第四讲：分式
分式PPT课件
⑵ 当x =2
时，分式 x 2 的值为零。 2x 1
4、已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零，
则k =-10 。
3x 2
它和分数有什么区别？ 它是一个代数式吗？ 它是一个整式吗？ 它与整式有什么区别？
分式
A
定义：整式A除以整式B，表示成 的
形式。如果
B
除式B中含有字母，则称 A 为分式。 B
其中A称为分式的 分子，B称为分式的 分母。
巩固概念
判断下列代数式是否为分式
2x
（1）
y
是
x 1 （( x2） 1) 2
是
x2 2 否
当x=1、2、3时，求分式 x 1 的值
解:
x2 2 12 2 1 1
当x=1时， x 1
11
2
2
当x=2时，
x2 2 x 1
22 2 2 1
2 3
x2 2 32 2 7 当x=3时， x 1 3 1 4
例2
1
当x取何值时，分式
x2
有意义。
1
解：当 x2 1 0时
即 x 1
追史溯源
分数：把整体“1”平均分成若干份 ，表示这样一份或者几份的数叫做 分数。
分子 分母
分数线
同学们看看如何用分数形式回答问题：
一个长方形，面积为21平方厘米，宽为4
厘米。则它的长为( 21 )厘米 4
如果改为
一个长方形，面积为21平方厘米，宽为x
厘米。则它的长为( 21 )厘米 x
21 是一个分数吗？ x
2x 4
x2 1 (3) (x 1)(x 2)
小测试
1、在下面四个有理式中,分式为( B )
《分式及其基本性质》课件
分式除法的规则
分式除法的规则是：将除法转化为乘法，即将被除数与倒数相乘。
分式除法的示例介绍
例如：1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 2/3，将被除数乘以倒数得到新分式。
分式加法的规则
分式加法的规则是：相同分母的分式直接相加，分母保持不变。
分式加法的示例介绍
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6，将相同分母的分式的分子相加得到新的 分子，分母保持不变。
分式的绝对值性质
分式的绝对值等于分子的绝对值除以分母的绝对值，即 |a/b| = |a| / |b|。
分式的整除性质
分式的整除性质表明，如果一个分式可以整除另一个分式，则其分子可以整除分子，其分母可以整除分母。
分式的乘方运算原理
分式的乘方运算原理是，将分式的分子和分母分别进行指数运算。
《分式及其基本性质》 PPT课件
本课件介绍了分式的基本概念和性质，包括如何化简分式、最简分式的求法、 分式的四则运算规则以及分式的基本性质和乘方关系，其中包含了分子和分母，如 3/4。
分式的组成部分是什么？
分式由分子和分母组成，分子表示被除数，分母表示除数。
分式减法的规则
分式减法的规则是：相同分母的分式直接相减，分母保持不变。
分式减法的示例介绍
例如：5/6 - 1/3 = 5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2，将相同分母的分式的分子相减得到新的分子，分母保持不变。
分式的基本性质介绍
分式的基本性质包括分式的乘法逆元、加法逆元，以及分式的可加性、减法 性和分配律。
可通过因式分解、提取公因式、求最大公约数等方法来化简分式。
最简分式的概念
最简分式是分子与分母互质的分式，即分子和分母没有公因数。
初中竞赛辅导之四：第四讲 分式的化简与求值
第四讲分式的化简与求值姓名
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．
例1 化简分式：
例2 求分式当a=2时的值．
例3 若abc=1，求
例4 化简分式：
例5 化简计算(a，b，c两两不等)：
例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求
例7 化简分式：
例8 3819-=x 若，求分式15
82318262234+-++--x x x x x x 的值。
例9 若
a c
b a b
c b a c c b a ++-=+-=-+，求abc c b c a b a ))()((+++的值。
例
10
练 习 四
1．化简分式：
2．计算：)101)(100(1)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1++++++++++++x x x x x x x x
3．已知：(y -z)2+(z -x)2+(x -y)2=(x+y -2z)2+(y+z -2x)2+(z+x -2y)2，
4、已知b a ab x b a b a b a +=≠+≠≠≠4,0,0,0,，求b
x b x a x a 22222-++-+的值。
《分 式》初中数学课件
=
—5 8
02
