第二章圆锥曲线与方程教案

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2-2双曲线教学案新人教A版选修1_1

高中数学第二章圆锥曲线与方程2-2双曲线教学案新人教A版选修1_1第1课时双曲线及其标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P45～P48的内容，回答下列问题．(1)观察教材P45－图2.2－1，思考下列问题：①在点M移动的过程中，的值发生变化吗？提示：不变.＝|FF2|．②动点M的轨迹是什么？提示：双曲线．(2)利用教材P46－图2.2－2所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？提示：设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由＝2a，可得－＝1，令b2＝c2－a2，则双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)．2．归纳总结，核心必记(1)双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)双曲线的标准方程[问题思考](1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？提示：双曲线的一支．(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示：①如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．②如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．(3)如何判断方程－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点位置？提示：若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y 轴上．(4)方程＋＝1表示哪种曲线呢？提示：当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线．(5)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a，b，c之间的关系有什么区别？提示：在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2．[课前反思](1)双曲线的定义是：；(2)双曲线的标准方程是：；(3)如何由双曲线方程确定焦点的位置？．[思考] 要求双曲线的标准方程，应确定哪些条件？名师指津：(1)确定焦点的位置；(2)确定a和b的值．。

人教A版高中数学选修1-1《二章圆锥曲线与方程 2.3 抛物线圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课教案_3

高中数学人教A版2003课标版选修1-1第二章圆锥曲线与方程→2.3抛物线→阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用《圆锥曲线的光学性质及其应用》的教学设计第一课时抛物线的光学性质及其应用一、教学目标1.理解抛物线的光学性质，并会应用数学推理得出抛物线的光学性质，并会应用它解决数学问题。

2.会用数学建模的思想将实际生活问题数学化，也会用数学建模的思想将数学问题生活化。

二、教学重点理解抛物线的光学性质并会推导。

三、教学难点数学建模思想的应用。

四、教学过程（一）课题引入问题一：手电筒一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线。

这是为什么呢?设计意图：从生活中的一个例子出发，提出问题，引发学生的求知欲，从而提出课题。

（二）课题提出抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．问题二：生活问题数学化要探究抛物线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证，那么我们如何用数学语言阐述并证明抛物线的光学性质?设计意图：提出抛物线的光学性质，并通过列举它在生活中的大量应用，让学生感知数学无处不在，并有将生活问题数学化的欲望。

人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程全章教案

第二章圆锥曲线与方程课题：2.1曲线与方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程．分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．∴△=16b4-4a4b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2．(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．答案：义法)由中点坐标公式得：(四)、教学反思求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．五、布置作业1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=42．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线六、板书设计课题：椭圆及其标准方程教学目标：1.知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。

高二圆锥曲线与方程教案

那么，这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线.
二、求曲线的方程
1.解析几何：
用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.
解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；
（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.
2.求曲线方程的步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；
A ＋＝1B ＋＝1C ＋＝1D ＋＝1
6、椭圆的焦点坐标为（C）
A、 B、 C、 D、
7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C)
（A）2（B）6（C）4（D）12
8．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（A）
2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率 .
3.双曲线的第二定义：当平面内点到一个定点的距离和它到一条定直线：的距离的比是常数时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.
5.共渐近线的双曲线可写成；
共焦点的双曲线可写成 .
2.4抛物线
一、抛物线的定义：
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.
注意：当定点在定直线上时，点的轨迹为过点与直线垂直的直线.
二、抛物线的标准方程与简单几何性质：
标准方程
注意：
1. 、、、的几何意义：叫做长半轴长；叫做短半轴长；叫做半焦距；、、之间满足 . 叫做椭圆的离心率，且，可以刻画椭圆的扁平程度，越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆.

