2019-2020学年北京市清华附中高二(下)期中数学试卷
北京市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷(理科)D卷
北京市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）复数等于（）A . 1-2iB . 1+2iC . 2-iD . 2+i2. （2分） (2018高一下·枣庄期末) 某人在打靶中，连续射击次，至多有一次中靶的对立事件是（）A . 至少有一次中靶B . 两次都中靶C . 两次都不中靶D . 恰有一次中靶3. （2分）如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（）A . 、B . 、C . 、D . 、4. （2分）某车间加工零件的数量与加工时间y的统计数据如表：零件数（个）182022加工时间y（分钟）273033现已求得上表数据的回归方程 = x+ 中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A . 84分钟B . 94分钟C . 102分钟D . 112分钟5. （2分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A . aB . aC . aD . a6. （2分）凡自然数都是整数，而4是自然数所以4是整数．以上三段论推理（）A . 正确B . 推理形式不正确C . 两个“自然数”概念不一致D . 两个“整数”概念不一致7. （2分） (2018高一下·江津期末) 对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间上为一等品，在区间和上为二等品，在区间和上为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A . 0.09B . 0.20C . 0.25D . 0.458. （2分） (2016高二上·河北期中) 有一个袋子中装有标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）由十个数和一个虚数单位，可以组成虚数的个数为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二下·郑州期末) 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A . 2017×22015B . 2017×22014C . 2016×22015D . 2016×2201411. （2分）下列四个结论中，正确的个数有（）（1）；（2）ln10＞lne；（3）0.8﹣0.1＞0.8﹣0.2；（4）80.1＞90.1 ．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. （2分） (2018高一下·伊春期末) 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥其中正确的命题是（）A . ①②③B . ①④⑤C . ①④D . ①③④二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·徐州期末) 已知复数z=i（3﹣i），其中i是虚数单位，则复数z的实部是________.14. （1分）(2017·湖北模拟) （x2+2x﹣1）5的展开式中，x3的系数为________（用数字作答）15. （1分） (2016高一下·潮州期末) 在区间[﹣1，4]内任取一个实数a，则方程x2+2x+a=0存在两个负数根的概率为________16. （1分）利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是________ ．三、解答题： (共5题；共50分)17. （15分） (2019高二下·汕头月考) 近年来郑州空气污染较为严重.现随机抽取一年（365天）内100天的空气中指数的检测数据，统计结果如下：空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为（单位：元），指数为，当在区间内时对企业没有造成经济损失；当在区间内时对企业造成经济损失成直线模型（当指数为150时造成的经济损失为500元，当指数为200时，造成的经济损失为700元）；当指数大于300时造成的经济损失为2000元.附：，其中 .（1）试写出的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.322.07 2.703.74 5.02 6.637.8710.8218. （10分） (2016高二下·辽宁期中) 公车私用、超编配车等现象一直饱受诟病，省机关事务管理局认真贯彻落实党中央、国务院有关公务用车配备使用管理办法，积极推进公务用车制度改革．某机关单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．为配合用车制度对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5，该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车情况相互独立．（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．19. （5分） (2017高二下·荔湾期末) 已知数列{an}中，a1=2，an+1=2﹣（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a2 ， a3 ， a4的值，猜想出数列的通项公式an；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．20. （10分）(2017·长沙模拟) 某服装超市举办了一次有奖促销活动，顾客消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性抽出3个小球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个红球则打6折，若摸到1个红球，则打7折；若没有摸到红球，则不打折；方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回的摸取，连续3次，每摸到1个红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，则该顾客选择哪种抽奖方案更合适？21. （10分） (2017高二上·新余期末) 某市为响应国家节能减排建设的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：①80部手机，一年就会增加一吨二氧化氮的排放．②人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气．活动组织者为了解是市民对这两则广告的宣传效果，随机对10﹣60岁的人群抽查了n人，并就两个问题对选取的市民进行提问，其抽样人数频率分布直方图如图所示，宣传效果调查结果如表所示．宣传效果调查表广告一广告二回答正确人数占本组人数频率回答正确人数占本组人数频率[10，20）900.545a[20，30）2250.75k0.8[30，40）b0.92520.6[40，50）160c120d[50，60]10e f g（1）分别写出n，a，b，c，d的值．（2）若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得30元，广告二的内容得60元．组织者随机请一家庭的两成员（大人45岁，孩子17岁），指定大人回答广告一的内容，孩子回答广告二的内容，求该家庭获得奖金数ξ的分布列及期望．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共5题；共50分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2019-2020清华附中高二数学
（3）若 dn an 对任意 n N * 恒成立，证明：数列 an 的通项公式为 an 0 .
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3
b
以及
SABC
的值.
17.（本小题满分
14
分）已知
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0) 的短轴长 2
3 ，离心率为 1 ，圆 O : x2 y2 b2 . 2
（1）求椭圆 C 和圆 O 的方程；
（2）过椭圆左焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点， AB 16 ,若直线 l 于圆 O 交于 M , N 两点，求直线 l 5
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清华附中高二第一学期期中试卷
数学
（清华附中高 18 级） 一、选择题：（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于
2019.11
1
A.
B. 3
1
C.
3
3
2
2.倾斜角为 135°，在 y 轴上的截距为 1的直线方程是
A. 3x 2 y 1 1 B. x y 1 0 C. x y 1 0
A.0
B.1
C.2
D. 2 2
7.已知直线 x y m 0 与圆 x2 y2 1相交于 A, B 两点，且△ OAB 为正三角形，则实数 m 的值为
A. 3 2
B. 6 2
C. 3 或 3
2
2
8.在△ ABC 中， AB AC 1, D 是 AC 边的中点，则
2019-2020学年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷试题及答案
2019-2020学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )A ．13B C ．12D 2．倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++=3．过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为( ) A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=4．设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m -=表示的曲线为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知椭圆22143x y +=的两个焦点为1F ，2F ，M 是椭圆上一点，且12||||1MF MF -=则△12MF F 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6．已知点1F 、2F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．7．已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为( )A B C 或 D 8．在ABC ∆中，1AB AC ==，D 是AC 的中点，则BD CD 的取值范围是( ) A ．31(,)44-B ．1(,)4-∞C ．3(,)4-+∞D ．13(,)44二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）9．双曲线2212y x -=的渐近线方程为 ．10．已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是 ．11．已知l 为双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为(2,0)，则C 的右顶点为 ，C 的方程为 ．12．已知圆的方程为222880x y x y ++-+=，过点(1,0)P 作该园的一条切线，切点为A ，那么线段PA 的长度为 ．13．若221:5O x y +=与222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ． 三、解答题：（共6小题，17、19题每题14分，其余每题13分，共80分）15．（13分）已知函数2()cos 2cos f x x x x =+． （1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离； （2）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值，以及此时x 的取值．16．（13分）在ABC ∆中，222a c b ac +=+． （1）求cos B 的值； （2）若1cos 7A =，8a =，求b 以及ABC S ∆的值．17．已知2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长，离心率为12，圆222:O x y b +=．（1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）过椭圆左焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，16||5AB =，若直线l 于圆O 交于M ，N 两点，求直线l 的方程及OAB ∆与OMN ∆的面积之比．18．（13分）已知函数()()x f x ax a e =+（其中 2.71828)e =⋯，2()2g x x bx =++，已知()f x 和()g x 在0x =处有相同的切线． （1）求函数()f x 和()g x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[3-，3]上的最大值和最小值； （3）判断函数()2()()2F x f x g x =-+的零点个数，并说明理由．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过点B 作平行于x 轴的直线BN ，交直线5x =于点N ，求证：直线AN 恒过定点．20．（13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，⋯的最小值记为n B ，记n n n d A B =-． （1）若数列{}n a 的通项公式为5,141,5n n n a n -⎧=⎨⎩剟…，求数列{}n d 的通项公式；（2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“*n N ∀∈，0n d <”的充要条件； （3）若n n d a =对任意*n N ∈恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．2019-2020学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )A ．13B C ．12D【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，2a b ∴=，椭圆的离心率c e a ==， 故选：D ．2．倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++=【解答】解：直线倾斜角是135︒， ∴直线的斜率等于1-，在y 轴上的截距是1-，由直线方程的斜截式得：11y x =-⨯-， 即1y x =--， 故选：D ．3．过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为( ) A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=【解答】解：所求直线方程与直线2340x y -+=垂直，∴设方程为320x y c --+= 直线过点(1,2)-，3(1)220c ∴-⨯--⨯+= 1c ∴=∴所求直线方程为3210x y +-=．故选：A ．4．设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m -=表示的曲线为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：方程221x y m m-=表示的曲线为双曲线0m ⇔≠．∴ “0m >”是“方程221x y m m -=表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件． 故选：A ．5．已知椭圆22143x y +=的两个焦点为1F ，2F ，M 是椭圆上一点，且12||||1MF MF -=则△12MF F 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：由题意，12||2F F =，12||||4MF MF +=， 12||||1MF MF -=，15||2MF ∴=，23||2MF =， 2222121||||||MF F F MF ∴+=，故选：B ．6．已知点1F 、2F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．【解答】解：O 为12F F 的中点，∴122PF PF PO +=，可得12||2||PF PF OP +=当点P 到原点的距离最小时，||OP 达到最小值，12||PF PF +同时达到最小值．椭圆2222x y +=化成标准形式，得2212x y +=22a ∴=且21b =，可得a =1b =因此点P 到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||OP 最小值为1b = ∴12||2||PF PF OP +=的最小值为2故选：C ．7．已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为( )A B C 或 D 【解答】解：直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，且AOB ∆为正三角形， 则：AOB ∆的边长为1，则：圆心(0,0)到直线0x y m -+=的距离d解得：m = 故选：D ．8．在ABC ∆中，1AB AC ==，D 是AC 的中点，则BD CD 的取值范围是( ) A ．31(,)44-B ．1(,)4-∞C ．3(,)4-+∞D ．13(,)44【解答】解：()BD DA AB =-+，设(0,)CAB απ∠=∈，所以21111()[()]cos()2242BD CD DA AB DA CA CA AB πα=-+=-+=---1131(cos )(,)4244α=--∈-．故选：A ．二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）9．双曲线2212y x -=的渐近线方程为 y = ．【解答】解：双曲线2212y x -=的1a =，b =， 可得渐近线方程为by x a=±，即有y =．故答案为：y =．10．已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是 22(1)(1)2x y -+-= ．【解答】解：根据题意，圆C 的圆心在直线0x y -=上，设圆C 的圆心为(,)a a ，半径为r ； 又由圆C 过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则有2222(2)(2)r a a =-+-=，解可得1a =，即圆心的坐标为(1,1)， 则222(2)(2)2r a a =-+-=， 则圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=； 故答案为：22(1)(1)2x y -+-=．11．已知l 为双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为(2,0)，则C 的右顶点为 ，C 的方程为 ． 【解答】解：由题意可得2c =，即224a b +=， 一条渐近线的斜率为tan 14b k a π===，解得a b ==，则双曲线的右顶点为，0)，C 的方程为22122x y -=．故答案为：，0)，22122x y -=． 12．已知圆的方程为222880x y x y ++-+=，过点(1,0)P 作该园的一条切线，切点为A ，那么线段PA【解答】解：圆22_2880x y x y ++-+=，即22(1)(4)9x y ++-=，表示以(1,4)C -为圆心、半径3R =的圆，再由切线长定理可得切线长PA ===13．若221:5O x y +=与222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 4 ．【解答】解：由题知1(0,0)O ，2(,0)O m，m <<． 又12O A O A ⊥，所以有22225m =+=，5m ∴=±． 再根据12121211222AO O ABSAO AO O O ==，求得52524AB ==， 故答案为：4．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 2 ． 