矩母函数PPT
特征函数和矩母函数概要
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
概率统计：矩母函数
矩母函数与特征函数在计算随机变量的数字特征和概率分 布起很大的作用,它们使许多繁难的问题得到简化和解决,是证 明概率论中的许多理论问题的有力的工具.
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
5
矩母函数(5)
3) 设U ,V 独立，U ~ B(m, p),V ~ B(n, p),W U V .则 MU (t) ( pet q)m , MV (t) ( pet q)n,
MW (t) MU (t)MV (t) ( pet q)m ( pet q)n ( pet q)mn. 故W ~ B(m n, p).
6
例 5.2 设 X ~ ( , ),则
矩母函数(6)
1) M X (t)
etx x 1e xdx 0 ( )
x 1e( t)xdx. 0 ( )
xu /( t)
(
t) ( )
0
u
1eu
du
t
a
.
2)
M
X
(t)
t
a1,
M
X
(t
)
(
2
1)
t
a2
2
2) M X (t) tet2 / 2, M X (t) t 2et2 / 2 et2 / 2 ,
EX M X (0) 0, EX 2 M X (0) 1, DX EX 2 (EX )2 1.
9
矩母函数(9)
3) M X (t) et2 / 2
(t2 / 2)k k0 k !
MY (t) et M X (t). 证 MY (t) EetY Eet( X ) et Ee(t ) X et M X (t).
特征函数与矩母函数
特征函数和矩母函数
特征函数和矩母函数是概率论和数理统计中常用的概念。
特征函数是一个随机变量的唯一标识函数，它以复数形式表示。
对于一个随机变量X，其特征函数定义为：
φ(t) = E(e^(itX))
其中，φ(t)是X的特征函数，t是一个实数变量，i是虚数单位，E是数学期望操作。
特征函数的主要作用是描述随机变量X的概率分布以及其性质。
通过特征函数，可以推导出随机变量的各阶矩、特征值、协方差等统计量。
矩母函数（也称为矩生成函数）是随机变量X的矩序列所组成的函数。
对于一个随机变量X，其矩母函数定义为：
M(t) = E(e^(tX))
其中，M(t)是X的矩母函数，t是一个实数变量，E是数学期望操作。
矩母函数可以用于计算随机变量的各阶矩，包括均值、方差、偏度、峰度等。
通过矩母函数，可以推导出随机变量的统计性质，并进行概率分布的分析和比较。
总结起来，特征函数用于描述随机变量的概率分布形态，而矩母函数则用于计算随机变量的各阶矩及统计性质。
它们都是在概率论和数理统计中广泛应用的工具。
常见分布的矩母函数
常见分布的矩母函数为了更好地理解概率统计学中的常见分布，我们需要先了解矩和矩母函数的概念。
在统计学中，矩是数据分布的一个特征，它能够描述数据的中心位置和离散程度。
矩母函数是矩的生成函数，它能够表示矩的所有信息。
在本文中，我们将介绍四种常见分布的矩母函数：正态分布、泊松分布、指数分布和伽马分布。
正态分布是一种常见的连续型分布，也被称为高斯分布。
在统计学中，许多随机现象都可以用正态分布来描述，因为它服从中心极限定理。
正态分布的概率密度函数是：$$f(x)={1\over \sqrt{2\pi}\sigma}\exp \{-{1\over2}[(x-\mu )/\sigma]^{2}\},\quad-\infty <x<+\infty$$$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是方差。