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选修1－2 第2章圆锥曲线与方程复习小结教学目的：1通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系2 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识3 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点：三种曲线的标准方程和图形、性质教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点教学过程：一、复习引入椭圆、双曲线：二、讲解范例：例1 根据下列条件，写出椭圆方程⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； ⑵ 和椭圆9x 2+4y 2=36有相同的焦点，且经过点(2，－3)；⑶ 中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是10－分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a 2=b 2+c 2及已知条件确定a 2、b 2的值进而写出标准方程解 ⑴ 焦点位置可在x 轴上，也可在y 轴上，因此有两解：1121611216222=+=+x y y x 或 ⑵ 焦点位置确定，且为（0，5±），设原方程为12222=+by a x ,(a>b>0)，由已知条件有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-14952222b ab a 10,1522==⇒b a ,故方程为10152=+x y⑶ 设椭圆方程为12222=+by a x ,(a>b>0)由题设条件有⎩⎨⎧-=-=510c a cb 及a 2=b 2+c 2，解得b=10,5=a ,故所求椭圆的方程是5102=+y x 例2 中心在原点，一个焦点为F 1（0，50）的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F 1（0，50）知，c=50，5022=-∴b a ，最后解关于a 、b 的方程组即可解：设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由F 1（0，50）得 5022=-b a把直线方程23-=x y 代入椭圆方程整理得：0)4(12)9(222222=-+-+a b x b x b a设弦的两个端点为),(),,(2211y x B y x A ，则由根与系数的关系得：22221912ba b x x +=+，又AB 的中点横坐标为21，2196222221=+=+∴ba b x x 223b a =∴，与方程5022=-b a 联立可解出25,7522==b a 故所求椭圆的方程为：1257522=+y x 例3 已知抛物线方程为)0)(1(22>+=p x p y ，直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求p 的值．解：设l 与抛物线交于1122(,),(,),|| 3.A x y B x y AB =则由距离公式|AB|=221221)()(y y x x -+-1212||y y y y -=-则有 2129().2y y -=由.02,).1(2,21222=-+⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+p py y x x p y p y x 得消去 .,2.04)2(2212122p y y p y y p p -=-=+∴>+=∆从而.294)2(,4)()(2221221221=+--+=-p p y y y y y y 即由于p>0，解得43=p 三、小结：（1）直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种（2）可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系但有一解不一定是相切，要根据斜率作进一步的判定四、课后作业：五、板书设计（略）六、课后记：采用数形结合、类比联想（椭圆）、启发诱导的教学方法，注重思维能力的培养和学生动手操作的能力的训练。

高中数学第2章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程(教学用书)教案 1数学教案

2.1 曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？[提示](1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)充要条件是f(x0，y0)＝0．2．求曲线方程的步骤1．下列结论正确的个数为 ( )(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；(2)到x轴距离为3的直线方程为y＝－3；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0．A．1 B．2C．3 D．4A[(1)满足曲线方程的定义，∴结论正确．(2)到x轴距离为3的直线方程还有一个y＝3，∴结论错误．(3)∵到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1，∴结论错误．(4)∵中线AD是一条线段，而不是直线，∴中线AD 的方程为x＝0(－3≤y≤0)，∴结论错误．]2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上B[将点M的坐标代入直线l和曲线C的方程知点M在直线l 上，也在曲线C上．]3．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是( )A．一个点B．两条互相平行的直线C．两条互相垂直的直线D．两条相交但不垂直的直线D[∵4x2－y2＋4x＋2y＝0，∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，∴2x＋1＝±(y－1)，∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．]4．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝3，则点P的轨迹方程为________．x－2y＋3＝0[由题意OP→＝(x，y)，OA→＝(－1,2)，则OP→·OA→＝－x＋2y．由OP→·OA→＝3，得－x＋2y＝3，即x－2y＋3＝0．]曲线与方程的概念，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是 ( )A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；③第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．(1)B[根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错．](2)解：①过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5．因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5．③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0．1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．[跟进训练]1．(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( )A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0D ．不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0C [根据曲线的方程的定义知，选C ．](2)已知方程x 2＋(y －1)2＝10．①判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； ②若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值． [解] ①因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．②因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10．解得m ＝2或m ＝－185．故实数m 的值为2或－185．用直接法(定义法)求曲线方程1．求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？[提示]只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹．建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．2．在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？[提示]根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明．【例2】在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．思路探究：以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解．法二(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上．[解]法一(直接法)：取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O 为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以(x＋a2＋y2)2＋(x－a2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2．由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a．所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一．因为AC⊥BC，则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B 两点)，因此顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．若本例题改为“一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．”如何求解？[解]设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|．则|8－x|＝2x－22＋y－02，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48．直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0．要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．2．定义法求曲线方程如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．代入法求轨迹方程【例3】已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程．[解] 设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)，则点N 的坐标为(0，y 0)．因为OQ →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)，则x 0＝x ，y 0＝y 2．又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4．所以，动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1．代入法求轨迹方程的步骤1分析所求动点与已知动点坐标间关系； 2用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点； 3代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程. [跟进训练]2．已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解] 设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1． ∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x ，y )，而不要设成(x 1，y 1)或(x ′，y ′)等．4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f (x ，y )＝0化成x ，y 的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．1．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．12D ．13D [因为点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，所以代入曲线方程可得a ＝13，故选D ．] 2．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线为( )A ．两条线段B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段A [由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0， ∴有y ＝|x |，|x |≤1．∴曲线表示两条线段，故选A ．]3．已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (－3，0)，B (3，0)，顶点C 的轨迹是( )A ．一条直线B ．一条直线去掉一点C ．一个点D ．两个点B [由题意知|AC |＝|BC |，则顶点C 的轨迹是线段AB 的垂直平分线(除去线段AB 的中点)，故选B ．]4．动点M 与距离为2a 的两个定点A ，B 的连线的斜率之积等于－12，求动点M 的轨迹方程． [解] 如图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－a,0)，B (a,0)．设M (x ，y )为轨迹上任意一点，则k MA ＝yx ＋a ，k MB ＝yx －a (x ≠±a )．∵k MA ·k MB ＝－12，∴y x ＋a ·y x －a ＝－12，化简得：x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．∴点M 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．。

