人教版八年级数学上三角形的外角
人教版数学八年级上册第十一章11.2.2三角形外角
自学释疑、拓展提升
知识点一：三角形外角的定义及性质
自己独立改正预习中的错误：
知识点二：利用三角形外角的性质求角度
自学问题：如图，微课例题中“易得∠BOC=∠A+∠ABD+∠ACE”学生不理解 。
问题解决： 组内两两结对对讲，小组代表讲解 证明：连接AO并延长AO交BC于F， 根据三角形外角的性质可得，
小组讨论，以小组为单位展示。 小组合作展示要求：(1)时间6分钟(2)先独立思考，后小组成员讨论(3)一个组至少要有一种证明方法(4)随机抽取两个小组展示（5）展示 的小组一定要表达清楚每步证明用的理论依据（6）除展示的小组外，其余的小组可以质疑，有价值的问题有加分鼓励。 （3）如图（三），∵∠2是△ABN的外角，∴∠B+∠A=∠2，同理∠D+∠C=∠1，由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即 ∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，故结论都成立． ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB） 知识点一：三角形外角的定义及性质
自己独立改正预习中的错误： 如图1，在△ABC中，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，且交BC的延长线于D． 学案书写工整的学生：图片展示（主要是学案上主观题书写规范展示） （2）试探索∠ACB与∠B及∠D的关系；
结论∠P=自90°学+ ∠释A 疑、拓展提升
小必组做讨 题论：，教以材小第知组16识为页单第点位5题二展，示：第。1利7页用第三9、角1形0、外11角题的；性质求角度
自学释疑、拓展提升
知识点一：三角形外角的定义及性质
活动二：
学生归纳总结：∠A+∠B=∠ACD
活动三： 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角 证明：∠A+∠B=∠ACD
人教版八年级(上)数学课件：三角形的外角课件(20张)-公开课
【名师示范课】人教版八年级上册数 学课件 ：11.2. 2三角 形的外 角课件( 共20张 PPT)- 公开课 课件（ 推荐）
议一议
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
从哪些途径探究这个结果?
A
2
5
B
6
3
1 4
C
三角形的外角和 等于360°
【名师示范课】人教版八年级上册数 学课件 ：11.2. 2三角 形的外 角课件( 共20张 PPT)- 公开课 课件（ 推荐）
∠ACD= ∠BAC+∠ B; ∠ACD+ ∠ACB=180°
∠CAE= ∠ACB+∠ B; ∠CAE+ ∠BAC=180°
E
A
D
B
C
A
D
B
C
结论： 三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角与它相邻的内角互补
【名师示范课】人教版八年级上册数 学课件 ：11.2. 2三角 形的外 角课件( 共20张 PPT)- 公开课 课件（ 推荐）
B
∠A+∠C=1800-∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
三角形的外角：
A
三角形的一边与 另一边的延长线组成
的角，叫做三角形
的外角．如：∠ACD
B
C
D
画图并思考：
画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗一个顶点相对 应的外角有几个呢？ 每个外角与相应的内角是什么关系？
[教学目标] 〔知识与技能〕 1、理解三角形的外角；2、掌握三角形
外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。
〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程 中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的 习惯
三角形的外角人教版八年级数学上册课件
重难易错
7. （例 4）如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，
∠1=∠2+5°，∠3=∠4，∠BAC=85°，求
∠2 的度数.
解：设∠2＝x°， 则∠1＝∠2+5°＝（x+5）°， ∠3＝∠4＝∠1+∠2＝x°+（x+5）°＝（2x+5）°. ∵在△ABC中，∠BAC＝85°， ∴∠2+∠4＝180°-∠BAC， 即x+2x+5＝180-85.解得x＝30，即∠2＝30°.
8. 如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点， ∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°， 求∠DAC
的度数.
解：设∠2＝∠1=x°，则∠3=∠4=2x°. ∴在△ACD中，∠DAC=180°-4x°. ∵∠BAC=63°， ∴180°-4x°+x°=63°.解得x=39. ∴∠DAC=180°-4x°=24°.
14. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE、 CD 相交于点 O. （1）若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°， 求∠B 的度数；
解：（1）∵∠A＝50°，∠C＝30°，∴∠BDO＝ ∠A+∠C＝80°. ∵∠BOD＝70°， ∴∠B＝180°-∠BDO-∠BOD＝30°.
