材料力学:弯曲切应力
材料力学弯曲应力_图文

§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa,
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解:1. 求支反力
x 90kN M
x
(压应力)
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ,当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 (细长梁)时 ,纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学06(第六章 弯曲应力)分析

F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度,最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
秦飞编著《材料力学》第7章 弯曲应力

秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
14
7.1 弯曲正应力
弯曲正应力公式
各种型钢的Iz、Wz值均可以从附录的型钢规格表中查到。
常用截面:矩形截面
bh 3 Iz 12
y max
h 2
bh 2 Wz 6
h
b
对于直径为D的实心圆形截面
πD Iz 64
4
ymax
C
拉
z
M
z
C
压
拉 y y
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 8
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
(2)静力平衡关系 由平面假设,横截面上只有正应力σ。纯弯曲情况下,梁横 截面上的内力只有Mz=M,轴力和 My等其他内力均为零,则
dA 0
A
中性轴
z dA 0
A
由这3个静力平衡方
y
与y成正比,沿截面高
度线性变化。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
ρ为中性层曲率半径
10
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
(4)物性关系
y 将 代入物性关系,得: y E E
可见,梁横截面上的弯曲正应力 (normal stress in bending) 与y成正比, 即 (1)沿截面高度线性分布; (2)在中性层处为零,在上、下表面 处最大。
My Iz
—弯曲正应力公式
此公式适用于所有横截面具有纵向对称轴的梁,如圆形截 面、工字形截面和T形截面。 由公式: 正比于y。 沿高度线性分布。 中性轴处=0。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 13
矩形弯曲应力计算公式

材料力学笔记之——弯曲切应力、梁的强度条件横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力,所以横截面上既有正应力又有切应力。
下面,讨论几种常见截面梁的弯曲切应力。
矩形截面从发生横力弯曲的梁上截取长度为dx的微段,该段梁上没有载荷作用,微段两侧截面上的剪力相等,但方向相反。
右侧截面上的弯矩相对左侧截面有增量,因为弯矩不等,因而两截面上的正应力也不相同。
对于狭长矩形截面,由于梁的侧面上无切应力,根据切应力互等定理,截面上两侧边各点处的切应力与边界相切,即与边界平行,梁发生对称弯曲,对称轴y轴上的切应力一定沿着y方向,在狭长截面上切应力沿宽度方向变化不大。
于是,关于横截面上切应力的分布规律,作以下假设:横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力;切应力沿截面宽度均匀分布,即与中性轴平行的横线上各点的切应力大小相等。
截面高宽比大于2的情况下,以上述假定为基础得到的解与弹性理论的精确解相比,有足够的精确度。
根据切应力互等定理,横截面垂直的纵向截面上应存在与横截面上大小相等的切应力。
沿矩中性轴距离y的纵向面把微段截开,取纵向面下侧微元,受力如图所示。
左侧截面上正应力的合力为右侧截面上正应力的合力为显然这两个合力大小不等,纵向截面上必存在一个沿轴向的力使微段保持平衡,这个力为切应力的合力,这也证明了纵向截面上存在切应力,由于d x 是小量,则设纵向面的切应力均匀分布根据平衡条件即其中由切应力互等定理及剪力与弯矩之间的微分关系可得其中:b为截面上矩中性轴为y的横线的宽度,对于矩形截面为常数;I z为整个横截面对中性轴的惯性矩;S z*为横截面上矩中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩;F s为横截面上的剪力。
其中代入切应力计算公式切应力沿截面高度为抛物线分布,当y=0时,即中性轴处有截面上的最大切应力角应变为可见角应变大小沿截面高度也为抛物线分布,此时横力弯曲时横截面翘曲形状如下图,验证了横力弯曲变形不满足平面假设。
剪力不变的横力弯曲,相邻横截面上的切应力相同,翘曲程度也相同,纵向纤维的长度不因截面翘曲而改变,因此不会引起附加的正应力。
材料力学——弯曲应力

公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看: 点离开中性轴越远,该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比; 沿截面高度 线性分布; b、沿截面宽度 均匀分布; c、正弯矩作用下, 上压下拉; d、危险点的位置, 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa,C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面: max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
(5)结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ,空心圆截面 的内外径之比 一倍,比值不变,则载荷 q 可增加到多大? q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
梁弯曲切应力的分布规律

