重积分、曲线积分、曲面积分
二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
二重积分三重积分曲线积分曲面积分二重积分二重积分的概念二重积分是微积分中的重要概念之一，它是对二元函数在一个有界闭区域上的积分运算。
二重积分可以看作是对一个平面区域的面积进行加权求和，其中权重由函数值决定。
二重积分的计算可以通过分割区域，将区域内的小面积元素加权求和的方式进行。
二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的面积法和极坐标系下的面积法。
在直角坐标系下，二重积分可以通过将区域分割成小矩形，计算每个小矩形的面积乘以函数值的和来近似计算。
在极坐标系下，可以通过将区域分割成小扇形，计算每个小扇形的面积乘以函数值的和来近似计算。
二重积分的应用二重积分在物理学、统计学、经济学等领域有广泛的应用。
在物理学中，二重积分可以用来计算平面分布的物理量，如电荷密度、质量分布等。
在统计学中，二重积分可以用来计算二维随机变量的概率密度函数。
在经济学中，二重积分可以用来计算两个变量之间的相关性。
三重积分三重积分的概念三重积分是对三元函数在一个有界闭区域上的积分运算。
它可以看作是对一个空间区域的体积进行加权求和，其中权重由函数值决定。
三重积分的计算可以通过分割区域，将区域内的小体积元素加权求和的方式进行。
三重积分的计算方法三重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的体积法和柱面坐标系下的体积法。
在直角坐标系下，三重积分可以通过将区域分割成小立方体，计算每个小立方体的体积乘以函数值的和来近似计算。
在柱面坐标系下，可以通过将区域分割成小柱体，计算每个小柱体的体积乘以函数值的和来近似计算。
三重积分的应用三重积分在物理学、流体力学、电磁学等领域有广泛的应用。
在物理学中，三重积分可以用来计算空间分布的物理量，如电荷密度、质量分布等。
在流体力学中，三重积分可以用来计算流体的质量、动量和能量等。
在电磁学中，三重积分可以用来计算电场和磁场的分布。
曲线积分曲线积分的概念曲线积分是对向量场沿曲线的积分运算。
重积分与曲线曲面积分的计算方法
重积分与曲线曲面积分的计算方法重积分和曲线曲面积分是微积分中的重要概念，它们在多变量函数的研究和应用中起着重要作用。
本文将介绍重积分和曲线曲面积分的概念及其计算方法。
一、重积分的概念和计算方法1. 重积分的概念重积分是对多变量函数在一定区域上的积分运算。
设函数f(x, y)在闭区域D上有定义，则重积分的定义为：∬Df(x, y) dA，其中，dA表示面积元素，可以用dx dy来表示。
2. 重积分的计算方法（1）可分离变量的重积分若函数f(x, y)可以表示为f(x)g(y)，则重积分可以分解为两个一元积分的乘积，即：∬Df(x, y) dA = (∫f(x)dx) (∫g(y)dy)。
（2）极坐标下的重积分若D是以极坐标表示的闭区域，即D={(r,θ) | α≤θ≤β, g1(r)≤r≤g2(r)}，则重积分可以表示为：∬Df(x, y) dA = ∫βα∫g2(r)g1(r) f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ。
（3）变量替换法的重积分当积分区域D是一般的闭区域，通过适当的变量替换可以将其变换为简单的形式。
例如，对于直角坐标系下的曲线，可以通过变量替换来简化重积分的计算。
二、曲线曲面积分的概念和计算方法1. 曲线积分的概念曲线积分是对向量场沿曲线的积分运算。
设向量场F(x, y)在曲线C上有定义，则曲线积分的定义为：∮CF(x, y)·dr，其中，dr为曲线的微元向量。
2. 曲线积分的计算方法（1）参数方程表示的曲线积分若曲线C可以由参数方程表示，即C: r(t)=[x(t),y(t)]，a≤t≤b，则曲线积分可以表示为：∮CF(x, y)·dr = ∫baF(x(t),y(t))·r'(t)d t。
（2）向量场与切向量的内积在计算曲线积分时，常常需要将向量场与曲线上的切向量进行内积。
若曲线C由向量函数r(t)=[x(t),y(t)]表示，则曲线的切向量为r'(t)=[x'(t),y'(t)]。
曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系
曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系作者：李雪峰
来源：《文理导航·教育研究与实践》 2018年第12期
【摘要】定积分、重积分、曲线与曲面积分是积分学的重要组成部分，它们之间有着千丝万缕的联系。
本文将重点阐述曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系。
【关键词】曲线积分；曲面积分；定积分；重积分；关系从定义上看，它们都是通过“大化小，常代变，近似和，取极限”这四步得到一个特殊和式极限的形式，而这一形式可以统一写成：
前面我们分别介绍了第一类曲线积分与定积分，第二类曲线积分与定积分、二重积分，第一类曲面积分与二重积分，第二类曲面积分与二、三重积分的关系。
而书中又介绍了两类曲线积分之间的关系和两类曲面积分之间的关系，还有斯托克斯公式又说明了曲线与曲面积分的关系。
综上所述，充分说明了虽然曲线、曲面积分与定积分、重积分它们有着不同的定义、积分域与计算方法，但同时又有着密不可分的关系。
它们之间的转化真是妙趣无穷。
【参考文献】
[1]同济大学数学系编.高等数学（第六版）下册[M].北京：高等教育出版社，2007。
曲线积分和曲面积分
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。
最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。
该定义可以统一形式给出：从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。
以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。
因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。
表面积分的形式如下：\ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。
两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。
）。
最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。
求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。
因此，它也生动地称为通量。
在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。
然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
七大积分总结范文
七大积分总结范文积分是微积分的一个重要概念，它在数学、物理及工程学等领域中具有广泛的应用。
在微积分中，积分被认为是导数的逆运算，可以用来求函数的面积、弧长、体积等。
在数学中，有七大积分，包括定积分、不定积分、曲线积分、曲面积分、重积分、线积分和路径积分。
下面将对这七大积分进行详细总结。
定积分是微积分中最基本的积分形式，它可以用于计算曲线下面积。
定积分被表示为∫f(x)dx，在区间 [a,b] 上计算函数 f(x) 的定积分，可以得到曲线 f(x) 和 x 轴之间的面积。
定积分的计算有很多方法，如牛顿-莱布尼茨公式、Riemann 可积性等。
定积分广泛应用于计算几何、物理学、经济学等领域。
不定积分是定积分的逆运算，表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x) 是函数 f(x) 的原函数，C 是常数。
不定积分求解的过程中，要确定函数 f(x) 的原函数 F(x)，然后加上一个常数 C。
不定积分在微积分中有着广泛应用，如求函数的原函数、求定积分中的不定系数等。
曲线积分是一种沿曲线或曲线段对给定函数进行积分的方法。
它可以用来计算沿曲线运动的物体的工作量、流量、质心等。
曲线积分有两种形式：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分表示为∫Cf(x,y) ds，第二类曲线积分表示为∫C Pdx + Qdy。
曲线积分的计算可以通过参数方程、向量法、Green 公式等方法进行。
曲面积分是对给定曲面上的函数进行积分的方法。
它可以用来计算质量、重心、通量等。
曲面积分有两种形式：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分表示为∫∫S f(x,y,z) dS，第二类曲面积分表示为∫∫S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy。
曲面积分的计算可以通过参数方程、向量法、高斯公式等方法进行。
重积分是对多元函数在给定区域上进行积分的方法。
它可以用来计算体积、质量、质心、惯性矩等。
重积分可以分为二重积分和三重积分。
重积分曲线曲面积分总结
D
f (x, y)对x为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { x 0};
6、二重积分计算
(1) 直角坐标系
D {( x, y) a x b,1( x) y 2( x)}, 其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
重积分
1. 理解二重积分、三重积分的概念, 了解 重积分的性质.