分式的乘除法
■ 运算法则 ■ 分式的乘方 ■ 经典例题
分
式
分式乘除法运算法则
的
两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
乘
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置（除数的倒数）后再与被除式相乘。
除
法
fg·
u v
＝
fu gv
f g
÷
u v
＝
f g
v ·u
＝
fv gu
答：甲广告公司每天能制作20个宣传栏，乙广告公司每天能制作24个宣传栏。
谢谢观赏
幂
am am
＝1
am am
＝am-m ＝a0
a0＝1
负整数指数幂
( ) a-n ＝
1 a
n1 ＝ an
(a≠0,n为正整数)
a-n＝a0-n＝
a0 an
＝
1 an
整
数
科学计数法的定义
指
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式
数
（1≤a<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。
单
的
分 式
例题11、解方程
x
x
3
3 x2
9
1
例题12、解方程 x 2 1
x 1 x
方
解：去分母得： x(x 3) 3 x2 9
解：去分母得： x2 2(x 1) x(x 1)
程
解得： x 2
解得：x 2
把解代入方程检验：
把解代入方程检验，
x2 9 5 0
方程左右两边相等，
初中数学课件 之
第四讲 分式方程及应用
第四讲分式方程及应用学习目标1、学会解分式方程。
2、学会找等量关系，通过列方程解决实际问题。
一、知识回顾知识点1、解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
知识点2、解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
知识点3、列分式方程解应用题的步骤和注意事项列分式方程解应用题的一般步骤为：①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；④解方程并检验；⑤写出答案．注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．课前热身：1.分式方程3x＋61x-＝27x x-的解为x＝___________.2.若方程12x-＋3＝12xx--有增根，则增根为x＝＿＿＿.3.当x=( )时,125x xx x+--与互为相反数.A.65; B.56; C.32; D.23 4.解分式方程：（1）2121x x x+=+ （2） x x x -+--3132=1 答案：1.x ＝109；2. x ＝2；3.B 4. （1）1x = （2）x=2 二、 例题辨析例1、解下列方程（1）xx x --=+-34231 （2） 2123442+-=-++-x x x x x （1）解：经检验，可知x ＝1，是原方程的解. （2）解：经检验，可知x ＝－1是原方程的根.变式练习：1、方程xx x -=++-1315112的根是（ C ） A . x ＝1 B . x ＝－1 C . x ＝83 D . x ＝2 2、解方程解方程21124x x x -=--（答案：x=－3/2）例2、m 为何值时，关于x 的方程会产生增根？ 1146246214)3(2134231=--=--=-+-=-+--=+-x x x x x x x x x x 1886423523654)2)(1()2)(3(4212344222-=-=--=++-=+++--=++++-=-++-x x x x x x x x x x x x x x x x x 23422+=-+-2x x mx x解：去分母，方程两边都乘以经X 2－4，得6342-=++x mx x若产生增根，则使最简公分母X 2－4＝0，解得X =±2 代入上式得m ＝6或－4说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根变式练习：若解分式方程产生增根，则m 的值是（ ）A -1或-2B 1或-2C 1或2D 1或-2例3.有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期内完成，若乙队单独做，则要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？解：设完成该工程的规定日期为x 天， 根据题意得，132=++x x x ， 解得x ＝6，经检验，6=x 是原分式方程的根.答：规定日期是6天.变式练习：在一次军事演习中，红方装甲部队按原计划从A 地向距离150km 的B 地的蓝方一支部队直接发起进攻，但为了迷惑蓝方，红方先向蓝方另一支部队所在的C 地前进，当蓝方在B 地的部队向 C 地增援后，红方在到达D 地后突然转向B 地进发.