正态分布的矩母函数是：我们可以通过对矩母函数求导数来得到分布的各个矩，例如：$$\mu_{1}=M'(0)=\mu$$$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)=\mu^{4}+6\mu^{2}\sigma^{2}+3\sigma^{4}$$泊松分布是一种常见的离散型分布，它经常用于描述单位时间内事件发生的次数，比如电话呼叫、到达顾客、任务处理等等。
$$P(X=k)={e^{-\lambda}\lambda^{k}\over k!},\quad k=0,1,2,\ldots$$$\lambda$ 是单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的矩母函数是：指数分布是一种常见的连续型分布，用于描述随机事件发生的等待时间。
对于一个服从指数分布的随机变量 $X$，它的概率密度函数是：$\alpha$ 和 $\beta$ 是分布的参数，$\Gamma(\cdot)$ 是欧拉伽马函数，它是阶乘函数的推广。
伽马分布的矩母函数是：$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)={\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)\over\beta^{4}}$$总结除了常见的四种分布，还有许多其他的分布也可以通过矩母函数来描述。
几何分布矩母函数
几何分布矩母函数
几何分布是一种在离散随机变量中经常使用的概率分布，它描述
了在进行一系列独立的实验中第一次成功所需要的实验次数。
在实际
问题中，几何分布经常被用来描述统计样本中的缺陷数量或非计划停
机的时间。
几何分布矩母函数是描述随机变量的一个非常重要的工具。
它定
义为随机变量的每个幂次的期望值，也就是随机变量的所有幂次的乘
积的期望值。
对于几何分布来说，矩母函数的计算非常简单。
假设一个几何分布随机变量X表示成功的实验次数，概率为p。
那么，几何分布随机变量的矩母函数为：
M(t) = E(e^(tX)) = Σ(e^(tx)*p*(1-p)^(x-1))
其中，Σ表示对所有x的值进行求和。
这个式子有一个特殊的含义，就是几何分布随机变量的矩母函数可以看做一个级数的形式，每
一项都是随机变量X的不同幂次下的概率乘以指数函数。
计算几何分布随机变量的矩母函数非常简单，因为几何分布只有
一个参数p，所以只需要代入公式即可。
同时，矩母函数在概率统计学中有着非常广泛的应用，可以用来计算各种统计量和概率分布的特征。
总之，几何分布随机变量的矩母函数是解决实际问题中非常重要
的概率统计学工具，它可以帮助人们计算各种统计量和概率分布的特征，从而更加全面地了解问题本质。
概率统计：矩母函数
et (12
)(12
2 2
)t2
/
2
因而 X
Y
~
N (1
2 ,12
2 2
).
M X (t) E(etX )， M (n) (0) EX n， M X (t) etM X (t)，
X1, , Xn 独立 M X1 Xn (t) M X1 (t) M Xn (t)，
X 和Y 有相同分布 M X (t) MY (t).
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
etxdF (x), t I
为 X 的矩母函数,常把M X (t)简记为M (t).因此
(离散型)
M X (t)
etxi P( X
i
xi ) ,
10
矩母函数(10)
例 5.4 设 X ~ N (, 2),求 X 的矩母函数.
解 设Y ( X ) / ,则Y ~ N (0,1),MY (t) et2 / 2.因为
X Y ,故
M X (t) et MY ( t) et 2t2 / 2 .