第二章圆锥曲线与方程教案

第二章圆锥曲线与方程[课标研读]［课标要求］ 1.圆锥曲线① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.④ 了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. 2.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. [命题展望]本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。

通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值高达30分左右。

主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。

第一讲椭圆[知识梳理]［知识盘点］一．椭圆的基本概念1．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（ |,|21F F ）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为。

这两个定点叫椭圆的，两个焦点之间的距离叫做椭圆的。

2．椭圆的第二定义：平面内，到定点)0,(c F 的距离与到定直线:l 的距离之比是常数a c （即）的动点的轨迹叫做椭圆，其中常数ac叫做椭圆的。

数学第二章圆锥曲线与方程教案新人教版选修1 1 教案

2.1.2椭圆的简单几何性质; 2.2.1双曲线及其标准方程；2.2.2双曲线的简单几何性质课时教学设计：图像a 、b 、c 00>>>>c a b a焦点 ),0(),0(21c F c F -范围 b y a x ≤≤, b x a y ≤≤,对称性椭圆关于y 轴、x 轴和原点都对称顶点长、短轴长长轴: A1A2 长轴长短轴：B1B2短轴长教学难点双曲线的标准方程的推导。

教学方法讲授法、启发法、讨论法、情境教学法、小组合作交流复习引入（一）创设情景、引入概念用Flash动画演示，平面从竖直方向由上往下截圆锥体，得到两只双曲线，这种曲线就是本课要研究的对象——双曲线。

（二）温故知新，寻求引领方法问题1：椭圆的定义是什么？如何作椭圆？问题2：椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？（边回顾知识，边播放Flash 课件，动画展示椭圆的形成过程，注重于研究问题的方法）问题3：在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？（三）动手演示，感受双曲线形成问题4：能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？（师生共同研究探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值）※作图探索：取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其端点，在另一边的中间部分取一点，分别固定在纸上的两个定点F1和F2处，（注意F1F2的距离要比拉链两点的差要大），把笔尖搭在拉链头M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线．（如此教学不仅形象生动引发学生学习兴趣，更有利于学生对概念的理解和掌握。

）（四）剖析特征，提炼双曲线定义1、分析绘图原理拉链在拉开、闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即|MF1|=|MF2|+|F2F|，动点M变化时，|MF1|与|MF2|在不断变化，但总有|MF1|-|MF2|=|F2F|，而|F2F|为定长，所以点M到两定点F1和F2的距离之差为常数，记为|F2F|=2a，即|MF1|-|MF2|=2a ，如上图（B）。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 1数学教案