梁弯曲切应力的分布规律梁弯曲切应力的分布规律梁是一种常见的结构,在工程中有着广泛的应用。
在使用过程中,梁会受到各种外力的作用,从而产生内部应力。
其中,弯曲切应力是一种重要的内部应力,对于梁的设计和使用具有重要意义。
本文将从以下几个方面介绍梁弯曲切应力的分布规律。
一、什么是弯曲切应力在讨论弯曲切应力之前,我们需要先了解一下什么是弯曲。
当梁受到外部载荷作用时,如果其截面不再处于平面状态,则称为梁发生了弯曲变形。
此时,在截面上会出现相对位移和旋转,并且截面内部会产生剪切变形和拉伸变形。
在弯曲变形中,由于截面上不同点之间存在相对位移和旋转,因此会产生剪切应力和法向拉伸或压缩应力。
其中,剪切应力沿着截面法线方向,在剖面上表现为一个圆锥体状区域,这个圆锥体状区域就是所谓的弯曲切应力。
二、弯曲切应力的计算公式在实际工程中,我们需要计算出梁在弯曲变形时产生的弯曲切应力。
根据材料力学原理,可以得到以下公式:τ = M*y/I其中,τ为弯曲切应力,M为梁的弯矩,y为截面上某一点到中性轴的距离,I为截面抵抗矩。
三、弯曲切应力的分布规律从上述公式可以看出,在梁上任意一点处,其弯曲切应力大小与该点处的距离成正比。
因此,在不同位置处的弯曲切应力大小也是不同的。
具体来说,在梁中心位置(即中性轴)处,由于y=0,因此弯曲切应力τ=0。
而在距离中性轴越远的地方,则会有越大的剪切应力产生。
当y等于截面半径时,剪切应力达到最大值。
除了剖面上不同位置处剪切应力大小不同外,弯曲切应力还会随着截面形状和受载方式的不同而发生变化。
例如,在矩形截面中,弯曲切应力在角点处会出现集中,而在梁端则会出现较大的剪切应力。
四、弯曲切应力的影响因素除了受载方式和截面形状外,弯曲切应力还受到以下因素的影响:1. 梁长度:梁长度越长,弯曲切应力越大。
2. 弯矩大小:弯矩大小越大,弯曲切应力越大。
3. 材料性质:材料的抗剪强度越大,其剪切应力也会随之增加。
4. 截面尺寸比例:当截面高与宽比例较大时,剪切应力会更加集中。
材料力学弯曲切应力ppt课件

F*
B N2 n
dFs
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
3 求纵截面 AB1 上的切应力 ’
S dFs 1 dM *
b dx bI z dx z
Fs
S
* z
bI z
z x
y
A1
FN*1
m
B1 dFs
A
n
bm
dx
B FN*2 n
Fs
S
* z
bI z
4 横截面上距中性轴为任意 y 的点,其切应力 的计 算公式。
*
z max [ ]
I zb
式中 :[] 为材料在横力弯曲时的许用切应力。
S* z max
为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩
F S s,max
*
z max [ ]
I zb
在选择梁的截面时,通常先按正应力选出截面, 再按切应力进行强度校核。
例题3 : 简支梁受均布荷载作用,其荷载集度 q 3.6 kN m
Fs,max 所在的横截面上,而且一般说是位于该截面的中性轴上。 全梁各横截面中最大切应力可统一表达为
S Fsmax
* z max
max
Izb
S Fsmax
* z max
max
Izb
S* z max
—— 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩
b —— 横截面在中性轴处的宽度
Fs max —— 全梁的最大剪力
q
m
C
E
G
H D
m
l 2
l
Fs 图 F
M图
ql 2
ql 2 8
E
τ max
弯曲应力-材料力学

弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理,弯曲应力 的计算公式为:σ=M/Wz,其中σ为 弯曲应力,M为弯曲力矩,Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外,根据不同的弯曲形式和受力情 况,还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力,如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理,弯曲应力 的计算公式为:σ=M/Wz,其中σ为 弯曲应力,M为弯曲力矩,Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形,影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响,材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中,剪切应力会在材料截面的边缘产 生,它与弯曲应力相互作用,影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力,而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量,从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大,向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用,影响梁的承载能 力和稳定性,在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中,剪切应力会在材料截面的边缘产 生,它与弯曲应力相互作用,影响梁的承载能力 和稳定性。
材料力学《第五章》弯曲应力

1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知:
从伸长到缩短的过程中,必存在一 层纵向纤维既不伸长也不缩短,保 持原来的长度。 中性层:由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。 中性轴:中性层与梁横截面的交线。 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
1
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区,梁宽度减小, 在缩短区,梁宽度增加。 与轴向拉、压时变形相似。
上海交通大学
O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设 梁弯曲变形后,横截面仍保持为平 面,并仍与已变弯后的梁轴线垂直, 只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设 设想梁由许多层纵向纤维组成,弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 由实验现象和假设可推知: 弯曲变形时: 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短; 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
O1Biblioteka 1dqr2
O2
M
a
1
y
b
2
中性层下方,y 为正值, s 也为正值,表示为拉应力; 中性层上方,y 为负值, s 也为负值,表示为压应力。 y =0 (中性轴上),s = 0 ; y |max (上、下表层), s max 。
由(b)式可得s 的分布规律,但因r 的数值未知,中性轴的位置未确定, y 无从算起,所以仍不能计算正应力,用静力学关系解决。
材料力学第五章 弯曲应力

F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式,可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ,代入上式得 由公式(4-2), dx
* 式中 S z
A1
y1dA ,是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理,
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上,与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ,可得
综上所述,对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁(l>5h),在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 (5-2)仍然适用。
例5-1
图5-10(a)所示悬臂梁,受集中力F与集中力
偶Me作用,其中F=5kN,Me=7.5kN· m,试求梁上B点左邻 面1-1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明,一般情况下,梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力, 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩,如图5-1(a)所示。 因此,在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ(见图 5-1(b))。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
材料力学06弯曲应力_3切应力_机

5
三、圆形截面梁
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点处, 计算公式为
max
4FS 3A
式中,A 为圆形截面的面积
四、薄壁圆环形截面梁
薄壁圆环:壁厚 t 远小于平均半径 R
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点
max
处,计算公式为
max
2
FS A
式中,A 为薄壁圆环形截面的面积
FS
max
z
x
14
FS max 9.75kN
M 26kN m max
2)校核弯曲正应力强度
由型钢表中查得 No. 18 工字钢截面的几何参数:d = 6.5 mm,Wz = 185 mm3 ,Iz : Sz = 15.4 cm
max
M max Wz
26 185
103 106
140.6 MPa < 170 MPa
y
FS R
max
z
t
y
6
五、弯曲切应力强度条件
其中
max ≤
max
3 FS max 2A
4 FS max 3A
2 FS max A
FS max
d
(Iz
:
S z max
)
矩形截面 圆形截面 薄壁圆环形截面 工字形截面
7
[例1] 图示矩形截面简支梁受均布载荷作用,试求梁的最大弯曲正 应力和最大弯曲切应力,并比较其大小。
b
FS
max h
z
缘各点处,弯曲切应力为
材料力学梁的弯曲应力

52 y
解:(1)求截面形心
z1
8 0 2 0 1 0 12 20 0 80
z
yc
5m 2 m 8 0 2 0 12 200
(2)求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
80 20 3 12
80 20 42 2
20 120 3 20 120 28 2 12
7.64 10 6 m4
28
2.5kN.m 4kN.m
与实验结果相符。
9
(2)应力分布规律
在线弹性范围内,应用胡克定律
sE E y
(b)
对一定材料, E=C; 对一定截面,
1
C.
sy
——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。
当 y0时,s0;
应力为零的点的连线。
s s yyma 时 x, ma.x
M
与实验结果相符。
10
(3)由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式
Iz
即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。 y
c
y2
z
y1
压边
39
(二)、合理安排载荷和支承的位置,以降低
M
值。
max
1、载荷尽量靠近支座:
F
F
A
A
B
B
0.8L
0.5L
L
L
0.25FL (+)
M 图
0.16FL (+)
M 图
40
F
F
A
BA
B
0.9L
L
L
0.09FL
(+)
M 图
M 图
41
2、将集中力分解为分力或均布力。
材料力学(土木类)第四章 弯曲应力(4)