解：∵∠C＝30°，AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝30°. 又∠E＝45°， ∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝45°+30°＝75°．
12. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数.
解：如图，连接CD， 根据三角形的外角性质得 ∠1＝∠B+∠E＝∠2+∠3， 在△ACD中有， ∠A+∠2+∠ACE+∠3+∠ADB＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
人教版八年级数学上册 (三角形的外角)三角形教育教学课件
1.判断下列说法是否正确
（1）三角形的一个外角等于两个内角的和。
（）
（2）三角形的一个外角大于任何不相邻的一个内角。（ ）
（3）三角形的外角和是指三角形所有外角的和。 （ ）
16
2.如图，如图，AB∥CD，∠A＝40°，
∠D＝45°，求∠1和∠2。
解： 因为AB∥CD且∠A＝40° 所以∠1=∠A＝40°（两直线平行，内错角 相等） 又因为∠2=∠1+∠D，且∠D＝45° 所以∠2=∠1+∠D=400+45°=850 即：∠1=40°，∠2=850
三角形的外角
学习内容：
1、三角形的外角的概念 2、三角形外角的性质 3、三角形外角性质的应用
1.什么是三角形的内角？ 三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角
2.如图，指出△ABC的内角，它们有什么关系。
∠A、∠B、∠C ∠A+∠B+∠C = 1800
定义
如图，把△ABC的一边BC延长， 得到∠ACD，像这样，三角形的
∠CAE= ∠ACB+∠B; ∠CAE+ ∠BAC=180°.
B
CD
三角形的外角与内角的关系
1.三角形的一个外角和与它相邻的内角互补； 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
△这A三BC个的外三角个的外和角叫，做它三们角的形和的是外多角少和？。
解：∠1+∠BAC＝180°
∠2＋∠ABC＝180°
3 ∠3+∠ACB＝18三0°角形的外角
C
三个式子相加得到 和为3600
∠1＋ ∠2＋ ∠3+∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB＝540°
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB＝180°
人教版八年级上册数学11.2.2三角形外角和
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
51 °
20 ° D
B
C
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为
三角形问题.
解法一：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
A
(
51 °
155°
1B
E
∠1=25°, ∠2=62°, ∠3=118°
3.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的
底角为_3_0_或__7__5_°_.
11
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度
数．
E
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角 形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
(等量代换)
7
方法二： 擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性 质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同 学证明一下。 （CE//BA）
A
E
1
三角B形的一个外角等于与C它不相邻的两D 个内
角的和
8
知识要点
三角形内角和定理的推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：如图：△ＡＢＣ中，点D在BC的延长线上， 求证：∠ACD=∠A+∠B
A
B
C
D
6
方法一: A
B
C
D
解：∵∠ACD+ ∠ACB=180° （邻补角的定义） ∴∠ACD =180 ° －∠ACB
又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180° （三角形内角和定理 ° ）
三角形的外角-八年级数学上册(人教版)
小试牛刀
人教版数ห้องสมุดไป่ตู้八年级上册
1、试说出下列图形中∠1和∠2的度数.
A
80〫
60〫
12
B （1） C
2A
30〫 140〫
B
C
（2）
A
1
2 40〫 ┌
B
C
（3）
解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°. （2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°. （3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
课后作业
人教版数学八年级上册
4.求出图中的x的值. 解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
列方程得 x+x+10=x+70, 解得x=60, ∴x的值为60.
谢谢聆听
人教版数学八年级上册
∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E.
