2)任意x∈R，用M(x)表示 f(x) , g(x) 中的较大者，
解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又 简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究 . 但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函 数的解析式． 列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然， 查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的 所有值与其对应的函数值都列在表中．
图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情 况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而 且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能 得到它的完整图像．
函数的概念(第三课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 3 4 5 6 7 8 9 10
3.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图
象写出一件事．
(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了
作业本再上学； D
(2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些
98 90 68 88．2
87 76 65 78．3
91 88 73 85．4
92 75 72 80．3
88 86 75 75．7
95 80 82 82．6
想一想：上面的表格表示一个函数吗？
解：将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图 象表示出来,如下图：
y
班 平 均 分
王伟 张城
赵磊
1
2
0
3
4
3.1.1函数的表示法
阅读课本93
回答下列问题： 1.函数的表示方法有几种？分别是哪些方法？
2.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记 本需要y元.试用函数的表示法表示函数y=f(x).
例.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔 记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).
狄利克雷函数 高斯取整函数 最值函数 绝对值函数
x 6.89 5 π -1.5 -2
y
例1. 例2.
自我检测
1. 如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果 矩形的一边长为xcm，面积为ycm2，把y表示为x的函数．
A
D
B
x
C
2.下列表格表示的是函数y=g(x),求出g(-2),g(g(0))的值.
【课件】函数的概念课件2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
y ax2 bx c, (a 0)
设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x的每一 个值, 都有唯一的y值与它对应, 那么就说y是x的函数。
x叫做自变量。
[例题观察①] 高铁加速到350km/h之后保持匀速运行半小 时，这段时间内，列车行进的路程S(km)与运行时间t(h)之间 的关系可以表示成S=350t，这里S是t的函数.其中，t的变化 范围是数集A={t|0 ≤ t ≤ 0.5},S的变化范围是数集B={S|0 ≤ S ≤ 175}.对于数集A中的任何一个时刻t，按照对应关系S=350t， 在数集B中都有唯一确定的S与之对应
(2) 9.33 ℃ .
3. 集合A，B与对应关系f如下图所示: f : A→B是否为从集合A到集合B的函数? 如果是，那么定义域、值域与
对应关系各是什么?
解：f: A→B是从集合A到集合B的函数， 定义域为A={1, 2, 3, 4, 5}； 值域为B={2, 3, 4, 5}； 对应关系f为问题中的Venn图.
恩格尔系数r（%） 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
思考 你认为按上表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
解：是函数. 因为变量y的变化范围是数集A4={2006,…,2015}，r的 变化范围是数集B4={r|0<r≤1}. 对于数集A4中任一年份y，按照表格所给 定的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应. 因此r 是y的函数.
(1)求函数的定义域.（2）求 f (3), f (2) 的值.
3
解：（1） x+3 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}
1 有意义的实数x的集合是{x|x≠-2} x+2
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 第1课时 函数的表示法学案(含解析)新人教A版必修第
3．1.2 函数的表示法第1课时函数的表示法[目标] 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．[重点] 函数解析式的求法及函数图象的画法．[难点] 求函数解析式的两种通法．知识点函数的表示法[填一填]函数有解析法、列表法、图象法三种表示法．(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．[答一答]1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．2．函数的三种表示方法各有什么优点？提示：解析法：简单、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值；图象法：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势，便于研究函数的性质；列表法：查询方便，不需计算便可得自变量对应的函数值．3．作出函数y＝x2－3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}的图象．提示：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：类型一列表法表示函数[例1]已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.[分析]这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．[解析]由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2，∴x＝1.[答案]1 1列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算.[变式训练1](1)在例1中，函数f(x)的定义域是{1,2,3}，值域是{2,1};_f(1)＝2；若f(x)＝1，则x＝2或3.(2)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g (f (2))＝1；f (g (2))＝3.解析：(2)∵f (2)＝3，g (2)＝2，∴g (f (2))＝g (3)＝1，f (g (2))＝f (2)＝3.类型二 图象法表示函数[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[分析] 列表⇒描点⇒用平滑曲线连成图象⇒观察图象 求得值域. [解] (1)列表：x 0 12 1 32 2 y12345描点，作出图象(如图)．当x ∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)列表：x 2 3 4 5 … y1231225…描点，作出图象(如图)．