2．1.1 曲线与方程曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是□01这个方程的解；(2)以□02这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做□03曲线的方程，这条曲线叫做□04方程的曲线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上，则方程f(x，y)＝0即为曲线C的方程．( )(2)若曲线C上的点满足方程F(x，y)＝0，则坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线C上．( )(3)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．( )答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)写出曲线xy＋4x－3y＝0与坐标轴的交点的坐标________．(2)直线C1：x＋y＝0与直线C2：x－y＋2＝0的交点坐标为________．(3)(教材改编P 37T 2)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 在方程x 2＋(y ＋1)2＝5表示的曲线上，则m ＝________.(4)x 2＋y 2＝1(x >0)表示的曲线是________．答案 (1)(0,0) (2)(－1,1) (3)－3或65(4)以(0,0)为圆心，1为半径的圆在y 轴右侧的部分探究1 曲线与方程的概念例1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线与方程|x |＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系．[解] (1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解；但以方程|x |＝2的解为坐标的点不一定都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此，|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5；但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.拓展提升判断方程是否是曲线的方程的两个关键点一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．【跟踪训练1】设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0答案D解析命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的，“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错误，而B显然错误，选D.探究2 点与曲线的位置关系例2 已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，求k 的取值范围．[解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上．(2)因为曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 过点(a ，－a )，所以a 2＝－a 2＋2a ＋k .所以k ＝2a 2－2a ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a －122－12，所以k ≥－12，所以k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 拓展提升点与曲线位置关系问题的求解方法判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，将所给点的坐标代入曲线的方程，可求点或方程中的参数．【跟踪训练2】已知0≤α<2π，若点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，求α.解 ∵点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，∴(cos α－2)2＋sin 2α＝3，∴cos 2α－4cos α＋4＋sin 2α＝3，∴cos α＝12. 又∵0≤α<2π，∴α＝π3或5π3. 探究3 由方程研究曲线的类型和性质例3 方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是( )A ．一条直线和一个圆B ．一条直线和半个圆C ．两条射线和一个圆D ．一条线段和半个圆[解析] 由题意方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0可化为x 2＋y 2－9＝0或x ＋y －2＝0(x 2＋y 2－9≥0)，∴方程(x ＋y －2) x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是两条射线和一个圆．故选C.[答案] C拓展提升判断方程表示曲线的方法判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程表示的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．【跟踪训练3】方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是A ．直线2x －y ＝0B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0答案 C解析 ∵4x 2－y 2＋6x －3y ＝(2x ＋y )(2x －y )＋3(2x －y )＝(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0.探究4 两曲线的交点问题例4 已知直线y ＝mx ＋3m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，255 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－255，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255，255 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，147 [解析] 直线y ＝m (x ＋3)过定点(－3,0)，曲线y ＝4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示半圆，设直线y ＝mx ＋3m 与半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)相切时的倾斜角为α，sin α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53，所以切线斜率m ＝tan α＝2353＝255.由图为使直线y ＝mx ＋3m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，m的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，255. [答案] A[条件探究] 如果直线方程改为“y ＝x ＋3m ”，其他条件不变，应该怎样解答？解直线y ＝x ＋3m 与直线y ＝x 平行，且在y 轴上的截距为3m ，当3m ＝2，即m ＝23时，直线y ＝x ＋3m 与半圆y ＝4－x 2恰有两个不同的交点，当3m ＝22，即m ＝223时，直线y ＝x ＋3m 与半圆y ＝4－x 2相切．由图可知，为使直线y ＝x ＋3m 与曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，m 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫23，223. 拓展提升求曲线交点的三个步骤(1)联立：联立方程组把两条曲线的方程联立，构成方程组；(2)求解：求解联立的方程组；(3)得交点：根据方程组的解确定交点，解的个数决定两曲线交点的个数．【跟踪训练4】已知直线l ：x ＋y ＝a 及曲线C ：x 2＋y 2－4x －4＝0，则实数a 取何值时分别有一个交点，两个交点，无交点．解联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝a ，x 2＋y 2－4x －4＝0，消去y ，得2x 2－(2a ＋4)x ＋a 2－4＝0，则Δ＝(2a ＋4)2－8(a 2－4)＝－4a 2＋16a ＋48，当Δ＝0，即a 2－4a －12＝0，得a ＝6或a ＝－2，此时有两相等实根；当Δ>0，即a 2－4a －12<0，得－2<a <6，此时有两不相等实根；当Δ<0即a 2－4a －12>0得a <－2或a >6，此时无根．综上所述，当a ＝－2或a ＝6时有一个交点；当－2<a <6时有两个交点；当a <－2或a >6时无交点．1.判断曲线与方程关系的思路曲线与方程建立了对应，即把点和坐标的对应过渡到曲线和方程的对应，因此判断曲线与方程的关系时，需同时判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，曲线上点的坐标是否都是方程的解.2.点与曲线位置关系问题的求解方法(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.3.研究两曲线交点问题的方法关于曲线的交点问题，通常表现为两种类型：一是判定两曲线是否存在交点；二是求解交点及和交点有关的问题．在解决这些问题时，除要用到方程(组)的方法及相关知识外，有时还需综合应用各种曲线自身所具有的某些几何性质.1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )答案C解析对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x ＋y)(x－y)＝0表示两条相交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0.2．已知直线l：x＋y－4＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,2)( )A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上答案A解析将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l，M∉C.3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( )A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线答案 B解析由已知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝±2，y ＝±2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－2. 4．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________．答案点(1,2) 解析由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0且y －2＝0即x＝1，且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1,2)．5．证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝±x . 证明 (1)如图所示，设M (x 0，y 0)是轨迹上任一点，因为点M 到x 轴的距离为|y 0|，到y 轴的距离为|x 0|，所以|x 0|＝|y 0|，即y 0＝±x 0，所以轨迹上任一点的坐标都是方程y ＝±x 的解．(2)设点M 1的坐标为(x 1，y 1)，且是方程y ＝±x 的解，则y 1＝±x 1，即|x 1|＝|y 1|，而|x 1|，|y 1|分别是点M 1到y 轴，x 轴的距离，因此点M 1到两坐标轴的距离相等，即点M 1是曲线上的点．由(1)(2)可知，y ＝±x 是到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程．。

