能被11整除的数的特点
能被十一整除的数的规律
《能被十一整除的数的规律》一、奇数位数字之和与偶数位数字之和的差：嘿，你知道吗？一个数能不能被十一整除，有个挺有趣的规律哦！就是看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差。
如果这个差能被十一整除，那这个数就能被十一整除啦！比如说 121 这个数，奇数位数字是 1 和 1，它们的和是 2；偶数位数字是 2。
奇数位数字之和与偶数位数字之和的差就是 2 - 2 = 0，而0 能被十一整除呀，所以 121 就能被十一整除。
我有一次和同学玩数字游戏，我就问他：“你知道1331 能不能被十一整除吗？”他一脸茫然，我就告诉他这个规律，然后我们一起算，奇数位数字之和是1 + 3 = 4，偶数位数字之和是 3 + 1 = 4，差是 4 - 4 = 0，哇，果然能被十一整除呢！同学惊讶地说：“这规律太神奇啦！”你觉得呢？二、从右往左数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的关系：还有一个规律也很有意思哦！就是把一个数从右往左数，奇数位数字之和与偶数位数字之和的关系。
如果它们相等，或者它们的差是十一的倍数，那么这个数也能被十一整除。
比如说990 这个数，从右往左数，奇数位数字之和是 9 + 0 = 9，偶数位数字之和是 9。
它们相等，所以 990 能被十一整除。
有一次我在做数学作业的时候，遇到一个数 561，我就按照这个规律来算，奇数位数字之和是5 + 1 = 6，偶数位数字之和是6，哇，它也能被十一整除呢！我高兴地对自己说：“又发现一个能被十一整除的数啦！”你有没有试过用这个规律来判断一个数能不能被十一整除呢？三、三位一截后数字的特点：你知道吗？把一个数三位一截，然后看这些截出来的数的和也能判断它能不能被十一整除哦！如果这些数的和能被十一整除，那么原来的数就能被十一整除。
比如说 123456 这个数，我们把它三位一截，就得到123 和456。
123 + 456 = 579，我们再看看579 能不能被十一整除，579 的奇数位数字之和是 5 + 9 = 14，偶数位数字之和是 7，差是 14 - 7 = 7，7 不能被十一整除。
能被7和11整除数的特点
能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此，491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
除上述方法外，还可以用割减法进行判断。
即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。
如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。
又如：判断583能不能被11整除。
用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。
能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
数的整除（能被7、9、1、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除(也可以说b能整除a)。
2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是的倍数，b是a的约数。
3、能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。
5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
能为11 13 17整除的数的特征
能为11 13 17整除的数的特征一、概述在数学领域中，整除是一个非常重要且基础的概念。
当一个整数能够被另一个整数整除时，我们就称其为能整除。
而在特定的情况下，我们希望研究能够被某一系列特定整数整除的数，以寻找这些数的特征。
本文将针对能够同时被11、13和17整除的数展开讨论，探究其特征和规律。
二、11、13、17的简要介绍1. 11是自然数中的质数，它大于10，小于12。
它的倍数有11、22、33、44、55等。
2. 13是自然数中的质数，它大于12，小于14。
它的倍数有13、26、39、52、65等。
3. 17是自然数中的质数，它大于16，小于18。
它的倍数有17、34、51、68、85等。
三、能为11、13、17整除的数的特征1. 能被11整除的数有什么特征？11的倍数有一个特征，那就是它们的个位数和十位数的差的符号是相反的，且它们的绝对值相等。
22、33、44等都满足这一特征，因为它们的个位数和十位数的差的符号相反，而且绝对值相等。
2. 能被13整除的数有什么特征？13的倍数有一个特征，那就是它们的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身。
例如26、39、52等都满足这一特征，因为它们的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身。
3. 能被17整除的数有什么特征？17的倍数有一个特征，那就是它们的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。
例如34、51、68等都满足这一特征，因为它们的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。
四、能被11、13、17整除的数的特征1. 能被11、13、17整除的数，有什么样的特征？当一个数同时满足能被11、13、17整除的条件时，那么这个数必须同时满足以上三个条件所规定的特征。
这个数的特征是：它的个位数和十位数的差的符号是相反的，且它们的绝对值相等；它的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身；它的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。
五、结论通过对能够同时被11、13和17整除的数的特征的探究，我们得出了上述结论。
能被11整除的数的特征
能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？
解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为5不是11的倍数，所以11不是123456789的因数。
再例如：判断13574是否是11的倍数？
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7（11或13）
整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？
解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再
