第11讲对策论一LP作业

0.14x1 + 0.07x4 ≤ 42
xi ≥ 0 ( i = 1,2,3,4 ）
300, 230 , 45,0 该问题存在两个极点解： X 0, 320 3 ,120,0 , X 3 300 300 230 / 3 30 则此题有多重最优解： * , X * X 1* (1 ) X 2 [0,1] 45 75 * Z 28 0
xij ≥ 0 ( i = 1,2， j = 1,2,3 ）
运筹学
LP作业讲解
1.1 (1)多重最优解 (2) 无可行解
(3) 惟一最优解 (4) 无界解
1.7 (1) 无界解
(3) 极点解X *=[2/5, 9/5, 1,0]T， Z *=17/5
习题2-6 Z * = 9000, 多重最优解
运筹学
已知：α 1=(上,中,下)；α 2=(上,下,中)；α 3=(中,上,下)；α 4=(中,下,上)； α 5=(下,上,中)；α 6=(下,中,上)。 α i＝β j , i =j = 1,… ,6。
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第11讲：对策论（一）
2、矩阵对策的基本模型
赢得矩阵：局中人i 在不同局势下的赢得所组成的矩阵，用 Ai 表示。例如：田忌的赢得矩阵为： β1 β2 β3 β4 β5 β6
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第11讲：对策论（一）
一、对策论的基本概念
1、对策现象及其三个要素（以“田忌赛马”为例）
局中人：与对策有直接效用关系的实体（人、集体等） 齐王、田忌、孙膑、马 X X
策略：一个局中人对付其他局中人的方法或措施
田忌的策略共有 3！= 6 α 1=(上,中,下)；α 2=(上,下,中)；α 3=(中,上,下)； α 4=(中,下,上)；α 5=(下,上,中)；α 6=(下,中,上)。 同理，齐王的策略分别为： β 1=(上,中,下)；β 2=(上,下,中)；β 3=(中,上,下)； β 4=(中,下,上)；β 5=(下,上,中)；β 6=(下,中,上)。
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第11讲：对策论（一）
策略集：局中人i 所有策略的集合，用Si 表示 例如：设田忌为第1人，i=1；齐王为第2人，i=2。 则田忌的策略集为：S1＝{α1,α2,α3,α4,α5,α6}；
齐王的策略集为：S2＝{β1,β2, β3, β4, β5, β6}。
局势：每个局中人各从其策略集中取一个策略参与对策，则 这些策略的组合称为局势，用s表示。 例如：田忌和齐王的某个局势为：s51或(α 5,β 1)，即s51 =(α 5,β 1) 赢得函数：局中人i 在局势s下的所得，用Ui (s)表示 U1(s51) 1 U2(s51)=-1 U1(s11)= U2(α 2,β 5)= 1 -3 =
格为100元，在没有关于当年冬季气温情况准确预报的条
件下，秋季应采购多少吨煤能使总支出最少？
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第11讲：对策论（一）
三、混合策略
设有对策G ＝（S1，S2，A），其中 S1＝{α 1,α 2,…，α m}， S2＝{β1,β2,… , βn}，
* 1
A=(aij)m×n。 记：
S x E m | xi 0, i 1, 2, * S2 y E n | y j 0, j 1, 2,
齐王的赢得矩阵为：A2＝－A1，A1 也可称为齐王的损失矩阵
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第11讲：对策论（一）
矩阵对策
两个局中人的对策表述 —— G ＝（S1, S2, A1）
＝（S1，S2，A） 本节中我们仅研究二人有限零和对策，即 A1+A2=0
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第11讲：对策论（一）
3、对策的分类
按局中人的数目分类：二人对策，多人对策（诸侯争霸） 按策略的数目分类：有限对策，无限对策（警察抓罪犯） 按赢得矩阵之和是否为零分类：零和对策，非零和对策（囚 徒困境）
i j j i
则局势（α r ,β k）称为G 的解或鞍点。α *=α r,β *=β k称
为甲、乙的最优纯策略。设G 的值为vG，vG = ark 。
பைடு நூலகம்
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第11讲：对策论（一）
例2 求解G ＝（S1，S2，A），其中
β1 β2
α1 A＝ α 2 α3
β3
β4
4 3 6 3 2 2 0 6 5 3 4 3
LP作业讲解
习题2-7
解： 设需要甲、乙、丙、丁肥料各x1，x2，x3，x4千克，则该问题的线性规 划模型可写为：
min z = 0.04x1 + 0.15x2 + 0.10x3 + 0.13x4
