分子的对称性
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两个C2轴相交，其夹角必定为2π/2n， 在同一平面内必定有n个C2轴，垂直 该平面方向必有一个Cn轴。
2. 两个镜面的组合
两个镜面相交，夹角为2π/2n，其交线必为一个Cn 轴。
3. 偶次旋转轴和σh的组合
4.3 分子的点群
4.3.1 分子的点群的类型： 按分子的对称元素可把分子点群分成五类： C点群：一个主轴； D点群：一个主轴及垂直于主轴的副轴； T点群：4C3 O点群：3C4 I点群：6C5
SF6：
主轴：C4 副轴：C3,C2 对称操作的矩阵表示：
4.1.2 对称中心和反演操作
对称中心 i
4.1.3 镜面（对称面）和反映操作
镜面σ
σv：通过主轴的对称面 σd：通过主轴且平分两个副轴C2的夹角的对称面 σh：垂直主轴的对称面
三种镜面 σv σd 和 σh
4.1.4 反轴和旋转反演操作
反轴In：
In有多少个对称操作： 当n为偶数，且为4的整数倍时，有n个对称操作，
In独立存在，且In与 轴同时存在。 I4： I6：
当n为偶数，且不为4的整数倍时，有n个对称操作。 当n为奇数时，有2n个对称操作。In=Cn+i I3：
4.1.5 映轴（象转轴）和旋转反映操作
映轴Sn： Sn有多少个对称操作： 当n为奇数时，有2n个对称操作。Sn=Cn+σh 当n为偶数，且不为4的整数倍时，有n个对称操 作。 当n为偶数，且为4的整数倍时，有n个对称操作，
分子的对称性
对称的世界
4.1 对称操作和对称元素
1. 对称操作： 不改变分子中任何两原子间的距离而使其成为等价构 型的操作或动作。 2. 对称元素： 对称操作进行时所依据的几何元素。 3. 复原：分子经过某种动作后，所有同类的原子都与 动作前完全重合，无法区分分子构型是动作前还是动 作后。
等价构型：物理上不可区分的构型。 恒等构型：物理上不可区分且化学上不可区分的构 型，是等价构型的特例。
4.2 对称操作群与对称元素的组合
4.2.1 群的定义：
有集合G{A,B,C…}对于所定义的“乘法”满足： ⑴封闭性：A∈G, B∈G, AB=C∈G ⑵结合律：A(BC)=(AB)C≠(AC)B ⑶单位元素： E∈G, X∈G, EX=XE=X ⑷逆元素： A∈G, A-1∈G, AA-1= A-1A =E 群的例子： ①G={0, ±1, ±2, ±3… ±n …} 全体整数对加法运算构成群
4.分子的对称性： 分子的几何构型具有经过不改变分子中任何两个原
子之间距离的动作后而成为等价构型的性质。 分子对称性定义的由来： 对称：物体若干部分对应相等。(静止的对称) 能经过动作后还原的物体。 (动态的对称) 能经过特殊的动作后还原的物体。
对称操作与对称元素之间的关系： 区别：对称操作是一种动作；
1. C点群
⑴ C1, Ci, Cs点群
CH3CH(NH2)COOH (C1点群) C2H2F2Cl2 (Ci点群)
Cs点群(3-溴吡啶、喹啉）
Cn点群
C2点群
C2点群(H2O2、酒石酸 )
C3 (9-H-Phenalene) C4(杯芳烃)点群
Cnv点群
C2V点群 (H2O、HClC=CHCl)
几个对称操作的定义： 能不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原的操作。 （北大） 能使一个图形复原的操作。（南大） 如果对分子图形经过某种操作后，不改变其中任何两点间距 离，仍能得到分子的等价图形，并经过数次操作后使分子图 形完全复原的操作称对称操作。（东北师大） 对称操作是指物体经过某种运动后，物体中的每一点与运动 前的位置、方向完全重合，这种运动就称为一种对称操作。 （厦大）
对称元素是几何元素：点、线、面。 联系：对称元素是通过对称操作表现出来 点对称操作：分子中至少有一点保持不动的操作。
4.1.1 旋转轴和旋转操作
1. 基转角：能够得到等价构型的最小旋转角。
轴次(n)：
wk.baidu.com
C4：
特殊的旋转轴： C∞轴