【解答】解：如图，1F A AB =，且120F B F B =，1OA F B ∴⊥，则1:()aF B y x c b=+， 联立()ay x c b b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得222(a c B b a -，22)abc b a -， 则4222222222222()()a c abc OB c b a b a =+=--， 整理得：223b a =，2223c a a ∴-=，即224a c =，∴224c a =，2ce a ==． 故答案为：2．三、解答题：（共6小题，17、19题每题14分，其余每题13分，共80分）15．（13分）已知函数2()cos 2cos f x x x x =+． （1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离； （2）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值，以及此时x 的取值．【解答】解：2()cos 2cos 2cos 21f x x x x x x =+=++ 2sin(2)16x π=++．（1）函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离为22T π=； （2）[,]63x ππ∈-，2[66x ππ∴+∈-，5]6π， ∴当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值为3； 当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最大值为1-．16．（13分）在ABC ∆中，222a c b ac +=+． （1）求cos B 的值； （2）若1cos 7A =，8a =，求b 以及ABC S ∆的值． 【解答】解：（1）由余弦定理及已知得：2221cos 22a c b B ac +-==， （2）因为A ，B 为三角形内角，所以sin A ===，sin B ===由正弦定理得：sin 7sin a B b A ===， 又2221cos 72b c a A bc+-==．22150c c ∴--=，解得 5c =(3c =-舍）． 110sin 2ABC S bc A ∆∴==． 17．已知2222:1(0)x y Ca b a b +=>>的短轴长，离心率为12，圆222:O x y b +=．（1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）过椭圆左焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，16||5AB =，若直线l 于圆O 交于M ，N 两点，求直线l 的方程及OAB ∆与OMN ∆的面积之比．【解答】解：（1）由题得b =，12c e a ==，所以2214c a =，所以22334b a ==，则24a =， 所以椭圆C 的方程为：22143x y +=，圆O 的方程为：223x y +=； （2）根据题意可知，左焦点(1,0)F -，且直线l 的斜率存在且不为0，不妨设(1)y k x =+，联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以22834A B k x x k +=-+，2241234A B k x x k -=+，所以22116|||12345A B k AB x x k +=-==⨯=+，解得k =，则:1)l y x =+；所以原点到l的距离d ==，所以AOB ∆面积为11625=；3MN ==，所以MON ∆面积为132=，所以OAB ∆与OMN ∆的面积之比为16:15．18．（13分）已知函数()()x f x ax a e =+（其中 2.71828)e =⋯，2()2g x x bx =++，已知()f x 和()g x 在0x =处有相同的切线． （1）求函数()f x 和()g x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[3-，3]上的最大值和最小值； （3）判断函数()2()()2F x f x g x =-+的零点个数，并说明理由．【解答】解：（1）()()x f x ax a e =+（其中 2.71828)e =⋯，2()2g x x bx =++， (0)f a =，(0)2g =．()(2)x f x a x e '=+，()2g x x b '=+，(0)2f a '=，(0)g b '=．()f x 和()g x 在0x =处有相同的切线． 2a b ∴=，2a =．解得2a =，4b =．()2(1)x f x x e ∴=+，2()42g x x x =++，（2）()2(1)x f x x e =+，[3x ∈-，3]．()2(2)x f x x e '=+，可得()f x 在[3-，2)-上单调递减，在(2-，3]上单调递增．2x ∴=-时，函数()f x 取得极小值即最小值，22(2)f e -=-． 又34(3)f e--=，f （3）38e =． 3x ∴=时，函数()f x 取得最大值，f （3）38e =．综上可得：函数()f x 在区间[3-，3]上的最大值和最小值分别为：38e ，22e -． （3）函数2()2()()24(1)4x F x f x g x x e x x =-+=+--．()4(2)242(2)(21)x x F x x e x x e '=+--=+-．令()0F x '=，解得2x =-，2x ln =-．可得：2x =-时，函数()F x 取得极大值，24(2)40F e -=->； 2x ln =-．函数()F x 取得极小值，2(2)22220F ln ln ln -=+->．又x →-∞时，()F x →-∞．可得：函数()2()()2F x f x g x =-+只有一个零点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过点B 作平行于x 轴的直线BN ，交直线5x =于点N ，求证：直线AN 恒过定点．【解答】解：（1）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，则a =，，即c e a ==，解得2c =，2221b a c ∴=-=， ∴椭圆C 的方程为2215x y +=；（2）证明：当直线l 的斜率不存在，即方程设为1x =，代入椭圆方程可得y ==，即有A，(1,B，(5,N ，直线AN的方程为3)y x =-，直线AN 恒过定点(3,0)Q ； 当直线l 的斜率存在，设过点(1,0)的直线l 的方程为(1)y k x =-， 由22(1)55y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 整理得2222(15)10550k x k x k +-+-=． 由△42221004(15)(55)80200k k k k =-+-=+>恒成立， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2(5,)N y ，则21221015k x x k +=+，⋯①，21225515k x x k -=+，⋯②， 212111()55AN y y k x x k x x --==--，由2220(1)5322QN y y k x k --===-，21211()52AN QN x x x k k k x ---=-- 121213()52(5)x x x x kx -++=-，由①②可得2212122255103()53501515k k x x x x k k --++=-+=++， 则0AN QN k k -=，即AN QN k k =， 综上可得直线AN 过定点(3,0)．20．（13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，⋯的最小值记为n B ，记n n n d A B =-． （1）若数列{}n a 的通项公式为5,141,5n n n a n -⎧=⎨⎩剟…，求数列{}n d 的通项公式；（2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“*n N ∀∈，0n d <”的充要条件； （3）若n n d a =对任意*n N ∈恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．【解答】解：（1）当14n 剟，数列{}n a 是递减数列，最大为14a =，又451n a a a ==⋯==⋯=，所以4n A =，1n B =，1n =，2，3，⋯，所以413n n n d A B =-=-=，（2）充分性：数列{}n a 单调递增，则12n a a a <<⋯<<⋯，则1n A a =，1n n B a +=， 所以110n n n n d A B a a +=-=-<；必要性：数列{}n a ，*n N ∀∈，0n d <，0n n n d A B =-<， 1110d A B =-<，11{a B min <=2a ，⋯，1n a +，}⋯，所以12a a <，2220d A B =-<，1{n A max a =，22}a a =，2{B min =3a ，⋯，1n a +，}⋯，所以23a a <，同理34n a a a <<⋯<⋯即数列{}n a 单调递增，故“数列{}n a 单调递增”是“*n N ∀∈，0n d <”的充要条件． （3）反证法：若n n d a =对任意*n N ∈恒成立，数列{}n a 的通项0n a ≠．当1n =时，1111d a A B ==-，1n A a =，所以10B =，这说明从第二项起，至少有一个项为0，这与假设矛盾， 故原命题成立．。
【20套试卷合集】北京市清华附中2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题1．设两个正态分布()()21,110N μσσ>和()()22,220N μσσ>的密度函数图象如图所示，则有（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ<，12σσ>C ．12μμ>，12σσ<D ．12μμ>，12σσ>2．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ）A.210r r <<B.210r r <<C.210r r <<D.21r r =3．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则（ ）A ．4=aB ．5=aC ．6=aD .7=a4．采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，3，……，960，分组后在第 一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间[1， 450]的人做问卷 A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷 B ，其余的人做问卷 C .则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．15111123411+++⋅⋅⋅+ 111124622+++⋅⋅⋅+111123410+++⋅⋅⋅+ 111124620+++⋅⋅⋅+6．从三元、光明、蒙牛三种品牌的牛奶包装袋中抽取一个样本进行质量检测，采取分层抽样的方法进行抽取，已知三元、光明、蒙牛三种品牌牛奶的总体数（袋数）是1000，2000，3000，若抽取的样本中，光明品牌的样本数是10，则样本中三元品牌和蒙牛品牌的样本之和是（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 7．若样本数据1210,,,x x x 的标准差为2，则数据121021,21,,21x x x ---的标准差为（ ）A ．3B ．-3C ．4D ．-48．如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域A 的面积． 若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A 内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个数平均值为6600个，则区域A 的面积约为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）A.6B.8C.10D.1210．已知回归直线的斜率的估计值为1．23,样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为（ ）A ．523.1ˆ+=x yB ．423.1ˆ+=x yC ．23.108.0ˆ+=x yD ．08.023.1ˆ+=x y 11．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ） A ．15 B ．310 C ．35 D ．4512．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒二、填空题13．将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ．14．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有 辆.15．右边程序是求一个函数的函数值的程序：若执行此程序的结果为3，则输入的x 值为______16．在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a m =从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为_______． 三、解答题17．某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得到的数据：（Ⅰ）能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．参考公式：22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++（2）若从5班、6班的调查中各随机选取2同学进行调查，调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，求随机ξ的分布列和数学的期望值．19．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同. 某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球. 若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖. 每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .20．现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题.甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号（x ，y ）表示事件“抽到的两道题的编号分别为x ，y ，且x<y.”.(1)问有多少个基本事件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率.21．某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）22．随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ； （2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；（3）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P ．试根据（1）、（2）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）．参考答案ACACB BCBCD11．C 12．C 13．11214．80 15．4或－3 16．1317．（Ⅰ）有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关（Ⅱ）914（Ⅰ）根据题中的数据计算：22400(5017030150) 6.2580320200200k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 （Ⅱ）由已知得抽样比为818010=，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为,,,,,1,2,3a b c d e ，选取2人共有{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},1b ，{},2b ，{},3b ，{},c d ，{},c e ，{},1c ，{},2c ，{},3c ，{},d e ，{},1d ，{},2d ，{},3d ，{},1e ，{},2e ，{},3e ，{}1,2，{}1,3，{}2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件， 故所求概率为1892814P ==． 18．解析：（1）因为调查的50人中达到实际的水平有：36664328+++++=（人）， 所求的概率为280.5650P ==． （2）调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，则0,1,2,3ξ=当221122143243432222646417(0);(1)515C C C C C C C p p C C C C ξξ+====== 221112123243232222646431(2),(3)1030C C C C C C C p p C C C C ξξ+====== 所求的分布列为3153()0123515103030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19．解析：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则2111123223322264C C C +C C C 7()C C 30P A ==⋅．（2）设“在1次摸奖中，获奖” 为事件B ，则获得一等奖的概率为223212264C C 1=C C 30P =⋅；获得三等奖的概率为221111323322322642C C +C C C C 7=C C 15P =⋅；所以17711()30301515P B =++=．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2． 21116(0)(1)15225P X ==-=，12111188(1)C (1)1515225P X ==-=，211121(2)()15225P X ===． 所以X 的分布列是所以12122()01222522522515E X =⨯+⨯+⨯=． 20．解析：（1）共有36个基本事件.分别是（1,2）（1,3）（1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (2,9) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) (3,9) (4,5) (4,6) (4,7) (4,8) (4,9) (5,6) (5,7) (5,8) (5,9) (6,7) (6,8) (6,9) (7,8) (7,9) (8,9)（2）由题知满足1117x y ≤+<的共有以下15种情况： （2,9） （3,8） （3,9） （4,7） （4,8） （4,9） （5,6） （5,7） （5,8） （5,9） （6,7） （6,8） （6,9） （7,8） （7,9）∴甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率1553612P == 21．（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ．所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种．事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． ∴ 42()105P A ==． （2）解：由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b --+--+--+--+--==-+-+-+-+-ˆˆ4ay bx =-=， ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． 22．（1）12；（2）0.4116；（3）132P P P >>． 解：（1）1337141012C C P C ⋅==， 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12；（2）1132437()()0.41161010P C =⋅=，所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116；（3）132P P P >>．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案试题解答一、选择题 二、11．89； 12．π18； 13．2π；17．m ≠－2，m ≠－3且m ≠0；18．