第4(5)章傅里叶级数和变换

-τ/2
τ/2
t
解： ① 三角函数形式
f (t ) a0 [an cos( n1t ) bn sin( n1t )]
n 1

直流分量： a0
1 T1

t 0 T1
t0
f (t )dt
1 T1
E 2Edt T1

2
余弦分量的幅度： an
2 T1

t 0 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内谐
波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百 分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
A
T


2

2
T
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为 n0 A Fn Sa ( ) T 2 将A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上式
Euler公式： e cos x j sin x
jx
cos x (e e
1 2 jx
jx
) )
e jx cos x j sin x
1 2
sin x
jn1t jn1t
1 2j
(e e
jx
jx
cos( n1 t ) (e sin( n1 t )
周期信号属于功率信号，在1欧电阻上消耗的平 均功率：
1 T 2 P 2T f (t )dt C n T 2 n 2
——帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所 包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
周期信号的功率频谱： |Fn|2 随n0 分布情况称为 周期信号的功率频谱，简称功率谱。
Cn
1 25
8
2
T


2

2
T
t
Fn 0.2 Sa (nπ / 5)
40 π
40 π
n 0
f (t )
Cn
1 25
8
2
A
Fn
2
1 2 nπ Sa ( ) 25 5
T


2

2
T
t
Fn 0.2 Sa (nπ / 5)
解：
信号的平均功率为
40 π
40 π
n 0
1 T /2 2 P T / 2 f (t )dt 0.2 T
Fn 0.2 Sa (n0 / 40) 0.2 Sa (nπ / 5)
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 / )内谐
波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百 分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
周期信号的功率谱
Fn
2
A
1 2 nπ Sa ( ) 25 5
bn
1 T1

t 0 T1
余弦分量的幅度：
2 T1 t 0 T1 t0
t0
f (t )dt f (t ) cos( n1t ) dt
f (t ) sin( n1t )dt
正弦分量的幅度：
2 T1

t 0 T1
t0
其中n 1,2...
通常积分区间取为0~T1或-T1/2~+T1/2
sin t 定义：Sa(t ) t
（抽样函数、抽样信号）
E1

n1 Sa( ) 2
f(t)
t
sin t 定义：Sa(t ) t
（抽样函数、抽样信号）
f(t)
t
① Sa(t)=Sa(-t) 偶函数
sin t (0) lim =1 ② Sa t 0 t
③



Sa(t )dt
n1 2
2
物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。
Leabharlann Baidu. 相位谱的作用
幅频不变，零相位
幅频为常数，相位不变
5. 对称特性
(1) 纵轴对称信号 fT(t)=fT(t)
说明：某些信号波形经上下或左右平移后， 才呈现出某种对称特性
f (t )
A

3T 2T T 0
T
2T
3T
f (t )
去掉直流分量后， 信号呈奇对称，只含有 正弦各次谐波分量。 因此该信号含有正弦 各次谐波分量，直流 分量。

A/2

3T 2T T
0 T
2T 3T
四、周期信号的功率谱
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1

t 0 T1

t0
f (t ) sin( n1t )dt

2 T1

2 2

E sin( n1t )dt 0
结论：若f(t)为偶函数， 则bn=0
若f(t)为奇函数， 则an=0
f (t )
E T1 E n [ 2T Sa ( T1 ) cos( n1t )] 1 n 1
4
P 0.1806 1 90% P 0.200
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
n 1 f (t ) 1 [ Sa ( 2 4 ) cos(n1t )] 4

0.25 0.45 cos 1t 0.32 cos 21t 0.15 cos 31t 0.09 cos 51t 0.10 cos 61t ...
n 1
c0 [cn cos( n1t n )]
1 2j
e
jn1t jn1t
) )
(e
e
f (t )
n
F e
n

jn1t
1 t0 T1 j n jn1t 式中：Fn f (t )e dt Fn e T1 t0
F0 c0
1 2
a0
1 2
1 T1

t 0 T1
t0
2
f (t )dt
原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只 含有正弦项。
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t ) t
-T/2
T/2
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
复数频谱 — Fn~ ω
j n
复数幅度谱 — |Fn|~ ω
复数相位谱 — n~ ω
幅度谱为偶函数， 相位谱为奇函数
周期信号频谱图的特点： 1. 两种频谱图的关系： ① 三角形式：单边频谱 指数形式 ：双边频谱 ②幅度关系 ：
F0
c0
1 2
a0
1 2
1 T1

