第4(5)章傅里叶级数和变换

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傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是现代数学以及工程学领域中非常重要的概念。

它们广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、电子电路等方面。

本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、原理和应用。

一、傅里叶级数傅里叶级数是一种用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。

对于任意周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为零频率分量的系数，an和bn为一系列傅里叶系数，n为正整数，ω=2π/T为基本频率。

傅里叶级数展开式中的每一项都代表了函数f(t)中具有不同频率的分量。

通过计算适当的系数an和bn，我们可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。

这使得我们能够分析、合成和处理不同频率的信号。

二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个时域函数转换为频域函数的过程。

对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换表示为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，F(ω)为频域函数，ω为连续频率参数，e为自然对数的底，j为虚数单位。

傅里叶变换将时域函数转换为频域函数，可以帮助我们理解和分析信号在不同频率上的能量分布。

频域函数F(ω)表示了原始信号中不同频率的幅度和相位信息。

通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波、调制、解调等操作，从而实现对信号的处理和传输。

三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上是相互关联的。

傅里叶级数是对周期函数进行频谱分析的方法，而傅里叶变换则适用于各种非周期信号的频谱分析。

当周期T趋于无穷大时，傅里叶级数就变成了傅里叶变换的极限形式。

傅里叶变换可以看作是傅里叶级数的一个推广，将其应用于非周期信号的频谱分析。

四、傅里叶级数与傅里叶变换的应用傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和通信领域有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 信号滤波：通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波操作，以去除不需要的频率成分或者保留感兴趣的频率成分。

傅里叶级数与傅里叶变换的关系

傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的概念，并探讨它们之间的关系。

一、傅里叶级数的概念傅里叶级数是一种将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法。

它基于傅里叶分析的原理，将一个周期为T的周期信号f(t)表示为：f(t) = a0 + Σ[an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是信号直流分量的系数，an和bn是信号的谐波分量的系数，n为谐波的阶数，ω0为基频的角频率。

傅里叶级数可以理解为将一个周期信号分解为不同频率成分的叠加。

二、傅里叶变换的概念傅里叶变换是一种将非周期信号分解为不同频率成分的方法。

它的基本思想是将信号f(t)在整个实数轴上进行积分变换，得到频率域上的表示。

傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，F(ω)表示信号在频率域上的表示，f(t)为原始信号，e^(-jωt)为旋转因子。

傅里叶变换将一个时域上的信号转换为频域上的表示，以便更好地分析信号的频谱特性。

三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期信号上的特殊情况。

当一个信号f(t)为周期信号时，其傅里叶变换和傅里叶级数之间存在着对应关系。

具体而言，傅里叶级数是傅里叶变换在周期为T的周期信号上的反离散化。

通过傅里叶级数，我们可以将一个周期信号分解为多个谐波成分，每个谐波成分对应着傅里叶变换的频谱。

四、应用实例傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。

以音频信号为例，我们可以通过傅里叶级数将音频信号分解为不同频率的音调，进而进行声音合成和音乐分析。

而傅里叶变换则可以将非周期信号的频谱特性表示出来，如在图像处理中可以用于图像压缩和特征提取。

傅里叶级数和傅里叶变换的关系使得我们能够更好地理解和处理信号和图像。

总结傅里叶级数和傅里叶变换是处理周期信号和非周期信号的有效工具，它们在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。

第章_傅里叶变换和系统的频谱分析

2019/7/26
3
第四章傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt

0
t2 t1
i2
(t
)dt

Ki
(i j)
——常数
则称此函数集为正交函数集，这n
个
i
(t
)
构成一个n维
正交信号空间。
任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间
(t ,t ) 内可以用 12
组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。
n
f (t) c (t) ii
i 1
2019/7/26
4
第四章傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的原理。
2019/7/26
9
第四章傅里叶变换和系统频域分析 4.2 傅里叶级数
1829年， Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f (t) 满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。 (电子技术中的周期信号大都满足条件。)
t0
cos
mt

cos
nt
d
t

T

2
,
mn0
T , m n 0
Sin 0=0 不包含在三角函数

傅里叶级数展开与傅里叶变换

傅里叶级数展开与傅里叶变换是数学中重要的工具和方法，它们在信号处理、图像处理、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将从基本概念、数学表达以及在实际应用中的作用进行阐述。