(1)(3)(4) 14．解：⎩⎨⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=21y x ，所以交点(－1，2)………………4分(1)2-=k ，直线方程为02=+y x ……………8分 (2)21=k ，直线方程为052=+-y x ……………12分 15．证明：(Ⅰ)由已知底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ， ……………………1分又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ……………………3分 ∴AB ∥平面PCD ……………………4分(Ⅱ)在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，………………… 5分则四边形ADCE 为矩形，∴1==DC AE 又2=AB ，∴1=BE ，在BEC Rt ∆中，︒=∠45ABC ∴1==BE CE ；2=CB ，∴1==CE AD则AC =，222AC BC AB +=∴BC AC ⊥ …………………7分 又PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥ …………………8分 又A AC PA =∴BC ⊥平面PAC ……………9分 (Ⅲ) M 是PC 中点，∴M 到面ADC 中距离是P 到面ADC 距离的一半 ……………10分111111()(11)3232212M ACD ACD V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=…………… 13分 16．解：182,//21-≠=∴n m m l l ，解得;42｛=-≠m n 或.{42-=≠m n ……………3分 (1)当4=m 时，直线1l 的方程是,084=++n y x 把2l 的方程写成.0284=-+y xx由已知得：.1822.564162=-==++n n n 或解得：…………7分所以，所求直线1l 的方程为.0942,01142=++=-+y x y x 或 (2)当4-=m 时，直线1l 的方程是,084=--n y x把2l 的方程写成.0284=--y x 由已知得：.1822.564162-===+-n n n 或解得：…………9分所以，所求直线1l 的方程为.01142,0942=--=+-y x y x 或…………10分19．证明：(1)如图，以等腰直角三角形的直角顶点A 为坐标原点O ，以OB 为单位长，直线OB ，OC 分别为x 轴、y 轴，建立直角坐标系，…………1分 则B (1，0)，C (0，1)，M ），（2121．…………2分 设P),00y x （，则有100=+y x ． ).,0(),0,(,,00y F x E OC PF OB PE ∴⊥⊥.)21(41,41)21(2020y MF x ME -+=+-=…………5分 ,212100y x -=-MF ME =∴ …………6分 (2)由已知，0021,211y k x k MF ME -=-=…………8分MF ME k k x y y x MF ME ⊥-=⋅∴-=-∴=+即,1,1221,10000 ……12分20．(1)解：2220700,800,300,1cos .=6022AB m BC m AC m AC BC AB C C ABC C AB BC ===+-∴==∆∴⨯⨯是的内角，3分(2)由题意可知，工厂所在的点是ABC ∆的外心，不妨设ABC ∆外接圆的半径是R ，由正弦定理知400sin 2700≈=CR ，所以加工厂与小区A 的距离约为400M ．……6分(3)设需要安装x 道隔音窗，建造y 堵隔音墙，总成本为S 万元，由题意可得：y x S 103+=……7分{{65300.5012540015384300,≥+≤≤≥∈≤⨯---≤≤≥∈y x x y Ny x y x x y N y x 即……9分其可行域如图：……11分又因为万元最小值为时，当131031,1,,y x S y x N y x +===∴∈……13分 故需要安装1道隔音窗，1堵隔音墙即可．……14分21．解：(1)点P 坐标为(1，21-)，Q (0，23)，可求得直线PQ 的方程为：023=-+y x .……3分 当1－2t ＞0，即210<<t ，点Q 在第一象限，这时直线QR 的方程为：)2(2t x t y +=-. 令x ＝0，得点的坐标为(0，2t 2＋2). ……4分)(t S S S S OKR OPQR OPQK =-=∴∆)1(22)22(21)1(232222t t t t t t -+-=⋅+-+=.…6分当1－2t ≤0，即21≥t 时，点Q 在y 轴上或第二象限，此时直线PQ 的方程为)1(1--=-x t t y .令x ＝0，得点L 的坐标为(0，t t 1+)，∴)1(21)(t t S t S OPL +==∆.……7分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-=∴)21(),1(21)210(),1(2)(32t t t t t t t t S ……8分(2)当210<<t 时，对于任何21021<<<t t ，有 0)]()(1)[(2)()(222121211221>++++--=-∴t t t t t t t t t S t S即)()(21t S t S >∴，知S (t )在)21,0(内是减函数. ……9分 当21≥t 时，对任何2121t t <≤，有)11)((21)11(21)()(2121212121t t t t t t t t t S t S --=-+-=- 若12121≤<≤t t ，则().]121[,),()(21上是减函数在知由此，t S t S t S > 若211t t <≤，则().),1(,),()(21上是增函数在知由此+∞<t S t S t S ……10分 又45])21()21(211[2)21(32=-+-=S ． ……11分 对任何,21≥t 时，1)1()(=≤S t S ……13分 ()),,1(]1,0(+∞∴及的单调区间是t S 但S (t )在]1,0(内是减函数，在),1(+∞内是增函数，故所求最小值为1)1(=S ……14分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一．选择题，在每题给出的四个选项中只有一项符合题意。
2019-2020学年北京市清华附中高二下学期期末数学试卷
2019-2020学年北京市清华附中高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合则集合B不可能是()A. B.C. D.2.已知f(1+log a x)=√2x−1(a>0且a≠1).若f(4)=3，则a=()A. 12B. √22C. √2D. 23.设复数z1=1−3i，z2=3+2i，则z1z2在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设f(x)是定义在R的偶函数，对任意xÎR，都有f(x−2)=f(x+2)，且当xÎ[−2,0]时，f(x)=.若在区间(−2,6]内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. (1,2)B. (2,+¥)C. (1,)D. (，2)5.在区间[2,4]和[1,5]上分别随机取一个数，记为a，b，则双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e∈[√52,√5]的概率为()A. 23B. 532C. 2732D. 786.已知圆C：x2+y2=1，直线l：x=2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点()A. (12,0) B. (0,2) C. (2,1) D. (12,1)7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的最长棱的长度是()A. 2√5B. 6C. 2√6D. 4√38.角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列六个条件中，“A >B ”的充分必要条件的个数是( )①sinA >sinB ； ②cosA <cosB ； ③tanA >tanB ； ④sin 2A >sin 2B ； ⑤cos 2A <cos 2B ； ⑥tan 2A >tan 2B .A. 5B. 6C. 3D. 49.设定义在R 上的奇函数f(x)满足，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1>0，且f(2)=0，则不等式3f(−x)−2f(x)4x≤0的解集为( )A. (−∞,−2]∪(0，2]B. [−2,0]∪[2,+∞)C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. [−2,0)∪(0,2]10. 若三角形的三边均为正整数，其中有一边长为4，另外两边长分别为b 、c ，且满足b ≤4≤c ，则这样的三角形有．( )A. 10个B. 14个C. 15个D. 21个二、单空题（本大题共2小题，共10.0分） 11. 求(x 2−2x )4展开式中x 5的系数为______ ．12. 已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到定直线l:x =−2的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________．三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．(1)设a i,j (i,j ∈N ∗)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 5,2=11，则a 10,7= (1) ；(2)设T 2n 表示三角形数表中第2n 行的所有数的和，其中n ∈N ∗，则T 2n = (2) ．14. 已知平面向量a 与b 的夹角为π6，|a |=√3，|b |=1，则|a −b |= ；若平行四边形ABCD满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ，则平行四边形ABCD 的面积为 ．15.已知函数f(x)=|x−1|+|x|+|x+1|，且f(a2−3a+2)=f(a−1)，则f(x)的最小值为(1)；满足条件的所有a的值为(2)．四、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知．(Ⅰ)求sin x的值；(Ⅱ)求的值．17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，⊥平面，，点分别为和中点．(1)求证：直线平面；(2)求与平面所成角的正弦值．18.寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日天气小雨小雨阴阴转多云多云转阴销售量(件)白天3933434154晚上4246505161已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家．(1)画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；(2)从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变．假如明年花市5天每天下雨的概率为15，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？(3)若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在(2)条件下，你认为“值得投资”吗？19. 如图，点F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点，圆A：(x−t)2+y2=163(t<0)与椭圆C的一个公共点为B(0,2)，且直线FB与圆A相切于点B．(Ⅰ)求t的值和椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若F′是椭圆C的左焦点，点P是椭圆C上除长轴上两个顶点外的任意一点，且∠F′PF=θ，求θ的最大值．20. 函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为−3(1)求函数f(x)的解析式；(2)过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．21. 已知数列的前项和(1)求数列的通项公式;(2)求的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：由意义可知A 是B 的子集，而C 中的集合是全体实数R ，所以选C ． 考点：本小题主要考查集合之间的关系． 点评：考查集合之间关系的时候，不要忘记空集．2.答案：C解析：解：f(1+log a x)=√2x −1(a >0且a ≠1).f(4)=3， 可得：{1+log a x =4√2x −1=3，解得x =2√2，a =√2，故选：C ．利用函数的解析式，转化为方程组，求解即可．本题考查函数的解析式的应用，正确利用函数的定义，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．3.答案：C解析：试题分析：由z 1=1−3i ，z 2=3+2i ，利用复数的代数形式的乘除运算，求出Z 1Z 2=1−3i 3+2i =−313−1113i ，由此能得到Z 1Z 2在复平面内对应的点所在象限．∵z 1=1−3i ，z 2=3+2i ， ∴Z 1Z 2=1−3i 3+2i=(1−3i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=3−9i−2i+6i 213=−313−1113i ，∴Z 1Z 2在复平面内对应的点(−313,−1113)在第三象限．故选C ．4.答案：B解析：试题分析：画出当x ∈[−2,0]时，函数f(x)=的图象(如图)．∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴当x ∈[0,2]时的函数f(x)的图象与当x ∈[−2,0]时，函数f(x)图象关于y 轴对称．∵对任意x ∈R ，都有f(x +2)=f(2−x)成立，∴函数f(x)的图象关于直线x =2对称． 根据以上的分析即可画出函数y =f(x)在区间[−2,6]上的图象． 当0<a <1时，可知不满足题意，应舍去； 当a >1时，画出函数y =log a (x +2)的图象．若使函数y =f(x)与y =log a (x +2)=0在区间(−2,6]内有3个实根，而在(−2,0)必有一个实根，只需在区间(0,6]内恰有两个不同的交点(即关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0在区间(0,6]内恰有两个不同的实数根)，则实数a 满足，log a (6+2)>3，∴a 3<8，∴a <2，又1<a ，∴1<a <2.故a 的取值范围为1<a <2.故选B ． 考点：本题主要考查函数的奇偶性、周期性，指数函数、对数函数的性质。
北京市清华大学附属中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
所以 ，此时 ，
又 ，此时 ，
综上可知： .
【点睛】思路点睛：求解形如 在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：
（1）先确定 这个整体的范围；
（2）分析 在（1）中范围下的取值情况；
（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的 的取值.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ， 平面 ， .
理由如下供参考：过 作 交 于 点，过点 作 交 于 点，连接 ，
因为 ， ，所以 ，因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 平面 ，所以 ，
所以 即为点 到直线 距离，
因为 ，所以 有最大值时 有最大值，
显然 有最大值时 与 点重合，此时 与 重合，则 ，
所以点 到直线 距离的最大值为 ，此时 与 重合.
【答案】
【解析】
由三角形的面积公式知， ,解得 ，再有余弦定理得 ，故 .
14.若椭圆 的离心率是 ，则 的值为_________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
分焦点在 轴和 轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解
【详解】①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得 ，解得 ；
②当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得 ，解得 .
即“ ”是“直线 的倾斜角大于 ”的充分而不必要条件，
故选A.
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
4.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg），将所得数据整理后画出了频率分布直方图如图所示，体重在 内适合跑步训练，体重在 内适合跳远训练，体重在 内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（）
2019-2020学年北京师大附中高二(下)期中数学试卷(AP)(含答案解析)
2019-2020学年北京师大附中高二(下)期中数学试卷(AP)一、单选题（本大题共15小题，共60.0分）1.等差数列{a n}中，若a1=−11，a4+a6=−6，则公差d=()A. 4B. 3C. 2D. 12.已知等差数列{a n}的公差为1，若a3−1，a5−1，a9−1成等比数列，则{a n}的前15项和S15=()A. 120B. 110C. 100D. 903.等比数列{a n}中，如果a5=5，a8=25，则a2等于()A. 35B. √5C. 5D. 14.等差数列{a n}中，a1+a20=18，则此数列前20项和等于()A. 160B. 180C. 200D. 2205.在数列中，，则=A. B. C. D.6.在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为()A. 8B. ±8C. 16D. ±167.设等差数列的公差，，若是与的等比中项，则=()A. 3或6B. 3C. 3或9D. 68.等差数列{a n}的前n项和为S n，且−=3，则数列{a n}的公差为()A. 1B. 2C. 3D. 49.等比数列{a n}中，公比q=2，a2+a4+a6+⋯+a100=100，则a1+a3+a5+⋯+a99=()A. 10B. 25C. 50D. 20010.已知函数y=log a x−1，(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx−ny−1=0上，其中m>0，n>0，则1m +2n的最小值为()A. 3B. 3+2√2C. 4D. 811.如果对于任意实数x，表示不小于x的最小整数，例如，那么“”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 对于任意实数，<>表示不小于的最小整数，例如<1.1>=2，<>=，那么“”是“<>=<>”( )．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件13. 已知平面区域如图所示，z =mx +y(m >0)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为( )A. 12 B. 1 C. 720 D. 不存在14. 若实数x ，y 满足不等式组合{x +3y −3≥02x −y −3≤0x −y +1≥0，则x +y 的最大值为( )A. 9B. 157C. 1D. 71515. 函数f(x)=5x +20x 2(x >0)的最小值为( )A. 10B. 15C. 20D. 25二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）16. 等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4+a k =0，则k = ______ ．17. 已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8=________．18. (x2+1)n 的展开式按x 升幂排列，若前三项的系数成等差数列，则n = ______ ．19. 已知m ，n ∈R ，m <n ，函数f(x)=m ≤t ≤n max(x +t)2(x ∈R)(其中m ≤t ≤n max表示对于x ∈R ，当t ∈[m,n]时表达式(x +t)2的最大值)，则f(x)的最小值为______．20. 在平面区域{(x,y)||x|≤1，|y|≤1}上恒有ax −2by ≤2，则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为______ ．