11
作业
• 习题三: 34,35,36
12
命题 6.2
设 X ,Y 独立, X
~ N (1,12 ),
Y
~
N
(2,
2 2
)
,则
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
证 M X (t) et112t2 / 2， MY (t) et2 22t2 / 2 ,故
M
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数
特征函数、母函数、矩母函数确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题可以通过微分运算求随机变量的数字特征1．特征函数：设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称：(){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞−∞−∞Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。
特征函数的性质：1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定；2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积；3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ=典型随机变量的特征函数1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+3． 几何分布：()1jtjtpe t qe Φ=− 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t eλ−−Φ= 5． 正态分布2(,)N σ∂：22()exp{}2t t j t σΦ=∂−6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt−Φ= 7． 负指数分布：()t jtλλΦ=−2．母函数研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法：对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞=Φ==⋅∑(1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换母函数的性质：1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。
2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附合泊松过程的应用)3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ=="通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。
矩母函数.ppt
现代精算风险理论
X～Uniform(0,1)，Y | X～Uniform(x,1) 怎样计算E (Y )？ 一种方法是计算联合密度 f (x, y)，然后计算
现代精算风险理论
在给定X的情况下，条件分布为 (Y | X )
，Y为随机变量，因此上式中 E(Y | X ),E(X ) 为常数，因此
E 轾 犏 ë(Y - E(Y | X ))(E(Y | X )- EY)| X û= (E(Y | X )- EY)E((Y - E(Y | X ))| X )
= (E(Y | X )- EY)(E(Y | X )- E(Y | X )) = (E(Y | X )- EY)? 0 0
E(X ) ：数字
离散情况 连续情况
E(X |Y = y)：y的函数。在知道y的值之前，不知道
E(X |Y = y)
E(X | Y) ：随机变量，当Y=y时，E(X | Y = y) 的值
E(r(X ,Y )| Y)：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X～Uniform(0,1) 采样，在给定x后，在对
òå E (X | Y = y)= ìïïïíïïïî
xfX|Y (x | y) 离散情况 xfX|Y (x | y)dx 连续情况
如果r (x, y)是x和y的函数，那么
E (r(X ,Y )| Y
=
y) =
òå ìïïïíïïïî
r (x, y) fX|Y (x | y) r (x, y) fX|Y (x | y)dx
特征函数与矩函数的关系28页PPT
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。1、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
特征函数与矩母函数
特征函数与矩母函数特征函数和矩母函数是概率论和数理统计中常用的工具，用于描述随机变量的性质和分布。
它们在统计推断、参数估计、假设检验等方面发挥着重要作用。
本文将详细解释特征函数和矩母函数的定义、用途和工作方式，并给出一些实际应用的例子。
1. 特征函数（Characteristic Function）1.1 定义特征函数是一个复数值函数，对于一个随机变量X，其特征函数定义为：ϕX(t)=E[e itX]其中，t是实数，i是虚数单位。
1.2 用途特征函数可以完整地描述一个随机变量的分布性质。
它包含了所有阶的矩信息，并且唯一地确定了随机变量的分布。
通过特征函数可以计算出随机变量的均值、方差、偏度、峰度等统计量。
1.3 工作方式给定一个随机变量X，我们可以通过求解期望来计算其特征函数。
首先，我们将复指数项展开为正弦和余弦项：e itX=cos(tX)+isin(tX)然后，取期望得到特征函数：ϕX(t)=E[cos(tX)]+iE[sin(tX)]特征函数的实部和虚部分别是随机变量的余弦和正弦分布的特征函数。
