第七章 平面电磁波典型例题

第七章 平面电磁波

7.1 将下面用复数形式表示的场矢量变换为瞬时值，或做相反的变换。

()1 0x E e E = ()2 0jkz x E e jE e -=

()3

()()00cos 2sin x y E e E t kz e E t kz ωω=-+-

解：()1 ()()00,,,Re cos x j j t

x x x E x y z t e E e e e E t ϕωωϕ⎡⎤=⋅=+⎣⎦ ()2 ()200,,,Re cos 2j kz j t x x E x y z t e E e

e e E t kz πωπω⎛⎫

- ⎪⎝⎭

⎡⎤⎛⎫=⋅=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

()3 ()()200,,,Re 2j t kz j t kz x y E x y z t e E e

e E e πωω⎛

⎫-+ ⎪-⎝⎭

⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

()()0,,,2jkz x y E x y z t e e j E e -=-

7.2 将下列场矢量的复数形式写成瞬时值形式

()1 ()()0sin sin z jk z z x y E e E k x k y e -=⋅⋅

()2

()sin 02sin cos cos z jk x x E e j E k e θθθ-=⋅⋅ 解：()1 由式()7.1.2，可得瞬时值形式为

()()0Re sin sin z jk z j t

z x y E e E k x k y e e ω-⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦

()()()0sin sin cos z x y z e E k x k y t k z ω=⋅⋅-

()2 瞬时值形式为

()sin 20Re 2sin cos cos z j jk j t x x E e E k e e e πθ

ωθθ-⎡⎤=⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦

()02sin cos cos cos sin 2x x z e E k t k πθθωθ⎛⎫=⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭

()()02sin cos cos sin sin x x z e E k t k θθωθ=-⋅⋅⋅-

7.3 一根半径为a ，出长度为L 的实心金属材料，载有均匀分布沿z 方向流动的恒定电流I 。试证明：流入金属导体的总功率为2I R ，这里的R 为金属导体

的电阻。

解：恒定电流要产生恒定磁场。对于静态电磁场，坡印廷矢量为

S

V

S dS J EdV -⋅=⋅⎰⎰

即经过闭合面S 流入体积V 内的功率损耗。

由题中所给的条件知

2z

I J e a π= 故 ()

2

2

21

J

I J E J a σ

σπ⋅=⋅

=

则 ()

2

22

21

S

V

I S dS J EdV a L a πσπ-⋅=⋅=

⎰⎰

()

2

2

L

I a σπ= 2I R =

式中，()

2

L

R a σπ=

，是金属导体的电阻。 7.4 已知无界理想媒质()009,,0εεμμσ===中，正弦均匀平面电磁波的频率8

10f Hz =，电场强度为3

43/jkz j

jkz

x y E e e

e e

V m π

-+-=+

试求：()1均匀平面电磁波的相速度p v 、波长λ、相移常数k 和波阻抗η； ()2

电场强度和磁场强度的瞬时表达式；

()3

与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。

解：()1 8

810/p v m s

====

1p v m f

λ=

=

2/

p

k rad m v ω

π==

=

12040ηηπ=

===Ω

()2 3

143/jkz j jkz y x

j

H E e e e e A m π

ωμη-+-⎛⎫=∇⨯=- ⎪⎝⎭

电场强度和磁场强度的瞬时值为

()Re j t

E t Ee ω⎡⎤=⎣⎦

()884cos 21023cos 2102/3x y e t z e t z V m πππππ⎛

⎫=⨯-+⨯-+ ⎪⎝

⎭

()Re j t

H t He ω⎡⎤=⎣⎦

()8831cos 2102cos 2102/40310x

y e t z e t z V m πππππππ⎛

⎫=-⨯-++⨯- ⎪⎝

⎭ ()3 复坡印廷矢量为

33

113143224010jkz j jkz j jkz jkz x y x y

S E H e e e e e e e e ππ

ππ-+-*-⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

25

/16z

e W m π

= 坡印廷矢量的时间平均值为

25

Re /16av z

S S e W m π

⎡⎤==⎣⎦ 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率为

5

16av av S P S dS W π

=⋅=⎰

5.7已知真空中的均匀平面波电场强度瞬时值为()()

()m V a z t z E x /106sin 220,8

βπ-⨯=

求：()1频率f 、波长λ、相速p v 及相位常数β；()2电场强度复数表达式，磁场强度复数及瞬时值表达式；()3能流密度矢量瞬时值及平均值。

解：题设的均匀平面波是沿正z 轴方向传播的，根据已知条件可得：s rad /1068

⨯=πω，有效值m V E x /20= ，因此

()1

()Hz f 81032⨯==

π

ω

()s m C v p /1031

800⨯===

εμ

()m rad v p /210

31068

8

ππω

β=⨯⨯==