2. 掌握二重积分的计算法(直角坐标、极 坐标)，了解三重积分的计算法（直角坐标、 柱面坐标、球面坐标).
3. 会用重积分求一些几何量与物理量.
二重积分
1. 定义 平面上有界闭区域D上二元有界函数
z = f (x, y)的二重积分 n
V x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
当V投影到zx平面或yz平面上时,结果类似.
(b) “先二后一法” －－－截面法
f ( x, y, z)dxdydz c2 dz f ( x, y, z)dxdy
Fx
f
D
(
x
(
2
x, y2
y)
x a
2
)
3 2
d
,
Fy
f
D
(
x
(
2
x, y2
y)
y a
2
)
3 2
d
,
Fz
af
D
(
x2
( x,
y2
y) a2
3 d
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
(完整word版)定积分、曲线积分、重积分、曲面积分的几何意义(2014.1.25)
定积分、曲线积分、重积分、曲面积分的几何意义(2014.1.25)一、定积分x d x f b a ⎰)(1、物理意义：变速直线运动的路程⎰21)(t t dt t v （或变力沿直线做功⎰ba dr r F )(） 2、几何意义：求以)(x f 为曲边的曲边梯形的面积当)(x f =1时，x d ba ⎰表示求直线段的长度二、曲线积分第一型曲线积分(对弧长) (,)L f x y ds ⎰（或(,,)Lf x y z ds ⎰） 1、物理意义 ：求曲线段的质量（()y x f ,表示线密度）2、几何意义：当()时，1,=y x f ()ds y x f l ,⎰表示求曲线段的长度 第二型曲线积分(对坐标)(,)(,)L P x y dx Q x y dy +⎰（或(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰） 物理意义：求变力做功 三、重积分二重积分(,)D f x y d σ⎰⎰1、物理意义：求平面薄板的质量（()y x f ,表示面密度）（或加在平面面积上压力（压强可变））2、几何意义：求以()y x f z ,=为曲顶的曲顶柱体的体积当()时，1,=y x f σd y x f D ),(⎰⎰表示求平面区域D 的面积 三重积分(,,)V f x y z dV ⎰⎰⎰1、物理意义：求空间物体的质量（),,(z y x f 表示体密度）2、几何意义：当),,(z y x f =1时，⎰⎰⎰VdV 表示求空间区域V 的体积四、曲面积分第一型曲面积分（对面积）(,,)S f x y z dS ⎰⎰1、物理意义：求曲面块的质量（),,(z y x f 表示面密度）2、几何意义：当),,(z y x f =1时，⎰⎰S dS 表示求曲面快的面积 第二型曲面积分（对坐标）(,,)(,,)(,,)S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰物理意义：求流经曲面流体的流量。
二重积分第一类曲面积分第二类曲线
二重积分第一类曲面积分第二类曲线
二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）是数学中的两个重要概念，分别与曲线和曲面上的函数相关。
1. 二重积分（第一类）：
二重积分是对平面上的函数进行积分的一种方法。
它用于计算平面区域内函数在该区域上的总体积、质量、重心等物理量。
第一类表示积分变量是平面上的面积元素，通常用两个变量表示。
例如，对于函数f(x, y)，在平面区域D 上的二重积分可以表示为∬D f(x, y) dA。
2. 曲面积分（第二类）：
曲面积分是对曲面上的函数进行积分的一种方法。
它用于计算曲面上的流量、电荷、质量等物理量。
第二类表示积分变量是曲面上的面积元素，通常用参数方程表示。
例如，对于函数f(x, y, z)，在曲面S 上的曲面积分可以表示为∬S f(x, y, z) dS。
3. 第一类曲线积分：
第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分的一种方法。
它用于计算曲线上的长度、质量、功等物理量。
第一类表示积分变量是曲线上的弧长元素，通常用参数方程表示。
例如，对于函数f(x, y, z)，在曲线C 上的第一类曲线积分可以表示为∮C f(x, y, z) ds。
总之，二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）分别应用于平面和曲面上的函数积分，而第一类曲线积分用于曲线上的函数积分。
它们在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
关于重积分、曲线积分、曲面积分的对称性定理的应用
关于重积分、曲线积分、曲面积分的对称性定理的应用1.介绍重积分、曲线积分以及曲面积分：重积分是指一种定义在实数空间D上的数字积分，它用于将实数函数f （x）分成N个子区域Ii，每个子区域以左端点Ai和右端点Bi表示，映射到另一个实数区间[a，b]。
每个子区域对应一个多项式。
用重积分表示f（x）：$∫_{a}^{b}f(x)dx=∑_{i=1}^{n}∫_{a_{i}}^{b_{i}}p_{i}(x)dx$曲线积分是指定义在曲线上的积分，它将曲线S拆分成N个子区域，每个子区域以左端点Ai和右端点Bi表示，映射到另一个曲线S'。
每个子区域对应一个多项式。
用曲线积分表示f（s）：$∮_{S}f(s)ds=∑_{i=1}^{n}∮_{A_{i}}^{B_{i}}p_{i}(s)ds$曲面积分是指定义在曲面上的积分，它将曲面S拆分成N个子区域，每个子区域以左端点Ai和右端点Bi表示，映射到另一个曲面S'。
每个子区域对应一个多项式。
用曲面积分表示f（s）：$∮_{S}f(s)ds=∑_{i=1}^{n}∬_{A_{i}}^{B_{i}}p_{i}(s)ds$2.介绍重积分、曲线积分以及曲面积分的对称性定理：重积分的对称性定理（Gauss-Tchebycheff定理）指出，如果在[a，b]内取重积分方式进行积分，那么拆分区域的数量N与取得重积分精度的平方成正比。
另一方面，重积分非线性变换法指出，无论子区域的大小都可以把它们转换为数字积分所使用的矩形子区域。
曲线积分的对称性定理（Sommerfeld-Wilson定理）指出，将积分拆分为子区域的数量N与得出的精确积分的平方和成正比。
另一方面，拉格朗日-积分法指出，将曲线拆分为N个子区域，同样可以将它们转换为数字积分所使用的矩形子区域。
曲面积分的对称性定理（Green-Steiner定理）指出，将积分拆分为子区域的数量N与得出的精确积分的次数成正比。
重积分与曲线曲面积分
重积分与曲线曲面积分重积分和曲线曲面积分是微积分学中的重要概念，它们在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛应用。
本文将介绍重积分和曲线曲面积分的定义、计算方法以及应用案例。
一、重积分1.1 定义重积分是定义在由一对实数确定的区域上的函数的积分。
通常来说，这个区域是二维平面内的一个有界闭区域。
对于一个二元函数f(x, y)，在闭区域D上的重积分可以表示为：∬D f(x, y) dA其中dA表示二维平面元素的面积。
重积分的计算方法有多种，常见的方法包括二次积分和极坐标变换等。
1.2 计算方法计算重积分的方法需要根据具体的函数和区域进行选择。
常用的计算方法包括：1) 二次积分：将闭区域D分割成小区域，并在每个小区域内进行二次积分求和。
2) 极坐标变换：对于具有简洁极坐标表达式的函数和区域，可以通过极坐标变换简化计算。
3) 坐标变换：对于复杂的函数和区域，可以通过适当的坐标变换来简化计算。
一些特殊函数或者区域的重积分计算方法还有其他的技巧，需要根据具体情况进行选择。
1.3 应用案例重积分在物理学、工程学和计算机科学等领域有广泛应用。
例如，在物理学中，可以通过重积分计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量；在工程学中，可以通过重积分计算流体的质量和动量；在计算机科学中，可以通过重积分计算图像的亮度、颜色等特征。
二、曲线曲面积分2.1 定义曲线曲面积分是定义在曲线或曲面上的函数的积分。
与重积分类似，曲线曲面积分也需要根据具体的函数和曲线曲面进行计算。
对于一个参数曲线C上的函数f(x,y,z)，曲线曲面积分可以表示为：∮C f(x,y,z) ds其中ds表示曲线C上的一段弧长。
对于一个参数曲面S上的函数f(x,y,z)，曲线曲面积分可以表示为：∯S f(x,y,z) dS其中dS表示曲面S上的面积元素。
2.2 计算方法计算曲线曲面积分的方法需要根据具体的函数和曲线曲面进行选择。
常用的计算方法包括：1) 参数化方法：将曲线曲面用参数方程表示，然后进行积分计算。
2.多重积分、曲线积分与曲面积分