首先，傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为正弦或余弦函数的无穷级数的方法。

对于一个周期为T的函数f(t)，可以用一系列正弦、余弦函数的叠加来表示：f(t) = a0 + Σ(an cos(nωt) + bn sin(nωt))其中，a0是常数项，an和bn是系数，n是正整数，ω是基本频率，ω=2π/T。

这个公式称为傅里叶级数展开式。

通过求解函数f(t)与正弦、余弦函数的内积，可以得到系数an和bn的值，从而完全描述了原始函数f(t)的特性。

傅里叶级数展开是非常有用的，它可以将一个复杂的周期函数分解为多个简单的正弦、余弦函数的叠加。

这样做的好处是，我们可以通过调整不同频率的正弦、余弦函数的系数来改变周期函数的形状。

例如，在音乐中，通过改变音调、音量等参数，我们可以产生不同的乐音。

然而，傅里叶级数展开只适用于周期函数，有一定的局限性。

当我们处理非周期函数时，就需要用到傅里叶变换。

傅里叶变换是一种将非周期函数表示为连续频谱的方法。

对于一个非周期函数f(t)，可以用以下公式进行表示：F(ω) = ∫[f(t) * e^((-iωt)) dt]其中，F(ω)是频域函数，表示函数f(t)在频率ω上的分量大小。

这个公式称为傅里叶变换。

傅里叶变换利用了复数的性质，将时间域上的函数转换到频域上。

通过傅里叶变换，我们可以将原始函数f(t)分解成多个频率分量。

这样做的好处是，我们可以分析非周期函数中的频率分布情况。

例如，在图像处理中，我们可以通过对图像进行傅里叶变换，得到图像的频谱，从而分析图像的频率分布情况，实现图像滤波、边缘检测等操作。

傅里叶级数展开与傅里叶变换有着密切的联系。

事实上，傅里叶级数展开可以看作是傅里叶变换的一种特殊情况。

当周期T趋于无穷时，傅里叶级数展开就变成了傅里叶变换。

第四章周期信号傅里叶级数

2
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性，也有某些信号波形可以由我们熟悉的基本信号的波形进行简单的计算得到。因此，我们可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图

傅里叶级数与傅里叶变换

而用三角级数表示的函数范围很广（它们甚至可以是不连续或不可微的），并且用三角级数展开对于信号（函数）的分析和处理非常方便。
最常见的三角级数是傅立叶级数。
傅立叶级数
直线
y kx b
y x
抛物线 y ax2 bx c
y x
傅立叶级数展开(T=2l)
y
f (x)
a0 2
n x
(an cos
二维Hartley变换
F f (x)eix d x
一维傅立叶变换
FF
,
F f
x, y
f (x, y)ei2 x yd x d y
二维傅立叶变换
傅立叶变换存在问题：核函数中出现了复数，这就意味着即使在空域中的实序列经过傅立叶变换之后也会变成复数，如果实序列用复序列来处理，问题本身将被复杂化。
恩格斯把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔的辩证法相提并论。他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗。
傅立叶级数
常见的表示函数的工具：幂级数和三角级数。
幂级数简单、方便，但条件苛刻，要求函数在相应的区间内不仅必须无限次可微，还有其它一些要求（例如收敛性等），因而从理论上说其使用范围比较有限。
周期函数展开成傅立叶级数的核心思想是：f(x)可以分解为不同频率的谐波之和。
傅立叶级数例2：周期为τ =1的方波函数
傅立叶级数
若设f(x)是定义在(-∞,+∞)区间上的非周期函数，它是否可以表示为不同频率谐波的迭加？
设f(x)，及其一阶导数f΄(x)在任意一个有限区间上
分段连续，且
f xd存x 在。
由于
1 1 1 , n
l l
n
lim l

