最优化理论与算法：灵敏度分析概述
2-4灵敏度分析
20
仍然来看上例的最优表格：
Cj
b xj
2 x1 1 1 2 1 0 0
3 x2 1 4 3 0 1 0
3 x3 1 7 3 -1 2 -1
0 0 j x4 x5 1 0 3/1 0 1 9/1 0 0 4/3 -1/3 B-1 -1/3 1/3 -5/3 -1/3
N =（-1，-5/3，-1/3）
N 0为原始单纯形表寻优的最优性条件（正则性
10
例：c3发生变化时，
3 =c3-z3=c3-[2×(-1)+3×2]=c3-4≤0，
令
得c3≤4。即当c3≤4时，最优解不变； 否则 3 >0,可使用原始单纯形法继续迭代求出新 的最优解。
例2 已知某LP问题的最优单纯表如下： 若C`1=5，则C`1>C1+C1=17/4， 最优解发生变化，重新用单纯形 法求解。 要保持原最优解， C3的变化范围为 C311/4
用表格单纯形法求解如下：
6
CB XB 0 0 2 0 2 3 X4 X5 -Z X1 X5 -Z X1 X2 -Z
Cj
b xj
3 9 0 3 6 -6 1 2 -8
2 x1 1 1 2 1 0 0 1 0 0
3 3 0 0 x2 x3 x4 x5 1 1 1 0 4 7 0 1 3 1 3 1 0 1 3 1 6 1 0 1 -1 -2 0 0 1 0
第3章 灵敏度分析
管
理
运
筹
学
管 理 运 筹 学
13
使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
管 理 运 筹 学
4
敏感性报告
• 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法 进行分析，例如可用数学公式计算目标函数 的系数或约束条件右边变化对最优解与目标 值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运 用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。
管
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运
筹
学
5
• 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格 A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影 响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束 条件右边变化对目标值的影响。见下图1
• 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其 他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许 变化范围。
管
理
运
筹
学
8
• 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其 中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址， 名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左 边的终值。 • 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1 使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们 在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20， $B$21，其终值分别为1300，350和1600。 • 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 • 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通 常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件 右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的 供应量，它们分别是1800，350，1600。 • 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它 们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内 变化时，影子价格不变。
灵敏度分析名词解释
灵敏度分析名词解释
灵敏度分析是企业或组织的常用调查分析方式，用于判断响应选择和反应情况，识别外部和内部环境变化。
灵敏度分析也称为灵敏度测试或灵敏度评估，是某种现象和外来因素之间关系的检测。
社会及经济发展的快速增长促使企业接受不断变化的环境，企业向顾客提供产
品和服务，需要持续修改和评估其产品和服务的灵敏度。
灵敏度分析旨在发现企业是否响应足够快来适应市场的变化，并且能够在变化的市场上胜出。
灵敏度分析是对影响变量和反应量之间响应关系的量化分析，它有助于企业识
别和捕捉可能影响企业绩效的众多因素。
例如，灵敏度分析可以帮助企业判断客户对定价的反应，预测价格变动对销量的影响，以及识别新产品加入市场时的客户需求。
灵敏度分析具有系统的分析和评估市场变化的能力，使企业能够提供高品质的产品和服务，保持市场领先地位。
灵敏度分析是企业必不可少的管理工具。
它有助于企业了解市场的需求，及时
适应市场变化，控制预算和避免投资失误。
它还可以帮助企业制定正确的策略，以确保企业目标的实现，保证企业顺利前行。
灵敏度分析
2 1 b1 2b1 20 B b' 1 1 20 b 20 0 1 解之得：10≤b1≤20
1
即当10≤b1≤20时，最优基不变
分析使最优基保持不变的b2的范围:
2 112 24 b2 B b' 1 1 b 12 b 0 2 2
三、灵敏度分析的内容
价值系数cj的变化的分析 约束条件右端项bi变化的分析 系数矩阵A变化的分析
系数列向量Pk变化的分析
增加新约束条件的分析
增加新变量的分析
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 利润 （元/kg） A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
x1 x1 x2 f 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 B-1b 24 -2
22 b 20
3 -104
最优单纯形表
x1 x4 -f
x1 1 0 0
x2 2 -1 -2
x3 2 -1 -4
x4 0 1 0
x5 B-1b 1 20 -1 2 -5 -100
x1 x2 -f
经迭代，得到最优单纯形表如下：
x1 1 0 -1 x2 0 1 0 x3 1 0 0 x4 2 -1 -4 x5 -1 1 -2 B-1b 4 8 -88