一举拿下了B 地，这样红方比原计划多行进了90km ，且实际进度每小时比原计划增加了10km ，正好是原计划所用时间的65达到B 地，试求红方装甲部队的实际行进速度.（由于实际地形条件的限制，速度不能超过每小时50km ）解：设红方装甲部队的实际行进速度为每小时xkm ，由题意得 xx 901506510150+⋅=- 解这个方程得40=x ，经检验，40=x 是原方程的解，但实际条件限制4050=∴≤x ,x 符合题意.例4、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润=售价-进价，利润率100%=⨯利润进价） xx x x m x x 1112+=++-+解：设这种计算器原来每个的进价为x 元， 根据题意，得4848(14)1005100(14)x x x x---⨯+=⨯-%%%%%． 解这个方程，得40x =．经检验，40x =是原方程的根．答：这种计算器原来每个的进价是40元．变式练习：甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购货方式更合算？（1）设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克（m ，n 是正数，且m ≠n ） 甲两次购买饲料的平均单价为2100010001000⋅+n m ＝2n m +（元/千克）， 乙两次购买饲料的平均单价为n m 8008002800+⨯＝n m mn +2（元/千克）. （2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是2n m +－n m mn +2＝)(2)(2n m m m ++－)(24n m mn + ＝)(24222n m mn n mn m +-++＝)(2)(2n m n m +-， 由于m 、n 是正数，因为m ≠n 时，)(2)(2n m n m +-也是正数，即2n m +－n m mn +2＞0， 因此乙的购买方式更合算.三、 归纳总结归纳1. 分式化简的基本方法①整体代入；②巧妙变形；③引进参数；④利用倒数等，不能一一枚举。
第4讲_分式
通分
an a b bn
n
1 1 a n a a
n
n
分式的概念，求字母的取值范围
2 【例 1】 (1)(2014· 贺州)分式 有意义，则 x 的取值范 x－1 围是( A ) A．x≠1 B．x＝1 C．x≠－1 D．x＝－1
x2－1 (2)(2014· 毕节)若分式 的值为零，则 x 的值为( C ) x－1
脚踏实地， 才能走的更远！
第 4讲
分式
禹城市华奥学校中学数学组一、知识点梳理分来自式{概念{
A 的形式 B B中含有字母
B≠0
{
分式有意义
B≠0
分式的加减
{
同分母相加
分式的值为0 B C BC B≠0 A A A
{
A=0且
BC BD CA BD AC 异分母相加 ADAD ADAD
通分
分式的乘除
约分
最简分式
1、约分 把一个分式中的分子和分母中的公因式约去 ①定系数：系数的最大公约数 ：
②定因式：相同的因式（字母） ③定指数：相同因式（字母）的指数最小值
2、通分 把异分母的分式化为同分母的分式 ①定系数：系数的最小公倍数 ：
②定因式：所有的因式（字母），相同的算一个 ③定指数：所有的因式（字母）的指数的最大值
（x＋2）（x－2） x－3－1 解：原式＝ ÷ ＝ （x＋3）（x－3） x－3 （x＋2）（x－2） x－3 （x＋2）（x－2） · ＝ ， （x＋3）（x－3） x－4 （x＋3）（x－4）
不等式 2x－3＜7，解得 x＜5，其正整数解为 1，2，3，4， 1 当 x＝1 时，原式＝ 4
2x2 x 1 1．(2014· 陕西)先化简，再求值： 2 － ，其中 x＝－ . 2 x －1 x＋1 x（x－1） 2x2 解：原式＝ － ＝ （x＋1）（x－1） （x＋1）（x－1） 1 － x（x＋1） 2 x 1 1 ＝ ，当 x＝－ 时，原式＝ ＝ 2 1 3 （x＋1）（x－1） x－1 － －1 2 2 x 2．(2013· 陕西)解分式方程： 2 ＋ ＝1. x －4 x－2 解： 去分母得： 2＋x(x＋2)＝x2－4， 整理得： 2＋x2＋2x＝x2－4， 解得：x＝－3，经检验得，x＝－3 是原分式方程的根
初中数学复习第四讲——整式与分式
初中数学复习第四讲——整式与分式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中数学复习第四讲——整式与分式一、知识结构说明：在本部分，代数式分为整式和分式讨论。
在实数范围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。
