2020北京汇文中学高二(上)期中数学含答案
2020北京汇文中学高二(上)期中数学
2020北京汇文中学高二（上）期中数 学一、选择题1.已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ）A. 2B. 1C. 21D. 不存在2. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ）A. 5)2()3(22=-+-y xB. 5)2()3(22=-++y xC. 25)2()3(22=-+-y xD. 25)2()3(22=-++y x3. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ） A. 4 B.94 C. 1 D.344. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ） A.65 B. 1 C.85D.2 5.已知抛物线x y C =2:的焦点为F ，),(00y x A 是C 上一点，045||x AF =，则0x ＝（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 86. 过点P )1,3(--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. ]6,0(πB. ]3,0(πC. ]6,0[πD. ]3,0[π 7.已知抛物线24y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．128.直线1:10l ax y a +-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论：① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥< 则所有正确结论的序号是A.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________. 11.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a =_______；直线l 的方程为__________. 12. 已知F 为双曲线22:13x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______. 13.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 23=上一点，△12PF F 是底角为30°的等腰三角形，则C 的离心率为___________。
2020-2021学年北京市某校高二(上)期中数学试卷 (1)
2020-2021学年北京市某校高二（上）期中数学试卷一．选择题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项。
1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ={1, 2, 4}，B ={1, 3, 5}，则(∁U A)∩B =( ) A.{1}B.{3, 5}C.{1, 6}D.{1, 3, 5, 6}【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】进行交集、补集的运算即可． 【解答】解：∁U A ={3, 5, 6}； ∴ (∁U A)∩B ={3, 5}． 故选B .2. 已知复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，则（ ） A.z +1是实数B.z +1是纯虚数C.z +i 是实数D.z +i 是纯虚数【答案】 C【考点】复数的代数表示法及其几何意义 复数的基本概念【解析】复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，可得z =1−i ，分别计算z +1，z +i ．即可判断出结论． 【解答】解：复数z 在复平面上对应的点为(1,−1)， 则z =1−i ，∴ z +1=2−i ，z +i =1. 因此只有C 正确． 故选C .3. 已知向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, 1)，且a →⊥b →，那么|b →|等于（ ） A.√10B.2√3C.√11D.5【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量且a →⊥b →，求出x ，然后利用向量的模长公式求|b →|的长度． 【解答】解：因为a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, 1)，且a →⊥b →，所以−1×3+2x +1×1=0，即x =1，所以b →=(3, 1, 1)， 所以|b →|=√32+12+12=√11， 故选C ．4. 设a =213，b =log 32，c =cos 100∘，则（ ） A.c >b >aB.a >c >bC.c >a >bD.a >b >c【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解． 【解答】解：∵ a =213>20=1，0=log 31<b =log 32<log 33=1， c =cos 100∘<0， ∴ a >b >c ． 故选：D ．5. 下列函数中，在定义域内满足f(−x)+f(x)=0的是（ ） A.f(x)＝√x B.f(x)=ln |x|C.f(x)=x cos xD.f(x)＝1x−1【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】由题意，函数f(x)为奇函数，再利用函数的奇偶性的定义以及判断方法，得出结论． 【解答】f(−x)+f(x)=0，即f(−x)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数．由于f(x)=√x 的定义域为[0, +∞)，不关于原点对称，故f(x)不是奇函数，故排除A ； 由于f(x)=ln |x|是偶函数，故排除B ；由于f(x)=x cos x 的定义域为R ，且满足f(−x)=−x cos (−x)=−x cos x =−f(x)，故函数为奇函数，故C 满足条件；由于f(x)=1x−1的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称，不是奇函数，故排除D ，6. 在下列四个命题中，正确的是（ ）A.平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角和斜率B.四条直线中斜率最大的直线是l 3C.直线x +2y −3＝0的斜率是2D.经过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1，则m =132【答案】 D【考点】 直线的斜率 【解析】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线没有斜率；对于B ，四条直线中斜率最大的直线是l 4；对于C ，直线x +2y −3＝0的斜率是−12；对于D ，利用直线的斜率计算公式求解． 【解答】对于A ，平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角，但当直线与x 轴垂直时，直线没有斜率，故A 错误；对于B ，如图，四条直线中斜率最大的直线是l 4，故B 错误； 对于C ，直线x +2y −3＝0的斜率是−12，故C 错误； 对于D ，∵ 过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1， ∴ 8−mm−5=1，解得m =132，故D 正确．7. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AD =AA 1=1，AB =2，则BD 1→⋅AD →等于（ ）A.1B.2C.3D.√63【答案】 A【考点】空间向量的数量积运算 【解析】由向量的运算法则把向量用AB →，AD →，AA 1→表示，结合垂直关系和数量关系可得． 【解答】解：由题意可得BD 1→⋅AD →=(AD 1→−AB →)⋅AD → =(AD →+AA 1→−AB →)⋅AD →=AD →2+AA 1→⋅AD →−AB →⋅AD →由垂直关系可得AA 1→⋅AD →=AB →⋅AD →=0 故原式=12+0−0=1 故选A8. 如图，在三棱锥A −BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB =DC =2，点E 为BC 的中点，若直线AE 与底面BCD 所成的角为45∘，则三棱锥A −BCD 的体积等于（ ）A.23B.43C.2D.2√23【答案】D【考点】直线与平面所成的角柱体、锥体、台体的体积计算【解析】确定∠AED 为直线AE 与底面BCD 所成的角，求出DE ，可得AD ，再利用三棱锥A −BCD 的体积公式，即可得到结论． 【解答】解：∵ DB =DC =2，点E 为BC 的中点，∴ DE ⊥BC ，DE =√2 ∵ DA ，DB ，DC 两两垂直，∴ AD ⊥平面DBC ， ∴ ∠AED 为直线AE 与底面BCD 所成的角∵ 直线AE 与底面BCD 所成的角为45∘，∴ ∠AED =45∘， ∴ AD =DE =√2∴ 三棱锥A −BCD 的体积等于13×12×2×2×√2=2√23故选D ．9. 已知复数z 的共轭复数z ¯=2−i1+2i ，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A.1 B.−1 C.i D.−i【答案】 A【考点】 复数的运算 【解析】先根据复数的运算法则求出z ¯，再根据共轭复数求出z ，可得z 的虚部． 【解答】z ¯=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i ，则z =i ，则复数z 的虚部是1，10. 在空间中，已知直线a 的方向向量为v →，平面α的法向量为n →，则“直线a 与平面α相交”是“v →⋅n →≠0”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分必要条件的定义以及直线和平面的位置关系判断即可． 【解答】若“直线a 与平面α相交”，则“v →⋅n →≠0”，是充分条件， 若v →⋅n →=0时，则直线a 和平面α平行或直线a ⊂平面α， 若v →⋅n →≠0，则直线a 与平面α相交，是必要条件； 故“直线a 与平面α相交”是“v →⋅n →≠0”的充要条件，11. 如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，点P 在侧面ABB 1A 1内，若D 1P 垂直于CM ，则△PBC 的面积的最小值为（ ）A.2√55B.√55C.45D.1【答案】 A【考点】棱柱的结构特征 【解析】建立坐标系，求出P 的轨迹，得出P 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【解答】以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则M(0, 0, 1)，C(2, 2, 0)，D 1(0, 2, 2)，设P(a, 0, b)，则D 1P →=(a, −2, b −2)，CM →=(−2, −2, 1)， ∵ D 1P ⊥CM ，∴ D 1P →=−2a +4+b −2＝0，即b ＝2a −(2) 取AB 的中点N ，连结B 1N ，则P 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ =√5=2√55． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ， ∴ S △PBC 的最小值为S △QBC =12×2×2√55=2√55． 故选：A ．12. 设空间直角坐标系中有四A ，B ，C ，D 个点，其坐标分别为A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，C(2, 1, 4)，D(−1, −2, 8)，下列说法正确的是（ ）A.存在唯一的一个不过点A 、B 的平面α，使得点A 和点B 到平面α的距离相等B.存在唯一的一个过点C 的平面β，使得AB // β，CD ⊥βC.存在唯一的一个不过A 、B 、C 、D 的平面γ，使得AB // γ，CD // γD.存在唯一的一个过C 、D 点的平面α使得直线AB 与α的夹角正弦值为1235【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由 AB // 平面 α 或平面 α 过线段 AB 的中点可判断 A 选项的正误； 推导出 AB ⊥CD 以及 A 、B 、C 、D 四点不共面，利用点 C 且与 CD 垂直的平面 β 有且只有一个以及 AB // β 可判断 B 选项的正误； 在 AB 、CD 的公垂线 MN 上的点作 MN 的垂面满足题意，可判断 C 选项的正误； 设平面 α 的法向量为 n →＝(1,y,z)，根据题意可得出关于 y 、z 的方程组，判断方程组解的个数，进而可判断 D 选项的正误． 【解答】对于 A 选项，当 AB // 平面 α 或平面 α 过线段 AB 的中点时，点 A 和点 B 到平面 α 的距离相等， A 选项错误； 对于 B 选项，AB →＝(−1,1,0)，CD →＝(−3,−3,4)，∴ AB →∗CD →＝−1×(−3)+1×(−3)＝0，∴ AB ⊥CD ，∵ AC →＝(1,1,4)，AD →＝(−2,−2,8)，设 AD →＝xAB →+yAC →，则 {−x +y ＝−2x +y ＝−24y ＝8，该方程组无解，所以，A 、B 、C 、D 四点不共面， 则 AB 与 CD 异面，而过点 C 且与 CD 垂直的平面 β 有且只有一个，若 AB ⊂β，由于 CD ⊂β，则 AB 与 CD 共面，矛盾，所以，AB // β， B 选项正确； 对于 C 选项，由于 AB 、CD 异面，设 MN 为 AB 、CD 的公垂线段，且 M ∈AB ，N ∈CD ，在直线 MN （异于 M 、N ） 的任意一点作平面 γ，使得 γ⊥MN ，则 AB // γ，CD // γ，这样的平面 γ 有无数个， C 选项错误； 对于 D 选项，设平面 α 的一个法向量为 n →＝(1,y,z)，AB →＝(−1,1,0)，CD →＝(−3,−3,4)， 由题意可得 n →∗CD →＝−3−3y +4z ＝0， |cos ⟨AB →，n →⟩|＝|AB →∗n →||AB →|∗|n →|＝√2×√y 2+z 2+1＝1235，所以，{3y −4z ＝−3,|y−1|√y 2+z 2+1＝12√235， 整理得775y 2−2774y +775=0，△=27742−4×7752=27742−15502>0，即方程 775y 2−2774y +775=0 有两个不等的实数解，所以，存在两个过 C 、D 点的平面 α 使得直线 AB 与 α 的夹角正弦值为 1235，D 选项错误．13. 如图1，矩形ABCD 中，AD =√3．点E 在AB 边上，CE ⊥DE 且AE ＝1．如图2，△ADE 沿直线DE 向上折起成△A 1DE ．记二面角A −DE −A 1的平面角为θ，当θ∈(0∘, 180∘)时，①存在某个位置，使CE ⊥DA 1； ②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③任意两个位置，直线DE 和直线A 1C 所成的角都不相等． 以上三个结论中正确的序号是（ ）A.①B.①②C.①③D.②③C【考点】棱锥的结构特征【解析】在①中，当二面角A−DE−A1的平面角θ＝90∘时，CE⊥DA1；在②中，A1D⊥A1E，CE⊥DE，从而∠DEA一定是锐角，从而不存在某个位置，使DE⊥A1C；在③中，DE 是定直线，A1C是动直线，从而任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等．【解答】在①中，当二面角A−DE−A1的平面角θ＝90∘时，CE⊥DA1，故①正确；在②中，∵如图1，矩形ABCD中，AD=√3．点E在AB边上，CE⊥DE且AE＝1，如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A−DE−A1的平面角为θ∴A1D⊥A1E，CE⊥DE，∴∠DEA一定是锐角，∴当存在某个位置，使DE⊥A1C时，DE⊥平面A1EC，则∠DEA＝90∘，与∠DEA一定是锐角矛盾，故不存在某个位置，使DE⊥A1C，故②错误；在③中，DE是定直线，当二面角A−DE−A1的平面角θ变化时，A1C是动直线，∴任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等，故③正确．二、填空题直线y＝−x−2的倾斜角是________，在y轴上的截距为________．【答案】3π,−24【考点】直线的斜截式方程直线的倾斜角【解析】由题意利用直线的斜率，求出它的倾斜角，再根据直线的方程，求出直线在y轴上的截距．【解答】，在y轴上的截距为−2，直线y＝−x−2的斜率为−1，它的倾斜角是3π4已知直线l经过点P(1, 2)，且直线l的方向向量为a→=(2, 4)，则直线l的斜率为________，直线l的方程为________．【答案】2,2x−y=0【考点】直线的斜率直线的点斜式方程【解析】先求出直线的斜率，再用点斜式求直线l的方程．∵ 直线l 经过点P(1, 2)，且直线l 的方向向量为a →=(2, 4)，则直线l 的斜率为42=2，∴ 直线l 的方程为 y −2=2(x −1)，即 2x −y =0，已知向量a →=(13, tan α)，b →=(cos α, 1)，α∈(π2,π)，且a →∥b →，则sin α＝________，cos 2α＝________． 【答案】13,79【考点】二倍角的三角函数平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，求得结果． 【解答】∵ 向量a →=(13, tan α)，b →=(cos α, 1)，α∈(π2,π)，且a →∥b →，则13×1−tan α⋅cos α＝0，求得 sin α=13，故cos 2α＝1−2sin 2α=79，已知平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，且平面α经过点A(1, 2, 0)．若P(x, y, z)是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是________． 【答案】x +y −z −3=0 【考点】空间向量运算的坐标表示 【解析】求出向量AP →，利用平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，通过向量的数量积为0，求解即可． 【解答】解：由题意可知AP →=(x,y,z)−(1,2,0)=(x −1, y −2, z)； 平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，所以AP →⋅n →=0， 即：(x −1, y −2, z)(1, 1, −1)=0；x −1+y −2−z =0，即x +y −z −3=0， 所求点P 的坐标满足的方程是x +y −z −3=0． 