2. 矩母函数（Moment Generating Function）2.1 定义矩母函数是一个实数值函数，对于一个随机变量X，其矩母函数定义为：M X(t)=E[e tX]2.2 用途矩母函数同样可以用于描述随机变量的性质和分布。
通过矩母函数可以计算出随机变量的矩信息，如均值、方差、偏度、峰度等统计量。
2.3 工作方式与特征函数类似，我们可以通过求解期望来计算随机变量的矩母函数。
将指数项展开为幂级数：e tX=∑(tX)n n!∞n=0然后取期望得到矩母函数：M X(t)=E[∑(tX)n n!∞n=0]=∑t n E[X n]n!∞n=0矩母函数的n阶导数在t=0处的值等于随机变量的n阶原点矩。
3. 特征函数与矩母函数的关系特征函数和矩母函数之间存在着紧密的联系。
通过特征函数可以推导出矩母函数，反之亦然。
正态分布矩母函数
正态分布矩母函数正态分布是概率论和统计学中一种非常重要的连续概率分布。
它在应用领域中广泛应用，经常用于描述连续随机变量的分布情况，如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数可表示为：f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]其中，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的矩母函数是指以分布的参数（μ和σ）为自变量的矩函数的生成函数。
矩函数是随机变量的一种特征函数，用于描述随机变量的统计特性。
对于正态分布的矩母函数，我们可以先计算它的算术平均值，然后用该平均值来计算方差，依次类推。
设X是一个符合正态分布的随机变量，其概率密度函数为f(x)。
那么X的n阶原点矩可表示为：m_n = E(X^n) = \int_{-\infty}^{\infty} x^n f(x) dx\]其中，E表示数学期望。
根据正态分布的概率密度函数，我们可以将其代入上述公式进行计算。
首先，计算随机变量X的一阶原点矩：m_1 = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx\]将正态分布的概率密度函数代入，得到：m_1 = \int_{-\infty}^{\infty}x\left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) dx\]通过变量替换将上面的积分转化为标准正态分布的积分形式，得到：m_1 = \mu\]可以发现，随机变量X的一阶原点矩等于均值μ。
接下来，我们计算二阶原点矩：m_2 = E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx\]将正态分布的概率密度函数代入：m_2 = \int_{-\infty}^{\infty} x^2\left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) dx\]通过变量替换，将上面的积分转化为标准正态分布的积分形式，得到：m_2 = \sigma^2 + \mu^2\]同样可以发现，随机变量X的二阶原点矩等于方差σ²加上均值μ²。
特征函数和矩母函数课件
特征函数和矩母函数课件
什么是特征函数？
特征函数是一种连续变量，用来表示给定概率分布的连续特征。
它们借助独特的函数结构来帮助理解该分布的性质。
一般情况下，特征函数被定义为概率密度函数的积分或积分的产物，其中使用的是一组实数序列λ1，λ2，...，λn，称为参数。
它也可以考虑为对概率密度函数的一种广义函数格式的描述。
矩母函数是一种特征函数，用于根据一定的参数描述和控制一组数据的变化模式。
它也被称为矩函数或越积函数，其基本定义为一个有限个参数的多项式，由此引出一组非负实数。
矩母函数拥有独特的性质和拓扑表示，对概率密度函数进行信息可视化具有重要意义。
它也常用于表示一个系统中细胞的状态等普遍现象。
布朗运动的矩母函数
布朗运动的矩母函数
1.什么是布朗运动？
布朗运动指的是物质在空气或液体中的无规律运动。
它是由于物质受到周围分子的不规则碰撞而引起的。
布朗运动具有随机性和不可预测性，是物理学和化学中的重要现象。
2.矩母函数的定义
在概率论和统计学中，矩母函数是一个用来描述概率分布的函数。
它定义为该分布的所有阶矩的累积生成函数。
在物理学和化学中，矩母函数常常用来描述分子的振动和动力学行为。
3.布朗运动的矩母函数
布朗运动的矩母函数可用来描述物质在空气或液体中的无规律运动。
它可以被表示为：
M(t)=exp(-λt)
其中，M(t)是矩母函数，λ是分子的扩散系数。
分子的运动越剧烈，扩散系数越大，矩母函数衰减的越快。
布朗运动的矩母函数的形式决定了分子的动力学行为和随机性。
4.布朗运动的应用
布朗运动是非常重要的现象，它在物理学和化学中具有广泛的应用。
例如，在化学反应中，布朗运动可以影响分子之间的相互作用和
反应速率。
在纳米技术中，布朗运动可以通过观察颗粒的扩散来测量粒子的大小和形状。
在金融学中，布朗运动可以用来模拟股票价格的随机波动。
5.结论
布朗运动的矩母函数是描述物质在空气或液体中的无规律运动的重要工具。
通过矩母函数，我们可以了解分子的动力学行为和随机性，在化学、纳米技术和金融学等领域中具有广泛的应用。
矩母函数和期望的关系
矩母函数和期望的关系矩母函数,矩母函数和特征函数,1定义,称的数学期望,为随机变量X的矩母函数,2原点矩的求法,利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对逐次求导，并计算在点的值,1,3和的矩母函数,定理1,设相互独立的随机变量的矩母函数分别为，则其和,的矩母函数为,2,4. 母函数定义：设X是非负整数值随机变量，分布律PX=k=pk，k=0,1, 则称为X的母函数,3,性质：（1）非负整数值随机变量的分布律pk由其母函数P(s)唯一确定（2）设P(s)是X的母函数，若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- P(1)2,4（3）独立随机变量之和的母函数等于母函数之积。