圆锥曲线与方程教案

第二章圆锥曲线与方程一、授课课题：§椭圆二、教学目标三维目标：1、知识与技能：理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．2、过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力;3、情感、态度与价值观:通过运用椭圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣;三、教学重点:椭圆的标准方程四、教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求椭圆的标准方程;五、教学方法：尝试,探究六、教学手段教学用具：课件七、课时安排:一课时八、学情分析：iii 例题讲解与引申例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,()2,0,并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解．另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>,因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上,则22222591104464a a bb a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩．例2 如图,在圆224x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足．当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M的轨迹是什么分析：点P 在圆224x y +=上运动,由点P 移动引起点M 的运动,则称点M 是点P 的伴随点,因点M 为线段PD 的中点,则点M 的坐标可由点P 来表示,从而能求点M 的轨迹方程．引申：设定点()6,2A ,P 是椭圆221259x y +=上动点,求线段AP 中点M 的轨迹方程．解法剖析：①代入法求伴随轨迹设(),M x y ,()11,P x y ；②点与伴随点的关系∵M 为线段AP 的中点,∴112622x x y y =-⎧⎨=-⎩；③代入已知轨迹求出伴随轨迹,∵22111259x y +=,∴点M 的轨迹方程为()()223112594x y --+=；④伴随轨迹表示的范围．例3如图,设A ,B 的坐标分别为()5,0-,()5,0．直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为49-,求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ,则直线AM ,BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示,由于直线AM ,BM 的斜率之积是49-,因此,可以求出,x y 之间的关系式,即得到点M 的轨迹方程．解法剖析：设点(),M x y ,则()55AM y k x x =≠-+,()55BM y k x x =≠-；代入点M 的集合有4559y y x x ⨯=-+-,化简即可得点M 的轨迹方程．引申：如图,设△ABC 的两个顶点(),0A a -,(),0B a ,顶点C 在移动,且AC BC k k k ⨯=,且0k <,试求动点C 的轨迹方程．引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k 值在变化时,线段AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．三.随堂练习第45页1、2、3、4、四.课堂小结1．椭圆的定义,应注意什么问题2．求椭圆的标准方程,应注意什么问题五.板书设计：六.布置作业七.教学反思手写一、授课课题：§椭圆的几何性质二、教学目标三维目标： 1、知识与技能：1通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;2能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; 3培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备2、过程与方法: 使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力3、情感、态度与价值观: 培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．三、教学重点: 椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图四、教学难点: 椭圆离心率的概念的理解. 五、教学方法：尝试,探究六、教学手段教学用具：课件七、课时安排:一课时八、学情分析：教学过程二次备课一.课题导入复习：1.椭圆的定义,椭圆的焦点坐标,焦距.2.椭圆的标准方程.二.讲授新课一通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力. 在解析几何里,是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的,我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.已知椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x1.范围我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围,就是研究椭圆在哪个区域里,只要讨论方程中x,y的范围就知道了.问题1 方程中x 、y 的取值范围是什么由椭圆的标准方程可知,椭圆上点的坐标x,y 都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2 所以 |x|≤a, |y|≤b即－a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里;2.对称性复习关于x 轴,y 轴,原点对称的点的坐标之间的关系：点x,y 关于x 轴对称的点的坐标为x,－y ；点x,y 关于y 轴对称的点的坐标为－x, y ；点x,y 关于原点对称的点的坐标为－x,－y ；问题2 在椭圆的标准方程中①以－y 代y ②以－x 代x ③同时以－x 代x 、以－y 代y,你有什么发现（1）在曲线的方程里,如果以－y 代y 方程不变,那么当点Px,y在曲线上时,它关于x 的轴对称点P ’x,－y 也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称;（2）如果以－x 代x 方程方程不变,那么说明曲线的对称性怎样呢曲线关于y 轴对称;（3）如果同时以－x 代x 、以－y 代y,方程不变,这时曲线又关于什么对称呢曲线关于原点对称;归纳提问：从上面三种情况看出,椭圆具有怎样的对称性椭圆关于x 轴,y 轴和原点都是对称的; 这时,椭圆的对称轴是什么坐标轴椭圆的对称中心是什么原点椭圆的对称中心叫做椭圆的中心;3.