第4(5)章傅里叶级数和变换

t0

2 2
f (t ) cos( n1t )dt

2 T1

2
E cos( n1t )dt

4 T1

0
E cos( n1t )dt

2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立叶分析的应用开辟了广阔的前景周期信号——傅里叶级数非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1

t 0 T1

2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt

2 T1

傅里叶级数

0
2 2 Bk T0
4 x( t ) cos kw0 tdt T0 T0 /2
T0 /2
T0 /2
x(t ) cos kw tdt
0 0
1 2 c0 x( t )dt x( t )dt T0 T0 /2 T0 0 2.奇对称：此时x(t)的傅立叶级数中只含有正弦项
第4章连续时间信号的傅立叶变换
A A sin( k/4) ck sin( k/4) Sinc (k/4) k 4 k/4
其双边频谱图如下：
例4-7 在例4-2中，当 T0 4T1 ，A=4时：
第4章连续时间信号的傅立叶变换
幅度谱
ck
第4章连续时间信号的傅立叶变换
1
jw0 t
j 2 w0 t
j 2 w0Βιβλιοθήκη t1 tan1 (1.5 / 3.5) 0.4
c2 2.5 2 3.2
2 2
ck
3 .8 . . 3 .2. .
0
2 tan (2 / 2.5) 0.67 k
k0
0 .4
0 20
.
.
0
0
.2
0.67 .
x( t ) 2 Dk sink 0 t
k 1
T0 /2
第4章连续时间信号的傅立叶变换
2 2 Dk T0
4 x( t ) sin kw0 tdt T0 T0 /2
T0 /2
T0 /2
x(t ) sin kw tdt
0 0
3.半波对称:
T0 ) 偶半波对称：仅含偶次谐波分量。 x ( t ) x ( t 2 T0 奇半波对称：仅含奇次谐波分量。 x ( t ) x ( t ) 2 镜像对称

第四五讲二维-傅里叶变换

由(3)式
§1-4 相关 correlation 一、互相关
性质2 2 Rfg (x) Rff (0)Rgg (0) 证明：引用施瓦兹不等式
( ) ( )d 2

2
( ) d

2
( ) d

其中与一般为复函数，且仅当=k 时，等号成立。
令()=f(-x)， ()=g()，则施瓦兹不等式为：

2
f ( x)g( )d

2
f ( x) d

2
g( ) d

即
2
Rfg (x) Rff (0)Rgg (0)
§1-4 相关 correlation
an 2/ 频谱图
1/2
fn 01 3
2
3
-2/3
三角傅里叶展开的例子
求函数 g(t)=rect(2t)*comb(t)
的傅里叶级数展开系数
宽度 =1/2
周期 t =1
a0

2
t
t
1
2 g(t)dt 2 4 dt 1
t 2

1 4
频率 f0 =1
an

2
t
t 2
g(t) cos(2nt)dt 2
三角傅里叶级数:
g (t )

a0 2

n1
(an
cos 2nf0t

bn
sin
2nf 0t ),
(n 0, 1, 2...),
f0

1
t
展开系数
a0
2
t
t

傅里叶级数展开与傅里叶变换的区别与联系

傅里叶级数展开与傅里叶变换的区别与联系傅里叶级数展开和傅里叶变换是信号处理领域中常用的数学工具，用于分析和处理周期性和非周期性信号。

它们在电子工程、通信工程、图像处理、物理学等领域具有广泛的应用。

本文将介绍傅里叶级数展开和傅里叶变换的定义、区别和联系。

一、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期性信号分解为多个正弦波成分的方法。

对于一个周期为T的信号f(t)，它可以表示为以下级数展开的形式：f(t) = a₀ + Σ(aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t))其中a₀、aₙ和bₙ分别为信号的直流分量、余弦系数和正弦系数，n为正整数，ω₀为角频率。

