数学北师大版 函数的单调性
高一数学北师大版必修1教学教案第二章3函数的单调性
函数的单调性教学设计与反思一.教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标【教学目标】1.知识与技能理解函数单调性概念；掌握用定义判断和证明一些简单函数单调性的方法；了解函数单调区间。
2.过程与方法培养从概念出发,进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的思想.3.情感态度价值观由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望,突出学生的主观能动性,激发学生学习数学的兴趣.【教学重难点】重点:函数单调性的概念,判断和证明一些简单函数单调性的方法.难点:关于函数单调性概念的符号语言的认知,应用定义证明单调性的代数推理论证【教学过程】一.导课要研究函数的单调性,我们先从熟知的函数入手,下面请同学们作出函数y=x+1 和y=x+1 的图像.1.思考: 从左到右看,图像的变化趋势如何？随着自变量的变化,函数值如何变化?2.观察动画回答：(1)由函数y=x2图像,观察图像的变化趋势。
(2)函数y=x2中y随x如何变化?那么,我们怎样用符号语言表达函数值的增减变化呢?〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．二.新知探究1.请同学们阅读课本37页(3分钟)2.老师强调相关概念:函数递增时,图像是_________函数递减时, 图像是________在函数y=f(x)的定义域内的一个区间内A上,如果对于任意两个数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数在区间A上是增加的,有时也称函数在区间A上是递增的。
北师大版数学必修一《函数的单调性》参考教案
《函数的单调性》教案一、教材分析-----教学内容、地位和作用本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第3节《函数的单调性》的内容，函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。
利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。
学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。
另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。
二、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：(一)三维目标1 知识与技能：（1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2 过程与方法：（1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。
（2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。
3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。
（二）重点、难点重点：函数单调性的概念:为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。
北师大版必修一《函数的单调性》说课稿
高一数学函数的单调性说课稿一、教材分析1、教材内容本节课是北师大版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y 随x 的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x xx f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．。
届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：1.4函数的单调性
下面采用定义证明：
任取 x1、x2∈(－1，＋∞)，且－1＜x1＜x2， 则有 x1－x2＜0， f(x1)－f(x2)＝x1＋2 1－x2＋2 1＝x12＋x12－xx2＋1 1， ∵－ 1＜x1＜ x2，∴x1＋ 1＞ 0， x2＋1＞0，x2－x1＞ 0. ∴x12＋x12－xx2＋1 1＞0. 即 f(x1)－f(x2)＞0，所以 f(x1)＞f(x2)．
典例对对碰
题型一 用函数单调性的定义证明函数的单调性 例 1 判断下列函数的单调性，并证明． (1)f(x)＝x＋2 1，x∈(－1，＋∞)； (2)f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[1，＋∞)； (3)f(x)＝ x＋1，x∈[－1，＋∞)．
解析
(1)函数
f(x)＝x＋2
在 1
(－1，＋∞)上为减函数．
(2)对单调性的理解需注意： ①函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，单调区间是定义
域的子区间或定义域本身，离开了定义域这个大前提就会导致错 误．如函数 y＝lg(3＋2x－x2)的单调递增区间为(－1,1]，而不能认为 是(－∞，1]，因为定义域为(－1,3)．
②函数 f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在局部区间上 函数值的变化趋势．因此若要判定或证明函数在该区间上的单调性，
解析 由 u＝x2－3x＋2＞0 得 x＜1 或 x＞2.结合二次函数的 图像及单调性易知：
当 x∈(－∞，1)时，u(x)为减函数． 当 x∈(2，＋∞)时，u(x)为增函数． 又 y＝log0.7u 在定义域内为减函数，因此由复合函数的单调性 可知： x∈(－∞，1)时，y 为增函数，x∈(2，＋∞)时，y 为减函数． 点评 函数的定义域是讨论函数性质的前提，任何问题的解 决必须在定义域内进行．因此，首先须求定义域.
