2015人教新课标中考总复习课件(第8讲_分式方程)(20张PPT)
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分式方程ppt课件
36
36
根据题意，得 x ＝
＋2，
(1＋50%)x
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是方程的解．
答：该施工队原计划每天改造 6 m.
知3－练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，
某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已
知足球的单价比排球的单价多15 元．
－
③ ＝x；④
＋3＝
；
－
－
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这
车的速度.
知3－练
思路引导：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，
则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得 －
= ，解得x
.
经检验，x = 6 0 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0．
知3－练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平
＝
；(3) ＝1；
－ ＋
(4)
＝
；(5) －2＝x(a为非零常数).
＋ －
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有
36
根据题意，得 x ＝
＋2，
(1＋50%)x
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是方程的解．
答：该施工队原计划每天改造 6 m.
知3－练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，
某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已
知足球的单价比排球的单价多15 元．
－
③ ＝x；④
＋3＝
；
－
－
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这
车的速度.
知3－练
思路引导：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，
则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得 －
= ，解得x
.
经检验，x = 6 0 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0．
知3－练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平
＝
；(3) ＝1；
－ ＋
(4)
＝
；(5) －2＝x(a为非零常数).
＋ －
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有
15《分式方程》PPT课件人教版数学八年级上册
.
解分式方程的关键是去分母，在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项.
下令列解不是：整式方(1程的)，方有哪些程？ 两边乘x(x-2)，
不是整式方程的有：(2)(3)(4)(7).
得5(x-2)=7x， 分式方程和整式方程的区别与联系
航行60 km所用的时间为 h .
新知探究 知识点1 分式方程
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
分式方程必须满足的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数.三者缺一不可.
分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关
于x的分式方程
x a
-2
x（a为非零常数），分母中
虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是
解：方法三（设参数法）：
令 5 4 k(k ≠0) ，
x2 x
则x 4 ，k(x+2)=5.
k
解得 k 1 ，所以x=8.
2
经检验，x=8是原方程的解.
(1) 解：； 方法四（分子对等法）：
(1)
；
4个
将分子化相等，得
.
航行60 km所用的时间为 h .
20 20 了解分式方程的概念，能判断一个等式是不是分式方程. 将分子化相等，得 . 分式方程①中各分母的最简公分母是 (30+v)(30-v). 4( x 2) 5x 解：方法四（分子对等法）：
解：如果设江水的流速为v km/h，
则轮船顺流航行的速度为 (30+v) km/h，
航行90 km所用的时间为3090 v h； 轮船逆流航行的速度为 (30-v) km/h，
航行60
km所用的时间为
《分式方程》PPT课件
（来自《典中点》）
知识点 3 分式方程的根（解）
知3－导
使得分式方程等号两端相等的未知数的值 叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).
知3－讲
例3 [中考·遵义]若x＝3是分式方程 a 2 1 x x2
＝0的根，则a的值是( A )
A．5 B．－5 C．3
D．－3
导引：把x＝3代入分式方程，得到关于a的一元一次方
C．m＝3
D．m＝0或m＝3
3
若关于x的分式方程
6
( x 1)( x 1)
m
x 1 有增
根，则它的增根是( )
A．0
B．1 C．－1 D．1和－1
（来自《典中点》）
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程. 2.列分式方程的步骤：
(1)审清题意； (2)设未知数； (3)找到相等关系； (4)列分式方程.
漏乘．
（来自《点拨》）
1 解方程： (1) x 5 4; 2x 3 3 2x
3
x
(2) x2 9 x 3 1.
知2－练
（来自《点拨》）
知2－练
2
【中考·济宁】解分式方程
2 x1
x2 1 x
3
时，去分母后变形正确的为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3
38 2 2 1. 9x x
如果设小红步行的时间为x h，那么她乘公共汽 车的时间为(1－x) h， 根据等量关系(2)，可得到方程
38 2 9 2 .