通过计算这些系数，可以将信号分解为多个具有不同频率的正弦波成分。

傅里叶级数展开的优势在于对周期性信号的分析和重构具有简洁的数学表达形式，能够准确地描述信号的频谱特性。

然而，傅里叶级数展开仅适用于周期性信号，对于非周期性信号需要通过周期化处理后再进行展开。

二、傅里叶变换傅里叶变换是一种将非周期性信号分解为连续频谱成分的方法。

对于一个非周期信号f(t)，它的傅里叶变换表达式为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中F(ω)为信号的频谱，ω为角频率，e^(-jωt)为复指数函数。

傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到的频谱表示了信号在不同频率上的能量分布。

与傅里叶级数展开不同，傅里叶变换适用于非周期性信号的分析和频谱表示。

它能够捕捉信号的全局变化和瞬态特性，对于时域上的瞬变信号和非周期性信号分析更加有效。

然而，傅里叶变换无法对离散信号进行处理，需要使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）等离散形式进行处理。

三、傅里叶级数展开与傅里叶变换的联系傅里叶级数展开和傅里叶变换有着紧密的联系，它们是傅里叶分析的两种不同形式。

傅里叶级数展开是傅里叶变换的特殊情况，当一个信号为周期性时，它的傅里叶变换可以用傅里叶级数展开来表示。

导数与函数的傅里叶级数与变换

导数与函数的傅里叶级数与变换导数是微积分中的重要概念之一，而函数的傅里叶级数与变换则是数学中处理周期性函数和信号的工具。

本文将探索导数与函数的傅里叶级数与变换之间的关系和应用。

一、导数的定义与性质导数是用来描述函数的变化率的概念。

对于函数f(x)，在某个点x 处的导数可以通过以下定义计算得到：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示变化的量。

导数表征了函数在该点的切线斜率，通过导数可以推导出函数的极值、凹凸性以及函数图像的性质。

在计算导数时，可以利用基本导数公式和导数的性质。

例如，对于常数函数f(x) = c，其导数恒为0；对于多项式函数f(x) = ax^n，其导数为f'(x) = anx^(n-1)；另外，导数满足导数的和差法则和导数的乘法法则等性质。

二、函数的傅里叶级数傅里叶级数是一种用三角函数的无限级数表示周期性函数的方法。

周期为T的周期性函数f(x)可以表示为如下的傅里叶级数形式：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，an和bn为傅里叶系数，nyω为频率，n为正整数。

傅里叶级数展开将周期函数转化为一系列三角函数的叠加，通过调整n的取值，可以逐渐逼近原函数的形状。

三、函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换是将一个非周期函数表示为连续频谱的方法。

对于函数f(x)，其傅里叶变换F(w)定义如下：F(w) = ∫[f(x) * e^(-iwx)]dx在傅里叶变换中，w表示频率，-i表示虚数单位。

通过傅里叶变换，可以将一个函数转化为频率域上的复数函数，从而实现对函数的频谱分析。

傅里叶变换具有线性性质和平移性质。

对于函数的线性组合，其傅里叶变换等于各个函数傅里叶变换的线性组合；对于函数的平移和伸缩，其傅里叶变换也会相应地发生平移和伸缩。

四、导数与傅里叶级数的关系在一定条件下，函数的导数与其傅里叶级数存在一定的关系。

傅里叶级数与傅里叶变换的数学原理

傅里叶级数与傅里叶变换的数学原理我们都知道，信号在通信中起着重要的作用，例如音频、视频和图像等。

在这些信号中，每个数据点代表着信号在某个时间或空间位置的值。

要理解这些信号，就需要了解信号如何以及为什么能够被表示为不同频率的正弦或余弦波的组合。

傅里叶级数和傅里叶变换是用于分解和表示信号的重要数学工具。

一、傅里叶级数在介绍傅里叶级数之前，我们先了解一下周期函数。

周期函数是指满足$f(x+T)=f(x)$的函数$f(x)$，其中$T$是一个固定的周期。

我们可以将其表示为三角函数的和，即$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omegax)+b_n \sin(n \omega x)]$$其中$a_0$、$a_n$和$b_n$是常数，$\omega$是角频率，表示单位时间内正弦波的循环数。

