上海市交大附中2021年春高二数学下学期开学考试卷附答案
2021年高二下学期开学考试理科数学试题 含答案
2021年高二下学期开学考试理科数学试题含答案第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1.用样本估计总体，下列说法正确的个数是2.①样本的概率与实验次数有关；3.②样本容量越大，估计就越精确；4.③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平；5.④数据的方差越大，说明数据越不稳定．6.A．1 B．2 C．3 D．47.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是8.A．至少有一个黑球与都是黑球B．至多有一个黑球与都是黑球9.C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有一个黑球与恰有两个黑球10.在直角坐标系中，直线的倾斜角是11.A．B．C．D．12.已知随机变量服从正态分布，且，则13.A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.214.学校高中部共有学生2100名，高中部各年级男、女生人数如右表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为15.A．24 B．18 C．16 D．1216.在的展开式中，常数项是17.A．－28 B．－7 C．7 D．2818.在△ABC中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为19.A．B．C．D．20.直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是21.A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心22.C．直线与圆相离D．直线过圆心23.小明在玩“开心农场”游戏的时候，为了尽快提高经验值及金币值，打算从土豆、南瓜、桃子、茄子、石榴这5种种子中选出4种分别种在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物)．若打算在第一块空地上种南瓜或石榴，则不同的种植方案共有24.A．36种B．48种C．60种D．64种25.已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有26.A．9条B．10条C．11条D．12条27.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点B与A连接，则弦长AB超过半径的倍的概率是28.A．B．C．D．29.在圆内，过点有n条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么n的取值集合内所有元素平方和为30.A．126 B．86 C．77 D．50第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）31.若随机变量Ｘ服从两点分布，且成功的概率为0.7，则D(X) =_________32.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_________33. 已知过点A (－1，0)的动直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N ．则_________34. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如右表．请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了数学期望的正确答案为_________三、解答题：本大题共6个小题，共70分。
上海交通大学附属中学高二下学期质量检测一数学试题
交大附中 高二年级 第二学期 质量检测一2017.03.14一、填空题（1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）1、直线032=-+y x 的倾斜角为_______2、增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-411211k k 的方程中，若解x 与y 相等，则k 的值为______ 3、抛物线x y 162=的焦点与双曲线19222=-y a x 的一个焦点重合，则双曲线的实轴长为____ 4、已知复数233)3(2)()1(i a i a i z --+=（i 为虚数单位），且32||=z ，则实数a 的值为______ 5、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=21cos log 21sin 2ααi z ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则____=α 6、若点),(y x P 在直线042=-+y x 上，则y x --+42的最小值是_____7、若1||=z ，则|1|i z -+的最大值为_______8、如图，六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，则正方体中，直线AB 与CD 所成角的大小为______9、设函数⎩⎨⎧>+-≤<=51050)(ln x x x e x f x ，若方程k x f =)(（k 为常数）有三个不同的实数解c b a ,,，且c b a <<，则abc 的取值范围是_______10、在复数范围内写出求方程z z 22=的解集_______11、设),(n n n y x P 是直线))(1(23*N n x n y ∈-=+与椭圆13422=+y x 在第一象限的交点，则极限_____123lim =--∞→n n n x y 12、已知复数集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≤≤≤=1|)Im(|2)Re(0z z z U ，集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-≤≤≤=1|1|,|)Re(||)Re(|)Re()Re(0w w z w z z M ，则集合M C U 在复平面上表示区域的面积为________二、选择题（每小题5分，共20分）12、两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C 的公切线有且仅有 （ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条14、如图，D C B A ,,,是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD的位置关系是 （ ）A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直15、设21,z z 均是复数，则下列命题中的真命题是 （ ）A. “21z z >”是“021>-z z ”的必要不充分条件B. “121>z ”是“),1()1,(1+∞--∞∈ z ”的充分必要条件C. “02221=+z z ”是“021==z z ”的充分非必要条件D. “R z z ∈+21”是“21z z =”的既不充分也不必要条件 16、已知曲线Γ的参数方程为⎩⎨⎧++=-=)1ln(cot 23t t y t t t x ，其中参数R t ∈，则曲线Γ （ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 没有对称性三、解答题（共5大题，共76分）17、（第1小题7分，第2小题7分，共14分）已知关于t 的方程)(0342C z i zt t ∈=++-有实数根；（1）设)(,5R a ai z ∈+=，求a 的值；（2）求||z 的取值范围；18、（第1小题7分，第2小题7分，共14分）已知数列}{n a 中，211=a ，点)2,(1n n a a n -+在直线x y =上，其中,...3,2,1=n ； （1）令11--=+n n n a a b ，求证：数列}{n b 是等比数列；（2）求数列}{n a 的通项；19、（第1小题6分，第2小题8分，共14分）如图，空间四边形ABCD 中，H G F E CD AB ,,,,8==分别是线段DB AD CA BC ,,,的中点，6=FH ；（1）求证：直线EG 与直线FH 相互垂直；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；已知10,z z 均为复数，且00111z z z -+=，记10,z z 在复平面上对应的点分别为Q P ,； （1）若10z z =，求0z 的值；（2）若点P 在y 轴上运动，求点Q 的轨迹方程；（3）点P 在圆)0()1(:2221>=+-r r y x C 上运动，点Q 的轨迹记为曲线D ，求r 的值，使得圆C 与曲线D 只有一个公共点；设椭圆)0,(1:2222>=+Γb a by a x 过点)1,6(),2,2(N M ； （1）求椭圆Γ的方程；（2）21,F F 为椭圆的左、右焦点，直线l 过1F 与椭圆交于B A ,两点，求AB F 2∆面积的最大值；。
2021年高二下学期开学考试数学试题含答案
2021年高二下学期开学考试数学试题含答案一、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟；二、本试卷为文、理合卷，注明理科的只理科考生做，注明文科的只文科考生做，其它的文理考生皆做三、填空题答案答在第Ⅱ卷相应横线上，否则不给分。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )2.A、1 B、2 C、3 D、43.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )4.A、开口向上，焦点为(0，1) B、开口向上，焦点为(0，)5.C、开口向右，焦点为(1，0) D、开口向右，焦点为(0，)6.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等的向量是：( )7.A、B、8.C、D、9.在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是( )10.A、一解B、两解C、一解或两解D、无解11.已知等差数列的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝( )12.A、-4 B、-6 C、-8 D、-1013.已知不等式ax2-5x+b＞0的解集是，则不等式bx2-5x+a＞0的解是( )14.A、x＜-3或x＞-2 B、x＜或x＞C、D、-3＜x＜-215.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么( )16.A、甲是乙成立的充分不必要条件B、甲是乙成立的必要不充分条件17.C、甲是乙成立的充要条件D、甲是乙成立的非充分必要条件18.已知数列的前n项和S n＝n2-9n，第k项满足5＜a k＜8，则k＝( )19.A、9 B、8 C、7 D、620.设X∈R，[X]表示不大于X的最大整数，如：[π]＝3，[-1，2]＝-2，[0，5]＝0，则使[X2-1]＝3的X的取值范围( )21.A、B、C、 D、22.设a，b是非零实数，则方程bx2+ay2＝ab及ax+by＝0所表示的图形可能是( )23.24.已知三个不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＞0；③2x2-8x+m≤0。
2021年上海市春季高考数学试卷(答案版)