§2 多重积分、曲线积分与曲面积分一、一、多多重积分1. 二重积分连续函数f (x ,y )在有限可求积的平面区域Ω内的二重积分òååòD D =W®D ®D i jji j i y x y x y x f y x y x f j i ),(lim d d ),(0||max 0||max 式中i i i x x x -=D +1,j j j y y y -=D +1,j i åå是对Ω中的所有),(i i y x 的下标i ，j 求和. [特定区域内二重积分的计算公式] 积分区域ΩòòWy x y x f d d ),(计算公式（积分限应从小到大）òòbax x yy x f x)()(21d ),(d j j òòbaj j )()(21d ),(d y y xy x f y 设j r j r sin ,cos ==y x ，则j r r d d d d =y x òò2121d )sin ,cos (d )()(j j j r jr rr j r j r j f òòpjr rr j r j r j20)(0d )sin ,cos (d f [二重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微分的函数þýüîíì==),(),(u u u y y u x x 把平面Oxy 上的有界闭区域Ω单值映射到平面u u O ¢上的闭区域Ω'，其雅可比式为J =0),(),(¹¶¶¶¶¶¶=¶¶uuu y x u y u x u y x 则u u u dd ||)],(),,([d d ),('u J u y u x f yx y x f òòòòWW=例 若îíì==jr j r sin cos y x则J =r j r j r j j j r =-=¶¶cos sin sin cos ),(),(y x所以jr r j r j r d d )sin ,cos (d d ),('òòòòW W=fy x y x f 2. 三重积分[直角坐标下的三重积分] 假设有界区域V 由下列不等式 a ≤x ≤b , )(1x y ≤y ≤)(2x y , ),(1y x z ≤z ≤),(2y x z确定，其中)(1x y ,)(2x y ,),(1y x z ,),(2y x z 都是连续函数，且函数f (x ,y ,z )在V 上是连续的，则函数f (x ,y ,z )在有界区域V 上的三重积分òòòòòò=ba x y x y y x z y x z Vz z y x f yxz y x z y x f )()(),(),(2121d ),,(d d d d d ),,(有时采用下面公式计算：òòòòòò=ba S V xz y z y x f x z y x z y x f d d ),,(d d d d ),,(式中S S y z x x =(,)是用平行于O yz 的平面截区域V 所得的截断面(图6.3). 例 设V 表示在第一卦限中由曲面1=÷øöçèæ+÷øöçèæ+÷øöçèærqpc z b y a x 和坐标平面所围成的封闭区域，则当一切常数都是正的时候，有)1())()((d d d 111r q p pqr r q p c b a z y x z y x V g b a g b a g b a g b a +++G G =òòò--- 这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到. [圆柱坐标下的三重积分] (图6.4) òòòòòò¢= d d d ),sin ,cos (d d d ),,(V V zz f z y x z y x f j r r j r j r （一般地，0≤j ≤2π) 式中V 为直角坐标中的有界区域，V '是区域V 在圆柱坐标系中的表达式. [球面坐标下的三重积分] (图6.5) òòòòòò¢=2d d d sin )cos ,sin sin ,cos sin (d d d ),,(V V r r r r r f z y x z y x f j q q q j q j q（一般地，0≤j ≤2π,0≤θ≤π) 式中V '是区域V 在球面坐标系中的表达式. [三重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微函数ïîïíì===),,(),,(),,(w u z z w u y y w u x x u u u 把Oxyz 空间的有界三维闭区域双方单值地映射到O'u u w 空间的闭区域V '，并且当（u , u ,w )∈V '时其雅可比式0),,(),,(¹¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶=¶¶=wz w y wx z yxuz u y u x w u z y x J u u uu 则òòòòòò¢= d d d ||)],,(),,,(),,,([d d d ),,(V V w u J w u z w u y w u x f z y x z y x f u u u u 3. 多重积分[直接计算多重积分] 若函数f (n x x x ,,,21 )在由下列不等式所确定的有界闭区域Ω内是连续的：a ≤1x ≤b 2x ¢(1x )≤2x ≤2x ¢¢ (1x ) ………………………n x ¢ (121,,,-n x x x )≤n x ≤n x ¢¢ (121,,,-n x x x ) 式中a ,b 为常数，2x ¢(1x )，2x ¢¢ (1x )，…，n x ¢ (121,,,-n x x x )，n x ¢¢ (121,,,-n x x x )为连续函数，则对应的多重积分可按下面公式计算：n b a x x x x x x x x xx x x n Ωn n x x x x f x x x x x x x x f n nn nòòòòòò¢¢¢¢¢¢--=)( )( ),...,(),...,(212121211212121121d ),...,(...d d d ...d d ),...,(...[多重积分的变量替换（雅可比式）] 若连续可微函数i x =i j (n x x x ,,,21 ), i =1,2,…,n把O n x x x 21空间内的有界闭区域Ω双方单值地映射成O'n x x x 21空间内的有界闭区域Ω',并且在闭区域Ω'内雅可比式0),,,(),,,(2121¹¶¶=n n x x x J x x x则òòòòòò='21212121d ...d d ||),...,(...d ...d d ),...,(...W Wx x x j j j n n n n J f x x x x x x f特别，根据公式ïïïîïïíì====-----12211221121211sin sin ...sin sin cos sin ...sin sin ..........................cos sin cos n n n n n n r x r x r x r x j j j j j j j j jj j 变换成极坐标(r ,121,,,-n j j j )时，有： 22312112121sin sin sin ),,,,(),,,(-----=¶¶=n n n n n n r r xx x J j j j j j j二、 曲线积分[对弧长的曲线积分] 若函数f (x ,y ,z )在光滑曲线C : ïîïí죣===)()()()(0T t t t z z t y y t x x 的各点上有定义并且连续（图6.6）则 òò++=C T t t t z t y t x t z t y t x f s z y x f 0d )()()()](),(),([d ),,(222式中d s 为弧的微分，,d )(d )(tt x t x =·等这个积分与曲线C 的方向无关. [对坐标的曲线积分] 若函数P =P (x ,y ,z ),Q =Q (x ,y ,z ),R =R (x ,y ,z )在光滑曲线C: ïîïí죣===)()()()(0T t t t z z t y y t x x 的各点上连续，这曲线的正方向为t 增加的方向，则òò···++=++Tt C tt z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P z z y x R y z y x Q x z y x P 0d )}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{d),,(d ),,(d ),,(当曲线C 的正向变更时，积分的符号改变. [全微分的情形] 若函数P =P (x ,y ,z ),Q =Q (x ,y ,z ),R =R (x ,y ,z )在区域V 中的任一条光滑曲线C 上连续，并且u z z y x R y z y x Q x z y x P d d ),,(d ),,(d ),,(=++ 式中u =u (x ,y ,z )为区域V 内的单值可微函数，则),,(),,(d d d 111222z y x u z y x u z R y Q x P C -=++ò 式中(111,,z y x )为积分曲线C 的始点，(222,,z y x )为积分曲线C 的终点.这说明在假定的条件下，积分值与曲线C 的形状无关，只与曲线的始点和终点有关(图6.7). 