故答案为：x +y −z −3=0．函数f(x)=sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列函数g(x)的结论：①一条对称轴方程为x ＝7π6；②点(5π6，0)时对称中心； ③在区间(0,π3)上为单调增函数；④函数g(x)在区间[π2，π]上的最小值为−12．其中所有正确的结论为________. 【答案】 ②③④ 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 命题的真假判断与应用【解析】首先利用函数的图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，进一步利用函数的性质函数的定义域和值域的关系，函数的单调区间，函数的对称性的应用判定①②③④的结论． 【解答】函数f(x)=sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)=sin (x +π6)的图象， 对于①：当x ＝7π6时，g(7π6)＝sin (7π6+π6)＝sin 4π3＝−√32，故①错误； ②当x =5π6时，g(5π6)=sin π=0故函数关于(5π6，0)对称，故②正确；③当x ∈(0,π3)，时，x +π6∈(π6,π2)，故函数在区间(0,π3)上为单调增函数，故③正确； ④当x ∈[π2，π]时，x +π6∈[2π3，7π6]，所以sin (x +π6)∈[−12,√32]故函数的最小值为−12，故④正确．已知f(x)={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0 ．（1）f(−1)＝________；（2）若实数m ∈[−2, 0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m, m +2]上的最大值的取值范围是________． 【答案】 1 [1, 2] 【考点】函数的最值及其几何意义 分段函数的应用【解析】（1）直接把x ＝−1代入已知函数解析式求得f(−1)的值；（2）令g(x)＝f(x)−f(−1)，根据题设条件求出g(x)的表达式，画出其图象，再对m 进行讨论，求出|g(x)|的最大值的表达式，进而求得结论． 【解答】∵ f(x)={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0 ，∴ f(−1)＝1−|−1+1|＝1；f(x)−f(−1)＝f(x)−1={x +1,x ≤−1−x −1,−1<x <0x 2−2x −1,x ≥0 ，令g(x)＝f(x)−f(−1)={x +1,x ≤−1−x −1,−1<x <0x 2−2x −1,x ≥0 ，其图象如下图所示：①当m ＝−2时，g(x)={x +1,x ∈[−2,−1]−x −1,x ∈(−1,0]，此时|g(x)|max ＝1；②当m ∈(−2, −1)时，|g(x)|max ＝−g(m +2)＝−[(m +2)2−2(m +2)−1]＝−m 2−2m +1∈(1, 2)；③当m ＝−1时，g(x)={−x −1,x ∈[−1,0]x 2−2x −1,x ∈(0,1] ，此时|g(x)|max ＝2，④当m ∈(−1, 0)时，|g(x)|max ＝−g(m +2)＝−[(m +2)2−2(m +2)−1] ＝−m 2−2m +1∈(1, 2)；⑤当m ＝0时，g(x)＝x 2−2x −1，x ∈[0, 2]，此时|g(x)|max ＝1．综上，若实数m ∈[−2, 0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m, m +2]上的最大值的取值范围是[1, 2]．三、解答题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2√2，b ＝5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin (2A +π4)的值． 【答案】（1）由余弦定理以及a ＝2√2，b ＝5，c =√13，则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵ C ∈(0, π)， ∴ C =π4；（2）由正弦定理，以及C =π4，a ＝2√2，c =√13，可得sin A =a sin C c=2√2×√2213=2√1313； (Ⅲ) 由a <c ，及sin A =2√1313，可得cos A =√1−sin 2A =3√1313， 则sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×2√1313×3√1313=1213，∴ cos 2A ＝2cos 2A −1=513， ∴ sin (2A +π4)=√22(sin 2A +cos 2A)=√22(1213+513)=17√226． 【考点】 余弦定理 正弦定理 解三角形【解析】(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小， (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值，(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出． 【解答】（1）由余弦定理以及a ＝2√2，b ＝5，c =√13， 则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵ C ∈(0, π)， ∴ C =π4；（2）由正弦定理，以及C =π4，a ＝2√2，c =√13，可得sin A =a sin C c=2√2×√22√13=2√1313； (Ⅲ) 由a <c ，及sin A =2√1313，可得cos A =√1−sin 2A =3√1313， 则sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×2√1313×3√1313=1213，∴ cos 2A ＝2cos 2A −1=513，∴ sin (2A +π4)=√22(sin 2A +cos 2A)=√22(1213+513)=17√226．已知函数f(x)=(sin x +cos x)2+cos 2x ． (1)求f(π4)值；(2)求f(x)的最小值正周期；(3)求f(x)的单调递增区间．【答案】解：(I)f(π4)=(√22+√22)2+cosπ2=2．(II)因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x，所以，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π|ϖ|=2π2=π．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，所以f(x)的单调递增区间为(kπ−3π8，kπ+π8)，k∈Z．【考点】三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用【解析】(I)根据函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos2x，直接求得f(π4)值．(II)化简f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x为√2sin(2x+π4)+1，从而求得f(x)的最小正周期．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，求得x的范围，可得f(x)的单调递增区间．【解答】解：(I)f(π4)=(√22+√22)2+cosπ2=2．(II)因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x，所以，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π|ϖ|=2π2=π．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，所以f(x)的单调递增区间为(kπ−3π8，kπ+π8)，k∈Z．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2．（1）求证：A 1C ⊥BC ；（2）求直线AC 1和A 1B 1所成角的大小；（3）求直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小． 【答案】证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1，∵ AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1，∵ AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴ A 1C ⊥BC ．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2, 0, 0)，C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AC 1→=(−2, 0, 2)，A 1B 1→=(−2, 2, 0)， 设直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为θ， 则cos θ=|AC 1→|⋅|A 1B 1→|˙=√8⋅√8=12， ∴ 直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为60∘．AC 1→=(−2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AB →=(−2, 2, 0)，AA 1→=(0, 0, 2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=(x, y, z)，则{AA 1→⋅n →＝2z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 0)， 设直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为θ， 则sin θ=|AC 1→|⋅|n →|˙=8⋅2=12，θ=30∘．∴ 直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为30∘． 【考点】直线与平面所成的角 异面直线及其所成的角【解析】（1）由BC ⊥CC 1，AC ⊥BC ，得BC ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明A 1C ⊥BC ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由此直线AC 1和A 1B 1所成角的大小．（3）求出AC 1→=(−2, 0, 2)和平面ABB 1A 1的法向量，由此能求出直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小． 【解答】证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1，∵ AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1，∵ AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴ A 1C ⊥BC ．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2, 0, 0)，C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AC 1→=(−2, 0, 2)，A 1B 1→=(−2, 2, 0)， 设直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为θ，则cos θ=|AC 1→|⋅|A 1B 1→|˙=√8⋅√8=12， ∴ 直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为60∘．AC 1→=(−2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AB →=(−2, 2, 0)，AA 1→=(0, 0, 2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=(x, y, z)，则{AA 1→⋅n →＝2z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 0)，设直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为θ， 则sin θ=|AC 1→|⋅|n →|˙=√8⋅√2=12，θ=30∘．∴ 直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为30∘．如图，三棱柱ABC −DEF 的侧面BEFC 是边长为1的正方形，面BEFC ⊥面ADEB ，AB =4，∠DEB =60∘，G 是DE 的中点．（1）求证：CE // 平面AGF ；（2）求点D 到平面AGF 的距离；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，若存在，求BP 的长；若不存在，说明理由．【答案】证明：连接CD 交AF 于H ，连接HG ，∵ 三棱柱ABC −DEF ，∴ AD // CF ，AD =CF ， ∴ 四边形ADFC 是平行四边形，∴ H 是CD 的中点，又G 是DE 的中点，∴ HG // CE ，又HG ⊂平面AGF ，CE ⊄平面AGF ， ∴ CE // 平面AGF ．∵ 四边形BEFC 是正方形，∴ BC ⊥BE ，∵ 平面BEFC ⊥平面ABED ，平面BEFC ∩平面ABED =BE ，BC ⊂平面BEFC ，BC ⊥BE ，∴ BC ⊥平面ABED ，∵ ∠BED =60∘，BE =1，GE =12DE =12AB =2，∴ BG =√BE 2+GE 2−2⋅BE ⋅GE ⋅cos ∠BED =√3， ∴ BE 2+BG 2=GE 2，∴ BG ⊥BE ，以B 为原点，以BG ，BE ，BC 为坐标轴建立空间直角坐标系B −xyz ，如图所示， 则G(√3, 0, 0)，A(2√3, −2, 0)，F(0, 1, 1)，D(2√3, −1, 0)， ∴ AG →=(−√3, 2, 0)，GF →=(−√3, 1, 1)，DG →=(−√3, 1, 0)， 设平面AGF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GF →＝0˙，即{√3x ＝0−√3x +y +z ＝0，令y =1可得n →=(0, 1, −1)，设D 到平面AGF 的距离为d ，则d =|n →|˙=√2=√22． 假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，设P(0, 0, ℎ)， 则GP →=(−√3, 0, ℎ)，EP →=(0, −1, ℎ)，设平面PGE 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅EP →＝0˙，即{−√3x 1+ℎz 1＝0−y 1+ℎz 1＝0，令z 1=1可得m →=(√3 ℎ, 1)，∵ BC ⊥平面ABED ，∴ BC →=(0, 0, 1)是平面BGE 的一个法向量， ∴ cos <BC →，m →>=|BC →||m →|˙=√4ℎ3+1×1=√4ℎ3+1=√22， 解得ℎ=√32， 线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，此时BP =√32． 【考点】二面角的平面角及求法 点、线、面间的距离计算 直线与平面平行【解析】（1）连接CD 交AF 于H ，连接HG ，根据中位线定理可得HG // CE ，于是CE // 平面AGF ；（2）建立空间坐标系，求出平面AGF 的法向量n →，利用距离公式求出D 到平面AGF 的距离；（3）假设存在符合条件的P 点，设BP =ℎ，求出平面PGE 的法向量m →，令|cos <m →，BC →>|=√22计算ℎ，根据ℎ的值做出判断．【解答】证明：连接CD 交AF 于H ，连接HG ，∵ 三棱柱ABC −DEF ，∴ AD // CF ，AD =CF ， ∴ 四边形ADFC 是平行四边形，∴ H 是CD 的中点，又G 是DE 的中点，∴ HG // CE ，又HG ⊂平面AGF ，CE ⊄平面AGF ， ∴ CE // 平面AGF ．∵ 四边形BEFC 是正方形，∴ BC ⊥BE ，∵ 平面BEFC ⊥平面ABED ，平面BEFC ∩平面ABED =BE ，BC ⊂平面BEFC ，BC ⊥BE ，∴ BC ⊥平面ABED ，∵ ∠BED =60∘，BE =1，GE =12DE =12AB =2，∴ BG =√BE 2+GE 2−2⋅BE ⋅GE ⋅cos ∠BED =√3， ∴ BE 2+BG 2=GE 2，∴ BG ⊥BE ，以B 为原点，以BG ，BE ，BC 为坐标轴建立空间直角坐标系B −xyz ，如图所示， 则G(√3, 0, 0)，A(2√3, −2, 0)，F(0, 1, 1)，D(2√3, −1, 0)， ∴ AG →=(−√3, 2, 0)，GF →=(−√3, 1, 1)，DG →=(−√3, 1, 0)， 设平面AGF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GF →＝0˙，即{√3x ＝0−√3x +y +z ＝0，令y =1可得n →=(0, 1, −1)，设D 到平面AGF 的距离为d ，则d =|n →|˙=√2=√22． 假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，设P(0, 0, ℎ)， 则GP →=(−√3, 0, ℎ)，EP →=(0, −1, ℎ)， 设平面PGE 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅EP →＝0˙，即{−√3x 1+ℎz 1＝0−y 1+ℎz 1＝0，令z 1=1可得m →=(√3 ℎ, 1)，∵ BC ⊥平面ABED ，∴ BC →=(0, 0, 1)是平面BGE 的一个法向量， ∴ cos <BC →，m →>=|BC →||m →|˙=√4ℎ23+1×1=√4ℎ23+1=√22， 解得ℎ=√32， 线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，此时BP =√32．已知n ∈N ∗，n ≥2，给定n ×n 个整点(x, y)，其中1≤x ，y ≤n ，x ，y ∈N ∗．(Ⅰ)当n ＝2时，从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，求x1+x2的所有可能值；(Ⅱ)从上面n×n个整点中任取m个不同的整点，m≥5n2−1．(ⅰ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ⅱ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+ x1′＝x2+x2′，y1≠y2．【答案】（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n−1+n＝2n−1，而2n−1<52n−1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1<x2< ...<x n，由x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<x3+x4<x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n−3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3，可知存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+x1′＝x2+ x2′，y1≠y2．【考点】归纳推理【解析】(Ⅰ)取n＝2时可表示出整点即可算出可能值；(Ⅱ)(i)用反证法可推出矛盾；(ii)利用不等关系可得∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3即可【解答】（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n−1+n＝2n−1，而2n−1<52n−1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1<x2< ...<x n，由x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<x3+x4<x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n−3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3，可知存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+x1′＝x2+ x2′，y1≠y2．试卷第21页，总21页。
