几何五大模型精讲-第1讲-等积变换与共角定理
五大模型——三角形等积变形、共角模型
xueersi学而思网校小升初几何重点考查内容萤内容拱黑一，岛头模型（共角模型）两个三角形中有一小南相等或互补，这西小三房形叫械挂角王角形花角三角形的面枳比等于对成角（相等角或互补制三、三角夥的等秋霓形直知8平有于CD ,可加£」皿=£路两个三庵形高相等，面积比等于它们的底之比两个三用形底相尊*面积比等于它们的商之比&L 皿* &皿1 = BD；CD（★★★）已知三角形DEF的面积为18, AD : BD = 2 : 3, AE : CE= 1 : 2, BF : CF = 3 : 2,则三角形ABC的面积为？伽(…)如图，已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD = AB;延长BC至E,使CE = 2BC;延长CA至F,使AF = 3AC，求三角形DEF的面积。
^9(★★★ ★)如图将四边形ABCD四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H,若四边形ABCD的面积为5cm2,贝U四边形EFGH的面积是多少？例4工―(★★★)图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍。
那么三角形AEF的面积是多少平方厘米(★★★★)如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成。
求阴影部分的面积。
4. ★★★★如图， 角形AEF 的面积是18平方厘米，三角形 ABC 的面积是（）平方厘米?C. 725. ★★图中的E 、F 、G 分别是正方形 ABC D 三条边的三等分点， 如果正方形的边长是 12, 那么阴影部分的面积是（）A . 50B . 48 C. 56 D . 45羌I 赛班 ABC 的BA 边延长1倍到D, CB 的边延长2倍到E, AC 边延 :ABC 的面积等于1 ,那么三角形DEF 的面积是多少？ B . 8 C. 3. ★★★★★如图, ABCD 的面积是 A . 130 把四边形 ABCD 的各边都延长 6,则EFGH 的面积是（）？ B. 145 C. 160D 是BC 的中点，AD 的长是 AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍.。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数几何篇 五大模型——等积变换和共角定理(附答案)
等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。
例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。
几何的五大模型
几何的五大模型一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型解析： 因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于10×8÷2+10=50厘米2 。
解析：利用燕尾定理，连接FC ，BFD 面积 /BFC 面积=DE/EC=1/2，如果BFD 面积为1份的话，BFC 为2份；又DF=FG ，所以BFG 面积与BFD 面积相等也是1份，故FGC 面积是2-1=1份，那么BG=GC ；再利用燕尾定理，DFC 的面积与DFB 相等也是1份，BDC 的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2.5 EF=（=。
所以阴影部分如图，长方形ABCD 的面积是12，CE = 2DE ，F 是DG 的中点，那么图中阴影部分面积是________。
中，与平行，，、分别是的中点，已知阴影四边形则梯形在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。
小学数学知识图形五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
中考数学几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△；反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点（如图1）或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上（如图2），则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”）①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +.四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方.五、燕尾定理模型S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB典型例题精讲例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0。
1数学几何五大模型
数 学 几 何 五 大 模 型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S 1S 2S ab图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：（1） 1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯（2）()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)（1）2213::S S a b =（2）221324::::::S S S S a b ab ab =；（3）梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型（1）AD AE DE AFAB AC BC AG===； （2）22::ADE ABCS S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何的五大模型
利用燕尾定理，连接FC，BFD面积/BFC面积=DE/EC=1/2，如果BFD面积为1份的话，BFC为2份；又DF=FG，所以BFG面积与BFD面积相等也是1份，故FGC面积是2-1=1份，那么BG=GC；再利用燕尾定理，DFC的面积与DFB相等也是1份，BDC的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2关系是一样的。）
四、相似三角形模型
相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
解析：
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50厘米2。
几何的五大模型
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
显然，最大的三角形的面积为21公顷．
解析：
如图所示，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，则EF= （a+2a）= ，所以，
。所以
阴影部分
= 即 ，梯形 ABCD的面积=
如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学数学知识图形五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五大模型——三角形等积变形、共角模型
小升初几何重点考查内容一.鸟头模型（共角摸型）两个三角形中有1*角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共南三轴形的面积比等于对应角（相等角或互补站）两夹边的義积之比屈Sj ABC-亀宓=（X AO* （AD X J4£）二、三角形的等积变形直纷也平行于CD ,可知两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比两个三角形底相寻，面积比等于它们的高之比盼見口 = BDYD(★★★)已知三角形DEF的面积为18, AD : BD = 2 : 3, AE : CE= 1 : 2, BF : CF = 3 : 2,则三角形ABC的面积为？H例运(★★★)如图，已知三角形 ABC 面积为1,延长AB 至D ，使BD = AB ;延长BC 至E ,使CE = 2BC ; 延长CA 至F ，使AF = 3AC ，求三角形 DEF 的面积。
心(★★★★)如图将四边形 ABCD 四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点 E 、F 、G 、H ，若四边形2ABCD 的面积为5cm ，则四边形EFGH 的面积是多少？图中三角形 ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的 长是BF 长的3倍。
那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米(★★★★)如图，大长方形由面积是 12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小 长方形组合而成。
求阴影部分的面积。
(★★★)RDCFEAD B(★★★★★)在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
111 1. ★★★★ 设AD =-AB, BE = - BC, FC =-AC,如果三角形 DEF 的面积为19平方厘米， 3 4 5那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米？D . 46.5（2009年“学而思杯”六年级）如图BC = 45 , AC = 21 , △ ABC 被分成9个面积相等的小三角形，那么 DI + FK= 1.共南的含义（3种形式）2+共爾面殺比等于两夷边的乘积比3+加辅助线构造共角三會彫4*三角形等积变形（由边的比得到面积的比）乩加辅助线构造等叔变形（通常为平行线〉A . 46.7B . 45.3C . 45.6 話故知新2 2 13 105132. ★★★如下图，将三角形 ABC 的BA 边延长1倍到D , CB 的边延长2倍到E , AC 边延D5. ★★图中的E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 , 那么阴影部分的面积是（）A . 50B . 48C . 56D . 456. ★★★如图，ABC -1 , BC =5BD , FGS 的面积是（）。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。
小学数学知识图形五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何五大模型(完整资料).doc