在单连通区域V 内有连续的一阶偏导数的函数P ,Q ,R 能表成全微分 u z z y x R y z y x Q x z y x P d d ),,(d ),,(d ),,(=++ 的充分必要条件是：在区域V 内等式z Px R y R z Q x Q y P ¶¶=¶¶¶¶=¶¶¶¶=¶¶,, 成立.这时函数u 可按下面公式求得： z zy x R y z y x Q x z y x P z y x u zz y y x x d),,(d ),,(d),,(),,(000000òòò++= 式中(000,,z y x )为区域V 内的某一固定点. [格林公式] 1°曲线积分与二重积分的关系.设C 为逐段光滑的简单（无自交点）闭曲线，围成单连通的有界区域S ,这围线的方向使区域S 保持在左边，若函数P (x ,y ),Q (x ,y )及它们的一阶偏导数在S +C 上连续，则有格林公式 ：òòò¶¶-¶¶=+S C y x y P x Q y y x Q x y x P d d )(d ),(d ),(2° 曲线积分与积分线路的关系.若函数P ,Q ,xQ y P ¶¶¶¶, 在区域S 上连续，且x Qy P ¶¶=¶¶ 则沿S 内的任一光滑闭曲线的积分为零，即0d d =+òC y Q x P因而由S 中的A 到B 的积分与线路无关（图6.8)，即òò+=+),(),(21dd d d B A C B A C y Q x P y Q x P三、 曲面积分[对曲面面积的曲面积分] 1° 若S 为逐片光滑的双侧曲面* z =z (x ,y ) ((x ,y )sÎ) 式中σ为曲面S 在Oxy 坐标面上的投影，z (x ,y )为单值连续可微函数，函数f (x ,y ,z )在曲面S 的各点上有定义并连续，则òòòò¶¶+¶¶+=s y x y z x z y x z y x f S z y x f S d d )()(1)],(,,[d ),,(22此积分与曲面S 的方向（法线的方向）无关. 2° 若曲面S 由连续可微函数ïîïíì===),(),(),(u u u u z z u y y u x x ((u ,u )∈Ω) 给定，则òòòò-=Wu u u u d d )],(),,(),,([d ),,(2u F EG u z u y u x f S z y x f S式中222)()()(u z u y u x E ¶¶+¶¶+¶¶=u u u ¶¶¶¶+¶¶¶¶+¶¶¶¶=z u z y u y x u x F222)()()(uu u ¶¶+¶¶+¶¶=z y x G* 曲面上某一点的法线方向的选定，唯一确定了曲面上所有其他点的法线方向，它们就是选定方向的法线在曲面上连续移动（不经过曲面边缘）的指向，所以也就决定了曲面的一侧.如果改变原来选定 的法线方向，曲面上的所有其他点的法线方向都随着改变，曲面就从一侧移到另一侧.这种曲面称为 双侧曲面.[对坐标的曲面积分] 若S 为光滑的双侧曲面，S +为它的正面，即由法线方向n (cos α, cos β,cos γ)所确定的一侧，P =P (x ,y ,z ),Q =Q (x ,y ,z ),R =R (x ,y ,z )为在曲面S 上有定义并且连续的函数，则 òòòò++=+++SS S R Q P y x R x z Q z y P d )cos cos cos (d d d d d d g b a 若曲面S 由连续可微函数ïîïíì===),(),(),(u u u u z z u y y u x x ((u ,u )∈Ω) 给定，则òòòò++=+++Wu d d )(d d d d d d u CR BQ AP y x R x z Q z y P S式中),(),(,),(),(,),(),(u u u u y x C u x z B u z y A ¶¶=¶¶=¶¶=[斯托克斯公式] 若C 是包围逐片光滑有界双侧曲面S 的逐段光滑简单闭曲线，P =P (x ,y ,z ),Q =Q (x ,y ,z ),R =R (x ,y ,z )是在S +C 上连续可微函数，则yx y P x Q x z x R z P z y z Q y R z R y Q x P S Cd d )(d d )(d d )(d d d ¶¶-¶¶+¶¶-¶¶+¶¶-¶¶=++òòò [高斯公式] 若S 为包含体积V 的逐片光滑曲面P =P (x ,y ,z ),Q =Q (x ,y ,z ),R =R (x ,y ,z )及其一阶偏导数在V +S 上连续，则有高斯公式：z y x z R y Q x P S R Q P V S d d d )(d )cos cos cos (òòòòò¶¶+¶¶+¶¶=++gb a 式中cos α,cos β,cos γ为曲面S 的法线正方向的方向余弦. 四、 重积分、曲线积分与曲面积分的近似计算[二重积分的近似计算公式] òòå+==WWR y x f w A y x y x f nk k k k 1),(d d ),(式中W A 对于不同的积分区域Ω选取不同的常数，k w 是求积系数，R 是余项. Ω为圆形C : 22y x +≤h 2 Ac =πh 2n 图示),(k k y x k w R 5 (0,0) (±h ,0) (0,±h ) 21 81 81 )(6h O4 )2,2(hh ±± 41)(6h O7 (0,0) (±h ,0) )23,2(hh ±± 21121 121 )(6h O9 (0,0) (±h ,0) (0, ±h ) )2,2(h h ±± 61 241 241 61 )(8h O7 (0,0) (±32h ,0) (±61h , ±22h ) 41 81 81 )(8h O21 (0,0) (,102cos 1066h k ×-p)102sin 1066h k ×-p(,102cos 1066h k ×+p )102sin 1066h k ×+pk =1,2,…,10 91 360616+ 360616-)(12h OΩ为正方形S : |x|≤h ,|y |≤h , s A =4h 2n 图示),(k k y x k w R 9 (0,0) (±h ,±h ) (±h ,0) (0, ±h ) 94 361 91 91 )(6h O4 )31,31(hh ±±41)(6h O9 (0,0) )53,53(h h ±±)53,0(h ±)0,53(h ±8116 32425 8110 8110 )(8h OΩ为正三角形T : 外接圆半径为h ，2343h A T =n 图示 ),(k k y x k wR 4 (0,0) (h ,0) )23,2(h h ±- 43121 121 )(5h O7 (0,0) )0,(h )23,2(h h ±- )0,2(h - )43,4(h h ± 209 201 201 152152)(6h O7 (0,0) )0,7115(h +)14)115(3,14115(h h +±+- )0,7115(h --)14)115(3,14115(h h -±- 409120015155- 120015155-120015155+120015155+ )(8h OΩ为正六边形H : 外接半径为h ，2323h A H=n 图示 ),(k k y xk wR 7 (0,0) )23,2(h h ±± (±h ,0) 127 725 725 )(6h O7 (0,0) )1042,1014(h h ±± )0,514(h ±10082581008125 1008125)(8R O[三重积分的近似计算公式] åòòò=+=nk k k k k VR z y x f w A z y x z y x f 1),,(d d d ),,(u式中u A 对于不同的积分区域V 选取不同的常数，k w 是求积系数，R 是余项. V 为球体S : 222z y x ++≤h 2. S A =34π3hn 图示),,(k k k z y x k w R 7 (0,0,0) )0,0,(h ±)0,,0(h ±),0,0(h ±52 101 101 101 )(7h OV 为立方体C : |x|≤h ,|y |≤h,|z|≤h. C A =83h n 图示 ),,(k k k z y x k w R 6 )0,0,(h ±)0,,0(h ±),0,0(h ±61 61 61)(7h O21 (0,0,0) 中心到6个面的距离的6个中点6个面的中心8个顶点360496-36012836083605 )(9h On 图示 ),,(k k k z y xk w R 42 6个面的中心12个棱的中点每个面的对角线上到每个面中心距离为52h 的4个点（共 24点）45091 45040- 45016)(9h OΩ为四面体T .V A T =为四面体体积 n 图示),,(k k k z y x k w R 8 11 4个顶点4个面的重心T 的重心4个顶点6个棱的中点401 409 158 601 151[曲线积分的近似计算公式] 圆周G ：222h y x =+上的曲线积分)()sin ,cos (d ),(2221-=+=òån nk h O nk h n k h f n h s y x f p p p G [曲面积分的近似计算公式] 球面S ：2222h z y x =++上的曲面积分R z y x f w hdS z y x f n k k k k k +=åòò=),,(4),,(12p Sn 图示),,(k k k z y xk w R6 )0,0,(h ±)0,,0(h ±),0,0(h ±61 61 61 )(6h On 图示),,(k k k z y x k w R 18 )0,21,21(h h ±±)21,0,21(h h ±±)21,21,0(h h ±±)0,0,(h ±)0,,0(h ±),0,0(h ± 151 151 151 301 301 301 )(8h O26 )31,31,31(h h h ±±±)0,21,21(h h ±± )21,0,21(h h ±±)21,21,0(h h ±±)0,0,(h ±)0,,0(h ±),0,0(h ±2809 10541054 1054 211211211 )(10h O。