2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分） 1．已知等差数列{}n a 的首项为3,公差为2,则10a = ． 2．已知13z i =-,则||z i -= ．3．已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为 ．4．不等式2512x x +<-的解集为 ．5．直线2x =-10y -+=的夹角为 ． 6．若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解,则1122a b a b = ． 7．已知(1)n x +的展开式中,唯有3x 的系数最大,则(1)n x +的系数和为 ．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5,则a = ．9．在无穷等比数列{}n a 中,1lim()4n n a a →∞-=,则2a 的取值范围是 ．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟,现有五项运动可以选择,如表所示,问有几种11．已知椭圆221(01)x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ,以O 为顶点,2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ,且1245PF F ∠=︒,则抛物线的准线方程是 ．12．已知0θ>,存在实数ϕ,使得对任意*n N ∈,cos()n θϕ+<,则θ的最小值是 ． 二、选择题（本大题共4题,每题5分,共20分) 13．下列函数中,在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =14．已知集合{|1A x x =>-,}x R ∈,2{|20B x x x =--,}x R ∈,则下列关系中,正确的是()A ．AB ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =15．已知函数()y f x =的定义域为R ,下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称16．在ABC ∆中,D 为BC 中点,E 为AD 中点,则以下结论：①存在ABC ∆,使得0AB CE ⋅=；②存在三角形ABC ∆,使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立,②成立 B ．①成立,②不成立 C ．①不成立,②成立D ．①不成立,②不成立三、解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -,底面为正方形ABCD ,边长为4,E 为AB 中点,PE ⊥平面ABCD ．（1）若PAB ∆为等边三角形,求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ,PF 与平面ABCD 所成角为45︒,求PC 与AD 所成角的大小．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角,a 、b 、c 是其三条边,2a =,1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =,求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=,求c ．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点,测量距离发现一点P满足||||20PA PB -=千米,可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上,以O 点为原点,东侧为x 轴正半轴,北侧为y 轴正半轴,建立平面直角坐标系,P 在北偏东60︒处,求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点,测量距离发现||||30QA QB -=千米,||||10QC QD -=千米,求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米,1)︒ 20．（16分）已知函数()||f x x a a x +-． （1）若1a =,求函数的定义域；（2）若0a ≠,若()f ax a =有2个不同实数根,求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ,使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在,求出a 的取值范围． 21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ,对任意2n ,n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =,23a =,42a =,求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===,2a 、5a 、8a 为正数,求证：2a 、5a 、8a 成等比数列,并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0,即0r s t a a a ===,2r s t <<<,且11a =,22a =,求111r s t a a a +++++的最大值．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分） 1．已知等差数列{}n a 的首项为3,公差为2,则10a = 21 ． 【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解． 【解析】：因为等差数列{}n a 的首项为3,公差为2, 则101939221a a d =+=+⨯=．故答案为：21．【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式,属于基础题． 2．已知13z i =-,则||z i -【思路分析】由已知求得z i -,再由复数模的计算公式求解． 【解析】：13z i =-,∴1312z i i i i -=+-=+, 则|||12|zi i -=+==．【归纳总结】本题考查复数的加减运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法,是基础题． 3．已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为 4π ． 【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可． 【解析】：圆柱的底面半径为1r =,高为2h =,所以圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⨯⨯=侧．故答案为：4π．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题,是基础题．4．不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ．【思路分析】由已知进行转化702x x +<-,进行可求．【解析】：252571100222x x x x x x +++<⇒-<⇒<---,解得,72x -<<．故答案为：(7,2)-．【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础题．5．直线2x =-10y -+=的夹角为 6π．【思路分析】先求出直线的斜率,可得它们的倾斜角,从而求出两条直线的夹角．【解析】：直线2x =-的斜率不存在,倾斜角为2π,10y -+=倾斜角为3π,故直线2x =-10y -+=的夹角为236πππ-=故答案为：6π．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角,两条直线的夹角,属于基础题． 6．若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解,则1122a b a b = 0 ． 【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案． 【解析】：对于方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩,有111111222222,,x y a b c b ac D D D a b c b a c ===,当0D ≠时,方程组的解为x yD x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,根据题意,方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解,所以0D =,即11220a b D a b ==,故答案为：0． 【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法,这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰,解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)n x +的展开式中,唯有3x 的系数最大,则(1)n x +的系数和为 64 ． 【思路分析】由已知可得6n =,令1x =,即可求得系数和．【解析】：由题意,32nn C C >,且34n n C C >, 所以6n =,所以令1x =,6(1)x +的系数和为6264=．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质,属于基础题．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5,则a = 9 ．【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”,该题只需将函数解析式变形成()31131x x af x =++-+,然后利用基本不等式求解即可,注意等号成立的条件．【解析】：()33112153131x x x x a af x a =+=++--=++,所以9a =,经检验,32x =时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用,以及整体的思想,解题的关键是构造积为定值,属于基础题．9．在无穷等比数列{}n a 中,1lim()4n n a a →∞-=,则2a 的取值范围是 (4-,0)(0⋃,4) ．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q 的取值范围,再由极限的运算知14a =,从而得解．【解析】：无穷等比数列{}n a ,∴公比(1q ∈-,0)(0⋃,1),∴lim 0n n a →∞=,∴11lim()4n n a a a →∞-==,214(4a a q q ∴==∈-,0)(0⋃,4)．故答案为：(4-,0)(0⋃,4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质,极限的运算,考查学生的运算求解能力,属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟,现有五项运动可以选择,如表所示,问有几种不符合题意,由此求出结果．【解析】：由题意知,至少要选2种运动,并且选2种运动的情况中,AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种)． 故答案为：23种．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题,也考查了统筹问题的思想应用问题,是基础题．11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ,以O 为顶点,2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ,且1245PF F ∠=︒,则抛物线的准线方程是 1x =【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标,进而可得抛物线的方程,设出直线1PF 的方程并与抛物线联立,求出点P 的坐标,由此可得212PF F F ⊥,进而可以求出1PF ,2PF 的长度,再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)F c -,2(,0)F c ,则抛物线24y cx =,直线1:PF y x c =+,联立方程组24y cx y x c ⎧=⎨=+⎩,解得x c =,2y c =,所以点P 的坐标为(,2)c c ,所以212PF F F ⊥,又22112,PF F F c PF ===所以 所以1PF =,所以12(222PF PF c a +=+==, 则1c =,所以抛物线的准线方程为：1x c =-=-故答案为：1x =【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质,考查了学生的运算推理能力,属于中档题．12．已知0θ>,存在实数ϕ,使得对任意*n N ∈,cos()n θϕ+<,则θ的最小值是 25π． 