当x ∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]．(3)列表：x －2 －1 0 1 2 y－138描点，作出图象(如图)，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数图象应注意：(1)在定义域内作图，即树立定义域优先的意识；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.[变式训练2]作出下列函数图象，并求其值域．(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0,1,2}．所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．由图象可知，y∈[－5,3)．类型三 解析法表示函数[例3] 求函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )； (3)已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． [解] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4.解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法1：(配凑法)因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)． 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法2：(换元法) 令x ＋1＝t (t ≥1)． 则x ＝(t －1)2(t ≥1)． 所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1(t ≥1)．所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x ＝1x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x. 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．求函数解析式的方法：(1)代入法：已知f (x )的解析式，求f [g (x )]的解析式常用代入法.(2)配凑法：已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式时，可先从f [g (x )]的解析式中拼凑出“g (x )”，即把“g (x )”作为整体，再将解析式的两边的g (x )用x 代替即可求得f (x )的解析式.(3)换元法：已知f [g (x )]的解析式，要求f (x )的解析式时，可令t ＝g (x )，利用t 表示出x ，然后代入f [g (x )]中，最后把t 换为x 即可.注意换元后新元的范围.(4)待定系数法：已知f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据函数类型先设出函数解析式，再代入关系式，利用恒等式求出待定系数即可.[变式训练3] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x 2，求f (x )；(2)已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，求g (x )的表达式．解：(1)设t ＝1x ，则x ＝1t(t ≠0)，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t1－⎝⎛⎭⎫1t 2＝tt 2－1(t ≠0)， 故f (x )＝x x 2－1(x ≠0)．(2)由g (x )为一次函数， 设g (x )＝ax ＋b (a >0)，∵f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，∴(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，从而a 2＝4,2ab ＝－20，b 2＝25，解得a ＝2，b ＝－5， 故g (x )＝2x －5(x ∈R )．1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为( D ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x ＋1解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，f (x )＝－x ＋1.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图所示的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))＝( B )x 1 2 3 f (x )23A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由函数图象可知g (2)＝1，由表格可知f (1)＝2，故f (g (2))＝2. 3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式为f (x )＝3x ＋2. 解析：解法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，∴f (x )＝3x ＋2.解法二：∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.4．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是y ＝80x 2＋800x,_x ∈(0，＋∞)．解析：由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0，化简为：y ＝80x 2＋800x ，x ∈(0，＋∞)．5．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．解：用列表法表示如下：x/台1234 5y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000 用图象法表示，如图所示．用解析法表示为y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．——本课须掌握的三大问题1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．。
函数的表示法+(第1课时)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课中探究
(2)图像法:
(3)解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.
课中探究
变式 已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3},如下表所示:
x
1
2
3
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
g(x)
1
3
2
则下面的表格中应填入的三个数依次为
x
1
2
(
C
)
3
g[f(x)]
A.1,2,3
B.3,1,2
−1, ∈ ∁ R Q.
(2)函数的图像一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.
(
× )
[解析] (2)函数图像可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.如
1
f(x)= 的图像就不是连续的曲线.
课前预习
(3)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图像相同.
(
×
)
[解析] (3)两函数的定义域不同,则图像不同.
课中探究
变式 作出下列函数的图像,并指出其值域.
(1)y=x+1(x∈Z);
(2)y=-x2+x(-1≤x≤1);
2
(3)y= (-2≤x≤1且x≠0).
解:(1)该函数的图像由一些点组成,这些点都在直线y=x+1上,部分图像如图①所
示,其值域为{…,-1,0,1,2,3,4,…}.
课中探究
2
示李老师与学校的距离(千米).
