中考数学专题训练第2讲整式中的规律探究问题(解析版)

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专题06 整式中规律探索的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)

专题06整式中规律探索的三种考法类型一、单项式规律性问题例．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2015次跳后它停的点所对应的数为（）A．5B．3C．2D．1【答案】C【分析】先根据题意，求出前几次跳到的点的位置，发现这是一个循环，按照3、5、2、1成一个循环，再用解循环问题的方法求解．【详解】解：按照题意，第一次在1这个点，下一次就跳到3，再下一次跳到5，再下一次跳到2，2是偶数了，就逆时针跳一个点，又回到了1这个点，发现这是一个循环，3、5、2、1是一个循环，÷ ，20154=5033∴最后到2这个点．故选：C．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是通过前几个数发现这是一个循环问题，利用解循环问题的方法求解．【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表：【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．类型三、图形类规律探索例.根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（）根．A．8080B．6066C．6061D．6060【答案】C【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故选C．【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．【变式训练1】下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（）A．69B．73C．77D．83【答案】B【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，……【答案】57【分析】根据每个图形增加三角形的个数，找到规律即可．【详解】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…，第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=（4n﹣3）个，当n=15时，4n﹣3=4×15﹣3=57．故答案为：57．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题关键是通过图形数量的变化发现规律，并应用规律解决问题．课后训练20192020)a a -。

中考数学复习查补重难点整式相关运算与探索表达规律(解析版)

查补重难点01.整式相关运算与探索表达规律考点一：幂运算与乘法公式1.幂运算公式：⎪⎩⎪⎨⎧∙===∙∙+底数分别乘方的积）（积的乘法，等于各个，指数相乘）（幂的乘方，底数不变数不变，指数相加）（同底数幂的乘法，底n n n n m n m n m n m b a ab a a a a a )()(2.乘法公式：（1）平方差公式：()；22)(b a b a b a -=-+（2）完全平方公式：()2222222)(2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+；题型1.幂运算与乘法公式基本运算1）符号处理不当：在幂的运算中，很多同学计算时符号容易出错。

计算时，可以先确定计算符号，负数进行运算时，看次方，负数的奇次幂结果为负，偶次幂结果为正。

2）忽视指数为“1”的幂：在幂的运算中，有些同学会忽视指数为“1”的幂，从而导致计算的错误。

指数为“1”时通常省略不写，但是计算时不能漏加。

3）忽视0指数幂、负指数幂成立的条件：在计算零指数幂或负指数幂时，要注意，底数不能等于0.4）运用完全平方公式时，①丢掉系数的平分；②丢掉中间乘积项或漏了系数的“2倍”；③不能正确区分中间项符号特征。

5）运用平方差公式时，没找准“a ”与“b ”。

例1.（2023·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是()A ．22423m m m +=B ．243·m m m =C ．422m m m ÷=D ．246()m m =【答案】C【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解．【详解】解：22223m m m +=，故A 选项错误；24246m m m m +⋅==，故B 选项错误；42422m m m m -÷==，故C 选项正确；()42248m m m ⨯==，故D 选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．变式1.（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x 个球放入乙袋，再从乙袋中取出(22)x y +个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y 个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则+2x y 的值等于（）A ．128B ．64C ．32D ．16【答案】A 【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出2x ，2y ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．【详解】调整后，甲袋中有29-22)x y +(个球，29222292x x y y +--=-，乙袋中有(292)y -个球，52+2252x y y x +-=+，丙袋中有(52)x +个球．∵一共有29+29+5=63（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，∴调整后每只袋中有633=21÷（个）球，∴52=21x +，292=21y -，∴216x =，28y =，∴222168128x y x y +=⋅=⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．变式2．（2023·四川成都·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．22(3)9x x -=-B ．27512x x x +=C ．22(3)69x x x -=-+D ．22(2)(2)4x y x y x y -+=+【答案】C【分析】分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可．【详解】解：A 、22(3)9x x -=，故原计算错误，不符合题意；B 、7512x x x +=，故原计算错误，不符合题意；C 、22(3)69x x x -=-+，故原计算正确，符合题意；D 、22(2)(2)4x y x y x y -+=-，故原计算错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答的关键．题型2.完全平方公式变形求值（知二求二）乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形。

整式中的两种规律探索问题(解析版)

专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，据此规律，当（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0时，代数式x 2019﹣1的值为 _____．【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶ （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1， ……∶（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1 ∶（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0， ∶x 6﹣1＝0，解得：x ＝1或x ＝﹣1，则x 2019﹣1＝0或﹣2，故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（） A ．5 B ．14-C ．43D ．45【答案】B【解析】∶15a = ， 2a 是1a 的差倒数，∶211154a ==--， ∶3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，∶314151-4a ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，∶415415a ==-，根据规律可得n a 以5，1-4，45为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以202114a =-．故选B ．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2021个数的和是______．【答案】0 1【解析】由题意得：第3个数是101-=，第4个数是110-=，第5个数是011-=-，第6个数是101--=-，则前6个数的和是()()0110110++++-+-=，第7个数是1(1)0---=，第8个数是0(1)1--=，归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1--循环往复的，202163365=⨯+，且前6个数的和是0，∴这2021个数的和与前5个数的和相等，即为()011011++++-=，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n 个数为______．【答案】()12nnn - 【详解】解：()11122-=-⨯，()221221242==-⨯，()3333182-=-⨯， ()4414414162==-⨯，()55551322-=-⨯，…… 由此发现：第n 个数为()12nnn-．故答案为：()12nnn - 【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b+=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++【答案】5221a b【详解】解：根据题意，()7a b +=7652433425677213535217a a b a b a b a b a b ab b +++++++，∶()7a b +的展开式中从左起第三项为5221a b ，故答案为：5221a b ．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【答案】 6(1)2n n - 【详解】解：如图，两条直线相交最多有1个交点，即()22112⨯-=；三条直线相交最多有3个交点，即()33132⨯-=；四条直线相交最多有6个交点，即()44162⨯-=，五条直线相交最多有10个交点，即()551102⨯-=，……∶n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n ≥2）．故答案为6；(1)2n n -．【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……n（1+n）个小球，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n（1+n）=45，∶12解得n=9或-10（舍去），故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，∶摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∶6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．n【答案】114 126【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=126n-个，故答案为：114，126n-．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，∶第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∶6064120213-=，∶用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（）A．99B．100C．101D．102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+2×1个正方形，第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，第三个图中有7＝1＋2×2个正方形， …故第n 个图中有1＋2×n ＝2n +1=201（个）正方形，解得n =100 故选B ．2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（）颗棋子．A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B 【详解】偶数列数与排数表：偶数列数排数 2 2 4 3 6 4 8 5 … … n 12n∶当n =16时，排数为：192n+=，∶前16列共有棋子：()9102123+-3=2-3=872⨯+++⨯…9（颗）， ∶第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．故选B ．3．将一正方形按如图方式分成n 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n 的值为（）A ．12B ．16C ．18D ．20【答案】C【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，根据题意得，2a +2b =3a ，整理得，a =2b ，∶竖排的一行的长方形的个数为3a ÷b =（3×2b ）÷b =6， ∶n =3×2+6×2=6+12=18．故选：C ．4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x +6+20=22+z +y ，整理得：x -y =-4+z ，x +22+n =20+z +n ，20+y +m =x +z +m ，整理得：x =-2+z ，y =2z -22， ∶x -y =-2+z -(2z -22)=-4+z ，解得：z =12， ∶x +y =3z -24=12 故选：D ．5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．【答案】16 674【详解】每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，∴第n 行的最后一个数字为：1+3(1)32n n -=-，∴第6行最后一个数字为：36216⨯-=；322020n -=，解得：674n =，故答案为：16,674．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．【详解】解：∶1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，∶右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∶M =m （n +1）， ∶M =11×(12+1)=143．故答案为：143．7．为了求220211222+++⋯+的值，可令220211222S =+++⋯+，则220222222S =++⋯+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++⋯+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++⋯+的值是______．【答案】2021332-- 【详解】解：令1220211333S ---=+++⋯+，则1220212022133333S ----=++⋯++，因此20221313S S --=-，则20222313S --=-，得：2021332S --=，所以20211220213313332-----+++⋯+=．故答案为：2021332--．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．【答案】（6n +2）【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人．拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人．拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人． …拼接n （n 为正整数）张桌子，可以坐（6n +2）人．故答案是：（6n +2）．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147⨯-⨯=，172316247⨯-⨯=，不难发现，结果都是7． 2012年8月日一二三四五六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 262728293031（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】（1）111710187⨯-⨯=，符合；（2）392107⨯-⨯=；（3）见解析【详解】解：（1）由题意得：111710187⨯-⨯=，符合；（2）392107⨯-⨯=；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x ，则其后的数为（x +1），第二行的两个数分别为（x +7），（x +8），根据题意，得22(1)(7)(8)8787x x x x x x x x ++-+=++--=．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数1 2 3 4 5每个图中小圆圈的总数（3）如果用n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和n 的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）2331m n n =-+【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，边上的小圆圈数 1 2 3 4 5每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61（3）结合（1）（2）可知，m 与n 之间的函数关系为：()()()()()1...212...1m n n n n n n n n n n =+++++-++-++-++++首尾相加得()()21...(2)1m n n n n n n =+++++-++-⎡⎤⎣⎦()()21322213312n n n n n --=+-=-+ 2331m n n =-+．11．对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m ＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m ＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m 是“筋斗数”，且m 与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m ．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”；理由见解析(2)m 的值为9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∶6=3+3，9=2×3+3，∶9633是“筋斗数”；∶6=4+2，28+2≠，∶2642不是“筋斗数”；(2)设m 的个位数为a ，0≤a ≤9，十位数为0＜b ≤9，且a 、b 为整数∶m 是“筋斗数”，∶m 的百位数为a +b ，千位数为2b +a ；∶m =1000（2b +a ）+100（a +b ）+10b +a =1100a +110b +2000b +a∶m 与13的和能被11整除，∶1100a +110b +2000b +a +13能被11整除，∶2b +a ≤9且a 、b 为整数，∶b ≤4.5∶1100a +110b 能被11整除，∶2000b +a +13能被11整除，∶b =0，a =9或b =1，a =0或b =2，a =2或b =3，a =4，或b =4，a =6，∶a +b =9，2b +a =9或a +b =1，2b +a =2或a +b =4，2b +a =6或a +b =7，2b +a =10（舍去）或a +b =10，2b +a =14（舍去），∶m 的值为9909或2110或6422 12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n++++++++＝_______．并使用代数方法证明你的结论． (2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n+++++的值的几何图形．【答案】(1)112n - ，证明见解析；(2)见解析【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n 时， 1111111112481632641282562n ++++++++的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：112n - ， 1111111111124816326412825622n n ∴++++++++=-； ②设1111111112481632641282562n s =++++++++ ， 111111111212481632641282n s -=++++++++ ， 1212n s s ∴-=-，即112n s =-，1111111111124816326412825622n n∴++++++++=-； (2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，则2341111122222n +++++的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：112n -。

河南省中考数学复习专题2规律探索型问题课件

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2．解图形规律探索题的方法：第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数；第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数；函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
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1．解数字或数式规律探索题的方法：第一步：标序号；第二步：找规律，分别比较各部分与序号数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序号数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律表示出第 n 个数式．需要熟记的规律有： (1)正整数和：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n2＋1）(n≥1)； (2)正奇数和：1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2(n≥1)； (3)正偶数和：2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)(n≥1)
专题二规律探索型问题
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规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数字规律”“数式规律”“图形规律”等题型．
1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
解：解析：∵直线 y＝x＋1，x＝0 时，y＝1，∴A1B1＝1，点 B2 的坐标为(3，2)，∴A1 的纵坐标是：1＝20，A1 的横坐标是：0＝20－1，∴A2 的纵坐标是：1＋1＝21，A2 的横坐标是： 1＝21－1，∴A3 的纵坐标是：2＋2＝4＝22，A3 的横坐标是：1＋2＝3＝22－1，∴A4 的纵坐标是：4＋4＝8＝23，A4 的横坐标是：1＋2＋4＝7＝23－1，即点 A4 的坐标为(7，8)．据此可以得到 An 的纵坐标是：2n－1，横坐标是：2n－1－1.即点 An 的坐标为(2n－1－1，2n－1)．∴点 A6 的坐标为(25－1，25)．∴点 B6 的坐标是：(26－1，25)即(63，32)．

九年级数学中考规律探究题(附答案)

