参数方程的概念 圆的参数方程

φ由tan
φ＝－83确定所以－
73≤2x－y≤
73.
所以2x－y的取值范围是[－ 73， 73]．
【答案】 A
2．曲线xy＝＝1t－＋1t2 与x轴交点的直角坐标是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,0)
D．(±2,0)
【解析】 设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋ t2，得x＝2，
∴曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0)． 【答案】 C
3．参数方程x＝t＋1t (t为参数)表示的曲线是( ) y＝2
x＝ft， 变数t的函数 y＝gt ①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的 参数方程 ，联系变 数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐 标间关系的方程叫做 普通方程 ．
方程xy＝＝1si＋n 2siθn θ (θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )
得
－3＝1＋2t， 4＝at2，
消去参数t，得a＝1.
(2)由上述可得，曲线C的参数方程是xy＝＝1t2＋，2t，
把点P的坐标(1,0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标
(3，－1)代入方程组，得到－31＝＝1t＋2，2t， 这个方程组无解，因此点Q不在曲线C
上．
点与曲线的位置关系： 满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种： 点在曲线上、点不在曲线上． (1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1， y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上， 则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.
(2)对于曲线C的参数方程
x＝ft y＝gt
(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则
x1＝ft y1＝gt
对应的参数t有解，否则参数t不存在．
[再练一题]
1．已知曲线C的参数方程为yx＝＝32scions
θ θ
(θ为参数，0≤θ<2π)．
判断点A(2,0)，B －
3，32 是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参
又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B－ 3，32在曲线C上，对应θ＝56π.
求曲线的参数方程
已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动， 顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程．
【思路探究】 先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数 即可．
A．两条直线
B．一条射线
C．两条射线
D．双曲线
【解析】
当t>0时
x≥2， y＝2，
是一条射线；当t<0时，
x≤－2， y＝2，
也是一条
射线，故选C. 【答案】 C
x＝t＋1 4．已知 y＝t2 (t 为参数)，若 y＝1，则 x＝________. 【解析】 当y＝1时，t2＝1，∴t＝±1， 当t＝1时，x＝2；当t＝－1时，x＝0. ∴x的值为2或0.
探究2 如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x，y)，那么θ＝ωt.设 |OM|＝r，如何用r和θ表示x，y呢？
【提示】 由三角函数定义，有
cos ωt＝xr，sin ωt＝yr，
即xy＝＝rrcsionsωωtt.， (t为参数) 考虑到θ＝ωt，也可以取θ为参数，于是有
x＝rcos θ， y＝rsin θ.
1．引入参数，把圆的普通方程化为参数方程yx＝＝44scions
θ， θ，
，其实质就是
三角换元，利用了三角恒等式sin2 θ＋cos2 θ＝1.
2．圆的参数方程
x＝x0＋rcos y＝y0＋rsin
θ θ
(θ为参数)表示圆心为(x0，y0)，半径为r的
圆．
[再练一题] 3．已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立， 求实数a的取值范围．
数的值．
【解】 把点A(2,0)的坐标代入yx＝＝32scionsθθ，， 得cos θ＝1且sin θ＝0， 由于0≤θ<2π，解之得θ＝0， 因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0.
同理，把B－
3，32代入参数方程，得
－ 3＝2cos θ， 32＝3sin θ，
cos ∴
θ＝－
23，
sin θ＝12.
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(2,0)
【解析】 圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4， 故圆心坐标为(2,0)．
【答案】 D
参数方程的概念
[小组合作型]
已知曲线C的参数方程是
x＝1＋2t y＝at2
(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)
在曲线C上．
(1)求常数a的值；
(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上？
即xy＝＝aaccooss
θ＋asin θ
θ，
θ为参数，0≤θ≤π2为所求．
[探究共研型]
圆的参数方程
探究1 当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(图 2-1-2)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？
图2-1-2
【提示】 如图，设圆O的半径是r，点M从初始位 置M0(t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速 圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω.以圆心O为原 点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系．显然，点 M的位置由时刻t惟一确定，因此可以取t为参数．
【答案】 2或0
5．在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－8xcos θ－6ysin θ＋7cos2)，求2x－y的取值范围．
【解】
由题设得yx＝＝34scions
θ， θ，
(θ为参数，θ∈R)．
于是2x－y＝8cos θ－3sin θ＝ 73sin(θ＋φ)，
阶
阶
段
段
一
三
一 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念 圆的参数方程 学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解曲线的参数方程的概念与特点． 2．理解圆的参数方程的形式和特点．(重点) 3．运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题．(难点、易错点)
[基础·初探] 教材整理1 参数方程的概念 阅读教材P21～P23“圆的参数方程”以上部分，完成下列问题． 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个
[构建·体系]
— 参数方程的概念
曲线的参数方程——
圆的参数方程
— ——
求曲线的参数方程 最大值、最小值问题
1．下列方程：(1)
x＝m， y＝m.
(m为参数)(2)
x＝m， y＝n.
(m，n为参
数)(3)yx＝＝21.， (4)x＋y＝0中，参数方程的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由参数方程的概念知xy＝＝mm 是参数方程，故选A.
x＝r·cos θ 过的角度是θ，则y＝r·sin θ (θ为参数)，这就是圆心在原点， 半径为r的圆的参数方程．
图2-1-1
2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程：
普通方程
参数方程
(x－a)2＋(y －b)2＝r2
x＝ a＋rcos θ y＝ b＋rsin θ
(θ为参数)
圆的参数方程为：yx＝＝22s＋in2θcos θ (θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )
【解】 由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上， ∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ， 因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝43确定) ∴4x＋3y的最大值为1. 若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max， 故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
A．(1,1)
B.32，12
C.32，
3 2
D.2＋2 3，－12
【解析】 将点的坐标代入方程：xy＝＝1si＋n 2siθn θ ，解θ的值．若有解，则该
点在曲线上．
【答案】 C
教材整理2 圆的参数方程 阅读教材P23～P24“思考”及以上部分，完成下列问题． 1．如图2-1-1，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0(t＝0时的位置)出发， 按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M(x，y)，点M转
[再练一题] 2．若本例中的等边三角形变为等腰直角三角形，AC为斜边，腰为a，其余 条件不变，如何求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程？
【解】 如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段 CM，垂足为M.
则∠CBM＝π2－θ，
∴yx＝＝aascionsπ2θ－＋θac，osπ2－θ，
(θ为参数)
如图 2­1­3，已知点 P 是圆 x2＋y2＝16 上的一个动点，定点 A(12,0)， 当点 P 在圆上运动时，求线段 PA 的中点 M 的轨迹.
图 2­1­3 【思路探究】 引入参数 → 化为参数方程 → 设动点Mx，y 代―入―→法 求动点的参数方程 → 确定轨迹
【自主解答】 设动点M(x，y)，
【自主解答】 如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂
线段CM，垂足为M. 则∠CBM＝23π－θ，
∴yx＝＝aascions23θπ＋－aθco，s23π－θ，
即yx＝＝aassiinnθθ＋＋π6π3，
θ为参数，0≤θ≤π2为所求．
求曲线的参数方程的方法步骤： (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标； (2)写出适合条件的点M的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省 略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那 些特殊的点)．