二、知识点梳理1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。
2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独一个数也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（包括符号）；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
3.多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
4.整式：单项式、多项式统称为整式。
5.分式：两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为AB.如果B中含有字母，那么AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
6.同类项：所含的字母相同，且相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。
合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变（合并同类项，法则不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样）。
7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法则和合并同类项来完成整式的加减运算。
去括号法则：括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—”号，去掉“—”号和括号，括号里的各项都变号。
（括号前面是“+”号，去掉括号不变号；括号前面是“—”号，去掉括号都变号。
）8.同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
分式优秀课件
通过多做练习和总结，熟练掌握分式的运算规则 和技巧，提高计算准确性。
细心审题和检查
在解题过程中，要仔细审题并检查每一步的计算 结果，确保没有遗漏或错误。
常见错误类型
混淆分式与整式
将分式误认为是整式，导致后 续计算错误。
运算顺序错误
在分式运算中，未能按照正确 的运算顺序进行，导致结果错 误。
分子分母处理不当
在化简分式时，未能正确处理 分子或分母，导致结果偏离正 确答案。
忽视分母不为0
在进行分式运算时，忽视分母 不能为0的限制，导致分母出现
0的情况。
错误原因分析
对分式的概念理解不透彻
对分式的定义和性质理解不准确，导致在应用时出现混淆。
运算能力不足
对分式的运算规则掌握不够熟练，导致在计算过程中出现错误。
粗心大意
在解题过程中，未能仔细审题和检查，导致出现计算错误或遗漏重 要步骤。
避免错误的建议
加深对分式的理解
通过多做练习和总结，加深对分式的概念和性质 的理解，避免混淆。
分式加减法的步骤
先将各个分数化为同分母，然后根据同分母分式的加减法 则进行运算。
分式加减法的注意事项
进行分式加减法时要注意运算的顺序，即先进行乘除运算 ，再进行加减运算；同时要注意运算的符号，即同号得正 ，异号得负。
03
分式的应用
分式在生活中的应用
金融计算
分式在金融计算中有着广 泛的应用，如利息计算、 投资回报率等。
分式与整式的区别
总结词
分式和整式在形式和性质上有明显的区别。
详细描述
整式是由数字和字母通过有限次四则运算得到的代数式，如$x^2 + 2x + 1$。 而分式除了满足整式的条件外，还必须有一个非零分母，如$frac{x^2 + 1}{x 1}$。
《分式》PPT课件--图文全文
解：根据题意，乙先行１时的路程是１×b（千米），甲比乙每小时多行（a－b）千米，所以甲追上乙所需的时间是 b÷（a－b）= （时） 当a=6，b=５时，甲追上乙所需的时间是
＝
＝５（时）
代数式
整式
分式
分母中必含有字母
分母不能为零
当分子为零，分母不为零时， 分式值为零。
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （ ）
（A）
（B）
( C)
（D）
在分式 中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
解：根据题意可知， 该保护区每平方米内灰熊的只数是：７÷p=
文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元，降价销售开始时，文林书店这种图书 的库存量是 。
甲种糖果每千克价格a元，乙种糖果价格b元，取甲种糖果m㎏，乙种糖果n㎏，混合后，平均每千克价格 元。
像10a+2b， ， ，2a²这样含有字母的数学表达式称为代数式.