北京市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷(II)卷
北京市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2020高二上·吉林期末) 双曲线的渐近线方程是________.（一般式）2. （1分） (2019高二上·中山月考) 命题“ ，都有”的否定是________．3. （1分） (2017高一下·承德期末) 如果直线4ax+y+2=0与直线（1﹣3a）x+ay﹣2=0平行，那么a等于________．4. （1分） (2016高一下·烟台期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2（a＞0）上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是________．5. （1分） (2016高二下·衡水期中) 已知点Q（﹣2 ，0）及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是________．6. （1分） (2016高二上·上海期中) 直线x﹣3y+5=0关于直线y=x对称的直线方程为________（用一般式表示）7. （1分） (2017高二下·菏泽开学考) 已知椭圆的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，则C的离心率e=________．8. （1分） (2016高二上·中江期中) 圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是________．9. （1分） (2016高二上·灌云期中) 已知集合A=[2﹣a，2+a]，B=[0，5]，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．10. （1分） (2016高二上·绵阳期中) 以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点（2，），则该双曲线的方程是________．11. （1分）不等式|x﹣1|+|x﹣4|≤2的解集为________12. （1分） (2018高二上·浙江月考) 设分别为椭圆的左,右焦点，是椭圆上一点，点是的内心，线段的延长线交线段于点，则 ________.13. （1分） (2016高二上·宝应期中) 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1 ， F2 ，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为________．14. （1分） (2016高二上·绥化期中) F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于________．二、解答题 (共6题；共60分)15. （15分） (2016高二上·陕西期中) 求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．16. （5分）已知命题命题，若命题“ ”是真命题，求实数的取值范围．17. （10分） (2018高一上·吉林期末) 已知点及圆 .（1）设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；（2）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.18. （5分） (2015高二上·抚顺期末) 已知椭圆在x轴两焦点为F1 ， F2 ，且|F1F2|=10，P为椭圆上一点，∠F1PF2= ，△F1PF2的面积为6 ，求椭圆的标准方程？19. （15分） (2015高一上·扶余期末) 已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．（1）求证：无论m取什么实数，直线l恒过第一象限；（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短长度；（3）设直线l与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．20. （10分） (2017高二下·上饶期中) 已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合．（1）求椭圆的方程；（2）过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、15-3、16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。
【精品高二数学试卷】2019--2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（3分）下列叙述中，错误的一项为（ ） A ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形D ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面2．（3分）下列函数中，在定义域内为奇函数，且在（0，+∞）上为减函数的是（ ） A ．f （x ）＝log 2xB ．f （x ）＝2﹣x 2C ．f （x ）＝3﹣xD ．f （x ）=−x 343．（3分）圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ） A ．23B ．32C ．43D ．344．（3分）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β“是“α∥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（3分）双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．√6B ．√3C ．√2D ．√336．（3分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角形有两解的为（ ） A ．a ＝8B ．a ＝9C ．a ＝10D ．a ＝117．（3分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且P A＝PE，则点P的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）9．（3分）圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0上的点到直线3x+4y+8＝0的最大距离是．10．（3分）若将函数f（x）＝sin（2x+π4）的图象向左平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．11．（3分）如图是正方形的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 ．12．（3分）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．13．（3分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC ＝CC 1＝1，∠AD 1B =π3，则直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为14．（3分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线与直线x +8y ＝0垂直，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S n ＝ ．15．（4分）如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD 的体积为F （x ），则函数F （x ）的单调增区间是 ；最大值为 ．三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．（8分）已知函数f （x ）＝sin 2ωx +√3sin ωx •sin （ωx +π2）﹣1（ω＞0）的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求ω的值；（2）当x ∈[−π12，π2]时，求函数f （x ）的值域．17．（8分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝b 1＝2，2a 2＝b 2，S 2+T 2＝13．（1）求数列{a n }，{b n }通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和H n ．18．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点． （1）证明：EF ∥平面P AC ； （2）证明：AF ⊥PC ．19．（14分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点F(√3，0)，点M(−√3，12)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，如果△OAB 的面积为λ|AB|+42|OP|（λ为实数），求λ的值．20．（14分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣2lnx ）−12x 2+2x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个不同的零点，求a 的取值范围．2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．【解答】解：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱． 定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围城的几何体叫棱柱；正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D 错； 故选：D ．2．【解答】解：A ．f （x ）的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数； B ．f （﹣x ）＝2﹣（﹣x ）2＝2﹣x 2＝f （x ），则f （x ）是偶函数，不满足条件； C ．f （x ）为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数；D ．f （﹣x ）=−(−x)34=x 34=−f （x ），则f （x ）是奇函数，当x ＞0时，函数f （x ）为减函数，满足条件． 故选：D ．3．【解答】解：设一个圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积V =13πr 2ℎ；圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为2r ，高为13ℎ，体积为V 1=13π⋅(2r)2⋅13ℎ=49πr 2ℎ． ∴V 1V=49πr 2ℎ13πr 2ℎ=43．∴它的体积是原来体积的43． 故选：C ．4．【解答】解：m ⊂α，m ∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m ∥β；α∥β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m ∥β，即α∥β能得到m ∥β； ∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．5．【解答】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，F1F2＝2c∴MF1=2ccos30°=43√3c，MF2=2c⋅tan30°=23√3c∴2a=MF1−MF2=43√3c−23√3c=23√3c∴e=ca=√3，故选：B．6．【解答】解：由正弦定理，有asinA =bsinB，∴sinB=bsinAa=10×√32a=5√3a，∵三角形有两解，∴sin B＜1且b＞a，∴5√3＜a＜10，因此由选项知，只有a＝9时符合条件，故选：B．7．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．8．【解答】解：连接A1P，由题意知A1A⊥AP，因为PE ⊥A 1C ，且P A ＝PE ， 所以△A 1AP ≌△A 1EP ， 所以A 1A ＝A 1E ，即E 为定点． 因为P A ＝PE ，所以点P 位于线段 AE 的中垂面上， 又点P 在底面上，所以点P 的轨迹为两平面的交线，即点P 的轨迹是线段． 故选：A ．二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）9．【解答】解：由题意可得，圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1， 圆心的坐标为（1，1），半径r ＝1， ∴圆心到直线的距离 d =√3+4=3，所以所求最大距离是4， 故答案为：4．10．【解答】解：将函数f （x ）＝sin （2x +π4）的图象向左平移φ个单位，可得y ＝sin （2x +π4+2φ）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，可得π4+2φ=π2+k π，k ∈Z ，则φ的最小正值为π8，故答案为：π8．11．【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：①BM 与ED 平行；错误的，是异面直线； ②CN 与BE 是异面直线，错误；是平行线；③从图中连接AN ，AC ，由于几何体是正方体，故三角形ANC 是等边三角形，所以AN 与CN 的夹角是60°，又AN ∥BM ，故CN 与BM 成60°；正确； ④DM 与BN 垂直．正确 判断正确的答案为③④． 故答案为：③④．12．【解答】解：依题设P 在抛物线准线的投影为P '，抛物线的焦点为F ，则 F(12，0)， 依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP '|＝|PF |， 则点P 到点A （0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和 d =|PF|+|PA|≥|AF|=√(12)2+22=√172．故答案为：√172． 13．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系． ∵长方体中，BC ＝CC 1＝1，∠AD 1B =π3， ∴AD 1=√2，AB ＝AD 1tan π3=√6．∴A （1，0，0），B 1（1，√6，1），B （1，√6，0），C 1（0，√6，1）． ∴AB 1→=（0，√6，1），BC 1→=（﹣1，0，1）， ∴cos ＜AB 1→，BC 1→＞=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|=7×2=√1414．故答案为：√1414．14．【解答】解：函数f （x ）＝ax 2﹣1的导数为f ′（x ）＝2ax ， 可得f （x ）在x ＝1处的切线斜率为2a ，切线与直线x +8y ＝0垂直，可得2a ＝8，即a ＝4， 则f （x ）＝4x 2﹣1，1f(n)=14n 2−1=12（12n−1−12n+1），可得S n =12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1） =12（1−12n+1）=n2n+1． 故答案为：n 2n+1．15．【解答】解：如图所示，设BC ＝x ，AB ＝AC ＝AD ＝CD ＝BD ＝1． 取AD 的中点O ，连接OB ，OC ，则OB ⊥AD ，OC ⊥AD ，OB ＝OC =√32． 又OB ∩OC ＝O ，则AD ⊥平面OBC ， 取BC 的中点E ，连接OE ，则OE ⊥BC ， OE =(√32)2−(x 2)2=√3−x 22．∴S △OBC =12BC ⋅OE =x √3−x 24． ∴F （x ）=13S △OBC ⋅AD=13×x √3−x 24×1=x √3−x 212（0＜x ＜√3）．F ′（x ）=3−2x 212√3−x ，令F ′（x ）≥0，解得0＜x ≤√62，此时函数F （x ）单调递增；令F ′（x ）＜0，解得√62＜x ＜√3，此时函数F （x ）单调递减法．因此当x =√62时，F （x ）取得最大值，F(√62)=√62×3−(√62)212=18．故答案分别为：(0，√62]，18．三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．【解答】解：（1）f(x)=1−cos2ωx 2+√3sinωxcosωx −1=√32sin2ωx −12cos2ωx −12=sin(2ωx −π6)−12，∵函数f （x ）的最小正周期为π，且ω＞0， ∴2π2ω=π，∴解得ω＝1， （2）∵x ∈[−π12，π2]， ∴2x −π6∈[−π3，5π6]，根据正弦函数的图象可得：当2x −π6=π2，即x =π3时，g （x ）＝sin （2x −π6）取最大值1． 