一轮复习北师大版第2章第2节 函数的单调性与最值课件
在本例(2)中，若将“[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0”改为“[f(x2)－ f(x1)](x2－x1)＞0”，结果如何？
解：因为f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f －12＝f 52． 当x2＞x1＞1时， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递 增．因为1＜2＜52＜e， 所以f(2)＜f 52＜f(e)，所以b＜a＜c．
3)的单调递增区间是( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(4，＋∞)
D．(－∞，4)
B 解析：因为f(x)＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0． 而g(x) ＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a．因为a<0，所以g(x)的单调递增区间是 (－∞，2)．
3．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
2．增函数、减函数 (1)当函数 f(x)在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 ． (2)当函数 f(x)在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．
1．单调递增(减)函数定义中的 x1，x2 的三个特征 一是任意性；二是有大小，即 x1<x2(或 x1>x2)；三是同属于一个 单调区间．三者缺一不可． 2．增、减函数定义的等价形式 对于∀x1，x2∈I，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0(<0)或fxx11－－xf2x2 >0(<0)，则函数 f(x)在 I 上单调递增(减)．
3．函数 y＝x2－6x＋6 在区间[2,4]上( ) A．单调递减 B．单调递增 C．先单调递减再单调递增 D．先单调递增再单调递减
C 解析：画出函数 y＝x2－6x＋6 在区间[2,4]上图象，观察图象 可知，该函数在[2,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增．
北师大版数学必修一《函数的单调性》教学课件
证明：任意取 x1，x2∈［2,5］且 x1＜x 2， x1 x2 则 f(x1)＝ ，f(x2)＝ . x1－1 x2－1 f(x2)－f(x1)＝ x1－x2 x2 x1 － ＝ . x2－1 x1－1 (x2－1)(x1－1)
，
∵x1<x2<0， ∴x1－x2<0，x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 故 f ( x)
1 1 在区间(－∞，0)上是单调增函数. x
求函数的单调区间
如图所示的是定义在半开半闭区间［－5,5)上的函数y＝f(x)的图 象，根据图象写出y＝f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间上y＝f(x)是 增函数还是减函数.
为几个最简因式的积或几个完全平方的形式.
1.证明函数 f ( x)
1 1 在区间(－∞，0)上是增函数. x
【证明】 设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1<x2.
则
1 1 1 1 x x f ( x1 ) f ( x2 ) 1 1 1 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
【思路点拨】 观察图象可知，函数y＝f(x)在区间［－5,5)上不具有单调 性，但在区间［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］，［3,5)上具有单调性. 【解析】 函数y＝f(x)的单调区间有［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］， ［3,5)， 其中y＝f(x)在区间［－5，－2］，［1,3］上是减函数，在区间［－2,1］，
［3,5)上是增函数.
(1)利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法.但要注 意函数的定义域. (2)写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连 接它们.
数学北师大版高中必修1函数的单调性及奇偶性
函数的单调性及奇偶性复习专题一、函数的单调性单调递增：对任意的1212,x x A x x ∈<且都有12()()f x f x <，则()f x 在A 上单调递增。
等价形式：：对任意的1212,x x A x x ∈<且都有1212()[()()]0x x f x f x -->（或者1212()()0()f x f x x x ->-）图像的性质：函数图像随着x 的增大而呈上升的趋势。
单调递减：对任意的1212,x x A x x ∈<且都有12()()f x f x >，则()f x 在A 上单调递减。
等价形式：：对任意的1212,x x A x x ∈<且都有1212()[()()]0x x f x f x --<（或者1212()()0()f x f x x x -<-）图像的性质：函数图像随着x 的增大而呈下降的趋势。
几种特殊函数的单调性(0)y ax b a =+≠(0)ay a x=≠ 2(0)y ax bx c a =++≠ay x x=+0a > R()(),0,0,-∞+∞,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()(),0,0,a a-,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()(),,,a a -∞-+∞0a < R()(),0,0,-∞+∞,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()(),0,0,-∞+∞,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x 与g(x)的定义域都为A 则：()-+()()f xg xf x()g x()()f xg x增增增不能确定增减不能确定增减增不能确定减减减减不能确定函数的奇偶性对于函数()f x其定义域关于原点对称，则：偶函数：()()=-f x f x等价形式：()()0--=f x f x函数图像：关于y轴对称。
奇函数：()()=--f x f x等价形式：()()0+-=f x f x函数图像：关于原点对称。
函数的单调性 ppt课件
•上是减少的． [思路分析] 利用函数增减性的定义来证明，其关键是对 f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．
[规范解答] 设 0<x1<x2≤3，则有 y1－y2＝(x1＋x91)－(x2＋x92) ＝(x1－x2)－9xx11－x2x2
• [规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的 步骤：
• (1)判断：先判断函数的单调性．
• (2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最 值．
• 2．明确利用单调性求最大值、最小值易出错 的几点：
• (1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而 不是横坐标．
• (2)求最值忘记求定义域．
• (3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断 单调性而直接将两端点值代入．
• [规律总结] 证明函数在某个区间上的单调性 的步骤：
• (1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2， 且x1<x2；
• (2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分 解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法 变形；
• (3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则 分区间讨论；
• (4)结论：根据差的符号，得出单调性的结 论．
• (2)函数y＝3x2＋6x－12在区间________上 为增函数，在区间________上为减函数．
• [答案] [－1，＋∞) (－∞，－1]
• [解析] ∵y＝3x2＋6x－12＝3(x＋1)2－15，
• ∴它的图像开口向上，对称轴为x＝－1.