2. 主轴：一般来说，一个分子中轴次最高的旋转轴。
3. 付轴：除主轴外其余的旋转轴。
Sn独立存在，且Sn与 轴同时存在。
反轴 In 与映轴 Sn 的相互关系
I1 = S2 = i I2 = S1 =σ I3 = S6 = C3+i I4 = S4 I5 = S10 = C5+i I6 = S3 = C3+σ
S1 = I2 = σ S2 = I1 = i S3 = I6 = C3+σ S4 = I4 S5 = I10 = C5+σ S6 = I3 = C3+i
②G{1, i, -1, -i}复数乘法 ③G{立正，左转，右转，后转} ④对称操作群 有限群：群元素的个数为有限个。 群的阶：群元素的数目。 无限群；群元素的个数为无限个。
4.2.2 群的乘法表
C3v E EE E E E E E
NH3：
4.2.3 对称元素的组合
1. 两个旋转轴的组合： 两个交角为2π/2n的C2轴，必有一个Cn轴，n个C2 轴。
S4点群
S6(C3i)点群 1
2. D点群 Dn点群：
D2点群
D3点群 [Co(en)3]3+ 三草酸合铁(III)
Dnh点群
D2h点群 CH2=CH2 对-二氯苯
D3h点群 BF3
环丙烷
D4h点群
(PtCl4)2-
D5h点群 (二茂铁) D6h点群 (苯)
Dnd点群
D2d点群 丙二烯
联苯
1
D3d点群 乙烷交叉式 环己烷(椅式)
环己烷（椅式和船式）
D4d点群 硫8 D∞h点群 乙炔
T, Th, Td点群
CH4(Td)
T点群 C44
Ga4L6
1
Th点群 [Co(NO2)6]3- 六吡啶合铁
C3V (CH3Cl) C4V (杯芳烃)点群 1
(C5F5)Fe(C5H5) (C5V) HC2Cl(C∞V)
1
Cnh点群
C2h点群 对-二氯乙烯 1,4-二氯-2,5-二溴苯
C3h点群 1,3,5-苯三酚
Sn和Cni点群
只包含一个反轴（或映轴）的分子
S1 = I2 = σ = Cs S2 = I1 = i = Ci S3 = I6 = C3+σ = C3h S4 = I4 S5 = I10 = C5+σ = C5h S6 = I3 = C3+i
2. 两个镜面的组合
两个镜面相交，夹角为2π/2n，其交线必为一个Cn 轴。
3. 偶次旋转轴和σh的组合
4.3 分子的点群
4.3.1 分子的点群的类型： 按分子的对称元素可把分子点群分成五类： C点群：一个主轴； D点群：一个主轴及垂直于主轴的副轴； T点群：4C3 O点群：3C4 I点群：6C5
SF6：
主轴：C4 副轴：C3,C2 对称操作的矩阵表示：
4.1.2 对称中心和反演操作
对称中心 i
4.1.3 镜面（对称面）和反映操作
镜面σ
σv：通过主轴的对称面 σd：通过主轴且平分两个副轴C2的夹角的对称面 σh：垂直主轴的对称面
三种镜面 σv σd 和 σh
4.1.4 反轴和旋转反演操作
反轴In：
In有多少个对称操作： 当n为偶数，且为4的整数倍时，有n个对称操作，
In独立存在，且In与 轴同时存在。 I4： I6：
当n为偶数，且不为4的整数倍时，有n个对称操作。 当n为奇数时，有2n个对称操作。In=Cn+i I3：
4.1.5 映轴（象转轴）和旋转反映操作
映轴Sn： Sn有多少个对称操作： 当n为奇数时，有2n个对称操作。Sn=Cn+σh 当n为偶数，且不为4的整数倍时，有n个对称操 作。 当n为偶数，且为4的整数倍时，有n个对称操作，
分子的对称性
对称的世界
4.1 对称操作和对称元素
1. 对称操作： 不改变分子中任何两原子间的距离而使其成为等价构 型的操作或动作。 2. 对称元素： 对称操作进行时所依据的几何元素。 3. 复原：分子经过某种动作后，所有同类的原子都与 动作前完全重合，无法区分分子构型是动作前还是动 作后。
等价构型：物理上不可区分的构型。 恒等构型：物理上不可区分且化学上不可区分的构 型，是等价构型的特例。
4.2 对称操作群与对称元素的组合
4.2.1 群的定义：