当2x −π6=−π3，即x =−π12时，g （x ）＝sin （2x −π6）取最小值−√32， ∴−12−√32≤sin(2x −π6)−12≤12，即f （x ）的值域为[−1+√32，12]． 17．【解答】解：（1）设公差为d 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q 的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝b 1＝2，2a 2＝b 2，S 2+T 2＝13． 所以：{2(2+d)=2q2+2+d +2+2q =13，解得{d =1q =3，所以a n ＝2+（n ﹣1）＝n +1，b n =2⋅3n−1．（2）由于c n ＝a n +b n ＝n +1+2•3n ﹣1， 所以H n ＝（1+2+…+n ）+n +2（30+31+…+3n ﹣1）=n 2+n 2+2n 2+2(3n−13−1)=n 2+3n 2+3n −1． 18．【解答】证明：（1）点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．∴EF ∥PC ，∵EF ⊄平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC ．（2）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，∴AF ⊥PD ，P A ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∵AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ，∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ，∵PC ⊂平面PCD ，∴AF ⊥PC ．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：c =√3，左焦点F ′（−√3，0）．根据椭圆的定义得：2a ＝|MF ′|+|MF |=√(−√3−√3)2+(12)2+12，解得a ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣3＝1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2＝1； （Ⅱ）由题意知，S △ABC =12|AB |•|OP |=λ|AB|+42|OP|，整理得：λ＝|OP |2−4|AB|． ①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为：x =√3，此时|AB |＝1，|OP |=√3，∴λ＝|OP |2−4|AB|=−1；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k （x −√3），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 2=1y =k(x −√3)，消去y 整理得：（1+4k 2）x 2﹣8√3k 2x +12k 2﹣4＝0，显然△＞0，则x 1+x 2=−8√3k 21+4k 2，x 1x 2=12k 2−41+4k 2，∵y 1＝k （x 1−√3），y 2＝k （x 2−√3），∴|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝4•1+k 21+4k 2， ∴|OP |2＝（√3k|√1+k 2）2=3k 21+k2， 此时，λ=3k 21+k 2−1+4k21+k 2=−1；综上所述，λ为定值﹣1．20．【解答】解：（1）函数f （x ）＝a （x ﹣2lnx ）−12x 2+2x ．定义域为（0，+∞）， f ′（x ）＝a （1−2x ）﹣x +2=1x （x ﹣2）（a ﹣x ），（x ＞0）①a ≤0时，a ﹣x ＜0，当x ∈（0，2）．f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（2，+∞）．f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；②0＜a ＜2时，f ′（x ）＝0，解得x ＝2或x ＝a ，当x ∈（0，a ），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（a ，2）f （x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（2，+∞），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；③a ＝2时，f ′（x ）=−1x （x ﹣2）2＜0，f （x ）在（0，+∞）单调递减；④a ＞2时，f ′（x ）＝0，解得x ＝2或x ＝a ，当x ∈（0，2），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；x ∈（2，a ），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；x ∈（a ，+∞），f ′（x ）＜0．f （x ）单调递减；（2）由（1）得当a ＝0时，f （x ）=−12x 2+2x 在定义域上只有一个零点，a ＜0，由（1）可得，要使f（x）有两个零点，则f（2）＞0，即f（2）＝a（2﹣2ln2）+2＞0，所以1ln2−1＜a ＜0，下证f（x）有两个零点，取x=e 1a，f（e1a）＝a（e1a−2×1a）−12（e1a）2+2e1a＜0，满足f（e1a）•f（2）＜0，故f（x）在（0，2）有且只有一个零点；因为f（4）＝a（4﹣2ln4）＜0，满足f（2）•f（4）＜0，故f（x）在（2，+∞）有且只有一个零点；当0＜a＜2时，由（1）可得x∈（0，2），f（x）≥f（a）＝a（a﹣2lna）−12a2+2a=12a2+2a（1﹣lna）＞0，故f（x）在（0，2）无零点，又因为f（x）在（2，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；当a＞2时，x∈（0，a），f（x）≥f（2）＝a（2﹣2ln2）+2＞0，故f（x）在（0，a）上无零点，又因为f（x）在（a，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；∴满足条件a的取值范围1ln2−1＜a＜0，。
【精品高二数学试卷】2019--2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷一、选择题 1．（3分）过椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ） A ．√22B ．√33C ．12D ．132．（3分）在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．63．（3分）椭圆2x 2+3y 2＝12的两焦点之间的距离为（ ） A ．2√10B ．√10C ．2√2D ．√24．（3分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =√3x ，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 22−y 26=1 B ．x 26−y 22=1C ．x 2−y 23=1D ．x 23−y 2=15．（3分）“（x ﹣1）（x +2）＝0”是“x ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（3分）若1a ＜1b＜0，则下列不等式：①a +b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④ab ＜b 2中，正确的不等式有（ ） A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④7．（3分）已知x ，y ＞0且x +4y ＝1，则1x+1y的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．118．（3分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题9．（3分）在等比数列{a n }中，若a 1+a 2＝18，a 2+a 3＝12，则公比q 为 ．10．（3分）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 ． 11．（3分）椭圆x 2m+y 24=1的焦距为2，则m 的值等于 ．12．（3分）若对任意正实数a ，不等式x 2≤1+a 恒成立，则实数x 的最小值为 ． 13．（3分）若命题“∃x ∈R ，有x 2﹣mx ﹣m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 14．（3分）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 ． 三、解答题15．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=92． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }前n 项和T n ． 16．求过点(3，−√2)，离心率e =√52的双曲线的标准方程．17．已知f （x ）＝ax 2+x ﹣a ，a ∈R （1）若a ＝1，解不等式f （x ）≥1； （2）若a ＜0，解不等式f （x ）＞1． 18．如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1（Ⅰ）若|PF 1|＝2+√2，|PF 2|＝2−√2，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e ．19．设函数f（x）＝x+ax+1，x∈[0，+∞）（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；（2）当0＜a＜1时，求函数f（x）的最小值．20．有限数列A n：a1，a2，…，a n．（n≥3）同时满足下列两个条件：①对于任意的i，j（1≤i＜j≤n），a i＜a j；②对于任意的i，j，k（1≤i＜j＜k≤n），a i a j，a j a k，a i a k三个数中至少有一个数是数列A n中的项．（Ⅰ）若n＝4，且a1＝1，a2＝2，a3＝a，a4＝6，求a的值；（Ⅱ）证明：2，3，5不可能是数列A n中的项；（Ⅲ）求n的最大值．2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：由题意知点P 的坐标为（﹣c ，b 2a）或（﹣c ，−b2a ），∵∠F 1PF 2＝60°， ∴2cb 2a=√3，即2ac =√3b 2=√3（a 2﹣c 2）． ∴√3e 2+2e −√3=0， ∴e =√33或e =−√3（舍去）．故选：B ．2．【解答】解：在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 4=12（a 2+a 6）=12(4+a 6)=2， 解得a 6＝0． 故选：B ．3．【解答】解：椭圆2x 2+3y 2＝12化为x 26+y 24=1，所以a 2＝6；b 2＝4，所以c 2＝2，所以2c =2√2．椭圆2x 2+3y 2＝12的两焦点之间的距离为：2√2． 故选：C ． 4．【解答】解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y =√3x ，可得ba =√3，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c ＝2，即a 2+b 2＝4， 解得a ＝1，b =√3， 所求双曲线方程为：x 2−y 23=1． 故选：C ．5．【解答】解：由（x ﹣1）（x +2）＝0得x ＝1或x ＝﹣2， 则“（x ﹣1）（x +2）＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件， 故选：B ．6．【解答】解：∵1a＜1b＜0，∴b ＜a ＜0．则下列不等式：①a +b ＜0＜ab ，正确； ②|a |＞|b |，不正确； ③a ＜b ，不正确； ④ab ＜b 2，正确． 正确的不等式有①④． 故选：C ．7．【解答】解：∵x ，y ＞0且x +4y ＝1， ∴1x +1y =（1x +1y）（x +4y ）＝1+4+x y +4y x ≥5+2√x y ⋅4yx =9．当且仅当x =13，y =16时，等号成立． ∴1x+1y 的最小值为9．故选：B ．8．【解答】解：设该数列为{a n }，设b n =a (n−1)n2+1+⋯+a n(n+1)2=2n +1﹣1，（n ∈N +），则∑ n i=1b i=∑ n(n+1)2i=1a i ，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝21﹣1+22﹣1+…+2n +1﹣1＝2n +1﹣n ﹣2， 可知当N 为n(n+1)2时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n +1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14， A 项，由29×302=435，440＝435+5，可知S 440＝T 29+b 5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意． B 项，仿上可知25×262=325，可知S 330＝T 25+b 5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意． C 项，仿上可知20×212=210，可知S 220＝T 20+b 10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意． D 项，仿上可知14×152=105，可知S 110＝T 14+b 5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．方法二：由题意可知：20︸第一项，20，21第二项，20，21，22第三项，⋯20，21，22，⋯，2n−1第n 项，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n ﹣1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n ， 总共的项数为N ＝1+2+3+…+n =(1+n)n2， 所有项数的和为S n ：21﹣1+22﹣1+23﹣1+ (2)﹣1＝（21+22+23+ (2)）﹣n =2(1−2n)1−2−n＝2n +1﹣2﹣n ，由题意可知：2n +1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝1，总共有(1+1)×12+2＝3，不满足N ＞100， ②1+2+4+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝5，总共有(1+5)×52+3＝18，不满足N ＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝13，总共有(1+13)×132+4＝95，不满足N ＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝29，总共有(1+29)×292+5＝440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440． 故选：A ． 二、填空题9．【解答】解：∵a 1+a 2＝18，a 2+a 3＝12，则公比q =a 2+a 3a 1+a 2=q(a 1+a 2)a 1+a 2=1218=23． 故答案为：23．10．【解答】解：依题意可知a ＝3，c ＝5 ∴b =√25−9=4根据顶点坐标可知焦点在x 轴， ∴双曲线的方程为x 29−y 216=1故答案为：x 29−y 216=111．【解答】解：由题意可得：c ＝1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4＝1，解得m＝5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m＝1，解得m＝3．故答案为：3或5．12．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．13．【解答】解：命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2﹣mx﹣m＞0”，是真命题，即m2+4m＜0；解得﹣4＜m＜0，∴m的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．14．【解答】解：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙，故答案为：甲丁乙丙三、解答题15．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝2，前3项和S3=9 2．∴a1+2d＝2，3a1+3d=92，解得a1＝1，d=12．∴a n＝1+12（n﹣1）=n+12．（II）b1＝a1＝1，b4＝a15＝8，可得等比数列{b n}的公比q满足q3＝8，解得q＝2．∴{b n}前n项和T n=2n−12−1=2n﹣1．16．【解答】解：当双曲线焦点在x轴上时，∵点（3，−√2）在双曲线C上，且双曲线C的离心率e =√52，∴{9a 2−2b 2=1c a =√52a 2+b 2=c 2，解得a 2＝1，b 2=14．∴双曲线的标准方程为x 2−y 214=1；当双曲线焦点在y 轴上时，∵点（3，−√2）在双曲线C 上，且双曲线C 的离心率e =√52，∴{2a 2−9b 2=1c a=√52a 2+b 2=c 2，此方程组无解． 综上，双曲线C 的标准方程为x 2−y 214=1．17．【解答】解：（1）若a ＝1，不等式f （x ）≥1可化为：x 2+x ﹣1≥1，即x 2+x ﹣2≥0， 解得：x ∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），（2）若a ＜0，不等式f （x ）≥1可化为：ax 2+x ﹣a ﹣1＞0，即（x ﹣1）（x +a+1a）＜0， 当−a+1a ＜1，即a ＜−12时，不等式的解集为（−a+1a ，1）； 当−a+1a =1，即a =−12时，不等式的解集为∅； 当−a+1a ＞1，即−12＜a ＜0时，不等式的解集为（1，−a+1a ）．18．