【思路分析】在单位圆中分析可得3πθ>,由2*N πθ∈,即2kπθ=,*k N ∈,即可求得θ的最小值．【解析】：在单位圆中分析,由题意可得n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx π∠=∠=,所以3AOB πθ>∠=,因为对任意*n N ∈都成立,所以2*N πθ∈,即2k πθ=,*k N ∈, 同时3πθ>,所以θ的最小值为25π．故答案为：25π．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值,考查数形结合思想,属于中档题． 二、选择题（本大题共4题,每题5分,共20分) 13．下列函数中,在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确． 【解析】：选项A ：因为函数是二次函数,属于二对一的映射, 根据函数的定义可得函数不存在反函数,A 错误,选项B ：因为函数是三角函数,有周期性和对称性,属于多对一的映射, 根据函数的定义可得函数不存在反函数,B 错误,选项C ：因为函数的单调递增的指数函数,属于一一映射,所以函数存在反函数,C 正确, 选项D ：因为函数是常数函数,属于多对一的映射,所以函数不存在反函数,D 错误, 故选：C ．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义,考查了学生对函数以及映射概念的理解,属于基础题．14．已知集合{|1A x x =>-,}x R ∈,2{|20B x x x =--,}x R ∈,则下列关系中,正确的是()A ．AB ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解析】：已知集合{|1A x x =>-,}x R ∈,2{|20B x x x =--,}x R ∈, 解得{|2B x x =或1x -,}x R ∈,{|1RA x x =-,}x R ∈,{|12}RB x x =-<<；则A B R =,{|2}AB x x =,故选：D ．【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算,比较基础．15．已知函数()y f x =的定义域为R ,下列是()f x 无最大值的充分条件是( )A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称【思路分析】根据题意,依次判断选项：对于ABD ,举出反例可得三个选项错误,对于C ,利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意,依次判断选项：对于A ,()cos 12xf x π=+,()f x 为偶函数,且关于点(1,1)对称,存在最大值,A 错误,对于B ,()cos()f x x π=,()f x 为偶函数且关于直线1x =对称,存在最大值,B 错误, 对于C ,假设()f x 有最大值,设其最大值为M ,其最高点的坐标为(,)a M , ()f x 为奇函数,其图象关于原点对称,则()f x 的图象存在最低点(,)a M --,又由()f x 的图象关于点(1,1)对称,则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++, 与最大值为M 相矛盾,则此时()f x 无最大值,C 正确,对于D ,()sin 2xf x π=,()f x 为奇函数且关于直线1x =对称,D 错误,故选：C ．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题． 16．在ABC ∆中,D 为BC 中点,E 为AD 中点,则以下结论：①存在ABC ∆,使得0AB CE ⋅=；②存在三角形ABC ∆,使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立,②成立 B ．①成立,②不成立 C ．①不成立,②成立D ．①不成立,②不成立【思路分析】设(2,2)A x y ,(1,0)B -,(1,0)C ,(0,0)D ,(,)E x y ,由向量数量的坐标运算即可判断①；F 为AB 中点,可得()2CB CA CF +=,由D 为BC 中点,可得CF 与AD 的交点即为重心G ,从而可判断②【解析】：不妨设(2,2)A x y ,(1,0)B -,(1,0)C ,(0,0)D ,(,)E x y , ①(12,2)AB x y =---,(1,)CE x y =-,若0AB CE ⋅=,则2(12)(1)20x x y -+--=,即2(12)(1)2x x y -+-=,满足条件的(,)x y 存在,例如,满足上式,所以①成立； ②F 为AB 中点,()2CB CA CF +=,CF 与AD 的交点即为重心G ,因为G 为AD 的三等分点,E 为AD 中点, 所以CE 与CG 不共线,即②不成立． 故选：B ．【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算,共线向量的判断,属于中档题． 三、解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -,底面为正方形ABCD ,边长为4,E 为AB 中点,PE ⊥平面ABCD ．（1）若PAB ∆为等边三角形,求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ,PF 与平面ABCD 所成角为45︒,求PC 与AD 所成角的大小．【思路分析】（1）由13ABCD V PE S =⋅正方形,代入相应数据,进行运算,即可；（2）由PE ⊥平面ABCD ,知45PFE ∠=︒,进而有4PE FE ==,25PB =,由//AD BC ,知PCB ∠或其补角即为所求,可证BC ⊥平面PAB ,从而有BC PB ⊥,最后在Rt PBC ∆中,由tan PBPCB BC∠=,得解． 【解析】：（1）PAB ∆为等边三角形,且E 为AB 中点,4AB =, 23PE ∴=,又PE ⊥平面ABCD ,∴四棱锥P ABCD -的体积23231123433ABCD V PE S =⋅=⨯=正方形． （2）PE ⊥平面ABCD ,PFE ∴∠为PF 与平面ABCD 所成角为45︒,即45PFE ∠=︒, PEF ∴∆为等腰直角三角形, E ,F 分别为AB ,CD 的中点, 4PE FE ∴==,2225PB PE BE ∴+//AD BC ,PCB ∴∠或其补角即为PC 与AD 所成角,PE ⊥平面ABCD ,PE BC ∴⊥,又BC AB ⊥,PEAB E =,PE 、AB ⊂平面PAB ,BC ∴⊥平面PAB ,BC PB ∴⊥,在Rt PBC ∆中,tan PB PCB BC ∠===,故PC 与AD 所成角的大小为【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法,理解线面角的定义,以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键,考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力,属于基础题．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角,a 、b 、c 是其三条边,2a =,1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =,求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=,求c ．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式,同角三角函数基本关系式可求得cos A ,sin A ,sin C 的值,进而根据正弦定理可得c 的值．【解析】：（1）因为sin 2sin A B =,可得2a b =, 又2a =,可得1b =,由于222222211cos 22214a b c c C ab +-+-===-⨯⨯,可得c =（2）因为4cos()sin )5A A A π-=+=,可得cos sin A A +=,又22cos sin 1A A +=,可解得cos A =,sin A =,或sin A =cos A因为1cos C =-,可得sin C tan C =,若sin 10A =,cos 10A =,可得tan 7A =,可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+=<-,可得B 为钝角,这与C 为钝角矛盾,舍去,所以sin A =,由正弦定理2sin sin c A C=,可得c =． 【归纳总结】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角差的余弦公式,同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点,测量距离发现一点P满足||||20PA PB -=千米,可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上,以O 点为原点,东侧为x 轴正半轴,北侧为y 轴正半轴,建立平面直角坐标系,P 在北偏东60︒处,求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点,测量距离发现||||30QA QB -=千米,||||10QC QD -=千米,求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米,1)︒【思路分析】（1）求出a ,c ,b 的值即可求得双曲线方程,求出直线OP 的方程,与双曲线方程联立,即可求得P 点坐标；（2）分别求出以A 、B 为焦点,以C ,D 为焦点的双曲线方程,联立即可求得点Q 的坐标,从而求得||OQ ,及Q 点位置．【解析】：（1）由题意可得10a =,20c =,所以2300b =,所以双曲线的标准方程为221100300x y -=,直线:OP y x =,联立双曲线方程,可得x =y即点P 的坐标为．（2）①||||30QA QB -=,则15a =,20c =,所以2175b =,双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=,则5a =,15c =,所以2200b =, 所以双曲线方程为22125200y x -=,两双曲线方程联立,得Q ,所以||19OQ ≈米,Q 点位置北偏东66︒．【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用,属于中档题． 20．（16分）已知函数()f x x ．（1）若1a =,求函数的定义域；（2）若0a ≠,若()f ax a =有2个不同实数根,求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ,使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在,求出a 的取值范围． 【思路分析】（1）把1a =代入函数解析式,由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；（2）()f ax a ax a =⇔=+,设0ax a t +=,得2a t t =-,0t ,求得等式右边关于t 的函数的值域可得a 的取值范围；（3）分x a -与x a <-两类变形,结合复合函数的单调性可得使得函数()f x 在定义域内具有单调性的a 的范围．【解析】：（1）当1a =时,()f x x =,由|1|10x +-,得|1|1x +,解得2x -或0x ．∴函数的定义域为(-∞,2][0-,)+∞；（2）()f ax ax =,()f ax a ax a =⇔=+,设0ax a t +=,∴t =有两个不同实数根,整理得2a t t =-,0t ,211()24a t ∴=--+,0t ,当且仅当104a <时,方程有2个不同实数根,又0a ≠,a ∴的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -时,211())24f x x x ==-+,在1[4,)+∞上单调递减,此时需要满足14a -,即14a -,函数()f x 在[a -,)+∞上递减；当x a <-时,()f x x x ==,在(-∞,2]a -上递减,104a -<,20a a ∴->->,即当14a -时,函数()f x 在(,)a -∞-上递减．综上,当(a ∈-∞,1]4-时,函数()f x 在定义域R 上连续,且单调递减．