顶点研究曲线的上的某些特殊点的位置,可以确定曲线的位置;要确定曲线在坐标系中的位置,常常需要求出曲线与x 轴,y 轴的交点坐标. 问题3 怎样求曲线与x 轴、y 轴的交点在椭圆的标准方程里,令x=0,得y=±b;这说明了B 10,－b,B 20,b 是椭圆与y 轴的两个交点;令y=0,得x=±a;这说明了A 1－a,0,A 2a,0是椭圆与x 轴的两个交点;因为x 轴,y 轴是椭圆的对称轴,所以椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点;线段A 1A 2,B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴;它们的长|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长观察图形,由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等,且等于长半轴长,即 |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|= a在R t △OB 2F 2中,由勾股定理有|OF 2|2=|B 2F 2|2－|OB 2|2 ,即c 2＝a 2－b 2 这就是在前面一节里,我们令a 2－c 2＝b 2的几何意义;4.离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝ac,叫做椭圆的离心率; 因为a>c>0,所以0<e<1.问题4 观察图形,说明当离心率e 变化时,椭圆形状是怎样随之变化的调用几何画板,演示离心率变化分越接近1和越接近0两种情况讨论对椭圆形状的影响得出结论：1e 越接近1时,则c 越接近a,从而b 越小,因此椭圆越扁；2e 越接近0时,则c 越接近0,从而b 越接近于a,这时椭圆就越接近于圆; 当且仅当a ＝b 时,c ＝0,这时两个焦点重合于椭圆的中心,图形变成圆; 当e ＝1时,图形变成了一条线段;为什么留给学生课后思考5.例题例1求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.根据刚刚学过的椭圆的几何性质知,椭圆长轴长2a,短轴长2b,该方程中的a ＝b ＝c ＝因为题目给出的椭圆方程不是标准方程,所以必须先把它转化为标准方程,再讨论它的几何性质解：把已知方程化为标准方程1452222=+y x , 这里a ＝5,b ＝4,所以c ＝1625-＝3因此,椭圆的长轴和短轴长分别是2a ＝10,2b ＝8离心率e ＝a c ＝53 两个焦点分别是F 1－3,0,F 23,0,四个顶点分别是A 1－5,0 A 15,0 A 10,－4 F 10,4. 提问：怎样用描点法画出椭圆的图形呢我们可以根据椭圆的对称性,先画出第一象限内的图形;将已知方程变形为 22554x y -±=,根据在0≤x ≤5的范围内算出几个点的坐标x,yx12345y 4 0先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆如图说明：本题在画图时,利用了椭圆的对称性;利用图形的几何性质,可以简化画图过程,保证图形的准确性; 根据椭圆的几何性质,用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形； (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点； (3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆;画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: 1经过点-3,0、0,-2;2长轴的长等于20,离心率等于例 3 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离之比是常数45,求点M 的轨迹.教师分析——示范书写三.随堂练习填空：已知椭圆的方程是9x 2+25y 2=225,(1) 将其化为标准方程是_________________. (2) a=___,b=___,c=___.(3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里.椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e ＝_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______. ①比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁⑴22936x y +=与2211612x y += ⑵22936x y +=与221610x y +=学生口答,并说明原因②求适合下列条件的椭圆的标准方程. ⑴经过点()()22,0,0,5P Q -⑵长轴长是短轴长的3倍,且经过点()3,0P ⑶焦距是8,离心率等于0.8四.课堂小结1理解椭圆的简单几何性质,给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率; 2了解离心率变化对椭圆形状的影响;3通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.五.板书设计：六.布置作业课本习题的6、7、8题七.教学反思手写一、授课课题：§ 双曲线及标准方程二、教学目标三维目标：1、知识与技能：使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,理解双曲线的定义,体会双曲线标准方程的探索推导过程.2、过程与方法:使学生在学会知识的过程中,进一步熟练用坐标法建立曲线方程,培养学生等价转化、数形结合等数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力3、情感、态度与价值观:通过对定义与方程的探索、评价,优化学生的思维品质,培养学生运动变化、辨证统一的思想.三、教学重点:双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.四、教学难点:定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立五、教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法六、教学手段教学用具：三角板、课件七、课时安排:一课时八、学情分析：二、教学目标三维目标：1、知识与技能：1、了解双曲线的简单的几何性质2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题2、过程与方法:1、能从双曲线的标准方程出发,推导双曲线的几何性质；2、能抓住椭圆与双曲线几何性质的异同进行类比、归纳；3、培养学生运用数形结合的思想,用联想、类比、归纳的方法,提高解决问题的能力3、情感、态度与价值观:通过自主探究、讨论交流,培养学生良好的学习情感,激发学习数学的兴趣三、教学重点:双曲线的简单几何性质的探究．四、教学难点:双曲线的简单几何性质的探究．