1二重积分`三重积分`第一类曲线积分`第一类曲面积分的概念
重积分§1. 二重积分、三重积分、 第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念1． 对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质． 2． 设有一质量分布不均匀的半圆弧cos ,sin (0)x r y r θθθπ==≤≤，其线密度a ρθ=(a 为常数)，求它对原点(0，0)处质量为m 的质点的引力．3． 计算球面三角形2222x y z a ++=，0,0,0x y z >>>的围线的重心坐标．设线密度1ρ=．4． 求均匀球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对z 轴的转动惯量．5． 求均匀球面z =(0,0,)x y x y a ≥≥+≤的重心坐标．6． 求密度0ρρ=的截圆锥面cos ,sin ,(02,0)x r y r z r b r a ϕϕϕπ===≤≤<≤≤对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力．当0b →时，结果如何？§2. 积分的性质1. 证明有界闭区域上的连续函数必可积．2. 设Ω是可度量的平面图形或空间立体，,f g 在Ω上连续，证明： (1) 若在Ω上()f P ≥0，且()f P 不恒等于0，则()0f P d ΩΩ>⎰；(2) 若在Ω的任何部分区域'Ω⊂Ω上，有''()()f P d g P d ΩΩΩ=Ω⎰⎰，则在Ω上有()()f P g P ≡．3. 设()f x 在[a,b]可积，()g y 在[c,d]可积，则()()f x g y 在矩形区域D ＝[a,b]×[c,d]上可积，且()()()()b dacDf x gy dxdy f x dx g y dy =⎰⎰⎰⎰．4. 若(,)f x y 在D 上可积，那么(,)f x y 在D 上是否可积？考察函数1, (,)1, x y f x y x y ⎧=⎨-⎩若，是有理数,若，至少有一个是无理数,在[0,1]×[0,1]上的积分． 5. 设[][]0,10,1D =⨯，1, (,)0, x f x y x ⎧=⎨⎩是有理数，是无理数，证明(,)f x y 在D 上不可积．§1. 二重积分的计算1． 将二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为不同顺序的累次积分：(1) D 由x 轴与222(0)x y r y +=>所围成； (2) D 由,2y x x ==及1(0)y x x=>所围成； (3) D 由33,2,1y x y x y ===和2y =围成； (4) {}(,)1D x y x y =+≤． 2. 计算下列二重积分： (1)(2)Dy x dxdy -⎰⎰，[][]3,51,2D =⨯；(2) cos()Dx y dxdy +⎰⎰，[]0,0,2D ππ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦； (3)22x y Dxye dxdy +⎰⎰，[][],,D a b c d =⨯；(4)1Dxdxdy xy +⎰⎰，[][]0,10,1D =⨯． 3. 改变下列累次积分的次序： (1)2230(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(2) 221(,)dx f x y dy ⎰；(3)2113(3)2001(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰．4. 设(,)f x y 在所积分的区域D 上连续，证明(,)(,)b xb baaaydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰．5. 计算下列二重积分： (1) m kDx y dxdy ⎰⎰ (,0m k >),D 是由22(0),2py px p x =>=围成的区域；(2) ,Dxdxdy D ⎰⎰是由20,sin ,0y y x x ===和x =(3) ,DD ：22x y x +≤； (4) ,D xy dxdy D ⎰⎰：222x y a +≤；(5) (),Dx y dxdy D +⎰⎰由,1,0,1xy e y x x ====所围成；(6) 22,Dx y dxdy D ⎰⎰由2,0,2,2x y x x y x ====+所围成； (7) ,x yDe dxdy D +⎰⎰是以(2,2),(2,3)和(3,1)为顶点的三角形； (8)sin ,Dnxdxdy D ⎰⎰由2,4y x y x ==和4y =所围成．6. 求下列二重积分： (1) 2110y x I dx e dy -=⎰⎰；(2) 21120y xI dx x edy -=⎰⎰；(3) 220sin yI y x dx =．7. 改变下列累次积分的次序： (1) 11000(,,)xx ydx dy f x y z dz -+⎰⎰⎰； (2) 22110(,,)x y dx dy f x y z dz +⎰⎰⎰； (3) 21101(,,)x ydx dy f x y z dz --⎰⎰⎰；(4)111(,,)dx f x y z dz -⎰．8. 求下列立体之体积：(1) V 由2222222,2x y z r x y z rz ++≤++≤所确定； (2) V 由222,,2z x y y x z ≥+≥≤所确定；(3) V 是由坐标平面及2,3,4x y x y z ==++=所围成的角柱体． 9. 用极坐标变换将(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为累次积分：(1) D ：半圆222,0x y a y +≤≥； (2) D ：半环 2222,0a x y b x ≤+≤≥； (3) D ：圆 22x y ay +≤ (0)a >； (4) D ：正方形 0,0x a y a ≤≤≤≤． 10. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ,D⎰⎰ D ：22224x y ππ≤+≤； (2) (),Dx y dxdy +⎰⎰D 是圆22x y x y +≤+的内部； (3) 22(),Dx y dxdy +⎰⎰ D 由双纽线222222()()(0)x y a x y x +=-≥围成； (4),Dxdxdy ⎰⎰D 由阿基米德螺线r θ=和半射线θπ=围成；(5),Dxydxdy ⎰⎰D 由对数螺线r e θ=和半射线0,2πθθ==围成．11. 在下列积分中引入新变量,u v ，将它们化为累次积分： (1) 2201(,),xxdx f x y dy --⎰⎰若,u x y v x y =+=-；(2) (,)bxa xdx f x y dy βα⎰⎰(0,0a b αβ<<<<)，若,yu x v x==；(3)(,)Df x y dxdy⎰⎰，其中D ＝({},0,0x y x y ≤≥≥，若44cos ,sin x u v y u v ==；(4)(,)Df x y dxdy⎰⎰，其中D ＝(){},,0,0x y x y a x y +≤≥≥ (0a >)，若,x y u y u v +==．12. 作适当的变量代换，求下列积分： (1)22(),Dx y dxdy +⎰⎰D 是由441x y +=围成的区域；(2) (),Dx y dxdy +⎰⎰D 由22224,9,4,9y x y x x y x y ====围成； (3) ,Dxydxdy ⎰⎰ D 由2,4,,2xy xy y x y x ====围成．§3. 三重积分的计算1.利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) 222,,0z xy x y a z =+==；(2) 2220,z z x y R ==+=； (3) 球面2222x y z a ++=与圆柱面22x y ax +=（0a >）的公共部分；(4) 2222222222221,x y z x y z a b c a b c ++=+= (0z >)；(5) 22222,24949x y x y z z =+=+； (6)22,z x y z x y =+=+．