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝2+√2+2−√2=4，故a ＝2， 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 2⊥PF 1，因此2c ＝|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2=2√3，即c =√3，从而b =√a 2−c 2=1， 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）连接F 1Q ，由椭圆的定义，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|QF 1|+|QF 2|＝2a ， 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|+|QF 2|， 有|QF 1|＝4a ﹣2|PF 1|，又由PQ ⊥PF 1，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|=√2|PF 1|＝4a ﹣2|PF 1|，解得|PF 1|＝2（2−√2）a ，从而|PF 2|＝2a ﹣|PF 1|＝2（√2−1）a ， 由PF 2⊥PF 1，知2c ＝|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2，因此e =c a =√|PF 1|2+|PF 2|22a=√(2−√2)2+(√2−1)2=√9−6√2=√6−√3．19．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f（x）min＝2√2−1．（2）当0＜a＜1时，任取0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣x2）[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0＜a＜1，（x1+1）（x2+1）＞1，∴1−a(x1+1)(x2+1)＞0，∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min＝f（0）＝a．20．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由①，得2＜a＜6．由②，当i＝2，j＝3，k＝4时.2a，6a，12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但6a＞6，12＞6，故2a＝6，解得a＝3．经检验，当a＝3时，符合题意．…（3分）（Ⅱ）假设2，3，5是数列A n中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列A n 中的项，则有限数列A n的最后一项a n＞5，且n≥4．由①，a n＞a n﹣1＞a n﹣2＞a n﹣3＞1．…（4分）对于数a n﹣2，a n﹣1，a n，由②可知：a n﹣2a n﹣1＝a n；对于数a n﹣3，a n﹣1，a n，由②可知：a n﹣3a n﹣1＝a n．…（6分）所以a n﹣2＝a n﹣3，这与①矛盾．所以2，3，5不可能是数列A n中的项．…（7分）（Ⅲ）n的最大值为9，证明如下：…（8分）（1）令A9：−4，−2，−1，−12，−14，0，12，1，2，则A9符合①、②．…（11分）（2）设A n：a1，a2，…，a n（n≥3）符合①、②，则：（ⅰ）A n中至多有三项，其绝对值大于1．假设A n中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设a i，a j，a k，a l是A n中绝对值最大的四项，其中1＜|a i|≤|a j|≤|a k|≤|a l|．则对a i，a k，a l有|a i a l|＞|a l|，|a k a l|＞|a l|，故a i a l，a k a l均不是数列A n中的项，即a i a k是数列A n中的项．同理：a j a k也是数列A n中的项．但|a i a k|＞|a k|，|a j a k|＞|a k|．所以a i a k＝a j a k＝a l．所以a i＝a j，这与①矛盾．（ⅱ）A n中至多有三项，其绝对值大于0且小于1．假设A n中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾．（ⅲ）A n中至多有两项绝对值等于1．（ⅳ）A n中至多有一项等于0．综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知A n中至多有9项．…（14分）由（1），（2）可得，n的最大值为9．。
【精品高二数学试卷】2019-2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A ．13B ．√33C ．12D ．√322．（5分）倾斜角为135°，在y 轴上的截距为﹣1的直线方程是（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x ﹣y ﹣1＝0C ．x +y ﹣1＝0D ．x +y +1＝03．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +4＝0垂直的直线方程为（ ） A ．3x +2y ﹣1＝0B ．3x +2y +7＝0C ．2x ﹣3y +5＝0D ．2x ﹣3y +8＝0 4．（5分）设m 是不为零的实数，则“m ＞0”是“方程x 2m−y 2m=1表示的曲线为双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知椭圆x 24+y 23=1的两个焦点为F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|﹣|MF 2|＝1则△MF 1F 2是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6．（5分）已知点F 1、F 2是椭圆x 2+2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→+PF 2→|的最小值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．2√27．（5分）已知直线x ﹣y +m ＝0与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 为正三角形，则实数m 的值为（ ） A ．√32B ．√62C ．√32或−√32 D ．√62或−√62 8．（5分）在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，D 是AC 的中点，则BD →⋅CD →的取值范围是（ ） A ．(−34，14)B ．(−∞，14)C ．(−34，+∞)D ．(14，34)二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）双曲线x 2−y 22=1的渐近线方程为 ．10．（5分）已知圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，过点（2，2）且与直线x +y ＝0相切，则圆C 的方程是 ．11．（5分）已知l 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线，其倾斜角为π4，且C 的右焦点为（2，0），则C 的右顶点为 ，C 的方程为 ．12．（5分）已知圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣8y +8＝0，过点P （1，0）作该园的一条切线，切点为A ，那么线段P A 的长度为 ．13．（5分）若⊙O 1：x 2+y 2＝5与⊙O 2：（x ﹣m ）2+y 2＝20（m ∈R ）相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ． 14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →=AB →，F 1B →•F 2B →=0，则C 的离心率为 ．三、解答题：（共6小题，17、19题每题14分，其余每题13分，共80分） 15．（13分）已知函数f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x ． （1）求函数f （x ）图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数f （x ）在区间[−π6，π3]上的最大值与最小值，以及此时x 的取值． 16．（13分）在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ． （1）求cos B 的值；（2）若cosA =17，a ＝8，求b 以及S △ABC 的值．17．（14分）已知C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长2√3，离心率为12，圆O ：x 2+y 2＝b 2．（1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）过椭圆左焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，|AB|=165，若直线l 于圆O 交于M ，N 两点，求直线l 的方程及△OAB 与△OMN 的面积之比．18．（13分）已知函数f （x ）＝（ax +a ）e x （其中e ＝2.71828…），g （x ）＝x 2+bx +2，已知f （x ）和g （x ）在x ＝0处有相同的切线． （1）求函数f （x ）和g （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值；（3）判断函数F （x ）＝2f （x ）﹣g （x ）+2的零点个数，并说明理由．19．（14分）已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦点到短轴的端点的距离为√5，离心率为2√55． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（1，0）的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过点B 作平行于x 轴的直线BN ，交直线x ＝5于点N ，求证：直线AN 恒过定点．20．（13分）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n +1，a n +2，…的最小值记为B n ，记d n ＝A n ﹣B n ． （1）若数列{a n }的通项公式为a n ={5−n ，1≤n ≤41，n ≥5，求数列{d n }的通项公式；（2）证明：“数列{a n }单调递增”是“∀n ∈N *，d n ＜0”的充要条件； （3）若d n ＝a n 对任意n ∈N *恒成立，证明：数列{a n }的通项公式为a n ＝0．2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a ＝2b ，椭圆的离心率e =c a =√32， 故选：D ．2．【解答】解：∵直线倾斜角是135°， ∴直线的斜率等于﹣1， ∵在y 轴上的截距是﹣1，由直线方程的斜截式得：y ＝﹣1×x ﹣1， 即 y ＝﹣x ﹣1， 故选：D ．3．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x ﹣3y +4＝0垂直，∴设方程为﹣3x ﹣2y +c ＝0 ∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c ＝0 ∴c ＝1∴所求直线方程为3x +2y ﹣1＝0． 故选：A ． 4．【解答】解：方程x 2m−y 2m=1表示的曲线为双曲线⇔m ≠0．∴“m ＞0”是“方程x 2m−y 2m=1表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件．故选：A ．5．【解答】解：由题意， |F 1F 2|＝2，|MF 1|+|MF 2|＝4， ∵|MF 1|﹣|MF 2|＝1， ∴|MF 1|=52，|MF 2|=32， ∴|MF 2|2+|F 1F 2|2＝|MF 1|2， 故选：B ．6．【解答】解：∵O 为F 1F 2的中点，∴PF 1→+PF 2→=2PO →，可得|PF 1→+PF 2→|=2|OP →|当点P 到原点的距离最小时，|OP →|达到最小值，|PF 1→+PF 2→|同时达到最小值． ∵椭圆x 2+2y 2＝2化成标准形式，得x 22+y 2=1∴a 2＝2且b 2＝1，可得a =√2，b ＝1因此点P 到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即|OP →|最小值为b ＝1 ∴|PF 1→+PF 2→|=2|OP →|的最小值为2 故选：C ．7．【解答】解：直线x ﹣y +m ＝0与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 为正三角形， 则：△AOB 的边长为1，则：圆心（0，0）到直线x ﹣y +m ＝0的距离d =2=√32， 解得：m ＝±√62． 故选：D ．8．【解答】解：BD →=−（DA →+AB →），设∠CAB ＝α∈（0，π），所以BD →⋅CD →=−(DA →+AB →)⋅DA →=−[(12CA →)2+12CA →⋅AB →]=−14−12cos （π﹣α）＝﹣（14−12cosα）∈(−34，14)．故选：A ．二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分） 9．【解答】解：双曲线x 2−y 22=1的a ＝1，b =√2，可得渐近线方程为y ＝±bax ，即有y ＝±√2x ． 故答案为：y ＝±√2x ．10．【解答】解：根据题意，圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，设圆C 的圆心为（a ，a ），半径为r ；又由圆C 过点（2，2）且与直线x +y ＝0相切，则有r 2＝（a ﹣2）2+（a ﹣2）2＝（√1+1）2，解可得a ＝1，即圆心的坐标为（1，1）， 则r 2＝（a ﹣2）2+（a ﹣2）2＝2，则圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2； 故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2．11．【解答】解：由题意可得c ＝2，即a 2+b 2＝4， 一条渐近线的斜率为k =ba =tan π4=1，解得a ＝b =√2，则双曲线的右顶点为（√2，0）， C 的方程为x 22−y 22=1．故答案为：（√2，0），x 22−y 22=1．12．【解答】解：圆x 2+y 2+2x ﹣8y +8＝0，即 （x +1）2+（y ﹣4）2＝9，表示以C （﹣1，4）为圆心、半径R ＝3的圆，再由切线长定理可得切线长P A =√PC 2−R 2=√20−9=√11， 故答案为：√11．13．【解答】解：由题知O 1（0，0），O 2（m ，0），半径分别为√5，2√5，根据两圆相交， 可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，即√5＜m ＜3√5． 又O 1A ⊥O 2A ，所以有 m 2=(√5)2+(2√5)2=25，∴m ＝±5． 再根据S △AO 1O 2=12•AO 1•AO 2=12O 1O 2•AB2，求得 AB ＝2×√5⋅2√55=4，故答案为：4． 14．【解答】解：如图，∵F 1A →=AB →，且F 1B →•F 2B →=0，∴OA ⊥F 1B ， 则F 1B ：y =ab(x +c)，联立{y =ab (x +c)y =b a x ，解得B （a 2c b −a ，abc b −a ）， 则OB 2=a 4c 2(b2−a 2)2+a 2b 2c 2(b2−a 2)2=c 2，整理得：b 2＝3a 2，∴c 2﹣a 2＝3a 2，即4a 2＝c 2， ∴c 2a 2=4，e =ca =2．故答案为：2．三、解答题：（共6小题，17、19题每题14分，其余每题13分，共80分） 15．【解答】解：f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1 ＝2sin （2x +π6）+1．（1）函数f （x ）图象的相邻两条对称轴的距离为T2=π2；（2）∵x ∈[−π6，π3]，∴2x +π6∈[−π6，5π6]，∴当2x +π6=π2，即x =π6时，f （x ）取得最大值为3； 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f （x ）取得最小值为﹣1．16．【解答】解：（1）由余弦定理及已知得：cos B =a 2+c 2−b 22ac =12， （2）因为A ，B 为三角形内角，所以sin A =√1−cos 2A =√1−(17)2=4√37，sin B =√1−cos 2B =√1−(12)2=√32，由正弦定理得：b =a⋅sinB sinA =8×√32437=7，又∵cos A =17=b 2+c 2−a 22bc．∴c 2﹣2c ﹣15＝0，解得 c ＝5 （c ＝﹣3舍）． ∴S △ABC =12bc •sin A ＝10√3．17．【解答】解：（1）由题得b =√3，e =ca =12，所以c 2=14a 2，所以b 2=34a 2＝3，则a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1，圆O 的方程为：x 2+y 2＝3；（2）根据题意可知，左焦点F （﹣1，0），且直线l 的斜率存在且不为0， 不妨设y ＝k （x +1），联立{y =k(x +1)x 24+y 23=1，整理得（3+4k 2）x 2+8k 2x +4k 2﹣12＝0，所以x A +x B =−8k23+4k2，x A x B=4k 2−123+4k2，所以|AB |=2|x A ﹣x B |=2√(x A +x B )2−4x A x B =12×1+k23+4k2=165， 解得k ＝±√3，则l ：y =±√3（x +1）； 所以原点到l 的距离d =√31+3=√32，所以△AOB 面积为12×√32×165=4√35；MN ＝2√3−d 2=3，所以△MON 面积为12×√32×3=3√34，所以△OAB 与△OMN 的面积之比为16：15．18．【解答】解：（1）f （x ）＝（ax +a ）e x （其中e ＝2.71828…），g （x ）＝x 2+bx +2， f （0）＝a ，g （0）＝2．f ′（x ）＝a （x +2）e x ，g ′（x ）＝2x +b ， f ′（0）＝2a ，g ′（0）＝b ．∵f （x ）和g （x ）在x ＝0处有相同的切线． ∴2a ＝b ，a ＝2． 解得a ＝2，b ＝4．∴f （x ）＝2（x +1）e x ，g （x ）＝x 2+4x +2， （2）f （x ）＝2（x +1）e x ，x ∈[﹣3，3]．f ′（x ）＝2（x +2）e x ，可得f （x ）在[﹣3，﹣2）上单调递减，在（﹣2，3]上单调递增． ∴x ＝﹣2时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （﹣2）=−22． 又f （﹣3）=−4e3，f （3）＝8e 3．