五、教学方法：学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物几何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标;六、教学手段教学用具：投影仪七、课时安排:一课时八、学情分析：二、教学目标三维目标：1、知识与技能：掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点,初步掌握求抛物线标准方程的方法2、过程与方法:在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中,提高学生学习能力;3、情感、态度与价值观:培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想．三、教学重点:抛物线的定义和抛物线的标准方程四、教学难点:1抛物线标准方程的推导；2利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题;五、教学方法：学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括;六、教学手段教学用具：投影仪七、课时安排:一课时八、学情分析：教学过程二次备课一.课题导入1. 椭圆的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a 122F F a <的点的轨迹.2．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a 122F F a >的点的轨迹.3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹,当0＜e ＜1时是椭圆 ,当e>1 时是双曲线．那么,当e ＝1时它是什么曲线呢二.讲授新课抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹;点F 叫做抛物线的焦点 ,直线l 叫做抛物线的准线．如图,建立直角坐标系xOy,使x 轴经过点F 且垂直于直线l ,垂足为K,并使原点与线段KF 的中点重合．设(0)KF p p =>,则焦点F 的坐标为2p ,0,准线的方程为2p x =-．设点Mx,y 是抛物线上任意一点,点M 到l 的距离为d ．由抛物线的定义,抛物线就是点的集合{}P M MF d ==． ∵MF =222p x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；d=2p x +． ∴2222p p x y x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭＝．化简得：22(0)y px p =>．注：22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴,坐标是02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,准线方程是2p x =-．探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式请探究之后填写下表;例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程1过点-3,2； 2焦点在直线x-2y-4=0;分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p 即可,注意标准方程的形式;例2 已知抛物线的标准方程,求焦点坐标和准线方程; 1y 2=6x ； 2y=ax 2.分析：先写成标准方程,再求焦点坐标和准线方程;例3 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,抛物线上的点M-3,m 到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值;分析：解本题的基本思路有两个,其一设抛物线方程,利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5,列出关于m 、p的方程组,解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义,得点M到准线的距离为5,直接得p的关系式,求出p的值;三.随堂练习1已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程；2已知抛物线的焦点坐标是F0,－2,求它的标准方程．四.课堂小结1. 抛物线的定义,掌握抛物线标准方程,p的几何意义2. 掌握标准方程的形式与图形的对应关系五.板书设计：六.布置作业P58 练习A、B七.教学反思手写一、授课课题：§抛物线的几何性质二、教学目标三维目标：1、知识与技能：使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示; 通过数轴与数,平面直角坐标系与一对有序实数,引申出建立空间直角坐标系的必要性2、过程与方法：1能用对比的方法分析抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质,并熟记2能根据抛物线的几何性质,确定抛物线的方程并解决简单问题;3、情感、态度与价值观:使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力;三、教学重点:抛物线的范围、对称性、顶点和准线;四、教学难点:定义性质在解题中的灵活运用;五、教学方法：启发引导式六、教学手段教学用具：投影仪七、课时安排:一课时八、学情分析：教学过程二次备课一.课题导入复习抛物线的定义和标准方程二.讲授新课探究一：1.范围当x的值增大时,y也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线.2.对称性抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.3.顶点抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.4.离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1.说明：1通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;2抛物线的几何性质的特点：有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;探究二：课本68页例3M ,求它的标准方程,已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,22)并用描点法画出图形．探究三：例3．若抛物线的通径长为7,顶点在坐标原点,且关于坐标轴对称,求抛物线的方程．三.随堂练习课本P72练习第1,2题四.课堂小结师生互动,共同归纳抛物线的几何性质五.板书设计：六.布置作业七.教学反思手写。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线求弦长教案新人教B版1新人教B版数学教案