2. 求曲线222222x y xyab c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围成的面积．3. 用柱坐标变换计算下列三重积分：(1)222()Vxy dxdydz +⎰⎰⎰，V 由曲面22,4,16z x y z z =+==围成；(2)3Vdxdydz ⎰⎰⎰, V 由曲面22222229,16,,0x yx y z x y z +=+==+≥ 围成． 4.用球坐标变换计算下列三重积分： (1)(),Vx y z d x d y d z ++⎰⎰⎰ V ：2222R x y z ++≤；(2) 5V dxdydz ⎰⎰⎰, V 由2222x y zz ++=围成；(3) 2Vx dxdydz ⎰⎰⎰，V 由222222,8x y z x y z +=++=围成． 5.作适当的变量代换，求下列三重积分：(1) 22Vx y zdxdydz ⎰⎰⎰，V 由2222,,,,,x y x y z z xy c xy d y x y x a b αβ++======围成的立体，其中0,0a b αβ<<<<； (2) 2Vx yzdxdydz ⎰⎰⎰，V 同(1)； (3)4Vy dxdydz ⎰⎰⎰，V 由22,x az x bz == (0,0z a b ><<)，,x y x y αβ== (0αβ<<)以及(0)x h =>围成；(4) V ⎰⎰⎰，V 由2222221x y z a b c++=围成；(5)120dx dz ⎰．6.求下列各曲面所围立体之体积：(1) 22222,2(),,z x y z x y y x y x =+=+==；(2) 221x y z a b c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,0,0,0,0,0x y z a b c ≥≥≥>>>)．7. 计算下列三重积分：(1) (),Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰ V ：2222xy z a ++≤；(2) ,V zdxdydz ⎰⎰⎰ V 由曲面22,1,2z xy z z =+==所围成；(3) 4(1),Vx dxdydz +⎰⎰⎰V 由曲面222,2,4x z y x x =+==所围成； (4)3,Vxyzdxdydz ⎰⎰⎰ V 是由曲面2221,0,0,0x y z x y z ++====围成的位于第一卦限的有界区域； (5)23,Vxy z dxdydz ⎰⎰⎰ V 由曲面,,0,1z xy y x z x ====所围成；(6) cos(),Vy x z dxdydz +⎰⎰⎰ V 是由0,0y y z ===及2x z π+=所围成的区域．§4. 积分在物理上的应用1．求下列均匀密度的平面薄板的质心：(1) 半椭圆22221,0x y y a b+≤≥；(2) 高为h ，底分别为a 和b 的等腰梯形； (3) (1cos )(0)r a ϕϕπ=+≤≤所界的薄板； (4) 2,2(0)ay x x y a a =+=>所界的薄板． 2．求下列密度均匀的物体的质心：(1) 221,0z x y z ≤--≥；(2) 由坐标面及平面21x y z +-=所围成的四面体； (3) 22,,0,0,0z x y x y a x y z =++====围成的立体； (4)222(0)z x y z =+≥和平面z h =围成的立体；(5) 半球壳22222,0a x y z b z ≤++≤≥． 3．求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量：(1) 边长为a 和b ，且夹角为ϕ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量； (2) 2,1y x y ==所围平面图形关于直线1y =-的转动惯量．4．求由下列曲面所界均匀体的转动惯量：(1) 22,1,1,0z x y x y x y z =++=±-=±=关于z 轴的转动惯量； (2) 长方体关于它的一棱的转动惯量；(3) 圆筒2222a x y b ≤+≤，h z h -≤≤关于x 轴和z 轴的转动惯量． 5．设球体2222x y z x ++≤上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量．6．求均匀薄片222R ,0x y z +≤=对z 轴上一点(0，0，c )(c >0)处单位质点的引力．求均匀柱体222,0x y a z h +≤≤≤对于(0，0，c ) (c >h )处单位质点的引力．。
第一讲二重积分三重积分
(5)如果积分区域D关于原点对称，关于原点 对称的两部分为 D1和 D 2
D
0, f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) d 2 f ( x , y ) d ， f ( x , y ) f ( x， y ) D 1
1. k f ( x, y )d k f ( x, y ) d ( k 为常数) D
D
3. f ( x, y )d
D
D1
f ( x, y ) d
D2
f ( x, y ) d
为D 的面积, 则
1 d d
D1
( B ) 4 ( x y c o s x s in y ) d x d y
D1
(C ) 2
D1
xydxdy
(D )
0
第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
机动
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结束
一、利用直角坐标计算二重积 分
若D为 X – 型区域
22
13 18 30 27
4
12 12
2004
4
4
12
20
第九章
重 积 分
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的定义与可积性 二、二重积分的性质
第九章
三、二重积分的应用
机动
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结束
一定义 如果 f ( x, y ) 在D上可积,
曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系
曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系
积分是微积分学中最基础的概念，它涉及数学定义、计算方法以及引入空间等概念。
积分可以分为定积分和变积分，其中定积分主要围绕计算定义域中某函数的固定曲线或曲面的线长或面积，而变积分则涉及重积分的概念。
定积分所涉及的概念即是求定义域[a, b]中某函数f(x)在定义域上某条具体曲线或曲面（例如圆、椭圆等）的线长或面积，注意此时函数f(x)已被给定，而无需进行求解和求导等运算，并且可以采用特定的定积分算法（例如梯形积分、抛物积分等）来实现计算。
变积分涉及的概念则和变量多变，其通常指在定义域[a, b]上求函数f(x)的一阶、二阶及其他阶的重积分，通过计算f(x)对x的导数和次导数等，最终算求函数在定义域上某条曲线或曲面的线长或面积。
此外，变积分也可以把问题转化为定积分，从而采取特定的定积分算法实现计算。
从上文概述中可以看出，定积分主要围绕求某函数在定义域中某特定曲线或曲面上的线长或面积，而变积分则涉及函数f(x)的重积分，把求解的问题转化到求解定积分的问题上。
最后，由于重积分可以被视作是定积分的一种特殊形式，因此可以将二者统一起来，将积分一般化到定积分和变积分之间。
重积分与曲线曲面积分的换元法
重积分与曲线曲面积分的换元法重积分和曲线曲面积分是微积分中的重要概念，它们在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
在计算这些积分的过程中，经常会遇到需要进行换元的情况。
本文将介绍重积分与曲线曲面积分的换元法，帮助读者更好地理解和应用这些数学概念。
一、重积分的换元法重积分是将一个函数在三维空间中的区域上进行积分，通常用来计算质量、质心、重心、物理系统的动量和能量等问题。
当积分区域的表示较为复杂时，使用换元法可以简化计算过程。
假设有某函数 f(x,y,z)，我们要计算函数在由区域 D 所围成的空间中的积分。
首先，我们需要找到一个合适的变换，将原坐标系下的积分区域 D 映射到新的坐标系下的积分区域 R。
设变换为 x=g(u,v,w)，y=h(u,v,w)，z=k(u,v,w)，其中(u,v,w) 属于R。
根据重积分的换元公式，原重积分可以转换为在 R 上的相应积分：∬∬∬_D f(x,y,z)dxdydz = ∬∬∬_R f[g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w)] |J| dudvdw其中 J 为变换的雅可比矩阵，由偏导数构成。