图3-1-2
课中探究
探究点三
函数解析式的求法
角度一 待定系数法求解析式
高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法讲义新人教A版必修第一册
3.1.2 函数的表示法最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识点一 函数的表示法状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点二 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．状元随笔 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x≤0，x ，0<x≤3，其“段”是不等长的．[教材解难]教材P 68思考(1)三种表示方法的优缺点比较优点 缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)．[基础自测]1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…}) D．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 解析：题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4解析：方法一 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2.∴f (x )＝3x ＋2.方法二 ∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.答案：A4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x 12 3f(x)21 1x 12 3g(x)32 1则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：1 1题型一函数的表示方法[经典例题]例 1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．x 12 3f(x)23 1【解析】(1)所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x/台12345678910y/元 3 000 6 0009 00012000150001800021000240002700030000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．状元随笔本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．题型二求函数的解析式[经典例题]例2 根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，求f (x )；(2)f (x )是二次函数，且f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3，求f (x )．【解析】 (1)设t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝t t 2－1， 故f (x )＝xx 2－1(x ≠0且x ≠±1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3. 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.所以f (x )＝－12x 2＋x －3.(1)换元法：设1x＝t ，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax 2＋bx ＋c.跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________； (2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 解析：(1)因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)． (2)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：(1)f (x )＝x 2－4(x ≥2) (2)2x －13或－2x ＋1(1)换元法 设x 2＋2＝t. (2)待定系数法 设f(x)＝ax ＋b.题型三 求分段函数的函数值 [经典例题] 例3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2(|x |≤1)，11＋x 2(|x |>1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12B.413 C ．－95 D.2541(2)已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________.【解析】 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋94＝413，故选B.判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． (2)因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))中， 即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3中，得f (13)＝10， 故f (8)＝f (10)＝10－3＝7. 【答案】 (1)B (2)7 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)，π (x ＝0)，0 (x <0)，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0，∴f (f (－1))＝f (0)＝π，∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1. 根据不同的取值代入不同的解析式．题型四 函数图象[教材P 68例6]例4 给定函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2，x ∈R ， (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象；(2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}． 例如，当x ＝2时，M (2)＝max{f (2)，g (2)}＝max{3,9}＝9. 请分别用图象法和解析法表示函数M (x )．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象(图1)．(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M (x )的定义，可得函数M (x )的图象(图2)． 由(x ＋1)2＝x ＋1，得x (x ＋1)＝0.解得x ＝－1，或x ＝0. 结合图2，得出函数M (x )的解析式为 M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1<x ≤0，(x ＋1)2，x >0.状元随笔 1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)； 2．结合图象，图象在上方的为较大者； 3．写出M(x). 教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，先用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式⎝⎛⎭⎪⎫其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ，确定抛物线的开口方向(a >0开口向上，a <0开口向下)、对称轴(x ＝h )和顶点坐标(h ，k )，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者．跟踪训练4 作出下列函数的图象： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ； (2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x <3； (3)y ＝|1－x |.解析：(1)函数y ＝－x ＋1，x ∈Z 的图象是直线y ＝－x ＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x <3，故函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的部分，如图(b)．(3)因为y ＝|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．(2)先求对称轴及顶点，再注意x 的取值(部分图象)．(3)关键是根据x 的取值去绝对值．解题思想方法 数形结合利用图象求分段函数的最值 例 求函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|的最小值． 【解析】 y ＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1.作出函数图象如图所示：由图象可知，x ∈[－1,1]时，y min ＝2.【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错． 答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]． 答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /张 1 2 3 4 5y /元 20 40 60 80 100(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}．9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )；(2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)；(2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧ …－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。
人教A版高中数学必修第一册第3章3-1-2第2课时分段函数课件
月份
1
2
3
合计
计费金额/元 114 75
45.6
234.6
问：小赵家第一季度共用电多少？
[解] (1)当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝ 0.57x； 当x>100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费， 可得y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93．
×
(2)分段函数有多个定义域． ( )
×
(3)分段函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线 ．
()
×
(4)函数f (x)＝|x|可以用分段函数表示．( )
√
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 分段函数的求值问题 类型2 分段函数的图象及应用 类型3 分段函数的实际应用
◆ 类型1 分段函数的求值问题
√ √
BD [由题意知函数f (x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1
时，f (x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f (x)的取值范围是
[0，4)，因此f (x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x＝1时，f (1)＝
12＝1，故C错误；当x≤－1时，f (x)＝x＋2＝1⇒x＝－1，当－1<x<2
发现规律 分段函数的建模 (1) 当 目 标 在 不 同 区 间 有 不 同 的 计 算 表 达 方 式 时 ， 往 往 需 要 用 _分__段__函__数__模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需 要分__段__画__． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的_各__分__界__点_，即明确自变量 的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解 析式．
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教学课题：3.1.2 函数的表示法课型：新授课课时：2课时
课标要求：
1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法，列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用；
2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
学习目标：
1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图象和解析式之间相辅相成的关系；
2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
3、发展学生直观想象、逻辑推理核心素养。
重点：了解简单的分段函数，并能简单应用。
难点：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学方法：启发式、自主探究式相结合
教学准备教师：多媒体课件学生：
教学过程
一、复习旧知、引入新课
引入1：（师）你还记得初中我们学习过的函数的表示方法有哪些？
（生）解析法、列表法和图像法
引入2：（师）你能分辨下列函数是用什么方法表示的吗？
（1）3.1.1的问题3：北京市2016年11月23日空气质量指数(AQI) I和时间t的关系;
（生）图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
（2）3.1.1的问题4：恩格尔系数r与年份y的对应关系;
年份y2006200720082009201020112012201320142015
恩格尔系r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57
（生）列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.