2
t 0 T1
t0
f (t )dt
2
| Fn || Fn | cn
an bn
式： f (t ) c0 cn cos( n1t n )
n 1
f (t )
n
F e
n

jn1t
2. 频谱图的特点：
① 频谱由离散的谱线组成；（离散性）
② 谱线是以ω1为间隔等距离分布的；（谐波性） ③ 谱线幅度随 n 的增大而逐渐衰减至零。（收敛性）
被展开的函数f(t)需满足“狄利克雷条件”： (了解)
（1）在一周期内，不连续点的个数有限，且极 大值和极小值的数目应有限；
（2）在一周期内，信号是绝对可积的；
即：
t 0 T1
t0
f (t ) dt
其它形式： f (t ) c0 cn cos( n1t n )
2
周期信号的功率谱
1 P T

T /2
T / 2
f (t )dt 4
/2
/ 2
1dt 4
4
1 / 40
1 / 40
1dt 0.2
包含在有效带宽(0 ~ 2 / )内的各谐波平均功率为
P 1
n = —4
2 2 2 | F | F 2 | F | n n 0.1806 0 n =1
每一条线代表某一频率分量的幅度——谱线； n ~ ω—— 相位频谱（相位谱）；
f (t )
E T1
E n [ 2T Sa ( T1 ) cos( n1t )] 1 n 1

n T1
m
m 1, n4
n 4, 过零点
|cn | ~ ω —— 幅度频谱（幅度谱）；
每一条线代表某一频率分量的幅度——谱线； n ~ ω—— 相位频谱（相位谱）；
② 指数形式
f (t )
n
jn1t F e n

1 t0 T1 jn1t 式中：Fn f (t )e dt T1 t0
1 2 jn1t Fn Ee dt T1 2
n 1
f (t ) a0 [an cos( n1t ) bn sin( n1t )]
n 1

各个量的关系：
an cn cos n bn cn sin n a0 c0
cn an bn
bn tan n a n
2
2
二.指数函数形式的傅里叶级数
§4.2 傅里叶级数(Fourier Series) 一.三角函数形式的傅里叶级数
设周期信号f(t)，周期—T1， 角频率—ω1=2πf1=2 π/T1，则：
f (t ) a0 [an cos( n1t ) bn sin( n1t )]
n 1

其中：n为正整数
直流分量： a0 an
概念： 频率为f1的分量称为基波或一次谐波； 频率为2 f1， 3f1，……等分量称为二次谐波、 三次谐波……。
3. 信号的有效带宽
信号的有效带宽有多种定义方式。
通常把ω=0 ~ 2π/τ这段频率范围称为矩形信号的频 带宽度，
B
2

或：f B F
1

( Hz )
(rad / s )
t0

2 2
f (t ) cos( n1t ) dt

2 T1



2
E cos( n1t )dt

4 T1

0
E cos( n1t )dt

4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
2
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa( ) T1 T1
n 1

0.25 0.45 cos(1t 0 ) 0.32 cos( 21t 0 ) 0.15 cos(31t 0 )

0.09 cos(51t 180 ) 0.10 cos(61t 180 )...
|c4w ω —— 幅度频谱（幅度谱）； 为什么没有 n| ~ 1的频率分量？（因为第四根谱线过零点）
2
| Fn || Fn | cn
an bn
将 cos(n1t ), sin( n1t )和Fn 1 2 (an jbn )代入方程：
例：周期矩形脉冲信号f(t)，脉宽τ，脉冲幅度E=1，周期 T1 ,τ/T1=1/4, 求三角函数和指数形式的傅里叶级数。P131例题
f(t)
(2) 原点对称信号 fT(t)=fT(t)
f(t) A
T0 / 2
0 T0 / 2 -A
t
2 T an 2T fT (t ) cosn0tdt 0 T 2 T T 4 2 2 2 bn T fT (t ) sin n0tdt 0 fT (t ) sin n0tdt T T 2
f(t) A
T0 / 2
T 2 T 2 T
0
T0 / 2
t
2 an T 2 2 bn T fT (t ) sin n0tdt T 2
4 T fT (t ) cosn0tdt 02 fT (t ) cos n0tdt T
0
纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只 含有直流项与余弦项。
f (t )
Fn F (n1 ) | Fn | e
1 4 n
E T1
n 1 Sa( nT ) Sa ( ) 4 4 1
n 4
Sa(
)e
jn1t
j n
复数频谱 — Fn~ ω
复数幅度谱 — |Fn|~ ω 复数相位谱 — n~ ω
Fn F (n1 ) | Fn | e