把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.。
11的整除特征
11的整除特征同学们，你们知道11的整除特征吗？就请跟着我来探究11的整除特征吧！11的整除特征是指，能被11整除的数，在任意一个除法算式里，商都是11。
能被11整除的数有11、 12、 22、 33、 44、 55、 66、77、 88、 99、 11这十三个自然数。
那么怎样才能知道一个数是否能被11整除呢？可以按照下面几种方法来验证。
在生活中，经常会用到小数、分数，如果小数和分数不能整除，那么我们就把它们叫做无限不循环小数或无限不循环分数。
我们可以根据无限不循环小数和无限不循环分数的特点，先想一想：一个无限不循环小数和一个无限不循环分数哪些情况能被11整除呢？我们可以采取什么方法来检验一个无限不循环小数和一个无限不循环分数是否能被11整除呢？在这里，我们不能像上面验证小数和分数的整除一样，把小数和分数化成整数，也不能通过分数去掉小数后去验证小数是否能被11整除，我们还可以利用下面的方法来验证一个无限不循环小数和一个无限不循环分数是否能被11整除。
因为小数和分数不能被11整除的数，在任何一个除法算式里，商都是11。
而任何一个数除以11都没有余数，所以它一定能被11整除。
一根长绳子用去了一半，再用去剩下的一半，又用去了一半……最后，用去的是全部长度的二分之一。
也就是说，这根绳子用去了11米，但还剩下20米。
这根绳子到底多少米呢？你能根据刚才提供的信息进行验证吗？我想同学们已经心里有数了吧。
好，我们就用排除法来验证这根绳子到底有多少米。
我们可以找出已知的条件，然后用排除法逐一验证就可以了。
现在，我们就要解决“剩下的一半就是全长的1/2”这一问题了。
你认为这根绳子多长？可以怎样表示？请你试着列出一个算式。
小明心里想：“咦，今天出门运气真差，遇到的全是难题，好不容易碰上了，偏偏还让我一个人来解决。
”他看了看纸上的数字，觉得这根绳子的长度好像不止11米，好像不止20米。
可是，他也想不起具体数值，只好从头开始仔细观察起来。
十一 数的整除特征
十一数的整除特征同学们都知道，两个整数做除法运算时（除数不为0），它们的商有时是整数，有时不是整数.例如：对于整数a与b（b≠0），若存在整数q，使等式a=bq成立，则称b整除a，或a能被b整除.这时，称a是b的倍数，b是a的约数，并记作整数的整除性质：1.如果整数a、b都能被整数c整除，那么（a＋b）与（a-b）也能被c整除.2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除.3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除.反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除.数的整除特征：1.末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8（或125）整除.2.各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9整除）.3.若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被11整除，则这个数能被11整除.问题21.1四位数57A1能被9整除，求A.分析四位数57A1的各位数字的和应是9的倍数.解5＋7＋A＋1=A＋13.∵四位数57A1能被9整除，∴A＋13应是9的倍数，∵0≤A≤9，∴13≤A+13≤22.故A＋13=18，∴A=18-13=5.问题21.2 六位数a8919b能被33整除，求a与b.分析此六位数应同时是3与11的倍数.解33=3×11.∵a8919b能被33整除，∴a8919b同时是3与11的倍数.故a+8+9+1+9+b=27+a+b应是3的倍数，且（a+9+9）-（8+1+b）=9+a－b应是11的倍数.∵9+a-b是11的倍数,∴a-b=2.故a-b是偶数.∵a+b与a-b同为奇数或同为偶数，∴a+b为偶数.∵27+a+b是3的倍数，∴a+b是3的倍数.∵a≠0，∴a＋b≠0.∵a－b=2，∴a+b≠18.故a＋b=6或12.又a-b=2，∴a=4，b=2或a=7，b=5.问题21.3 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小.求这个六位数.分析根据一个整数分别被3、4、5整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数字.解设所求的六位数为568abc.568abc能被5整除，∴c=0或5.∵568abc能被4整除，∴c=0.要使568abc的数值尽可能地小，则二位数bc=20.568abc能被3整除，5+6+8+a+b+c=21+a是3的倍数.要使568abc尽可能地小，故a=0.所以，所求的六位数为568020.问题21.4 任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除.这是为什么？分析用字母表示这个六位数.所以这个六位数能同时被7、11、13整除.问题21.5 有72名学生，共交课间餐费a527b元，每人交了多少元？分析先求a和b代表的数字.解把单位由元改为分，可a527b为72的倍数.因为72=8×9，所以a527b应同为8和9的倍数.因为a527b为8的倍数，所以27b为8的倍数，故b=2.因为a527b为9的倍数，所以a+5+2+7+b=16+a为9的倍数，故a=2.因此，a527b=25272. 25272÷72=351（分）.答：每人交了3.51元.问题21.6 从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数.这样的三位数共有几个？分析能同时被2、3、5整除的自然数，其个位数字应为0，各位数字之和应是3的倍数.解因为所求的三位数能同时被2、5整除，所以这个三位数的个位数字为0.因为所求的三位数能被3整除，所以这个三位数的各位数字之和应是3的倍数.故所求的三位数为570或750，共2个.问题21.7 用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？分析所求的三个三位数能被9整除，那么它们的各位数字之和分别能被9整除.解1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45.因为所求的三个三位数都能被9整除，所以它们的各位数字之和分别能被9整除，故这三个三位数中有两个的数字和都是18，一个的数字和是9.要使数字和是9的三位数尽可能大，百位上的数字必须为6，十位上的数字为2，个位上的数字为1，所以这个三位数是621.要使数字和是18的两个三位数尽可能大，一个的百位上数字为9，另一个百位上数字为8，十位上数字分别为5与7，个位上数字分别为4与3.故这两个三位数是954与873.因此，所求的三个三位数分别是621、954、873.问题21.8 已知A、B、C、D是各不相同的数字，A+B+C=18,分析依题意，C=3或C=8.