* N1
′ d FS = F
* FS S z τ 1′ = I zδ
FS h δ FS τ 1 = τ 1′ = × δη − = × η (h − δ ) I z δ 2 2 2 I z
δ
τ1max τmax O
τmax
FS τ1 = × η (h − δ ) 2I z
* FS S z FS τ= = I zb 2I z
h2 2 −y 4
τmax
O
(1) τ沿截面高度按二次抛物 线规律变化; 线规律变化; (2) 同一横截面上的最大切应 在中性轴处( 力τmax在中性轴处 y=0 ); ; (3)上下边缘处(y=±h/2), 上下边缘处( ± 上下边缘处 , 切应力为零。 切应力为零。
σ max ≤ [σ ]
G
τ τ
σ σ
H
梁上任意点G 平面应力状态, 梁上任意点 和H →平面应力状态, 平面应力状态 若这种应力状态的点需校核强度时不 能分别按正应力和切应力进行, 能分别按正应力和切应力进行,而必 须考虑两者的共同作用(强度理论)。 须考虑两者的共同作用(强度理论)。
ql2/8
横力弯曲梁的强度条件: 横力弯曲梁的强度条件:
Ⅱ、梁的切应力强度条件 发生在F 所在截面的中性轴处, 一般τmax发生在 S ,max所在截面的中性轴处,该位置 σ=0。不计挤压,则τmax所在点处于纯剪切应力状态。 所在点处于纯剪切应力 纯剪切应力状态 。不计挤压,
q E m G mH l/2 C D l F E
τmax
F
τmax
梁的切应力强度条件为
τ
y b
FS1 = ∫ τ d A ≥ 0.9 FS
材料力学 弯曲应力

h h1
腹板
yz
FS——横截面上剪力。
y
翼缘
矩形截面的两个假定同样适用。
δ
h h1
y
δ
FN1
b
dF z
dx
dF FN 2 FN1
FN2
式中:FN1
dA M
A*
Iz
A*
ydA
M Iz
S
* z
FN 2
dA M dM
A*
Iz
A*
ydA
M
dM Iz
Izb 16bh
§5-4、梁的强度计算
一、梁的强度计算
危险截面: 危险点:
最大弯矩截面 最大剪力截面
最大弯矩截面的上、下底面各点为正应力危险点。
最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。
1、等截面梁的正应力强度条件为:
max
M max Wz
注:①弯曲容许正应力[σ]弯略大于轴向拉压容许正应力[σ]轴,
FS
S
* z
Izd
b
δ d
h h1
yz
τmax
FS——横截面上剪力。
y
Iz ——整个工字形截面对中性轴z的惯性矩。 d——腹板宽度。
Sz* ——距z轴y处横线一侧 阴影部分截面对z的面积矩。
τ FS [( h2 h12 ) ( h12 y2 )]
2Izd 4 4 4
2、翼缘
δ
u
h
δ
z
τ1
F’N'1τ1
B
τ'1
F’N'2
u
弯曲切应力公式