1 x
x
知1－导
讨论： 上面得到的方程与我们已学过的方程有什么 不同？这两个方程有哪些共同特点？
新人教版初中八年级数学上册《分式方程》教学课件
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
分式方程ppt课件
•分式方程基本概念•分式方程解法•分式方程应用举例•分式方程与实际问题结合目•分式方程求解技巧与注意事项•分式方程练习题与答案解析录01分式方程基本概念分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程。
分母中含有未知数（或含有未知数整式的有理方程）叫做分式方程。
分式方程是指分母里含有未知数的有理方程。
分式方程与整式方程区别方程形式不同未知数位置不同分式方程是分式的形式，而整式方程是整式的形式。
解法不同02分式方程解法通过通分，将分式方程转化为整式方程。
注意去分母后，整理得到的整式方程的解需要检验，以排除增根。
适用于分子、分母均为多项式的分式方程。
去分母法通过引入新的变量，将分式方程转化为整式方程。
换元法可以简化复杂的分式方程，降低求解难度。
适用于具有特定结构的分式方程，如分子或分母含有根式、指数等。
换元法判别式法因式分解法将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。
因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03分式方程应用举例千米，一辆汽车从甲地开千米。
问这辆汽车需要多少小时才能到达乙地？01020304利润= 售价-进价利润率= 利润÷进价×100%售价= 进价×(1 +利润率)进价= 售价÷(1 +利润率)举例：某商店以每双6.5元的价格购进一批凉鞋，售价为7.4元。
卖到还剩5双时，除成本外还获利44元。
这批凉鞋共有多少双？04分式方程与实际问题结合实际问题转化为分式方程通过分析实际问题的数量关系，建立分式方程模型。
将实际问题中的已知量和未知量用字母表示，根据问题中的等量关系列出分式方程。
注意分式方程中分母不能为0的条件，确保方程的合法性。
分式方程求解实际问题通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将分式方程化为整式方程。
解整式方程，求得未知数的值。
检验求得的解是否符合实际问题的要求，确保解的合理性。
《分式方程》分式PPT课件 (共18张PPT)
X(x―3)
X2-1=0
时,
3 x2 3、分式 2( x 3)与 x 2 3x 的最简公分母 是 2X(x―3) .
解分式方程
例1 解分式方程
x11 x1 2
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转 ● ● ● ● ● 化 x 1 1 得 2(x＋1) · x1 2 · 2(x＋1) 整式方程 ① 化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 · · · · · · 程的根. · · · 使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, · · · · 而不是分式方程的根. · · · ·
练 x(x 2) 解 : 方程两边同乘以最简公分母 , 一 2+ x -6=0 或x(x+1)-6=0 x 化简 , 得 . 练① ② 解得 x1= -3 , x2= 2 . ③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
概 念 观察下列方程： 一元一次方程
1、2(x－1)=x＋1;
一元二次方程
x2＋x-20=0;
x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
1 x 1 1 1 1 x 1 5 x 9 x 0 ; ; 1 ; 2、 y 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1
· · · · · · · · · x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0; 把x2= 2 ,代入最简公分母,
x 1 6 0 (填空)1、解方程: x 2 2 x 2 x
7
x(x-2)= 2(2-2) =0
X2-1=0
时,
3 x2 3、分式 2( x 3)与 x 2 3x 的最简公分母 是 2X(x―3) .
解分式方程
例1 解分式方程
x11 x1 2
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转 ● ● ● ● ● 化 x 1 1 得 2(x＋1) · x1 2 · 2(x＋1) 整式方程 ① 化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 · · · · · · 程的根. · · · 使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, · · · · 而不是分式方程的根. · · · ·
练 x(x 2) 解 : 方程两边同乘以最简公分母 , 一 2+ x -6=0 或x(x+1)-6=0 x 化简 , 得 . 练① ② 解得 x1= -3 , x2= 2 . ③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
概 念 观察下列方程： 一元一次方程
1、2(x－1)=x＋1;
一元二次方程
x2＋x-20=0;
x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
1 x 1 1 1 1 x 1 5 x 9 x 0 ; ; 1 ; 2、 y 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1
· · · · · · · · · x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0; 把x2= 2 ,代入最简公分母,
x 1 6 0 (填空)1、解方程: x 2 2 x 2 x
7
x(x-2)= 2(2-2) =0
2015中考数学全景透视复习课件第08讲分式方程
【答案】 －1
方法总结： 分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整 式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0.