∴x ＝3时，函数f （x ）取得最大值，f （3）＝8e 3．综上可得：函数f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值分别为：8e 3，−22． （3）函数F （x ）＝2f （x ）﹣g （x ）+2＝4（x +1）e x ﹣x 2﹣4x ． F ′（x ）＝4（x +2）e x ﹣2x ﹣4＝2（x +2）（2e x ﹣1）． 令F ′（x ）＝0，解得x ＝﹣2，x ＝﹣ln 2．可得：x ＝﹣2时，函数F （x ）取得极大值，F （﹣2）＝4−4e 2＞0； x ＝﹣ln 2．函数F （x ）取得极小值，F （﹣ln 2）＝2+2ln 2﹣ln 22＞0． 又x →﹣∞时，F （x ）→﹣∞．可得：函数F （x ）＝2f （x ）﹣g （x ）+2只有一个零点．19．【解答】解：（1）由椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦点到短轴的端点的距离为√5，则a =√5， 又离心率为2√55，即e =c a =2√55，解得c ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 25+y 2＝1；（2）证明：当直线l 的斜率不存在，即方程设为x ＝1，代入椭圆方程可得y ＝±√1−15=±√5，即有A （1，√5），B （1，2√5），N （5，2√5）， 直线AN 的方程为y =−√55（x ﹣3），直线AN 恒过定点Q （3，0）； 当直线l 的斜率存在，设过点（1，0）的直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 由{y =k(x −1)x 2+5y 2=5，消去y 整理得（1+5k 2）x 2﹣10k 2x +5k 2﹣5＝0． 由△＝100k 4﹣4（1+5k 2）（5k 2﹣5）＝80k 2+20＞0恒成立， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），N （5，y 2）， 则x 1+x 2=10k21+5k2，…①，x 1x 2=5k 2−51+5k2，…②，k AN =y 2−y 15−x 1=k(x 2−x 1)5−x 1， 由k QN =y 2−05−3=y22=k(x 2−1)2，k AN ﹣k QN ＝k （x 2−x 15−x 1−x 2−12） ＝k •x 1x 2−3(x 1+x 2)+52(5−x 1)，由①②可得x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+5=5k 2−51+5k2−3•10k 21+5k 2+5＝0，则k AN ﹣k QN ＝0，即k AN ＝k QN ，综上可得直线AN 过定点（3，0）．20．【解答】解：（1）当1≤n ≤4，数列{a n }是递减数列，最大为a 1＝4，又a 4＝a 5＝…＝a n＝…＝1，所以A n ＝4，B n ＝1，n ＝1，2，3，…， 所以d n ＝A n ﹣B n ＝4﹣1＝3，（2）充分性：数列{a n }单调递增，则a 1＜a 2＜…＜a n ＜…，则A n ＝a 1，B n ＝a n +1， 所以d n ＝A n ﹣B n ＝a 1﹣a n +1＜0；必要性：数列{a n }，∀n ∈N *，d n ＜0，d n ＝A n ﹣B n ＜0，d 1＝A 1﹣B 1＜0，a 1＜B 1＝min {a 2，…，a n +1，…}，所以a 1＜a 2，d 2＝A 2﹣B 2＜0，A n ＝max {a 1，a 2}＝a 2，B 2＝min {a 3，…，a n +1，…}，所以a 2＜a 3， 同理a 3＜a 4＜…＜a n …即数列{a n }单调递增，故“数列{a n }单调递增”是“∀n ∈N *，d n ＜0”的充要条件．（3）反证法：若d n ＝a n 对任意n ∈N *恒成立，数列{a n }的通项a n ≠0．当n ＝1时，d 1＝a 1＝A 1﹣B 1，A n ＝a 1，所以B 1＝0，这说明从第二项起，至少有一个项为0，这与假设矛盾， 故原命题成立．。
2021-2022汇文高二数学上学期期中试题(1)(2)
北京汇文中学2021-2022学年度第一学期期中考试试卷高二数学班级 学号 姓名一. 选择题（每题5分，共10小题）1.若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)2．若α , β表示不同的平面，平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定3．已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于y 轴的对称点为C ，则AC --→=( ） A ．(042)，，B ．)0,0,2(-C ．(040)，，D ．(202)-，，4.若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为13，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ． 3112D ．552-5.已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ）A. 2B. 1C.21 D. 不存在6. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ）A. 5)2()3(22=-+-y x B. 5)2()3(22=-++y x C. 25)2()3(22=-+-y xD. 25)2()3(22=-++y x7. 焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）A. 4B.94 C. 1 D.348．设椭圆C ：y 2＋x 2m 2＝1(0＜m ＜1)的两焦点分别为F 1，F 2，若在椭圆C 上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫22，1B.⎝⎛⎦⎤0，22 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎦⎤0，129．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，|AF 1|＋|AF 2|＝4，则椭圆C 的离心率是( )A.12B.54C.23D.3210．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A ，B 分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点F 2的直线交椭圆于C ，D 两点．△F 1CD 的周长为8，且直线AC ，BC 的斜率之积为－14，则椭圆的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 2＝1D.x 24＋y 23＝1二.填空题（每题5分，共6小题） 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1中点，则直线CE 垂直于直线 BD 吗? 填“是”或“不是”_________12. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =13. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.14.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a = ；直线l 的方程为 .15. 已知F 为双曲线22:13x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______.16.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 23=上一点，△12PF F 是底角为30°的等腰三角形，则C 的离心率为___________。
北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷共6页，试卷分值为150分.考试时长为120分钟.请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.1 集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 如图，曲线在点处的切线l 过点，且，则的值为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 33. 下列函数中，的最小值是2的是（ ）A B. C. D.4. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是减函数C. 是偶函数，且在上是增函数..2{|0}A x x x =-≤{|1}B x x =<-R A B = ð{}1x x >-{|01}x x ≤≤{|01}x x <≤{|1}x x ≥-()y f x =()()1,1P f ()2,0()12f '=-()1f 1-y 1y x x=+ln y x x =-1x y e x =-+1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭0.12a =0.413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭21log e c =a b c>>b c a>>a c b>>c a b>>()lg |1|lg |1|f x x x =++-()f x (1,)+∞(1,)+∞(1,)+∞D. 是偶函数，且在上是减函数6. 7张卡片上分别写有数字1 2 3 4 5 6 7 从中随机取出2张，记事件A ＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B ＝“所取2张卡片上的数字之和小于8”，则＝（ ）A.B.C.D.7. 小明家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为. 已知邻居记得浇水的概率为，忘记浇水的概率为，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz ；为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）A. B.C.D. 9. 已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 设函数的定义域为，如果，，使得成立，则称函数为“函数”. 给出下列四个函数：①；②；③；④，则其中“函数”共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.11. 函数的定义域是____________．12. 已知函数则________；的值域为_______．13. 若函数存在极值点，则实数a 的取值范围为________．14. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，(1,)+∞()P B A 132349590.80.30.60.40.450.50.60.722log (1)SC W N=+C bis /s W SN99S N =2000Hz W =1C 9999SN=3000Hz W =2C 21C C 1521543()()221e xf x x a x =++a =()f x =1x -()f x D x D ∀∈y D ∃∈()()f x fy =-()f x Ωsin y x =4y x x =+11y x =-()ln f x x =-Ω()ln f x x =+22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩…(0)f =()f x ()32113f x x ax x =-++无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________．15. 如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________.16. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数存最小值；②对于任意，函数是上的减函数；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点.其中正确命题的序号是______.三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方．18. 某学校食堂为了解师生对某种新推出菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96根据师生对该菜品满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和在的的136m ()e ln x f x a x =-()0,∞+()f x ()0,a ∈+∞()f x (),0a ∈-∞()f x ()0,∞+(),0a ∈-∞()0,x ∈+∞()0f x >()0,a ∈+∞()f x 2()ln f x x x=+()f x [1,]e x (1,)∈+∞()f x 3221()32g x x x =+1μ2μ1η2η1μ2μ1η2η的大小（结论不要求证明）；（2）从全校教师中随机抽取3人，设X 为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．19. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：A 组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30B 组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.（1）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；（2）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；（3）从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明）20. 已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，（ⅰ）求和的值；（ⅱ）求函数的单调区间和极值；（2）当时，求函数的极值点的个数.21. 由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”.（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；X X ()E X A B 1ξ2ξ()1D ξ()2D ξ()()31ln ax a f x a x+-=∈R ()y f x =()()e,e f 22e y x b =+a b ()f x 1a <()f x m {}123,,,,m M a a a a =⋅⋅⋅123m a a a a <<<⋅⋅⋅<()12m P M a a a =++⋅⋅⋅+()0P ∅=M ()k P M ≤M ,A B ()()k P A P B =-M {}11,2M ={}22,3M =（2）若集合为“满集”，求的值；（3）若是首项为，公比为的等比数列，判断集合是否为“满集”，并说明理由.M 1a 123,,,,m a a a a 12M北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学 简要答案一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】A 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】A 【10题答案】【答案】D二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】①. 1②. 【13题答案】(]0,1(),2∞-【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】1【16题答案】【答案】①④三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详略.【18题答案】【答案】（1）>，<；（2）分布列略，数学期望；（3）.【19题答案】【答案】（1）（2） （3）【20题答案】【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）答案略 （2）答案见详解【21题答案】【答案】（1）是“满集”，不是“满集”；理由略；（2）；（3）是“满集”，理由略.()(),11,-∞-⋃+∞2027()f x (1)1f =2()1f e e =+1μ2μ1η2η()34E X =1940310()1E X =()()12=D D ξξ31,e a b ==-1M 2M 1。
【精品高二数学试卷】2019--2020高二(上)期中+答案 (2)