这个式子就是傅里叶级数的定义。

如何求出傅里叶系数呢？可以使用以下公式：$$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(x)\cos(n \omega x)\mathrm{d}x}$$$$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(x)\sin(n \omega x)\mathrm{d}x}$$这两个公式可以通过积分的方式求解出来，而系数$a_0$可以这样求解：$$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(x) \mathrm{d}x}$$于是我们可以将周期函数表示为傅里叶级数的形式。

这种分解方法为我们理解信号提供了重要的数学工具。

二、傅里叶变换当信号不再是周期函数时，我们需要使用傅里叶变换来分析信号。

傅里叶变换是傅里叶级数的推广。

傅里叶变换定义为：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i \omega t}\mathrm{d}t}$$其中$i$是虚数单位，$\omega$是频率。

傅里叶变换

线性性质
k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
分析性质
f '(x) → iωF(ω);
∫
x
∞
f ( x ) dx →
1 iω
F (ω )
傅里叶变换
位移性质
f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ; exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
相似性质
f(ax) → F(ω/a)/a; f(x/b)/b → F(bω) .
卷积性质
f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω); f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ
对称性质
正变换与逆变换具有某种对称性; 适当调整定义中的系数后,可以使对称性更加明显.
傅里叶变换
应用举例
rect( x) → sin 1 ω /(π ω) 2
S1 1
S3 0.75
0.5
0.5 0.25
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
1
2
3
-1
S6 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
S24 0.75 0.5 0.25 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 3
展开系数:
1 cn = 2L
∫
L
L
exp(i
nπ x ) f ( x)dx L
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出"任何周期信号都可用正弦函数的级数表示" 1822年发表"热的分析理论",首次提出"任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示" 返回

第四章离散傅里叶变换及其快速算法

离散连续
周期延拓非周期

4.1 离散傅里叶变换的定义
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 N 1 N 1 n 0 2 kn N
= x ( n )e
j
k=0, 1, , N-1
X ( k )WN kn k 0 N 1
1 x(n) IDFT [ X (k )] N 1 N
4 N
x D1X N
W N ( N 1 ) 2 ( N 1 ) WN W N ( N 1 )( N 1 ) 1
1
D
1 N
W N 2 ( N 1 )
1 DN N
dftmtx(N) 函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N 函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
二、圆周移位性质
1. 序列的圆周移位 x(n)的圆周移位定义为
y(n)=x((n+m))N RN(n) 其过程为: 1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x((n))N 2)、将x((n))N左移m位，得x((n+m))N 3)、取其主值序列x((n+m))N RN(n) 循环移位过程如图所示
WNN 1

2 WN ( N 1)
WNN 1 2 WN ( N 1) ( WN N 1) ( N 1)
DFT
IDFT矩阵形式为
1 1 1 W 1 N 1 D 1 1 W N 2 N N 1 W N ( N 1 ) 1 W N 2 W
0 n N `1 0 k N `1
DFT 则： x1 (n) x2 (n) X1 ( K ) X 2 ( K )

傅里叶级数-变换

（2）正交函数集在区间 [t1, t2上] 的n个函数（非
零）1(t) …… n(t) ,其中任意两个均满足
t2
t1 i
(t)j
(t)dt
0, ki 0,
i j i j
k i 为常数，则称函数集 1(t)....n.(t.)..为. 区间
[t1, t2 ]内的正交函数集。
（3）完备正交函数集
t
如果分解的项数越多则误差愈小。即 n，均
方误差 2 0 ，即 f (t ) 在区间 (t1 , t2)内分解为无穷多项
之和。
4.2 傅里叶级数
将周期信号 f(t)f(tm)T在区间t0,t0T内展开成完
备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅
f(t)A 2 0 A 1co t s1 () A 2co 2 ts (2 ) .....
T
f(t)a20a1co st()a2co2s(t)......
b1sint()b2sin2 (t).....
a 2 0n 1ancon st)(n 1bnsin n t()
其中
an
,
bn 称为傅里叶系数，
2
T
。
那么,傅里叶系数如何求得呢?
Ci
t2 t1
f(t)i(t)d
t2
任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚
指数函数积分。 sin t,co ω s,ejt t
具有一定幅度和相位，角频率为的虚指数函数 Fej t
作用于LTI连续系统时，所引起的响应(零状态响应)是同频率的虚指数函数，可表示为：