E
C
D
拓展训练
人教版数学八年级上册
2.如图，点O是△ABC内一点，连接BO，CO，CO恰好平分 ∠ACB，延长BO交AC于点E．已知∠A=50°，∠BCO=35°， ∠BEC=65°，求∠ABO和∠OBC的度数．
解：∵∠A=50°，∠BCO=35°， ∴∠ABO=∠BEC-∠A=65°-50°=15°， ∵CO平分∠ACB ，∠BCO=35°， ∴∠BCA=2∠BCO=70°， ∴∠ABO=180°-∠A-∠BCA=180°-50°-70°=60°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO= 60°-15°=45°．
小试牛刀
人教版数学八年级上册
人教版数学八年级上册11.2.2三角形的外角和教案
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解三角形的外角和这一概念。首先，通过引入日常生活中的实际问题，我希望能够激发学生的兴趣，使他们意识到数学知识的应用价值。从学生的反应来看，这个导入环节起到了一定的效果，他们对于外角和的学习表现出了一定的好奇心。
在新课讲授环节，我着重讲解了三角形外角和的基本概念及其性质，并通过案例分析让学生看到了这些性质在实际问题中的应用。在讲解过程中，我注意观察学生的反应，适时调整语速和教学方式，尽量让每个学生都能跟上课堂节奏。但我也发现，对于一些学生来说，理解外角与相邻内角的互补关系仍然存在困难，这是未来教学中需要重点关注的地方。
实践活动环节，我让学生分组讨论和实验操作，旨在培养他们的团队合作精神和动手能力。从学生的表现来看，他们积极参与讨论，并在实验操作中加深了对外角和性质的理解。但同时，我也注意到有些小组在讨论过程中存在依赖思想，个别成员并未充分参与到活动中。针对这一问题，我将在今后的教学中加强对学生的引导，确保每个学生都能积极参与。
举例：在解决难点问题时，教师可以设计一个综合性的例题，如在一个四边形ABCD中，已知∠ABC和∠ADC的外角和相等，引导学生通过外角和性质结合平行线的性质来证明AB平行于CD。在此过程中，教师需耐心解释每一步推理，帮助学生突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形的外角和》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求三角形内角度数或证明线段平行的情况？”（如户外测量、建筑设计等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形外角和的奥秘。
在学生小组讨论环节，我鼓励学生提出自己的观点，并与其他同学进行交流。我发现，这种形式的教学活动有助于提高学生的思维能力和解决问题的能力。然而，我也发现部分学生在讨论中容易偏离主题，这需要我在今后的教学中更加关注讨论过程，适时引导学生回到主题。
人教版八年级数学(上)课件：三角形的外角(23张)-公开课
数学语言表示：∠CAD=∠2+∠3.
CF
3
12
DA B E
新知探究
知识点3 三角形的外角和定理
如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点
CF
3
C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？
12
解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，
DA B E
CF
3
C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？
12
解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，
DA B E
∴∠CAD+∠1=180°，则∠CAD=180°-∠1，
∠CBE+∠2=180°，则∠CBE=180°-∠2，
∠BCF+∠3=180°，则∠BCF=180°-∠3.
拓展提升
2
如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E， 求证∠BAC=∠B+2∠E.
A
分析：利用角平分线的性质可以得出2倍的数量关系的角.
B
利用三角形外角性质，将外角转化为两个不相邻内角的和.
将2倍数量关系的角和外角进行等量转化，即可得出题目所
要证明的结果.
E
C
D
【名师示范课】人教版八年级数学上 册课件 ：11.2. 2 三角形的外角（共23张PPT)-公开课课 件（推 荐）
B （1） C
2A
30〫 140〫
B
C
（2）
A
1
2 40〫 ┌
B
C
（3）
解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°. （2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°. （3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
人教版数学八年级上册：11.2.2 三角形的外角 教案
11.2.2 三角形的外角教学目标1．探索并了解三角形的外角的性质．2．利用三角形的外角性质解决与其有关角度的问题．预习反馈阅读教材P14～15，完成预习内容．1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做外角．图1图2如图2，一个三角形有6个外角．每个顶点处有2个外角．2．如图1，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°．试猜想∠ACD与∠A，∠B的关系是∠A＋∠B＝∠ACD．3．试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到D.则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，即∠ACD＝∠A＋∠B.知识探究一般地，由三角形内角和定理可以推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．