2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（0，﹣1）2．（3分）“a ＝2”是“直线2x +ay ﹣1＝0与直线ax +3y ﹣2＝0垂直”（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．（3分）若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于（ ） A ．11B ．9C ．5D ．34．（3分）直线l ：x +y +3＝0被圆C ：{x =−1+4cosθy =2+4sinθ（θ为参数）截得的弦长为（ ）A ．2√2B ．4√2C ．4√3D ．85．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率为（ ）A ．√63B ．2√33C ．12D ．√226．（3分）设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（ ） A ．若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α B ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊥β，m ⊂α，则α⊥β7．（3分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．328．（3分）已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．4√33B ．2√33C ．3D ．2二、填空题9．（3分）已知直线的参数方程为{x =1+12ty =1+√32t （t 为参数），则其倾斜角为 ．10．（3分）若圆O ：x 2+y 2＝1与圆C ：x 2+y 2+6x +8y +m ＝0相切，则实数m ＝ ． 11．（3分）若方程x 2k−2+y 25−k=1表示的是焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ．12．（3分）直线l 与双曲线x 2﹣4y 2＝4相交于A 、B 两点，若点P （4，1）为线段AB 的中点，则直线l 的方程是 ．13．（3分）已知圆C 1：(x +2)2+(y −1)2=1，圆C 2与圆C 1关于直线y ＝x +1对称，则圆C 2的标准方程是 ． 14．（3分）已知椭圆G ：x 26+y 2b 2=1(0＜b ＜√6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|+|PB 2|＝|PF 1|+|PF 2|．当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③|OP |的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是 ． 三、解答题15．已知动点P 与平面上点A （﹣1，0），B （1，0）的距离之和等于2√2． （1）试求动点P 的轨迹方程C ．（2）设直线l ：y ＝kx +1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=4√23时，求直线l 的方程． 16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，且PB ＝AB ＝AD ＝3，BC ＝1．（Ⅰ）若点F 为PD 上一点且PF =13PD ，证明：CF ∥平面P AB ； （Ⅱ）求二面角B ﹣PD ﹣A 的大小．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，点（2，1）在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2+y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求证：∠POQ 是定值．18．设A 、B 分别为椭圆x 24+y 23=1的左右顶点，设点P 为直线x ＝4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N ． （1）判断B 与以MN 为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明．（2）记直线x ＝4与轴的交点为H ，在直线x ＝4上，求点P ，使得S △APN ＝S △APH ．2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵抛物线x 2＝4y 中，p ＝2，p2=1，焦点在y 轴上，开口向上，∴焦点坐标为 （0，1 ）， 故选：C ．2．【解答】解：当直线2x +ay ﹣1＝0与直线ax +3y ﹣2＝0垂直时，2a +3a ＝0即a ＝0， 所以“a ＝2”是“直线2x +ay ﹣1＝0与直线ax +3y ﹣2＝0垂直”的既不充分又不必要条件． 故选：D ．3．【解答】解：由题意，双曲线E ：x 29−y 216=1中a ＝3．∵|PF 1|＝3，∴P 在双曲线的左支上， ∴由双曲线的定义可得|PF 2|﹣|PF 1|＝6， ∴|PF 2|＝9． 故选：B ．4．【解答】解：圆C ：{x =−1+4cosθy =2+4sinθ（θ为参数）化为：（x +1）2+（y ﹣2）2＝16，可得：圆心C （﹣1，2），半径r ＝4． ∴圆心C 到直线l 的距离d =2=2√2． ∴直线l 被圆C 截得的弦长＝2√r 2−d 2=2√16−(2√2)2=4√2． 故选：B ．5．【解答】解：设右焦点F （c ，0），将y =b 2代入椭圆方程可得x ＝±a √1−b24b2=±√32a ，可得B （−√32a ，b 2），C （√32a ，b2），由∠BFC ＝90°，可得k BF •k CF ＝﹣1， 即有b 2−√32a−c •b2√32a−c =−1，化简为b 2＝3a 2﹣4c 2， 由b 2＝a 2﹣c 2，即有3c 2＝2a 2，由e =c a ，可得e 2=c 2a2=23，可得e =√63，故选：A ．6．【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，得： 在A 中，若m ∥n ，n ⊂α，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故A 错误； 在B 中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故C 错误； 在D 中，若m ⊥β，m ⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确． 故选：D ．7．【解答】解：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F （2，0），准线为x ＝﹣2 ∴K （﹣2，0）设A （x 0，y 0），过A 点向准线作垂线AB ，则B （﹣2，y 0） ∵|AK|=√2|AF|，又AF ＝AB ＝x 0﹣（﹣2）＝x 0+2∴由BK 2＝AK 2﹣AB 2得y 02＝（x 0+2）2，即8x 0＝（x 0+2）2，解得A （2，±4） ∴△AFK 的面积为12|KF|⋅|y 0|=12×4×4=8故选：B ．8．【解答】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2 ∵∠F 1PF 2=π3，∴由余弦定理可得4c 2＝（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos π3，①在椭圆中，①化简为即4c 2＝4a 2﹣3r 1r 2， 即3r 1r 24c =1e 12−1，②在双曲线中，①化简为即4c 2＝4a 12+r 1r 2， 即r 1r 24c 2=−1e 22+1，③联立②③得，1e 12+3e 22=4，由柯西不等式得（1+13）（1e 12+3e 22）≥（1×1e 13×√3e 2）2， 即（1e 1+1e 2）2≤43×4=163即1e 1+1e 2≤√163=4√33，d 当且仅当e 1=√33，e 2=√3时取等号， 法2：设椭圆的长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2，（a 1＞a 2），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2 ∵∠F 1PF 2=π3，∴由余弦定理可得4c 2＝（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos π3=（r 1）2+（r 2）2﹣r 1r 2，由{r 1+r 2=2a 1r 1−r 2=2a 2，得{r 1=a 1+a 2r 2=a 1−a 2，∴1e 1+1e 2=a 1+a 2c=r 1c，令m =r 12c 2=4r 12r 12+r 22−r 1r 2=41+(r 2r 1)2−r 2r 1=4(r 2r 1−12)2+34， 当r 2r 1=12时，m max =163， ∴(r1c )max =4√33，即1e 1+1e 2的最大值为4√33， 法3：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则{m +n =2a 1m −n =2a 2，则a 1+a 2＝m ， 则1e 1+1e 2=a 1+a 2c=m c，由正弦定理得msin(120°−θ)=2c sin60°，即m c=2sin(120°−θ)sin60°=√3sin （120°﹣θ）≤3=4√33 故选：A ． 二、填空题9．【解答】解：直线的参数方程为{x =1+12ty =1+√32t （t 为参数），消去参数t ，化为普通方程是y ﹣1=√3（x ﹣1）， 则该直线的斜率为√3，倾斜角为π3．故答案为：π3．10．【解答】解：圆x 2+y 2+6x +8y +m ＝0 即（x +3）2+（y +4）2＝25﹣m ， 表示以（3，4）为圆心，半径等于√25−m 的圆．由题意，两个圆相内切，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值， 可得5＝|√25−m −1|， 解得m ＝﹣11．两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=√25−m +1， 解得m ＝9，故答案为：﹣11或9． 11．【解答】解：由题意方程x 2k−2+y 25−k=1表示的是焦点在x 轴上的椭圆，k ﹣2＞5﹣k ＞0， ∴72＜k ＜5．故答案为：（72，5）12．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝8，y 1+y 2＝2， ∵x 12﹣4y 12＝4，x 22﹣4y 22＝4，两式相减可得：（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）﹣4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）＝0， ∴8（x 1﹣x 2）﹣8（y 1﹣y 2）＝0， ∴k AB ＝1，∴直线的方程为y ﹣1＝1（x ﹣4），即x ﹣y ﹣3＝0．故答案为：x ﹣y ﹣3＝0．13．【解答】解：依题意，设圆C 2的圆心坐标为（a ，b ）， 则因为圆C 1：(x +2)2+(y −1)2=1，的圆心为（﹣2，1），所以{b+12=−2+a2+1，b−1a+2=−1，解得{a =0b =−1， 所以圆C 2的标准方程是：x 2+（y +1）2＝1， 故答案为：x 2+（y +1）2＝1， 14．【解答】解：椭圆G ：x 26+y 2b =1(0＜b ＜√6)的两个焦点分别为F 1（√6−b 2，0）和F 2（−√6−b 2，0），短轴的两个端点分别为B 1（0，﹣b ）和B 2（0，b ），设P （x ，y ），点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|+|PB 2|＝|PF 1|+|PF 2|， 由椭圆定义可得，|PB 1|+|PB 2|＝2a ＝2√6＞2b ， 即有P 在椭圆y 26+x 26−b =1上．对于①，将x 换为﹣x 方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称， 故①正确；对于②，由图象可得轨迹关于x ，y 轴对称，且0＜b ＜√6， 则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故②不正确； 对于③，由图象可得，当P 满足x 2＝y 2，即有6﹣b 2＝b 2，即b =√3时， |OP |取得最小值，可得x 2＝y 2＝2，即有|OP |的最小值为2，故③正确． 故答案为：①③．三、解答题15．【解答】解：（1）由|AB |＝2＜|P A |+|PB |＝2√2，根据椭圆的第一定义，可得P 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆， 且2a ＝2√2，即a =√2，c ＝1， b =√a 2−c 2=1，则动点P 的轨迹方程C 为x 22+y 2＝1；（2）将直线l ：y ＝kx +1代入椭圆方程x 2+2y 2＝2， 可得（1+2k 2）x 2+4kx ＝0， 解得x 1＝0，x 2=−4k 1+2k2，可得M （0，1），N （−4k 1+2k2，1−2k 21+2k ）， 由题意可得|MN |=√16k2(1+2k 2)2+(1−2k21+2k2−1)2=4√23， 解得k ＝±1，即有直线l 的方程为y ＝±x +1．16．【解答】证明：（Ⅰ）过点F 作FH ∥AD ，交P A 于H ，连接BH ， 因为PF =13PD ，所以HF =13AD ＝BC ．…．（1分） 又FH ∥AD ，AD ∥BC ，所以HF ∥BC ．…．（2分） 所以BCFH 为平行四边形，所以CF ∥BH ．…．（3分）又BH ⊂平面P AB ，CF ⊄平面P AB ，…．（4分）（一个都没写的，则这（1分）不给） 所以CF ∥平面P AB ．…．（5分）解：（Ⅱ）因为梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，所以BC ⊥AB ． 因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB ⊥AB ，PB ⊥BC ，如图，以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，…．（6分）所以C （1，0，0），D （3，3，0），A （0，3，0），P （0，0，3）．设平面BPD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），平面APD 的一个法向量为m →=（a ，b ，c ）， 因为PD →=（3，3，﹣3），BP →=（0，0，3） 所以{n →⋅PD →=3x +3y −3z =0n →⋅BP →=3z =0，…．（7分）取x ＝1得到n →=（1，﹣1，0），…．（8分） 同理可得m →=（0，1，1），…．（9分）所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−12，…．（10分）因为二面角B ﹣PD ﹣A 为锐角，所以二面角B ﹣PD ﹣A 为π3．…．（12分）17．【解答】解：（1）由题得e =ca =√22，所以c 2=12a 2，则b 2=12a 2， 再将点（2，1）带入方程得4a +112a 2=1，解得a 2＝6，所以b 2＝3，则椭圆C 的方程为：x 26+y 23=1；（2）①当直线PQ 斜率不存在时，则直线PQ 的方程为x =√2或x =−√2，当x =√2时，P （√2，√2），Q （√2，−√2），此时OP →⋅OQ →=0，所以OP ⊥OQ ，即∠POQ ＝90°，当x =−√2时，同理可得OP ⊥OQ ，∠POQ ＝90°；②当直线PQ 斜率存在时，不妨设直线PQ 的方程为y ＝kx +m ，即kx ﹣y +m ＝0， 因为直线与圆相切，所以√k 2+1=√2，即m 2＝2k 2+2，联立{kx −y +m =0x 26+y 23=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则有x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−61+2k2，此时OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)×2m 2−61+k2+km ×(−4km 1+2k2)+m2，将m 2＝2k 2+2代入上式可得OP →⋅OQ →=0，所以OP ⊥OQ ，则∠POQ ＝90°； 综上：∠POQ 是定值为90°．18．【解答】解：（1）点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下： 由已知可得A （﹣2，0），B （2，0）．设M （x 0，y 0）． ∵M 点在椭圆上，∴y 02=34（4﹣x 02）． ①又点M 异于顶点A 、B ，∴﹣2＜x 0＜2．由P 、A 、M 三点共线可得y P 4−(−2)=y 0x 0+2， 即P （4，6y 0x 0+2）． 从而BM →=（x 0﹣2，y 0），BP →=（2，6y 0x 0+2）． ∴BM →⋅BP →=2x 0﹣4+6y 02x 0+2=2x 0+2（x 02﹣4+3y 02）． ② 将①代入②，化简得BM →⋅BP →=52（2﹣x 0）．∵2﹣x 0＞0，∴BM →⋅BP →＞0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．（2）可得A （﹣2，0），B （2，0）．设N （x 0，y 0）．P （4，t ）， 由P 、B 、N 三点共线可以得t 4−2=y 0x 0−2，即t =2y0x 0−2． 又S △APN ＝S △APH 等价于S △ABN ＝S △BPH ．即12×4×|y 0|=12×2×|t |＝|2y 0x 0−2|⇒x 0＝1． ∴14+y 023=1，∴y 0=±32， ∴t ＝±3．故点P （4，±3）。
【精品高二数学试卷】2019-2020北京高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10＝（ ） A ．100B ．210C ．380D ．4002．（5分）已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则|a |＞|b | B ．若a ＞b ，则1a＜1bC ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 23．（5分）已知数列{a n ）的通项公式为a n =n 2−n ，则下列各数中不是数列中的项的是（ ） A ．2B ．40C ．56D ．904．（5分）不等式2x +3﹣x 2＞0的解集是（ ） A ．{x |﹣3＜x ＜1}B ．{x |﹣1＜x ＜3}C ．{x |1≤x ＜3}D ．{x |−32≤x ＜3}5．（5分）抛物线y ＝2x 2的焦点到其准线的距离为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．146．（5分）下列说法正确的是（ ）①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3…的一个通项公式为a n ＝n ﹣1；③数列0，1，0，1…没有通项公式； ④数列{n n+1}是递增数列A ．①③B ．②④C ．②③D ．②③④7．（5分）已知F 为双曲线C ：x 29−y 216=1的左焦点，P ，Q 为双曲线C 上的点，若线段PQ 的长等于16，点A （5，0）在线段PQ 上，则△PQF 的周长为（ ） A ．44B ．34C ．32D ．468．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y =√3x ，且它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A ．x 227−y 29=1 B ．x 236−y 2108=1C ．x 29−y 227=1D ．x 2108−y 236=19．（5分）若抛物线y 2＝3x 的焦点是F ，准线是l ，点M （3，m ）（m ＞0）是抛物线上的一点．则经过点F ，M 且与l 相切的圆共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个10．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上的两个动点A ，B 始终满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点H 作抛物线的垂线HN ，垂足为N ，则|HN||AB|的取值范围是（ ） A ．（0，√33] B ．（√33，+∞] C ．[1，+∞] D ．（0，1]二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中横线上） 11．（5分）已知抛物线y 2＝2ax 过点（﹣1，4），则抛物线的焦点坐标为 ． 12．（5分）函数y ＝x ﹣1+4x （x ＞0）的最小值为 ．此时x ＝ ． 13．（5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2＝0，则公比q ＝ ． 14．（5分）双曲线x 23−y 24=1的焦点坐标为 ，渐近线方程是 ．