第四章-傅里叶变换

nN
离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要 ~x(n) 是有界的，即对所有的 n，都有 |~ x(n)|，则 DFS 的收敛不存在任何问题。或者说，只要在一个周期内 ~x(n) 的能量是有限的，即
则 DFS 一定收敛。
|~x(n)|2
nN
1. 连续和离散傅里叶级数
周期信号用截短了的傅里叶级数近似：
如果把周期信号 ~x(t)和 ~x(n) 分别展成它们的 CFS 和 DFS，并把
无限项的 CFS 和有限项的 DFS 在某一处截断，分别得到：
~xM(t)
M
X(kΩ0)ejkΩ0t
kM
~ x M (n )2 M 1 1 k M M X ~ (k0 )ej k 0 n , (2 M 1 ) N
nN
这两个公式表明，任意周期序列 ~x(n)都可以表示为与其重复频率 ω0 成谐波关系的一系列复正弦序列 ejω0n 的线性组合，每个 ejω0n 的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数 X(kω0)。 CFS 与 DFS 的区别： CFS 是一个无穷级数，而周期为 N 的周期序列的 DFS 却是一个有限级数，它只有 N 项，即：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
x(t) akejkt
k
x(n) akejkn

数字信号处理课件第4章离散傅里叶变换1DFT的定义和物理意义

1、在忽略舍入误差时，IDFT能准确地恢复DFT窗内的原采样信号；
2、IDFT的采样值与原采样信号窗外的部分无关；
3、IDFT可以唯一确定原序列。
【随堂练习】 1.求下列序列的N点DFT （1） x(n) (n) （2） x(n) (n n0 ) 0 n0 N （3） x(n) an 0 n N （4） x(n) u(n) u(n n0 ) 0 n0 N
回到第3章的周期序列的DTFT：
~x (n) 的离散傅里叶级数
X~(k)
N 1 ~x (n)WNkn
N 1
x((n)) N WNkn
N 1
x(n)WNkn
n0
n0
n0
~x(n)
1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
N点DFT：X
(k)
N 1
j2 kn
解： N1 X (k) x(n)WNkn n0
121 1 [e
j n 6
e
j n 6
j2 kn
]e 12
n0 2
1
121
[e
j 2 (k 1)n 12
j 2 (k 1)n
e 12 ]
2 n0
121 j2 (k1)n 121 j2 (k1)n
1[ e e ] 12
12
2 n0
n0
k)
sin( k)
8
X
(e
j
)
e
j 3 2
sin(2) sin(1 )
2
3、求x(n)的16点DFT，N=16
X (k) X (e j ) 2 k 16
X

§4-5 傅里叶级数逼近

n 1
称为f(x)的傅里叶级数，记为
f ( x) a0 2 (an cos nx bn sin nx)
n 1
5

(5)
特别地：如f(x)在[-,]上是奇函数，则
1 a n b 2 n

f ( x ) cos nxdx 0
收敛性及其和函数周期函数展开成三角级数
首先讨论第二个问题：设f(x)的周期是2，如果f(x)可以展开成三角函数（2），即
f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx)
n 1
为确定系数a0，an，bn，我们假定上式右端可逐项积分
3
由

f ( x )dx
第步：画出f ( x)的图形； 1
第2步：求f ( x)的傅里叶系数 an bn 1

1

f ( x) cos nxdx
n 0,1, 2, n 1, 2,

f ( x ) sin nxdx
第3步：写出f ( x)的傅里叶级数 f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx)
1 3
sin 3x
1 4
sin 4 x
12 ( x 且x , 3 , )
例3 周期为2的周期函数f ( x) 2 sin 级数逼近。 4-5 （3） 1
x 3
( x )用傅里叶
解：
-3
-
y
0