考点三 分式方程的应用 例 3(2014·襄阳)甲、乙两座城市的中心火车站 A， B 两站相距 360 km，一列动车与一列特快列车分别从 A、B 两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快 列车快 54 km/h.当动车到达 B 站时，特快列车恰好到 达距离 A 站 135 km 处的 C 站．求动车和特快列车的 平均速度各是多少？ 【点拨】本题考查列分式方程解应用题中的行程 问题，可由时间关系列出方程．
检验：当 x＝－1 时，1－x≠0.
所以，x＝－1 是原方程的解．故选 C.
2．对于非零的两个实数 a，b，规定 a b＝1b－1a，
若 (2x－1)＝1，则 x 的值为( A )
5 A. 6
5 B. 4
3 C. 2
D．－16
解析：根据题意，得2x－1 1－12＝1，解得 x＝56.检
验：当 x＝56时，2(2x－1)≠0.所以，x＝56是原分式方程
方法总结： 列分式方程解应用题必须进行“双检验”，既要 检验去分母化成的整式方程的解是否为分式方程的 解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.
1．分式方程1－1 x－3＝x－5 1的解是( C )
A．1
B．2
C．－1
D．无解
解析：方程两边同乘(1－x)，
得 1－3(1－x)＝－5，解得 x＝－1.
方法总结： 解分式方程一定要把整式方程的解代入最简公分 母检验.若最简公分母不等于0，则是分式方程的解； 若最简公分母等于0，则不是分式方程的解.
考点二 关于分式方程无解或存在增根的问题 例 2(2014·天水)关于 x 的方程axx－＋11－1＝0 有增根， 则 a＝________.
方法总结： 分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整 式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0.
考点三 分式方程的应用 例 3(2014·襄阳)甲、乙两座城市的中心火车站 A， B 两站相距 360 km，一列动车与一列特快列车分别从 A、B 两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快 列车快 54 km/h.当动车到达 B 站时，特快列车恰好到 达距离 A 站 135 km 处的 C 站．求动车和特快列车的 平均速度各是多少？ 【点拨】本题考查列分式方程解应用题中的行程 问题，可由时间关系列出方程．
检验：当 x＝－1 时，1－x≠0.
所以，x＝－1 是原方程的解．故选 C.
2．对于非零的两个实数 a，b，规定 a b＝1b－1a，
若 (2x－1)＝1，则 x 的值为( A )
5 A. 6
5 B. 4
3 C. 2
D．－16
解析：根据题意，得2x－1 1－12＝1，解得 x＝56.检
验：当 x＝56时，2(2x－1)≠0.所以，x＝56是原分式方程
方法总结： 列分式方程解应用题必须进行“双检验”，既要 检验去分母化成的整式方程的解是否为分式方程的 解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.
1．分式方程1－1 x－3＝x－5 1的解是( C )
A．1
B．2
C．－1
D．无解
解析：方程两边同乘(1－x)，
得 1－3(1－x)＝－5，解得 x＝－1.
方法总结： 解分式方程一定要把整式方程的解代入最简公分 母检验.若最简公分母不等于0，则是分式方程的解； 若最简公分母等于0，则不是分式方程的解.
考点二 关于分式方程无解或存在增根的问题 例 2(2014·天水)关于 x 的方程axx－＋11－1＝0 有增根， 则 a＝________.
人教版《分式方程》PPT课件
（1）审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助 列表、画图等方法准确找出相等关系.当题目中包 含多个相等关系时，要选择一个能够体现全部（或 大部分）数量的相等关系列方程. （2）设未知数时，一般题中问什么就设什么，即 设直接未知数；若设直接未知数难以列方程，则可 设另一个相关量为未知数，即设间接未知数；有时 设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未 知数，即设辅助未知数.
