【高考数学大题核心考点专题训】统计概率比较两类方法或策略分析问题2类常考考点归纳(新高考)原卷及答案

第四篇 概率与统计

专题04 比较两类方法或者策略的分析问题

常见考点

考点一 比较比较两类方案

典例1．为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a 个红球、b 个黄球、5个黑球（*,N a b ∈），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．

(1)据统计，每人的植树棵数X 服从正态分布N （15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X 在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；

(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．

附参考数据：若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，

()220.9545P X μσμσ-<≤+≈．

变式1-1．某地区位于甲､乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2（假设两河流发生洪水与否互不影响），今年夏季该地区某工地有许多大型设备，为保护设备，有以下3种方案：方案一：不采取措施，当一条河流发生洪水时，设备将受损，损失30000元.当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元.方案二：修建保护围墙，建设费为4000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元.方案三：修建保护大坝，建设费为9000元，能够抵御住两河流同时发生洪水.

（1）求今年甲､乙两河流至少有一条发生洪水的概率；

（2）从花费的角度考虑，试比较哪一种方案更好，说明理由.

变式1-2．2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红色小球､2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球､2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球､3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.

(1)若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；

(2)若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.

变式1-3．为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲､乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑

方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；

方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；

方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.

(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；

(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为X，求X的分布列；

(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）

考点2

典例2．如图所示，用4个电子元件组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A 到B 的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这4个电子元件中，每个元件正常工作的概率均为()01p p <<，且能否正常工作相互独立，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路.

(1)求方案①中从A 到C 的电路为通路的概率P .（用p 表示）；

(2)分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率1P 、2P （用p 表示）；比较1P 与2P 的大小，并说明哪种连接方案更稳定可靠.

变式2-1．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过.方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两

门都及格为考试通过.假设某应聘者这三门指定课程考试及格的概率分别是a ，

b ，

c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.

(1)若应聘者这三门指定课程考试及格的概率都为0.6，则用方案一和方案二时考试通过的概率分别为多少？

(2)如果你是应聘者，你会选择哪种方案？说明理由.

变式2-2．某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦､和谐的气氛，设计了闯

关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功.其中第一关是答题，分别设

置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：

方案一：答题3道，至少有两道答对；

方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对.

方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关.假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是()()0,1p p ∈，且这3道题是否答对相互之间没有影响.程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二.

(1)求甲和乙各自通过第一关的概率；

(2)设甲和乙中通过第一关的人数为ξ，是否存在唯一的p 的值0p ，使得()1E ξ=？并说明理由.

变式2-3．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端创造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平，一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务．某一管理软件服务公司有如下两种收费方案：

方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务每次另外收费200元；

方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费；若超过15次，超过部分的软件服务每次另

外收费500元．

(1)设管理软件服务公司月收费为y 元，每月提供的软件服务的次

数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式；

(2)该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供

的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图．依

据条形统计图中的数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考

虑，该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由．

巩固练习