圆的一般方程PPT课件

（a）2+（b）2=r2
a=4
（1-a）2+（1-b）2=r2
解得
b=-3
（4-a）2+（2-b）2=r2
r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2. +（y+3）2=25 11
例4： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
方程①表示点
(D 2
,E 2
).
方程①不表示任何图形.
.
4
圆的一般方程:
x 2y2 D x E y F 0
(xD )2(yE )2D 2E 24 F (D2E24F0)
22 4
圆心: ( D , E )
22
半径: 1 D2E24F
2
.
5
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
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➢求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); （建系设点）
2.列出动点M满足的条件并列出等式; （条件立式） 3.列方程化简，并说明轨迹的形状. （列 方程化简）
.
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题型一
圆的一般方程的概念辨析
示圆?
x 2 y 2 D x E y F 0 (x D )2 (y E )2 D 2 E 2 4 F ①
22 4
1) 当D 2E 24F 0方程①表示以点( D , E ) 为圆心，
时,
22
1 D2E24F为半径的圆.
2
2) 当 D 2E 24F 0
时, 3) 当
D 2E 24F 0时,
.
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求圆方程的步骤: (待定系数法)
1.根据题意,选择标准方程或一般方程.
➢若已知条件与圆心或半径有关,通常设为
标准方程;
➢若已知圆经过两点或三点,通常设为
一般方程; 2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F
的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或
圆心: (1,2) 半径: r 2 2) x2y26x0
D 6 ,E F 0 D 2 E 2 4 F 3 6 圆心: ( 3 , 0 ) 半径:r 3
3 ) x 2 y 2 2 b y 0 (b 0 )
D F 0 ,E 2 b D 2 E 2 4 F 4 b 2
圆心: (0,b) 半径:r | b |
与二元二次方程： A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系:
1. A ＝ C ≠ 0 2. B=0
3. D2＋E2－4F＞0
.
二元二次方程表 示圆的一般方程
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练习:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找
出圆心和半径.
1 ) x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 D 2 ,E 4 ,F 1D 2 E 2 4 F 1 6
即 x02x4,y02y3
被动点
又点A在圆 (x1)2y2 4 上
(x01)2y024
代入得(2x4 1 )2(2y3 )24即
(x3)2(y3)2 1
所以M的轨迹是以点
3 2
,
3 2
2
2
为圆心，1为半径的圆
设主动点为(x0,y0)
被动点为(x,y)
x0=f(x),y0=g(y)
代入主动点方程
整理得. 轨迹方程
.
8
练习：将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出
圆心坐标及半径
1 )x 2 y 2 2 x 4 y 2 0 (x 1 )2(y2 )23
2 )x 2y2 2 xy 1 0(x1)2(y12)249
3)x2y24y0 x2(y2)24
.
9
.圆的一般方程的应用：
P122例4：求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，
.
15
P122例5已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,
端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点 M的轨迹方程.
解决办法：主被动点法即代入法（相关点法）
y
B
AM
o
x
.
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解.设M的坐标为(x,y) A的坐标为(x0,y0)
因为M是AB的中点
主动点
xx04,yy03
主被动点法
2
2
以(1, 2)为圆心,2为半径的圆. 2 、 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0(x1)2(y2)24
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆. 3 、 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0(x1)2(y2)2 1
不表示任何图形.
.
3
探究:
方程 x 2 y 2 D x E y F 0在什么条件下表
一般方程.
.
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求与圆有关的轨迹问题：
y
a
P(x,y)是直线a上任意一点
AxByC0
P(x,y) 点P的坐标 (x,y)满足的关系式
x
M(x,y) C
M(x,y)是圆C上任意一点
(x a)2 (y b)2 r2
点M的坐标 (x,y)满足的关系式
求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x，y所满足的关系.
2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法一： 几何方法
y
M1(1,1) M2(4,2)
0
x
.
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例4： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法二： 解：设所求圆的标准方程为：
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
.
6
圆的一般方程与二元二次方程的关系
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
4.1.2圆的一般方程
.
1
一.复习引入：
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
圆的标准方程
OC
x
特况：若圆心为O（0，0），则圆的方程为：x2 y2 r2
.
2
一.圆的一般方程： 思考:下列方程表示什么图 圆的标准方程 形1、 ? (x-1)2(y -22)4
方法三：x 2 y 2 D x E y F 0 ( D 2 E 2 4 F 0 )
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F=0
F=0
D+E+F+2E+F+20=0
E=6
所求圆的方程为:
x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25