【归纳总结】本题考查函数定义域的求法,考查函数零点与方程根的关系,考查函数单调性的判定及其应用,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ,对任意2n ,n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =,23a =,42a =,求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===,2a 、5a 、8a 为正数,求证：2a 、5a 、8a 成等比数列,并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0,即0r s t a a a ===,2r s t <<<,且11a =,22a =,求111r s t a a a +++++的最大值．【思路分析】（1）根据n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项建立等式,然后将1a ,2a ,4a 的值代入即可；（2）根据递推关系求出5a 、8a ,然后根据等比数列的定义进行判定即可；（3）分别求出1r a +,1s a +,1t a +的通项公式,从而可求出各自的最大值,从而可求出所求． 【解析】：（1）由题意,112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+,2312a a a ∴=+解得31a =,3212a a a =+解得34a =,经检验,31a =,（2）证明：1470a a a ===,322a a ∴=,或232a a =,经检验,232aa =；∴32524a a a ==,或2512aa a =-=-（舍),∴254a a =；∴52628a a a ==,或2654aa a =-=-（舍),∴268a a =；∴628216a a a ==,或2868aa a =-=-（舍),∴2816a a =；综上,2a 、5a 、8a 成等比数列,公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+,可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--,由第（2）问可知,0r a =,则212r r a a --=,即121r r r a a a ----=-,0r a ∴=,则3111221111111()()1()(),*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-⋅-⋅⋅-=-⋅-∈,∴11()4r max a +=, 同理,2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-⋅-⋅⋅-=-⋅-⋅∈,∴11()16s max a +=,同理,11()64t max a +=,111r s t a a a +++∴++的最大值2164．【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用,等比数列的判定以及通项公式的求解,同时考查了学生计算能力,属于难题．————————————————————————————————————。
高级高二数学下学期开学考试试题理含解析
高中(gāozhōng)2021—2021学年度下学期高二期初考试理科(lǐkē)数学试题一、选择题〔每一小题只有一个正确(zhèngquè)选项，每一小题5分，一共计60分〕满足(mǎnzú)，那么复数的一共轭复数在复平面中对应的点位于〔〕A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先由复数的除法运算求出，得到其一共轭复数，进而可得出结果.【详解】因为，所以，故，因此在复平面中对应的点为，位于第二象限.应选B【点睛】此题主要考察复数的除法运算以及复数的几何意义，熟记运算法那么与几何意义即可，属于根底题型.的零点所在的区间为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据零点的存在定理，逐项判断即可得出结果.【详解】因为，所以(suǒyǐ)，，,，，故，排除(páichú)A；，排除(páichú)B；，排除(páichú)C；，应选D【点睛】此题主要考察函数的零点，熟记零点的存在定理，属于常考题型.3.，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由求得，然后利用二倍角的余弦公式求解即可.【详解】因为，所以-,，，应选D.【点睛】此题主要考察诱导公式以及二倍角的余弦公式，属于中档题. “给值求值〞问题：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角〞，使其角一样或者具有某种关系．，且，那么的值是A. B. C. D.【答案】A【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】由向量(xiàngliàng)垂直的充要条件可得：，从而(cóng ér)可得结果. 【详解】因为向量，且，所以由向量垂直的充要条件可得：，解得，即的值是，应选A.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：〔1〕两向量平行，利用解答；〔2〕两向量垂直，利用解答.，满足约束条件，那么的最大值是〔〕A. 3B. 7C. 5D. 1【答案】B【解析】【分析】先根据约束条件作出可行域，再由表示直线在轴上的截距，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：由可得，因此表示直线在轴上的截距，由图像易得，当直线经过点时，截距最大，即取最大值.由可得.因此.应选B【点睛】此题主要(zhǔyào)考察简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，根据目的函数的几何意义即可求解，属于根底题型.中，，那么(nà me)〔〕A. 4B. 5C. 6D. 7【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析】利用a1+a9 =a2+a8，将与作和可直接得.【详解】在等差数列{a n}中，由与作和得：=〔〕+-〔〕∴a1+a9 =a2+a8，∴==6．∴a5=6．应选：C．【点睛】此题考察等差数列的性质，是根底的计算题．在上是增函数，且，那么(nà me)满足的实数(shìshù)的取值范围(fànwéi)是〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】由偶函数在上是增函数，可得函数在上是减函数，结合，原不等式转化为，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.【详解】因为偶函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，由且满足，等价于，，可得，实数的取值范围是,应选A.【点睛】此题主要考察抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考察是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性一样)，然后再根据单调性列不等式求解.中，三个内角，，，所对边为，，，假设，那么一定是〔〕A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角(dùnjiǎo)三角形D. 等腰三角形或者(huòzhě)直角三角形【答案(dá àn)】D【解析(jiě xī)】【分析】根据正弦定理将化为，从而可得或者，进而可得出结果.【详解】因为，所以，即，即，所以或者，因此，或者.故一定是等腰三角形或者直角三角形.应选D【点睛】此题主要考察判断三角形的形状，熟记正弦定理即可，属于根底题型.9.如图，正方体的棱长为1，点为上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是〔〕A. 平面平面B. 平面C. 当为的中点时，的周长获得最小值D. 三棱锥的体积不是定值【答案】D【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)直线与平面垂直断定，可知A正确；由直线与平面平行可知B正确；根据两点间隔最短，可得C正确；由三棱锥等体积法可求得，可知(kě zhī)D错误。
2021年上海交大附中高中第二册数学期末考试题分析题型归纳
2021年上海交大附中高中第二册数学期末考试题分析题型归纳本文导航 1、首页2、高中第二册数学期末考试题分析-23、高中第二册数学期末考试题分析-34、高中第二册数学期末考试题分析-45、高中第二册数学期末考试题分析-5____年上海交大附中高中第二册数学期末考试题分析【摘要】高中如何复习一直都是学生们关注的话题，下面是的编辑为大家准备的____年上海交大附中高中第二册数学期末考试题分析一、填空题(本大题共12题，每题3分，满分36分)1. 数列的一个通项公式为 .【答案】试题分析：因为数列可看做因此该数列一个通项公式为 .2. 若三个数成等比数列，则m=________.3. 数列为等差数列，为等比数列，，则 .试题分析：设公差为，由已知，，解得，所以， .4. 设是等差数列的前项和，已知，则等于 .49【解析】在等差数列中， .5. 数列的前n项和为，若，，则 ___________【解析】因为an+1=3Sn，所以an=3Sn-1(n2)，两式相减得：an+1-an=3an，即 =4(n2)，所以数列a2，a3，a4，构成以a2=3S1=3a1=3为首项，公比为4的等比数列，所以a6=a244=3446. __________(用反三角函数符号表示).【答案】7. 方程 = 的实数解的个数是______________40298. 函数的值域是 .试题分析：且 ,所以 ,根据正切函数的图像可知值域为或 .9. 函数f(_)=-2sin(3_+ )表示振动时，请写出在内的初相________.f(_)=-2sin(3_+ )=2sin(3_+ )，所以在内的初相为。
10. 观察下列等式，若类似上面各式方法将分拆得到的等式右边最后一个数是，则正整数等于____.试题分析：依题意可得分拆得到的等式右边最后一个数5,11,19,29， .所以第n项的通项为 .所以 .所以 .11. 已知数列满足： (m为正整数)，若，则m所有可能的取值为__________。
上海市交大附中2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷含详解
当 时， 单调递增；
所以 不是 上的严格增函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除ACD，
对于B：当 时， 值域是 ；
当 时， 的值域是 ；
故函数 的值域为 ，故B正确，
故选：B
14.已知甲､乙两袋中分别装有编号为 的四个球.从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件 ：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件 ：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件 ：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件 与事件 相互独立；②事件 与事件 相互独立；③事件 与事件 相互独立.那么这三个命题中真命题的个数为（）
A 0个B.1个C.2个D.3个
15.已知 为定义在 上的函数，则“存在 ，使得 ”是“ 既不是奇函数也不是偶函数”的（）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
16.函数 在 上严格增，设 ，若 ，则 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
三､解答题（共5题，满分76分）.
故答案为： .
3.某学校模拟社区共有250名成员，其中高一学生88名，高二学生112名，高三学生50名.为了了解成员的情况，需要采用分层抽样的方式抽取50名学生进行调查，那么需要在高三年级抽取___________名.
【答案】
【分析】根据分层抽样的比例，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意可知，需要在高三年级抽取 名，
（3）已知函数 ，对任意 ， 恒成立，若由“ 具有 性质”能推出“ 恒等于 ”，求正整数 的取值的集合.