三、解答题（本大题共2小题，共20.0分）21.在等差数列{a n}中，a3+a4=12，公差d=2，记数列{a2n+1}的前n项和为S n．(1)求S n；(2)设数列{na n+1S n }的前n项和为Tn，若a2，a5，a m成等比数列，求T m．22.沿海某市为了进一步完善海防生态防护体系，林业部门计划在沿海新建防护林3万亩，从2020年开始，每年春季在规划的区域内植树造林，第一年植树1200亩，以后每一年比上一年多植树400亩，假设所植树木全部成活．(Ⅰ)求到哪一年春季新建防护林计划全部完成；(Ⅱ)若每亩新植树苗的木材量为2立方米，且所植树木每一年从春季开始生长，到年底停止生长时木材量的年自然增长率为10%，到新建防护林计划全部完成的那一年底，新建防护林的木材总量为多少立方米.(参考数据：1.111≈3)【答案与解析】1.答案：C解析：解：由题意得，，故答案选：C．2.答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式与求和公式，考查等比数列的性质，属于基础题．由已知列式求得a5，进一步求得a1，再由等差数列的前n项和求解．解：在等差数列{a n}中，由d=1，得a3=a5−2，a9=a5+4，又a3−1，a5−1，a9−1成等比数列，∴(a5−1)2=(a3−1)(a9−1)=(a5−3)(a5+3)，解得：a5=5，∴a1=a5−4d=1．则S15=15×1+15×14×12=120．故选：A．3.答案：D解析：解：由等比数列的性质可得a52=a2⋅a8，∴a2=a52a8=5225=1，故选：D．由等比数列的性质可得a52=a2⋅a8，代值计算即可．本题考查等比数列的性质，属基础题．4.答案：B解析：解：∵等差数列{a n}中，a1+a20=18，∴此数列前20项和为：S20=202(a1+a20)=202×18=180．故选：B．利用等差数列前n项和公式直接求解．本题考查等差数列的前20项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：本题主要考查了对数函数的性质，数列的递推公式和通项公式，考查了基本运算的能力．解：∵，∴，将上面n−1个式子左右两边分别相加得．故选A．6.答案：A，a5=8，则插入的3个数依次为a2，a3，a4，解析：解：设这个等比数列为{a n}，依题意可知a1=12∴a2⋅a4=a1⋅a5=a32=4∴a3=2∴a2a3a4=a33=8故选：A．设这个等比数列为{a n}，根据等比中项的性质可知a2⋅a4=a1⋅a5=a32进而求得a3，进而根据a2a3a4=a33，得到答案．本题主要考查了等比数列的性质．主要是利用等比中项的性质来解决．7.答案：B解析：试题分析：因为等差数列的公差，又是与的等比中项，所以可得.又因为.所以.化简得．(舍去)故选B．考点：1.等差数列.2等比数列.3.数列的通项公式.4.化简方程的能力8.答案：B解析：解：设等差数列，故答案选：B．9.答案：C解析：解：根据题意，等比数列{a n}中，a2+a4+a6+⋯+a100=100，又由等比数列{a n}的公比q=2，则a2+a4+a6+⋯+a100=a1×q+a3×q+a5×q+⋯+a99×q=q(a1+a3+a5+⋯+a99)=2(a1+a3+a5+⋯+a99)=100，则a1+a3+a5+⋯+a99=50；故选：C．根据题意，由等比数列的通项公式可得a2+a4+a6+⋯+a100=a1×q+a3×q+a5×q+⋯+ a99×q=q(a1+a3+a5+⋯+a99)=2(a1+a3+a5+⋯+a99)，进而分析可得答案．本题考查等比数列的性质，注意利用等比数列的通项公式分析，属于基础题．10.答案：B解析：解：因为函数y=log a x−1的图象恒过定点(1,−1)，∴A(1,−1)，所以m+n=1(m>0,n>0)∴1m +2n=(m+n)(1m+2n)=3+nm+2mn≥3+2√nm⋅2mn=3+2√2(当且仅当m=√2−1，n=2−√2时取等)故选：B．因为函数y=log a x−1的图象恒过定点(1,−1)，∴A(1,−1)，所以m+n=1(m>0,n>0)，然后根据基本不等式可求得1m +2n最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．11.答案：B解析：试题分析：若|x−y|<1.取x=3.6，y=4.1，则<x>=4，<y>=5，<x>≠<y>，所以“|x−y|<1”成立推不出“<x>=<y>”成立；若<x>=<y>，因为<x>表示不小于x的最小整数，所以x≤<x><x+1所以可设<x>=x+m，<y>=y+n，mn∈[0,1]，由x+m=y+n得|x−y|=|m−n|<1，所以“<x>=<y>”⇒“|x−y|<1”故“|x−y|<1”是“<x>=<y>”的必要不充分条件，故选B．考点：1.新定义；2.充分条件与必要条件．12.答案：B解析：试题分析：若|x−y|<1.取x=3.6，y=4.1，则<x>=4，<y>=5，<x>≠<y>，所以“|x−y|<1”成立推不出“<x>=<y>”成立，若<x>=<y>，因为<x>表示不小于x的最小整数，所以x≤<x><x+1，所以可设<x>=x+m，<y>=y+n，mn∈[0,1]，由x+m= y+n得|x−y|=|m−n|<1，所以“<x>=<y>”⇒“|x−y|<1”故“|x−y|<1”是“<x>=<y>”的必要不充分条件，故选B考点：本题考查了充要条件的判断点评：说明一个命题不成立常用举反例的方法、考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．13.答案：C解析：本题考查线性规划的应用，目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．目标函数Z=mx+y，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上，目标函数的截距取得最大值，故最大值应在左上方边界AC上取到，即mx+y=0应与直线AC平行；进而计算可得m的值．解：由题意，z=mx+y(m>0)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，最优解应在线段AC上取到，故mx+y=0应与直线AC平行∵k AC=3−22 55−1=−720，∴−m=−720，∴m=720，故选：C．14.答案：A解析：解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A(4,5)时z最大，最大值为9，故选：A．先根据条件画出可行域，设z=x+y，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=x+y，过可行域内的点A(4,5)时的最大值，从而得到z最大值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．15.答案：B解析：解：函数f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2≥332.5x ⋅2.5x ⋅20x 2=15， 当且仅当2.5x =20x 2，即x =2时，函数f(x)=5x +20x 2(x >0)的最小值为15． 故选：B ．函数f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2，利用基本不等式可得结论．本题考查平均值不等式，考查学生的计算能力，f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2是解题的关键．16.答案：10解析：解：∵等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和， ∴9a 1+36d =4a 1+6d ，其中a 1为首项，d 为等差数列的公差， ∴a 1=−6d ， 又∵a k +a 4=0∴a 1+(k −1)d +a 1+3d =0， 把a 1=−6d 代入上式得，k =10， 故答案为：10先设出等差数列{a n }的首项和公差为a 1、d ，由等差数列的前n 项和代入条件得到a 1和d 关系，再由通项公式代入a k +a 4=0，求出k 的值．本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式应用，需要熟练掌握公式并会应用．17.答案：64解析：因为a 1，a 2，a 5成等比数列，则=a 1·a 5，即(1+d)2=1×(1+4d)，解得d =2.所以a n =1+(n −1)×2=2n −1，a 8=2×8−1=15，S 8==4×(1+15)=64．18.答案：8解析：解：∵(x2+1)n 的展开式按x 升幂排列，前三项的系数成等差数列，∴2C n 1×12=C n 0+C n 2×14，∴n =8．故答案为：8．利用(x2+1)n 的展开式按x 升幂排列，前三项的系数成等差数列，建立方程，即可求出n ． 本题考查二项式定理的运用，考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．19.答案：(n−m)24解析：解：不妨令ℎ(t)=(x +t)2，t ∈[m,n]的最大值为f(x)，则m ≤t ≤n max(x +t)2=max{ℎ(m),ℎ(n)}=max{(x +n)2,(x +m)2}， ∴{f(x)≥(x +n)2f(x)≥(x +m)2， ∴2f(x)≥(x +n)2+(x +m)2≥[(x+n)−(x+m)]22=(n−m)22，当且仅当x =−m+n 2时取等号，∴f(x)≥(n−m)24，即f(x)的最小值为(n−m)24．故答案为：(n−m)24．设ℎ(t)=(x +t)2，t ∈[m,n]的最大值为f(x)，由题意可得{f(x)≥(x +n)2f(x)≥(x +m)2，两式相加后利用不等式即可求得f(x)≥(n−m)24，进而得解．本题考查二次函数的性质以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．20.答案：4解析：先依据不等式组{(x,y)||x|≤1，|y|≤1}，结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有ax −2by ≤2”得出关于a ，b 的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 令z =ax −2by ，∵ax −2by ≤2恒成立，即函数z =ax −2by 在可行域要求的条件下，z max =2恒成立．当直线ax −2by −z =0过点(1,1)或点(1,−1)或(−1,1)或(−1,−1)时，有：{a −2b ≤2a +2b ≤2−a −2b ≤2−a +2b ≤2． 点P(a,b)形成的图形是图中的菱形MNTS ．∴所求的面积S =2×12×4×1=4．故答案为：4． 21.答案：解：(1)∵在等差数列{a n }中，a 3+a 4=12，公差d =2，∴(a 1+2×2)+(a 1+3×2)=12，解得a 1=1，∴a n =1+(n −1)×2=2n −1．∵数列{a 2n−1}的前n 项和为S n ，a 2n−1=2(2n −1)−1=4n −3，∴{a 2n−1}是1为首项，4为公差的等差数列，∴S n =(1+4n−3)n 2=2n 2−n ．(2)∵a 2，a 5，a m 成等比数列，∴a 2a m =a 52，∴3(2m −1)=92，解得m =14．∴n a n+1S n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴T m =T 14=12(1−13+13−15+⋯+127−129)=12(1−129)=1429．解析：(1)利用等差数列通项公式列出方程求出首项a 1=1，由此能求出前n 项和S n ．(2)由a 2，a 5，a m 成等比数列，得m =14，再由n an+1S n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，利用裂项求和法能求出T m ．本题考查等差数列的前n 项和的求法，考查数列的前n 项和的求法，考查等差数列、等比数列、裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)设第n年春季植树为a n亩，由题意可知a1=1200，a n+1−a n=400=d(常数)，所以{a n}为等差数列．×400=30000，设植树n年新建防护林计划全部完成，则1200n+n(n−1)2化简得，n2+5n−150=0，所以n=10，2020+10−1=2029，所以到2029年新建防护林计划全部完成；(Ⅱ)设每年种植树木到2029年底的木材量为数列{b n}，则b10=a10×2×1.1，b9=a9×2×1.12，……，b1=a1×2×1.110，则本材总量S=b1+b2+⋯+b10=2(1.1a10+1.12a9+⋯+1.110a1)，则1.1S=2(1.12a10+1.13a9+⋯+1.111a1)，所以0.1S=2[−1.1a10+d(1.12+1.13…+1.110)+a1⋅1.111]，+1200×3)=10960，=2(−1.1×4800+400×1.12−1.1111−1.1解得S=109600，所以到2029年底新建防护林的木材总量为109600立方米．解析：(Ⅰ)设设第n年春季植树为a n亩，得到{a n}为等差数列，利用等差数列的求和公式分析求解即可；(Ⅱ)设每年种植树木到2029年底的木材量为数列{b n}，然后利用错位相减法求和即可得到答案．本题考查了数列在实际生活中的应用，涉及了等差数列求和公式、等比数列求和公式的应用，同时考查了错位相减法求和，对学生的理解能力和运算能力有一定的要求．。
2020-2021学年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题；共40分）1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}2．（4分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0B．1C．D．23．（4分）“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重（kg），将所得数据整理后，体重在[45，50）内适合跑步训练，55）内适合跳远训练，体重在[55，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（）A．4：3：1B．5：3：1C．5：3：2D．3：2：15．（4分）已知函数g（x）＝f（2x）﹣x2为奇函数，且f（2）＝1（﹣2）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．（4分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+27．（4分）若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线8．（4分）方程（x+y+6）＝0表示的曲线是（）A．两条平行线B．一条直线和一条射线C．两条射线D．一条直线9．（4分）若函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与函数y＝cosωx的图象重合（）A．﹣1B．﹣2C．1D．210．（4分）已知函数f（x）＝，则f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣1），∪（3，+∞）D．（﹣1，3）二、填空题（共5小题：共25分）11．（5分）如果直线ax+2y+3a＝0与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行，则a＝．12．（5分）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝．13．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则a＝．14．（5分）椭圆+＝1的离心率为，则m＝．15．（5分）在平面直角坐标系中，关于曲线y2＝x3﹣2x+1，下列说法中正确的有．①该曲线是有界的（即存在实数a，b，使得对于曲线上任意一点A（x，y），都有|x|≤a②该曲线不是中心对称图形；③该曲线是轴对称图形；④直线x＝m（m＞0）与该曲线至少有1个公共点．三、解答题16．（14分）已知直线l：y＝x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0交于不同的两点．（Ⅰ）写出圆心坐标和半径，并求出m的取值范围；（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．17．（14分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）18．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝45°，DC ＝1，P A⊥平面ABCD，P A＝1．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面P AC；（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．19．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．20．（14分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2＝上，直线AM与椭圆交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍21．（15分）对于4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），若对1，2，3，4的任意一种排序i，j，k，（即i，j，k，l∈{1，2，3，4}且i，j，k，l互不相同）i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，则称实数组（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”．（Ⅰ）分别判断（﹣1，﹣1，1，1），（﹣，t，t，t）（t∈R，t≠0）是否为“阳光组”，说明理由．（Ⅱ）设（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”，证明：a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≥﹣．（Ⅲ）求最大的常数C使得对于每个“阳光组”（a1，a2，a3，a4）均有，a i a j ≥C．2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题；共40分）1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}【分析】求解一元二次不等式得到集合A，再由交集运算得答案．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣8＜0}＝（﹣1，3），1，3，7}，则A∩B＝{1，3}，故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2．（4分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．【解答】解：z＝1+2i+i2＝1+2i﹣i＝8+i，∴|z|＝＝．故选：C．【点评】本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题．3．（4分）“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设直线ax+y﹣3＝0的倾斜角为θ，tanθ＝﹣a，由直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于，可得﹣a＞1或﹣a＜0，解得a范围即可判断出结论．【解答】解：设直线ax+y﹣3＝0的倾斜角为θ，tanθ＝﹣a，∵直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于，∴﹣a＞6或﹣a＜0，解得a＜﹣1，或a＞6．∴“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝8的倾斜角大于”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（4分）某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重（kg），将所得数据整理后，体重在[45，50）内适合跑步训练，55）内适合跳远训练，体重在[55，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（）A．4：3：1B．5：3：1C．5：3：2D．3：2：1【分析】分别求出体重在[45，50）内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50，55）内频率为0.06×5＝0.30，体重在[55，60）内频率为0.02×5＝0.1，即可求得结论．【解答】解：体重在[45，50）内的频率为0.1×5＝0.5，55）内频率为3.06×5＝0.30，60）内频率为5.02×5＝0.5，∵0.5：5.3：0.4＝5：3：6故可估计跑步、跳远，故选：B．