2020北京汇文中学高二(上)期中数学含答案

2020北京汇文中学高二（上）期中

数 学

一、选择题

1.已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ）

A. 2

B. 1

C.

2

1 D. 不存在

2. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ）

A. 5)2()3(2

2

=-+-y x

B. 5)2()3(2

2=-++y x

C. 25)2()3(2

2

=-+-y x

D. 25)2()3(2

2

=-++y x

3. 焦点在x 轴上的椭圆22

13

x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）

A. 4

B.

94 C. 1 D.3

4

4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ）

A.

65 B. 1 C.8

5

D.2 5.已知抛物线x y C =2

:的焦点为F ，),(00y x A 是C 上一点，04

5

||x AF =，则0x ＝（ ） A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

6. 过点P )1,3(--的直线l 与圆12

2=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）

A. ]6

,

0(π

B. ]3

,

0(π

C. ]6

,

0[π

D. ]3

,

0[π

7.已知抛物线2

4y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12 8.直线1

:10l ax y a

+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论：

① 1

1,2

AOB a S ∆∀≥=

； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<

则所有正确结论的序号是

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③ 二、填空题

9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =

10. 双曲线22

1169

x y -=的渐近线方程为_________________.

11.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆2

2

(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a =_______；直线l 的方程为__________.

12. 已知F 为双曲线2

2:13

x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______. 13.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 2

3

=上一点，△12PF F 是底角为

30°的等腰三角形，则C 的离心率为___________。

14. 已知点1(,0)2

A -， 抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP = 三、解答题：

15.已知圆2

2

:1010340C x y x y ++++=.

（Ⅰ）试写出圆C 的圆心坐标和半径；

（Ⅱ）圆D 的圆心在直线5x =-上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程； （III ）过点(0,2)P 的直线交（Ⅱ）中圆D 于,E F 两点，求弦EF 的中点M 的轨迹方程.

16.已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.

(I)将||AB 表示为t 的函数；

(II)若||AB =AFB △的周长.

17.已知椭圆2

2:14

x W y +=，直线l 过点(0,2)-与椭圆W 交于两点,A B ，O 为坐标原点. （Ⅰ）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为

3

2

时，求线段OC 的长；

（Ⅱ）当∆OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率.

18.如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12

x

C y +=交于,P Q 两点. 过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的

另一个交点为A .

(I)求直线PA 与AQ 的斜率之积；

(II)若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.

2020北京汇文中学高二（上）期中数学

参考答案

一、选择

1.A

2.D

3.A

4.C

5.A

6.D

7.B

8.C 二、填空

9.1或-1 10.y =±3

4x

11.1

2；2x-y-1=0

12.1

13.3

4

14.√5

2

三、解答题

15.（Ⅰ）(x +5)2+(y +5)2=16，圆心(-5,-5)，半径r=4.

（Ⅱ）因为圆D 圆心在x=-5上，所以设圆D ：(x +5)2+(y −b)2=R 2， 因为圆D 与圆C 外切，所以|CD|=b+5=R+r=4+R.

因为圆D 被x 轴截得弦长为10，所以圆心D 到x 轴距离|b|=√R 2−52. 解得R=13,b=12，即圆D ：(x +5)2+(y −12)2=132 （III ）连接DM 、PM 、DP ，PM 中点为N(−5

2,7)，

因为M 为弦EF 中点，所以DM ⊥PM ，△MPD 为直角三角形，|MN |=1

2|DP |=1

2

√(−5−0)2+(12−2)2=

5√5

2

. 因为动点M 到定点N(−5

2,7)的距离为定值

5√5

2

，所以动点M 的轨迹为圆，其方程为(x +52)2+(y −7)2=

1254

.

16.（Ⅰ）{y =2x +t y 2=4x ，整理得4x 2+4(t −1)x +t 2

=0，由韦达定理可得{x 1+x 2=1−t x 1x 2=

t 2

4

. |AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 =√1+22√(x 12)212 =√5√(1−t)2−t 2=√5−10t.

（Ⅱ）若|AB |=3√5，则t=-4， |AF |+|BF |=x 1+x 2+2=7。 △AFB 周长为7+3√5.

17.（Ⅰ）因为直线l 过(0,-2)，斜率为3

2，所以l:y =3

2x −2.

联立{y =3

2x −2

x 2+4y 2

−4=0

，得到5x 2−12x +6=0.