名校讲坛例(教材P15例4)如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.【点拨】你还有其他解法吗？试试看！【跟踪训练】(《名校课堂》11.2.2习题)如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF 交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°.(1)求∠B的度数；(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数．解：(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFD＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.巩固训练1．下面说法正确的是(D)A．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角和B．三角形的一个外角小于它的一个内角C．三角形的一个外角大于这个三角形的内角D．以上说法均不正确2．三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是(C)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．如图所示，已知AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(A) A．63°B．83°C．73°D．53°4．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是(B)A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠15．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A ＝40°，∠1＝60°，则∠2的度数为100°．6．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，试求：(1)∠D的度数；(2)∠ACD的度数．解：(1)∵∠DAE＝∠B＋∠D，∴∠D＝∠DAE－∠B＝50°－30°＝20°.(2)∵AD平分∠CAE，∴∠CAE＝2∠DAE＝100°.∴∠BAC＝80°.∴∠ACD＝∠B＋∠BAC＝110°.7．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝81°，求∠DAC 的度数．解：设∠1＝x，则∠1＝∠2＝x.∵∠3＝∠1＋∠2，∴∠3＝∠4＝2x.∴∠BAC＝180°－2x－x＝81°.∴x＝33°.∴∠DAC＝81°－33°＝48°.课堂小结三角形外角的性质：1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．三角形的外角和是360°.。
人教版八年级上册数学第11章 三角形的外角3(18页)
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？ ∠EFD是哪个三角形的外角？
A
∠BEC是△AEC的外角; E
D ∠AEC是△BEC的外角;
F
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
B
C
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
三角形的外角的性质
那么对于任意一个三
在△ABC 中,∠A =70°,∠B =角60形°的, ∠一A个CD外是角△与A它BC的一个外 不相邻的两个内角是
A
B
CD
∠ACD是△ABC的一个外角
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
思考1 、如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？
∠DCE是不是△ABC的一个外角？
A
∠BCE是△ABC的一个外角，
∠DCE不是△ABC的一个外角.
B
CD E
思考2、如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点
A C
相邻的内角
三角形的外角
D ∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∠BCD+∠ACB=180° ∴∠A+∠B=∠BCD.
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
A
E
证明：过C作CE平行于AB，
2
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等） 1
∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等）
角,你能求出∠ACD的度数吗？∠A否CD都与具∠有A这,∠种B关的系大呢小？有什么关系?
∠ACD =∠A +∠B
70° 60° 50° 130°
人教版数学八年级上册第6课时三角形的外角
结论 在三角形的每个顶点角和等于__3_6_0_°___.
广东省怀集县冷坑镇中心初级中学 林海东
1、三角形的三个外角之比为2：5：5， 则此三角形是（ B ） (A)锐角三角形 （B）钝角三角 (C)直角三角形 （D）无法确定
2、如图所示，
广东省怀集县冷坑镇中心初级中学 林海东
三、研学教材
认真阅读课本第14至15页的内容，完成 下面练习并体验知识点的形成过程. 知识点一 三角形的外角
如图,把△ABC的一边BC延长到D,得∠ACD， 像这样,三角形的一边与另一边的_延__长__线_ 组成的角,叫做三角形的外角.
A
B
C
广东省怀集县冷坑镇中心初级中学
角形的外角等于与__它__不__相__邻__的__两__个__外__角__的__和_.
广东省怀集县冷坑镇中心初级中学 林海东
A
B
D C
2、∵∠ACD_=___∠A+∠B
∴∠ACD__>__∠A，∠ACD_>___∠B（填上
“＜”、“＝”或“＞”）.