x3 x2 -f
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
k ' Ck CB B1Pk '
2.灵敏度分析1
8
b + β1r ∆br 1 ⋮ = B−1b + βr ∆br = bi + βir ∆br ≥ 0 ⋮ bm + βm ∆br r
bi 即， + βir∆br ≥ 0
则， ir∆br ≥ −bi (i = 1,2,⋯, m) β
不 组得： ： 解 等式 组得
σ
12
解：
B−1
2 15 1 = − 15 4 − 15
T 1
1 15 8 15 13 − 15 −
0 0 1
β
2 1 4 ,− ,− ) =( 15 15 15
β
T 2
1 8 13 , ,− ) = (− 15 15 15
β
T 3
= (0,0,1)
= B−1(b + λb* ) λ = B−1b + B−1 − λ
λ 3 = 1 + − 1 − 1 − λ 2 1
= 1 + 4λ ≥ 0 2 − 2λ 1 所以， 所以， ≤ λ ≤ 1 − 4
(1) 非基变量目标函数系数 的改变 (2) 基变量目标函数系数的 改变
17
(1) 非基变量目标函数系数 的改变
系数 c 若非基变量的目标函数 c j变为 j = c j + ∆c j x σ' 则， j的检验数 j
'
σ j = c j − CBB−1Pj = c j + ∆c j − CBB−1Pj = σ j + ∆c j 若 讨论： 讨论： σ ′j > 0 ⇒ ∆c j > −σ j 原最优解改变
灵敏度分析
灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。
目录线性规划中灵敏度分析对于线性规划问题：这里max表示求极大值，s.t.表示受约束于，X是目标函数,xj是决策变量。
通常假定aij，bi和c j都是已知常数。
但是实际上这些参数往往是一些根据估计或预测得到的数据，因而存在误差。
同时，在实际过程中，这些参数还会发生不同程度的变化。
例如，在处理产品搭配的线性规划问题中，目标函数中的c j一般同市场条件等因素有关。
当市场条件等因素发生变化时，c j也会随之而变化。
约束条件中的aij随工艺条件等因素的变化而改变，bi的值则同企业的能力等因素有关。
线性规划中灵敏度分析所要解决的问题是：当这些数据中的一个或几个发生变化时，最优解将会发生怎样的变化。
或者说，当这些数据在一个多大的范围内变化时最优解将不发生变化。
编辑本段灵敏度的应用投入产出法中灵敏度分析可以用来研究采取某一项重大经济政策后将会对国民经济的各个部门产生怎样的影响。
例如，美国政府曾经利用投入产出表研究了提高职工工资10％对国民经济各部门商品价格的影响。
研究的结果表明，在职工工资增加10％时，建筑业产品的价格将上涨7％，农产品的价格将上涨1.3％，其余各部门产品价格将上涨1.3～7％不等,生活费用将上升3.8％，职工的实际得益为6.2％。
方案评价中灵敏度分析可以用来确定评价条件发生变化时备选方案的价值是否会发生变化或变化多少。
例如，在利用评价表进行评价时，需要确定每一个分目标的权重系数和各分目标的评分数。
这中间或多或少地会存在当事人的主观意识，不同的人可能会有截然不同的价值观念。
因此就必须考虑当分配的权重系数或评分数在某一个范围内变化时，评价的结果将会产生怎样的变化。
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
灵敏度分析
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
第3章 灵敏度分析
管
理
运
筹
学
1
• 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 • 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦， 它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改 变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利 润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、 又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线 变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则 该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这 时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。 • 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范 围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变 化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发 生变化。
管 理 运 筹 学
3
灵敏度分析的主要内容
• 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数 的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交 点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标 函数中的系数变化对最优解与目标值的影响 以及目标函数中的系数改变多少，方可使最 优解发生变化。 • 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条 件的直线将平行移动，可性域发生变化，最 优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度 分析是研究约束条件右边变化时对目标值或 最优解的影响状况。
管 理 运 筹 学
9
• 例如本题中，第一个约束条件右边的值 为1800，允许的增量为1E30，允许的 减量为500，因此该约束条件右边在 [1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内 变化时，原材料1的影子价格不变。 • 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是 指其他条件不变，仅在该决策变量变化 时的允许变化范围。
灵敏度分析
≥0 <0
可行解 可行解 非可行解
单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解
非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 引进人工变量， 新计算 第15页 页
灵敏度分析的主要内容
max z = ∑c j x j
s.t.