整式
单项式:数与字母或字母与字母的积
多项式:几个单项式的和
注意:代数式包括整式，也就是说整式是代数式但代数式就不一定是整式了．
有了这些预备知识，这节课我们将要学习另外一种 代数式！
为了调查珍稀动物资源，动物专家在p平方米的保护区内找到７只灰熊，那么该保护区 每平方米有＿＿＿＿只灰熊．
轮船在静水中每小时走a千米，水流速度为每小时b千米，轮船在逆流中航行s千米，然后又返回出发地，那么轮船需要的时间 是 小时。
一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成 本是 元。
注意：分式中字母的取值不能使分母为零．因为当分母的值为零时，分式就没有意义．
第4讲 分式的化简求值(教师版)
巩固1
已知
，则
．
答案
解析 由
可得
，
∴原式
．
故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：分式条件化简求值
巩固2
若
，则
的值为
．
答案
解析 由题得 ∴ ∴ 又∵ ∴原式 ． 故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式的运算 > 题型：分式通分
巩固3
若
，则
的值是
．
答案 备选答案1 : 备选答案2 :
分析：由题知，条件的基本形式是分子、分母分别为两项之积与两项之和，满足
可进行裂项拆分；
解：由题知
，
，
，即
拆 分则 法
∴三式相加得
又∵ ∴ 【拓展】
为何正整数时，下列分式为整数．
① ；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
；⑧
；⑨
．
分析：分离常数法其核心是化简分子，在分子里面构造与分母相同的项，其本质是整数解问题；
解：①
2 已知
，则代数式
答案
解析 ∵ ∴ ∴
， ，
，
把 代入原式
的值为
．
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
3 已知
，
，则
．
答案 解析 原式
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
例题3 1若
，则
的值是
．
答案
解析 ∵
；∴
即
∴
．
标注 式 > 整式的乘除 > 乘法公式 > 题型：利用完全平方公式计算
第4讲 分式
分式的运算
分式的 乘除法
ba·dc ＝badc ，ba÷dc ＝ba·dc ＝abdc.
分式的 乘方
(ba)n＝bann(n 为整数).
分式的 加减法
ac±bc＝a±cb，ba±dc＝adb±dbc.
在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法， 分式的混
进行约分化简，最后进行加减运算．遇到有括号的，先 合运算
1 3
.
，
2 a
，
a 2
，
x＋1 2
，
x π
，
x x2＋1
，
2(x
＋
y)
，
x2 x
中
，
分
式
2．当 x ≠－2 时，分式xx2＋－24有意义；当 x＝ 2 时，分式xx2＋－24的值
为 0.
分式的基本性质
分式的基 本性质
AB＝AB··MM，AB＝AB÷÷MM.(M 是不为零的整式)
符号法则 AB＝－－AB＝－－BA＝－－AB.
方法指导 1．通分时，先把分母可以分解因式的多项式分解因式，再找最简公分 母；约分时，也要先把可以分解因式的多项式分解因式再约分． 2．在代入求值时，选择的数尽量让计算简单，降低错误率．
易错提示 1．分式运算的结果要化成最简分式． 2．乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶数次方为正，负数 的奇数次方为负． 3．若需选择合适的值代入，需注意：所取字母的值不仅要让化简后的 分式有意义，还需让原分式有意义(如：除式的分子也不能为零)．
A．扩大 2 倍
B．不变
C．缩小至原来的21
D．缩小至原来的14
4．分式－1－1 x可变形为(D )
A．－x－1 1
1 B.1＋x
分式及其运算(完整版)ppt课件
（1）x2
x 2x
(
x2
)
（分子分母都乘以 x）
（2）3x2 3xy xy
6x2
(
)
（分子分母都除以 3x）
例3（补充）判断下列变形是否正确.
（1）
a b
a2 b2
(
)
（2） b bc a ac
(c≠0)
(
)
（3） b b 1 ( )
a a 1
（4）
2x 2x 1
x x 1
(
)
（四）课堂练习
无意
-1 义 -1 0
思考：
1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？
练习3：
A
1、归纳：对于分式 B
（1） 分式无意义的条件是 B=0 。
（2）分式有意义的条件是 B≠0
。
（3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
2、当x ≠2 时，分式 x 有意义。 x2
5a2b2
4ab3cd
2bd .
