五年级奥数春季班第13讲 概率初识

第十三讲概率初识
模块一、认识概率
例1．有数颗质量分布均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，且相对的两面的和是7，（1）如果抛一颗骰子,数字“2”朝上的可能性是;
(2）如果抛2颗骰子,点数之和为6的概率为；点数之积为6的概率为；
（3）如果抛2颗骰子，所得两个数的乘积大于10的可能性是；
(4）艾迪、薇儿和大宽三人玩掷骰子的游戏：将两颗骰子一起掷出，看朝上两个面的和是多少,和是6,算艾迪胜；和是7，算薇儿胜；和是8,算大宽胜。

他们三人获胜的可能性大。

(5）如果抛7颗骰子投掷后，规定:向上七个面的数的和是10，则甲胜,向上7个面的数的和是39，则乙胜，则甲获胜的概率乙获胜的概率。

（填“大于”、“小于”或“等于”）
解：（1)P=1
6
；
（2)两颗骰子中数字相加有6×6=36种情况，而点数之和为6,有1+5、2+4、3+3、4+2、5+1共5种情况，
所以概率P1=5 36
；
点数乘积为6，有1×6、2×3、3×2、6×1共4种情况，所以概率P2=1
9
；
（3）乘积大于的情况有2×6、3×4、3×5、3×6、4×3、4×4、4×5、4×6、5×3、5×4、5×5、5×6、6×2、6×3、
6×4、6×5、6×6共17种，所以概率P=17 36
；
（4）数字和为6的有1+5、2+4、3+3、4+2、5+1共5种;
数字和为7的有1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1共6种;
数字和为8的有2+6、3+5、4+4、5+3、6+2共5种；
所以薇儿的胜算最大；
(5)七颗骰子向上的面的数字和最小是7，接着是8、9、10；
最大是42，前面是41、40、39；它们离中心位置的距离一样，所以获胜的概率相同。

例2．艾迪在愉快的玩飞镖，飞镖的镖盘如图1所示，投掷到对应的区域得到对应的的分数，10分对应的圆半径为1，每向外一层对应的半径加1,投掷一镖后,假设艾迪没脱靶，请问：
5
6
7
8
9
10
图1 图2
（1）艾迪得到10分的概率是；
(2）艾迪得到的分数大于5分，小于8分的概率是；
（3）艾迪至多得到8分的概率是。

、；
(4）突然，艾迪发现了一种新型靶盘，如图2所示,红色区域称为幸运区，红色区域对应的圆心角是60°,投掷到红色区域也可以得10分,则艾迪得到10分的概率是。

解：(1)最外圈的大圆的面积是36π，得10分的中心小圆的面积是π，
所以概率P =
136
； （2）大于5分小于8分，即得6或7分，这个圆环的面积是（52−32）×π=16π，所以概率P =164
=369
ππ； （3)至多得8分，可以把得9分和10分的情况排除掉，中心半径为2的小圆的面积为4π， 概率是1−
436=89
; (4）红色的扇形的面积是大圆面积的
16，即6π，再加上最小的圆的面积的56,即56
π， 所以得10分的面积为416π，所以得10分的概率为P =4141
366216
ππ÷=。

模块二、概率中的经典模型 例3．薇儿在玩抛硬币游戏:
（1)如果抛一枚硬币，前3次中，有2次正面朝上，1次正面朝下,问第4次抛硬币正面朝上的概率是 。

(2）如果抛一枚硬币6次,有5次正面朝上的概率是 ；
（3)如果抛一枚硬币6次，至少有1次正面朝上的概率是 ；
(4）如果抛两枚硬币1次，两枚都正面朝上的概率是 ；一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是 ；至少一枚正面朝上的概率是 .
解：（1）第4次是独立事件,概率还是
12
; （2）这是一个二项分布，概率是5
516113()()2232C ⨯⨯=；
（3）6次都是反面朝上的概率是164，所以至少1次正面向上的概率是1−164=63
64
；
(4）如果抛两枚硬币1次,两枚都正面朝上的概率是14；一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是1
2
；至少一枚
正面朝上的概率是3
4。