分这两种情况进行讨论.若C=3，则B＋D=23-3=20，这与B＋D＜18矛盾.故C≠3.若C=8，则B+D=23-8=15.故从而A=1或A=4.问题21.9 一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除.这样的六位数中的最小的数是多少？分析用字母表示所求六位数的个位数字.解依题意，设所求的六位数为30124a，因为六位数30124a能被11整除，所以（a＋2）-（4+1+3）=a-6应是11的倍数.故a=6.因此，所求的最小六位数是301246.被6整除.请说明道理.分析依题意，a+b+c+d+e是3的倍数，e是2的倍数.解6=2×3.的倍数，a+b+c+d+e是3的倍数.因为2×（a+b+c+d）－e＝2×（a+b+c+d+e）－3e，而2×（a+b+c+d+e）、3e都能被6整除，所以2×（a+b+c+d）-e能被6整除.练习211.小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和12块橡皮，总共用去4元5角.已知铅笔8分一支，圆珠笔3角6分一支.问售货员同志的帐有没有算错？2.六位数1803a6能被12整除，求数字a是多少.3.已知一个六位数6a6a6a能被11整除，求这样的六位数有几个？4.有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问数字A代表几？6.没有重复数字的五位数3a6b5是75的倍数，求这样的五位数.练习21解答1.以分为单位，可知铅笔、圆珠笔的单价都是4的倍数，所以买铅笔、圆珠笔的钱数都是4的倍数.而笔记本的本数、橡皮的块数都是4的倍数，所以买笔记本、橡皮的钱数都是4的倍数.因此，四种文具共用去的钱数是4的倍数，而450（分）不是4的倍数，所以售货员的帐算错了.2.由六位数1803a6分别能被3和4整除可求出a=3或a=9.3.18与3a的差（以大减小）是11的倍数.由a=0，1，2，…，9，可知只有a=6时满足要求.因此，所求的六位数只有一个，即666666.4.4+2A是9的倍数.由4＜4+2A≤22，可知4+2A=9或4+2A=18.又因为A是整数，所以A代表7.5.先考虑138，奇数位数字之和比偶数位数字之和多6.再考虑1990，奇数位数字之和比偶数位数字之和多1（这里所说的奇数位是在原来给定的数中从个位数起的）.于是所求的最小自然数n=5.6.b=2时，a=8；b=7时，a=0.9.故所求没有重复数字的五位数为38625，30675，39675.。
能被4、7、8、11、13整除的数的特征及习题
能被4、7、8、11、13整除的数的特征及其它一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么,这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除,100的倍数也一定能被25整除,4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除,这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除,100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此, 因此，一个数只要末两位数字能被4整除,这个数就一定能被4整除．二、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数(包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如:判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推。
方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280,679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题.如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396,396能被11整除，因此,283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法,在首位或前几位,减于7的倍数。
能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征
能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征之巴公井开创作能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包含0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不克不及被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不克不及被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不容易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被11,13整除的数的特征
能被11,13整除的数的特征1.能被11整除的数末位数字可以是0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
Numbers divisible by 11 can end with 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.2.能被11整除的数的各位数字之差的绝对值能被11整除。
The absolute difference of the digits of a numberdivisible by 11 is itself divisible by 11.3.能被11整除的数的由各位数字之和减去各位数字之差得到的差值能被11整除。
The difference obtained by subtracting the sum of the digits from the difference of the digits of a numberdivisible by 11 is also divisible by 11.4.能被11整除的数的个位数字与十位数字的差的绝对值能被11整除。
The absolute difference between the units digit and the tens digit of a number divisible by 11 is itself divisible by 11.5.能被11整除的数的千位数字与百位数字之差的绝对值能被11整除。
