矩母函数PPT

计算 Y =
2 Y|X =
1
X
1+ X
2
2
= 1+
1+ 1 X = 2 =3 4
2
2
现代精算风险理论
条件方差
定义：条件方差定义为
Y|X x
y
2
x f y | x dy
其中
x Y|X x
定理：对随机变量X和Y，
Y = Y|X
Y|X
现代精算风险理论
证明： Y
根据定义，
Y
Y
Y|X
Y2
Y
2
Y Y|X
yf y | x dyfX x dx yf x, y dxdy Y
现代精算风险理论
X～Uniform 0,1 ，Y | X～Uniform x,1
怎样计算 Y ？ 一种方法是计算联合密度 f x, y，然后计算
Y
yf x, y dxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 Y | X = 1 X
山东财经大学保险学院 谭璐
条件期望、矩母函数
主要内容
一、条件期望 二、混合分布 三、矩母函数 四、特征函数
现代精算风险理论
一、条件期望
fX|Y x | y
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率
分布 也能求期望，称为条件期望
现代精算风险理论
定义 给定Y y时，X的条件期望是
性质1： 例：
从而：
现代精算风险理论
再考虑： 于是：
现代精算风险理论
定理：对随机变量X和Y，假设其期望存在，则
Y|X = Y ,
X |Y = X
与Y有关的随机变量
更一般地，对任意函数 r x, y
r X,Y | X = r X,Y
证明：利用条件期望的定义和 f x, y f x f y | x
Y | X = Y | X x fX x dx yf y | x fX x dxdy
三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名起因于下述公式： E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换 s=-t,LX(s)=MX(t)
LX (s) E[e sX ] e sX dF (x) , s 0
通常称上式为X的laplace变换。
Y Y|X Y|X Y |X
Y|X Y Y Y|X |X
Y|X Y Y|X Y|X Y|X Y 0 0
所以
Y
Y|X
Y|X
现代精算风险理论
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定 ，如 f x |，这些参数 通常又是一个随机变 量（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution) 渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分 布与边缘分布 希望知道 f x ，至少是其期望和均值（条件 期望和方差）
X |Y y
xfX|Y x | y 离散情况 xfX|Y x | y dx 连续情况
如果r x, y 是x和y的函数，那么
r X,Y |Y y
r x, y f X|Y x | y 离散情况 r x, y f X|Y x | y dx 连续情况
X ：数字
X |Y y：y的函数。在知道y的值之前，不知道
现代精算风险理论
混合分布举例
例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个随
机变量，用
表示；另外假设每个蛋的
是否存活是独立的Y ，~ 存Po活iss的ion概率为p, 为Bernoulli分布
，用X表示存活的数量，则
X |Y ~ Binomial Y , p
(X x)
(X x,Y y)
(X x | Y y) (Y y)
定
X是离散型r. v
义
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个
区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
现代精算风险理论
现代精算风险理论
矩母函数与随机变量X的各阶矩
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
现代精算风险理论
另一方面： 于是：
现代精算风险理论
X |Y y
X | Y ：随机变量，当Y=y时， X | Y y 的值
r X ,Y | Y：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X～Uniform 0,1 采样，在给定x后，在对
Y | X～Uniform x,1 采样
直观地，期望
事实上，对 x 得到期望
Y |X
因而
Y |X
Y |X x 1 x /2
y0
y0
y px 1 p y x e y
yx x
y!
e p px x!
现代精算风险理论
X ~ Poission p
期望： X p 亦可通过条件期望计算：
X
X |Y
pY p
方差： X p 亦可通过条件期望计算：
X
X |Y
X |Y
Yp 1 p
Yp
p 1 p Y p2 Y p 1 p p2
p
现代精算风险理论
现代精算风险理论
拉式变换与概率分布函数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足 (-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
Xt
etX
其中t在实数上变化。
ห้องสมุดไป่ตู้
etxdFX x
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期望 操作，所以有：
0
d etX
dt
t0
取k阶导数，可以得到
d etX
XetX
X
dt t 0
t0
k0
X k 方便计算分布的矩
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
Y|X
Y|X Y|X
2
Y|X Y
2
Y 2Y
Y|X
Y|X Y
I II III
2
I
Y Y|X
2
II
Y|X Y
2
Y Y|X |X Y|X
III 2 Y Y | X Y | X Y
Y
Y|X Y|X Y|X Y |X
现代精算风险理论
在给定X的情况下，条件分布为 Y | X ，Y为随机变量，因此上式中 Y | X , X 为常数，因此
y 1，有 fY|X y | x 1/ 1- x
1
11
x
x yfYY||XX
y | x dy 1/ 11--xx
ydy
x
1 X /2
fY|X y | x 1/ 1- x
1x 2
注意： Y | X 1 X / 2是随机变量，当 X x时， 其值为
Y |X x 1 x /2
思考题：当X与Y独立时， X | Y y 的值？