【点评】本题主要考查了频率分布直方图，同时考查了学生的读图能力，属于基础题．5．（4分）已知函数g（x）＝f（2x）﹣x2为奇函数，且f（2）＝1（﹣2）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】根据g（x）为奇函数可得出g（﹣2）＝﹣g（2），再根据f（2）＝1即可得出f （﹣2）﹣1＝﹣1+1，从而求出f（﹣2）＝1．【解答】解：∵g（x）为奇函数，且f（2）＝1；∴g（﹣1）＝﹣g（1）；∴f（﹣4）﹣1＝﹣f（2）+1＝﹣3+1；∴f（﹣2）＝5．故选：C．【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．6．（4分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+2【分析】利用向量加法法则直接求解．【解答】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝＝＝＝2．故选：C．【点评】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（4分）若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线【分析】若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，判断点B与直线a的关系，【解答】解：①点B∉直线a时，平面α∥平面β，∴a∥β或a⊂β，由线面平行性质定理；a⊂β时，故存在唯一与a平行的直线，则在平面β内不存在过B点的直线与a平行．故选：A．【点评】本题考查空间线面位置关系，关键在于点B与直线a的位置关系判断．8．（4分）方程（x+y+6）＝0表示的曲线是（）A．两条平行线B．一条直线和一条射线C．两条射线D．一条直线【分析】由原方程可得x+y﹣3＝0或x+y+6＝0且x+y﹣3≥0，结合两直线的位置关系，可得结论．【解答】解：方程（x+y+6）＝7，由于直线x+y＝3与直线x+y+6＝3平行，且直线x+y+6＝0的上方，所以x+y+4＝0且x+y﹣3≥8的解集为∅，所以方程（x+y+6）＝8表示的曲线为直线x+y﹣3＝0，故选：D．【点评】本题考查曲线与方程的关系，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．9．（4分）若函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与函数y＝cosωx的图象重合（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【分析】根据y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得y＝sin[ω（x﹣）+]的图象，再根据所得函数的图象与函数y＝cosωx的图象重合，可得﹣ω•＝2kπ+，k∈z，由此可得ω的可能值．【解答】解：函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移，可得函数y＝sin[ω（x﹣]的图象，再根据所得函数的图象与函数y＝cosωx的图象重合，∴﹣ω•，k∈z，∴当k＝0时，ω＝﹣6，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．10．（4分）已知函数f（x）＝，则f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣1），∪（3，+∞）D．（﹣1，3）【分析】讨论x＜0，x≥0时函数f（x）的单调性，可得f（x）在R上递增，由单调性的定义，把f（3﹣x2）＞f（2x）转化为关于x的一元二次不等式求解．【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x3是增函数，当x≥0时，f（x）＝e x递增，且8＜e0＝1，可得f（x）在R上单调递增，由f（7﹣x2）＞f（2x），可得8﹣x2＞2x，解得﹣6＜x＜1，则不等式f（3﹣x3）＞f（2x）的解集为（﹣3，5）．故选：B．【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，考查不等式的解法，是基础题．二、填空题（共5小题：共25分）11．（5分）如果直线ax+2y+3a＝0与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行，则a＝3．【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】解：∵直线ax+2y+3a＝6与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣4平行，∴，解得a＝8．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．（5分）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+4y﹣3＝0的圆心（2，﹣1），圆心到直线的距离为：＝，所以|AB|＝2＝2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则a＝．【分析】先利用三角形面积公式求得c，最后利用三角函数的余弦定理求得a．【解答】解：∵S△ABC＝bc sin A＝∴c＝4∴a＝＝＝故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形问题．灵活利用正弦定理和余弦定理是解决三角形边角问题的关键．14．（5分）椭圆+＝1的离心率为，则m＝3或．【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若8＜m＜4，则a2＝2，b2＝m，∴c＝，∴e＝＝；（ⅱ）m＞4，则b2＝8，a2＝m，∴c＝，∴e＝＝ m＝；综上：m＝3或m＝，故答案为：3或．【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．15．（5分）在平面直角坐标系中，关于曲线y2＝x3﹣2x+1，下列说法中正确的有②③．①该曲线是有界的（即存在实数a，b，使得对于曲线上任意一点A（x，y），都有|x|≤a②该曲线不是中心对称图形；③该曲线是轴对称图形；④直线x＝m（m＞0）与该曲线至少有1个公共点．【分析】①根据题意可得x3﹣2x+1≥0，解得x取值范围，进而可得出结论；②假设曲线是中心对称图形，由x∈[﹣，]∪[1，+∞），推出点P（x0，y0）的对称点的横坐标x→﹣∞，不符合题意；③将方程中y变为﹣y，观察与原方程是否相等，即可判断是否关于原点对称，进而判断③；④当m∈（，1）时，直线x＝m（m＞0）与该曲线无交点，故④错误．【解答】解：①因为y2＝x3﹣7x+1，所以x3﹣2x+1≥0，所以（x5+x﹣1）（x﹣1）≥5，解得x∈[﹣，]∪[1，所以|x|≤a不恒成立，故①错误，②假设曲线是中心对称图形，因为x∈[﹣，，+∞），所以取一点P（x0，y2），当x0→+∞，此时点P（x0，y2）的对称点的横坐标x→﹣∞，不符合x∈[﹣，]∪[1，所以假设错误，故②正确，③将方程y2＝x3﹣2x+1中的y变为﹣y时，方程变为（﹣y）7＝x3﹣2x+5，与原方程相同，所以曲线关于x轴对称，④因为x∈[﹣，]∪[1，所以当m∈（，直线x＝m（m＞0）与该曲线无交点，故④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查曲线的方程，命题真假的判断，解题中需要掌握对称性的应用，属于中档题．三、解答题16．（14分）已知直线l：y＝x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0交于不同的两点．（Ⅰ）写出圆心坐标和半径，并求出m的取值范围；（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用直线与圆相交，得到关系式，利用判别式大于0得到结果．（Ⅱ）直线AB经过圆心，进一步利用代入法求出m的值，最后确定直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2﹣7x+4y+3＝7化为标准方程：（x﹣1）2+（y+7）2＝2，圆心坐标（8，﹣2）．由，得：2x2+2（m+6）x+m2+4m+4＝0，∴△＝4（m+5）2﹣8（m2+4m+3）＞8，解得﹣5＜m＜﹣1．（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，﹣8＝1+m，∴直线l：y＝x﹣3．直线l与x轴的交点为（5，0），﹣3），所以，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用及相关的运算问题，属于中档题．17．（14分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x﹣）﹣1，利用正弦函数的周期性和单调性即可得解．（Ⅱ）由题意可求范围2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+3＝23x+1＝sin7x﹣cos2x ＝2sin（8x﹣），所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π，令2kπ﹣≤4x﹣，k∈Z≤x≤kπ+，可得单调递增区间为：[kπ﹣]，k∈Z．（Ⅱ）当x∈[0，]时∈[﹣，]，所以sin（2x﹣）∈[﹣，可得f（x）＝2sin（2x﹣）∈[﹣1，即函数f（x）的最大值为3．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．18．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝45°，DC ＝1，P A⊥平面ABCD，P A＝1．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面P AC；（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．【分析】（Ⅰ）由已知中AB∥DC，结合线面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD；（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，由已知中DC＝1，AB＝2，我们根据勾股定理可得BC⊥AC，由P A⊥平面ABCD可得P A⊥BC，结合线面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面P AC；（Ⅲ）若M是PC的中点，则M到面ADC的距离是P到面ADC距离，即P A的一半，根据其它已知条件计算出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD∴AB∥平面PCD（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，∴AE＝DC＝1又AB＝2，∴BE＝6在Rt△BEC中，∠ABC＝45°∴CE＝BE＝1，CB＝∴AD＝CE＝4则AC＝＝，AC2+BC2＝AB3∴BC⊥AC又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC．又由P A∩AC＝A∴BC⊥平面P AC（Ⅲ）∵M是PC中点，∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半∴．【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归转化思想、必然与或然思想；属于立体几何中的基础题型．19．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出＝（1，0，1），＝（﹣1，﹣m，1），可得•＝0，即可证明DA1⊥ED1；（Ⅱ）求出平面CED1的一个法向量，利用直线DA1与平面CED1成角为45°，可得＝，即可求的值；（Ⅲ）点E在A点处，可求点E到直线D1C距离的最大值．【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，0，0），5，0），1，6），1，0），D2（0，0，6），A1（1，3，1），m，0）（8≤m≤1）（Ⅰ）证明：＝（4，0，＝（﹣7，1）∴•＝0∴DA1⊥ED3；（4分）（Ⅱ）解：设平面CED1的一个法向量为＝（x，y，则∵＝（0，1），，m﹣6∴．取z＝1，得y＝1，得＝（4﹣m，1．∵直线DA1与平面CED3成角为45°，∴sin45°＝|cos＜，＞|＝，∴＝，解得m＝（Ⅲ）解：点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处【点评】本题考查线线垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．20．（14分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2＝上，直线AM与椭圆交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AB的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得|AB|＝2|AM|，即＝2，运用向量的坐标表示，可得M的坐标，代入圆的方程，可得直线AB的斜率，即可得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝＝＝，6b＝2，则a＝2，所以椭圆的标准方程为+＝7；（Ⅱ）A（﹣2，0），与椭圆方程x8+2y2﹣2＝0联立，可得（1+8k2）x2+6k2x+8k7﹣4＝0，设A，B的横坐标分别为x4，x2，可得x1+x8＝﹣，x5x2＝，设x1＝﹣4，可得x2＝，y2＝，由△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，设O到AB的距离为d，可得＝3，即＝2，设M（m，n），）＝2（m+2，可得m＝，n＝，由M在圆x3+y2＝上，可得m2+n2＝，即为28k4+k8﹣2＝0，解得k＝±，则直线AB的方程为y＝x+1或y＝﹣．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．（15分）对于4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），若对1，2，3，4的任意一种排序i，j，k，（即i，j，k，l∈{1，2，3，4}且i，j，k，l互不相同）i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，则称实数组（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”．（Ⅰ）分别判断（﹣1，﹣1，1，1），（﹣，t，t，t）（t∈R，t≠0）是否为“阳光组”，说明理由．（Ⅱ）设（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”，证明：a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≥﹣．（Ⅲ）求最大的常数C使得对于每个“阳光组”（a1，a2，a3，a4）均有，a i a j ≥C．【分析】（Ⅰ）根据“阳光组”的定义即可判断；（Ⅱ）根据“阳光组”的定义可得a1a2+a2a3+a3a4≥﹣1，a1a2+a1a4+a2a3≥﹣1，a1a2+a1a4+a3a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a4a1≥﹣1，不等式相加即可证明；（Ⅲ）a a i a j＝a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4，再利用“阳光组”的定义可得a1a2+a1a3+a2a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a1a4≥﹣1，即可得C≤﹣2，即可求最大的常数C．【解答】解：（Ⅰ）①（﹣1，﹣1，2，当i＝3，j＝2，l＝6时，a i a j+a j a k+a k a l≥a2a3+a7a4+a1a3＝﹣3，不满足“阳光组”条件；②（﹣，t，t，t），是，a1a2＝﹣，a1a5＝﹣，a3a4＝﹣，a2a3＝t3，a2a4＝t2，a3a4＝t7，a i a j+a j a k+a k a l≥2t2﹣或t2﹣5，均满足a i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，满足“阳光组”条件；（Ⅱ）根据“阳光组”条件，a1a2+a2a3+a5a4≥﹣1，a4a2+a1a4+a2a3≥﹣4，a1a2+a4a4+a3a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a3a1≥﹣1，将以上四个不等式相加得：3（a1a2+a8a3+a3a7+a4a1）≥﹣6，故a1a2+a6a3+a3a2+a4a1≥﹣；（Ⅲ）a i a j＝a1a2+a8a3+a1a3+a2a3+a5a4+a3a8＝（a1a2+a7a3+a2a7）+（a2a3+a3a4+a1a6）≥（﹣1）+（﹣1）＝﹣7，故C＝﹣2．【点评】本题的关键点是理解“阳光组”的定义，4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），均有a i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，对于后面的问题利用定义解决即可．。
2019-2020学年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
一、选择题：（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于 ( )
A． 1 3
B． 3 3
C． 1 2
2．倾斜角为135 ，在 y 轴上的截距为 1 的直线方程是 ( )
D． 3 2
B． (, 1) 4
C． ( 3 , ) 4
【解答】解： BD (DA AB) ，设 CAB (0, ) ，
D． (1 , 3) 44
所以
BDCD
(DA
AB)DA
[( 1
CA)2
x
的取值．
63
16．（13 分）在 ABC 中， a2 c2 b2 ac ．
（1）求 cos B 的值；
（2）若
cos
A
1 7
，
a
8
，求
b
以及
SABC
的值．
17．已知 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的短轴长 2
3 ，离心率为 1 ，圆 O : x2 y2 b2 ． 2
)
A．0
B．1
C．2
D． 2 2
【解答】解： O 为 F1F2 的中点，
PF1 PF2 2PO ，可得 | PF1 PF2 | 2 | OP |
当点 P 到原点的距离最小时， | OP | 达到最小值， | PF1 PF2 | 同时达到最小值．
1 CAAB]
(新课标人教版)北京市海淀区2019-2020学年高二下期中考试数学理测试题(附详细答案)