答：银杏树的单价为120元、玉兰树的单价为180元. 有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未 分析：根据题中等量关系“甲、乙两个工程队共同工作9天的工作量+甲工程队单独工作5天的工作量=总工作量（记为1）”列方程，再比
较根甲据料、 题乙意所两，个得工用程队的单独时完.成任间务所与用的B时间型，然机后做器出决策人. 搬运800kg材料所用的时间
分析：根据题意分别找到等量关系和不等关系，然后设出正确的未知数，列出符合题意的式子. 已知玉兰树的单价是银杏树的倍，那么银杏树和玉兰树的单价分别是多少？
所以x=1不是原分式方程的解，
下的任务由甲工程队单独完成，则还需5天.现要从这两 （2）该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
D. 1000 - 1000 2
x - 30 x
2.（2020·柳州中考）甲、乙二人做某种机械零件，
因为 a 是整数，所以a≥14.
已知每小时甲比乙多做6个，甲做90个所用的时间与 答：银杏树的单价为120元、玉兰树的单价为180元.
（1）设B型机器人每小时搬运 x kg材料，则A型机器人每小时搬运(x+30)kg材料.
90 60 检验：当x=1时，6x≠0.
A. 3 分式方程的实际应用
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第8讲
分式方程
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 分式方程的解法 2 1 1．把分式方程 ＝ 转化为一元一次方程时，方程两边 x＋4 x 需同乘 ( D ) A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 1 2 2．方程 － ＝0 的根是 ( D ) x－2 x－1 A．x＝－3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3 考点1
解：(1)设甲公司单独完成此项工程需 x 天，则乙公司单独完 1 1 1 成此项工程需 1.5x 天．根据题意，得 ＋ ＝ ，解得 x＝20， x 1.5x 12 经检验知 x＝20 是方程的解且符合题意． 所以 1.5x＝1.5×20＝30. 故甲、乙两公司单独完成此项工程各需 20 天、30 天． (2)设甲公司每天的施工费为 y 元，则乙公司每天的施工费为 (y－1500)元， 根据题意得 12(y＋y－1500)＝102000， 解得 y＝5000， 则 甲 公 司 单 独 完成 此 项 工 程所 需 的施 工 费 为 20×5000 ＝ 100000(元)； 乙公司单独完成此项工程所需的施工费为 30×(5000－ 1500) ＝105000(元)． 故甲公司的施工费较少．
[解析] 本题的相等关系：①指导后平均每秒撤离的人数 ＝指导前平均每秒撤离人数的 3 倍；②指导前全部撤离的时 间－指导后全部撤离的时间＝30 秒．
解：设指导前平均每秒撤离的人数为 x，则指导后平均 45 45 每秒撤离的人数为 3x.根据题意，得 － ＝30，解得 x＝ x 3x 1.经检验，x＝1 是原方程的解，且符合题意． 答：指导前平均每秒撤离的人数为 1.
第8讲┃ 分式方程
[中考点金]
求有增根的分式方程中待定字母的值的方法：①使 分式方程的最简公分母等于 0，求出分式方程增根的可 能值；②将分式方程去分母得到整式方程；③将增根的 值代入整式方程，求得待定字母的值．
第8讲┃ 分式方程
变式题
ax＋1 若关于 x 的方程 －1＝0 有增根，则 a 的 x－1
第8讲┃ 分式方程
[解析] (1)利用相等关系“甲公司的工作效率＋乙公司 的工作效率＝甲、乙合做的工作效率”，另外把工作量记 作单位 1； (2) 先利用“甲、乙合做每天的施工费用×工作时间＝ 102000 元”列方程求出每个公司每天的施工费用，然后求 出每个公司完成整项工程的费用即可作出判断．
第8讲┃ 分式方程
第8讲┃ 分式方程
第8讲┃ 分式方程
母亲节前夕，某商店根据市场调查，用 3000 元购进第一 批盒装花，上市后很快售完，接着又用 5000 元购进第二批这 种盒装花，已知第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数 的 2 倍，且每盒花的进价比第一批的进价少 5 元，求第一批 盒装花每盒的进价是多少元．