专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。

解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。

一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+数列的变化规律③ 1、3、7、15……2n -1④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 数列的和⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第n个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1×12=1-12n=12×23=2-23n=23×34=3-34n=34×45=4-45n=4观察相应位置上变化的数字与序列号的对应关系（注意分清正整数的奇偶）易观察出结果为：n ×1n n +=n-1n n +例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么 32009的个位数字是。

人教版数学七年级上册：难点探究专题《整式中的规律探究(选做)》练习课件(附答案)

4.(2019·铜仁中考)按一定规律排列的一列数依次为
－ a2 ，a5 ，－ a8 ，a11 …(a≠0)，按此规律排列下去，
2 5 10 17 这列数中的第 n 个数是
(1)n
a3n1 n2 1
(n 为正整
数).
三、数的循环规律 5.如图是钢琴键盘的一部分，若从 4 开始，依次弹出 4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…，按照上述规律弹到第 2021 个音符是 4 .
四、数表中的规律 8.如图，下列各图中的三个数之间具有相同规律.依此规律用含 m，n 的式子表示 y，则 y＝ m(n＋2) .
9.如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定 x 的值为 370 .
解析：∵左下角数字为偶数，右上角数字为奇数， ∴2n＝20，m＝2n－1.解得 n＝10，m＝19.∵右下角数字：第一个为 1＝1×2－1，第二个为 10＝3×4－ 2，第三个为 27＝5×6－3，∴第 n 个为 2n(2n－1)－ n.∴x＝19×20－10＝370.故答案为 370.
10.如图所示的数表是由 1 开始的连续自然数排列而成的，根据你观察的规律完成下面问题：
(1)第 8 行共有 15 个数，最后一个数是 64 ；
(2) 第 n 行共有 (2n－1) 个数，第一个数是 (n－1)2＋1 ，最后一个数是 n2 .
11.(2019·青海中考)如图，将图①中的菱形剪开得到图②，图中共有 4 个菱形；将图②中的一个菱形剪开得到图③，图中共有 7 个菱形……如此剪下去，第 5 个图中共有 13 个菱形，第 n 个图中共有 (3n－2) 个菱形.
7.如图，是一个运算程序示意图.若第一次输入 k 的值为 125，则第 2020 次输出的结果是 5 .

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。

2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版

2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。

探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。

它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (2019·海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.2.（2019·黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043L L L L则第20行第19个数是_____________________．3.（2019·武威）已知一列数a，b，a b+，35+，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9a ba b+，2a b+，23个数是．4.（2019·云南）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋15. (2019·聊城) 数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A n(n≥3，n是整数)处，那么线段A n A的长度为________(n≥3，n是整数).6．（2019·安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．7.（2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15．依上述规律，解决下列问题：(1)若s=1，则a2= ．(2)若s=2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15= ．考向2几何图形类规律探究型问题1．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方2.（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．3.（2019·甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n __________．4. (2019·大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n个"T"字形需要的棋子个数为______.5.（2019·龙东地区）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第三个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3…，如此下去，则S2019=________．6. （2019 ·扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+=__________．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（2019 ·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）2.（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）3. （2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使A 4AA 11260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．4. (2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .5. （2019·本溪）如图，点B 1在直线l ：12y x =上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为6. （2019·齐齐哈尔）如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。

专题02 整式加减及其运算(6大考点)-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(解析版)

第一部分数与式专题02 整式加减及其运算（6大考点）核心考点一列代数式及代数式求值核心考点二整式的有关概念及运算核心考点三乘法公式的应用核心考点四整式的化简求值核心考点五因式分解核心考点核心考点六规律探索题新题速递核心考点一列代数式及代数式求值例1（2022·贵州六盘水·中考真题）已知，则的值是（）A．4B．8C．16D．12【分析】令，代入已知等式进行计算即可得．【详解】解：观察所求式子与已知等式的关系，令，则，故选：C ．，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．【答案】【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，∴，∴．故答案为：14，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；(2)若，，求比多出的使用面积．【答案】(1)(2)50【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得；（2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得．【详解】（1）解：中能使用的面积为，故答案为：．（2）解：中能使用的面积为，则比多出的使用面积为，，，，答：比多出的使用面积为50．【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．代数式及求值(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．【变式1】（2022·山东济宁·三模）若是方程的两个根，则的值为（）A．9B．8C．7D．5【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，求解即可．【详解】解：是方程的两个根，则，，∴，，故选：A【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．【变式2】（2022·甘肃·平凉市第十中学三模）十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于的多项式，把等于某数时一的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为，即我们定义．若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】代入多项式可以得，把整体代入求解即可．【详解】，，得：，，故选：C．【点睛】本题考查求代数式的值，整体代入是解题的关键．【变式3】（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足，．（1）若，则_______；（2）若，则代数式的值是______________．【答案】 7 42或252##252或42【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；（2）利用（1）中结论得出或，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可．【详解】解：（1）∵m+n=3，∴，∴，∴，∴，∵m>n，∴，∴；（2），由（1）得或解得：或当m=5，时，∵，∴，∴m+p=2，∴原式；当，n=5时，∵，∴，∴，∴原式；∴代数式的值为42或252；故答案为：①7；②42或252．【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键．【变式4】（2022·福建省福州屏东中学模拟预测）已知，，且，则代数式的值是______ ．【答案】【分析】先计算，利用平方差公式求出的值，再把化为完全平方式，代入求值即可．【详解】解：，，．∴．，．．故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方式，代数式求值，掌握平方差公式和完全平方式的特点，利用平方差公式求出的值，是解决本题的关键．【变式5】（2022·安徽芜湖·模拟预测）阅读下列材料，完成后面的问题．材料1：如果一个四位数为（表示千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位数，其中a为1～9的自然数，b，c，d为0～9的自然数），我们可以将其表示为：；材料2：把一个自然数（个位不为0）的各位数字从个位到最高位倒序排列，得到一个新的数．我们称该数为原数的兄弟数．如数“123”的兄弟数为“321”．(1)四位数______；（用含x，y的代数式表示）(2)设有一个两位数，它的兄弟数比原数大63，请求出所有可能的数；(3)求证：四位数一定能被101整除．【答案】(1)1000x+10y+505(2)18、29(3)证明过程见详解【分析】（1）依据材料1的方法即可作答；（2）先根据（1）的方法表示出和，在结合题意列出二元一次方程，化简得：，再根据x、y均是1至9的自然数即可求解；（3）利用（1）的方法表示出，依据a为1～9的自然数，b为0～9的自然数，可得10a+b必为整数，即命题得证．(1)根据题意有：，即答案为：；(2)∵，，又∵，∴，∴，∵根据题意有x、y均是1至9的自然数，∴满足要求的x、y的数组有：（1,8）、（2,9），∴可能的数有18和29；(3)证明：∵，∴，∵a为1～9的自然数，b为0～9的自然数，∴10a+b必为整数，∴一定能被101整除，命题得证．【点睛】本题考查了列代数式和求解二元一次方程的整数解的知识，充分理解材料1、2所给的新定义是解答本题的关键．核心考点二整式的有关概念及运算例1（2021·四川绵阳·中考真题）整式的系数是（）A．-3B．3C．D．【答案】A【详解】解：的系数为本题主要考查了单项式的系数，追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．用，将化为，再与比较，即可判断的乘方的个位数字的规律即可判断的逆用可得，即可判断【详解】是200个2相乘，YYDS，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；，2的乘方的个位数字4个一循环，，的个位数字是，，且，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD．【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，故答案为：；（2）解：第n个等式为，证明如下：等式左边：，等式右边：，故等式成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．整式及有关概念(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；(2)多项式：由几个单项式组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；(3)整式：单项式和多项式统称为整式；(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．整式的运算1．同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

九年级数学中考规律探究题(附答案)

专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。

解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。

一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。

数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

七年级数学上册人教版整式的加减专题复习——规律探究(解析版)