海淀区高二年级第二学期期中练习数 学（理科）2019.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数12i z =-的虚部是A. 2-B. 2C.2i -D. 2i 2.下列导数运算错误．．的是（ ） A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (ln )'1ln x x x =+ D. (2)'2ln 2x x = 3. 函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的极大值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.若函数()f x 的导函数'()(2)e x f x x x -=-，则下列关系一定成立的是（ ）A.(2)0f >B. (0)(1)f f >C. (2)(1)f f <D. (2)(3)f f > 5. 已知两个命题：:p “若复数12,z z 满足120z z ->，则1z >2z .”:q “存在唯一的一个实数对(,)a b 使得i i(2i)a b -=+.” 其真假情况是（ ）A.p 真q 假B. p 假q 假C. p 假q 真D. p 真q 真 6．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为（ ） A ．2vv > B ．2v v < C ．2v v = D ．不能确定7.如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y . ① k 的取值范围是1(0,)e.②1211k x x <<. ③ 当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒为负. 以上结论中所有正确结论的序号是（ ） A.① B.①② C.①③ D.②③8.已知函数32()f x ax bx cx d =+++，其导函数的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能是（ ）二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.9.计算1+2ii=_________. 10．2(3)x dx -=⎰_____________.11.已知()1xf x x =- ，则'()f x =______________． 12. 方程(1)1x x e -=的解的个数为_______________.三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.（本小题12分）已知函数cx bx ax x f ++=23)(，其导函数为)('x f 的部分值如下表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c 的值为___________；当x = ________时，()f x 取得极大值．．．（将答案填写在横线上）. （Ⅱ）求实数a ，b 的值.（Ⅲ）若()f x 在(,2)m m +上单调递减，求m 的取值范围.14.（本小题10分）-的底面ACDE满足DE //AC，AC=2DE.如图，四棱锥B ACDE（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD;（Ⅱ）求证：在平面ABE内不存在直线与DC平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容. （Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，Array只需证_______________________________，由已知AB⊥BC，只需证_________________，由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，所以平面ABE⊥平面BCD.（Ⅱ）证明：假设________________________________________，DC平面ABE.又因为DC⊄平面ABE，所以//又因为平面ACDE平面ABE=AE,所以__________________，又因为DE //AC，所以ACDE是平行四边形，=，这与_______________________________矛盾，所以AC DE所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）已知函数()ln f x x ax =+（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y 2=平行，求实数a 的值及该切线方程； （Ⅱ）若对任意的),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围.16. （本小题8分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答： 问题1：已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .若数集{}14,2,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.1212n n 具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .若数集{}14,1,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.17. （本小题10分）已知函数1()(0)f x x x=>，对于正数1x ，2x ，…，n x (n ∈N +)，记12n n S x x x =+++，如图，由点(0,0)，(,0)i x ，(,())i i x f x ，(0,())i f x 构成的矩形的周长为i C (1,2,,)i n =，都满足4i i C S =(1,2,,)i n =.（Ⅰ）求1x ；（Ⅱ）猜想n x 的表达式（用n 表示），并用数学归纳法证明.海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题， 每小题4分，共32分.AABD CC C D二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分.9.2i - 10. 4- 11. 21(1)x -- 12. 1三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.（本小题12分）（Ⅰ）6，3. ------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解：2'()32f x ax bx c =++，--------------------------------------------------------------5分由已知表格可得'(1)8,'(3)0,f f =⎧⎨=⎩解得2,32.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩---------------------------------------------7分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得2'()2462(3)(1)f x x x x x =-++=--+，-----------------------8分 由'()0f x <可得(,1)x ∈-∞-(3,)+∞，------------------------------------------------9分因为()f x 在(,2)m m +上单调递减，所以仅需21m +≤-或者3m ≥， ------------------------------------------------------11分 所以m 的取值范为3m ≥或3m ≤-.-----------------------------------------------------12分 14.（本小题10分）（Ⅰ）证明：欲证平面ABE ⊥平面BCD ，---------------------------------------------------------------2分由已知AB ⊥BC ----------------------------------------------------4分 由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立，所以平面ABE ⊥平面BCD .------------------------------------6分又因为DC ⊄平面ABE ，所以//DC 平面ABE . 又因为平面ACDE平面ABE =AE ,------------------------------------------8分 又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以AC DE =-----------------------------------------------10分 所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分） （Ⅰ）解：11'()ax f x a x x+=+=，0x >.----------------------------------------------------------2分 由已知可得'(1)12f a =+=，解得1a =.---------------------------------------------------3分因为(1)1f =，所以在点))1(,1(f 处的切线方程为21y x =-.------------------------4分（Ⅱ）解1：若对任意),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，即1ln xa x-≤成立.------------6分 设1ln ()xg x x-=， --------------------------------------------------------------7分 2ln 2'()x g x x-=，令'()0g x =，解得2e x =，则'(),()g x g x 的情况如下：分 所以()g x 的最小值为22(e )e g -=-， ------------------------------------------10分 所以，依题意只需实数a 满足2e a -≤-，---------------------------------------11分故所求a 的取值范围是2(,e ]--∞-. --------------------------------------------12分 解2：当0a ≥时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞又因为11(1)ln(1)11f a a a+=+++>，所以不符题意，舍.--------------------6分当0a <时，令'()0f x =，得1x a=-.----------------------------------------------7分 所以'(),()f x f x 随x 的变化如下表所示：分 所以()f x 的最大值为1()f a-，------------------------------------------------------10分 所以，依题意只需11()ln()11f a a-=--≤即可，解得2e a -≤-.---------------11分 综上，a 的取值范围是2(,e ]--∞-.---------------------------------------------------12分16. （本小题8分）解：对于集合中最大的数4a ，因为444a a a +>，443a a +>，441a a +>-----------------2分所以44a a -,43a -,41a -,41a a -都属于该集合.--------------------------------------------4分 又因为14013a a ≤<<<，所以44a a -<43a -<41a -41a a <-.-----------------------6分-- 所以1440a a a =-=,431a -=,------------------------------------------------------------------7分 即140,4a a ==.-------------------------------------------------------------------------------------8分17. （本小题10分） （Ⅰ）解：由题意知，12(())2()i i i i i C x f x x x =+=+(1,2,,)i n =， 所以12i i i S x x =+(1,2,,)i n =.--------------------------------------------------------------1分令i ＝1，得11112S x x =+， 又11S x =，且1x ＞0，故11x =.---------------------------------------------------------------2分 （Ⅱ）解：令i ＝2，得22212S x x =+， 又212S x x =+，11x =，且2x ＞0，故21x =；------------------------------------3分 令i ＝3，得33312S x x =+， 又3123S x x x =++，11x =，21x =，且3x ＞0，故3x =----------4分由此猜想，n x =n ∈N +).-------------------------------------------------------5分 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，11x =，命题成立；---------------------------------------------------------6分 ②假设n ＝k时命题成立，即k x =(k ∈N +)， -----------------------------7分 则当n ＝k ＋1时，11112k k k S x x +++=+，又11k k k S S x ++=+，12k k k S x x =+， 故11111()2k k k k k x x x x x +++++=+，由k x =，得21110k k x +++-=，--------------------------------------8分所以1k x +=).-------------------------------------------9分 即当n ＝k ＋1时命题成立。
清华附中高二期中数学复习题带答案
（Ⅱ）函数 f (x) 的定义域为 (0, ) ，
f (x) m m 1 (m 1)x m ．
x
x
当 m ≤ 0 时，由 x 0 知 f (x) m m 1 0 恒成立， x
此时 f (x) 在区间 (0, ) 上单调递减．
当 m ≥1时，由 x 0 知 f (x) m m 1 0 恒成立， x
………………3 ………………5 ………………6
分
g(x) f (x) f (x) 2 3 sin x cos x
(sin x cos x)( sin x cos x) 3 sin 2x
………………7 分
(cos2 x sin2 x) 3 sin 2x
………………8 分
cos 2x 3 sin 2x 2sin(2x π ) ．
ABC
的三边边长分别为 a,b, c ，且 a b c ，定义△ ABC 的倾斜度为 t max{a , b , c} min{a ,
bca
b
bc , }．
ca
（ⅰ）若△ ABC 为等腰三角形，则 t ______；1
（ⅱ）设 a 1 ，则 t 的取值范围是______．[1, 1 5 ) 2
调递减，不合题意． 分
………………11
当 a 3 时， x0 0 ，此时 g(x) 在 (, x0 ) 上单调递减，由于 f (x) 在 (0, ) 上单调递
减，符合题意．
综上， a 的取值范围是 (, 3) (0, ) ．
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）设 g(x) f (x) f (x) 2 3 sin x cos x ，求 g(x) 的单调递增区间． （Ⅰ）解：依题意，得 f ( π ) 0 ，
4
北京市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷(理科)D卷
北京市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知某次月考的数学考试成绩,统计结果显示，则（）A . 0.2B . 0.3C . 0.1D . 0.52. （2分）下列说法中正确的有：已知求得线性回归方程y=bx+a，相关系数r，①若r＞0，则x增大时，y 也相应增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r=1，或r=﹣1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上．（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①②③3. （2分）为贯彻落实《四川省普通高中学分管理办法（试行）》，成都某中学的4名学生可从本年级开设的3门课程中选择，每个学生必须且只能选一门，且每门课必须有人选，则不同的选课方案有（）种．A . 18B . 36C . 54D . 724. （2分）若有99%的把握说事件A与事件B有关，那么具体算出的一定满足（）A . >10.828B . <10.828C . >6.635D . <6.6355. （2分） (2016高三上·宝清期中) 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A . 234B . 346C . 350D . 3636. （2分） (2015高二下·仙游期中) 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A . 48种B . 72种C . 78种8. （2分）某种商品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中的m的值为（）A . 45B . 50C . 55D . 609. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 5名上海世博会形象大使到香港、澳门、台湾进行世博会宣传，每个地方至少去一名形象大使，则不同的分派方法共有（）种．A . 25B . 50C . 150D . 30010. （2分）下列四个命题正确的是①在频率分布直方图中估计平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边的中点的横坐标之和；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好；④随机误差是衡量预报精确度的一个量，它满足；⑤对分类变量X和Y，它们的随机变量的观测值k来说，k越小，认为“X和Y有关系”的把握程度越大。
2019.4 北京市海淀区高二年级第二学期期中练习数学试题及参考答案(word版)
海淀区高二年级第二学期期中练习数学2019.4 本试卷共4页，100分。
考试时长90分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）在复平面内，复数1i-对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）函数()lnf x x x=的导数()f x'为A．ln1x+B．ln1x-C．11x+D．11x-（3）在平面直角坐标系xOy中，半径为2且过原点的圆的方程可以是A．22(1)(1)2x y-+-=B．22(1)(2)x y+++ C．22(1)(1)4x y-++=D．22(2)4x y-+=（4）双曲线2224x y-=的焦点坐标为A．(0，和B．(和C．(0，和(0D．(和（5）如图，曲线()y f x=在点(1,(1))P f处的切线l过点(2,0)，且(1)2f'=-，则(1)f的值为A．1-B．1C．2D．3（6）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到0t 时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为0h . 水面高度h 是时间t 的函数，这个函数图象只可能是（7）设z 为复数，则“i z =-”是“2i z z ⋅=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（8）已知直线1l ：0mx y m -+=与直线2l ：10x my +-=的交点为Q ，椭圆2214x y +=的焦点为1F ，2F ，则12QF QF +的取值范围是A ．[2,)+∞B．)+∞ C ．[2,4]D．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．（9）请写出一个复数z = ，使得2i z +为实数．（10）双曲线2214y x -=的渐近线方程是 ．（11）已知抛物线22y px =经过点(4,4)A ，则准线方程为 ，点A 到焦点的距离为 ．（12）直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线互相垂直，ABCD其中A 点坐标为(2,2)，则直线l 的斜率等于 ．（13）已知12,F F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，过点1F 作x 轴的垂线，交椭圆C 于,P Q 两点．当△2F PQ 为等腰直角三角形时，椭圆C 的离心率为1e ，当△2F PQ 为等边三角形时，椭圆C 的离心率为2e ，则12,e e 的大小关系为1e ______2e （用“>”,“<”或“=”连接）（14）已知()()()f x a x b x c =++，()()g x xf x = (0)a ≠，则下列命题中所有正确命题的序号为________．① 存在,,a b c ∈R ，使得(),()f x g x 的单调区间完全一致；② 存在,,a b c ∈R ，使得()()f x g x +，()()f x g x -的零点完全相同； ③ 存在,,a b c ∈R ，使得(),()f x g x ''分别为奇函数，偶函数； ④ 对任意,,a b c ∈R ，恒有(),()f x g x ''的零点个数均为奇数．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题共12分）已知圆22:40C x y x a +-+=，点(1,2)A 在圆C 上． （Ⅰ）求圆心的坐标和圆的半径；（Ⅱ）若点B 也在圆C 上，且AB =AB 的方程．（16）（本小题共12分）已知函数32()f x ax bx x c =+++，其导函数()y f x '=的图象如图所示，过点1(,0)3和(1,0)．（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间为_____________，极大值点为____________； （Ⅱ）求实数,a b 的值；（Ⅲ）若()f x 恰有两个零点，请直接写出c 的值．