交大附中高二期末数学试卷
2022.06
一､填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每題5分，满分54分）.
2021-2022学年上海交通大学附属中学高二上学期开学考试数学试卷含详解
交大附中高二开学考数学试卷一､填空题1.的大小关系为___________.2.已知()1,0a = ,()2,4b =,则|a b + |＝_____．3.不等式2120x x ---<的解集为_____.4.设53()7f x ax bx cx =+++（其中a ､b ､c 为常数，x ∈R ），若(2021)17f -=-.则()2021f =___________.5.设复数12i 34iz -=+，则z 的共轭复数z 的虚部是______．6.已知2sin 3x =，(,)2x ππ∈，则x =________（用反三角函数表示）7.设是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__．8.已知cos (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像与1y =的图像的两相邻公共点间的距离为π，那么要得到cos 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，最少需要把sin()y x ω=的图像向左平移___________个单位.9.若函数f(x)的定义域为R ，则a 的取值范围为_______.10.设点O 在ABC 内部，且3450OA OB OC →→→→++=，则ABC 与AOC △的面积之比为___________.11.如图，已知扇形的圆心角为2α(0)4πα<<，半径为R ，则扇形的内接矩形面积的最大值为________12.设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12<b b ，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为．二､选择题13.“1a >”是“11a <”的（）条件A.充要 B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要14.若集合{lg(2)1}A x x =-<，集合1282x B x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B = ．A.(1,3)- B.(1,12)- C.(2,12) D.(2,3)15.制作一个面积为1m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（够用，又耗材最少）是A.4.6mB.4.8mC.5mD.5.2m16.在ABC ∆中,若()()3a b c a b c ab +++-=,且sin 2sin cos C A B =,则ABC ∆是A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形三､解答题17.已知33cos ,sin ,cos ,sin ,0,22222x x x x a b x π⎛⎫⎛⎫⎡⎤==-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .（1）求a b ⋅ 及a b + ；（结果用x 表示）（2）求函数sin y a b a b x =⋅-+ 的最小值.18.在ABC 中，已知223cos cos 222C A a c +=.（1）求证：a ､b ､c 成等差数列；（2）求角B 的最大值.19.已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.20.定义：对于任意复数i(,)z x y x y =+∈R ，当0y ≠时，称满足方程cot x y α=的最小正角α为复数z 对应的角，当0y =时，定义复数z 对应的角为0.（1）若复数13i 22ω=-+，求ω及ω对应的角；（2）复数i(,)z x y x y =+∈R 满足24x y =，求复数i z +对应的角的取值范围；（3）若非零复数i(,)z m n m n =+∈R 满足24m n =，当x 取遍任意实数时，取复数2i 4x w x =+，z w +对应的角有最大值max α和最小值min α，且当1w w =时z w +对应的角取到最大值，2w w =时z w +对应的角取到最小值.问：当m 取遍任意正实数时，复平面内复数12w w +对应的点是否在同一条拋物线上？如果是，请求出这条抛物线；如果不是，请说明理由.21.已知函数()f x 的定义域为[0,1]，若函数()f x 满足：对于给定的T (01)T <<，存在[0,1]t T ∈-，使得()()f t T f t +=成立，那么称()f x 具有性质()P T .（1）函数()sin f x x =([0,1])x ∈是否具有性质1()4P ？说明理由；（2）已知函数131,0312()62,33234,13x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩具有性质()P T ，求T 的最大值；（3）已知函数()f x 的定义域为[0,1]，满足(0)(1)f f =，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n ，使得函数()f x 具有性质1()P n，若存在，求出这样的n 的取值集合；若不存在，请说明理由.交大附中高二开学考数学试卷一､填空题1.的大小关系为___________.【答案】-<-【分析】运用作差法：--=．再次作差22+-，能够得到结果【详解】- =-．22-(13(13=+-+0=-<．∴-<．<2.已知()1,0a = ,()2,4b =,则|a b + |＝_____．【答案】5【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出.【详解】解:因为()1,0a = ,()2,4b =,()3,4a b ∴+=,5a b ∴+==故答案为:5【点睛】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式,属于基础题.3.不等式2120x x ---<的解集为_____.【答案】(1,1)-【详解】解：因为22212021|2(21)(2)x x x x x x ---⇔-<-⇔-<-23311x x ⇔<⇔-<<4.设53()7f x ax bx cx =+++（其中a ､b ､c 为常数，x ∈R ），若(2021)17f -=-.则()2021f =___________.【答案】31【分析】由已知得()532021·2021·2021·20217f a b c =+++，()()()()5320212021202120217f a b c -=-+-+-+，由此能求出()2021f ．【详解】53()7f x ax bx cx =+++ （其中a ，b ，c 为常数，)x R ∈，()202117f -=-，()532021·2021·2021·20217f a b c ∴=+++()()()()5320212021202120217f a b c -=-+-+-+()()2021202114f f ∴+-=，()20211714f ∴-=()2021141731f ∴=+=．故答案为：31．5.设复数12i 34i z -=+，则z 的共轭复数z 的虚部是______．【答案】25【分析】根据题意，计算出复数z 的代数形式，即可求解.【详解】因()()()()12i 34i 12i 510i 12i 34i 34i 34i 2555z -----====--++-,所以12i 55z =-+，因此z 的共轭复数z 的虚部是25.故答案为：25.6.已知2sin 3x =，(,)2x ππ∈，则x =________（用反三角函数表示）【答案】2arcsin3π-【详解】∵2sin 3x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2 arcsin 3x π=-.故答案为2arcsin 3x π=-7.设是3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值是__．【答案】【详解】由已知0,0a b >>,是3a 与b 的等比中项，则23,1a b ab =⋅∴=则11111112ab a ba b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．8.已知cos (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像与1y =的图像的两相邻公共点间的距离为π，那么要得到cos 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，最少需要把sin()y x ω=的图像向左平移___________个单位.【答案】512π【分析】根据cos (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像与1y =的图像的两相邻公共点间的距离为π可得周期，进而可得ω，再利用函数()cos y A x ωϕ=+的图像变换规律可得结论.【详解】解：由已知cos (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像与1y =的图像的两相邻公共点间的距离为π，得T π=，2ππω∴=，得2ω=，cos 23y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又sin 2cos 22y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其向左平移(0)t t >个单位得()cos 2cos 2222y x t x t ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则2223t k πππ-=+，得125t k ππ=+，当0k =时，t 取最小值512π.故答案为：512π.9.若函数f(x)的定义域为R ，则a 的取值范围为_______.【答案】[]10-，【详解】220212x ax a--≥=恒成立，220x ax a ⇒--≥恒成立，2(2)40(1)010.a a a a a ⇒∆=+≤⇒+≤∴-≤≤10.设点O 在ABC 内部，且3450OA OB OC →→→→++=，则ABC 与AOC △的面积之比为___________.【答案】3∶1【分析】如图，延长OA 到D ，使得3OD OA =,延长OB 到E ，使得4OE OB =，延长OC 到F ,使得5OF OC =，O 是DEF 的重心，设DEF S S = ，求出145AOC S S = ，136AOB S S = ,160COB S S = ，即得解.【详解】如图，延长OA 到D ，使得3OD OA =,延长OB 到E ，使得4OE OB =，延长OC 到F ,使得5OF OC =.因为3450OA OB OC →→→→++=，所以0OD OE OF →→→→++=，所以O 是DEF 的重心，设DEF S S = ，所以1133ODF ODE OEF DEF S S S S S ==== ,所以1sin 111112,135151545sin 2AOC AOC ODF ODF OA OC AOC S S S S S OD OF AOC ⋅⋅⋅∠==⋅=∴==⋅⋅⋅∠ ，同理111236AOB ODE S S S == ,112060COB OEF S S S == .所以ABC 与AOC △的面积之比为1114536603:1145S S S S ++=.故答案为：3:111.