最优化理论与算法：灵敏度分析概述

cB B 1 A c 0 最优性（对偶可行）
一、价值系数向量c的变化
L
min cx Ax b s.t. x0
设(L)的最优解为xB=B-1b, xN=0, fmin=cBB-1b
1、非基变量xk的系数ck改变为c’k
考虑检验数：zj-cj=cBB-1Pj-cj
例： min x1 2 x2 x3 s.t x1 x2 x3 4 3x1 2 x2 6 x j 0 j 1,2,3
引入松弛变量x4，得它的最优单纯形表为
x1 x2 x3 x4
x2 x4
1 5 -3
1 0 0
1 2 -3
0 1 0
4 14 -8
1. c3由1变为-3时 x1 x2 x3 x2 x4 1 5 1 0 1 2
' xB B 1b ' B 1 b b B 1b B 1b ' xN 0 ' f min cB B 1b ' cB B 1 b b cB B 1b cB B 1b
f min cB B 1b
二、改变右端向量b 设b→b’,设改变前的最优基为B。
0 cr cr 0 目标函数值 cB cB B 1b cB B 1b cB B 1b cB B 1b cr br cr变为cr’ 后，只要把原单纯形表中xr所在的行乘以(cr’-cr)加到 判别数行，并使xr对应的判别数为0，既可用单纯形法继续做下去。
2. B 1b ' 0。 此时，原来的最优基对于新问题 来说，不再是可行的，但由于所有的判别数 0，所以 是对偶可行的，此时，只要把原问题最优表的右端列 B 1b ' 加以修改，代之以 ，就可用对偶单纯性法求解 1 cB B b ' 新问题。
例：某工厂在计划期内要安排生产两种产品，已知生产 单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗为： 产品1 产品2 8台时 1 2 设备 16kg 0 原材料A 4 12kg 4 原材料B 0 该工厂每生产一件产品1可获利2元，每生产一件产品2 可获利3元，问应如何安排计划，使该工厂获利最多？
x* 0, 0, 4, 6 f min 12
T
问题：c3在什么范围变化时，最优解不变？
一般情况：
令c cr cr 则 cB B Pr c 1 cB B Pr cr cr r cr
' r
' r 1
' r
若要保持最优性不变
则 0 r cr 0 cr r
j为非基变量下标
在原单纯形表中将zk-ck换成zk’-ck’, 然后在 原表中用单纯性法求新问题的解。
2、基变量xr的系数cr改变为c’r=cr+Δcr
z 'j c 'j c 'B B 1 Pj c ' j cB cB B 1 Pj c ' j cB B 1 Pj c j cB B 1Pj c j c 'j z j c j cB y j c j c 'j 若j r , 有 z 'j c 'j z j c j 0 zr' cr' zr cr 0 cr cr 0 y j z j c j cr yrj ; 0 y j cr cr'
x1
x2 2 0 4 3
min x1 2 x2 x3
x2 x4 x3 x4
4 14 -8+20 4 6 4
x* 0, 0, 4, 6 f min 4
Hale Waihona Puke Baidu
T
问题：c2在什么范围变化时，最优解不变？
二、改变右端向量b
设b→b’,设改变前的最优基为B。
1. B 1b ' 0 此时，原来的最优基仍为最优基， 但基变量的取值、目标函数最优值将发生变化。 设 b ' b b, 则
' r
2. c2由-2变为3, 此时Δ c2 =3-(-2)=5
x1 x2 x4 1 5 -3 x1 1 5 -3+5 1 3 0 x2 1 0 0 x2 1 0 0 1 -2 -2 x3 1 2 -3 x3 1 2 -3+5 1 0 0 x4 0 1 0 x4 0 1 0 0 1 0 4 14 -8
x4 0 1
min x1 2 x2 x3
4 14 -8
-3
0
-3
0
由于z3’-c3’=cBB-1P3- c3’ =z3-c3+(c3- c3’)=-3+(1+3)=1 x1 x2 x4 x3 x4 1 5 -3 1 3 -4 x2 1 0 0 1 -2 -1 x3 1 2 1 1 0 0 x4 0 1 0 0 1 0 4 14 -8 4 6 -12
若j k , 有 z c cB B Pj c j z j c j 0
' j ' j ' ' ' ' zk ck cB B 1 Pk ck zk ck ck ck ' ' 若zk ck 0，则B仍为最优基； ' ' 若zk ck 0，改变后xk 为进基变量。 1
灵敏度分析
一、参数的可变性 (cj ,bi ,aij) 二、灵敏度分析的内容 1、参数的变化对原最优解有什么影响？原最优解是否 仍为最优解。
2、参数在什么范围变化时，原最优解保持不变？
3、当原最优解已不再最优时，应如何利用原单纯形表， 以最简捷的方法求得新的最优解。 三、最优性分析
B 1b 0 可行性
max 2 x1 3 x2 s.t x1 2 x2 8 4x1 16 4 x2 12 x j 0 j 1,2
min 2 x1 3 x2 s.t x1 2 x2 x3 4x1 4 x2 x4 8 16 x5 12
x j 0 j 1,2,3,4,5