整式的加减专题复习——规律探究（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一数式规律典例1（2021秋•南岗区校级期中）有一列数，按一定规律排列而成：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，243，…，其中某三个相邻数的和是1701，则这三个数中最小的数是．思路引领：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为1701，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入﹣3x和9x 中，取其中最小值即可得出结论．解：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，依题意，得：x﹣3x+9x＝1701，解得：x＝243，∴﹣3x＝﹣729，9x＝2187．∵﹣729＜243＜2187，故答案为：﹣729．总结升华：本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．典例2（2022秋•涟水县校级月考）观察下面三行数，并按规律填空：①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，，，…；②0，6，﹣6，18，﹣30，66，，…；③﹣3，3，﹣9，15，﹣33，63，，…．（1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数；（2）请你分别写出第②③行的第7个数；（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．思路引领：（1）根据已知数据都是前一个数乘2的到得，再利用第奇数个系数为负数即可得出答案；（2）根据3行数据关系分别分析得出即可；（3）根据（2）得出的规律分别求出每行第9个数，再把它们相加即可．解：（1）∵①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，∴第7个数是﹣128，第八个数是256；（2）第②行数是第①行数加上2，第③行数正好比第①行数少1得到的，即第二行的第7个数是﹣128+2＝﹣126，第三行的第7个数是﹣128﹣1＝﹣129；（3）根据以上所求得出：第一行第9个数为﹣512，第二行第9个数为﹣512+2＝﹣510，第三行第9个数为﹣512﹣1＝﹣513，则这三个数的和是：﹣512﹣510﹣513＝﹣1535．总结升华：此题主要考查了数字变化规律，根据已知数据得出得数字第②行数是第①行数加上2，第③行数正好比第①行数少1得到的是解题关键．针对训练11．（2021•武汉）按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个数的和为768，则n为（）A．9B．10C．11D．12思路引领：观察得出第n个数为（﹣2）n，根据最后三个数的和为768，列出方程，求解即可．解：由题意，得第n个数为（﹣2）n，那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n＝768，当n为偶数：整理得出：3×2n﹣2＝768，解得：n＝10；当n为奇数：整理得出：﹣3×2n﹣2＝768，则求不出整数．故选：B．总结升华：此题考查规律型：数字的变化类，找出数字的变化规律，得出第n个数为（﹣2）n是解决问题的关键．2．（2021秋•新洲区期中）有一串数：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…按一定的规律排列，那么这串数中前个数的和最小．思路引领：根据题目中数据的特点，可以写出第n个数，然后令第n个数等于0，即可得到相应的n的值，从而可以解答本题．解：∵有一串数：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…∴这串数的第n个数为﹣2018+4（n﹣1）＝4n﹣2022，当4n﹣2022＝0时，解得，n＝505…2，∴那么这串数中前505个数的和最小，故答案为：505．总结升华：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出第多少个数的值为0．类型二数阵、数表规律典例3（2020秋•江汉区月考）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是．思路引领：观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行的第一个数，结论可得．解：观察数字的变化可知：第n行有n个偶数．∵第1行的第一个数是：2＝1×0+2；第2行第一个数是：4＝2×1+2；第3行第一个数是：8＝3×2+2；第4行第一个数是：14＝4×3+2；•∴第n行第一个数是：n（n﹣1）+2．∴第25行第一个数是：25×24+2＝602．∴第25行第20个数是：602+2×19＝640．故答案为：640．总结升华：本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算．准确找出数字的变化规律是解题的关键．典例4（2019秋•江汉区期中）有这样一对数，如下表，第n+3个数比第n个数大2（其中n是正整数）第1个第2个第3个第4个第5个……a b c（1）第5个数表示为；第7个数表示为；（2）若第10个数是5，第11个数是8，第12个数为9，则a＝，b＝，c＝；（3）第2019个数可表示为．思路引领：（1）根据第n+3个数比第n个数大2，即可求解；（2）根据第n+3个数比第n个数大2，分别求出第10、11、12个数即可求出结果；（3）根据数字的变化规律，解：（1）∵第n+3个数比第n个数大2，∴第5个数比第2个数大2，∴第5个数为b+2．∵第4个数比第1个数大2，∴第4个数为a+2，∴第7个数比第4个数大2，∴第7个数为a+4．故答案为b+2、a+4．（2）∵第10个数为a+6，第11个数为b+6，第12个数为c+6，∴a+6＝5，b+6＝8，c+6＝9解得a＝﹣1，b＝2，c＝3．故答案为﹣1、2、3．（3）第一组数是a、b、c第二组数是a+2、b+2、c+2第三组数是a+4、b+4、c+4第四组数是a+6、b+6、c+6…第n组数的第三个数是c+（2n﹣2）2019÷3＝673，第2019个数是第673组的第三个数，∴第673组的第三个数是c+2×673﹣2＝c+1344．故答案为c+1344．总结升华：本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找数字的变化规律．针对训练21．（2021秋•播州区期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a6＝，a2020＝．思路引领：根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到a6和a2020的值．解：由题意可得，a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，a4＝1+2+3+4＝10，a5＝1+2+3+4+5＝15，…，∴a n＝1+2+3+…+n=n(n+1)2，∴当n＝6时，a6=6×72=21，当n＝2020时，a2020=2020×20212=2041210，故答案为：21，2041210．总结升华：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值．2．（2018秋•江夏区期中）已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成下列形式：按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（）A．﹣46B．﹣36C．37D．45思路引领：观察排列规律得到第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，则可计算出前9行的数的个数45，而数字的序号为偶数时，数字为负数，于是可判断第10行数的第1个数为﹣46．故选A．解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，所以前9行的数的个数为1+2+3+…+9＝45，而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数，所以第10行数的第1个数为﹣46．故选：A．总结升华：本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题．3．（2017秋•海淀区校级期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．（1）可求得x＝，第2017个格子中的数为．（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值，若不能，请说明理由．（3）若取前3格子中的任意两个数记作a、b，且a≥b，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣★|+|9﹣☆|+|★﹣☆|得到，其结果为；若a、b为前19格子中的任意两个数记作a、b，且a≥b，则所有的|a﹣b|的和为．思路引领：（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出x的值，再根据第9个数是2可得☆＝2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2014除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．解：（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴9+★+☆＝★+☆+x，解得：x＝9，★+☆+x＝☆+x﹣6，∴★＝﹣6，所以，数据从左到右依次为9、﹣6、☆、9、﹣6、☆、…，第9个数与第三个数相同，即☆＝2，所以，每3个数“9、﹣6、2”为一个循环组依次循环，∵2017÷3＝672…1，∴第2017个格子中的整数与第1个格子中的数相同，为9．故答案为：9，9；（2）9﹣6+2＝5，2018＝2015+3＝2015+9﹣6，2015÷5＝403，403×3＝1209，所以是第1209+1+1＝1211个数，即m＝1211，故前1211个数的和为2018；（3）∵取前3格子中的任意两个数，记作a、b，且a≥b，∴所有的|a﹣b|的和为：|9﹣（﹣6）|+|9﹣2|+|﹣6﹣2|＝30．∵由于是三个数重复出现，那么前19个格子中，这三个数，9出现了7次，﹣6和2各出现了6次．∴代入式子可得：|9﹣（﹣6）|×7×6+|9﹣2|×7×6+|2﹣（﹣6）|×6×6＝1212．故答案为：30，1212．总结升华：本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是找出数字间的关系，得出规律．类型三图形的增长规律典例4（2021•汉川市模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第10个图形中右下方的“三角形数”中的所有点数是．思路引领：观察图象中点的个数的规律有第一个图形是4＝1+3，第二个图形是9＝3+6，第三个图形是16＝6+10，…则按照此规律得到第10个图形的规律即可．解：∵第1个图形是4＝1+（1+2），第2个图形是9＝（1+2）+（1+2+3），第3个图形是16＝（1+2+3）+（1+2+3+4），…∴第10个图形是112＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝55+66．故答案为：66．总结升华：此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．典例5（2020秋•江夏区期中）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是（）A．360B．363C．365D．369思路引领：观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把n＝14代入进行计算即可．解：第1个图案只有（2×1﹣1）2＝12＝1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9+1）＝5块，第3个图案有黑色与白色地砖共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25+1）＝13块，…第n 个图案有黑色与白色地砖共（2n ﹣1）2，其中黑色的有12[（2n ﹣1）2+1]，当n ＝14时，黑色地砖的块数有12×[（2×14﹣1）2+1]=12×730＝365．故选：C ．总结升华：本题考查图形的变化规律，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键．针对训练31．（2021秋•中山市期中）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有个〇．思路引领：观察图形的变化先得前几个图形中圆圈的个数，可以发现规律：第n 个图形共有（3n +1）个〇，进而可得结果．解：观察图形的变化可知：第1个图形共有1×3+1＝4个〇；第2个图形共有2×3+1＝7个〇；第3个图形共有3×3+1＝10个〇； …所以第n 个图形共有（3n +1）个〇；所以第10个图形共有10×3+1＝31个〇；故答案为：31．总结升华：本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．2．（2018秋•硚口区期中）对于大于或等于2的整数的平方进行如下“分裂”，如下分别将22、32、42分裂成从1开始的连续奇数的和，依此规律，则20182的分裂数中最大的奇数是．思路引领：由题意可知：每个数中所分解的最大的奇数是前边底数的2倍减去1．由此得出答案即可．解：自然数n2的分裂数中最大的奇数是2n﹣1．20182分裂的数中最大的奇数是2×2018﹣1＝4035，故答案为：4035．总结升华：此题考查数字的变化规律，注意根据具体的数值进行分析分解的最大的奇数和底数的规律，从而推广到一般．3．（2022•仙居县校级开学）如图，都是由棱长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（10）个图形由（）个正方体叠成．A．120B．165C．220D．286思路引领：根据图形的变换规律，可知第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+ n(n+1)2，据此可得第（6）个图形中正方体的个数．解：由图可得：第（1）个图形中正方体的个数为1；第（2）个图形中正方体的个数为4＝1+3；第（3）个图形中正方体的个数为10＝1+3+6；第（4）个图形中正方体的个数为20＝1+3+6+10；故第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+n(n+1)2，∴第10个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21+28+36+45+55＝220．故选：C．总结升华：本题主要考查了图形变化类问题，解决问题的关键是依据图形得到变换规律．解题时注意：第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+n(n+1)2．类型四乘方规律典例6（2022•内蒙古）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（） A ．0B ．1C ．7D ．8思路引领：由已知可得7n 的尾数1，7，9，3循环，则70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同，即可求解．解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，… ∴7n 的尾数1，7，9，3循环， ∴70+71+72+73的个位数字是0， ∵2023÷4＝505…3，∴70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同， ∴70+71+…+72022的结果的个位数字是7，故选：C ．总结升华：本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．典例7（2022秋•东港区校级月考）求1+2+22+23+……+22007的值，可令S ＝1+2+22+23+……+22007，则2S ＝2+22+23+24+……+22008，因此2S ﹣S ＝22009﹣1，即S ＝22009﹣1，仿照以上推理，计算出1+3+32+33+……+32022值为32023−12．思路引领：令S ＝1+3+32+33+……+32022，则3S ＝3+32+33+……+32023，作差求出S 即可．解：令S ＝1+3+32+33+……+32022，则3S ＝3+32+33+……+32023， ∴3S ﹣S ＝32023﹣1，则S =32023−12，即1+3+32+33+……+32022=32023−12．故答案为：32023−12．总结升华：本题考查数字的变化规律，通过观察所给的求和方法，灵活应用此方法求和是解题的关键．针对训练41．（2021秋•罗湖区期中）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；……，已知按一定规律排列的一组数：2501，2502，2503，……，2999，21000．若2500＝a ，用含a 的式子表示这组数之和是（） A ．2a 2﹣2aB ．2a 10﹣2a 5﹣2C ．2a 2﹣aD ．2a 20﹣a思路引领：把所求的数列的各数提取2500，可得：2500×（2+22+23+…+2499+2500），利用所给的等式的规律求解即可．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…， ∴2+22+23+…+2n ＝2n +1﹣2， ∴2501+2502+2503+…+2999+21000 ＝2500×（2+22+23+…+2499+2500）＝2500×（2500+1﹣2）＝2500×（2×2500﹣2）， ∵2500＝a ， ∴原式＝a （2a ﹣2）＝2a 2﹣2a ．故选：A ．总结升华：本题主要考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出规律．2．（2019秋•汾阳市期末）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m 3分裂后，其中有一个奇数是203，则m 的值是（） A ．13B ．14C ．15D ．16思路引领：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m 3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数203的是从3开始的第101个数，然后确定出101所在的范围即可得解．解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m =(m+2)(m−1)2，∵2n +1＝203，n ＝101，∴奇数203是从3开始的第101个奇数， ∵(13+2)(13−1)2=90，(14+2)(14−1)2=104，∴第101个奇数是底数为14的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m ＝14．故选：B ．总结升华：本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．3．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示：则第4个方框中x+y的值是（）A．11B．12C．13D．14思路引领：找出求解过程图中的规律，利用此规律求得m，n，x，y的值，将相应字母的值代入即可得出结论．解：求解过程图中的表格中的规律为：第一行前两个格为十位数字的平方，后两个格为个位数字的平方，平方后不是两位数，十位数字用0代替，第二行从第二个格开始表示的是两位数中个位数字与十位数字的乘积的2倍，第三行为从右开始将一二行数字相加的和，足10进1，∵62＝36，∴m＝3，n＝6，∵6×7×2＝84，∴x＝8，y＝4，∴x+y＝12．故选：B．总结升华：本题主要考查了有理数的乘方，求代数式的值，找出求解过程图中的规律是解题的关键．类型五幻方规律典例8（2021秋•江阴市期中）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（）A．﹣6或﹣3B．﹣8或1C．﹣1或﹣4D．1或﹣1思路引领：由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论．解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5，6+4+b+c＝2，得c＝﹣3，a+c+4+d＝2，a+d＝1，∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6，当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3，故选：A．总结升华：本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．典例9（2020•冷水江市一模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，m＝．思路引领：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可．解：1+2+3+…+9＝45，根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第一列第三个数为：15﹣2﹣5＝8，第三列第二个数为：15﹣3﹣5＝7，第三个数为：15﹣2﹣7＝6，如图所示：∴m＝15﹣8﹣6＝1．故答案为：1．总结升华：本题考查数的特点和有理数的加法，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键．针对训练51．（2021秋•南安市期中）现有七个数﹣1，﹣2，﹣2，﹣4，﹣4，﹣8，﹣8将它们填入图1（3个圆两两相交分成7个部分）中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，如图2给出了一种填法，此时m＝64，在所有的填法中，m的最大值为256．思路引领：观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大所以﹣8，﹣8必须放在被乘两次的位置．与﹣8，﹣8同圆的只能为﹣1，﹣4，其中﹣4m＝256解：观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大所以﹣8，﹣8必须放在被乘两次的位置．与﹣8，﹣8同圆的只能为﹣1，﹣4，其中﹣4放在中心位置，如图∴m＝（﹣8）×（﹣8）×（﹣1）×（﹣4）＝256总结升华：本题考查有理数的乘法，关键是找到两个（﹣8）的位置．2．将9个数填入幻方的九个方格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如表一：按此规律将满足条件的另外6个数填入表二，则表二中这9个数的和为（用含a的整式表示）．表一492357816表二a+5a+1a﹣1思路引领：根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于a与x的方程，可得x＝a+2，进一步求出这9个数的和即可．解：如图所示：4+x+a﹣1+a+3＝a﹣3+a+1+a+3，解得x＝a﹣5，a+3+x+a+3＝2a+6+a﹣5＝3a+1，3（3a+1）＝9a+3．故答案为：9a+3．总结升华：此题考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型六其他规律典例10（2019秋•武昌区校级期中）某初中七（5）班学生军训排列成7×7＝49人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点4个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则15次点名后蹲下的学生人数可能是（）A．3B．27C．49D．以上都不可能思路引领：假设站立记为“+1”，则蹲下为“﹣1”．原来49个“+1”，乘积为“+1”，每次改变其中的4个数，即每次运算乘以4个“﹣1”，即乘以了“+1”，乘积为“+1”，即可得出结论．解：假设站立记为“+1”，则蹲下为“﹣1”．原来49个“+1”，乘积为“+1”，每次改变其中的4个数，即每次运算乘以4个“﹣1”，即乘以了“+1”， 15次点名后，乘积仍然是“+1”，所以，最后出现“﹣1”的个数为偶数，即蹲下的学生人数为偶数，选项A ，B ，C 都不符合题意，故选：D ．总结升华：此题主要考查了奇数与偶数，有理数乘法中积的符号的判断，解决本题的关键是利用有理数的乘法进行解决．针对训练61．（2019秋•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x 是集合的一个元素时，100﹣x 也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m ，且1180＜m ＜1260，则该黄金集的元素的个数是（） A ．23B ．24C ．24或25D ．26思路引领：由黄金集合的定义，可知一个整数是x ，则必有另一个整数是100﹣x ，则这两个整数的和为x +100﹣x ＝100，只需判断1180＜m ＜1260内100的个数即可求解．解：在黄金集合中一个整数是x ，则必有另一个整数是100﹣x ， ∴两个整数的和为x +100﹣x ＝100，由题意可知，1180＜m ＜1260时， 100×12＝1200，100×13＝1300， ∴这个黄金集合的个数是24或25个；故选：C ．总结升华：本题考查有理数，新定义；理解题意，通过两个对应元素和的特点，结合m 的取值范围，进而确定元素个数是解题关键．第二部分专题提优训练1．观察下面一列数：1，12，2，13，1，3，14，23，32，4，15，12，1，2，5，16，…（已写出了第1至第16个数）．（1）第7，第8，第9，第10个数的积是，前16个数的积是；（2）按此规律，第30个数是；（3）在上面这列数中，从左起第m 个数记为F （m ），当F （m ）=92020时，求m 的值．思路引领：（1）根据规律直接写出数计算即可；（2）根据题意将数字从左边开始分别以1个数，2个数，3个数，…，为一组，每组数据的积为1，且分子递增1，分母递减1，然后根据规律得出第30个数即可；（3）根据F （m ）=92020判断出F （m ）是第几组第几个数即可得出m 的值．解：（1）根据题意知，第7，第8，第9，第10个数的积是14×23×32×4＝1，前16个数的积是1×（12×2）×（13×1×3）×（14×23×32×4）×（15×24×1×42×5）×16=16，故答案为：1，16；（2）由（1）知，将数字从左边开始分别以1个数，2个数，3个数，…，为一组，每组数据的积为1，且分子递增1，分母递减1， ∵1+2+3+4+5+6+7＝28，∴第30个数在第8组的第2个数，即1+18−1=27，故答案为：27；（3）∵F （m ）=92020，2020+9＝2029，∴F （m ）是第2028组第9个数，前面有2027组数， ∴m ＝（1+2+3+4+…+2027）+9=1+20272×2027+9=2055387．总结升华：本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化分组分析规律是解题的关键．2．（2021秋•丹江口市期中）观察一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数排成下列形式：（1）在表中，第12行第6个数是；（2）在表中，“2021”是其中的第行，第个数；（3）将表中第i 行的最后一个数记为a i ，如第1行的最后一个数记为a 1，即a 1＝1，第2行的最后一个数记为a 2，即a 2＝3，如此下去，a 3＝﹣6，a 4＝﹣10，…，第n 行的最后一个数记为a n ，则用含n 的式子表示|a n |为；（4）在（3）的条件下，计算1a 1+1a 2−1a 3−1a 4+1a 5+1a 6−1a 7−1a 8+1a 9+1a 10．思路引领：（1）先求出前11行一共有66，即可求解；（2）求出前n 行共有n(n+1)2个数，再求前63行共有2016个数，即可求2021的位置；（3）由题意可得，1+2+3+......+n =n(n+1)2，即可求解；（4）原式=2(1−12+12−13+13−14+......+19−110+110−111)，再运算即可．解：（1）由题可知，第一行1个数，第二行2个数，…，第n 行n 个数， ∴前11行一共有1+2+3+…+11＝66， ∴第12行第一个数是67， ∴第12行第6个数是﹣72，故答案为：﹣72；（2）由题意可得，前n 行共有n(n+1)2个数，∴当n ＝63时，前63行共有2016个数， ∴2021时第64行的第5个数，故答案为：64，5；（3）由题意可得，1+2+3+......+n =n(n+1)2， ∴|a n |=n(n+1)2，故答案为：n(n+1)2；（4）1a 1+1a 2−1a 3−1a 4+1a 5+1a 6−1a 7−1a 8+1a 9+1a 10=11+13+16+110+......+145=2(11×2+12×3+13×4+......+19×10+110×11) =2(1−12+12−13+13−14+......+19−110+110−111)=2(1−111) =2011．总结升华：本题考查数字的变化规律，根据题意探索数字的排列规律是解的关键． 3．（2022•东莞市校级一模）找出以下图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是 3033 ．思路引领：仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案．解：∵当n 为偶数时第n 个图形中黑色正方形的数量为n +12n 个；当n 为奇数时第n 个图形中黑色正方形的数量为n +12（n +1）个，∴当n ＝2022时，黑色正方形的个数为2022+1011＝3033个．故答案为：3033．总结升华：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律．4．（2020秋•西城区校级期中）古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…．由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．（1）请你写出一个既是三角形数又是正方形数的自然数．（2）类似地，我们将k 边形数中第n 个数记为N （n ，k ）（k ≥3）．以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：N （n ，3）=12n 2+12n 正方形数：N （n ，4）＝n 2 五边形数：N （n ，5）=32n 2−12n 六边形数：N （n ，6）＝2n 2﹣n …根据以上信息，得出N （n ，k ）＝．（用含有n 和k 的代数式表示）思路引领：（1）由题意得第8个图的三角形数是36，所以既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36；（2）由已知等式进行变形进而可推出结果．解：（1）由题意第8个图的三角形数为12×8（8+1）＝36，∴既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36，故答案为36．（2）∵N （n ，3）=n 2+n 2=(3−2)n 2+(4−3)n2，N （n ，4）＝n 2=2n 2+0×n 2=(4−2)n 2+(4−4)n2， N （n ，5）=32n 2−12n =(5−2)n 2+(4−5)n2，N （n ，6）＝2n 2﹣n =4n 2−2n 2=(6−2)n 2+(4−6)n2，由此推断出N （n ，k ）=(k−2)n 2+(4−k)n2（k ≥3）．故答案为：(k−2)n 2+(4−k)n2（k ≥3）．总结升华：本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．5．（2020秋•江夏区校级月考）观察下列等式：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，…，若12+22+32+42+52+…+n 2的个位数字是1（0＜n ≤2020，且n 为整数），下列选项中，n 的最大值是（） A ．2001B ．2006C ．2011D ．2019思路引领：通过计算发现每10个数，末位数字循环一次，再结合选项进行判断即可求解．解：∵12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121，122＝144，132＝169，…， ∴每10个数，末位数字循环一次， ∴1+4+9+6+5+6+9+4+1+0＝45， ∵2001÷10＝200……1， ∴200×45+1＝9001； ∵2006÷10＝200……6， ∴200×45+1+4+9+6+5+6＝9031； ∵2011÷10＝201……1， ∴201×45+1＝9046； ∵2019÷10＝201……9， ∴202×45＝9090； ∵2006＞2001， ∴n 的最大值为2006，故选：B ．总结升华：本题考查数字的变化规律，通过探索每个数的尾数的循环规律，并运用规律求解是解题的关键．6．（2021•碧江区模拟）观察等式：2+22＝23﹣2：2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100，若250＝a，则用含a的式子表示这组数的和是．思路引领：由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故答案为：2a2﹣a．总结升华：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．7．（2019秋•武汉期中）如图，在边长为1厘米的正方形网格有12个格点，用这些格点做三角形顶点，一共可以连成面积为2平方厘米的三角形个数为（）A．24B．32C．28D．12思路引领：根据面积等于底乘以高依次分情况分析既可以得到三角形个数．解：①如图以AB为底时，与对边CF的四个顶点都可以构成面积等于2平方厘米的三角形，类似这样的三角形共有16个，②如图以AC为底与线段BE上的三个点可以构成面积等于2平方厘米的三角形，类似这样的三角形共有12个，其中有四个直角三角形是重复的，故三角形总个数：16+12﹣4＝24个，。