The absolute difference between the thousands digit and the hundreds digit of a number divisible by 11 is itself divisible by 11.6.能被11整除的数的第n位数字与第n+k位数字之差的绝对值能被11整除。
The absolute difference between the nth digit and the(n+k)th digit of a number divisible by 11 is itself divisible by 11.7.能被11整除的数的各位数字之和能被11整除。
能被11、7整除的数的特征
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么 这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那 么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那 么这个数就能被9整除。
又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－ 9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数， 余类推。
总结：我们要牢记能被n个特殊数整除的特征，归纳出 一般性的规律。
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个， 那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能 被5整除。
除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即: 从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余 下一个100以内的数为止.如果余数能被11整 除,那么,原来这个数就一定能被11整除.
又如:判断583能不能被11整除.
用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是 33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.
若一个整数被7 整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要 继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2 ＝7，所以133是7的倍数；
钟晓萱
把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来， 再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数 就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。 —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此，491678能被11整除。 这种方法叫“奇偶位差法”。
能被11整除的数的奥秘
能被11整除的数的奥秘这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11=0……7，所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7,所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余数是4。
11的整除特征原理
11的整除特征原理咱先从简单的数字说起哈。
你看一个两位数，比如说11，它本身就能被11整除，这是最直白的啦。
那要是22呢，也能被11整除。
这时候你可能会想，这里面是不是有啥规律呢？咱就拿个三位数来说吧，像121。
你把这个数的奇数位数字加起来，1 + 1 = 2，再把偶数位数字加起来，这里偶数位就一个2，然后你把奇数位数字之和与偶数位数字之和相减，2 - 2 = 0。
这个数能被11整除，而且相减得到的差是0呢。
再看个数字，363。
奇数位数字相加3 + 3 = 6，偶数位数字是6，6 - 6 = 0，又能被11整除。
那要是四位数呢？比如说1331。
奇数位数字相加1 + 3 = 4，偶数位数字相加3 + 1 = 4，4 - 4 = 0，它也能被11整除哦。
这时候你可能有点感觉了吧。
其实啊，11这个数很特别。
对于一个整数，如果从右到左把它的数字依次编号为第1位、第2位、第3位……那么这个数能被11整除的一个特征就是：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。
咱再举个例子，1463。
奇数位数字相加1 + 6 = 7，偶数位数字相加4 + 3 = 7，7 - 7 = 0，0是11的0倍，所以1463能被11整除。
你要是问为啥会这样呢？咱可以这么想哈。
11这个数就像一个特殊的小怪兽，它对数字有着独特的“口味”。
当我们按照奇数位和偶数位把数字分开来计算的时候，就像是找到了这个小怪兽的“弱点”。
如果奇数位数字之和与偶数位数字之和的差符合它的要求，那这个数字就能被11这个小怪兽“吞掉”，也就是能被11整除啦。
再看个数字928。
奇数位数字相加9 + 8 = 17，偶数位数字是2，17 - 2 = 15，15不是11的倍数，所以928不能被11整除。
咱再拿一个比较大的数字来试试，123456。
奇数位数字相加1 + 3 + 5 = 9，偶数位数字相加2 + 4 + 6 = 12，12 - 9 = 3，3不是11的倍数，所以123456不能被11整除。
能被11整除的数的特征
能被11整除的数的特征【1】能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除. 又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
能被11整除的数的特点
例1 判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：
（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，
所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，
所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3 求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72……7，
11-7=4，所求余数是4。
例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。
所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。