（4）若X1,X2,是相互独立同分布的非负整数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非负整数值随机变量，则的母函数H(s)=G(P(s) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数,5,证明：(1,6,2,7,设离散型非负整数随机变量X,Y 的分布律分别为PX=k=pk，PY=k=qk，k=0,1, ，则Z=X+Y的分布律为PZ=k=ck,其中ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0 设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有,3,8,9,4,10,11,12,欧拉公式,二、特征函数,1 .特征函数,设X为随机变量，称复随机变量的数学期望,为X的特征函数，其中t是实数,还可写成,13,分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散型随机变量X，特征函数为概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征函数为,对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特征函数为,14,性质：(1) 。
(2) 在（-，）上一致连续。
(3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则, k n 当k=1时，EX = ；当k=2时，DX =,15,4) 是非负定函数。
(5)若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量，则X=X1+X2+Xn的特征函数为(6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对应且相互唯一确定,16,如果随机变量X为连续型，且其特征函数绝对可积，则有反演公式,相差一个负号的傅立叶逆变换,相差一个负号的傅立叶变换,17,例1,设随机变量X服从参数为的泊松分布，求X的特征函数,解,由于,所以,麦克劳林公式,18,例2,设随机变量X服从a，b上的均匀分布，求X的特征函数,解,X的概率密度为,所以,19,例3：设X服从二项分布B(n, p)，求X的特征函数g(t)及EX、EX2、DX,解: X的分布律为P(X=k)= ，q=1-p，k=0,1,2,n,20,例4：设XN(0,1)，求X的特征函数。
特征函数和矩母函数ppt课件
(t) eitxk pk k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征
函数为
(t) eitx f (x)dx
对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特
征函数为
(t) (t1,t2,
, tn ) EeitX
E
exp
i
的数学期望 X (t) E[eitX ]
为X的特征函数，其中t是实数。
X (t) X (it)
欧拉公式：
ei cos i sin
还可写成
X (t) E[costX ] iE[sintX ]
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13
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散
型随机变量X，特征函数为
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1
3．和的矩母函数
定理1
设相互独立的随机变量 X1，X 2，，X r 的
矩母函数分别为 1 (t) ， 2 (t) ，…， r (t) ，
则其和 Y X1 X 2 X r 的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2 (t) … r (t)
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2
4. 母函数
P Y
k,
{N
l}s
k
k0
l 0
P{Y k, N l}sk k0 l0
P{Y k}P{N l}sk k0 l0
P{N l} P{Y k}sk
l 0
k 0
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10
ppt课件
15
(4) (t)是非负定函数。
随机过程方兆本1.2条件期望和矩母函数PPT共17页
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❖ 知识是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
随机过程方兆本1.2条件期望和矩母函 数
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
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X |Y y
xfX|Y x | y 离散情况 xfX|Y x | y dx 连续情况
如果r x, y 是x和y的函数，那么
r X,Y |Y y
r x, y f X|Y x | y 离散情况 r x, y f X|Y x | y dx 连续情况
X ：数字
X |Y y：y的函数。在知道y的值之前，不知道
现代精算风险理论
定理：对随机变量X和Y，假设其期望存在，则
Y|X = Y ,
X |Y = X
与Y有关的随机变量
更一般地，对任意函数 r x, y
r X,Y | X = r X,Y
证明：利用条件期望的定义和 f x, y f x f y | x
Y | X = Y | X x fX x dx yf y | x fX x dxdy
X |Y y
