2020届高考数学二轮复习专题《以几何图形为载体的应用题》

专题38以几何图形为载体的应用题

数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现．数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17或18题)的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点．本专题集中介绍以平面几何为载体的应用问题，常见的处理方法是结合实际问题，利用图形中的几何关系建立数学模型，应用相关数学知识予以解决.

如图38-1所示，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)．

图38-1

(1)探求△CPQ的周长l是否为定值；

(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？

考查应用题是江苏的一大特色，除个别年份以外，每年的高考应用题都配有一个图形，其中以平面图形居多，本题也不例外，本题的解题思路是分析图形特征及已知条件，选择适当的变量，法一选用角度∠P AQ＝θ作为变量，注意到本题的图形特点，换元t＝tanθ后将题中的l和S表示为t的函数，最后利用函数知识求结果.

如图38-2所示，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD .现要在该区域内修建观赏景观，在△APQ 区域和△CPQ 区域中分别种花和铺设草坪，设三角形△APQ 和△CPQ 的面积分别为S 1和S 2，

记视觉效果为Ω＝S 2S 1

(Ω的值越大，视觉效果越好)，试问怎样设计该景观，使得游客观赏景观的视角效果最好？

图38-2

如图38-3所示，有一块矩形草坪ABCD ，AB ＝100米，BC ＝503米，欲在这块草坪内铺设三条小路OE ，EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF ＝90°.

图38-3

(1)设∠BOE ＝α，试求△OEF 的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；

(2)经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

(2020泰州模拟)如图38-4所示，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB 的中点．现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P (不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，P A ，

PB .已知OA ＝2 km ，∠AOB ＝π3.记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总

长度为y km.

图38-4 (1)将y 表示为θ的函数，并写出θ的取值范围；

(2)请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

(2020·常州模拟)某公园要设计如图38-5所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图38-6中所示的多边形ABCDEFGH )，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF ＝BE ＝1.6 m ，两根竖轴CH ＝DG ＝1.2 m ，记景观窗格的外框(图38－6中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.

(1) 若∠ABC ＝2π3，且两根横轴之间的距离为0.6 m ，求景观窗格

的外框总长度；

(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5 m ，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH 的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 的长度．

图38-5 图38-6

(2019·江苏卷) 如图38-7，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规

划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA.规划

要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆

．．．．O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB ＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．

图38-7

(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

(3)对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)．求当d最小时，P，Q两点间的距离．

(本小题满分14分)(2020·苏州模拟)如图38-10所示，B，C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100 km，海岛A在城市B的正东方50 km处．从海

岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角α＜θ＜π2，其中锐角α的正切值

为12航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C .已知船速为25 km/h ，车速为75 km/h.

(1)试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式；

图38-10

(2)试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．

(1)f (θ)＝6－2cos θ3sin θ＋43，θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫α，π2； (2)在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少．

(1)由题意，轮船航行的方位角为θ，所以∠BAP ＝90°－θ，AB ＝50，

则AP ＝50cos(90°－θ)＝50sin θ

，BP ＝50tan(90°－θ)＝50sin(90°－θ)cos(90°－θ)

＝50cos θsin θ. …………………………………………………………………………………2分(求AP ，BP 用θ表示)

PC ＝100－BP ＝100－50cos θsin θ.由A 到P 所用的时间为t 1＝AP 25＝

2

sin θ，

……………………………………………………………4分(求出A 到P 的时间t 1

(用θ表示))

由P 到C 所用的时间为t 2＝100－50cos θsin θ75

＝43－2cos θ3sin θ， ……………………………………………………………………………6分(求出P 到C 所用的时间t 2(用θ表示))

所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为

f (θ)＝t 1＋t 2＝2sin θ＋43－2cos θ3sin θ＝6－2cos θ3sin θ＋43.

…………………………………………………………………8分(求由A 经P 到C 所用的时间关于θ的函数f (θ))

函数f (θ)的定义域为⎝ ⎛⎭

⎪⎫α，π2，其中锐角α的正切值为12. (2)由(1)，f (θ)＝6－2cos θ3sin θ＋43，θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫α，π2，f ′(θ)＝6－18cos θ9sin 2θ， 令f ′(θ)＝0，解得cos θ＝13，设θ0∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2，使cos θ0＝13 ………………………………………………………………10分 (求f (θ)的导函数f ′(θ)．并求出f ′(θ)＝0时θ的值)

…………………………………………………………………………………………………12分(列表判断f (θ)的单调性)

所以如表38-1所示，当θ＝θ0时函数f (θ)取得最小值，此时BP