n
1. 分析 cj 的变化 2. 分析 bi 的变化
≥0 <0
可行解 可行解 非可行解
单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 对偶单纯形法继续迭代求最优解
非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 引进人工变量， 新计算 第12页 页
分别在什么范围变化时，最优基不变？ 例1-2 分析λi分别在什么范围变化时，最优基不变？
max z = 2x1 + 3x2 max z = 2 x1 + 3 x2 变化
s.t. 2x + 2x ≤ 12 1 2
4x1 ≤ 16 5x2 ≤ 15 x1, x2 ≥ 0
s.t. 2x + 2x ≤ 12 +λ 1 2 1
4x1 ≤ 16 +λ2 5x2 ≤ 15 +λ3 x1, x2 ≥ 0
非基变量 XN B-1N CN－CBB-1N Xs B-1
－CBB-1
基变量 XB I 0
XB
B-1b
Y*T= CBB-1 Z*=CBB-1b
X B' = B (b + ∆b)
原问题
cj − zj
对偶问题 可行解 可行解
结论或继续计算的步骤 问题的最优解或最优基不变 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 对偶单纯形法继续迭代求最优解
第五章灵敏度分析
第五章灵敏度分析灵敏度分析（Sensitivity Analysis）是指在决策分析中，根据改变决策变量的数值，研究对最优解产生影响的因素。
通过灵敏度分析，可以评估决策变量的变化对最优解的敏感程度，帮助决策者了解决策方案的稳定性和可靠性，并能够帮助决策者制定出合理的决策方案。
在灵敏度分析中，常用的指标包括目标函数系数的灵敏度分析、资源限制系数的灵敏度分析和松弛度分析。
首先，进行目标函数系数的灵敏度分析。
目标函数系数代表着对决策变量的偏好程度，通过改变目标函数系数的数值，可以分析对最优解的影响。
如果目标函数系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该目标函数系数相对不敏感。
反之，如果目标函数系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该目标函数系数相对较敏感。
其次，进行资源限制系数的灵敏度分析。
资源限制系数反映了资源约束对最优解的影响程度，通过改变资源的可用量，可以分析对最优解的影响。
如果资源限制系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该资源限制系数相对不敏感。
反之，如果资源限制系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该资源限制系数相对较敏感。
最后，进行松弛度分析。
松弛度是指资源使用量与其可用量之差，表示资源的闲置程度。
通过分析松弛度，可以了解决策方案的稳健性。
如果一些资源的松弛度较大，则说明该资源具有一定的闲置容量，决策方案对该资源限制相对较不敏感。
反之，如果一些资源的松弛度较小，则说明该资源的利用率较高，决策方案对该资源限制相对较敏感。
在灵敏度分析中，还可以进行多因素综合分析，研究多个因素同时改变时对最优解的影响。
通过综合分析，可以确定各个因素对最优解的贡献程度，帮助决策者优化决策方案。
总之，灵敏度分析是决策分析中重要的工具，能够评估决策方案的稳定性和可靠性，对于决策者进行决策方案选择具有重要的指导作用。
灵敏度分析应该结合具体的决策问题和决策变量的特征来进行，并且要注意分析结果的合理性和可靠性。
第五章、灵敏度分析
一、 什么是灵敏度分析
我们前面讨论的线性规划问题，其目标 函数系数，约束系数和约束常数都是确定的 常数，但实际问题中，由于各种因素的影响， 这些常数是有变化的。例如产品的需求量、 产品的售价、原材料和能源的价格以及资源 的供应量等的变动，从而引起
c j 和 bi
a
的值的变化，工艺条件的改变， ij 的值就发 生变化。
a
i 1
m
ij i
y
当 C j 变为 C j j 后， 要保证最终表中这个检验数仍然小于或
j C j j C B B 1 P j 0 等于零，即
那么，
j j
才能满足原最优解条件。这就可以确定
Cj
的
变化范围。
（1） 若 C j 是基变量 x j 的系数，由于 C j CB ，当 C j 变化 j 时，就引 起了 CB 的变化。这时
