重积分、曲线积分、曲面积分

重积分、曲线积分、曲面积分

一、曲线积分

第一型曲线积分(对弧长)

定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T

的细度为1max ,i i n

T s ≤≤=∆ 在i L 上任取

一点(,)(1,2,

,).i i i n ξη= 若极限

1

lim

(,)n

i

i

i

T i f s ξη→=∆∑

存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作

(,)L

f x y ds ⎰

。

若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)L

f x y z ds ⎰

。

性质： 1. 若

(,)(1,2,

,)i L

f x y ds i k =⎰

存在，(1,2,

,)i c i k =为常数，则1

(,)k

i i L

i c f x y ds =∑⎰

也存在，且

1

1

(,)(,).k

k

i i i i L

L

i i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰

2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,

,)i L

f x y ds i k =⎰都存在，则(,)L

f x y ds ⎰也

存在，且

1

(,)(,).i

k

L

L i f x y ds f x y ds ==∑⎰

⎰

3. 若

(,)L

f x y ds ⎰与(,)L

g x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则

(,)(,).L

L f x y ds g x y ds ≤⎰

⎰

4. 若

(,)L

f x y ds ⎰

存在，则|(,)|L

f x y ds ⎰也存在，且

|(,)||(,)|L

L

f x y ds f x y ds ≤⎰⎰。

5. 若

(,)L

f x y ds ⎰

存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得

(,)L

f x y ds ⎰

=cs 。

计算

设有光滑曲线(),

:[,],(),x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨

=⎩

函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则

(,)((),())

L

f x y d s f t t d t β

α

ϕψ=⎰

⎰

。 若曲线L 由方程(),[,]y x x a b ψ=∈表示，且()x ψ在[,]a b 上连续可导，则

(,)(,(.b

L

a

f x y ds f x x ψ=⎰

⎰

例1.

设L 是24y x =从(0,0)O 到(1,2)A 一段，试计算第一型曲线积分

.L

yds ⎰

解

2

4

(1).

3

L

yds ==⎰

⎰

例2. 计算

2,L

x ds ⎰

其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周。

解 由对称性知

222,L

L

L

x ds y ds z ds ==⎰

⎰⎰所以

22

222

3

12().33

3L L L a x ds x y z ds ds a π=++=

=⎰⎰⎰

第二型曲线积分（对坐标）

有向曲线：带有方向的曲线称为有向曲线，其正方向是指从起点到终点的方向。简单闭曲线的正方向是指逆时钟方向。

定义： 设函数(,)P x y 与(,)Q x y 定义在平面有向可求长度曲线L :AB 上，对L 的任一分割T ，它把L 分成n 个小曲线段1i i M M -(1,2,

,),i n = 其中0,n M A M B ==。记各小曲线段1i i M M -的弧长为i s ∆，分割

T

的细度

1max .i i n

T s ≤≤=∆ 又设T

的分点

i M 的坐标为(,)i i

x y ，并记

1,i i i x x x -∆=-1(1,2,

,).i i i y y y i n -∆=-= 在每个小曲线段1i i M M -上任取一点(,)i i ξη，若极限

1

1

lim (,)lim (,)n

n

i i i i i i T T i i P x Q y ξηξη→→==∆+∆∑∑

存在，则称此极限为函数(,),(,)P x y Q x y 沿有向曲线L 上的第二型曲线积分（对坐标），记为

(,)(,)L

P x y d x

Q x y d y +⎰

或(,)(,)AB

P x y dx Q x y dy +⎰。

上述积分还可写作

(,)(,)L

L

P x y dx Q x y dy +⎰

⎰或(,)(,)AB

AB

P x y dx Q x y dy +⎰⎰。

为方便，上述积分可简写成

L

Pdx Qdy +⎰

。若L 是闭曲线，上述积分可写成

L

Pdx Qdy +⎰

。

若L 为空间有向可求长度曲线，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 为定义在L 上的函数，则类似地可定义