解：设第一批盒装花每盒的进价是 x 元，由题意可得 3000 5000 2× ＝ ， x x－5 解得 x＝30，经检验，x＝30 是方程的解且符合题意． 答：第一批盒装花每盒的进价是 30 元．
第8讲┃ 分式方程
【归纳总结】
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤和 方法类似，其解题关键是找出________ 等量 关系．但分式方程 对根的检验包括两个方面： ①检验是否是___ _____的根； 分式方程 ②检验是否符合题意．
第8讲┃ 分式方程
【知识树】
第8讲┃ 分式方程
┃考向互动探究与方法归纳┃
x＋m 2 3．若关于 x 的方程 ＋ ＝2 有增根，则 m 的值是 x－2 2－x ________ ． 0
第8讲┃ 分式方程
【归纳总结】
1．解分式方程与解整式方程的过程大致相同，都包含 ________ 去分母 、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 这几 验根 ． 个步骤，但分式方程必须________ 2．分式方程的增根使分式方程的最简公分母为 整式 方程成立． ________ ，也使去分母后的________ 0
第8讲┃ 分式方程
考点2
分式方程的应用
1．某车间原计划在 x 天内生3 个，因此提前 2 天完成任务，则列
120 120 ＝ －3 ． 方程为______________ x x－2
2． [2013· 呼和浩特] 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产________ 200 台机器．
探究一 利用分式方程中根的情况求参数的取值 x k x 例 1 若关于 x 的分式方程 ＋ － ＝0 有增根， x－1 x－1 x＋1 则 k 的值为________ ． －1
[解析] 把原方程化为整式方程，整理后得 2x＋kx＋k＝ 0.因为原方程的最简公分母是(x－1)(x＋1)，所以原方程的增 根是 x＝1 或 x＝－1， 将它们分别代入化简后的整式方程． 当 x＝1 时，k＝－1；当 x＝－1 时，无解．故应填－1.
第8讲┃ 分式方程
┃考题自主训练与名师预测┃
2x 3 1．[2014· 台州] 将分式方程 1－ ＝ 去分母，得到 x－1 x－1 正确的整式方程是 ( B ) A．1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C．1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3 2x－5 3 2．[2014· 绥化] 分式方程 ＝ 的解是 x－2 2－x A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝1 或 x＝2
－1 ． 值为________
第8讲┃ 分式方程
探究二 分式方程的实际应用
例 2 一项工程，甲、乙两公司合做，12 天可以完成， 共需付施工费 102000 元；如果甲、乙两公司单独完成此项 工程， 乙公司所用时间是甲公司的 1.5 倍， 乙公司每天的施 工费比甲公司每天的施工费少 1500 元． (1)甲、乙两公司单独完成此项工程各需多少天？ (2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工 费较少？
1 4 6．[2014· 黔西南州] 解方程： ＝ 2 . x－2 x －4
解：去分母得 x＋2＝4，解得 x＝2. 把 x＝2 代入 x2－4＝0，所以原方程无解．
第8讲┃ 分式方程
7．[2014· 襄阳] 甲、乙两座城市的中心火车站 A，B 两 站相距 360 km，一列动车与一列特快列车分别从 A， B 两站 同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快 54 km/h. 当动车到达 B 站时，特快列车恰好到达距离 A 站 135 km 处 的 C 站．求动车和特快列车的平均速度各是多少．
第8讲┃ 分式方程
解：设特快列车的平均速度为 x km/h，则动车的平均 速度为(x＋54)km/h，根据题意，得 360 360－135 ＝ . x x＋54 解这个分式方程得，x＝90. 经检验，x＝90 是这个分式方程的解且符合题意． x＋54＝144. 答：动车和特快列车的平均速度分别为 144 km/h 和 90 km/h.