C1 这样如上所分析，可知：当-1≤ ≤0 时，顶点 B C2
仍然是最优解，为了计算出C1 在什么范围内变化时最优解 不变，我们假设单位产品Ⅱ的利润为 100 元不变，即
C2 100；则有
C1 -1≤≤0 100
C 0≤ 1 ≤100
也即只要当单位产品Ⅱ的利润为 100 元， 单位产品Ⅰ的 利润在 0 与 100 元之间变化时， 顶点 B x1 50, x2 250 ） （ 仍然是最优解。
优解、最优值不变。
2、基变量的系数有波动
设 C1 有波动为 ，令C1 2 ，同样这一波动对由判别准则知
C B B 1 A C 0
从而，
0 1 1 3 2 1 1 5, 2 1 1 0 6 2 3 2 , 6 , 5, 4 , 0 , 0 0 1 0 1 2 6 1 2 1 3 0
灵敏度分析
1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析；（线性规划中就是指）建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）c j , a ij ,b j 变化时，对最优解产生的影响。
2、影子价格：当约束条件常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。
3、约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。
4、图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。
5、在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正偏差变量，并其等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。
6、实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知量)。
7、在一个通信系统中,在收到某个消息之后,接收端所了解到的该消息发送的概率称为后验概率.8、在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。
9、当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。
10、各阶段开始时的客观条件或自然条件叫做状态，描述各阶段状态的变量称为状态变量11、样本信息指我们抽取的一个或多个样本的具体信息。
12、所谓的定量分析就是基于能够刻画问题的本质的数据和数量的关系，建立能描述问题的目标、约束及其关系的数学模型，通过一种或多种数量方法，找到最好的解决方案。
13、0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数的整数线性规划；14、（1）分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。
大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。
《灵敏度分析》课件
案例二：建筑结构优化中的灵敏度分析
背景：建筑结 构优化需要灵 敏度分析来提 高安全性和稳
定性
目的：通过灵 敏度分析，找 出影响建筑结 构稳定性的关
键因素
方法：采用灵 敏度分析方法， 对建筑结构进
行优化设计
结果：提高了 建筑结构的安 全性和稳定性，
降低了成本
案例三：气候变化模拟中的灵敏度分析
背景：全球气候变化问题日益严重，需要准确预测气候变化的影响
教学质量
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价值
灵敏度分析可以 帮助我们更好地 理解和优化模型， 从而提高决策的 科学性和准确性
对未来研究和应用的建议
加强灵敏度分 析在工程设计 中的应用，提
高设计质量
开展灵敏度分 析在复杂系统 中的应用研究， 提高系统稳定
性
推广灵敏度分 析在科学研究 中的应用，提
高科研效率
加强灵敏度分 析在教育领域 的应用，提高
灵敏度分析的步骤：确定参数、 计算灵敏度、分析结果
灵敏度分析的应用：优化模型、 风险评估、决策支持
灵敏度分析的实 现过程
确定分析目标
明确分析目的： 了解灵敏度对系 统稳定性的影响
确定分析范围：系 统参数、输入输出、 环境因素等
确定分析方法：灵 敏度分析、稳定性 分析、响应分析等