• ∴在[－1，＋∞)上为增函数，在(－∞，－1] 上为减函数.
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
精品资料
第二章 §3 函数的单调性
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《函数的单调性和最值》课标解读
《函数的单调性和最值》课标解读教材分析本节的主要内容是函数的单调性和最值.函数的单调性把自变量的变化和函数值的变化定性地联系在一起，起着承前启后的作用，函数的单调性与函数的概念和函数的表示法有着密切的联系，函数的单调性和后面要学习的函数的奇偶性合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数的理论基础.函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，本节通过对具体函数图象的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的.教材中在判断函数的增减性时，既有从图象上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图象得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系.函数的单调性和最值有着广泛的实际应用，在解决函数值域、定义域、最值、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性.高考中主要考查函数单调性的判断、求函数的单调区间、函数单调性的应用.本节内容涉及的数学核心素养有数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等.学情分析学生在初中阶段通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势.学生具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.学生学习本节内容的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度，而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱这些都容易产生思维障碍.教学建议在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其是抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.教学中为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，可以采取以下形式组织学习材料:1.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示，在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段，观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数的单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段，首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”借助多媒体引导学生对“y随x的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4.在“学以致用”阶段，首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识，然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法，接着请学生板演实践.学科核心素养目标与素养1结合初中已学习的函数图象，通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，抽象概括出增函数和减函数的定义，达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.会利用单调性的定义判断和证明函数的单调性，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.3.会求函数在给定区间上的最值，达到数学运算核心素养水平一的要求.情境与问题案例一通过回顾初中学习的一次函数、二次函数、反比例函数的函数值()f x 随自变量x的变化情况，结合某天气温随时间的变化曲线，引入本节内容的教学.案例二通过系列问题的设计，复习函数的概念，引发学生回忆思考，通过回顾初中学习的一次函数的图象与性质，在已有知识基础上去探求新知识，引入课题.内容与节点函数的单调性是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后续学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等，在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.过程与方法通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量，引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 教学重点难点重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.。
第二章-§3-函数的单调性和最值高中数学必修第一册北师大版
1
是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数 在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法） 由题意知函数 的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,
课题名称 《函数的单调性》 (北师大版 必修 数学1 第二章)_2
专家点评（高新一中党效文）
在对教材和学生已有知识充分了解下, 黄老师的教案设计教学目标设计层次分明, 重点难点突出, 合理。
从学生所熟悉的一次函数, 二次函数的图像入手, 让学生回顾初中已有的对函数单调性的感性认识, 以一次函数为例引导学生用数学语言来描述函数的增减性, 使学生不知不觉中对函数的单调性有了初步的理性认识, 进而再引导学生把这种理性认识抽象到一般情况形成概念, 使学生理解了数学概念和结论的形成过程, 体会其中蕴含的从特殊到一般的思维过程和思想方法。
在利用定义证明函数的单调性的设计中, 让学生进一步体会了数学语言的优越性, 体会数与形的完美统一, 使学生学习的过程成为“再创造, 再发现”的过程, 不断的增强学生的思维能力和创新意识。
同时在教学过程中设计了让学生分组讨论, 归纳小结的过程, 培养了学生相互学习, 团结协作的思想意识。
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》课件
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11
单击此处编辑母版标题样式
例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
单击此处编辑母版文本样式
– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
单击此处编辑母版标题样式
• 单北击师大此版处高编中数辑学母版文本样式
– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
函数的单调性和最值 高中数学北师大版必修第一册
增
调递减
图象
自左向右图象逐渐上升
自左向右图象逐渐下降
特征
图
示
名师点析 x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈I;
(2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1<x2.
微练习
若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在(0,+∞)
+1
+2
变式训练 3 判断函数 f(x)=
≠
1
2
在(-2,+∞)上的单调性.
解任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,
1-2
+2+1-2
=a+ +2 ,
∵f(x)=
+2
1
1-2
1-2
∴f(x2)-f(x1)= + +2 − + +2 =(1-2a)·( +2 −
=[2(x1+x2)-3](x1-x2).由 x1,x2∈
3
-∞,
4
且 x1<x2,得
3 3
x1+x2< +
4 4
=
3
,x1-x2<0,
2
则 2(x1+x2)<3,即 2(x1+x2)-3<0,
所以 f(x2)>f(x1),故函数
f(x)=-2x2+3x+3
在区间
3
-∞, 4
上单调递增.