专题2.4 整式中的八大规律探究题(人教版)(解析版)

专题2.4 整式中的八大规律探究题【人教版】【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】 (1)【题型2 多项式的项及次数的变化规律】 (3)【题型3 图表的规律】 (5)【题型4 图形的规律】 (8)【题型5 算式的规律】 (11)【题型6 程序运算】 (14)【题型7 定义新运算】 (17)【题型8 动点规律探究】 (20)【题型1单项式的系数与次数的变化规律】【例1】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学统考阶段练习）按一定规律排列的单项式：a2，−2a3，4a4，−8a5，16a6，…，第n个单项式是（）A．(−1)n+1n2a n+1B．(−1)n2n a nC．(−1)n+12n−1a n+1D．(−1)n+12n a n+1【答案】C【分析】分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式．【详解】解：a2=(−1)1+121−1a1+1，−2a3=(−1)2+122−1a2+1，4a4=(−1)3+123−1a3+1，−8a5=(−1)4+124−1a4+1，……，∴第n个单项式是(−1)n+12n−1a n+1．故选：C．【点睛】本题考查了单项式的找规律问题，分别找出符号、系数、次数的变化规律，从而得出单项式的变化规律．【变式1-1】（2023春·山东滨州·七年级统考期中）观察下列单项式：xy2,−2x2y3,3x3y4,−4x4y5,…，按此规律，第2021个单项式是．【答案】2021x2021y2022【分析】根据已知单项式得出第n个单项式为（−1）n+1•nx n y n+1，据此可得．【详解】解：由已知单项式知第n个单项式为（−1）n+1•nx n y n+1，∴第2021个单项式是2021x2021y2022，故答案为：2021x2021y2022．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是将单项式划分为符号、系数的绝对值、字母的指数，并找到各部分与序数的关系．【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）观察下列三行数：①2，−4，8，−16，32，−64，…；②3，−3，9，−15，33，−63，…；③−1，2，−4，8，−16，32，…；取每一行的第n个数，依次记为x，y，z，当n=2时，x=−4，y=−3，z=2．当n=7时，请直接写出x，y，z的值，并求这三个数中最大数与最小数的差．【答案】x=128，y=129，z=−64，193【分析】根据已知发现：第①行的数，从第二个数开始，后面一个数是前面一个数乘−2得到的，第②行的数第①行对应的数加1；第③行的数为第①行对应的数的一半的相反数，依此分别求出x、y、z的值，进而求解即可．【详解】通过观察发现：①2，−4，8，−16，32，−64，⋯，规律为−(−2)n，②3，−3，9，−15，33，−63，⋯，规律为−(−2)n+1，(−2)n，③−1，2，−4，8，−16，32，⋯，规律为12当n=7时，x=−(−2)7=128，y=−(−2)7+1=129，z=1(−2)7=−64，2这三个数中最大的数与最小的数的差为129−(−64)=193．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，观察数列，发现第②行、第③行的数与第①行数的关系以及第①行数的排列规律是解题的关键．【变式1-3】（2023春·七年级课时练习）观察下列单项式：−x,3x2,−5x3,7x4,⋅⋅⋅,−37x19,39x20,⋅⋅⋅．解决下列问题：(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．【答案】(1)−1,3,−5,7,⋯,−37,39,⋯，系数的绝对值的规律是2n−1(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数(3)(−1)n(2n−1)x n(4)第2022个单项式是4043x2022，第2023个单项式是−4045x2023【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可；（2）观察次的变化，从而可求解；（3）结合（1）（2）进行分析即可；（4）根据（3）进行求解即可．【详解】（1）解：这组单项式的系数依次是−1,3,−5,7,⋯,−37,39,⋯，系数的绝对值为1,3,5,7,⋯,37,39,⋯，是从1开始的奇数，∴系数的绝对值的规律是2n−1．（2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．（3）解：由（1）问得：符合规律是(−1)n，∵这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，∴第n个单项式是(−1)n(2n−1)x n．（4）解：第2022个单项式是4043x2022，第2023个单项式是−4045x2023．【点睛】本题主要考查找规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键．【题型2多项式的项及次数的变化规律】【例2】（2023春·河北廊坊·七年级统考期末）有一组按规律排列的多项式：a−b，a2+b3，a3−b5，a4+ b7，…，则第2023个多项式是（）A．a2023+b4047B．a2023−b4047C．a2023+b4045D．a2023−b4045【答案】D【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【详解】解：多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，a n，第二项依次是−b，b3，−b5，b7，…，(−1)n b2n−1，得到第n个式子是：a n+(−1)n b2n−1．当n=2023时，多项式为a2023−b4045故选：D．【点睛】此题主要考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．【变式2-1】（2023春·北京延庆·七年级统考期末）观察一组按规律排列的代数式：a+2b，a2−2b3,a3+2b 5,a4−2b7,⋅⋅⋅,第n个式子是．（n为正整数）【答案】a n+(−1)n+12b2n−1【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．【详解】解：∵当n为奇数时，(−1)n+1=1；当n为偶数时，(−1)n+1=−1，∵每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，∴第n个式子是a n+(−1)n+12b2n−1．故答案为：a n+(−1)n+12b2n−1．【点睛】本题考查了多项式规律，认真观察式子的规律是解题的关键．【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）有一组多项式：a−b2，a3+b4，a5−b6，a7+b8，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n个多项式为．【答案】a2n−1+(−1)n b2n【分析】观察已知多项式，得出一般性规律，确定出第n个多项式即可．【详解】解：根据题意，∵a−b2，a3+b4，a5−b6，a7+b8，．．．，∴第n个多项式为：a2n−1+(−1)n b2n；故答案为：a2n−1+(−1)n b2n．【点睛】此题考查了多项式，找出正确的规律是解本题的关键．【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）已知多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10．(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗⋅(2)最后一项的系数m的值为多少⋅(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么⋅【答案】(1)十次十一项式；(2)21；(3)13a4b6、−15a3b7；【分析】（1）该多项式按照a的降幂排列，每一项的次数是10，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答；（2）观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数m的值；（3）结合（1）即可得到多项式的第七项和第八项．【详解】（1）解：∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10是按照a的降幂排列，∴该多项式有11项，并且每一项的次数是10，∴该多项式是十次十一项式；（2）解：∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10有11项，∴每一项的系数是1、−3、5、……，且偶数项为负数，奇数项为正数，∴第n项的系数为(−1)n+1(2n−1)，∴第11项的系数为21，∴m=21,∴最后一项的系数m的值为21．（3）解：∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10第n项的系数为(−1)n+1(2n−1)，∴第七项的系数是(−1)n+1(2n−1)=13，第八项的系数是(−1)n+1(2n−1)=−15，∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10按照a的降幂排列，且每一项的次数是10，∴第七项是13a4b6, 第八项−15a3b7,【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，多项式的的有关概念，理解多项式的项，项数，次数是解题的关键．【题型3图表的规律】【例3】（2023春·广东佛山·七年级统考期末）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a=90时，b的值为（）a68101214…b815243548…c1017263750…A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】C【分析】观察表格，可知a对应的数的规律是a=2(n+2)，n表示第几项，b对应的数的规律是b=(n+2)2−1，由此即可求解．【详解】解：根据题意可知，a对应的数的规律是a=2(n+2)，n表示第几项，当a=90时，90=2(n+2)，∴n=43，即第43个数，b对应的数的规律是b=(n+2)2−1，∴b=(n+2)2−1=(43+2)2−1=2025−1=2024，故选：C．【点睛】本题主要考查数字规律，观察数与数的关系，找出数字间的规律是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定a的值为（）A．10B．9C．8D．7【答案】B【分析】首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，然后根据4−1=3，6−2=4，8−3=5，10−4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少．【详解】解：观察表格可得第n个表格的左上角的数等于n，∵4−1=3，6−2=4，8−3=5，10−4=6，∴可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，∴20−a=a+2，∴a =9，故选B ．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．【变式3-2】（2023春·广西南宁·七年级统考期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的142638410a 2029320435554b x 第1个第2个第3个第4个………………根据此规律确定x 的值为（）A ．252B ．209C ．170D ．135【答案】B【分析】先根据这四个数的变化规律得出这四个数，再根据规律计算即可．【详解】根据题意可知右上角的数是左下角的数的2倍，左上角的数比左下角的数少1，且右下角的数是左下角和右上角两个数的乘积再加上左上角的数，所以b =10，a =9，则x =20b +a =20×10+9=209．故选：B ．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，得出变化规律是解题的关键．【变式3-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：（1）在表一中，[3，5]＝，[8，10]＝；（2）在表一中，第3行第n +1列的数可以记为[3，n +1]＝；（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a +b ﹣2c 的值．【答案】（1）15，80；（2）3n+3；（3）28．【分析】（1）根据表格一可知，第一列相差1，第二列相差2，第n列相差n；第一行相差1，第二行相差2，第n行相差n；据此即可求解；（2）类比（1）的规律得出结论；（3）根据第n列相差n；第n行相差n；据此即可求解．【详解】解：（1）[3，5]表示第3行第5列，则结果为：3+3+3+3+3=15；[8，10]表示第8行第10列，则结果为：10×8=80，故答案为：15，80；（2）类比（1）可得：[3，n+1]表示第3行第n+1列的数为：3+(n+1-1)×3=3n+3；（3）解：表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以a=15+3=18；表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1，所以b=24+25-20+1=30；表四：3×6=18，4×8=32，可以判断出c在第四列、第七行，即c=4×7=28；∴3a+b﹣2c＝3×18+30-2×28=28．故答案为：28．【点睛】本题考查了数字的变化规律，找出各个数字之间的关系：第n列相差n；第n行相差n是解题的关键．【题型4图形的规律】【例4】（2023春·云南临沧·七年级统考期末）如图，用字母“C”、“H”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H，第2个图案中有6个H，第3个图案中有8个H，……，按此规律排列下去，第2023个图案中字母H的个数为()A．4044B．4046C．6069D．4048【答案】D【分析】根据题目中的图案，可以写出前几个图案中“H”的个数，从而可以发现“H”个数的变化规律，进而得到第n个图案中“H”的个数，从而可求解．【详解】解：由图可知，第1个图案中“H”的个数为：2×2=4(个)，第2个图案中“H”的个数为：2×3=6(个)，第3个图案中“H”的个数为：2×4=8(个)，…，则第n个图案中“H”的个数为：2(n+1)，∴第2023个图案中字母H的个数为：2×2024=4048．故选：D．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“H”个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式4-1】（2023春·四川成都·七年级统考期末）用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要枚棋子，图n需要枚棋子（用含n的代数式表示）．【答案】29 (6n−1)【分析】根据已知图形找出规律求解即可．【详解】解：∵第①个图形中棋子的数量为：5=2×6−7，第②个图形中棋子的数量为：11=3×6−7，第③个图形中棋子的数量为：17=4×6−7，第④个图形中棋子的数量为：23=5×6−7，∴第⑤个图形中棋子的数量为：6×6−7=29，第n个图形中棋子的数量为：6(n+1)−7=6n−1．故答案为：29；(6n−1)．【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【变式4-2】（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要根小棒．【答案】51【分析】根据所给的图形不难得出第n个图形小棒的根数为：6+5(n−1)=5n+1，从而可求解．【详解】解：∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11=6+5根小棒，第3个图案中有16=6+5+5根小棒，……∴第n个图案中小棒的根数为：6+5(n−1)=5n+1，∴第10个图案中小棒的根数为：5×10+1=51，故答案为：51．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第n个图案中有(5n+1)根小棒是解决问题的关键．【变式4-3】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期末）下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠颗．【答案】820n(1+n)个小球，据此规律计算即【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12可．【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……n(1+n)个小球，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12当n=40时，×40×(1+40)=820小球个数为12故答案为：820．n 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第n个图形有1+2+3+4+…+n=12 (1+n)个小球是解题的关键．【题型5算式的规律】【例5】（2023春·广东广州·七年级统考期末）观察以下等式：第1个等式：(2×1+1)2=(2×2+1)2−(2×2)2第2个等式：(2×2+1)2=(3×4+1)2−(3×4)2第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2−(4×6)2第4个等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2−(5×8)2……按照以上规律，第5个等式是：，第n个等式（用含n的式子表示）是：．