有集合G{A,B,C…}对于所定义的“乘法”满足： ⑴封闭性：A∈G, B∈G, AB=C∈G ⑵结合律：A(BC)=(AB)C≠(AC)B ⑶单位元素： E∈G, X∈G, EX=XE=X ⑷逆元素： A∈G, A-1∈G, AA-1= A-1A =E 群的例子： ①G={0, ±1, ±2, ±3… ±n …} 全体整数对加法运算构成群
4.分子的对称性： 分子的几何构型具有经过不改变分子中任何两个原
子之间距离的动作后而成为等价构型的性质。 分子对称性定义的由来： 对称：物体若干部分对应相等。(静止的对称) 能经过动作后还原的物体。 (动态的对称) 能经过特殊的动作后还原的物体。
对称操作与对称元素之间的关系： 区别：对称操作是一种动作；
1. C点群
⑴ C1, Ci, Cs点群
CH3CH(NH2)COOH (C1点群) C2H2F2Cl2 (Ci点群)
Cs点群(3-溴吡啶、喹啉）
Cn点群
C2点群
C2点群(H2O2、酒石酸 )
C3 (9-H-Phenalene) C4(杯芳烃)点群
Cnv点群
C2V点群 (H2O、HClC=CHCl)
几个对称操作的定义： 能不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原的操作。 （北大） 能使一个图形复原的操作。（南大） 如果对分子图形经过某种操作后，不改变其中任何两点间距 离，仍能得到分子的等价图形，并经过数次操作后使分子图 形完全复原的操作称对称操作。（东北师大） 对称操作是指物体经过某种运动后，物体中的每一点与运动 前的位置、方向完全重合，这种运动就称为一种对称操作。 （厦大）
对称元素是几何元素：点、线、面。 联系：对称元素是通过对称操作表现出来 点对称操作：分子中至少有一点保持不动的操作。
4.1.1 旋转轴和旋转操作
1. 基转角：能够得到等价构型的最小旋转角。
轴次(n)：
wk.baidu.com
C4：
特殊的旋转轴： C∞轴
2. 主轴：一般来说，一个分子中轴次最高的旋转轴。
3. 付轴：除主轴外其余的旋转轴。
Sn独立存在，且Sn与 轴同时存在。
反轴 In 与映轴 Sn 的相互关系
I1 = S2 = i I2 = S1 =σ I3 = S6 = C3+i I4 = S4 I5 = S10 = C5+i I6 = S3 = C3+σ
S1 = I2 = σ S2 = I1 = i S3 = I6 = C3+σ S4 = I4 S5 = I10 = C5+σ S6 = I3 = C3+i
②G{1, i, -1, -i}复数乘法 ③G{立正，左转，右转，后转} ④对称操作群 有限群：群元素的个数为有限个。 群的阶：群元素的数目。 无限群；群元素的个数为无限个。
4.2.2 群的乘法表
C3v E EE E E E E E
NH3：
4.2.3 对称元素的组合
1. 两个旋转轴的组合： 两个交角为2π/2n的C2轴，必有一个Cn轴，n个C2 轴。
S4点群
S6(C3i)点群 1
2. D点群 Dn点群：
D2点群
D3点群 [Co(en)3]3+ 三草酸合铁(III)
Dnh点群
D2h点群 CH2=CH2 对-二氯苯
D3h点群 BF3
环丙烷
D4h点群
(PtCl4)2-
D5h点群 (二茂铁) D6h点群 (苯)
Dnd点群
D2d点群 丙二烯
联苯
1
D3d点群 乙烷交叉式 环己烷(椅式)
环己烷（椅式和船式）
D4d点群 硫8 D∞h点群 乙炔
T, Th, Td点群
CH4(Td)
T点群 C44
Ga4L6
1
Th点群 [Co(NO2)6]3- 六吡啶合铁
C3V (CH3Cl) C4V (杯芳烃)点群 1
(C5F5)Fe(C5H5) (C5V) HC2Cl(C∞V)
1
Cnh点群
C2h点群 对-二氯乙烯 1,4-二氯-2,5-二溴苯
C3h点群 1,3,5-苯三酚
Sn和Cni点群
只包含一个反轴（或映轴）的分子
S1 = I2 = σ = Cs S2 = I1 = i = Ci S3 = I6 = C3+σ = C3h S4 = I4 S5 = I10 = C5+σ = C5h S6 = I3 = C3+i