反思感悟 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
高中数学第二章函数2.3函数的单调性课件北师大版必修1
第十页，共36页。
5．函数 f(x)＝－x2＋6x＋8 在[－2,1]上的最大值是________． 【解析】 f(x)＝－x2＋6x＋8＝－(x－3)2＋17， 所以函数 f(x)在[－2,1]上是增函数． 所以 f(x)的最大值为 f(1)＝13. 【答案】 13
第十一页，共36页。
课堂探究 类型一 函数单调性的判定或证明 [例 1] (1)函数 y＝f(x)的图像如图所示，其减区间是( )
(2)证明：对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝x121－x122 ＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1. ∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)．
第二十一页，共36页。
方法归纳,
函数单调性应用的关注点 (1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可 以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确 定函数中参数的范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区 间内的任意子集上也是单调的．
第二十二页，共36页。
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实 数 a 的取值范围．
第二十三页，共36页。
【解析】 函数 f(x)＝x2－2ax－3 的图像开口向上，对称轴为直线 x＝a，画出草图如图所示．
由图像可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上分别单调，因此要使函 数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x) 在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减)， 从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《函数的单调性》说课稿一、教材分析-----教学内容、地位和作用本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。
总课时安排为3课时，《函数的单调性》是本节中的第一课时。
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
按现行教材结构体系，该内容安排在学习了函数的现代定义及函数的三种表示方法之后，了解了在生活实践中函数关系的普遍性，另外学生已在初中学过一次函数、反比例函数、二次函数等初等函数。
在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。
利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。
学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。
另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。
二、学情分析教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。
只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。
不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。
我所教授的班级的学生具体学情具体到我们班级学生而言有以下特点：学生多才多艺，个性张扬，但学科成绩不很理想，参差不齐；经受不住挫折，需要经常受到鼓励和安慰，否则就不能坚持不懈的学习；学习习惯不好，小动作较多，学习时注意力抗干扰能力不强，易被外界因素所影响，需要不断的引导；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。
只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。
三、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：(一)三维目标1 知识与技能：（1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2 过程与方法：（1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。
（2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。
3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。
（二）重点、难点重点：函数单调性的概念:为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：作图象并观察图象→讨论：函数图象的变化趋势是什么？→在这种变化趋势下，x与函数值y 是如何相互影响的？→你能从量的角度出一个缜密的，完善的定义来吗？每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。
难点：函数单调性的判断与推证：突破该难点的：通过对照、分析定义，引导学生，概括出证明方法及步骤：“取量定大小，作差定符号，判断得结论”，并注意解题过程的规范性与严谨性。
四、教学方法：合作学习认为教学是师生之间、生生之间相互作用的过程，强调多边互动，共同掌握知识。
视教学为师生平等参与和互动的过程，强调教师只是小组中的普通一员，起到一个引导者，管理者角色。
在课堂教学中要加强知识发生过程的教学，充分调动学生的参与的积极性，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性品质，从而达到提高学生整体的数学素养的目的。
结合教学目标和学生情况我采用合作交流，探究学习相结合的教学方法。
五、内容组织形式课问合作数学回顾兼顾六、教学过程及设想教学环节教学过程设计意图(一)课前诊测，完善认知画出函数;2),3(2)2(12)1(xyxyxy-=-=-=()21(4)(5)11y y xx==--的图象,并研究出它们各自的变化趋势。
