组合数学第09讲_游戏策略对称规律(教师版)A4

组合数学第09讲_游戏策略对称规律

一．对称取物

假设有两堆东西，数目分别为m、n（m>n），甲、乙轮流从中取东西，规定每次可

从任一堆中取出若干东西，谁取到最后一个算胜．这类游戏的必胜策略是：考虑第一次从

第一堆中取m−n个，那么剩下的两堆东西数量就一样多了，后面紧接着取和对方不同堆

但是数量相同的东西，则必然可以取到最后一个．

二．中心对称

假设存在m个东西，两个人轮流去取，规定每次可以取1~n个，谁取到最后一个谁就胜．这类游戏的必胜策略是：考虑第一次取那些可以让剩下的所有东西刚好中心对称，那

么下次对方取那些东西，就接着取和其中心对称的那些，这样必然可以取到最后一个．

重难点：对称规律是游戏策略中比较重要的一种方法，学会构造对称．

题模一：对称取物

例1.1.1有分别装球73个和118个的两个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一球者为胜．问：若要先取者为获胜，应如何取？

【答案】见解析

【解析】先取者应不断地让后者在取球之前，使两箱的球处于平衡状态，即每次先取者取之后，使两箱球保持相等．这样，先取者一定获胜．

例1.1.2甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆有2009枚，一堆有2014枚．甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可．规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币．如果甲先拿，那么谁有必胜策略？请说明理由．

【答案】甲必胜

【解析】甲先从2014个金币中取出5个金币，使两堆金币一样多．之后每次乙拿几个金币，甲就在另一堆中拿相同数量的金币，最后肯定甲拿走最后一个金币，甲获胜．

例1.1.3甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）．规定新画的对角线不能与已经画出的对角线相交，谁不能继续画谁输．甲先画，请问谁有必胜策略？必胜策略是什么？

【答案】甲必胜

【解析】策略是先画一条经过正十二边形中心的对角线，以它为对称轴，把图形分成对称

的两部分．之后乙每画一条对角线，甲就在对称的位置上画出对角线．最后肯定是乙不能

继续画，甲胜．

例1.1.4在放置有若干个小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人

每次可以选择某一木格中的任意数目的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当所有的小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获

胜．面对如图所示的局面，那么，为确保获胜，先手第一步应该移动____________号木格

中的_________个小球．

【答案】1；2

【解析】先手只要能保证1号和3号球数相同就能保证自己获胜，必须将2号取出2个，

以后只要保证3号和1号相同就能获胜．

题模二：中心对称

例1.2.1两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币

不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．问：先放者______取

胜？

【答案】先在桌面中心放一枚，无论后放者放在哪里，先放者放在与之关于中心对称的位

置上

【解析】如果甲第一枚硬币放在桌子正中央，那桌子尚未被硬币盖住的部分是一个中心对

称图形，之后每当乙放置好一枚硬币之后，甲可以把硬币放在乙放的硬币关于桌子圆心对

称的地方（如下图），这样只要乙能放硬币，那么甲也可以放，所以当最后桌子上不能再

放置硬币时，一定是乙无法再放，所以甲胜． 例1.2.2桌子上摆着一排13个小球，从左向右依次编号为A 、B 、C 、……、L 、M ，现在甲、乙两人玩取球游戏，规定每人每次只能取一个小球或者两个相邻的小球（如B 和C 是相邻

小球，而就算C 取走了，B 和D 也不算相邻小球），如果取到最后一个球的人算赢，那么

如果甲先取，为了保证必胜，他应该取_______________号球？

【答案】G

【解析】利用对称性想想，如果甲第一次取最中间的，之后因为两边是对称的，只要乙在

其中一边取相连的两个，甲就在对称的另一边同样的位置取相连的两个，这样只要乙有取

法，则甲就有，所以最后甲必胜．

例1.2.3黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51．甲、乙两人轮流划掉连续的3个

数．规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜．问：甲有必胜的策略吗？

【答案】有

【解析】甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，

每组有24个数．这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上

就总有数字可划．因此，若甲先划，且按上述策略去进行，则甲必能获胜．

甲 乙 甲

例1.2.4阿呆和阿瓜玩一个游戏：两人轮流用1×2的方格纸去覆盖4×20的方格表，规定只能沿着格线覆盖，且1×2的方格纸不能重叠．当有一个人无法再用1×2方格纸覆盖时，那么

他就输了．请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？

【答案】乙必胜；只要甲放在某个位置，乙都能找到对称位置，这样只要甲能放，乙就能放，所以乙有必胜策略

【解析】乙必胜，采取对称策略，左右两边各分10列，上下各分2行，只要甲放在某个位置，乙都能找到对称位置，这样只要甲能放，乙就能放，所以乙有必胜策略．

随练 1.1甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球．

（1）如果开始时两堆球数分别是2个和2个，那么谁有必胜策略？请说明理由；

（2）如果开始时两堆球数分别是2个和3个，那么谁有必胜策略？请说明理由；

（3）如果开始时两堆球数分别是5个和8个，那么谁有必胜策略？请说明理由．

【答案】（1）乙有必胜策略，乙每次都从另外一堆取和甲相同的数目

（2）甲有必胜策略，甲先从3个的那堆中取出1个，接着乙取几个，甲就从另外一堆取几个

（3）甲有必胜策略，甲先从8个的那堆中取出3个，接着乙取几个，甲就从另外一堆取几个

【解析】（1）如果甲在其中一堆里面取走2个，那么乙把另一堆全部拿走便赢了；如果甲在其中一堆里面只取走1个，那乙在另一堆里面取走1个后两堆都只有1个球，这时甲无法把所有球取走，所以乙获胜．所以当两堆球都只有2个时，乙有必胜策略．

（2）甲在第二堆中取走1个球，那么两堆球的数目都是2个，所以由上一问可知甲获胜．（3）甲首先在第二堆中取3个球，这样两堆球的数目都是5个，之后无论乙怎么取，甲只要保证自己取完后两堆球的数目仍然一样多，那么最后一个球肯定是甲取到，所以甲有必胜策略．

随练 1.2甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可．规定取到最后一个球的人赢，甲先取球．如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．

【答案】甲必胜

【解析】甲先从8个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多．之后每次乙取几个球，甲就在另一堆中取相同数量的球，甲获胜．

随练1.3桌子上摆着一排11个小球，从左向右依次编号为A、B、C、……、J、K，现在甲、乙两人玩取球游戏，规定每人每次只能取一个小球或者两个相邻的小球（如B和C是相邻小球，而就算C取走了，B和D也不算相邻小球），如果取到最后一个球的人算赢，那么如果甲先取，为了保证必胜，他应该取___________号球？

【答案】F

【解析】利用对称性想想，如果甲第一次取最中间的，之后因为两边是对称的，只要乙在其中一边取相连的两个，甲就在对称的另一边同样的位置取相连的两个，这样只要乙有取