1此文档下载后即可编辑一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::SS a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCDS S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；五大模型 1S 2S2⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABCADES S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::SS S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +。
4四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AE DEAF ABACBCAG===；②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何五大模型精讲-第1讲-等积变换与共角定理
第1讲 等积变换与共角定理我们的目标掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型 学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图12::S S a b = （3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；baS 2S 1DC BA共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如下两图EDCBAEDCB A:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△【例1】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？ AB EC DDC EB A【例2】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【例3】（清华附入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于 ．EC A OBD FMN【例4】E 、M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点，且DQ 、CP 、ME 彼此平行，若5AD =，7BC =，5AE =，3EB =．求阴影部分的面积．Q PMA B CE DQ PMA B CED【例5】(北京四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【例6】(2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 ．H GABCDEFMN HGABCDEF【例7】已知正方形的边长为10，3EC =，2BF =，则ABCD S =四边形 ．FE DC BANMA B CDEF【例8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【例9】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC△的面积．FED CBA作业题1、如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABCDZ Y2、(第四届希望杯)如图，点D 、E 、F 在线段CG 上，已知2CD =厘米，8DE =厘米，20EF =厘米，4FG =厘米，AB 将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形ADG 的面积是多少平方厘米？ABCD EFGGFED CBA3、如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4cm2cm4、如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CBA5、如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF6、如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA7、 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．HGF EDCBA8、如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB A答 案【例1】AB EC DDC EB A连接CE ，有3AE AB = 所以2BE AB =2BCEACBSS=又因为2BD BC = 所以244BDEBCE ABCS SS===【例2】FE DCBAADC ∆的面积是ABC ∆面积的一半，即24212÷=，ADE ∆又是ADC ∆面积的一半，即1226÷=．FED ∆的面积是AED ∆面积的一半，所以FED ∆的面积623=÷=．【例3】ECAOBD FMN因为::4:1OED DEF OD DF S S ∆∆== 所以14DF OD =1133444DCF OCD S S ∆∆==⨯=【例4】Q PMA B CE DQ PMA B CE D连接CE 、DE ．DQ 、CP 、ME 彼此平行，所以CDQP 是梯形，且ME 与该梯形的两个底平行，所以三角形QME 与DEM 、三角形PME 与CEM 的面积分别相等，所以PQM 的面积与CDE 的面积相等．由于ABCD 为直角梯形，且5AD =，7BC =，5AE =，3EB =，所以三角形CDE 的面积的面积为：()()1115753553725222+⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=．即 三角形PQM 的面积为25． 【例5】ABC DE FG连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=； 所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=， 2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例6】MNH G ABCDEF如图所示，设AD 上的两个点分别为M 、N ．连接CN ． 根据三角形面积比例模型，CMF ∆与CNF ∆面积相等，那么CMF ∆与BNF ∆面积和=CNF ∆与BNF ∆面积和，即等于BCN ∆的面积． 而BCN ∆的面积为正方形ABCD 面积的一半，为2110502⨯=．CMF ∆与BNF ∆的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形EFGH 的面积，所以阴影部分的面积为：505240-⨯=．【例7】NMA B CDEF如图，作BM AE ⊥于M ，CN BM ⊥于N ．则四边形ABCD 分为4个直角三角形和中间的一个长方形， 其中的4个直角三角形分别与四边形ABCD 周围的4个三角形相等， 所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为326⨯=， 所以10103232532ABCD S ⨯-⨯=+⨯=四边形．【例8】HGAB CD EF连接AC 、BD ．根据共角定理在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又因为1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△． 所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例9】FED CBA:():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米， 所以24ABC S =△平方厘米作业题答案1、 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCYDCBS S =，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCYDCBABCDSS S ==⨯= (平方厘米)．2、ABCD EFGGFED CBA连接AF 设AFG △的面积是x ,由于2048512FE FG ED ==∶∶∶∶∶∶所以AFE △的面积是5x 、AED △的面积是2x 由于上半部分的面积是166平方厘米所以FEB △的面积是(16651666x x x --=-)平方厘米，因为下半部分的面积是67平方厘米所以EBC △的面积是(672x -)平方厘米，因为FE 是EC 的2倍所以可以列方程为：16662x -=(672x -)解得16x =，ADG △的面积为528816128x x x x ++==⨯=平方厘米.3、QP N MHGF EA BCD如图所示，分别过阴影四边形EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ ，易知长方形MNPQ 的面积为428⨯=平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于AENH 、BFME 、CGQF 、DHPG 四个长方形的面积之和，等于正方形ABCD 的面积加上长方形MNPQ 的面积，为12128152⨯+=平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为152276÷=平方厘米，那么阴影四边形EFGH 的面积为1447668-=平方厘米．4、ABCD EFGH连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△ 同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米5、A BCDEF∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△6、SGF E DCBA本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．7、A BCDEF GH连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍． 三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．8、A BCDEF(法1)本题是性质的反复使用． 连接AE 、CD ．∵11ABC DBCS S=，1ABCS =，∴S1DBC=．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCES AC BC SFC CE ⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDE S=． 所以186318DEFABCFCEADFBDESS S SS=+++=+++=．。