如图，已知扇形的圆心角为2α(0)4πα<<，半径为R，则扇形的内接矩形面积的最大值为________【答案】21tan 2R α【详解】设∠MOQ =x ，则MQ =R sin x在△OMN 中,()MN sin 2x α-=()sin 1802R α︒-,∴MN =()Rsin 2αx sin2α-∴矩形面积S =()2sin 2αx sinxsin2R α-=22sin2R α[cos(2x −2α)−cos2α]⩽2R 2sin2α[1−cos2α]=21tan 2R α，当且仅当x =α时,取得最大值,故矩形面积的最大值为21tan 2R α，点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.12.设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12<b b ，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为．【答案】3+【详解】设等差数列的公差为，由12a a <可知为正数，∵是等比数列，∴，又∵2(1,2,3)i i b a i ==，∴或2111()(2)a d a a d +=-+，若2111()(2)a d a a d +=+：则不合题意，舍去，若2111()(2)a d a a d +=-+，则，，化简得，经检验，由，故舍去，∴.二､选择题13.“1a >”是“11a <”的（）条件A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】B 【详解】由11a<，解得：a 0a 1，或，∴“1a >”是“11a<”的充分不必要条件故选B 14.若集合{lg(2)1}A x x =-<，集合1282x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B = ．A.(1,3)- B.(1,12)- C.(2,12) D.(2,3)【答案】D【详解】(){}1{lg 21}{212},2813,2x A x x x x B x x x ⎧⎫=-<=<<=<<=-<<⎨⎬⎩⎭ {}23.A B x x ⋂=<<故选D.15.制作一个面积为1m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（够用，又耗材最少）是A.4.6mB.4.8mC.5mD.5.2m【答案】C【详解】解：设一条直角边为x ，则另一条直角边是，斜边长为，故周长C=x++≥2+2≈4.82，当且仅当x=时等号成立，故较经济的（既够用又耗材量少）是5m ．故选C ．【点评】本题考查了材料最省的应用问题，解题时应建立函数的关系式，用单调性或者用基本不等式求出最小值，是基础题．16.在ABC ∆中,若()()3a b c a b c ab +++-=,且sin 2sin cos C A B =,则ABC ∆是A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形【答案】A【详解】222()()3;a b c a b c ab a b c ab +++-=⇒+-=则22201cos ,60;22a b c C C ab +-==∴=sin 2sin cos sin()2sin cos sin cos cos sin C A B A B A B A B A B=⇒+==+即sin()0,;A B A B -=∴=为等边三角形，故选A三､解答题17.已知33cos ,sin ,cos ,sin ,0,22222x x x x a b x π⎛⎫⎛⎫⎡⎤==-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .（1）求a b ⋅ 及a b + ；（结果用x 表示）（2）求函数sin y a b a b x =⋅-+ 的最小值.【答案】（1）cos 2a b x ⋅=，||a b += （2）最小值.【分析】（1）利用数量积的坐标表示及模长公式求解（2）利用二倍角余弦公式和辅助角公式化简求最值即可【详解】解：（1）33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⋅=-=，||a b += .（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2cos x ==，()||sin cos2f x a b a b x x x =⋅-+=-.cos 22cos sin cos 2sin 224x x x x x x π⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以24x ππ+=即38x π=时，取到最小值.18.在ABC 中，已知223cos cos 222C A a c +=.（1）求证：a ､b ､c 成等差数列；（2）求角B 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为3π.【分析】（1）由二倍角的余弦公式结合余弦定理角化边整理即可证明；（2）利用余弦定理结合基本不等式求解【详解】解：（1）1cos 1cos 3222C A b a c ++⋅+⋅=222222(cos cos )3,322a b c c a a c a C c A b a c a c b ab b bc+-+-+++=++⋅+⋅=2a c b ⇒+=，∴a ，b ，c 成等差数列（2）()222222223232212cos 22882a c a c a c ac a c b ac ac B ac ac ac ac +⎛⎫+- ⎪+-+-⋅-⎝⎭===≥=，当且仅当a c =等号成立，又()0,B π∈所以角B 的最大值为3π.19.已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，1b =；（2）13k <-.【分析】（1）根据()00f =，可得1b =，再由()()11f f =--即可求解.（2）判断()f x 在R 上为减函数，结合函数为奇函数可得2222t t t k ->-+，从而可得对一切t ∈R 有2320t t k -->，由∆<0即可求解.【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即102b a-+=+，解得1b =.从而有121()2x x f x a +-+=+.又由()()11f f =--，知1121241a a-+-+=-++，解得2a =.经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意.（2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-.20.定义：对于任意复数i(,)z x y x y =+∈R ，当0y ≠时，称满足方程cot x y α=的最小正角α为复数z 对应的角，当0y =时，定义复数z 对应的角为0.（1）若复数13i 22ω=-+，求ω及ω对应的角；（2）复数i(,)z x y x y =+∈R 满足24x y =，求复数i z +对应的角的取值范围；（3）若非零复数i(,)z m n m n =+∈R 满足24m n =，当x 取遍任意实数时，取复数2i 4x w x =+，z w +对应的角有最大值max α和最小值min α，且当1w w =时z w +对应的角取到最大值，2w w =时z w +对应的角取到最小值.问：当m 取遍任意正实数时，复平面内复数12w w +对应的点是否在同一条拋物线上？如果是，请求出这条抛物线；如果不是，请说明理由.【答案】（1）ω对应的角为23π：ω对应的角为3π；（2）3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）是，238y x =.【分析】（1）利用cot x y α=求解得角；（2）由定义得2cot 14x x α=+，利用基本不等式求出范围，进而得角的范围（3）讨论0x m +=和x m +不为零时利用基本不等式求最值，进而得到12w w +23=2i 2m m -+即对应的点始终在同一条抛物线238y x =上【详解】解：（1）133i cot =-223ωα=-+∴故ω对应的角为23π；133i cot =,223ωα=--∴故ω对应的角为3π.（2）设i(,)z x y x y =+∈R ，复数i z +的角为α那么224,i (1)i 1i 4x x y z x y x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭所以2cot 14xx α=+，因为x 为任意实数，当0,cot 0;x α==当10,cot 114x x xα>=≤=+当且仅当12x =等号成立；当10,cot 114x x x α<=≥--+当且仅当12x =-等号成立所以2[1,1]14xx ∈-+，所以3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）22i 4x m z w x m ++=++设z w +对应的角为α，0x m +=时，2πα=x m +不为零时，222224cot 4224x m x m x m m x m x m m x mα++===++++-+当0x m +>时，2422m x m m x m≤++-+所以当x m +=时，cot α取到最大值.即α取最小值；当0x m +<2422m x m m x m≥++-+x m +=时，cot α取到最小值，即α取最大值，此时21232i 2m w w m +=-+.对应的点始终在同一条抛物线238y x =上.21.已知函数()f x 的定义域为[0,1]，若函数()f x 满足：对于给定的T (01)T <<，存在[0,1]t T ∈-，使得()()f t T f t +=成立，那么称()f x 具有性质()P T .（1）函数()sin f x x =([0,1])x ∈是否具有性质1()4P ？说明理由；（2）已知函数131,0312()62,33234,13x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩具有性质()P T ，求T 的最大值；（3）已知函数()f x 的定义域为[0,1]，满足(0)(1)f f =，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n ，使得函数()f x 具有性质1()P n ，若存在，求出这样的n 的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】（1）不具有；（2）12；（3）*{|,2}n n n ∈≥N .【详解】（1）函数f （x ）=sinx （x ∈[0，1]），不具有性质P （14）证明如下：对任何t ∈[0，1﹣14]=[0，]，均有0≤t ≤t +14≤1由于函数f （x ）=sinx ，在x ∈[0，1]上单调递增∴f （t ）＜f （t +14）所以，函数f （x ）=sinx （x ∈[0，1]不具有性质P （14）（2）T 的最大值为12．求解如下：∵f （12）=f （1）=﹣3×1﹣4=1，又f （12）=6×12﹣2=1∴f （t +12）=f （t ）在t ∈[0，1﹣12]上有解，t=12因此，f （x ）具有性质P （12），从而T 可取到12下证：12＜T ＜1不可能出现．首先，当x ∈（0，13]时，f （x ）=﹣3x +1＜1，当x ∈（13，12）时，f （x ）=6x ﹣2＜6×12﹣2=1即，当x ∈（0，12）时，均有f （x ）＜1，同理可得，当x ∈（12，1），均有f （x ）＞1．假设12＜T ＜1，那么，当t ∈[0，1﹣T ]时①若t=0，则f （t ）=f （0）=1，又t +T=T ∈（12，1），所以f （t +T ）=f （T ）＞1，即f （t +T ）＞f （t ）②若t ∈（0，1﹣T ] （0，12），则f （t ）＜1，又t +T ∈（T ，1），注意到12＜T ＜1，故f （t +T ）＞1，故f （t +T ）＞f （t ）这就是说，如果12＜T ＜1，那么，当t ∈[0，1﹣T ]时，均有f （t +T ）＞f （t ），即f （t +T ）=f （t ）均不成立综上所述，T 的最大值为12（3）任取n ∈N +，n ≥2，设h （x ）=f （x +）﹣f （x ），其中x ∈[0，]，则有h （0）=f （）﹣f （0）h （）=f （）﹣f （）h （）=f （）﹣f （）…h （）=f （）﹣f （）…h （）=f （1）﹣f （）以上各式相加得h （0）+h （1n）+f （）+…+h （）+…+h （）=f （1）﹣f （0）=0，即h （0）+h （1n）+f （）+…+h （）+…+h （）=0当h （0），h （1n ），f （），…，h （）中有一个为0时，不妨设为h （）=0，这里i ∈{0，1，2，…，n ﹣1}，而0=h （）=f （+）﹣f （），即f （+）﹣f （）=0推得f （+1n）=f （）故函数f （x ）具有性质P （1n）（n ∈N +，n ≥2）当h （0），h （1n），f （），…，h （）均不为0时，因为其和为0，所以必然存在正数与负数，不妨设h （）＞0，h （）＜0，（i ＜j ，i ，j ∈{0，1，2…，n ﹣1}）由于h （x ）的图象也是连续不断的曲线，故，至少存在一个t ∈（，）使得h （t ）=0，即f （t +1n）﹣f （t ）=0．亦即f（t+1n）=f（t），故函数f（x）具有性质P（1n）（n∈N+，n≥2）综上所述，存在正整数n，且n的取值集合是{n|n∈N+，n≥2}．点睛：做这类信息迁移题，一是要按照给定的定义，把已知的函数代入进去进行尝试，二是要注意函数的值域和定义域要满足条件，三是要考虑函数的性质（特别是单调性奇偶性等），四是合理构造新函数或者新等量关系转化问题．。