弯曲切应力公式好的,以下是为您生成的关于“弯曲切应力公式”的文章:在咱们学习材料力学的过程中,有一个挺重要的家伙叫弯曲切应力公式。
这玩意儿可不像看起来那么简单,它背后藏着好多有趣的知识和小秘密呢。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候,有个小家伙瞪着大眼睛一脸迷茫地问我:“老师,这公式到底咋来的呀?感觉好复杂!” 我笑着对他说:“别着急,咱们一步一步来。
”弯曲切应力公式啊,它其实是用来描述梁在受到弯曲作用时,横截面上的切应力分布情况的。
简单来说,就是告诉我们在梁的不同位置,切应力到底有多大。
咱们先来看这个公式的形式:τ = VQ/(Ib) 。
这里面的 V 表示横截面上的剪力,Q 表示所求应力点处的横截面对中性轴的静矩,I 是整个横截面对于中性轴的惯性矩,b 则是所求应力点处截面的宽度。
想象一下一根长长的钢梁,就像咱们在建筑工地上看到的那种。
当它承受着重量弯曲的时候,内部的应力分布可不是均匀的。
靠近中性轴的地方,切应力比较小;而在离中性轴远一些的地方,切应力就会逐渐增大。
为了让同学们更好地理解这个公式,我给他们举了一个例子。
假设我们有一根矩形截面的梁,长度为 L,宽度为 b,高度为 h 。
上面作用着一个集中力 F ,导致梁发生弯曲。
我们来算算在距离中性轴 y 处的切应力。
首先,求出剪力V ,这不难,就是集中力F 嘛。
然后计算静矩Q ,对于矩形截面,Q = y(bh²/2 - y²b/2) 。
惯性矩 I 呢,对于矩形截面就是bh³/12 。
把这些值都代入弯曲切应力公式里,就能算出在这个位置的切应力啦。
这时候,有同学就会问了,那这个公式有啥用呢?用处可大了!比如说在设计桥梁的时候,如果不知道梁内部的切应力分布情况,就没办法保证桥梁的安全性和稳定性。
要是切应力太大,梁可能就会断裂,那可就出大问题了!再比如说,在制造机械零件的时候,也得用这个公式来计算切应力,确保零件在工作过程中不会因为切应力过大而损坏。
弯曲应力-材料力学

max
Mymax Iz
工程力学 Engineering Mechanics
典型例题
例1 图示矩形截面梁,梁上载荷q=100kN/m,梁跨度l=6m,截面尺寸:
b=400mm,h=600mm,材料许用应力[]=100MPa,试判断该梁是否安全。
弹性力学精确分析表明,当跨度l与横截面高度h之比l/h>5(细长梁)时, 纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力
max
M max ymax Iz
弯曲正应力适用范围 细长梁的纯弯曲或横力弯曲 横截面惯性积Iyz=0 弹性变形阶段
工程力学 Engineering Mechanics
YA
2m
2m YB
B 2m
20 b
90
c
z
a
50
解:(3)求解正应力
My Iz
惯性矩
Iz
1 12
50 903
3.0375106 mm4
弯矩
M 10kN.m
典型例题
例1 求图示矩形截面梁指定截面上对应点的正内力。
10kN
1
A
YA
2m
2m YB
B 2m
20 b
90
c
z
a
50
解:(3)求解正应力
M max
1 8
ql 2
1 8
q
62
q
533.3kN/m
练习1
受均布载荷作用的简支梁如图,求 ① 1-1截面上1、2两点的正应力; ② 1-1截面上的最大正应力; ③ 全梁的最大正应力; ④ 已知E=200GPa,求1-1截面的曲率半径。
材料力学:切应力公式的应用----弯曲中心概念

截面形状 圆 形 矩 形 槽 钢
工字钢
Wz
0.125d 0.167h (0.27 ~ 0.31)h (0.27 ~ 0.31)h
A
3)根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料,最好使用T字
形类的截面,并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方,即: 若抗拉能力弱,而梁的危险截面处又上侧受拉,则令中 性轴靠近上端。如下图:
③如截面是由中线交于一点的几个狭长矩形组成 :此交点就是弯曲中心。
四. 提高梁承载能力的措施
max
M mzmax Izb
一)、合理安排梁的受力,减小弯矩。
F/L
A
B
Mmax = FL / 8
F/L
Mmax=FL/ 40
0.2L
0.2L
合理安排梁的受力,减小弯矩。
F
Mmax=PL / 4
F
A L/2
L/2 B
F/2 L/4
F/2 L/4
Mmax = FL / 8
二)、合理安排梁的截面,提高抗弯截面模量。
合理截面形状应该是截面面积 A 较小,而抗弯截面模量大的截面。
1)放置方式:
Wz左 h 1, 竖放比横放要好。
Wz右 b
WZ
左
bh2 6
WZ
右
hb2 6
2)抗弯截面模量/截面面积
三. 薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析 切应力公式的应用----弯曲中心概念
平面弯曲的条件: 横向力与形心主轴平行且通过弯曲中心。 对于一般常见的薄壁截面,为了找到它们的弯曲中心。
可掌握以下几条规律:
①具有两个对称轴或反对称轴的截面:弯曲中心与形心重合。
②具有一个对称轴的截面:弯曲中心必在对称轴上。
材料力学07弯曲应力ppt课件