圆锥曲线的弦长课题圆锥曲线的弦长课时第一课时课型新授教学重点求弦长依据：2018年高考大纲分析教学难点正确计算圆锥曲线的弦长依据：学生的计算能力较差积累、归纳总结规律不够。

自主学习目标1、在求圆锥曲线弦长的过程中，培养学生严谨的解题态度2、学生牢记弦长公式3、归纳总结求弦长的解题步骤教具多媒体课件、教材，教辅教学环节教学内容教师行为学生行为设计意图时间1.课前3分钟一、小考1、两点间距离公式2、韦达定理3、已知两点求斜率公式二、解读学习目标检查，评价总结小考结果。

1.默写公式2.牢记公式明确本节课学习目标，准备学习。

3分钟2.承接结果直观体验直线与圆锥曲线的位置关系。

1、学生自己展示预习习题完成情况。

验收学生自主学习的结果，并解决学生自主学习中遇到的困惑。

13分钟思考1 上面三个图象中直线l 与椭圆、抛物线、双曲线的图象的位置关系是什么？思考2 直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？弦长公式若直线l ：y ＝kx ＋b 与圆锥曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长2121x x k AB -+=＝2122124)(1x x x x k -++学生从动手实践，再到观察课件，懂得不同条件的轨迹2、小组互相提问。

其余学生互相补充并学生对所展示习题进行评价。

3、质疑、解答。

3. 做、议讲、评例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？1、展示课件2、巡视学生完成情况，让学生更准确的认识命题 3、抽查记忆情况。

1、学生先独立完成例题，然后以小组为单位统一答案。

2、小组讨论并展示自己组所写的过程通过具体说写，记住方程。

3分钟目标检测：1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠52．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A ．(1，2)B ．(0，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1，4)3．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．4．过点A (6，1)作直线l 与双曲线x 216－y 24＝1相交于两点B 、C ，且A 为线段BC 的中点，则直线l 的方程为________________．5．已知点P (x ，y )到定点F (c ，0)的距离与它到直线l ：x ＝a 2c 的距离之比为常数ca(c >a >0)，求点P的轨迹．。

高中数学第2章圆锥曲线与方程第14课时圆锥曲线的共同性质教案

第二章圆锥曲线与方程
第14课时圆锥曲线的共同性质
教学目标：
1.了解圆锥曲线的统一定义；
2.掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法.
教学重点：
圆锥曲线的统一定义
教学难点：
圆锥曲线的准线方程
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
圆锥曲线的统一定义：
Ⅲ.数学应用
例1：点M 与一定点F(c ，0)的距离和它到一定直线x =c a 2（0>>c a ）的距离的比是a
c ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
练习：点M 与一定点F(c ，0)的距离和它到一定直线x =c a 2（0>>a c ）的距离的比是a
c ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
例2：点P 与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程．
练习：点P 与一定点F(4，0)的距离和它到一定直线x =1的距离的比是2，求点P 的轨迹方程．
例3：求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
（1）6222=+y x （2）1242
2=-y x
练习：求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
（1）6222=-y x （2）12422=+y x
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P 49 习题2
1. 求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
（1）022=-y x （2）12422-=-y x
2. 求顶点在x 轴上，两准线间的距离为
532， e =45的双曲线的标准方程．
3. 求中心到准线的距离为
225，e =5
4的椭圆的标准方程．．。

第二章圆锥曲线与方程教案

高中数学第二章圆锥曲线与方程2-2双曲线教学案新人教A版选修1_1

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高二圆锥曲线与方程教案

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第二章 圆锥曲线与方程 教案

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