s. t. 0.03x1 + 0.30x2 + 0.15x4 ≥ 32 0.05x1 + 0.20x3 + 0.10x4 ＝ 24
7 4 A 3 6
，求甲乙两人应采取的策略？
如果双方进行一次对策，则甲随机选择，乙选β2的概率大一点； 如果双方进行六次对策，甲分别取3次α 1和α 2，乙选2次β 1，4次β
2
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第11讲：对策论（一）
例5
求解下列矩阵对策，其中：
4 2 A 0 8
作业：12.1，12.2，12.3，12.4
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LP作业讲解
LP作业讲解
习题2-3
解： 设 xij采用第 i ( i = 1,2，对应于甲,乙 ) 种机床加工第 j 种工件的 数量( j = 1,2,3)，z为总加工费用，则该问题的线性规划模型可写为： min z = 13x11 +9x12 + 10x13 + 11x21 +12x22 +8x23 s. t. 0.4x11 +1.1x12 + x13 ≤ 700 0.5x21 +1.2x22 + 1.3x23 ≤ 800 x11 + x21 =(≥) 300 x12 + x22 =(≥) 500 x13 + x23 =(≥) 400 这两台机床的可用 台时数分别为700 和800，三种工件 的待加工数量分别为 300、500和400
如果甲、乙都是理性的人，应各选什么策略？
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第11讲：对策论（一）
设有对策G ＝（S1，S2，A），其中 S1＝{α 1,α 2,…，α m}， S2＝{β1,β2,… , βn}，
A=(aij)m×n。
如果A中存在一个元素ark满足：
ark max min aij min max aij
α1 α2 A 1＝ α 3 α4 α5 α6
3 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3
, m; xi 1 i 1
m
, n; y j 1 i 1
n
则分别称S1*和S2*为局中人甲、乙的混合策略集；对于
* x S1* , y S2 , 称x和y为混合策略，（x, y）为混合局势。
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第11讲：对策论（一）
例4
求解G ＝（S1，S2，A），S1＝{α1, α2}， S2＝{β1, β2}，
按局中人是否合作分类：非合作对策（同类企业竞争），合
作对策（供应链成员，OPEC等）
综上所述，田忌赛马为二人有限零和不合作对策。
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二、纯策略
例1 设对策G ＝（S1，S2，A），其中
β1 α1
A＝ α2
β2
β3
β4
α3
7 8 2 3 3 6 1 2 9 2 3 5
* 1 * 2
T
T
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LP作业讲解
附：1.15 Lindo语句
max 1000x11+1000x12+1000x13+700x21+700x22+700x23+600x31+600x32+600x33 st 8x11+6x21+5x31<=2000 8x12+6x22+5x32<=3000 8x13+6x23+5x33<=1500 10x11+5x21+7x31<=4000 10x12+5x22+7x32<=5400 10x13+5x23+7x33<=1500 最优值: Z*=801000 x11+x12+x13<=600 x21+x22+x23<=1000 最优解： x31+x32+x33<=1500 x11 = 150, x12 = 375, 184x12+138x22+115x33-240x11-180x21-150x31>=0 x13 = 75, x23 = 150, 240x11+180x21+150x31-136x12-102x22-85x33>=0 x31 = 160, 184x12+138x22+115x33-320x13-240x23-200x33>=0 其余xij= 0 320x13+240x23+200x33-136x12-102x22-85x33>=0 176x13+132x23+110x33-120x11-90x21-75x31>=0 120x11+90x21+75x31-144x13-108x23-90x33>=0 end
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第11讲：对策论（一）
例3
■ 某单位采购员在秋天时要决定冬季取暖用煤的采购量。 已知在正常气温条件下需要煤15吨，在较暖和较冷气温条 件下需要煤10吨和20吨。假定冬季的煤价随天气寒冷程 度而变化，在较暖、正常、较冷气温条件下每吨煤的价格 分别为100元、150元和200元。又设秋季时每吨煤的价