市北资优六年级分册 第01章 1.5 公倍数与最小公倍数+刘成林

1.5 公倍数与最小公倍数

思考

在上海火车站，地铁1号线每隔三分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？

分析 问题转化为求3和4的最小公倍数．

3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，14，27，……

4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，……

3和4的倍数有：12，24，……，其中最小的是12．

如果a 1，a 2，…，a n 和m 都是正整数，且1a m ，2a m ，…，n a m ，那么m 叫做a 1，a 2，…，a n 的公倍数．公倍数中最小的数叫做a 1，a 2，…，a n 的最小公倍数，记作[a 1，a 2，…，a n ] ．如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4，8，12]=24．

例1 求18和30的最小公倍数．

解 方法一：18的倍数有18，36，54，72，90，…

30的倍数有30，60，90，120，150，…

所以18和30的最小公倍数为90．

方法二：把18和30分解质因数

18233=⨯⨯ 30235=⨯⨯

只要取出所有公有的质因数（1个2和1个3），再取各自剩余的质因数（3和5），将这些数连乘，所得的积90是它们的最小公因数．

方法三：用短除法来计算

∴ 18和30的最小公倍数为233590⨯⨯⨯=．

例2 求18和30的最小公倍数．

解

∴ 18和30的最小公倍数为223560⨯⨯⨯= ．

，，，5

315

9301832

1，2，1

1，6，3

2，12，310，12，155

32

练习1.5

1．求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．

2．用分解质因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．

3．张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知的最小公倍数是60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？

练习1.5答案

1．180；83 160

2．6；360

3．4或20．提示：4是x 的约数，60是x 的整数倍，因此x 只可能是4，12，20，60．显然60x ≠．因为4是y 的因数，3是y 的因数，因此y 是12的整数倍，因此12x ≠．由此4x =或20．

1.5 《公倍数与最小公倍数》练习

练习1.5

1．15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）

A ．1

B ．3

C ．5

D ．15

2．在1427=⨯中，2和7都是14的（ ）

A ．素数

B ．倍数

C ．素因数

3．有一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）

A ．6

B ．12

C ．24

D ．144

4．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，这筐苹果最少应有（ ）

A ．120个

B ．90个

C ．60个

D ．30个

5．甲、乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，已知甲数是18，那么乙数应是（ ）

A ．16

B ．82

C ．48

D ．64

6．幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友．按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友．

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

7．下面算式中，被除数能被除数整除的有（ ）

A ．265 5.2÷=

B ．3575÷=

C ．0.90.33÷=

8．自然数中，所有17的倍数（ ）

A ．都是偶数

B ．有偶数有奇数

C ．都是奇数

9．有一个素数，是由两个数字组成的两位数，两个数字之和是8，两个数字之差是2，那么这个素数是几？

10．一块砖底面长22厘米，宽10厘米，要铺成一个正方形地面（不要折断，只能铺整砖）至少要多少块砖？

11．三个连续奇数的和是15，这三个奇数的最小公倍数是多少？

12．从运动场的一端到另一端全长10米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？

13．在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

1.5《公倍数与最小公倍数》练习答案

1．D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．B

9．53 提示：这两个数字中较大的为5，较小的为3，所以这个素数是53．

÷=，10．55块提示：22与10的最小公倍数为110，即正方形的边长最小为110厘米．又110225

⨯=（块）．

1101011

÷=，因此至少要51155

⨯⨯=．11．105 提示：由题意知，中间这个奇数为5，则这三个数为3，5，7，它们的最小公倍数为357105

÷+= 12．6面提示：4与5的最小公倍数是20，即每隔20米有一面小红旗不用移动，因此共有1002016（面）小红旗不用移动．

13．28段提示：10、12、15的最小公倍数是60，不妨设木棍的长度为60，若十等分，则每段长度为

++=（条）刻度线．因6；若十二等分，则每段长度为5；若十五等分，则每段长度为4．木棍上有9111434

÷-=（条）；因为5与4的为6与5的最小公倍数为30，因此十等分与十二等分重复的刻度线有603011

÷-=（条）．以上重复的刻度线之间最小公倍数为20，因此十二等分与十五等分重复的刻度线有602012

---=（条），即木棍总共被锯成28段．

并不重复，因此刻度线共有3414227