认知派学习理论认为学习的积累及恰当与否取决于学习者已有的认知结构。
残缺的认知结构是完成不了整个学习过程的。
针对学生的实际情况，在上一节的课后布置作业让学生画一次函数，二次函数及反比例函数图象，回顾以前知识，尽而形成一个完整的认知结构，为以后的学习排除障碍。
（二）创设情景，引发兴趣师：在生活中我们经常会关注一些实际问题。
如果你是市长分管防洪抗旱工作，你会对水位的涨落随时间变化的规律特别关心，如果你为一个股民的话，你心里想得就是如果能预见每天股价的走势那该是一件多么幸福的事情。
实际上这些问题归根结底就是：是研究量与量之间的变化趋势，也就是研究其中两个变量如何相互影响的，这也是我们今天所要研究的主要课题。
看以下实际问题：请说出气温在哪些时段是升高的，怎么样用数学语言来刻画“随时间的增大气温逐步升高”这一特征？这种在一定时间内，随着时间增大，气温逐步升高的现象反映在数学中，我们称它为函数的单调性行为学习理论者强调环境对学习产生的影响。
当学习者对某种特殊的刺激做出反应时，就产生了“学习”。
依据教材知识，渗透新课标理念，通过与实际问题的联系，揭示我们研究此节内容的现实意义，目的引发学生学习兴趣，有利于学生学习动力的产生。
要点：短，平，快。
（三）合作交流，建构数学让一小组的代表上台来展示在上节课后所做的几个函数图象，并据此讨论下列问题，问题1、并说一说所画函数的图象的变化趋势。
(下面打出部分函数的图象)x∈(0,+∞)f x() = x-1()2-1f x() = 2⋅x-1f x() = x-1-1oo图1yx x图2y1图3xy观察得到：随着x值的增大，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈下降的趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一个区间内呈逐渐下降的趋势。
(注意一定要提醒：是从左到右的看)问题2：你能明确的说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？此时X与函数值Y如何相互影响的？讨论得到：在某一个区间内，当x值增大时，函数值y也增大⇔图象在该区间内呈上升趋势。
在某一个区间内，当x值增大时，函数值y也反而减小⇔图象在该区间内呈下降趋势。
在众多的函数中，很多函数都具有这种性质，因此我们有必要对函数的这种性质做进一步的讨论与研究。
这就是我们今天这一节课的主题。
函数的这种性质，我们就称为函数的单调性。
(对每一个问题，小组成员先独立做，再分别说出自己的想法，然后讨论，形成集体的意见。
)1、通过一系列的问题，引发对概念的全面思考。
从具体到抽象，再从抽象到具体，并通过合作交流，增强学生对概念的理解，不断的修正、完善结论，达到建构数学的目的。
2、教学实践证明，小组内成员合作，组间成员竞争的讨论是一种有效的教学策略，使得整个评价的重心同个人之间竞争转为团体合作达标。
并能使教师与学生、学生与学生之间有更多的交往、互动的机会。
它也是引导学生积极参与教学过程的重要措施，是培养学生合作精神和激发学生创新意识的重要手段，问题3：我们刚才已经对函数的单调性，做了定性的分析，我们如何从量的角度来刻画这种性质。
你能给出一个确切的定义来吗？请用你自己的话表达出来，并说给你的小组成员听，并与他交流后，形成集体意见，再展示给大家。
(教师巡视，视小组讨论情况，可提示：在区间A 中，若x=2时，y=5；x=3时，y=7，能不能说随着X 的增大，y 也增大；)最后的结论：减函数增函数ba bf(x2)f(x2)f(x1)f(x1)a x1x1xxx 2x 2yy定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值21,x x⑴若当1x <2x 时，都有f(1x )<f(2x ),则说f(x)在这个区间上是增函数；⑵若当1x <2x 时，都有f(1x )>f(2x ),则说f(x) 在这个区间上是减函数。
增函数的本质是在某个区间上，较大的自变量对应较大的函数值，减函数反之。
也是促使每个学生得到充分发展的有效途径3、重点：学生能否抓住定义中的关键词“给定区间”、“任意”和“都有”，是能否正确，深入透彻地理解和掌握概念的重要一环。
分析定义，使学生把定义与图形结合起来，使新旧知识 融为一体，加深对概念的理解，渗透数形结合的分析问题的数学思想方法（四）数学运用，巩固新知(一)例题例1：(1)定义在R上的函数y=f(x)图象如图甲，所示，请说出它的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数xyo1£54(2)参看所画看图乙，指出函数y=(1/x)的单调区间，能不能说在定义域内是单调减函数？指出函数)0(1≠=xxy的单调区间，能不能说在定义域内是单调减函数？(3))如图丙，函数图象如图，写出单调区间o图乙yx X图丙Y让学生进一步理解一般函数单调区间的定义，(1)区间的端点要不要？(2)在这里一定要强调单调性只是函数的“局部性质”它与区间密不可分。
-----不能把函数的单调区间写成()),0(0,+∞⋃∞-例2 判断并证明函数f(x)=11+-x在(0,+∞)上的单调性。
证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ， ------------------------------(取量定大小) 则f(1x )－f(2x )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111x －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-112x =2121x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得1x －2x <0 ,于是f(1x )－f(2x )<0,即 f(1x )<f(2x )------------------------------作差定符号∴f(x)=11+-x在(0,+ ∞)上是减函数.--------- 判断定结论 (让一个中等学生上去板演)，2、由于例2难度较大，学生难以从中归纳出证明方法及步骤，因而有必要先详细讲解，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。
归纳证明方法并加以比较说明；使学生突破本节的难点，掌握重点内容。
基本步骤：“取量定大小，作差定符号，判断定结论”其中第二环节是难点“作差→变形→判断正负”。