【答案】(2×5+1)2=(6×10+1)2−(6×10)2，(2×n+1)2=[(n+1)×2n+1]2−[(n+1)×2n]2【分析】根据前四个等式，抽象概括出相同位置上的数字规律，即可得出结论．【详解】解：第1个等式：(2×1+1)2=[(1+1)×2×1+1]2−[(1+1)×2×1]2=(2×2+1)2−(2×2)2；第2个等式：(2×2+1)2=[(2+1)×2×2+1]2−[(2+1)×2×2]2=(3×4+1)2−(3×4)2；第3个等式：(2×3+1)2=[(3+1)×2×3+1]2−[(3+1)×2×3]2=(4×6+1)2−(4×6)2；第4个等式：(2×4+1)2=[(4+1)×2×4+1]2−[(4+1)×2×4]2=(5×8+1)2−(5×8)2；……∴第5个等式：(2×5+1)2=[(5+1)×2×5+1]2−[(5+1)×2×5]2=(6×10+1)2−(6×10)2，∴第n个等式（用含n的式子表示）是：(2×n+1)2=[(n+1)×2n+1]2−[(n+1)×2n]2；故答案为：(2×5+1)2=(6×10+1)2−(6×10)2，(2×n+1)2=[(n+1)×2n+1]2−[(n+1)×2n]2．【点睛】本题考查数字规律探究．根据已知的等式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．【变式5-1】（2023春·四川成都·七年级统考期末）观察按一定规律排列的一组数：2，12，27，…，其中第n 个数记为a n ，第n +1个数记为a n +1，第n +2个数记为a n +2，且满足1a n +1a n +2=2a n +1，则a 4= ，a 2023= ．【答案】15/0.2 26067【分析】由题意推导可得a n =23(n−1)1，即可求解．【详解】解：由题意可得：a 1=2=21，a 2=12=24，a 3=27，∵1a 2+1a 4=2a 3，∴2+1a 4=7，∴a 4=15=210，∵1a 3+1a 5=2a 4，∴a 5=213，同理可求a 6=18=216，⋯∴a n =23(n−1)1，∴a 2023=23(2023−1)1=26067，故答案为：15；26067．【点睛】本题考查了数字的规律探索，找出数字的变化规律是解题的关键．【变式5-2】（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）仔细观察下列规律：22−2=2(2−1)=2：23−22=22(2−1)=22；24−23=23(2−1)=23；…(1)28−27=___________．(2)2n−1−2n =___________；(3)小明做完上述两题后，发现了一个运算规律：24+23+22+2=(25−24)+(24−23)+(23−22)+(22−2)=25−24+24−23+23−22+22−2=25−2请你参考小明发现的规律计算：2100+299+298+⋅⋅⋅+23+22+2．【答案】(1)27(2)−2n−1(3)2101−2【分析】（1）根据所给式子对照可得答案；（2）根据所列出的式子的变化规律，类推出第n 个式子的情况，从而得出结果（3）利用（2）中所得规律变形，再消项计算．【详解】（1）解：根据题意可得：28−27=2×27−27=27×(2−1)=27；（2）由题中规律可得：2n −2n−1=2n−1，∴2n−1−2n =−2n−1；（3）2100+299+298+⋅⋅⋅+23+22+2=(2101−2100)+(2100−299)+⋅⋅⋅+(24−23)+(23−22)+(22−2)=2101−2100+2100−299+⋅⋅⋅+24−23+23−22+22−2=2101−2【点睛】本题考查数字规律，找出式子的变化规律是关键，注意与所在的个数之间的关系，并用所在的个数表示其变化规律即可，并类推应用．【变式5-3】（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）请仔细观察下列各等式的规律：第1个等式：11×3=12×第2个等式：13×5=12×第3个等式：15×7=12×…(1)请用含n 的代数式表示第n 个等式的规律；(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？【答案】(1)1(2n−1)×(2n 1)=12×(2)20234047【分析】（1）写出第4个等式：17×9=12×5个等式：19×11=12×（2）先写出第2023个等式为：14045×4047=12×1个等式至第2023个等式的左边部分相加为：11×3+13×5+15×7.....+14045×4047变形即可求出答案．【详解】（1）解：根据题意可得：第4个等式：17×9=12×第5个等式：19×11=12×…….第n 个等式：1(2n−1)×(2n1)=12×（2）解：第2023个等式为：14045×4047=12×第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为：11×3+13×5+15×7.....+14045×4047=12×1−13+13−15+15−17 (14045)=12×1−13+13−15+15−17 (14045)=12×1−=12×40464047=20234047．【点睛】本题考查找规律，并通过规律解决问题，正确理解找出规律是解题的关键．【题型6 程序运算】【例6】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入 k 的值为 25，则第 2023 次输出的结果是．【答案】5【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．×25=5，【详解】解：当k=25时，15×5=1，当k=5时，15当k=1时，k+4=5，×5=1，当k=5时，15当k=1时，k+4=5，×5=1，当k=5时，15…∴规律为从第一次开始输出结果是5和1的循环，∴2023÷2=1011...1，即第2023次输出的结果是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．【变式6-1】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的运算程序，由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上，称之为“数字黑洞”．小明写下了一列数1234567890，按照“偶-奇-总”的程序不断排出新数：这十个数中，偶数有5个，奇数有5个，总数有10个，得到新数为5510；再把5510，按照“偶-奇-总”排列，…… 继续下去，你将得到一个“数字黑洞”是．【答案】123【分析】根据题中材料，按照要求操作即可得到答案．【详解】解：对于5510，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有3个，总数有4个，得到新数为134；对于134，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有2个，总数有3个，得到新数为123；对于123，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有2个，总数有3个，得到新数为123；⋯以此类推，得到的“数字黑洞”是123，故答案为：123．【点睛】本题考查数字规律，读懂题意，按照要求操作是解决问题的关键．【变式6-2】（2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为．【答案】6【分析】分别计算出前六次的输出结果可以得到从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，由此进行求解即可．【详解】解：由题意得，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，第三次得到的结果为12，第四次得到的结果为6，第五次得到的结果为3，第六次得到的结果为12，…∴可知从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，∵(2023−2)÷3=673…2，∴第2023次的输出结果和第四次的输出结果相同，为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了与程序流程图相关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．【变式6-3】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：-2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是.【答案】4036【分析】根据第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；……由此可得第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2；由此即可解答.【详解】第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；……由此可得，第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为：-2+0+2n=2n-2；∴第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是：2n-2=2×2019-2=4036.故答案为4036.【点睛】本题是数字规律探究题，根据题意得到第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2是解决问题的关键.【题型7定义新运算】【例7】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）定义一种新运算：“⊗”观察下列各式：2⊗3=2×3+3=93⊗(−1)=3×3−1=84⊗4=4×3+4=165⊗(−3)=5×3−3=12，则a⊗b=（用含a、b的代数式表示）【答案】3a+b【分析】根据所给算式总结规律解答即可．【详解】解：∵2⊗3=2×3+3=9，3⊗(−1)=3×3−1=8，4⊗4=4×3+4=16，5⊗(−3)=5×3−3=12，∴a⊗b=3a+b，故答案为：3a+b．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．称为a的差倒数．如【变式7-1】（2023春·陕西安康·七年级统考期末）定义：若a是不为1的有理数，则11−a=−1．现有若干个数，第一个数记为a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，依此类推，2的差倒数为11−2，则a2023=．若a1=−13【答案】−13【分析】根据规定进行计算，得出：a 1，a 2，a 3，a 4发现3个一循环，按照这个规律计算即可．【详解】∵a 1=−13，∴a2=11−a 134，a 3=11−a 2=11−34=4，a 4=11−a 3=11−4=−13由此可以看出−13，34，4，三个数不断循环出现．因为2023÷3=674⋯1，，所以a 2023=a 1=−13．故答案为：−13．【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，关键是发现循环的规律，然后利用规律进行计算分析判断．【变式7-2】（2023春·重庆·七年级统考期末）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n +5；②当n 为偶数时，结果为n2k （其中k 是使n2k 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n =26，则：若n =23，则第2022次“F ”运算的结果是（）A ．74B ．37C ．92D ．23【答案】D【分析】根据题意和题目中的新定义，可以计算出前几次的运算结果，然后观察结果，即可发现结果的变化规律，从而可以计算出n =23，第2022次“F ”运算的结果．【详解】解：由题意可得，当n =23时，第一次的运算结果为3×23+5=74，第二次的运算结果为：74÷2=37，第三次的运算结果为：3×37+5=116，第四次的运算结果为：116÷22=29，第五次的运算结果为：3×29+5=92，第六次的运算结果为：92÷22=23，第七次的运算结果为：3×23+5=74，…，由上可得，每六次为一个循环，∵2022÷6=337，∴n =23，则第2022次“F ”运算的结果是23，故选：D ．【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现运算结果的变化特点．【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数54与5，因为54+5=54×5，所以54与5是一对“友好数”．（1）有理数a 和b 是一对“友好数”，当a =4时，则b =；（2）对于有理数x （x ≠0且x ≠1），设x 的“友好数”为x 1；x 1的倒数为x 2；x 2的“友好数”为x 3；x 3的倒数为x 4；……依次按如上的操作，得到一组数，x 1,x 2,x 3,x 4,⋯,x n ．当x =32时，x 2023的值为；【答案】433【分析】（1）根据定义得a +b =ab ，代入数据求出数值即可；根据题意依次写出x 的数值，找到规律，根据规律即可求得数值．【详解】（1）解：∵有理数a 和b 是一对“友好数”∴ a +b =ab 将a =4代入得：b =43（2）当x =32时，得：x 1=3，x 2=13，x 3=−12，x 4=−2，x 5=23，x 6=32，x 7=3，．．．发现6个数为一周期，∵ 2023÷6=337⋅⋅⋅⋅⋅⋅1∴ x 2023=x 1=3故答案为：43；3【点睛】本题考查了新定义，找规律的题型，观察定义、归纳概括出规律是解题关键．【题型8动点规律探究】【例8】（2023春·重庆·七年级统考期末）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达P1的位置，点P从0跳动21次到达P2的位置，…，点P1、P2、P3…P n在一条直线上，则点P从0跳动次可到达P14的位置．（）A．887B．903C．909D．1024【答案】B【分析】找到规律：跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为n×3，进而得到答案即可．【详解】由题意知，跳动1+2+3=6个单位长度到P1，从P1到P2再跳动4+5+6=15个单位长度，归纳可得：从上一个点跳到下一个点跳动的单位长度是三个连续的正整数的和，∵14×3=42，∴点P从0跳到P14跳动了：1+2+3+4+…+42=903，故选：B．【点睛】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．【变式8-1】（2023春·浙江台州·七年级统考期末）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA 上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M 从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（）秒．A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】试题分析：动点M 从O 点出发到A4点，在直线AB 上运动了4个单位长度，在以O 为圆心的半圆运动了（π•1+π•2）单位长度，∴动点M 到达A10点处运动的单位长度=10+（π•1+π•2+…+π•10）=10+55π．∴动点M 到达A10点处运动所需时间=（10+55π）÷1=（10+55π）秒．故选A考点：1．规律探索，2．圆的周长【变式8-2】（2023春·全国·七年级期末）如图，数轴上的O 点为原点，A 点表示的数为﹣2，动点P 从O 点出发，按以下规律跳动：第1次从O 点跳动到OA 的中点A 1处，第2次从A 1点跳动到A 1A 的中点A 2处，第3次从A 2点跳动到A 2A 的中点A 3处，…，第n 次从An ﹣1点跳动到An ﹣1A 的中点An 处，按照这样的规律继续跳动到点A 4，A 5，A 6，…，An （n ≥3，n 是整数）处，那么An 点所表示的数为．【答案】−2+12n−1【分析】根据题意找出规律：AA 1=1，A 1A 2=12，A 2A 3=14，......，A n−1A n =12n−1，再求出A n O 即可．【详解】解：∵A 点表示的数为−2，∴AO =2，∵OA 的中点是A 1，∴AA 1=12AO =1，同理可得A 1A 2=12，A 2A 3=14，......，A n−1A n =12n−1，∴A n O =2−12n−1，∵A n点在负半轴，∴A n点所表示的数为：−2+12n−1；故答案为：−2+12n−1．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是会总结归纳出数字的变化规律．【变式8-3】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2022次相遇在哪条边上？（）A．AD B．AB C．BC D．CD【答案】D【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1∶3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为2a×313=3a2，甲行的路程为2a×113=a2，在AD边的中点相遇；②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×313=3a，甲行的路程为4a×113=a，在CD边的中点相遇；③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×313=3a，甲行的路程为4a×113=a，在BC边的中点相遇；④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×313=3a，甲行的路程为4a×113=a，在AB边的中点相遇；⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×313=3a，甲行的路程为4a×113=a，在AD边的中点相遇；。