通过适当选择变换函数 g(u,v,w)，h(u,v,w)，k(u,v,w)，我们可以使得积分区域 R 更简单，从而简化积分计算。
换元法的关键在于找到适合的变换函数，需要通过对问题的分析和适当的数学方法进行判断。
二、曲线曲面积分的换元法曲线曲面积分是将一个函数在曲线或曲面上的各点上的值与曲线长度或曲面面积之积相加而得到的积分。
常用于求解电场、磁场、电荷分布等物理问题。
在计算曲线曲面积分时，我们也常常需要进行换元操作。
对于二重积分，设有曲线 C 上的参数方程为 x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中 (u,v) 属于某个曲线区域 D。
根据曲线曲面积分的换元公式，曲线曲面积分可以表示为：∬_S F(x,y,z)dS = ∫∫_D (F[f(u,v),g(u,v),h(u,v)] |N|) dudv其中 F(x,y,z) 为在曲面 S 上的某个函数，N 为曲面 S 的法向量。
二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
二重积分什么是二重积分？在数学中，二重积分是对一个平面区域上的函数进行求和的一种方法。
这个平面区域可以由直线、曲线或者其他形状所围成。
二重积分可以用来计算平面上的面积、质心、质量等物理量。
二重积分的定义设有一个函数f (x,y )定义在一个闭区域D 上，闭区域D 可以用x =a 和x =b 两条垂直于x 轴的直线以及曲线y =g 1(x )和y =g 2(x )来围成。
那么，函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分可以表示为：∬f D(x,y )dA其中，dA =dxdy 表示微元面积。
二重积分的计算迭代法我们可以通过迭代法来计算二重积分。
具体步骤如下：1. 首先确定x 的取值范围，即确定x =a 和x =b 。
2. 对于每个固定的x 值，在该范围内确定y =g 1(x )和y =g 2(x )。
3. 将函数f (x,y )进行展开，并将其乘以微元面积dA =dxdy 。
4. 对于每个x 值，将得到的函数表达式进行积分，即计算∫f g 2(x )g 1(x )(x,y )dy 。
5. 将上一步得到的结果进行积分，即计算∫∫f g 2(x )g 1(x )b a (x,y )dydx 。
极坐标法在某些情况下，使用极坐标法可以简化二重积分的计算。
具体步骤如下： 1.将x =rcosθ和y =rsinθ代入函数f (x,y )。
2.将微元面积dA =dxdy =rdrdθ代入函数f (r,θ)。
3.确定r 的取值范围和θ的取值范围。
4.将函数f (r,θ)乘以微元面积dA =rdrdθ。
5. 对r 和θ进行相应的积分。
计算平面区域的面积二重积分可以用来计算平面区域的面积。
设有一个闭区域D，则该区域的面积可以表示为：S=∬dDA其中，dA=dxdy表示微元面积。
计算质心质心是一个物体在空间中平衡的位置。
对于一个平面区域，质心可以通过二重积分来计算。
设有一个闭区域D，则该区域的质心可以表示为：x‾=1S∬xDdAy‾=1S∬yDdA其中，S=∬dDA表示区域D的面积。
高等数学各类积分总结
关于各类积分的一些总结一、定积分实质：直线上函数的积分，积分对象是直线元 dx 。
二、二重积分实质：平面区域上的二元函数的积分，积分对象是dxdy 。
方法：累次积分，即先固定一个变量，对另一个变量积分，再对另一个变量积分。
三、三重积分实质：对空间上的三元函数积分，积分对象是dxdydz 。
方法：累次积分，可以化成三个一次积分（如球坐标代换），也可化成一个二重积分和一个一次积分（如柱坐标代换）。
四、第一型曲线积分实质：对曲线上的一元函数积分，积分对象是曲线元ds 。
方法：转化成定积分曲线r=(x(t),y(t),z(t)),则dt z y x t z t y t x f ds z y x f s dt t t ⎰⎰⎰⎰'+'+'=222))(),(),((),,(。
五、第一型曲面积分实质：对曲面上的二元函数积分，曲面元dS.方法：转化为二重积分。
曲面r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)), 则(,,)((,),(,),(,))s D dr dr f x y z dS f x u v y u v z u v dudv du dv=⨯⎰⎰⎰⎰特别的dr dr dx dy ⨯= 六、第二型曲线积分实质：变力在曲线上作功,或是对有向线元的积分,即对坐标的积分。
形式：⎰++LRdz Qdy Pdx ①方法：１、拆 ①＝⎰⎰⎰++L L L Rdz Qdy Pdx =⎰⎰⎰++121212z z y y x x Pdz Pdy Pdx εεε(化成三个定积分)2、合 用定义化成第一形曲线积分①＝dl v dz dy dx R Q P LL τ⋅=⋅⎰⎰),,(),,(３、对于环路积分，一般用斯托克斯公式化去做①＝dl v dz dy dx R Q P τ⋅=⋅⎰⎰),,(),,(＝⎰⎰⋅Dnds rotv ε七、第二形曲面积分实质：通量，或是对有向面积元的积分，即对坐标的曲面积分。
重积分与曲线曲面积分的计算
重积分与曲线曲面积分的计算重积分与曲线曲面积分是高等数学中重要的概念和计算方法。
本文将介绍重积分和曲线曲面积分的定义和计算方法，并通过实例演示其应用。
一、重积分的定义与计算方法重积分，又称多重积分或二重积分，是对二维或多维空间内的函数在给定区域上的积分运算。
其定义如下：设函数 f(x, y) 在闭区域 D 上有界，则重积分的定义为：∬D f(x, y) dA = limn→∞ ΣΣ f(xi*, yj*) ΔS其中，ΣΣ表示对所有小矩形的求和，xi*和yj*分别代表每个小矩形中任意一点的横纵坐标，ΔS为小矩形的面积。
计算重积分需要先确定积分区域 D，再利用累次积分的方法进行计算。
具体步骤如下：1. 确定积分区域 D 的范围和方程。
2. 将重积分转化为累次积分，先对 x 进行积分，再对 y 进行积分。
计算时可利用定积分的性质，如线性性、区间可加性等。
3. 按照积分区域 D 的特点选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系、柱坐标系等。
4. 进行累次积分计算，注意求导和换元等运算的使用。
通过以上计算步骤，可以求得重积分的值，从而对函数在给定区域上的积分进行计算。
二、曲线曲面积分的定义与计算方法曲线曲面积分是对曲线或曲面上的向量场进行积分的运算。
其定义如下：1. 曲线积分：设曲线 C 是一个可求长度的光滑曲线，其参数方程为x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t)，向量场 F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j +R(x, y, z) k。
则曲线积分的定义为：∮C F⋅dr = ∫ab F(φ(t), ψ(t), χ(t))⋅(φ'(t) i + ψ'(t) j + χ'(t) k) dt其中，a 和 b 分别代表曲线参数的起点和终点。
2. 曲面积分：设曲面 S 是一个可求面积的光滑曲面，其参数方程为x = φ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v)，向量场 F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k。
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重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
计算设有光滑曲线(),:[,],(),x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),())Lf x y d s f t t d t βαϕψ=⎰⎰。
若曲线L 由方程(),[,]y x x a b ψ=∈表示，且()x ψ在[,]a b 上连续可导，则(,)(,(.bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰例1.设L 是24y x =从(0,0)O 到(1,2)A 一段，试计算第一型曲线积分.Lyds ⎰解24(1).3Lyds ==⎰⎰例2. 计算2,Lx ds ⎰其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周。
解 由对称性知222,LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰所以22222312().333L L L a x ds x y z ds ds a π=++==⎰⎰⎰第二型曲线积分（对坐标）有向曲线：带有方向的曲线称为有向曲线，其正方向是指从起点到终点的方向。