第8讲┃ 分式方程
( C )
5 3 3．[2014· 湘潭] 分式方程 ＝ 的解为 ( C ) x＋2 x A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 4．[2014· 莱芜] 已知 A，C 两地相距 40 千米，B，C 两地 相距 50 千米， 甲、 乙两车分别从 A， B 两地同时出发到 C 地． 若 乙车每小时比甲车多行驶 12 千米，则两车同时到达 C 地．设 乙车的速度为 x 千米/时，依题意下列方程正确的是 ( B ) 40 50 40 50 A. ＝ B. ＝ x x－12 x－12 x 40 50 40 50 C. ＝ D. ＝ x x＋12 x＋12 x a－1 5． 若关于 x 的分式方程 ＝1 有增根， 则 a＝________ ． 1 x＋2 第8讲┃ 分式方程
第8讲┃ 分式方程
[中考点金]
列分式方程解应用题与列一次方程解应用题的方法 步骤基本相同，即“审、设、列、解、验、答” ．
第8讲┃ 分式方程
变式题 某班有 45 名同学参加紧急疏散演练．对比发 现：经专家指导后，平均每秒撤离的人数是指导前的 3 倍， 这 45 名同学全部撤离的时间比指导前快 30 秒．求指导前平 均每秒撤离的人数．
分式方程
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 分式方程的解法 2 1 1．把分式方程 ＝ 转化为一元一次方程时，方程两边 x＋4 x 需同乘 ( D ) A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 1 2 2．方程 － ＝0 的根是 ( D ) x－2 x－1 A．x＝－3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3 考点1
解：(1)设甲公司单独完成此项工程需 x 天，则乙公司单独完 1 1 1 成此项工程需 1.5x 天．根据题意，得 ＋ ＝ ，解得 x＝20， x 1.5x 12 经检验知 x＝20 是方程的解且符合题意． 所以 1.5x＝1.5×20＝30. 故甲、乙两公司单独完成此项工程各需 20 天、30 天． (2)设甲公司每天的施工费为 y 元，则乙公司每天的施工费为 (y－1500)元， 根据题意得 12(y＋y－1500)＝102000， 解得 y＝5000， 则 甲 公 司 单 独 完成 此 项 工 程所 需 的施 工 费 为 20×5000 ＝ 100000(元)； 乙公司单独完成此项工程所需的施工费为 30×(5000－ 1500) ＝105000(元)． 故甲公司的施工费较少．
[解析] 本题的相等关系：①指导后平均每秒撤离的人数 ＝指导前平均每秒撤离人数的 3 倍；②指导前全部撤离的时 间－指导后全部撤离的时间＝30 秒．
解：设指导前平均每秒撤离的人数为 x，则指导后平均 45 45 每秒撤离的人数为 3x.根据题意，得 － ＝30，解得 x＝ x 3x 1.经检验，x＝1 是原方程的解，且符合题意． 答：指导前平均每秒撤离的人数为 1.
第8讲┃ 分式方程
[中考点金]
求有增根的分式方程中待定字母的值的方法：①使 分式方程的最简公分母等于 0，求出分式方程增根的可 能值；②将分式方程去分母得到整式方程；③将增根的 值代入整式方程，求得待定字母的值．
第8讲┃ 分式方程
变式题
ax＋1 若关于 x 的方程 －1＝0 有增根，则 a 的 x－1
第8讲┃ 分式方程
[解析] (1)利用相等关系“甲公司的工作效率＋乙公司 的工作效率＝甲、乙合做的工作效率”，另外把工作量记 作单位 1； (2) 先利用“甲、乙合做每天的施工费用×工作时间＝ 102000 元”列方程求出每个公司每天的施工费用，然后求 出每个公司完成整项工程的费用即可作出判断．
第8讲┃ 分式方程
第8讲┃ 分式方程
第8讲┃ 分式方程
母亲节前夕，某商店根据市场调查，用 3000 元购进第一 批盒装花，上市后很快售完，接着又用 5000 元购进第二批这 种盒装花，已知第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数 的 2 倍，且每盒花的进价比第一批的进价少 5 元，求第一批 盒装花每盒的进价是多少元．
解：设第一批盒装花每盒的进价是 x 元，由题意可得 3000 5000 2× ＝ ， x x－5 解得 x＝30，经检验，x＝30 是方程的解且符合题意． 答：第一批盒装花每盒的进价是 30 元．
第8讲┃ 分式方程
【归纳总结】
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤和 方法类似，其解题关键是找出________ 等量 关系．但分式方程 对根的检验包括两个方面： ①检验是否是___ _____的根； 分式方程 ②检验是否符合题意．
第8讲┃ 分式方程
【知识树】
第8讲┃ 分式方程
┃考向互动探究与方法归纳┃
x＋m 2 3．若关于 x 的方程 ＋ ＝2 有增根，则 m 的值是 x－2 2－x ________ ． 0
第8讲┃ 分式方程
【归纳总结】
1．解分式方程与解整式方程的过程大致相同，都包含 ________ 去分母 、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 这几 验根 ． 个步骤，但分式方程必须________ 2．分式方程的增根使分式方程的最简公分母为 整式 方程成立． ________ ，也使去分母后的________ 0
第8讲┃ 分式方程
考点2
分式方程的应用
1．某车间原计划在 x 天内生3 个，因此提前 2 天完成任务，则列
120 120 ＝ －3 ． 方程为______________ x x－2
2． [2013· 呼和浩特] 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产________ 200 台机器．
探究一 利用分式方程中根的情况求参数的取值 x k x 例 1 若关于 x 的分式方程 ＋ － ＝0 有增根， x－1 x－1 x＋1 则 k 的值为________ ． －1
[解析] 把原方程化为整式方程，整理后得 2x＋kx＋k＝ 0.因为原方程的最简公分母是(x－1)(x＋1)，所以原方程的增 根是 x＝1 或 x＝－1， 将它们分别代入化简后的整式方程． 当 x＝1 时，k＝－1；当 x＝－1 时，无解．故应填－1.