例4．袋子中有大小、形状都相同的红球、蓝球、绿球各2个:
（1）从中无放回地摸出2个球，2个球都是红球的概率是 ；
（2）从中无放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是 ；2个球颜色不同的概率是 ； （3）从中有放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是 ；2个球颜色不同的概率是 ；
解：（1)从中无放回地摸出2个球,2个球都是红球的概率是111
3515⨯
=； （2）从中无放回地摸出2个球,2个球颜色相同的概率是113155⨯=；2个球颜色不同的概率是14
155
-=；
（3）从中有放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是1113333⨯⨯=;2个球颜色不同的概率是12
133
-=.
例5．袋子中有大小和形状完全相同的1个红球和5个白球,A 、B 、C 、D 、E 、F 六人按顺序每人摸出1个球，谁摸到红球谁就获胜，那么:
（1）A 获胜的概率是 ；B 获胜的概率是 ；6个人中谁获胜的概率更大；
（2）如果规则改变：每个人摸完后都要把球再放回袋中，直到有人摸出红球,之后的人就不再摸球；在这种规则下， 获胜的概率更大.
解：（1）A 获胜的概率是16；B 获胜的概率是16
；6个人中谁获胜的概率一样大；
(2）如果规则改变：每个人摸完后都要把球再放回袋中，直到有人摸出红球,之后的人就不再摸球；在这种规则下，A 获胜的概率更大.
模块三、生活中的概率
例6．学校打算在1月4日或1月10日组织同学们看电影。

确定好日期后，老师告诉了班长，但是由于“四”和“十”发音接近，班长有10％的可能听错（把4听成10或者把10听成4），班长又把日期告诉了小明，小明也有10%的可能性听错。

那么小明认为的看电影的日期是正确日期的可能性是 ％.
解：班长听对，小明也听对的可能是（1−10％)（1−10%)=81％,班长听错，小明也听错的可能是10％×10％=1％，
所以小明认为的看电影的日期是正确日期的可能性是82％。

随 堂 测 试
1．甲、乙两个学生各从0~9这10个数字中随机挑选了两个不同的数字，则 （1)这两个数字的差是2的概率是 ;
（2）这两个数字的差不超过2的概率是 。

解:（1）随机挑选的种数是2
10C =45（种），而数字差是2的有（0，2）；（1，3）；……；（7,9）,共8种情况；所以概率是
8
45
； (2）数字差为1的情况有9种，所以数字差不超过2的情况有17种，概率为
1745
.
2．如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶,那么飞镖落在木板上阴影部分的可能性是 。

解：木板的面积是6×6=36，阴影部分的面积是132，所以飞镖落在木板上阴影部分的概率是13
72
. 注:正方形格点中图形的面积公式：S =N +
2
L
−1,其中N 是内部的点数，L 是周边的点数。

3．任意向上掷一枚硬币若干次，
（1）那么第4次掷硬币时正面向上的概率是 . （2）如果掷6次，有3次正面向上的概率是 。

解：（1）概率是
12
； （2)概率是3
66120526416
C ⨯=
=。

4．袋子里有大小、形状都相同的小球5个其中白球3个，红球2个 （1）从中摸出两个球，这2个球都是白球的概率是 ；
(2）从中有放回的摸出两个球，这2个球颜色相同的概率是 ；颜色不同的概率是 。

解：（1）概率是23253
10
C C =;
(2)若两个球都是白球，则概率是3395525⨯
=；若两个球都是红球，则概率为224
5525
⨯=， 所以2个球的颜色相同的概率是1325;于是两个球的颜色不同的概率是1−1325=12
25。

5．A 、B 、C 、D 、E 、F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签,其中只有一枚刻着“中"，六人按照字母顺序先后抽签，抽完放回,谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么在第一轮被抽中的概率分别为 ; 被抽中的概率最大. 解：A 抽中的概率为
16，B 抽中的概率为5156636⨯=，C 抽中的概率是25125()66216
⨯=， D 抽中的概率为351125()661296⨯=，E 抽中的概率为451625
()667776
⨯=，F 抽中的概率为
5513125()6646656
⨯=， 所以A 被抽中的概率最大。