确定分析工具： MATL AB、 Python、 Simulink等
计算灵敏度指标 分析灵敏度结果 提出改进措施或建议
结果解释与优化建议
灵敏度分析结果：包括灵敏度系数、灵敏度区间等 结果解释：对灵敏度系数、灵敏度区间进行解释，说明其含义和影响因素 优化建议：根据灵敏度分析结果，提出优化建议，如调整参数、改进模型等 案例分析：结合实际案例，分析灵敏度分析结果的应用和优化建议的效果
第三章 第五节 灵敏度分析
14
b列的元素变化
在最终表中求得的经过变化后的 b 列的所有元素， 要求 b i+ a irΔbr≥0，i=1,2,…,m。由此可得 a irΔbr≥- b i，i=1,2，…，m 当 a ir＞0 时，Δbr≥- b i/ a ir； 当 a ir＜0 时，Δbr≤- b i/ a ir；于是得到最优基不变 的条件是 bi bi max air > 0 ≤ ∆br ≤ min air < 0 i i air air
第5节
灵敏度分析
以前讨论线性规划问题时，假定α 都是常数。 以前讨论线性规划问题时 ， 假定 ij ， bi,cj 都是常数 。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值 。 如市场条 件一变， 值就会变化； 件一变 ， cj 值就会变化 ； αij 往往是因工艺条件的改变 而改变； 而改变 ； bi 是根据资源投入后的经济效果决定的一种 决策选择。 决策选择。 因此提出这样两个问题： 因此提出这样两个问题： (1)当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性 当这些系数有一个或几个发生变化时， 当这些系数有一个或几个发生变化时 规划问题的最优解会有什么变化； 规划问题的最优解会有什么变化； (2)或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的 或者这些系数在什么范围内变化时， 或者这些系数在什么范围内变化时 最优解或最优基不变。后一个问题将在第6节参数线性 最优解或最优基不变。后一个问题将在第 节参数线性 规划中讨论。 规划中讨论。
2010-10-31
11
为使表中的解仍为最优，应有
1 1 1 3 − + λ ≤ 0, − − λ ≤ 0 4 4 2 2
第5章灵敏度分析
第5章灵敏度分析灵敏度分析是指在建立模型之后，通过改变模型中的一个或多个参数，观察模型的输出结果发生的变化程度。
也就是说，灵敏度分析是通过改变输入参数来检测模型对参数变化的敏感程度，从而评估输入参数对模型输出结果的影响。
在实际应用中，灵敏度分析有助于确定模型的输入参数，以及优化模型的结果。
灵敏度分析可以从不同的角度进行分类。
一种常见的分类方法是根据分析的目标，将灵敏度分析分为全局灵敏度分析和局部灵敏度分析。
全局灵敏度分析是通过改变所有参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估每个参数对模型输出结果的影响程度。
全局灵敏度分析通常使用敏感性指标来衡量参数对输出结果的贡献程度。
常见的敏感性指标包括Sobol指数、Morris方法和FAST方法等。
这些方法可以通过统计学的方式分析不同参数对模型输出结果的影响程度。
局部灵敏度分析是在给定一个参数值的情况下，通过改变该参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估该参数对模型输出结果的影响程度。
局部灵敏度分析通常使用敏感度系数来衡量参数对输出结果的贡献程度。
敏感度系数可以通过计算参数对输出结果的一阶导数或二阶导数来得到。
灵敏度分析在实际应用中有很多的应用场景。
例如，在金融领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同投资组合的风险敏感性；在环境领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同因素对环境污染的影响程度；在工程领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同参数对工程设计的影响程度。
在进行灵敏度分析时，需要注意以下几点。
首先，应该选择合适的参数范围，在整个参数变化范围内均匀地选取参数值。
其次，应该选择合适的敏感性指标或敏感度系数来评估参数的影响程度。
最后，应该进行敏感性分析的可行性研究，确保所选择的参数和指标可以反映真实的模型情况。