第8讲┃ 分式方程
┃考题自主训练与名师预测┃
2x 3 1．[2014· 台州] 将分式方程 1－ ＝ 去分母，得到 x－1 x－1 正确的整式方程是 ( B ) A．1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C．1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3 2x－5 3 2．[2014· 绥化] 分式方程 ＝ 的解是 x－2 2－x A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝1 或 x＝2
－1 ． 值为________
第8讲┃ 分式方程
探究二 分式方程的实际应用
例 2 一项工程，甲、乙两公司合做，12 天可以完成， 共需付施工费 102000 元；如果甲、乙两公司单独完成此项 工程， 乙公司所用时间是甲公司的 1.5 倍， 乙公司每天的施 工费比甲公司每天的施工费少 1500 元． (1)甲、乙两公司单独完成此项工程各需多少天？ (2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工 费较少？
1 4 6．[2014· 黔西南州] 解方程： ＝ 2 . x－2 x －4
解：去分母得 x＋2＝4，解得 x＝2. 把 x＝2 代入 x2－4＝0，所以原方程无解．
第8讲┃ 分式方程
7．[2014· 襄阳] 甲、乙两座城市的中心火车站 A，B 两 站相距 360 km，一列动车与一列特快列车分别从 A， B 两站 同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快 54 km/h. 当动车到达 B 站时，特快列车恰好到达距离 A 站 135 km 处 的 C 站．求动车和特快列车的平均速度各是多少．
第8讲┃ 分式方程
解：设特快列车的平均速度为 x km/h，则动车的平均 速度为(x＋54)km/h，根据题意，得 360 360－135 ＝ . x x＋54 解这个分式方程得，x＝90. 经检验，x＝90 是这个分式方程的解且符合题意． x＋54＝144. 答：动车和特快列车的平均速度分别为 144 km/h 和 90 km/h.
第8讲┃ 分式方程
( C )
5 3 3．[2014· 湘潭] 分式方程 ＝ 的解为 ( C ) x＋2 x A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 4．[2014· 莱芜] 已知 A，C 两地相距 40 千米，B，C 两地 相距 50 千米， 甲、 乙两车分别从 A， B 两地同时出发到 C 地． 若 乙车每小时比甲车多行驶 12 千米，则两车同时到达 C 地．设 乙车的速度为 x 千米/时，依题意下列方程正确的是 ( B ) 40 50 40 50 A. ＝ B. ＝ x x－12 x－12 x 40 50 40 50 C. ＝ D. ＝ x x＋12 x＋12 x a－1 5． 若关于 x 的分式方程 ＝1 有增根， 则 a＝________ ． 1 x＋2 第8讲┃ 分式方程
第8讲┃ 分式方程
[中考点金]
列分式方程解应用题与列一次方程解应用题的方法 步骤基本相同，即“审、设、列、解、验、答” ．
第8讲┃ 分式方程
变式题 某班有 45 名同学参加紧急疏散演练．对比发 现：经专家指导后，平均每秒撤离的人数是指导前的 3 倍， 这 45 名同学全部撤离的时间比指导前快 30 秒．求指导前平 均每秒撤离的人数．