x
y 26
dA1
s
, b s
顶面有 ,存在.
两截面M 不等—— s 不等
(X 0)
左侧面
dx
N1
M
A1 sdA1 I z
A1 ydA1
右侧面
MS
z
Iz
dM
S
* z
, b( dx ) 0
Iz
FS
,
dM dx
S
z
Izb
FS
S
z
Izb
(∵切应力互等 )
2s
h
2 ( bdy )y s
bh2
M
0
4
s
4M bh2
2. 按沿梁高线性分布:
s max
M h2 Iz
s
6M bh2
s1 2 s2 3
(相差三分之一)
13
[例2]:
15KN
6KN
求B截面K点应力
B
1m
1m
解: M
3
6kNm
s
My Iz
90
K 90
60
120 ( 拉? 压应力? )
IZ
bh3 12
第七章 弯曲应力
§1 弯曲正应力 §2 正应力强度条件 §3 弯曲剪应力 §4 剪应力强度条件 梁的合理截面 §5 非对称截面梁弯曲弯曲中心 §6 考虑塑性的极限弯矩
1
概述
+
-F
Q
Fa
-
M
CD段:只有弯矩没有剪力- 纯弯曲
AC和BD段:既有弯矩又有剪力- 剪切弯曲
2
剪力FS
弯矩M
切应力τ
正应力s
先分析纯弯梁横截面的正应力s ,
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n
F
* N2
m
F F dFs 0
* N2 * N1
1 dA
dA
m
n
dM * dFs F F Sz Iz
* N2 * N1
dM * dFs F F Sz Iz
* N2 * N1
z
y x
3
求纵截面 AB1 上的切应力 ’
dFs 1 dM * Sz b dx bI z dx
B
A
h/2
b
y
m
n
dA bdy
1
Fs S z
*
I
z
b
2 b h 2 * SZ ( y ) 2 4
Fs h 2 τ ( y2 ) 2I z 4
可见 ,切应力沿 截面高度按抛物线规律变化。
Fs h 2 τ ( y2 ) 2I z 4
h y 处,(即在横截面上距中性轴最远处),切应力等于零 2
z
* z
上式为 矩形截面梁 对称弯曲时横截面上任一点处的
切应力计算公式。
Fs S bI
z
* z
A
*
Z
Iz — 整个横截面对中性轴的惯性矩 b— 矩型截面的宽度 Sz* — 过求切应力的点做与中性轴平 行的直线,该线任一边的横截面面积 对中性轴的静矩
y
A
*
y
b
— 其方向与剪力 Fs 的方向一致
τ 0
y = 0 处,( 即在中性轴上各点处) ,切应力达到最大值
max
Fs h 2 Fs h 2 3 Fs 3 Fs 3 bh 8I z 2 bh 2 A 8 12
max
3Fs 2A
式中 , A = b h , 为矩形截面的面积 。 矩形截面切应力沿截面高度的变化如图所示。
n
z y A1
dFs
* FN 1
x
B1 B A
b
m
F
* N2
n
推导公式的步骤
1 2 3 4
y
m
n
dx
* * 分别求出 横截面 mA1和 nB1上正应力的合力 FN1 和 FN 2
由静力平衡方程,求出 dFs。 dFs 除以 AB1 面的面积得纵截面上的切应力 。 由此得到横截面上距中性轴为任意 y 的点上的切应力 。
F1 F2
q(x)
(1)推导公式的思路
1
F1
F2
q(x)
n
m
假想地用横截面 m—m , n—n
从梁中截取 dx 一段 。
两横截面上均有剪力和弯矩。 弯矩产生 正应力, x
m
n
dx
m
n
Fs M+dM
M Fs
剪力产生 切应力。
m
n
m
M Fs
n
Fs M+dM
m
n
y m
n
m
n
正应力()分布图
My Iz
n
y
m
n
dx
m'
AB1 面的 AA1线各点处有切应力。 且各点的切应力相等。
n
z y A1
* FN 1
m'
x m z B1
dFs
n
h B
o
y
m
A
F
* N2
n
x
A1
B1 B A y b m dx