（17）（本小题共10分）已知椭圆:W 22221x y a b+=(0)a b >>的离心率e =，其右顶点(2,0)A ，直线l 过点B (1,0)且与椭圆交于C ，D 两点．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）判断点A 与以CD 为直径的圆的位置关系，并说明理由．（18）（本小题共10分）已知函数21()e 2x f x ax =-()a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率是0，求a 的值； （Ⅱ）当3a =，[0,1]x ∈时，求证：()1f x ≤-；（Ⅲ）若()f x 存在单调递增区间，请直接写出a 的取值范围．海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案 2019.4数 学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9．2i - （答案不唯一）10．2y x =±11．1x =-; 5 12．3413．<14．②③（对一个得2分，有错误不给分）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：（Ⅰ）因为点(1,2)A 在圆2240x y x a +-+=上，所以1440a +-+=. 解得1a =-. 所以圆的方程为22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=.所以圆心坐标为(2,0)，圆的半径r（Ⅱ）因为点A ，点B 都在圆上，且2AB r ==,所以直线AB 经过圆C 的圆心.所以直线AB 的斜率02221k -==--. 所以直线AB 的方程为2(2)y x =--，即24y x =-+.16．解：（Ⅰ）1(,1)3 ， 13注：每空 2 分，第一个空开闭均可，第二个空填13x =也给分，填1(,0)3不给分. （Ⅱ）因为2()321f x ax bx ¢=++ ，由题意知，1()0;3(1)0.f f ì¢=ïíï¢=î 即22113()210;33312110.a b a b ì??=ïíï??=î 解得1,2.a b ì=ïí=-ïî（Ⅲ）0c =或4.27- 17．解：（Ⅰ）由题意可知，2,c a e a ===，所以c =因为22284433b ac =-=-=，所以椭圆的方程为221443x y +=． （Ⅱ）点A 在以CD 为直径的圆上. 设C 坐标为11(,)x y ，D 坐标为22(,)x y . ① 当直线l 斜率不存在时，则l 的方程为1x =. 由221,3 4.x x y =⎧⎨+=⎩得 1,1.x y =⎧⎨=±⎩不妨设C (1,1)，D (1,1)-. 所以(1,1),(1,1)AC AD =-=--. 所以0AC AD ⋅=. 所以AC AD ⊥.所以点A 在以CD 为直径的圆上.②当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),3 4.y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(13)6340k x k x k +-+-= 所以212221226,1334.13k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以1122(2,),(2,)AC x y AD x y =-=-. 所以1212(2)(2)AC AD x x y y ⋅=--+.21212(2)(2)(1)(1)x x k x x =--+--2121212122()4[()1]x x x x k x x x x =-+++-++22222222234634624(1)13131313k k k k k k k k k --=-⋅++-+++++ 2222330.1313k k k k -=+=++ 所以0AC AD ⋅=.所以AC AD ⊥.所以点A 在以CD 为直径的圆上. 综上，点A 在以CD 为直径的圆上. 18．解：（Ⅰ）()e x f x ax ¢=- ，由题意知，(1)0f ¢=，即e 0a -= ，所以=e a .（Ⅱ）当3a =时，23()e 2x f x x =-， 所以()3e x f x x ¢=-. 令()()g x f x '=，所以()3e xg x '=-．因为[0,1]x Î ，所以e [1,e]x Î. 因此()3e 0xg x '=->恒成立．所以当[0,1]x Î时，()()g x f x '=单调递增． 又因为'(0)10f =-< ，'(1)3e 0f =->， 所以存在唯一的0(0,1)x Î ，使得0'()0f x =. 列表如下：当[0,1]x Î时，{}max ()max (0),(1)max{1,e}12f x f f ==--=-. 所以当3a =, [0,1]x Î时，() 1.f x ? （Ⅲ） (,0)(e,)a ∈-∞+∞U .。
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2019-2020学年北京市清华附中高二（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（单选题.3分）已知集合M={0.x}.N={1.2}.若M∩N={2}.则M∪N=（）A.{0.x.1.2}B.{2.0.1.2}C.{0.1.2}D.不能确定的共轭复数.则a+b=（）2.（单选题.3分）已知a+bi（a.b∈R）是1−i1+iA.-1B.- 12C. 12D.13.（单选题.3分）设函数f（x）=2x+ 1-1（x＜0）.则f（x）（）xA.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数4.（单选题.3分）等差数列{a n}的首项为1.公差不为0．若a2.a3.a6成等比数列.则{a n}前6项的和为（）A.-24B.-3C.3D.85.（单选题.3分）某四棱锥的三视图如图所示.在此四棱锥的侧面中.直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.46.（单选题.3分）上海世博会期间.某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示.那么在13时～14时.14时～15时.….20时～21时八个时段中.入园人数最多的时段是（）A.13时～14时B.16时～17时C.18时～19时D.19时～20时7.（单选题.3分）已知三棱锥S-ABC中.∠SAB=∠ABC= π.SB=4.SC=2 √13 .AB=2.BC=6.则三棱2锥S-ABC的体积是（）A.4B.6C.4 √3D.6 √38.（单选题.3分）设平面α与平面β相交于直线m.直线b在平面α内.直线c在平面β内.且c⊥m.则α⊥β是c⊥b的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.（单选题.3分）如图所示.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.E 、F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心.G 是CC 1的中点.设GF 、C 1E 与AB 所成的角分别为α、β.则α+β等于（ ）A.120°B.60°C.75°D.90° 10.（单选题.3分）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0.φ∈[ π2 .π]）的部分图象如图所示.且f （x ）上[0.2π]上恰有一个最大值和一个最小值.则ω的取值范围是（ ）A.[ 712 . 1312 ）B.[ 1112 . 1712 ）C.（ 712 . 1312 ]D.（ 1112 . 1712 ]11.（填空题.3分）若双曲线 x 2−y 2b 2=1(b ＞0) 的一个焦点为（2.0）.则b=___ ；其离心率为___ ．12.（填空题.3分）点A （1.0）和点 B (−35，45) 都在单位圆O 上.记∠AOB=α.则sin2α=___ ．13.（填空题.3分）已知O 为坐标原点.A （0.3.5）.B （2.2.0）.C （0.5.0）.直线BD || CA.且BD 与坐标平面xOz 相交于点D.则点D 的坐标为___ ．14.（填空题.3分）已知线段AB 的长度为4.P 为任意一点.则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ．15.（填空题.3分）方程 x|x|16 +y|y|9 =-1的曲线即为函数y=f （x ）的图象.对于函数y=f （x ）.有如下结论：① f （x ）在R 上单调递减；② 函数F （x ）=4f （x ）+3x 存在零点；③ 函数y=f （x ）的值域是R ；④ f （x ）的图象不经过第一象限；其中正确的命题序号为___ ．16.（问答题.0分）如图.在△ABC 中.D 为BC 上一点. AB =2√3 .BD=2.∠ABC=30°.∠ACB=45°．（1）求AD 的长以及∠BAD ；（2）求△ABC 的面积．17.（问答题.0分）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知满足______.求公比q 以及a 12+a 22+…+a n 2．从 ① a 2a 5=-32且a 3+a 4=-4. ② a 1=1且S 6=9S 3. ③ S 2=a 3-1且S 3=a 4-1这三组条件中任选一组.补充到上面问题中.并完成解答．18.（问答题.0分）如图.三棱锥P-ABC 中.平面PAC⊥平面ABC.PA⊥PC .PA=PC.AC⊥BC .AC=2.BC=1.点M 是棱PA 的中点．（1）求证：PA⊥平面PBC ；（2）求直线PA 与平面MBC 所成角的正弦值；（3）设点N 是线段BM 的中点.棱PC 上是否存在点F.使得NF || 平面ABC ？若存在.求 CF CP 的值；若不存在.说明理由．19.（问答题.0分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）.过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于P.Q两点.|PQ|=4．（1）求抛物线C的方程.并求其焦点F的坐标和准线l的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点A.B.直线OA与准线l交于点M．连接MF.过点F作MF的垂线与准线l交于点N．求证：O.B.N三点共线．20.（问答题.0分）已知函数f(x)=lnx+1mx2−2x .其中m∈[0.1]．2（1）当m=0时.求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数.并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数f（x）有两个极值点x1.x2.证明：f（x1）+f（x2）＜-3．21.（问答题.0分）设n为给定的大于2的正整数.集合S={1.2.….n}.已知数列A n：x1.x2.….x n满足条件：① 当1≤i≤n时.x i∈S；② 当1≤i＜j≤n时.x i≠x j．如果对于1≤i＜j≤n.有x i＞x j.则称（x i.x j）为数列A n的一个逆序对．记数列A n的所有逆序对的个数为T（A n）．（1）若T（A4）=1.写出所有可能的数列A4；（2）若T（A n）=2.求数列A n的个数；（3）对于满足条件的一切数列A n.求所有T（A n）的算术平均值．2019-2020学年北京市清华附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（单选题.3分）已知集合M={0.x}.N={1.2}.若M∩N={2}.则M∪N=（）A.{0.x.1.2}B.{2.0.1.2}C.{0.1.2}D.不能确定【正确答案】：C【解析】：根据交集的定义可知2∈M.从而求出x的值.然后根据并集的定义求出M∪N即可．【解答】：解：∵M∩N={2}.∴2∈M而M={0.x}则x=2∴M={0.2}而N={1.2}.∴M∪N={0.1.2}故选：C．【点评】：本题主要考查了集合的交集和并集的运算.同时考查了分析问题的能力.属于基础题．2.（单选题.3分）已知a+bi（a.b∈R）是1−i1+i的共轭复数.则a+b=（）A.-1B.- 12C. 12D.1【正确答案】：D【解析】：先利用复数的除法运算法则求出1−i1+i的值.再利用共轭复数的定义求出a+bi.从而确定a.b的值.求出a+b．【解答】：解：1−i1+i = (1−i)2(1+i)(1−i)= −2i2=-i.∴a+bi=-（-i）=i.∴a+b=1.故选：D．【点评】：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算.考查了共轭复数的概念.是基础题．3.（单选题.3分）设函数f（x）=2x+ 1x-1（x＜0）.则f（x）（）A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数【正确答案】：A【解析】：利用基本不等式求最值时.一定要注意满足的条件.不是正数提出负号后再用基本不等式．【解答】：解：∵x＜0.∴ f(x)=−[(−2x)+(−1x )]−1≤−2√(−2x)•(−1x)−1=−2√2−1 .当且仅当−2x=−1x 即x= −√22取等号故选：A．【点评】：利用基本不等式求最值.注意“一正”“二定”“三相等”要同时满足．4.（单选题.3分）等差数列{a n}的首项为1.公差不为0．若a2.a3.a6成等比数列.则{a n}前6项的和为（）A.-24B.-3C.3D.8【正确答案】：A【解析】：利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程.求出公差.由此能求出{a n}前6项的和．【解答】：解：∵等差数列{a n}的首项为1.公差不为0．a2.a3.a6成等比数列.∴ a32=a2•a6 .∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d）.且a1=1.d≠0.∴{a n}前6项的和为S6=6a1+6×52d = 6×1+6×52×(−2) =-24．故选：A．【点评】：本题考查等差数列前n项和的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．5.（单选题.3分）某四棱锥的三视图如图所示.在此四棱锥的侧面中.直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：画出三视图的直观图.判断各个面的三角形的情况.即可推出结果．【解答】：解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD.AC= √5 .CD= √5 .PC=3.PD=2 √2 .可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形.分别为：△PAB.△PBC.△PAD．故选：C．【点评】：本题考查简单几何体的三视图的应用.是基本知识的考查．6.（单选题.3分）上海世博会期间.某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示.那么在13时～14时.14时～15时.….20时～21时八个时段中.入园人数最多的时段是（）A.13时～14时B.16时～17时C.18时～19时D.19时～20时【正确答案】：B【解析】：要找入园人数最多的.只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可【解答】：解：结合函数的图象可知.在13时～14时.14时～15时.….20时～21时八个时段中.图象变化最快的为16到17点之间故选：B．【点评】：本题主要考查了函数的表示方法：图象法的应用.属于基础试题.SB=4.SC=2 √13 .AB=2.BC=6.则三棱7.（单选题.3分）已知三棱锥S-ABC中.∠SAB=∠ABC= π2锥S-ABC的体积是（）A.4B.6C.4 √3D.6 √3【正确答案】：C【解析】：根据条件可以计算出AC.进而判断出SA⊥AC.所以SA⊥平面ABC.则三棱锥体积可表示为13•SA•S△ABC.计算出结果即可．【解答】：解：如图.因为∠ABC= π2.所以AC= √AB2+BC2 =2 √10 .则SA2+AC2=40+12=52=SC2.所以SA⊥AC.又因为∠SAB= π2.即SA⊥AB.AB∩AC=A.SA⊄平面ABC.所以SA⊥平面ABC.所以V S-ABC= 13•SA•S△ABC= 13×2√3×12×2×6 =4 √3 .故选：C．【点评】：本题考查棱锥的体积公式.涉及线面垂直定理.属于中档题．8.（单选题.3分）设平面α与平面β相交于直线m.直线b在平面α内.直线c在平面β内.且c⊥m.则α⊥β是c⊥b的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据面面垂直的性质定理.可得当α⊥β时c⊥b成立；反之当c⊥b成立时.根据三垂线定理可得可能c是平面α的斜线.不能得到α⊥β．由此得到α⊥β是c⊥b的充分而不必要条件．【解答】：解：先看充分性当α⊥β时.因为α∩β=m.c在β内且c⊥m.所以c⊥α而直线b⊂α.可得c⊥b．因此充分性成立；再看必要性当c⊥b 时.可能c 是平面α的斜线.且c 在α内的射影垂直于直线b.此时平面β经过平面α的斜线.不一定得到α⊥β．故必要性不能成立综上.α⊥β是c⊥b 的充分不必要条件故选：A ．【点评】：本题以命题的真假判断为载体.考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和三垂线定理等知识点.属于基础题．9.（单选题.3分）如图所示.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.E 、F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心.G 是CC 1的中点.设GF 、C 1E 与AB 所成的角分别为α、β.则α+β等于（ ）A.120°B.60°C.75°D.90°【正确答案】：D 【解析】：本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题.建立空间坐标系.给出有关点的坐标.求出直线的GF 、C 1E 与AB 的方向向量.利用夹角公式求线线角的余弦值即可．【解答】：解：建立坐标系如图.B （2.0.0）.A （2.2.0）.G （0.0.1）.F （1.1.0）.C 1（0.0.2）.E （1.2.1）．则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.2.0）. GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1.-1）. C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.2.-1）.∴cos ＜ BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= 1√3 . cos ＜ BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= √2√3 .∴cosα= √3 . cosβ= √2√3 .sinβ= √3 .∴α+β=90°. 故选：D ．【点评】：考查用空间向量为工具解决立体几何问题.此类题关键是找清楚线的方向向量.最后利用夹角公式计算．10.（单选题.3分）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0.φ∈[ π2 .π]）的部分图象如图所示.且f （x ）上[0.2π]上恰有一个最大值和一个最小值.则ω的取值范围是（ ）A.[ 712 . 1312 ）B.[ 1112 . 1712 ）C.（ 712 . 1312 ]D.（ 1112 . 1712 ]【正确答案】：B【解析】：根据条件先求出φ的值.结合f （x ）上[0.2π]上恰有一个最大值和一个最小值.求出满足条件的表达式进行求解即可．【解答】：解：由题意知.f （x ）=sin （ωx+φ）.∵f （0）= √32 .φ∈[ π2 .π]）∴φ= 2π3 .∵x∈[0.2π].∴ 2π3 ≤ωx+ 2π3 ≤2πω+ 2π3 .∵f （x ）上[0.2π]上恰有一个最大值和一个最小值.∴ 5π2 ≤2πω+ 2π3 ＜ 7π2 .∴ 1112 ≤ω＜ 1712 ．故选：B ．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.求出φ的值.结合一个周期性函数最大值和最小值对应的范围是解决本题的关键．11.（填空题.3分）若双曲线 x 2−y 2b 2=1(b ＞0) 的一个焦点为（2.0）.则b=___ ；其离心率为___ ．【正确答案】：[1] √3 ; [2]2【解析】：利用双曲线的焦点坐标求出b.然后求解离心率即可．【解答】：解：双曲线 x 2−y 2b 2=1(b ＞0) 的一个焦点为（2.0）.可得1+b 2=4.解得b= √3 .所以双曲线的离心率为：e= c a =2．故答案为： √3 ；2．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用.是基本知识的考查．12.