（3）3.1.1的问题1：路程和时间的对应关系，s=350t，t{00.5}
∈≤≤
t t
（生）解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
设计意图：学生对初中学过的三种函数表示方法已经比较熟悉了，但是接触的例子有所欠缺，所以教师应引导学生回顾具体的例子，为学生深入研究这3种方法打下基础。
二、创设情境、提出问题
x x∈个笔记本需要y元，试用列表法和图情境1某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})
像法表示函数y=f(x).
解析：用列表法可将y=f(x)表示为
笔记本数x12345
钱数y510152025
用图象法发可将y=f(x)表示为
追问1（师）你发现图象上这些点有什么特征？
（生）这些点好像都经过一条直线。
追问2（师）那你能写出它的解析式吗？
x∈,可以看出确实是一次函数上的几个点。
（生）y=f(x)的解析式可写为y=5x,{1,2,3,4,5}
问题1：（师）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？
优点缺点
解析法 1.简明 2.抽象 1.有规律 2.不直观 列表法 直观形象
1．离散 2.点“少” 图像法
1.直观形象
2.变化趋势
1.不精准
2.不全面
问题2：（师）任何一种函数都可以用解析法、列表法和图象法表示吗？
（生）不一定，只有有规律的函数才能用解析法表示，离散型的函数才能用表格表示，理论所有函数都有图像，但是当自变量是无理数时，我们很难画出函数图象。
设计意图：此情境时一个比较简单的问题，教师可以让学生自己动手去做，教师的主要任务是引导学生体验函数三种表示方法的优缺点，为后面学生选择方法作铺垫。
三、例题练习、巩固理解 例1 画出函数y x =的图象 变式训练：画出函数2y x =-的图象
例2 给定函数2()1,()(1),f x x g x x x R =+=+∈ （1） 在同一直角坐标系中画出f(x),g(x)的图像； （2）x R ∀∈，用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者，记为 M(x)=max{f(x),g(x)}.
例如，当x=2时，M(2)=max{f(2),g(2)} =max{3,9}=9. 请分别用图象法和解析式法表示M(x)
设计意图：例1和例2给了两种典型的分段函数：绝对值函数和求最大函数。
我们要分析出绝对值函数的变化趋势必须画图象，体现以形助数的思想；我们要想画出最大函数的函数图象，必须结合解析式，体现了以数辅形的思想。
所以这两个例子不仅让学生了解了简单的分段函数，还可以发展学生直观想象的能力，是本节课的重点。
四、选择方法、情境应用
情境2 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试成绩
姓名
第1次第2次第3次第4次第5次第6次王伟988791928895
张城907688758680
赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6
请对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做分析.
解析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不容易看出每位同学的成绩的变化情况.可将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示，如图，可以较直观地看到成绩变化情况.
由图可知王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定.张诚同学成绩不稳定，在班级平均水平上下波动，且幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于平均水平，但是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的数学成绩在稳步提高.
设计意图：学生对数学知识的掌握有时候是很机械的，只会记忆，并不知道如何应用到生活当中去，于是我们应该引导学生用数学解决实际生活中的问题。
情境3依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税)。
2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数①。
应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除 ②。
其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元。
税率与速算扣除数见下表。
级数 全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1 [0，36 000] 3 0
2 (36 000，144 000] 10 2520
3 (14
4 000，300 000] 20 16920 4 (300 000，420 000] 2
5 31920 5 (420 000，660 000] 30 52910
6 (660 000，960 000]
35 85920 7
(960 000，+∞)
45
181920
（1） 设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额为y ，求 y=f(t)，并画出图象。
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 解析：（1） 根据上表，可得函数y=f(t)的解析式为
根据上表，可得函数y=f(t)的图象为
⎪
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧
>-≤<-≤<-≤<-≤<-≤<-≤≤=960000
,
18192045.0960000
660000,8592035.0660000420000,529203.0420000300000,
3192025.0300000144000,169202.014400036000,25201.0360000,03.0t t t t t t t t t t t t t t y
解析：根据公式②，小王全年应缴纳所得额为
t=189600－60000－189600(8%+2%+1%+9%)－52800－4560
=0.8×189600－117360
=34320
将t的值代入③，得
y=0.03×34320=1029.6
所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元。
设计意图：学生特别害怕长文字的问题情境，所以在此处，教师应该先给出时间让学生阅读题干，找出关键信息。
教师只需要在学生的困难的点进行引导即可。
五、小结提升、形成结构
学习了本节课，你有什么收获？。