10a2b2c2
5ac
课堂练习
练习1 计算：
（ 1 ） b a ； （ 2 ） 2b； （ 3 ） n y m y. ac a2 a m x n x
课堂练习
练习2 计算：
（1）3a 4b
196ab2 ； （2）
3xy
2y2 3x
；
（3）12xy 8x2y；（4）x y y x．
解： 即2011年与2010年相比，森林面积增长率提 高了 S 1 S 3 - S 2 2 ． S1S 2
八年级 上册
15.2 分式的运算
分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算
第四讲 分式
第四讲 分式（二）板块一 分式的运算 知识要点： 1、分式的乘除法⑴分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
⑵分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
以上法则用式子表示为：d b c a d c b a ⋅⋅=⋅；cb da c db a dc b a ⋅⋅=⋅=÷（其中a 、b 、c 、d 可以代表数也可以表示含有字母的整式）。
⑶对于分式的分子、分母是多项式的要先分解因式，然后再利用乘除法法则计算。
2、分式的乘方分式的乘方就是把分子、分母各自乘方，用式子表示为：n nn ba b a =)(（n 为正整数）。
⑴乘方时，一定要把分式加上括号；⑵分式乘方时确定乘方结果的符号方法与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；⑶分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；⑷在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除。
3、分式的加减法分式的加减法，可以依照分数加减法的法则来进行。
分为同分母的加减法和异分母的加减法。
而异分母的加减法是通过“通分”转化为同分母的加减法来进行运算的。
⑴同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。
用式子表示为：cba cbc a ±=± ⑵异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式后再加减。
用式子表示为：bdbcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。
⑶当一个分式和一个整式相加减时，要把这个整式看作分母为1的式子进行通分。
4、分式的四则混合运算分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的。
有些题目运用运算律，可以使计算简便。
精讲精练例题1：（1）计算：⑴3234xyy x ⋅ ⑵cd b a c ab 4322222-÷⑶2232)()(y x y x -÷ ⑷23223)2()(----⋅n m n m（2）计算：⑴411244222--⋅+-+-a a a a a a ⑵m m m 7149122-÷-例题2：计算：⑴2222235y x x y x y x ---+ ⑵qp q p 321321-++ ⑶223121cd d c +板块二 分式的化简求值 知识要点：给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。
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第四讲 分式（提高训练）
专题1、对分式值的考查：分式⎪⎭
⎫ ⎝⎛B A 的值就是 。
一、知识点
（1）分式有意义⇔ ；无意义⇔ ；值为0⇔ ；
（2）分式的值为正数⇔ ；值为负数⇔ ；
（3）分式的值为整数⇔ ；
（4）真分式：在分式
B
A 中，若分子A 的次数低于分母
B 的次数，这样的分式叫真分式。
假分式：在分式B A 中，若分子A 的次数大于或者等于分母B 的次数，这样的分式叫假分式。
假分式可以转化为整式与真分式的和。
二、例题讲解。
1、求下列各式有意义的条件：
（1）2212++x x （2）111--x （3）1
113-+x
2、若分式a
a a 231142++-无意义，求a 的取值范围。
3、解不等式：（1）
072<--x x （2）312>-x x
4、若分式
9
18232322-++-++x x x x 的值为整数，求所有符合条件的整数x 的和。
三：练习
1、当2=x 时，
b
x a x +-无意义，当3=x 时，值为0，则b a = ； 2、当x 取 时，代数式x
x x 1111-+-有意义。
3、若x x 则,112>+的取值范围是 ； 4、分式2
21012622++++x x x x 的最小值为 。
专题2、分式通分的常用技巧
一、通分是常用的技巧：
先约分，再通分；分布通分，步步为营；分组通分，化整为零；拆项相消再通分；先添项，再通分；化假为真，再通分。
二、例题：化简下列分式
1、2