简单闭曲线的正方向是指逆时钟方向。
定义： 设函数(,)P x y 与(,)Q x y 定义在平面有向可求长度曲线L :AB 上，对L 的任一分割T ，它把L 分成n 个小曲线段1i i M M -(1,2,,),i n = 其中0,n M A M B ==。
记各小曲线段1i i M M -的弧长为i s ∆，分割T的细度1max .i i nT s ≤≤=∆ 又设T的分点i M 的坐标为(,)i ix y ，并记1,i i i x x x -∆=-1(1,2,,).i i i y y y i n -∆=-= 在每个小曲线段1i i M M -上任取一点(,)i i ξη，若极限11lim (,)lim (,)nni i i i i i T T i i P x Q y ξηξη→→==∆+∆∑∑存在，则称此极限为函数(,),(,)P x y Q x y 沿有向曲线L 上的第二型曲线积分（对坐标），记为(,)(,)LP x y d xQ x y d y +⎰或(,)(,)ABP x y dx Q x y dy +⎰。
上述积分还可写作(,)(,)LLP x y dx Q x y dy +⎰⎰或(,)(,)ABABP x y dx Q x y dy +⎰⎰。
为方便，上述积分可简写成LPdx Qdy +⎰。
若L 是闭曲线，上述积分可写成LPdx Qdy +⎰。
若L 为空间有向可求长度曲线，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 为定义在L 上的函数，则类似地可定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，记为(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰可简写成LPdx Qdy Rdz ++⎰。
注：第一型曲线积分与曲线的方向无关，第二型曲线积分与曲线的方向有关。
性质： 1..ABBAPdx Qdy Pdx Qdy +=-+⎰⎰2. 若ii LPdx Q dy +⎰(1,2,,)i k =存在，则11k k i i i i Li i c P dx c Q dy ==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰也存在，且()111,k kki i i i i iiLLi i i c P dx c Q dy cPdx Q dy ===⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰其中(1,2,,)i c i k =为常数。
3. 若有向曲线L 是由有向曲线12,,,k L L L 首尾相接而成，且(1,2,,)iL Pdx Qdyi k +=⎰存在，则LPdx Qdy +⎰也存在，且1.ikLL i Pdx Qdy Pdx Qdy =+=+∑⎰⎰计算：设平面曲线(),:[,],(),x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且点A 与B 的坐标分别为((),())ϕαψα与((),())ϕβψβ。
又设(,)P x y 与(,)Q x y 为L 上的连续函数，则''(,)(,)[((),())()((),())()].LLP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰⎰例1. 计算(),Lxydx y x dy +-⎰其中L 是由(1,1)A 沿抛物线22(1)1y x =-+到(2,3)B 的有向曲线。
解 L 为22(1)1,12,y x x =-+≤≤ 所以22212321(){[2(1)1][2(1)1]4(1)}10(10323512).3Lxydx y x dyx x x x x dx x x x dx +-=-++-+--=-+-=⎰⎰⎰例2.计算第二型曲线积分2()LI xydx x y dy x dz =+-+⎰，其中L 是螺旋线：cos ,sin ,x a t y a t z bt ===从0t =到t π=上的一段。
解 直接使用公式得32222223322220(c o s s i n c o s s i n c o s c o s )11111s i n s i n (1)s i n 2(1).32222|I a t t at a t t a bt d t a t a t a b tt a b πππ=-+-+⎡⎤⎛⎫=--+++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰应用 求变力作功力(,)((,),(,))F x y P x y Q x y =沿有向曲线L 对质点所作的功为 (,)(,)LW P x y dx Q x y dy =+⎰。
例3求在力(,,F y x x y z-++的作用下，质点由(,0,0)A a 沿螺旋线1L ：cos ,sin ,,02x a t y a t z bt t π===≤≤到(,0,2)B a b π所作的功。
解 由于sin ,cos ,dx a tdt dy a tdt dz bdt =-==，所以直接使用公式可得122222222()(sin cos cos sin )2().L W ydx xdy x y z dza t a t ab t ab t b t dt b a πππ=-+++=--+++=-⎰⎰习题 1. 计算||,Ly ds ⎰其中L 为单位圆周221x y +=。
2.计算⎰，其中L 是2222x y z a ++=与x y =相交的圆周。
3. 计算22,L xdx ydy x y -++⎰ 其中L 为圆周221x y +=，依逆时钟方向。
4. 计算Lxdx ydy zdz ++⎰，其中L ：从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段。
5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(,0)a 沿椭圆移动到(0,)b ，求力所作的功。
答案：1. 4， 2. 22a π， 3. 0， 4. 13， 5. 22(),2k b a k -为比例系数。
二、二重积分定义：设D 为xy 平面上的有界闭区域，(,)f x y 为定义在D 上的函数。
用任意的曲线把D 分成n 个小区域12,,.n σσσ 以i σ∆表示小区域的面积，这些小区域构成D 的一个分割T , 以i d 表示小区域i σ的直径，称1max i i nT d ≤≤=为分割T 的细度。
在每个i σ上任取一点(,)i i ξη，作和式1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，称它为函数(,)f x y 在D上属于分割T 的一个积分和。
如果 01lim(,)niiiT i f ξησ→=∆∑存在，则称(,)f x y 在D 上可积，此极限值就称为(,)f x y 在D 上的积分，记为(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)lim (,)ni i i DT i f x y d f σξησ→==∆∑⎰⎰。
定理：有界闭区域上的连续函数必可积。
性质：1. 若(,)f x y 在区域D 上可积，k 为常数，则(,)kf x y 在D 上也可积，且(,)(,).DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰2. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，则(,)(,)f x y g x y ±在D 上也可积，且[(,)(,)](,)(,).DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 若(,)f x y 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则(,)f x y 在12D D ⋃上也可积，且1212(,)(,)(,).D D D D f x y d f x y d g x y d σσσ⋃=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，且(,)(,)f x y g x y ≤，(,),x y D ∈ 则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰5. 若(,)f x y 在区域D 上可积，则函数(,)f x y 在区域D 上也可积，且(,)(,).DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰6. 若(,)f x y 在区域D 上可积，且(,),(,),m f x y M x y D ≤≤∈ 则 (,),D D DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰这里D S 是积分区域D 的面积。