专题训练整式规律探究ppt文档

专题训练(二) 整式规律探究
[解析] 横看，等式左边有“×”“＋”两种运算，每个等式可表示
专题训练(二) 整式规律探究
专专题题训训练练((二二成)) 整整：式式规规_律律_探探_究究_____×________＋________＝________；纵看，每个等式中第一个
专题训练(二) 整式规律探究
类型之四恒等式中的“规律探究”
类型之三图形中的“规律探究”
类型之四恒等式中的“规律探究”
专题训练(二) 整式规律探究类型之四恒等式中的“规律探究”
图 3－ZT－4
专题训练(二) 整式规律探究
[解析] 第 1 个图中正方形和等边三角形个数之和为 12(12＝9＋3)，第 2 个图中正方形和等边三角形个数之和为 21(21＝2×9＋3)，第 3 个图中正方形和等边三角形个数之和为 30(30＝3×9＋3)，故第 n 个图中正方形和等边三角形个数之和为 9n＋3.故答案为(9n＋3)．
专题训练(二) 整式规律探究
2．观察下列一组数：32，1，170，197，1216，…，它们是按一定规律
2n＋1
排列的，那么这组数的第 n 个数是___n2_＋_1___．(n 为正整数)
专题训练(二) 整式规律探究
3．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若 x， y，z 表示这列数中的连续三个数，猜想 x，y，z 满足的关系式是 __x_y_＝__z__．
[解析] 根据这列数的排列规律，可把这列数中的连续三个数 x，y，z 分别用 x＝2m，y＝2n 表示，则 z＝2m＋n.根据幂的运算性质有 xy＝z，故答案为 xy＝z.
专题训练(二) 整式规律探究
类型之二数表中的“规律探究”

整式中的规律探索问题(原卷版)-七年级数学上册压轴题攻略(北师大版,成都专用)

专题06 整式中的规律探索问题类型一、数字类规律探索例.a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（） A ．5B ．14-C ．43D ．45【变式训练1】阅读解答：（1）填空：1022==_____()2=；2122-=_____()2=；3222-=_____()2=……（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式_________；（3）根据上述规律，计算：012342021222222++++++．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2021个数的和是______．【变式训练3】已知整数1a ，2a ，…，n a （n 为正整数）满足10a =，211a a =-+，32|2|a a =-+，433a a =-+，…，以此类推，则2021a =__________．类型二、图形类规律探索例.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…解答下面的问题：（1）按此规律第6个图形中共有点的个数是_______．（2）若n个图形中共有166个点，求n的值．【变式训练1】将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【变式训练2】如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第n个图案需要_______________枚棋子．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．。