上海市交大附中-2021学年高二数学下学期期中试题(含解析)
上海市宝山区交大附中2021学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、填空题：本大题共12个小题,满分54分. 将答案填在答题纸上1.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面.【答案】1【解析】【分析】两条平行直线确定1个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果. 【详解】两条平行直线可确定1个平面 直线与两条平行直线交于不同的两点 ∴该直线也位于该平面上∴这三条直线可确定1个平面本题正确结果：1【点睛】本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.2.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9π【解析】 由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=. 3.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．【答案】4【解析】试题分析：24V a a =⨯=4a =． 考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．4.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为________【答案】(4,3,2)-【解析】如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C ,所以1(4,3,2)AC =-.5.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3. 【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.6.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，,A B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与OB 所成角的大小为6π，则1r=__________【答案】【解析】 试题分析：如图，过A 作与BC 平行的母线AD ，连接OD ，则∠OAD 为直线OA 与BC 所成的角，大小为，在直角三角形ODA 中，因为∠OAD=，所以，故答案为。
2021年高二下学期开学测试数学理试题含答案
2021年高二下学期开学测试数学理试题含答案 学科：理科数学 测试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集A.个B.个C.个D.个2.复数等于（ ）A. B. C. D.3．已知 , 则(A) (B) (C) (D)4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5.“a = 1”是“复数(,i 为虚数单位)是纯虚数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.7．如下图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1那么这个几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13 D.168．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 359．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．310.将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋111.椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ ）A. B . C . D .12. 如右图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题中，错误的是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直于平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为________．14．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为 ．15.已知OA →＝(1,1)，OB →＝(4,1)，OC →＝(4,5)，则AB →与AC →夹角的余弦值为16．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是____． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积．18. （本小题满分12分）假设某种设备使用的年限x （年）与所支出的维修费用y （元）有以下统计资料：使用年限x2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0参考数据：，如果由资料知y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）；（2）线性回归方程．（3）估计使用10年时，维修费用是多少？19．（本小题满分12分）如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)是否存在这样的E 点，使得平面A 1BD ⊥平面EBD ？若存在，请找出这样的E 点；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n＝4，n ＝1,2，…， (1)求数列{a n }的通项公式和S n ；(2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .21. （本小题满分12分）如图，点A ，B 分别是椭圆的长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为：且.(1)求直线AP 的方程；(2)设点M 是椭圆长轴AB 上一点，点M 到直线AP 的距离等于，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.22. （本小题满分12分）如右图所示，已知直二面角α－AB －β，P ∈α，Q ∈β，PQ 与平面α，β所成的角都为30°，PQ ＝4.PC ⊥AB ，C 为垂足，QD ⊥AB ，D 为垂足．求：(1)直线PQ 与CD 所成角的大小；(2)四面体PCDQ 的体积．参考答案1. A2.B3.C4.A5.A6.A7.D8.B9.C 10. C 11. B 12. D13. 3π∶2 14. 15. 35 16. －3<k ≤017.解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10.(3)S ＝12ab sin C ＝32.18. 解：（1）由表中数据可得=（2+3+4+5+6）÷5=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）÷5=5（2）由已知可得：=．于是 ．所求线性回归方程为：．（3）由（2）可得，当x=10时，（万元）．即估计使用10年时，维修费用是12.38万元． 19. 解：连接AC ，设AC ∩DB ＝O ，连接A 1O ，OE .(1)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACEA 1，∵A 1E ⊂平面ACEA 1，∴A 1E ⊥BD .(2)当E 是CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .证明如下：∵A 1B ＝A 1D ，EB ＝ED ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD ，EO ⊥BD ，∴∠A 1OE 为二面角A 1－BD －E 的平面角．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设棱长为2a ，∵E 为棱CC 1的中点，由平面几何知识，EO ＝3a ，A 1O ＝6a ，A 1E ＝3a ，∴A 1E 2＝A 1O 2＋EO 2，即∠A 1OE ＝90°.∴平面A 1BD ⊥平面EBD .20. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2n S n ＝4，得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3， 且d ＝a 2－a 1＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2. (2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1.所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，①2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n －1＝2(1－2n )1－2－(2n －1)·2n －1. 所以T n ＝(2n －1)·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n ＋3.21. 解： ⑴由题意知，，从而 ，由题意得，，从而，，因此，直线AP 的方程为：， 即. ⑵设，则点M 到直线AP 的距离为，而，依题意得解得或（舍去），故.设椭圆上一点，则，即()22222424249d MN x y x x ==-+=-+，， 所以当时，，即.22. 解：(1)如下图，在平面β内，作CE 綊DQ ，连接PE ，QE ，则四边形CDQE 为平行四边行，所以EQ 綊CD ，即∠PQE 为直线PQ 与CD 所成的角(或其补角)．∵α⊥β，α∩β＝AB ，PC ⊥AB 于C .∴PC ⊥β.同理QD ⊥α，又PQ 与平面α，β所成的角都为30°，∴∠PQC ＝30°，∠QPD ＝30°，∴CQ ＝PQ ·cos 30°＝4×32＝23，DQ ＝PQ ·sin 30°＝4×12＝2.在Rt△CDQ中，CD＝CQ2－DQ2＝12－4＝22，从而EQ＝2 2.∵QD⊥AB，且CDQE为平行四边形，∴QE⊥CE.又PC⊥β，EQ⊂β，∴EQ⊥PC. 故EQ⊥平面PCE，从而EQ⊥PE.在Rt△PEQ中，cos∠PQE＝EQPQ＝224＝22.∴∠PQE＝45°，即直线PQ与CD所成角的大小为45°.(2)在Rt△PCQ中，PQ＝4，∠PQC＝30°，∴PC＝2.而S△CDQ＝12CD·DQ＝12×22×2＝22，故四面体PCDQ的体积为V＝13S△CDQ·PC＝13×22×2＝43 2.V30493 771D 眝S29154 71E2 燢36914 9032 進q !SV336467 8E73 蹳。