y
m
n
dx
m'
根椐切应力互等定理,在横截面的
横线 AA1 上也应有切应力 。 且横截面的横线AA1上各点的切应力相等。
弯曲切应力
对称弯曲的概念及计算简图
梁的剪力和弯矩 • 剪力图和弯矩图
平面刚架和曲杆的内力图
梁横截面上的正应力 • 梁的正应力强度条件 梁横截面上的切应力 • 梁的切应力强度条件 梁的合理设计
§4-5 梁横截面上的切应力 • 切应力强度条件
一、梁横截面上的切应力 1. 矩形截面梁 图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。
3. 切应力沿截面高度 的变化规律
z y
O x
Fs S bI
z
* z
A1
B1
B
沿截面高度的变化 由静矩 Sz* 与 y 之间的
m1
m
A
n
关系确定。
y
z
S
* z
* A
h 2
y dA
1
y
y bdy
1
y1
y
A1 B1
O
x
1
b h2 2 ( y) 2 4
dy1 m1
M dM F * 2 dA Iz A
* N2
A1
F
* N1
dFs A
B1
B
n
F
* N2
A* 对中性轴
z的
m
1 dA
dA
m
n
S
* Z
* FN 1
M
I
S
* Z
z
y1 y x
Z
M dM F Iz
* N2
S
* Z
A1
F
* N1
2
由静力平衡方程求 dFs
dFs A
B1
z y A1
* FN 1
m'
x m z B1
dFs
n
h B
o
y
m
A
F
* N2
x
A1
B1 B A y b m dx
n
y
m
n
dx
m'
因为微元段 dx 的长度很小,
所以假设切应力在 AB1 面上 均匀分布。
n
z y A1
* FN 1
m'
x m z B1
dFs
n
h B
o
y
m
A
F
* N2
x
A1
B1 B A y m b dx
两横截面上的弯矩不等 。所以两截面上到中性轴距离相等的点
(用 y 表示)其正应力也不等。
2
假想地从梁段上截出体积元素 mB1
m'
m z n
h
o
y A1
x
B1
m'
y
B
A m
n
dx
b
z x z
m'
m n
y
A1
* FN 1
B1 h
o
y
m
A
n
B
F
* A y b m dx
y
m
dx
n
m'
3
体积元素 mB1 在两端面 mA1 , nB1
上两个法向内力不等。
* * FN F 1 N2
n
z x z
m'
m n
y
A1
* FN 1
B1
dFs
h
o
y
m
A
n
B
F
* N2
x
A1
B1 B A y b m dx
y
m
dx
n
m'
4
在纵截面 AB1 上必有沿 x
方向的切向内力 dFs。
n
此面上也就有切应力 ’
(2)公式推导
1
z
求
F*
N1和
F*
N2
y1
y
x
假设 m—m , n—n上的弯矩 为 M 和 M+dM 。 两截面上距中性轴 y1 处的
F
* N1
A1
m
dFs A
B1
B
n
F
* N2
1 dA
dA
m
n
正应力为 1 和 2 。
用 A* 记作 mA1 的面积
* FN 1 * A
z
y1 y x
1dA
dA
M
A1
A* M y1
Iz
y I
z A*
1
dA
F
* N1
dFs A
B1
B
n
F
* N2
m
M * Sz Iz
1 dA
dA
m
n
F
* N1
M * * 1 dA SZ A IZ
y1 y
z
x
A*为横截面距中性轴为 y 的 横线以外部分 mA1 的面积。 Sz*是面积 静矩。 同理
A1
F
* N1
dFs A
B1
B
n
* FN 2
m
Fs S bI
z
* z
b
m
dx
n
Fs S bI
z
* z
z
y x
4
横截面上距中性轴为任意
y 的点,其切应力 的计
算公式。
F
* N1
A1
m
dFs A
B1
B
n
* FN 2
Fs S bI
z
* z
b
m
dx
n
Fs S bI