X | Y ：随机变量，当Y=y时， X | Y y 的值
r X ,Y | Y：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X～Uniform 0,1 采样，在给定x后，在对
Y | X～Uniform x,1 采样
直观地，期望
事实上，对 x 得到期望
Y |X
因而
Y |X
Y |X x 1 x /2
现代精算风险理论
混合分布举例
例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个随
机变量，用
表示；另外假设每个蛋的
是否存活是独立的Y ，~ 存Po活iss的ion概率为p, 为Bernoulli分布
，用X表示存活的数量，则
X |Y ~ Binomial Y , p
(X x)
(X x,Y y)
(X x | Y y) (Y y)
Y|X
Y|X Y|X
2
Y|X Y
2
Y 2Y
Y|X
Y|X Y
I II III
2
I
Y Y|X
2
II
Y|X Y
2
Y Y|X |X Y|X
III 2 Y Y | X Y | X Y
Y
Y|X Y|X Y|X Y |X
现代精算风险理论
在给定X的情况下，条件分布为 Y | X ，Y为随机变量，因此上式中 Y | X , X 为常数，因此
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
Xt
etX
其中t在实数上变化。
etxdFX x
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期望 操作，所以有：
0
d etX
dt
t0
取k阶导数，可以得到
d etX
XetX
X
dt t 0
t0
k0
X k 方便计算分布的矩
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
现代精算风险理论
拉式变换与概率分布函数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足 (-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明
计算 Y =
2 Y|X =
1
X
1+ X
2
2
= 1+
1+ 1 X = 2 =3 4
2
2
现代精算风险理论
条件方差
定义：条件方差定义为
Y|X x
y
2
x f y | x dy
其中
x Y|X x
定理：对随机变量X和Y，
Y = Y|X
Y|X
现代精算风险理论
证明： Y
根据定义，
Y
Y
Y|X
Y2
Y
2
Y Y|X
三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名Biblioteka 因于下述公式： E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换 s=-t,LX(s)=MX(t)
LX (s) E[e sX ] e sX dF (x) , s 0
通常称上式为X的laplace变换。
y0
y0
y px 1 p y x e y
yx x
y!
e p px x!
现代精算风险理论
X ~ Poission p
期望： X p 亦可通过条件期望计算：
X
X |Y
pY p
方差： X p 亦可通过条件期望计算：
X
X |Y
X |Y
Yp 1 p
Yp
p 1 p Y p2 Y p 1 p p2
p
现代精算风险理论
y 1，有 fY|X y | x 1/ 1- x
1
11
x
x yfYY||XX
y | x dy 1/ 11--xx
ydy
x
1 X /2
fY|X y | x 1/ 1- x
1x 2
注意： Y | X 1 X / 2是随机变量，当 X x时， 其值为
Y |X x 1 x /2
思考题：当X与Y独立时， X | Y y 的值？
性质1： 例：
从而：
现代精算风险理论
再考虑： 于是：
Y Y|X Y|X Y |X
Y|X Y Y Y|X |X
Y|X Y Y|X Y|X Y|X Y 0 0
所以
Y
Y|X
Y|X
现代精算风险理论
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定 ，如 f x |，这些参数 通常又是一个随机变 量（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution) 渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分 布与边缘分布 希望知道 f x ，至少是其期望和均值（条件 期望和方差）
yf y | x dyfX x dx yf x, y dxdy Y
现代精算风险理论
X～Uniform 0,1 ，Y | X～Uniform x,1
怎样计算 Y ？ 一种方法是计算联合密度 f x, y，然后计算
Y
yf x, y dxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 Y | X = 1 X
定
X是离散型r. v
义
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个
区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
现代精算风险理论
现代精算风险理论
矩母函数与随机变量X的各阶矩
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
现代精算风险理论
另一方面： 于是：
现代精算风险理论
山东财经大学保险学院 谭璐
条件期望、矩母函数
主要内容
一、条件期望 二、混合分布 三、矩母函数 四、特征函数
现代精算风险理论
一、条件期望
fX|Y x | y
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率
分布 也能求期望，称为条件期望
现代精算风险理论
定义 给定Y y时，X的条件期望是