2021年高二下学期开学考试数学(理)试题 含答案
2021年高二下学期开学考试数学（理）试题 含答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、在等差数列中，若，则该数列的前9项的和为 （ ） A 、17B 、18C 、19D 、202、点到直线的距离为 （ ） A 、B 、C 、D 、3．已知角的终边过点P(-4k ,3k ) (), 则的值是 （ ）A ．B ． 或C ．D ．以上都不对4. 函数在上取最大值时，的值为 （ ） Ａ．0 Ｂ． Ｃ． Ｄ．5．4张卡片上分别写有数字1、2、3、4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 （ ） A. B. C. D.6．关于直线以及平面M 、N ，下面命题中正确的是 （ ） A ．若 B ．若C ．若D ．若，则7．已知均为锐角，若:sin sin(),:,2p q p q πααβαβ<++<则是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 右图中程序运行后输出的结果为 ( )A. 50B. 5C. 25D. 09．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 （ ）10．从一批产品中取出三件，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品主视图左视图BAC D44 8 4 主视图 侧视图俯视图 ABCC 1B 1NM不全是次品”，则下列结论正确的是 （ ）A ．B 与C 互斥 B ．A 与C 互斥 C ．任两个均互斥D ．任两个均不互斥 11.已知椭圆C ：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若。
则k = ( ) A.1 B. C. D.212．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2011∈[1]; ②-3 ∈ [3]; ③z=[0]∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4]; ④“整数a ，b 属于同一‘类”的充要条件是“a -b ∈[0]” 其中，正确结论的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13.数据x 1,x 2, …,x 8的平均数为6，标准差为2，则数据2x 1-6,2x 2-6, …,2x 8-6的方差为_________. 14．已知sin2α=,，则sin α＋cos α的值为 15．记函数在区间[－2，2]上的最大值为M ， 最小值为m ，那么M+m 的值为____________16．过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，为准线上一点，若直线与直线的斜率之和为，则点的坐标为___________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．(本小题满分10分)设命题命题若是的充分不必要条件， 求实数的取值范围. 18、（本小题满分12分） 在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足： 2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积。
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上海市交大附中2021年春高二数学下学期开学考试卷
一、填空题
1.设()1224i z i +⋅=-（i 为虚数单位），则z =__________.
2.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 .
3.直线3445x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的斜率为__________.
4.已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)n m n =-，若l α⊥，则m n +=
5.已知抛物线22x py =上的点(2,2)A ，则A 到准线的距离为
6.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐
标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立
空间直角坐标系，若
1DB 的坐标为(5,4,3)，则1D B
的坐标为
7.已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有一个模
为1的虚根，则a 的取值范围是
8.在四面体ABCD 中，5,6,7AB CD AC BD AD BC ======，则,AB CD 所成角的余弦值为__________.
9.在空间中，已知一个正方体的12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则 sin α=
10.已知圆M :1)1(22=-+y x ，圆N :
1)1(22=++y x .直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点.点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小
值为___________.
11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P
在侧面11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则△PBC 的面积的最小值为
12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为
4a 的圆在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成
的轨迹即为星形线，其方程为222333
x y a +=，给出下列四个结论，正确的是______ （1）星形线的参数方程为：33cos sin x a t y a t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）；
（2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；
（即横、纵坐标均为整数的点）
（3）曲线11221x y +=在星形线22331x y +=的内部（包含边界）； （4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4S a a π∈.
二、选择题
13.12,z z 是复数，下列结论正确的是（ ）
A ．若22120z z +>，则2212z z >-
B ．()21212124z z z z z z -=+-⋅
C ．2
2121200z z z z +=⇔== D ．2
211z z = 14.如图，在大小为45︒的二面角A EF D --中，四边形ABFE 与CDEF
都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．32-
15.定义：复数z 与i 的乘积i z 为复数z 的“旋转复数”，设复数i z x y =+（,x y ∈R ）对应的点(,)x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）
A. 220y xy x +-=
B.
220y xy x -+= C. 220y xy x ++= D. 220y xy x --=
16.如图，已知正四面体1234A A A A ，点5678910,,,,,A A A A A A 分别是所在棱中点，点P 满足
4414243A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min ||||A Q A P =，则
当1,10i j ≤≤且i j ≠时，数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是（ B ）
A ．3
B ．5
C ．9
D ．21
三、解答题
17.如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，
22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，
且=AD AC λ(0λ>).
（1）当1=
2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小；
（2）当三棱锥D PBC -的体积为2
9时，求λ的值.
18.已知m 是实数，关于x 的方程E ：x 2﹣mx +（2m +1）＝0．
（1）若m ＝2，求方程E 在复数范围内的解；
（2）若方程E 有两个虚数根x 1，x 2，且满足|x 1﹣x 2|＝2，求m 的值．
19.如图，AB 是圆柱的底面直径且2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面面圆周上的点.
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求二面角C PB A --的大小.
（结果用反三角函数值表示）
20.如图，在Rt SOA △中，6OSA π∠=，斜边4SA =，半圆H 的圆心H 在边OS 上，且与SA 相切，现将Rt SOA △绕SO 旋转一周得到一个几何体，点B 为圆锥底面圆周上一点，且90AOB ∠=︒． （1）求球H 的半径；
（2）求点O 到平面SAB 的距离；
（3）设P 是圆锥的侧面与球的交线上一点，求PO 与平面SAB 所成角正弦值的范围．
21.已知双曲线22
22Γ:1(0,0)x y a b a b -=>>，设P 是双曲线Γ上任意一点，O 为坐标原点，
F 为双曲线右焦点，12,A A 为双曲线的左右顶点.
（1）若(2,3)d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；
（2）已知：无论点P 在右支的何处，总有
||||PO PF >，求b
a 的取值范围； （3）若2,3a
b ==
，动点Q 与双曲线的顶点不重合，直线1QA 和直线2QA 与直线1:l x =分别相交于点S 和T ，试问：以线段ST 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.
参考答案
一、填空题
1. 2
2. 9π
3.45-
4. 16-
5. 25
6. (4,3,2)-
7. ()2,2- 8. 2513 9. 33 10. 8 11.55
2 12. （1）（3）（4）
二、选择题
13. D 14. D 15. C 16. B
三、解答题
17. （1）3π； （2）32
=λ；
18. （1）12i ±； （2）0或8
19. （1）证明略； （2
）arcsin 3
20. （1
）3； （2
）7d =
； （3
）1414
+⎣⎦
21. （1）θ
π=- ； （2） 0b a << （3）定点5,02⎛⎫
⎪⎝⎭和1,02⎛⎫
- ⎪
⎝⎭。