3441122624+-+-+-++a a a a a a a 2、8421814121111x x x x x ++++++++-
3、
b a b a b a b a 212221+---++- 4、12
7165123112222++++++++++x x x x x x x x
5、121
4212141211--++++++++n n x
x x x 6、3114273212323++-+--+-+++x x x x x x x x x x
专题3：分式求值的常用技巧
一、主元法（把其中一个未知数当作常量即主元，其它未知数用这个未知数表示）
1、已知：a
c c b b a 2,12,11+=+=+
求的值。
2、已知：2222
22103225),0(,072,0634z
y x z y x xyz z y x z y x ---+≠=-+=--求代数式的值。
二、变形后整体代入法
1、已知
y
xy x y xy x y x 23432,31211---+=-求的值。
2、已知：b a b a b ab a +-=-+求,0622的值。
3、若13,033
22
---=-+x x x x x 求的值。
4、⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++c b a c a b b a c c b a 111111,0求的值。
三、倒数变形法（当正面求解有难度时，由式子的特点可以先求出倒数的值，若要求原值，只需再求倒数即可）
1、已知：1,013242
2
++=+-x x x x x 求的值。
2、已知：c b a ,,均为非零数，且c b a c a ac c b bc b a ab +++=+=+=求),(4),(3),(2的值。
四、参数法（连等式：
kc z kb y ka x k c z b y a x c z b y a x ========,,,,变形为：常设的形式）
1、已知：
d c b a d c b a a d d c c b b a +-+-+-===求,的值。
2、已知c b a ,,均为非零数，且
b c a a c b c b a +=+=+，求abc
a c c
b b a ))()((+++的值。
专题4 对分式方程及增根的考查：
一、知识点：
（1）解分式方程的步骤：方程整理变形⇒找最简公分母⇒去分母化为整式方程⇒解整式方程⇒检验。
（2）分式方程的增根问题：
① 增根产生的原因：去分母时分式方程的左右两边同时乘了一个不为0的式子； ② 增根满足的条件：使分式方程的最简公分母为0，是去分母后的整式方程的根；
（3）分式方程的无解与分式方程的增根的联系与区别。
二、典型例题
1、解含字母系数的一元一次方程或分式方程或方程组
（1）解关于x 的方程：
ax a b a x -=-1
（2）解关于x 的方程：2)1(22--=-m m x m
（3）解关于x 的方程：
6
5879854--+--=--+--x x x x x x x x
（4）解关于x 的方程：242241)1(2212122x
a x x a x x a --=---++
（5）解关于x 的方程：
012832122=+--x x
（6）解下列分式不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+12
1
1115
11110111x z z y y x
（7）阅读下列材料：
c x c x c c x x 1,1121==+=+
的解是：c x c x c c x x c c x x 1,)11(1121-==-+=-+-=-的解是：即； c x c x c c x x 2,2221==+=+的解是；c
x c x c c x x 3,3321==+=+的解是； （1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程)0(≠+=+m c
m c x m x 的解，并验证你的结论。
（2）利用这个结论解关于x 的方程：1212-+=-+a a x x
2、分式方程的增根与无解
（1）若分式方程
x
x x x x +=-+-2227163有增根，则增根是 。
（2）若分式方程213=-+x a x 的解为正数，求a 的范围。
（3）若分式方程
x
x m x x x m -+=+-231有增根，求m 的值。
若增根改为无解呢？
3、方程与恒等式 （1）已知C B A C B A x C x B x A x x x x ++-++=--+为常数，求、、其中,1
)1(112222的值。
（2）无论k 取何值时，关于x 的方程kx b b kx a a 49)6()4(-=+--的根是2，b a ,为常数，求8
4)(b a b a +的值。
（3）无论x 取何值时，分式53++bx ax 的值都是一个定值，求b
b a +的值。
4、分式方程与应用题
甲、乙、丙三个修路队修一段公路。
如果甲、乙两队合修，那么36天可以完成；如果甲、丙两队合修，那么45天可以完成；如果乙丙合修，那么60天可以完成。
求每个队单独修各需多少天完成？。