总之，灵敏度分析是建立模型之后的一项重要工作，可以通过改变模型中的参数来评估参数对模型输出结果的影响程度。
灵敏度分析可以帮助我们确定模型的输入参数，以及优化模型的结果，在实际应用中具有广泛的应用前景。
第5章_灵敏度分析
同样假设单位产品Ⅰ的利润为 50 元不变， C1 50， 即 有
50 1≤≤0 C2
50≤C2 ≤+∞
也就是说当单位产品Ⅰ的利润为 50 元不变，而单位 产品Ⅱ的利润只要大于等于 50 元时，顶点 B 仍是其最优 解。
如果当C1 和C2 都变化时，则也可以通过不等式
C1 -1≤ ≤0 来判断 B 点是否仍然为其最优解，例如当 C2
化为标准型：
min S ( 2 x1 6 x 2 5 x3 4 x 4 ) 3 x1 4 x 2 3 x3 x 4 x5 26 2 x1 3 x 2 2 x3 3 x 4 x 6 21 x j 0 , j 1, ,6
b 这 时 在 最 终 表 中 求 得 的
列 的 所 有 元 素
bi air br 0, i 1,2, , m 由此可得 air br bi , i 1,2, m
air 0
时， br
当 当 a 0 时，b ir
bi
air
r
bi
air 于是得到资源系数的变化范围：
第五章、灵敏度分析
一、 什么是灵பைடு நூலகம்度分析
所谓灵敏度分析: 就是在建立数学模型和求得最优解之后， 研究线性规划的一些系数变化时，对最优解 产生或最优基有什么影响？或者这些系数在 什么范围内变化时，最优解或最有基不变。 有了灵敏度分析就不必要为了应付这些变化 而不停的建立新的模型和求解。
用灵敏度分析以下几种情况
bi | air 0}
max{
bi
air
| air 0} br min{
air
仍然依例 1 来分析常数项的波动。 无妨设b1 有波动，令b1 26 。 因b1 的波动和 B 是基和判别准则无关。 仅影 响单纯形表中的
灵敏度分析
灵敏度分析灵敏度分析是一项重要的决策工具，用于评估一个系统对其输入参数变化的敏感程度。
它在不同领域和行业中都有广泛的应用，包括金融、工程、环境等。
本文将详细介绍灵敏度分析的概念、方法和应用，并探讨其在决策过程中的重要性。
灵敏度分析是指通过改变一个或多个输入变量，观察系统输出变量的变化情况，从而确定输入变量对输出变量的影响程度。
它能够帮助我们了解系统的稳定性和可靠性，并得出相应的决策。
灵敏度分析通常与多元回归分析或其他统计模型一起使用，以揭示模型背后的关键因素。
灵敏度分析的方法有很多种，其中最常见的一种是参数灵敏度分析。
参数灵敏度分析通过改变系统输入参数的值，观察输出结果的变化情况，从而确定每个参数对输出结果的影响程度。
这种方法可以帮助我们识别问题中最重要的参数，并为决策提供基础数据。
除了参数灵敏度分析，还有一些其他的灵敏度分析方法，如局部敏感性分析、全局敏感性分析等。
局部敏感性分析通常用于评估系统在输入参数变化的某一特定范围内的敏感性。
全局敏感性分析则可以帮助我们了解整个系统在不同参数组合下的行为。
这些方法的选择取决于具体问题的需求。
灵敏度分析在不同领域和行业中都有广泛的应用。
在金融领域，灵敏度分析可以帮助投资者评估不同投资组合的风险和回报，从而做出更明智的决策。
在工程领域，它可以用于评估系统设计方案的可行性和稳定性。
在环境领域，灵敏度分析可以帮助我们了解环境参数对气候变化或生态系统健康的影响，从而制定相应的保护政策。
灵敏度分析在决策过程中的重要性不言而喻。
通过对系统的关键参数进行分析，我们可以更好地理解系统的行为和性能，从而制定更科学、更有效的决策。
它可以帮助我们识别风险和机遇，并为决策者提供决策依据。
然而，灵敏度分析也存在一些局限性。
首先，它假设系统的行为是线性的，这在实际情况下往往是不成立的。
其次，它无法考虑参数之间的交互作用，这可能导致结果的片面性。
因此，在进行灵敏度分析时，我们应该结合其他分析方法和经验判断，以获得更全面和可靠的结果。
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例：某工厂在计划期内要安排生产两种产品，已知生产 单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗为： 产品1 产品2 8台时 1 2 设备 16kg 0 原材料A 4 12kg 4 原材料B 0 该工厂每生产一件产品1可获利2元，每生产一件产品2 可获利3元，问应如何安排计划，使该工厂获利最多？