3
x
f ( x) 2 sin
1 1 sin( n ) x sin( n ) x 2 3 3 1 1 n n 3 3

(完整版)傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用本科毕业论文

本科生毕业论文（申请学士学位）论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用学生：（签字）论文答辩日期：2014年x月xx日指导教师：（签字）目录摘要： ...........................................................................................................................................................关键词 ........................................................................................................................................................... Abstract....................................................................................................................................................... 1绪论 ............................................................................................................................................................ 2傅里叶级数的概念 ....................................................................................................................................2.1周期函数 ................................................................................................................................................2.2傅里叶级数的定义 ................................................................................................................................3 傅里叶变换的概念及性质 .......................................................................................................................3.1傅里叶变换的概念 ................................................................................................................................3.2傅立叶变换的性质 ................................................................................................................................ 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 ........................................................................................ 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 ............................................................................................................5.1傅里叶级数的应用 ................................................................................................................................5.2傅里叶变换的应用 ................................................................................................................................参考文献 .......................................................................................................................................................傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。

傅里叶级数与傅里叶变换的区别

傅里叶级数与傅里叶变换的区别傅里叶级数和傅里叶变换是信号处理中常用的数学工具，用于分析和合成周期性信号以及非周期性信号。

虽然它们都是基于傅里叶分析的原理，但在具体的应用和数学推导过程中存在一些区别。

1. 定义与适用范围：傅里叶级数适用于周期性信号的分析和合成。

它将一个周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，利用正交性质将信号分解为不同频率的谐波成分。

而傅里叶变换则适用于非周期性信号的分析，它可以将一个时域信号转换为频域表示，得到信号的频谱信息。

2. 变换对象：傅里叶级数的变换对象是周期性函数，它要求信号在一个周期内是连续的。

而傅里叶变换则适用于任意时域函数，可以对非周期性信号进行分析。

3. 表示形式：傅里叶级数将周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，也可以使用指数形式的复数表示。

傅里叶变换则将时域函数表示为复数的频域函数，包含了信号的振幅和相位信息。

4. 连续与离散：傅里叶级数适用于连续时间的周期信号，它的频谱是连续的。

而傅里叶变换可以适用于连续时间信号和离散时间信号，分别得到连续频谱和离散频谱。

5. 时间和频率关系：傅里叶级数中的频率是离散的，由基波频率及其谐波频率组成。

而傅里叶变换中的频率是连续的，可以表示任意频率的分量。

6. 傅里叶逆变换：傅里叶级数的逆变换就是原信号本身，通过将各个频率分量加权合成即可。

而傅里叶变换的逆变换则将频域信号转换回时域信号，得到原始的时域函数。

7. 应用领域：傅里叶级数主要应用于周期性信号的分析，如电力系统中的电压和电流信号、音频信号等。

傅里叶变换则广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域，可以分析非周期性信号的频谱特性。

傅里叶级数和傅里叶变换在定义、适用范围、变换对象、表示形式、连续与离散、时间和频率关系、傅里叶逆变换以及应用领域等方面存在一些区别。

这两种数学工具在信号处理中发挥着重要作用，通过对信号的频域分析，可以帮助我们理解信号的特性，从而实现各种应用需求。

第4(5)章傅里叶级数和变换

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换的关系

第章_傅里叶变换和系统的频谱分析

傅里叶级数展开与傅里叶变换

第四章周期信号傅里叶级数

傅里叶级数与傅里叶变换

第4(5)章 傅里叶级数和变换

傅里叶级数

第四五讲二维-傅里叶变换

傅里叶级数展开与傅里叶变换的区别与联系

导数与函数的傅里叶级数与变换

傅里叶级数与傅里叶变换的数学原理

傅里叶变换

第四章 离散傅里叶变换及其快速算法

傅里叶级数-变换

第四章-傅里叶变换

数字信号处理课件第4章离散傅里叶变换1DFT的定义和物理意义

§4-5 傅里叶级数逼近

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第4(5)章傅里叶级数和变换

第四章离散傅里叶变换及其快速算法