由此得出，三角形内角和定理的推论2：三 角形的一个外角___大__于___与它不相邻的任
D.无法确定
广东省怀集县冷坑镇中心初级中学 林海东
知识点二 三角形内角和定理的推论
如图，
A
B
D C
1、∵∠ACD+∠ACB=_1_8_0_°_（平角的定义 ）
且∠A+∠B+∠ACB=1_8_0_°_(三角形内角和定理)
∴∠ACD__=__∠A+∠B（等量代换）
由此得出，三角形内角和定理的推论1 三
角的和
广东省怀集县冷坑镇中心初级中学 林海东
1A
三角形的外角数学八年级上册人教版
三角形的外角数学八年级上册人教版摘要：一、三角形外角的定义与性质二、三角形外角与内角的关系三、三角形外角的求解方法与技巧四、练习题与解答正文：一、三角形外角的定义与性质在数学中，三角形的外角是指一个三角形的一个顶点与其对边延长线组成的角。
简单来说，外角就是三角形内部没有包括在内的角。
根据外角的定义，我们可以得知它具有以下性质：1.外角的顶点是三角形的一个顶点。
2.外角的一边是三角形的一边。
3.外角的另一边是三角形另一边的延长线。
二、三角形外角与内角的关系根据三角形的外角性质，我们可以知道外角与它相邻的内角是互补的，也就是说它们的和为180度。
同时，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
三、三角形外角的求解方法与技巧求解三角形的外角，我们需要先知道三角形的内角。
根据内角和定理，三角形的三个内角之和为180度。
知道其中一个内角，我们就可以求出另外两个内角的度数。
然后根据外角与内角的关系，我们就可以求出外角的度数。
在求解过程中，我们还可以利用一些技巧，比如将三角形的一个内角平分线与另一边相交，这样就可以将三角形分成两个小三角形，从而更容易求出外角的度数。
四、练习题与解答以下是一些关于三角形外角的练习题及解答：1.已知三角形ABC中，角A = 30度，角B = 45度，求角C和角D的度数。
解答：根据内角和定理，角C = 180度- 角A - 角B = 105度。
由于角D是角B的相邻外角，所以角D = 角B = 45度。
2.已知三角形ABC中，角A = 60度，角B = 75度，求角C和角D的度数。
解答：根据内角和定理，角C = 180度- 角A - 角B = 45度。
由于角D 是角A的相邻外角，所以角D = 180度- 角C = 135度。
人教版八年级数学上册三角形的外角(含知识点)
教案2021-2022学年度 秋季 八年级上学期 人教版数学11.2.2三角形的外角基础知识 一、选择题 1．（2013•襄阳）如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A 等于（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°答案：C 2．（2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ） A ．15° B ．25° C ．30° D ．10°答案：A3.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( ) A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角 C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角 答案：C4. (2012 江苏省南通市) 如图，△ABC 中，∠C ＝70°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2等于 （ ）A ．360°B ．250°C ．180°D ．140°ACB 1 2人教版数学答案：B5.已知△ABC，（1）如图1，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P=90°+21∠A； （2）如图2，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P=90°-∠A； （3）如图3，若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P=90°-21∠A ． 上述说法正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C6．（2012•漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°答案：C7.如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是（ ） A ．61° B ．60° C ．37° D ．39°答案：C8.如图，在Rt △ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，则x 可能是（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°9．如图，∠A=34°，∠B=45°，∠C=36°，则∠DFE的度数为（）A．120° B．115° C．110° D．105°答案：B10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．180° B．360° C．540° D．720°答案：B11．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A 与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1-∠2 B．2∠A=∠1-∠2C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2（∠1-∠2）答案：B12．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（）A．90 B．180 C．200 D．360答案：B13．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A=40°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°答案：A14．如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠3为（）A．50°B．60°C．75°D．无法确定答案：B二、填空题教案2．如图，已知ΔABC中，∠ABC和外角∠ACE的平分线相交于点D，若∠D=400，则∠BAC的度数为 .人教版数学2020-2021八年级上册教案1．如图，BP 、CP 是任意△ABC 中∠B、∠C 的角平分线，可知∠BPC=90°+21∠A，把图中的△ABC 变成图中的四边形ABCD ，BP ，CP 仍然是∠B，∠C 的平分线，猜想∠BPC 与∠A、∠D 的数量关系是 .答案：∠BPC=21（∠BAD+∠ADC）.6．已知：如图，在直角坐标系中，点A ，B 分别是x 轴，y 轴上的任意两点，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的角平分线交于点C ，则∠ACB= ．答案：45°三、解答题4.下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：探究1：如图（1），在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+21∠A（不要求证明）．