j为非基变量下标
在原单纯形表中将zk-ck换成zk’-ck’, 然后在 原表中用单纯性法求新问题的解。
2、基变量xr的系数cr改变为c’r=cr+ห้องสมุดไป่ตู้cr
z 'j c 'j c 'B B 1 Pj c ' j cB cB B 1 Pj c ' j cB B 1 Pj c j cB B 1Pj c j c 'j z j c j cB y j c j c 'j 若j r , 有 z 'j c 'j z j c j 0 zr' cr' zr cr 0 cr cr 0 y j z j c j cr yrj ; 0 y j cr cr'
max 2 x1 3 x2 s.t x1 2 x2 8 4x1 16 4 x2 12 x j 0 j 1,2
min 2 x1 3 x2 s.t x1 2 x2 x3 4x1 4 x2 x4 8 16 x5 12
x j 0 j 1,2,3,4,5
例： min x1 2 x2 x3 s.t x1 x2 x3 4 3x1 2 x2 6 x j 0 j 1,2,3
引入松弛变量x4，得它的最优单纯形表为
x1 x2 x3 x4
x2 x4
1 5 -3
1 0 0
1 2 -3
0 1 0
4 14 -8
1. c3由1变为-3时 x1 x2 x3 x2 x4 1 5 1 0 1 2
0 cr cr 0 目标函数值 cB cB B 1b cB B 1b cB B 1b cB B 1b cr br cr变为cr’ 后，只要把原单纯形表中xr所在的行乘以(cr’-cr)加到 判别数行，并使xr对应的判别数为0，既可用单纯形法继续做下去。
min x1 2 x2 x3
x2 x4 x3 x4
4 14 -8+20 4 6 4
x* 0, 0, 4, 6 f min 4
T
问题：c2在什么范围变化时，最优解不变？
二、改变右端向量b
设b→b’,设改变前的最优基为B。
1. B 1b ' 0 此时，原来的最优基仍为最优基， 但基变量的取值、目标函数最优值将发生变化。 设 b ' b b, 则
灵敏度分析
一、参数的可变性 (cj ,bi ,aij) 二、灵敏度分析的内容 1、参数的变化对原最优解有什么影响？原最优解是否 仍为最优解。
2、参数在什么范围变化时，原最优解保持不变？
3、当原最优解已不再最优时，应如何利用原单纯形表， 以最简捷的方法求得新的最优解。 三、最优性分析
B 1b 0 可行性
x1
x2 2 0 4 3
若j k , 有 z c cB B Pj c j z j c j 0
' j ' j ' ' ' ' zk ck cB B 1 Pk ck zk ck ck ck ' ' 若zk ck 0，则B仍为最优基； ' ' 若zk ck 0，改变后xk 为进基变量。 1
x* 0, 0, 4, 6 f min 12
T
问题：c3在什么范围变化时，最优解不变？
一般情况：
令c cr cr 则 cB B Pr c 1 cB B Pr cr cr r cr
' r
' r 1
' r
若要保持最优性不变
则 0 r cr 0 cr r
cB B 1 A c 0 最优性（对偶可行）
一、价值系数向量c的变化
L
min cx Ax b s.t. x0
设(L)的最优解为xB=B-1b, xN=0, fmin=cBB-1b
1、非基变量xk的系数ck改变为c’k
考虑检验数：zj-cj=cBB-1Pj-cj
x4 0 1
min x1 2 x2 x3
4 14 -8
-3
0
-3
0
由于z3’-c3’=cBB-1P3- c3’ =z3-c3+(c3- c3’)=-3+(1+3)=1 x1 x2 x4 x3 x4 1 5 -3 1 3 -4 x2 1 0 0 1 -2 -1 x3 1 2 1 1 0 0 x4 0 1 0 0 1 0 4 14 -8 4 6 -12
' xB B 1b ' B 1 b b B 1b B 1b ' xN 0 ' f min cB B 1b ' cB B 1 b b cB B 1b cB B 1b
f min cB B 1b
二、改变右端向量b 设b→b’,设改变前的最优基为B。
' r
2. c2由-2变为3, 此时Δ c2 =3-(-2)=5
x1 x2 x4 1 5 -3 x1 1 5 -3+5 1 3 0 x2 1 0 0 x2 1 0 0 1 -2 -2 x3 1 2 -3 x3 1 2 -3+5 1 0 0 x4 0 1 0 x4 0 1 0 0 1 0 4 14 -8