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整式中的规律探究问题一．选择题组1．（2021·重庆市育才中学九年级月考）用同样大小的圆按下列方式组成图案.第1个图形有7个圆.第2个图形有19个圆.第3个图形有37个圆.第4个图形有61个圆.….则第7个图中有（）个圆．A ．126B ．148C ．169D ．212【答案】C【解析】解：根据图形可知.第1个图形中有7个圆.第2个图形中有7+2×6个圆.第3个图形中有7+2×6+3×6个圆.第4个图形中有7+2×6+3×6+4×6个圆.....∴第7个图形就有7+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6+7×6=7+(2+3+4+5+6+7)×6=169(个).故选：C ．2．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级月考）如图.“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一.从图中取一列数1.3.6.10.….记11a =.2312a ==+.36123a ==++.….那么911i 83a a a +-=.则i 的值是（）A ．13B ．10C ．8D ．7【答案】D【解析】解：由a 1＝1.a 2＝3.a 3＝6.a 4＝10.….知a n ＝1+2+3+…+n ()12n n +=.∴a 99102⨯==45、a i ()12i i +=、a 1111122⨯==66.则a 9+a 11﹣a i ＝83.可得：45+66()12i i +-=83.解得：i ＝7.（负根舍去）故选：D ．3．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统.图2是某个学生的识别图案.灰色小正方形表示1.白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a .b .c .d .那么可以转换为该生所在班级序号.其序号为a×23+b×22+c×21+d×20.如图2.第一行数字从左到右依次为0.1.0.1.序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5.表示该生为5班学生．表示10班学生的识别图案是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题知.A选项班级序号为1×23+0×22+1×21+0×20＝10.B选项班级序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6.C选项班级序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9.D选项班级序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7.故选：A．4．（2021·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）中国奇书《易经》中记载.远古时期.人们通过在绳子上打结来计数.即“结绳计数”．如图.一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结.满5进1.用来记录孩子自出生后的天数由图可知.孩子自出生后的天数是（）．A．10 B．89 C．164 D．294【答案】D【解析】∵从右到左满5进1.∴右边第一列为n个1.即05.右边第二列为n个5.即15.右边第三列为n个25.即25.右边第四列为n个125.即35.∴孩子出生的天数为32⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案选D．251535412945．（2021·重庆市实验中学九年级月考）如图.下列图形都是由黑色和白色的棋子按一定的规律排列组成的.其中第①个图形中有2颗黑色棋子.第②个图形中有8颗黑色棋子.第③个图形中有将17颗黑色棋子……按此规体.则第⑧个图中黑色棋子的颗数是（）A ．83B ．95C ．107D ．134【答案】C【解析】解：设第n 个图形中有a n 颗黑色棋子（n 为正整数）.∵a 1＝2×1＝2.a 2＝3×3−1＝8.a 3＝4×5−1−2＝17.a 4＝5×7−1−2−3＝29.….∴a n ＝（n ＋1）（2n −1）−1−2−…−（n −1）＝（n ＋1）（2n −1）−())21(11n n --＋＝32n （n ＋1）−1（n 为正整数）.∴a 8＝32×8×（8＋1）−1＝107．故选：C ．6．（2021·江苏镇江·中考真题）如图.小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n 是正整数）.每行的三个式子的和自上而下分别记为A 1.A 2.A 3.每列的三个式子的和自左至右分别记为B 1.B 2.B 3.其中.值可以等于789的是（）A ．A 1B ．B 1C ．A 2D ．B 3【答案】B【解析】解：由题意得：A 1＝2n +1+2n +3+2n +5＝789.整理得：2n ＝260.则n 不是整数.故A 1的值不可以等于789.A 2＝2n +7+2n +9+2n +11＝789.整理得：2n ＝254.则n 不是整数.故A 2的值不可以等于789.B 1＝2n +1+2n +7+2n +13＝789.整理得：2n ＝256＝28.则n 是整数.故B 1的值可以等于789.B 3＝2n +5+2n +11+2n +17＝789.整理得：2n ＝252.则n 不是整数.故B 3的值不可以等于789.故选：B ．7．（2021·云南广南·九年级期末）按一定规律排列的单项式：2a -.43a .65a -.87a .…….第n 个单项式是（） A ．2(21)n n a ±- B ．2(21)n n a ±+ C ．2(1)(21)n n n a -- D ．2(1)(21)n n n a -+【答案】C【解析】解：∵一列单项式：2a -.43a .65a -.87a .…….∴第n 个单项式是2(1)(21)n n n a --．故选：C8．（2021·云南·一模）观察下列关于x 的单项式.探究其规律：2345,3,5,7,9x x x x x ---⋅⋅⋅，.按照上述规律.第2021个单项式为（） A ．20214041x - B ．20214041xC ．20204041xD ．20204039x【答案】A【解析】系数的规律：第n 个对应的系数是(1)(21)n n -⨯-.指数的规律：第n 个对应的指数是n .∴第2021个单项式是20214041x -.故选：A ． 9．（2021·全国·九年级专题练习）观察下列等式：=123456733,39,327,381,3243,3729,32187,======．解答下列问题：234202033333+++++的末尾数字是（）A ．0B ．2C ．3D ．9【答案】A 【解析】解：∵31=3.32=9.33=27.34=81.35=243.36=729.37=2187….∴3=3.3+9=12.12+27=39.39+81=120. 120+243=363.363+729=1092.1092+2187=3279....通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3.2.9.0.3.2.9.0.可知每四个为一个循环∵2020÷4=505∴3+32+33+34+…+32020的末位数字是0 故选A ．10．（2021·云南昭通·二模）如图是一组有规律的图案.它们是由大小相同的“”图案组成的.依此规律.第2021个图案中含有“”图案的个数为（）A ．10106B ．10105C ．11005D ．11006【答案】A【解析】由题可知.第1个图案共有12+1+13=6⨯⨯个所求图案.第2个图案共有22+1+23=11⨯⨯个所求图案.第3个图案共有32+1+33=16⨯⨯个所求图案.第4个图案共有42+1+43=21⨯⨯个所求图案.……则第n 个图案共有2+1351n n n ⋅+⋅=+个所求图案.∴第2021个图案中含有“”图案的个数为520211=10106⨯+故答案选：A ．11．（2021·江苏洪泽·二模）代数式：x ﹣3x 2+5x 3﹣7x 4+9x 5+…的第n 项为（）A ．（﹣1）n ﹣1（2n ﹣1）x nB ．（﹣1）n （2n ﹣1）x nC ．（﹣1）n ﹣1（2n +1）x nD ．（﹣1）n ﹣1nx n【答案】A【解析】解：x ＝（2×1﹣1）x .﹣3x 2＝（﹣1）2﹣1（2×2﹣1）x 2.5x 3＝（﹣1）3﹣1（2×3﹣1）x 3..∴第n 项是：（﹣1）n-1（2n ﹣1）x n .故选：A ．12．（2021·广西玉林·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图.若第n 个图树枝数用n Y 表示.则94Y Y -=（）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【解析】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==- 则：9921Y =-.∴944942121312Y Y -=--+=⨯.故答案选：B ．二、填空题组13．（2021·四川省内江市第六中学三模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放.请仔细观察.第n 个图形有___________个小圆．（用含n 的代数式表示）【答案】25n n -+【解析】第1个图有0×1+5个小圆.第2个图有1×2+5个小圆.第3个图有2×3+5个小圆.…第n 个图形有2-5n n +个小圆．故答案为2-5n n +．14．（2021·湖南新田·九年级期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折.记第1次对折后得到的图形面积为S 1.第2次对折后得到的图形面积为S 2.….第n 次对折后得到的图形面积为S n .请根据图2化简. 12320202021S S S S S +++++=______．【答案】202111()2-【解析】解：∵42320211234202111111111,(),(),(),()242821622S S S S S ========设S =42320211234202111111()()()()22222S S S S S +++++=+++++① 123202*********11222222S S S S S S ∴=+++++4232021202211111()()()()+()22222=++++② ①-②得.2022111()222S ∴=-202111()2S ∴=-故答案为：202111()2-．15．（2021·山东龙口·九年级期中）如图.在正方形ABCB 1中.AB ＝1.AB 与直线l 的夹角为30°.延长CB 1交直线l 于点A 1.做正方形A 1B 1C 1B 2.延长C 1B 2交直线l 于点A 2.做正方形A 2B 2C 2B 3.延长C 2B 3交直线l 于点A 3.….依此规律.则A 2023B 2023＝_______．【答案】2023(3)【解析】解：∵四边形ABCB 1为正方形.∴AB 1＝AB ＝1.∵A 1C ∥AB .∴∠B 1A 1A ＝30°.∴A 1B 1313AA 1＝2AB 1＝2.∵四边形A 1B 1C 1B 2为正方形.∴A 1B 2＝A 1B 1＝3∵A 2C 1∥A 1B 1.∴∠B 2A 2A 1＝30°. ∴A 2B 231B 23×332.……∴A n B n 3n .∴A 2023B 202332023.故答案为：32023．16．（2021·西藏·中考真题）按一定规律排列的一列数依次为23.14.215.112.235.….按此规律排列下去.这列数中的第n 个数是___________________．【答案】221n -【解析】解：观察一列数可知：223122=-.214123=-.2221541=-.2211251=-.2223561=-.…. 按此规律排列下去.这列数中的第n 个数是：221n -.故答案为：221n -． 17．（2021·辽宁·沈阳市第七中学九年级开学考试）在一条直线上.按如图所示的规律放置若干●与〇.组成图案：●〇●●〇●●●〇●●●●〇….当图案恰好以〇收尾.且图案中●的个数是2278时.则该图案中●与〇的个数之和是_______．【答案】2345【解析】解：设该图案中有x 个〇.则有1+2+3+⋯+x =(1)2x x +个●.依题意得.(1)2x x +=2278.整理得.x 2+x -4556=0.解得.x 1=-68（舍去）.x 2=67.∴该图案中●与〇的个数之和是：67+2278=2345.故答案为：2345．18．（2021·海南海口·九年级期中）火柴棒按以下方式搭图形.按照这样的规律搭下去.第7个图形需要火柴棒______根.第n 个图形需要火柴棒______根．【答案】37 ()52n +【解析】解：∵搭第1个图形需要7根火柴棒.7=5+2.搭第2个图形需要12根火柴棒.12=5×2+2.搭第3个图形需要17根火柴棒.17=5×3+2.….∴搭第7个图形需要火柴棒数为：5×7+2=37.搭第n 个图形需要的火柴棒的根数是5n +2．故答案为：37.5n +2．19．（2021·广西梧州·中考真题）如图.直线l 的函数表达式为y ＝x ﹣1.在直线l 上顺次取点A 1（2.1）.A 2（3.2）.A 3（4.3）.A 4（5.4）.….A n （n +1.n ）.构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S 1.S 2.S 3.….S n .则S 2021＝___．【答案】4044．【解析】解：根据题意.∵A 1（2.1）.A 2（3.2）.A 3（4.3）.A 4（5.4）.….A n（n +1.n ）.∴11135(12)1(23)142222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=.21157(23)1(34)162222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=.31179(34)1(45)182222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=.……∴22n S n =+.∴20212202124044S =⨯+=．故答案为：4044．20．（2021·湖北荆门·中考真题）如图.将正整数按此规律排列成数表.则2021是表中第____行第________列．【答案】64 5【解析】通过观察发现：1=1.3=1+2.6=1+2+3.10=1+2+3+4.…….故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +. 则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--.即1(1)2n n -+1. 设2021是第n 行第m 列的数字.则：1(1)2021()2m m n n n +=<-.即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积.2263=396964=4096,,m n ，为正整数.64n ∴=.当64n =时.=5m .故答案为：64.5 三、解答题组21．（2021·安徽·九年级月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列.如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2.某同学发现杨辉三角给出了()na b +（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如.在三角形中第三行的三个数1.2.1.恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数.第四行的四个数1.3.3.1.恰好对应着()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中各项的系数等等．（1）填出()4a b +展开式中共有项.第三项是．（2）直接写出()512y -的展开式．（3）利用上面的规律计算：26541126215222⎫⎫⎛⎛+⨯⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭33212021522⎫⎛+⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭456111621222⎫⎫⎫⎛⎛⎛⨯-+⨯⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭．【答案】（1）5.226a b .（2）()523451211040808032y y y y y y -=-+-+-.（3）66564【解析】解：（1）由杨辉三角的系数规律可得.()4432234464a b a a b a b ab b +=++++.∴展开式共有5项.第三项是226a b ．（2）()543225345510105a a b a b a a a b b b b =++++++.当1a =.2b y =-时.原式()()2152102y y =+⨯-+⨯-()()()345102522y y y +⨯+⨯--+-234511*********y y y y y =-+-+-.()523451211040808032y y y y y y ∴-=-+-+-．（3）由杨辉三角可知.原式61212⎫⎛=-- ⎪⎝⎭6312⎫⎛=- ⎪⎝⎭729164=-66564=．22．（2021·重庆市广益中学校九年级月考）阅读下列材料解决问题：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是13的倍数.则这个数能被13整除．如：593814.814－593＝221.221是13的17倍.所以593814能被13整除．（1）若对任意一个七位数.末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是13的倍数.