（填空题.3分）点A （1.0）和点 B (−35，45) 都在单位圆O 上.记∠AOB=α.则sin2α=___ ．【正确答案】：[1]- 2425【解析】：由题意求得sinα.cosα的值.利用二倍角公式即可计算得解．【解答】：解：由题意可得：sinα= 45 .cosα=- 35 .∴sin2α=2sinαcosα=2× 45 × (−35) =- 2425 ．故答案为：- 2425 ．【点评】：本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用.考查计算能力.属于基础题．13.（填空题.3分）已知O 为坐标原点.A （0.3.5）.B （2.2.0）.C （0.5.0）.直线BD || CA.且BD 与坐标平面xOz 相交于点D.则点D 的坐标为___ ．【正确答案】：[1]（2.0.5）【解析】：设D （a.0.c ）.则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-2.-2.c ）. CA⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.-2.5）.由BD || CA.能求出点D 的坐标．【解答】：解：∵O 为坐标原点.A （0.3.5）.B （2.2.0）.C （0.5.0）.直线BD || CA.且BD 与坐标平面xOz 相交于点D.∴设D （a.0.c ）.则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-2.-2.c ）. CA⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.-2.5）. ∵BD || CA .∴ {a −2=0c =5.解得a=2.c=5. ∴点D 的坐标为（2.0.5）．故答案为：（2.0.5）．【点评】：本题考查点的坐标的求法.考查向量平行的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．14.（填空题.3分）已知线段AB 的长度为4.P 为任意一点.则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]-4【解析】：建立坐标系.求出各点的坐标.表示出其数量积即可求解．【解答】：解：以AB 的中点为原点建立如图所示坐标系；则A （-2.0）.B （2.0）.P （x.y ）；则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2-x.-y ）. PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-x.-y ）；∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2-x ）•（2-x ）+（-y ）（-y ）=x 2+y 2-4；故 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为-4．故答案为：-4．【点评】：本题考查向量的数量积的应用.考查向量的表示以及计算.考查计算能力．15.（填空题.3分）方程 x|x|16 +y|y|9 =-1的曲线即为函数y=f （x ）的图象.对于函数y=f （x ）.有如下结论：① f （x ）在R 上单调递减；② 函数F （x ）=4f （x ）+3x 存在零点；③ 函数y=f （x ）的值域是R ；④ f （x ）的图象不经过第一象限；其中正确的命题序号为___ ．【正确答案】：[1] ① ③ ④ 【解析】：先根据题意画出方程 x|x|16 + y|y|9 =-1的曲线即为函数y=f （x ）的图象.如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出.关于函数y=f （x ）的结论的正确性．【解答】：解：根据题意画出方程 x|x|16 + y|y|9 =-1的曲线即为函数y=f （x ）的图象.如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出.关于函数y=f （x ）的有下列说法：① f （x ）在R 上单调递减；正确．② 由于4f （x ）+3x=0即f （x ）=- 3x 4 .从而图形上看.函数f （x ）的图象与直线y=- 3x4 没有交点.故函数F （x ）=4f （x ）+3x 不存在零点；不正确．③ 函数y=f （x ）的值域是R ；正确．④ f （x ）的图象不经过第一象限.正确．故答案为： ① ③ ④ ．【点评】：本小题主要考查命题的真假判断与应用、函数单调性的应用、圆锥曲线的应用等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．16.（问答题.0分）如图.在△ABC中.D为BC上一点. AB=2√3 .BD=2.∠ABC=30°.∠ACB=45°．（1）求AD的长以及∠BAD；（2）求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）根据余弦定理和AD=2.再根据AD=BD.即可求出．（2）根据正弦定理可得AC.再根据三角形的面积公式即可求出．【解答】：解：（1）因为cos∠ABC=AB 2+BD2−AD2 2AB•BD求得AD=2.因为AD=BD.故∠ABC=∠BAD=30°；（2）因为ADsin∠ACB =ACsin∠ADC求得AC=√6sin∠BAC=sin∠105°=√6+√24.S=12AB•AC•sin∠BAC=3(√3+1)2【点评】：此题考查了正弦、余弦定理.三角形面积公式.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17.（问答题.0分）设S n为等比数列{a n}的前n项和.已知满足______.求公比q以及a12+a22+…+a n2．从① a2a5=-32且a3+a4=-4. ② a1=1且S6=9S3. ③ S2=a3-1且S3=a4-1这三组条件中任选一组.补充到上面问题中.并完成解答．【正确答案】：【解析】：若选① .则有a2a5=a3a4=-32.故有a3a4=-32.a3+a4=-4.解得a3.a4.可得q．因为{a n2}是以a12为首项.q2为公比的等比数列.利用求和公式即可得出．若选② . S6−S3S3=8 .即q3=8.故q=2．.利用求和公式即可得出．若选③ .S2=a3-1（*）.S3=a4-1（**）.令（**）式减（*）式.得a3=a4-a3.即a4=2a3.故q=2．则（*）式中.a1+a2=a3-1.即a1+2a1=4a1-1.即a1=1．利用求和公式即可得出．【解答】：解：若选① .则有a2a5=a3a4=-32.故有a3a4=-32.a3+a4=-4.解得a3=4.a4=-8.或a3=-8.a4=4.即q=-2或q=−12．因为{a n2}是以a12为首项.q2为公比的等比数列.若q=-2.a1=1.此时a12+a22+⋯+a n2=4n−13；或q=−12 .a1=-32.此时a12+a22+⋯+a n2=2123(1−14n)．若选② . S6−S3S3=8 .即q3=8.故q=2．因为{a n2}是以a12为首项.q2为公比的等比数列.所以a12+a22+⋯+a n2=4n−13．若选③ .S2=a3-1（*）.S3=a4-1（**）令（**）式减（*）式.得a3=a4-a3.即a4=2a3.故q=2．则（*）式中.a1+a2=a3-1.即a1+2a1=4a1-1.即a1=1．因为{a n2}是以a12为首项.q2为公比的等比数列.所以a12+a22+⋯+a n2=4n−13．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的根与系数的关系.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．18.（问答题.0分）如图.三棱锥P-ABC中.平面PAC⊥平面ABC.PA⊥PC.PA=PC.AC⊥BC.AC=2.BC=1.点M是棱PA的中点．（1）求证：PA⊥平面PBC；（2）求直线PA与平面MBC所成角的正弦值；（3）设点N是线段BM的中点.棱PC上是否存在点F.使得NF || 平面ABC？若存在.求CFCP的值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）证明BC⊥平面PAC.得到BC⊥PA .结合PA⊥PC .证明PA⊥平面PBC ．（2）过点P 作PD⊥AC .点D 为垂足.过点C 作直线l || PD.利用直线与平面垂直的判断定理证明.PD⊥平面ABC.以C 为原点建系.直线CB.CA.l 分别为x.y.z 轴建立.求出平面MBC 的法向量.直线PA 与平面MBC 所成角为θ.通过空间向量的数量积求解直线PA 与平面MBC 所成角的正弦值．（3）求出平面ABC 的法向量.通过NF || 平面ABC.通过向量的数量积求解即可．【解答】：（1）证明：∵平面PAC⊥平面ABC.平面PAC∩平面ABC=AC.AC⊥BC .BC⊂平面ABC. ∴BC⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC.∴BC⊥PA .因为PA⊥PC .PA⊥BC .BC∩PC=C .BC.PC⊂平面PBC.所以PA⊥平面PBC ．（2）解：在平面PAC 内.过点P 作PD⊥AC .点D 为垂足.过点C 作直线l || PD.∵ { 平面PAC ⊥平面ABC平面PAC ∩平面ABC =AC PD ⊥AC PD ⊂平面PAC. ∴PD⊥平面ABC.∵l || PD.∴l⊥平面ABC.以C 为原点直线CB.CA.l 分别为x.y.z 轴建立空间直角坐标系.则B （1.0.0）.A （0.2.0）.P（0.1.1）. M (0，32，12) .则 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，0) . CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，32，12) . PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，−1) 设平面MBC 的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) .则 n ⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 . n ⃗ •CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .∴ {x =032y +12z =0 .不妨设y=1.则 n ⃗ =(0，1．−3) .设直线PA 与平面MBC 所成角为θ.则 sinθ=|cos〈n ⃗ ，PA⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=4√2×√10=25√5 . 故直线PA 与平面MBC 所成角的正弦值为 2√55 ．（3）解：设 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ .λ∈（0.1）.则 CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，λ，λ) ∴F （0.λ.λ）.又 N (12，34，14)∴ FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，34−λ，14−λ) . 平面ABC 的法向量 n 1⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) .因为NF || 平面 ABC ⇔NF ⃗⃗⃗⃗⃗ •n 1⃗⃗⃗⃗ =0 .即 14−λ=0∴ λ=14从而 CF CP =14 ．【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法.直线与平面垂直的判断定理的应用.平面与平面垂直的性质定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力.是中档题．19.（问答题.0分）已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于P.Q 两点.|PQ|=4．（1）求抛物线C 的方程.并求其焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点A.B.直线OA 与准线l 交于点M．连接MF.过点F作MF的垂线与准线l交于点N．求证：O.B.N三点共线．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得直线PQ的方程.与抛物线联立可得弦长|PQ|的值.由题意可得p的值；（2）可用3种方法证明.法① 可证直线OB.ON的斜率之差为0.设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积.进而求出直线ON.OB的斜率之差为0；法② 设A.B的坐标.求出直线AM的方程.令x=-1.求出M的坐标.进而求出直线MF的斜率.由题意可得直线FN的斜率.求出直线NF的方程.令x=-1求出N的坐标.进而求出直线OB.ON的斜率之差.可得为0.证得三点共线；法③ 同法① .设直线AB的方程.与抛物线联立求出两根之和及两根之积.再求直线NF.AM的方程.令x=-1可得N的坐标.求出直线OB.ON斜率之差为0.可证得三点共线．【解答】：解：（1）由题意可得|PQ|=2p=4.则p=2.故抛物线C的方程为y2=4x；其焦点F坐标为（1.0）.准线l方程为x=-1.（2）设直线AB：x=ty+1.联立{x=ty+1y2=4x.得y2-4ty-4=0．则△=16t2+16＞0.设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.则y 1+y 2=4t.y 1y 2=-4．法1：直线 OA ：y =y 1x 1x .由 y 12=4x 1 得 y =4y 1x .故点 M (−1，−4y 1) ．直线MF 的斜率 k MF =−4y 1−0−1−1=2y 1.则直线FN 的斜率 k FN =−y12 ．直线 FN ：y =−y 12(x −1) .则点N （-1.y 1）.直线ON 的斜率k ON =-y 1．直线OB 的斜率 K OB =y 2x 2由 y 22=4x 2 得 k OB =4y 2．则 k OB −k ON =4y 2−(−y 1)=4+y 1y 2y 2=4−4y 2=0 ．所以O.B.N 三点共线．法2：直线 OA ：y =y 1x 1x .由 y 12=4x 1 得 y =4y 1x .故点 M (−1，−4y 1) ．由y 1y 2=-4.得M （-1.y 2）．直线MF 的斜率 k MF =y 2−0−1−1=−y22 .直线 FN ：y =2y 2(x −1) .得点 N (−1，−4y 2) ．由y 1y 2=-4.得N （-1.y 1）．直线ON 的斜率k ON =-y 1．直线OB 的斜率 k OB =y 2x 2由 y 22=4x 2 得 k OB =4y 2．由y 1y 2=-4.得k OB =-y 1．则有k OB =k ON ．所以O.B.N 三点共线．法3：（1）∵|PQ|=4.∴|PF|=2.∴2|OF|=2.∴OF=1.F （1.0）. ∴C ：y 2=4x.l ：x=-1； （2）设直线AB ：x=my+1.联立直线与抛物线的方程整理可得：y 2-4my-4=0. 所以 {△=16−b 2+16＞0y 1y 2=−4y 1+y 2=4m .设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.∴直线 AO ：y =y 1x 1x .x=-1时. y =−y1x 1.∴ M (−1，−y 1x 1) .∴k MF = y 12x 1.∴k=- 1kMF=- 2x1y 1.∴直线 FN ：y =−2x 1y 1(x −1) .当x=-1时. y =4x 1y 1 .∴ N (−1，4x1y 1) . ∴ k NO =−4x 1y 1. k BO =y2x 2.∴ k BO −k NO =y2x 2+4x 1y 1 = y 1y 2+4x 1x 2x 2y 1=y 1y 2+4(+y 1+1)(+y 2+1)x 2y 1 = (4+2+1)y 1y 2+4+(y 1+y 2)+4x 2y 1=−4(4+2+1)+16+2+4x2y2=0 .∴k BO=k NO∴B.O.N共线．【点评】：本题考查求抛物线的方程.及直线与抛物线的综合.两条直线互相存在的性质.属于中档题．20.（问答题.0分）已知函数f(x)=lnx+12mx2−2x .其中m∈[0.1]．（1）当m=0时.求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数.并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数f（x）有两个极值点x1.x2.证明：f（x1）+f（x2）＜-3．【正确答案】：【解析】：（1）当m=0时.f（x）=lnx-2x.求出导数.求出切线的斜率.切点坐标.然后求解切线方程．（2）因为f′(x)=1x +mx−2=mx2−2x+1x.通过① 当m=0时. ② 当0＜m＜1时. ③ 当m=1时.判断导函数的符号.判断函数的单调性.求解函数的极值．（3）函数f（x）有两个极值点x1.x2.0＜m＜1.x1.x2是方程mx2-2x+1=0两个根．利用韦达定理.转化求解f（x1）+f（x2）.令g(m)=−lnm−2m−1(0＜m＜1) .利用函数的导数.通过函数的单调性.推出f（x1）+f（x2）＜-3即可．【解答】：解：（1）当m=0时.f（x）=lnx-2x. f′(x)=1x−2 .f'（1）=1-2=-1.又因为f（1）=-2.所以切线方程为：y=-x-1．（2）因为f′(x)=1x +mx−2=mx2−2x+1x.① 当m=0时.令f'（x）=0.解得x=12.② 当0＜m＜1时.f'（x）与y=mx2-2x+1同正负.又因为△=4-4m＞0.所以y=mx2-2x+1在R上存在两个不相等的根x1.x2.又x1+x2=2m ＞0 . x1x2=1m＞0 .所以x1＞0.x2＞0.不妨设0＜x1＜x2.③ 当m=1时. f′(x)=x2−2x+1x =(x−1)2x≥0恒成立.则函数f（x）在（0.+∞）上单调递增.所以函数f（x）没有极值点．（3）∵函数f（x）有两个极值点x1.x2.由（2）可知0＜m＜1.并且x1.x2是方程mx2-2x+1=0两个根．∴ x1+x2=2m . x1x2=1m．∴ f(x1)+f(x2)=lnx1+12mx12−2x1+lnx2+12mx22−2x2 = lnx1x2+12m(x12+x22)−2(x1+x2) = −lnm−2m−1令g(m)=−lnm−2m −1(0＜m＜1) .∵ g′(m)=2−mm2＞0恒成立.∴g（m）在（0.1）上单调递增.∴g（m）＜g（1）=-3成立．即f（x1）+f（x2）＜-3．【点评】：本题考查函数的导数的应用.考查切线方程的求法.函数的极值以及函数的最值的求法.考查分类讨论思想以及转化思想的应用.是难题．21.（问答题.0分）设n为给定的大于2的正整数.集合S={1.2.….n}.已知数列A n：x1.x2.….x n满足条件：① 当1≤i≤n时.x i∈S；② 当1≤i＜j≤n时.x i≠x j．如果对于1≤i＜j≤n.有x i＞x j.则称（x i.x j）为数列A n的一个逆序对．记数列A n的所有逆序对的个数为T（A n）．（1）若T（A4）=1.写出所有可能的数列A4；（2）若T（A n）=2.求数列A n的个数；（3）对于满足条件的一切数列A n.求所有T（A n）的算术平均值．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用排列数的应用列举求出结果．（2）利用递推关系式的应用求出结果．（3）直接利用关系式的应用求出结果．【解答】：解：（1）A4可以是：1243.1324.2134.共3个．（2）依题意.数列A n是1.2.….n的排列．记b n为满足T（A n）=2的数列A n的个数．设T（A3）=2.考虑数列A n的个数.此时A n只能为312.即此时只有一个满足题意的数列；设T（A4）=2.考虑数列A n的个数.此时A n只能为3124、1423.即此时只有两个满足题意的数列；设T（A5）=2.考虑数列A n的个数.此时A n只能为31245、14235、12534.即此时只有三个满足题意的数列；故T（A n）=2.考虑数列A n的个数.此时A n只能为n-2个.即此时只有n-2个满足题意的数列；（3）1.2.….n的任意一个排列A n：x1.x2.….x n.都存在唯一的倒序排列A'n：x n.x n-1.….x1.并且A n和A'n不同．因为数对（x i.x j）与（x j.x i）中恰有一个逆序对（其中1≤i＜j≤n）.并且A n中数对个.（x i.x j）共有n(n−1)2个.所以A n和A'n中的逆序对总数为n(n−1)2即 T (A n )+T (A′n )=n (n−1)2.故T （A n ）.T （A n ）.T （A'n ）的算术平均值为n (n−1)4． 可将1.2.….n 的所有排列两两配对.每一对{A n .A'n }均满足：T （A n ）.T （A'n ）的算术平均值为n (n−1)4． 故所有T （A n ）的算术平均值为 n (n−1)4．【点评】：本题考查的知识要点：组合数的应用.排序问题的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．。