人教版数学2020-2021八年级上册练习题 试卷探究2：如图（2）中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的数量关系？请说明理由．探究3：如图（3）中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）．结论： .解：（1）探究2结论：∠BOC=21∠A， 理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACD 的角平分线， ∴∠1=21∠ABC，∠2=21∠ACD， 又∵∠ACD 是△ABC 的一外角， ∴∠ACD=∠A+∠ABC， ∴∠2=21（∠A+∠ABC）=21∠A+∠1， ∵∠2是△BOC 的一外角， ∴∠BOC=∠2-∠1=21∠A+∠1-∠1=21∠A； (2)探究3结论∠BOC=90°-21∠A．人教版八年级数学上册必须要记、背的知识点第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外八年级上册12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角 线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线. 第十二章 全等三角形一、知识框架：二、知识概念： 1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念： 1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一 个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做 底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线. ②对称的图形都全等. ⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -. ②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质： ①等腰三角形两腰相等. ②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定： ①有两条边相等的三角形是等腰三角形. ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对 等边）. ⑵等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4.基本方法： ⑴做已知直线的垂线： ⑵做已知线段的垂直平分线： ⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形： ⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短. 第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()n m mn a a =⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加. ⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式： ⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=- ⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷= ⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式. 5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解. 6.因式分解方法： ⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法： ①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法 第十五章 分式 一、知识框架 ：2020-2021 习教案 二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a-=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
数学人教版八年级上册三角形外角的性质
《11．2．2 三角形的外角》教学设计重庆市九龙坡区白市驿镇第一中学程庆【教学目标】1、知识与技能: 能运用三角形的外角的性质,学会运用简单的说理来计算三角形的有关的角,并能尝试去解决一些实际问题.2、过程与方法：经历探索三角形的外角的性质的运用过程,学会运用简单的说理来计算三角形形的有关的角.3、情感态度与价值观：培养学生的实践能力和观察总结的能力,体验主动的探究的成功的快乐.【重点】三角形外角性质的运用．【难点】运用三角形外角的性质进行有关的计算时能准确地表达推理的过程和方法.【课型】新授课【学习方法】自主学习与引导发现法相结合。
【学习过程】一、情境导入1.师：用白板笔画△ABC提问：复习△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？2.小明在一个三角形花坛的外围走了一圈，他在每一个拐弯的地方都转了一个角度，那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？通过这节课的学习，我们就能解决这个问题。
二、学习新知：（一）三角形外角的概念1.自学内容：教材第15页“思考”上，理解三角形外角的概念。
三角形外角的定义：________________________________2：外角的特征有三：(1)顶点在___________．（2）一条边是______________．(3)另一条边是__________________．3、下列图中，∠1、∠2、∠3哪些是△ABC的外角？（二）三角形外角的性质1.自学内容：课本15页思考到15页第3行；2.探究：如图，在△ABC中，延长BC到点D（1）∠ACD与∠ACB的关系；（2）∠ACD与∠A、∠B的数量关系与大小关系解：（1）∠ACD与∠ACB的关系是，即∠ACD+∠ACB= ；（2）∵∠ACD+∠ACB=180º∠A+∠B+∠ACB=180º∴∠ACD= ∠A+∠B.还有其它的方法说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？（学生交流）如图，是上节课我们证明三角形内角和定理的一种方法：过点C作CM∥AB∴∠A=∠1，∠B=∠2又∵∠ACD=∠1+∠2∴∠ACD=∠A+∠B你能用文字语言叙述这个结论吗？推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
11.2.2 三角形的外角 人教版数学八年级上册课堂教案