证明这个七位数一定能被13整除.（2）已知一个五位自然数.末三位为m ＝500＋10y ＋52.末三位以前的数为n ＝10（x ＋1）＋y （其中1≤x ≤8.1≤y ≤9且为整数）.交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除.求这个五位数．【答案】（1）见解析.（2）这个五位数为：94592.41562.33582.59642.67622.75602【解析】（1）证明：设任意七位数的末三位为s .末三位以前的数为t .则这个七位数为1000t s +.由题意可令t －s ＝13k （k 为整数）．1000t ＋s ＝1000t －13k ＋t ＝1001t －13k ＝13（77t －k ）.∴这个七位数一定能被13整除.（2）解：①当1≤y ≤4时.m ＝500＋10（5＋y ）＋2．交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m ′＝100（5＋y ）＋52.m ′－n ＝100（5＋y ）＋52－10（x ＋1）－y ＝99y －10x ＋542＝13（42＋8y －x ）－（4＋5y －3x ）.∵1≤x ≤8.1≤y ≤4.且x .y 都为整数.∴－21≤－（4＋5y －3x ）≤15．∴－（4＋5y －3x ）的值为13或0或－13．Ⅰ．若－（4＋5y －3x ）＝13.则92x y ==，(舍去)．Ⅱ．若－（4＋5y －3x ）＝0.则84x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩.∴这个五位数为94592.41562．Ⅲ．若－（4＋5y －3x ）＝－13.则23x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为33582．②当5≤y ≤9时.m ＝600＋10（y －5）＋2．交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m ′＝100（y －5）＋62.m ′－n ＝100（y －5）＋62－10（x ＋1）－y ＝99y －10x －448＝13（8y －x －34）－（6＋5y －3x ）.∵1≤x ≤8.5≤y ≤9.且x .y 都为整数.∴－48≤－（6＋5y －3x ）≤－7．∴－（6＋5y －3x ）的值为－39.－26.－13．Ⅰ．若－（6＋5y －3x ）＝－39.则49x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为59642．Ⅱ．若－（6＋5y －3x ）＝－26.则57x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为67622．Ⅲ．若－（6＋5y －3x ）＝－13.则65x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为75602．综上所述：这个五位数为：94592.41562.33582.59642.67622.75602． 23．（2021·内蒙古松山·九年级期中）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项.记为a 1.排在第二位的数称为第二项.记为a 2.依此类推.排在第n 位的数称为第n 项.记为a n .所以.数列的一般形式可以写成：a 1.a 2.a 3.….an .…．一般地.如果一个数列从第二项起.每一项与它前一项的差等于同一个常数.那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用d 表示．如：数列1.3.5.7.…为等差数列.其中a 1＝1.a 2＝3.公差为d ＝2．根据以上材料.解答下列问题：（1）等差数列5.10.15.…的公差d 为 .第5项是．（2）如果一个数列a 1.a 2.a 3.….a n .….是等差数列.且公差为d .那么根据定义可得到：a 2﹣a 1＝d .a 3﹣a 2＝d .a 4﹣a 3＝d .….a n ﹣a n ﹣1＝d .…．所以a 2＝a 1+d .a 3＝a 2+d ＝（a 1+d ）+d ＝a 1+2d .a 4＝a 3+d ＝（a 1+2d ）+d ＝a 1+3d .…．由此.请你填空完成等差数列的通项公式：a n ＝a 1+（）d ．（3）﹣4045是不是等差数列﹣5.﹣7.﹣9…的项？如果是.是第几项？【答案】（1）5.25.（2）1n -.（3）是.2021【解析】（1）依题意得1055d =-=.315a =.4315520a a d ∴=+=+=.5420525a a d ∴=+=+=.故答案为：5,25.（2）a 2＝a 1+d .a 3＝a 2+d ＝（a 1+d ）+d ＝a 1+2d .a 4＝a 3+d ＝（a 1+2d ）+d ＝a 1+3d .……1(1)n a a n d ∴=+-.故答案为：1n -.（3）﹣5.﹣7.﹣9⋅⋅⋅是等差数列∴通项公式为：52(1)n a n =---.若n a =﹣4045.则404552(1)n -=---.解得2021n =．∴﹣4045是等差数列﹣5.﹣7.﹣9…的项.它是此数列的第2021项． 24．（2021·江苏·九年级专题练习）如果下列图形由相同的小正方形组成.观察图形的变化.回答下列问题：（1）第6个图形有________个小正方形.第n 个图形有________个小正方形.（2）若第n 个图形有576个小正方形.求n 的值．【答案】（1）49.()21n +（或221n n ++）.（2）第23个图形有576个小正方形．【解析】（1）根据前四个图知：第一个图有4个.第二个图有9个.第三个图有16个.第四个图有25个.则依次类推每个图都有()21n +个.则第六个图有49个.故答案为：49.()21n +（或 221n n ++）.（2）根据题意.得()21576n +=.解得125n =-（舍去）.223n =.故第23个图形有576个小正方形．25．（2021·重庆市育才中学三模）材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字小.我们称它为“下滑数”．如果一位三位“下滑数”满足个位数字与十位数字之和等于百位数字.那么称这个数为“下滑和平数”．例如：A＝321.满足1＜2＜3.且1+2＝3.所以321是“下滑和平数”.B＝643.满足3＜4＜6.但3+4≠6.所以643不是“下滑和平数”．材料二：对于一个“下滑和平数”m＝100a+10b+c（1≤a.b.c≤9且a.b.c为整数）交换其百位和个位数字得到新数m'＝100c+10b+a.规定：F（m）＝m﹣m'．例如：m＝321为“下滑和平数”.m'＝123.F（m）＝321﹣123＝198．（1）请任意写出两个三位“下滑数”.并判断你所写的两个三位“下滑数”是不是“下滑和平数”？并说明理由．（2）若m与m'的和能被7整除.求F（m）的最小值．【答案】（1）两个下滑数：645.987.都不是“下滑和平数”.理由见解析.（2）396【解析】解：（1）两个下滑数：645.987．∵4+5≠6.7+8≠9．∴645.987都不是“下滑和平数”．（2）设m＝100a+10b+c.则m′＝100c+10b+a（a．b.c均为整数）∵m是“下滑和平数”．∴b+c ＝a.且1≤c＜b＜a≤9．m+m′＝101a+20b+101c．F（m）＝m﹣m′＝99（a﹣c）＝99b．∴要使F（m）最小.只需b最小．∵m+m′能被7整除．∴①当b＝2.a＝3.c＝1.m+m′＝444.不合题意.舍去．②当b＝3.a＝4.c＝1或a＝5.c＝2．当a＝4.c＝1.m+m′＝515.不合题意.舍去．当a＝5.c＝2.m+m′＝767.不合题意.舍去．当b＝4.a＝5.c＝1或a＝6.c＝2或a＝7.c＝3．当a＝5.c＝1时.m+m′＝686.686能被7整除．综上所述.满足上述条件的b的最小值为4．∴F（m）最小＝500+40+1﹣145＝396．26．（2021·山东南区·二模）实际问题：有n支队伍.每支队伍都有足够多的水平完全相同的队员.要从这n支队伍中抽调部分队员安排到一张有四个位置的方桌进行竞技比赛.四个位置可以出现来自于同一队伍的队员.为了防止他们作弊.需要避免同队的队员坐在相邻的座位上．那么一共有多少种不同的安排方法？问题探究：探究一：如果有两支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？不妨设两支队伍分别为,A B．从①号位开始.我们有2种选择.即A队员或B队员.②③号位置都只有1种选择（另一支队伍的队员）．④号位也只有1种选择．这样就得到了21112⨯⨯⨯=.一共有两种不同的安排方法．探究二：如果有三支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？A B C．让我们运用上面的方法试试①号位置有3种队员可以选择.不妨设三支队伍分别为,,即A队员、B队员或C队员.②③两个位置选择队员时.我们需要考虑两种不同的情形：第一种：若②③号位队员来自于同一队伍.则②号位有2种选择.③号只有1种选择.④号位会⨯⨯⨯=种安排方法.有2中选择.此时会有321212位也只有1种选择.此时会有32116⨯⨯⨯=种安排方法．把上述两种情况的结果加起来得到12＋6＝18.一共有18种不同的安排方法．探究三：如果有四支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？（请按照前面的探究方法.描述如果有四支参赛队伍时.会有多少种结果的推算过程）归纳探究：如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？无论有多少支参赛队伍.我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自于同一个队伍.②③号位队员来自于不同的队伍．（1）如果有n 支参赛队伍.①号位有种队员可以选择.②号位有种队员可以选择．（2）若②③号位队员来自于同一队伍.则③号位只有1种选择.④号位有种选择.这样我们就有种安排方法（结果不需化简）.（3）若②③号位队员来自不同队伍.则③号位有种选择.④号位有种选择.这样我们就有种安排方法．（结果不需化简）（4）如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有种不同的安排方法．（结果不需化简）【答案】探究三：48种.归纳探究：（1）n .()1n -.（2）()1n -.()21n n -.（3）()2n -.()2n -.()()212n n n --.（4）()()2133n n n n --+【解析】解：不妨设为,,,A B C D 四支队伍.让我们运用上在的方法试试.①号位置有4种队员可以选择.即A 队员、B 队员或C 队员或 D 队员.②③两个位置选择队员时.我们需要考虑两种不同的情形：第一种：②③号位队员来自于同一队伍.②号位有3种选择.那么③号位与②号位队友相同.所以③号只有1种选择.④号位就会有3种选择.此时会有：431336⨯⨯⨯=种安排方法.同.③号位只有2种选择.那么④号位只有2种选择.此时会有432248⨯⨯⨯=种安排方法．把上述两种情况的结果加起来得到36＋48＝84.一共有84种不同的安排方法．归纳探究：如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员.那么有多少种不同的安排方法呢？无论有多少支参赛队伍.我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自于同一个队伍.②③号位队员来自于不同的队伍．（1）如果有n 支参赛队伍.①号位有n 种队员可以选择.②号位有()1n -种队员可以选择. （2）若②③号位队员来自于同一队伍.则③号位只有1种选择.这样.④号位有()1n -种选择.这样我们就有()()()21111n n n n n ⨯-⨯⨯-=-种安排方法（结果不需要化简）.（3）若②③号位队员来自于不同队伍.则③号位有()2n -种选择.④号位有()2n -种不同的队员可以选择.这样我们就有 ()()()()()212212n n n n n n n ⨯-⨯-⨯-=--种安排方法（结果不需要化简）.（4）如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员.那么把（2）、（3）种情况的结果加起来得到有：()()()()()()()2111122133n n n n n n n n n n n ⨯-⨯⨯-+⨯-⨯-⨯-=--+种安排方法． 27．（2021·山东·青岛市崂山区教育教学研究室一模）问题提出：在平面上.给出n 个圆把平面至多分割成多少个区域？问题探究：为探究规律.我们采用一般问题特殊化的策略.先从简单的情形入手.再逐次递进.最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．探究一：1条直线可以将平面分成2个区域.2条直线时.要使分成的区域尽量多.则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分.3条直线时.如图1.要使分成的区域尽量多.就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交.避免多条直线相交于一点和平行关系的出现.这样就会得到2个交点.这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段.而每条射线和线段将已有的区域一分为二.这样就多了2+13=个区域.所以3条直线至多将平面分成7个区域.4条直线时.如图2.要使分成的区域尽量多.就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交.避免多条直线相交于一点和平行关系的出现.这样就会得到3个交点.这3个交点将第4条直线分为了2条射线和422-=条线段.而每条射线和线段将已有的区域一分为二.这样就多了2+24=个区域.所以4条直线至多将平面分成11个区域.5条直线时.如图3.要使分成的区域尽量多.就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交.避免多条直线相交于一点和平行关系的出现.这样就会得到4个交点.这4个交点将第5条直线分为了2条射线和523-=条线段.而每条射线和线段将已有的区域一分为二.这样就多了2+35=个区域.所以5条直线至多将平面分成16个区域.由此可推断6条直线可以将平面至多分成个区域.依此类推n 条直线可以将平面至多分成个区域．探究二：1个圆可以将平面分成2个区域.2个圆时.要使分成的区域尽量多.2个圆相交将平面分成4个区域.3个圆时.要使分成的区域尽量多.第3个圆与前2个圆都相交被分成了2(31)4-=条弧.将平面至多分成了448+=个区域.4个圆时.要使分成的区域尽量多.第4个圆与前3个圆都相交被分成了2(41)6-=条弧.将平面至多分成了8614+=个区域.以此类推5个圆可以将平面分成个区域．问题解决：n 个圆至多可以将平面分成个区域．问题拓展：仿照前面的过程.n 个三角形至多可以将平面分成个区域．【答案】探究一：22.222n n ++ .探究二：22.问题解决：(22n n -+).问题拓展：(2332n n -+) 【解析】解：探究一：根据题意：1条直线.将平面分成了112+=个区域.2条直线.将平面分成了1124++=个区域.3条直线.将平面分成了11237+++=个区域.4条直线.将平面分成了1123411++++=个区域.5条直线.将平面分成了11234516+++++=个区域.6条直线.将平面分成了112345622++++++=个区域..n 条直线.将平面分成了()2121123122n n n n n ++++++++=+=个区域.故答案为：22.222n n ++. 探究二：根据题意：1个圆.分成了()11122-⨯+=个区域.2个圆.分成了()21224-⨯+=个区域.3个圆.分成了()31328-⨯+=个区域.4个圆.分成了()414214-⨯+=个区域.5个圆.分成了()515222-⨯+=个区域.故答案为：22.问题解决：n 个圆.分成了()2122n n n n -⨯+=-+个区域.故答案为：(22n n -+).问题拓展：设n 个三角形最多将平面分为n a 个区域.1n =时.12a =.2n =时.第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点.三条边与第一个三角形有236⨯=个交点.6个交点将第二个三角形的边分成了6段.这6段的每一段都将原来的每1个区域分成了2个区域.从而增加了6个区域.即22238a =+⨯=.2n =时.第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=个交点.从而增加了12个区域.即32234320a =+⨯+⨯=.一般地.第n 个三角形与前面(n -1)个三角形最多有()213n -⨯个交点.从而增加了()213n -⨯个区域.故()22343213n a n =+⨯+⨯++-⨯()224213n ⎡⎤=++++-⨯⎣⎦()231n n =+-2332n n =-+. 故答案为：(2332n n -+)．28．（2021·安徽合肥·二模）观察下面由“※”组成的图案和算式.并解答问题：21342+==.213593++==.21357164+++==. 213579255++++==．（1）试猜想13573739++++⋯++=____________.（2）试猜想()()()135********n n n +++++⋯+-++++=____________.（3）按上述规律计算：10110310520172021+++⋯++的值．【答案】（1）400.（2）2(2)n +.（3）1019621【解析】（1）∵2n -1=39.∴n =20.根据规律.得13573739++++⋯++=220=400.（2）设2m -1=2n +3, ∴m =n +2.根据规律.得()()()135********n n n +++++⋯+-++++=2(2)n +.（3）根据题意.得原式=(1357910110310520172021)+++++++++⋯++-(1357999)++++++.=22101150-=1019621．。

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