第十一章三角形11.1 与三角形有关的角11.2.2三角形的外角一、教学目标1.理解并掌握三角形的外角的概念，并能够在能够复杂图形中找出外角.2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和，并会用学过的定理证明.3.会运用三角形的外角的性质及外角和定理解决问题.二、教学重难点重点：三角形的外角定义及性质.难点：利用三角形的外角性质解决有关问题.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.三角形三个内角的和等于.2.∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角.邻补角的性质：.[学生回答]学生根据老师提出的问题，复习与本节课相关的知识（180°；∠1+∠2=180°）[课件展示][学生回答]学生根据课件展示的习题，练一练（75°；180°）[提出问题]∠ACD还具有什么样的性质呢？【新知探究】知识点1 三角形外角的概念[课件展示]教师利用多媒体展示三角形外角的定义，并出示如下例1例1 （1）如图，延长CB到D,延长AB到E,∠CBE△ABC的一个外角，∠DBE△ABC的外角，∠DBE△ABC 的外角.（填“是”或“不是”）（2）画一画：画出△ABC的所有外角，你一共能画出几个呢?（3）∠ABD与∠CBE是什么关系？[学生回答]学生根据三角形外角的定义回答（是；是；不是；6个；对顶角）[归纳总结]三角形的外角应具备的条件：①顶点是三角形的顶点；②一边是三角形的一条边；③另一边是三角形某条边的延长线.每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.[课件展示]跟踪训练如图.（1）∠BED既是△的外角，也是△的内角；（2）∠ACD既是△的外角，也是△的内角；（3）∠EFC既是△的外角，也是△的外角.提醒学生注意：找一个角是哪个三角形外角时，若图形比较复杂，这个角可能是多个三角形的外角．知识点2 三角形的外角的性质[提出问题]知道了三角形外角，那它有什么性质呢？我们一起来看看吧！[课件展示]如图，已知在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD=°，∠A+∠B=°.[小组讨论]小组之间讨论，得到结果，教师点名回答.(130°；130°）[提出问题]我们得到了两者都是130°，所以说明了什么呢?(由此可得，∠ACD=∠A+∠B .)是不是每个三角形的外角都具有这种关系呢？[课件展示]如图 .（1）△ABC的三个内角有什么关系？（2）△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？（3）△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？[学生思考]学生根据这三个问题进行思考[课件展示][归纳总结]三角形内角和定理的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.同时展示其几何表达形式：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B.[课件展示]跟踪训练1.（2020•湘潭）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=（ D ）A．40°B．50°C．55°D．60°[课件展示]跟踪训练【变式】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B=35°，∠E=25°，则∠ACD的度数为（ C ）A．100°B．110°C．120°D．130°知识点3 三角形的外角和[课件展示][提出问题]你还有其他解法吗？教师提示学生可用邻补角的性质或周角的性质解答[小组讨论]将学生分为两大组，每组分别运用上述不同的方法解答，教师巡视，可提示运用周角性质的学生最辅助线.[课件展示][提出问题]我们可以得到什么结论？[归纳总结]三角形的外角和等于360°.同时提醒学生注意：三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.[课件展示]跟踪训练如图，∠1=140°，∠2=100°，则∠3=（ B ）A．100°B．120°C．130°D．140°【课堂小结】【课堂训练】1.如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（ D ）A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF2.如图，已知直线 AB∥CD，∠C=80°，∠A=40°,则∠E=（ C ）A．80°B．30°C．40°D．60°3.已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（ C ）A．90° B．110° C．100° D．120°4．（2021•陕西）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（ B ）A．60°B．70°C．75°D．85°【解析】∵∠1＝180°-（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），∴∠1＝180°﹣（25°+35°+50°）＝180°﹣110°＝70°，故选B．5.如图，求y的值为50．6.如图，∠A=20°，∠B=30°，∠C=50°，则∠ADB的度数是100°．7.如图，在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A=2∠E；（2）若∠A=∠ABC，求证：AB∥CE．证明：（1）根据外角性质可知∠ACD=∠ABC+∠A，∠2=∠1+∠E，∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠2-∠1.∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，∴∠ACD=2∠2，∠ABC=2∠1.∴∠A=2∠2-2∠1=2（∠2-∠1）=2∠E.（2）由（1）可知,∠A=2∠E.∵∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE，∴2∠E=2∠ABE，即∠E=∠ABE.∴AB∥CE.8.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数.解：∵∠1是△ABN的外,∴∠1=∠A+∠B.同理∠2=∠C+∠D,∠3=∠E +∠F.∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F.∵∠1、∠2、∠3是△PMN的外角,∴∠1+∠2+∠3=360°.∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F=360°.【教学反思】上课开始，通过复习引入，为本节课做好铺垫.本节课是在学生学习了与三角形内角和与邻补角基础上，首先了解三角形外角的概念，再通过自主探索，得到“三角形外角的性质”和“外角和的度数”，难度不高，学生易于掌握.。
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11-6 三角形的外角人教八上一、学习目标认识三角形的外角；
知道三角形的外角的性质；
能利用三角形的外角性质解决实际问题．
二、知识回顾1．三角形三个内角的和等于多少度？
三角形三个内角的和等于180°
2．在△ABC`中，
（1）∠C=90°，∠A=30°，则∠B= 60°；
（2）∠A=50°，∠B=∠C，则∠B= 65°．
三、新知讲解1．三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形有六个外角，其中同一顶点处的两个外角是对顶角．
2．三角形外角的性质1
性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
符号语言：在△ABC中，∠ACD=∠A+∠B．
图示：
★性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
符号语言：在△ABC中，∠ACD>∠A，∠ACD>∠B．
图示：。