15．（5分）已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ﹣1，则数列{a n }的通项公式是 ． 16．（5分）如果关于x 的不等式2kx 2+kx −38＜0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是 ．17．（5分）河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后穿露出水面上的部分高0.75m ，则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 m 时，小船开始不能通航．18．（5分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n+2={2a n (n 为奇数)a n +3(n 为偶数)，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝ ． 19．（5分）已知椭圆M ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m −y 2n =1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．三、解答题：版大题有4小题，共55分．解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤． 20．（14分）已知等差数列{a n }中，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }的公差小于零，求数列{a n }的前n 项和S n 的表达式及其最大值； （3）求a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2．21．（13分）解关于x 的不等式ax 2﹣2≥2x ﹣ax （a ∈R ）．22．（13分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线y ﹣x +2＝0相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P （﹣2√2，0），A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点G ． 23．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （1，0），离心率为12，A为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上异于A 的两个动点，直线AP ，AQ 与直线l ：x ＝4分别交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若△P AF 与△PMF 的面积之比为15，求M 的坐标；（Ⅲ）设直线l 与x 轴交于点R ，若P ，F ，Q 三点共线，判断∠MFR 与∠FNR 的大小关系，并说明理由．2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．【解答】解：d =a 4−a 24−2=15−72=4，a 1＝3， ∴S 10＝10×3+10×9×42＝210， 故选：B ．2．【解答】解：A ．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|； B ．错误，比如3＞﹣4，便得不到13＜1−4；C ．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D ．正确，a ＞|b |，则a ＞0，根据不等式的性质即可得到a 2＞b 2． 故选：D ．3．【解答】解：由数列{a n ）的通项公式为a n =n 2−n ， n ＝2时，a 2＝2．n ＝8时，a 8＝56．n ＝10时，a 10＝90． 令a n =n 2−n =40，无整数解． 则下列各数中不是数列中的项的是B ． 故选：B ．4．【解答】解：因为2x +3﹣x 2＞0，所以（x ﹣3）（x +1）＜0， 所以﹣1＜x ＜3，所以不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜3}． 故选：B ．5．【解答】解：抛物线y ＝2x 2化为标准方程为x 2=12y ∴抛物线y ＝2x 2的焦点到其准线的距离为12×12=14故选：D ．6．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于①、数列1，3，5，7与数列7，5，3，1中顺序不同，不是同一数列，故①错误； 对于②、数列0，1，2，3，…的通项公式是a n ＝n ﹣1，故②正确；对于③、数列0，1，0，1…它的一个通项公式为：a n ={0，n 为奇数1，n 为偶数，故③错误；对于④、数列{nn+1}是递增数列，故④正确．故选：B ．7．【解答】解：双曲线C ：x 29−y 216=1的左焦点F （﹣5，0），∴点A （5，0）是双曲线的右焦点， 双曲线图象如图： |PF |﹣|AP |＝2a ＝6，① |QF |﹣|QA |＝2a ＝6，② 而|PQ |＝16， ①+②得：|PF |+|QF |﹣|PQ |＝12，∴周长为：|PF |+|QF |+|PQ |＝12+2|PQ |＝44． 故选：A ．8．【解答】解：由题意可得：ba =√3，c ＝6=√a 2+b 2，联立解得：a ＝3，b ＝3√3． ∴双曲线的方程为：x 29−y 227=1，故选：C ．9．【解答】解：抛物线y 2＝3x 的焦参数p =32，所以F （34，0），直线l ：x =−34，即x +34=0，点M （3，m ）（m ＞0）是抛物线上的一点．可得点M （3，3）、经过点M 、F （34，0），且与直线l 相切的圆的圆心为G ，如图：由抛物线的定义以及圆的性质可知：GN ⊥l 于N ，GN ＝GF ＝GM ， 所以满足条件的圆有两个． 故选：C ．10．【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ， 由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP | 在梯形ABPQ 中，∴2|HN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab ， 配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）2−34（a +b ）2=14（a +b ）2， 得到|AB |≥12（a +b ）． ∴|HN||AB|≤1，故选：D ．二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中横线上） 11．【解答】解：抛物线y 2＝2ax 过点（﹣1，4）， 可得16＝﹣2a ，解得a ＝﹣8． 所以抛物线方程为：y 2＝﹣16x ， 抛物线的焦点坐标（﹣4，0）． 故答案为：（﹣4，0） 12．【解答】解：∵x ＞0，由基本不等式可得y ＝x +4x −1≥2√x ⋅4x −1=3， 当且仅当x =4x即x ＝2时，函数取得最小值3 故答案为：3；213．【解答】解：由题意可得，q ≠1 ∵S 3+3S 2＝0 ∴a 1(1−q 3)1−q+3a 1(1−q 2)1−q=0∴q 3+3q 2﹣4＝0 ∴（q ﹣1）（q +2）2＝0 ∵q ≠1 ∴q ＝﹣2 故答案为：﹣2 14．【解答】解：双曲线x 23−y 24=1可得a =√3，b ＝2，双曲线的焦点坐标为（±√7，0），双曲线的渐近线方程为：y ＝±2√33x ． 故答案为：（±√7，0）；y ＝±2√33x ． 15．【解答】解：由S n ＝3n ﹣1，得a 1=S 1=31−1=2； 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n −1−(3n−1−1)=2⋅3n−1， 验证a 1＝2适合上式， ∴a n =2⋅3n−1． 故答案为：a n =2⋅3n−1．16．【解答】解：不等式2kx 2+kx −38＜0对一切实数x 都成立， k ＝0时，不等式化为−38＜0恒成立，k ≠0时，应满足{k ＜0k 2−8k(−38)＜0， 解得﹣3＜k ＜0．综上，不等式2kx 2+kx −38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是（﹣3，0]． 故答案为：（﹣3，0]．17．【解答】解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y 轴建立如图的平面直角坐标系，使得抛物线开口向下；设拱桥型抛物线方程为x 2＝﹣2py （p ＞0）； A （2，y 1），B （4，﹣5） 将B （4，﹣5）代入抛物线方程 得p ＝1.6； 所以抛物线方程为 x 2＝﹣3.2y ； 当船两侧与抛物线接触时不能通过， 由22＝﹣3.2y 1，得y 1＝﹣1.25，（因为船露出水面的部分高0.75米）； 所以h ＝|y 1|+0.75＝2米．故水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行． 故答案为：2．18．【解答】解：当n 为奇数时，a n +2＝2a n ，∴奇数项成等比数列，首项为1，公比为2，∴a 1+a 3+a 5+…+a 2n ﹣1=1×(1−2n)1−2=2n ﹣1，当n 为偶数时，a n +2﹣a n ＝3，∴偶数项成等差数列，首项为2，公差为3，∴a 2+a 4+a 6+…+a 2n ＝2n +n(n−1)2×3=3n 2+n2．S 2n ＝2n ﹣1+3n 2+n2． 故答案为：2n ﹣1+3n 2+n2． 19．【解答】解：椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c ，0），正六边形的一个顶点（c2，√3c 2），可得：c 24a +3c 24b=1，可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4﹣8e 2+4＝0，e ∈（0，1），解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m=√3，可得：n 2m =3，即m 2+n 2m =4，可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m2=2． 故答案为：√3−1；2．三、解答题：版大题有4小题，共55分．解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤． 20．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列，可得a 1a 13＝a 112，即25（25+12d ）＝（25+10d ）2， 解得d ＝0或d ＝﹣2，则a n ＝25或a n ＝25﹣2（n ﹣1）＝27﹣2n ；（2）数列{a n }的公差小于零，可得d ＝﹣2，a 1＝25，数列{a n }的前n 项和S n ＝25n +12n （n ﹣1）×（﹣2）＝﹣n 2+26n ＝﹣（n ﹣13）2+169，可得n ＝13时，S n 取得最大值169；（3）当d ＝0时，a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2＝25+25+…+25＝25n ； 当d ＜0时，a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2＝25+19+…+（﹣6n +31） =12n （25﹣6n +31）＝28n ﹣3n 2．21．【解答】解：原不等式变形为ax 2+（a ﹣2）x ﹣2≥0． ①a ＝0时，x ≤﹣1；②a ≠0时，不等式即为（ax ﹣2）（x +1）≥0， 当a ＞0时，x ≥2a或x ≤﹣1； 由于2a −（﹣1）=a+2a ，于是 当﹣2＜a ＜0时，2a≤x ≤﹣1；当a ＝﹣2时，x ＝﹣1； 当a ＜﹣2时，﹣1≤x ≤2a．综上，当a ＝0时，x ≤﹣1；当a ＞0时，x ≥2a 或x ≤﹣1；当﹣2＜a ＜0时，2a≤x ≤﹣1；当a ＝﹣2时，x ＝﹣1；当a ＜﹣2时，﹣1≤x ≤2a．22．【解答】解：（1）e =c a =√22，所以c 2=12a 2，设以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆方程为x 2+y 2＝b 2，则圆心到直线的距离d =21+1=b ， 解得b 2＝2，所以a 2＝4，椭圆C 的方程为x 24+y 22=1，（2）设B （x 1，y 1），E （x 2，y 2），A （x 1，﹣y 1）由题知PB 斜率肯定存在，设直线PB 方程为y ＝k （x +2√2），联立{y =k(x +2√2)x 24+y 22=1，整理得（1+2k 2）x 2+8√2k 2x +16k 2﹣4＝0，则x 1+x 2=−8√2k 21+2k 2，x 1x 2=16k 2−41+2k 2，直线AE 的方程为：y ﹣y 2=y 2+y 1x 2−x 1(x −x 2)，令y ＝0，则x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2， 将y 1=k(x 1+2√2)，y 2=k(x 2+2√2)代入得x =−√2，所以G （−√2，0）， 故直线AE 过定点G （−√2，0），23．【解答】（Ⅰ）解：由题意得c ＝1，又c a =12，解得a ＝2，c ＝1． ∵a 2﹣b 2＝c 2，∴b 2＝3．∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）解：∵△P AF 与△PMF 的面积之比为15，∴|AP |=15|PM |，则AP →=16AM →， 设M （4，m ）（m ≠0），P （x 0，y 0），则（x 0+2，y 0）=16（6，m ），解得x 0＝﹣1，y 0=m 6．将其代入x 24+y 23=1，解得m ＝±9．∴M 的坐标为（4，9）或（4，﹣9）；（Ⅲ）证明：设M （4，m ），N （4，n ），P （x 0，y 0），若m ＝0，则P 为椭圆C 的右顶点，由P ，F ，Q 三点共线知，Q 为椭圆C 的左顶点，不符合题意．∴m ≠0．同理n ≠0．直线AM 的方程为y =m 6（x +2）． 由{y =m 6(x +2)x 24+y 23=1消去y ，整理得（27+m 2）x 2+4m 2x +（4m 2﹣108）＝0． △＝（4m 2）2﹣4（27+m 2）（4m 2﹣108）＞0成立．由−2x 0=4m 2−10827+m 2，解得x 0=54−2m 227+m 2． ∴y 0=m 6(x 0+2)=18m 27+m 2． 得P （54−2m 227+m 2，18m 27+m 2）．当|m |＝3时，|n |＝3，54−2m 227+m 2=1，即直线PQ ⊥x 轴．由椭圆的对称性可得|MR |＝|FR |＝|NR |＝3． 又∵∠MRF ＝∠NRF ＝90°，∴∠MFR ＝∠FNR ＝45°．当|m |≠3时，|n |≠3，直线FP 的斜率k FP =18m 27+m 2−054−2m 227+m 2−1=6m 9−m 2，同理k FQ =6n 9−n 2． ∵P ，F ，Q 三点共线，∴6m9−m =6n9−n ，得mn ＝﹣9．在Rt △MRF 和Rt △NRF 中，tan ∠MFR =|MR||FR|=|m|3，tan ∠FNR =|FR||NR|=3|n|=|m|3， ∴tan ∠MFR ＝tan ∠FNR ．∵∠MFR ，∠FNR 均为锐角，∴∠MFR ＝∠FNR ．综上，若P ，F ，Q 三点共线，则∠MFR ＝∠FNR ．。
【20套试卷合集】北京市重点中学2020届数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案（满分：150分 时间：120分钟）注意事项：1. 答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。
2. 每小题选出答案后，填入答案卷中。
3. 考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知实数m 是1和5的等差中项，则m 等于A B ．C ．3D ．3±2. 点(1,2)在不等式0x y a +->表示的平面区域内，则a 的取值范围是 A ．(,3)-∞ B ．(,3)-∞- C ．(3,)+∞ D .(3,)-+∞ 3．在△ABC 中，若4AB =，3AC =，030A =，则ABC S ∆＝A ．3B ．6C .D . 4. 已知等差数列{}n a 中，246a a +=，则前5项和5S 为A.5B.6C.15D.305．已知,,a b c R ∈,且a b >,则下列不等式一定成立的是 A ．11a b< B ．22a b > C ．33a b > D ．22ac bc >6. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足::3:5:7a b c =，则ABC ∆中的最大内角为 A.060 B.090 C.0120 D.01507. 已知等比数列{}n a 中，234122,8,a a a a a +==+则6a =A.31B.32C.63D.64 8. 已知正实数,a b 满足211a b+=,x a b =+，则实数x 的取值范围是A .[6,)+∞B .)+∞C .)+∞D .[3)++∞ 9. 若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是 A.[2,2]- B.(,2][2,)-∞-+∞ C.(2,2)- D.(,2)(2,)-∞-+∞10. 已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则19a a +等于 A.19 B.20 C.21 D.2211．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 A .32 B .332 C .3＋62 D .3＋39412．对于正项数列{}n a ，定义nna a a a G nn ++++=32132为数列{}n a 的“匀称”值.已知数列{}n a 的“匀称”值为2+=n G n ，则该数列中的10a 等于 A.23 B.54 C. 1D.1021第II 卷 （非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．不等式(1)0x x ->的解集是 . 14. 一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处 看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶4h 后，船到 达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与 灯塔的距离BC 为 km ． 15. 已知数列{}n a 中，1812,58,,n n a a a a cn +===+（c 为常数），则c 的值是 .16. 在ABC ∆中，内角A, B, C 的对边分别为a, b, c ，有下列结论： ① 若A B >，则sin sin A B >；② 若222c a b <+，则ABC ∆为锐角三角形；③ 若a ，b ，c 成等差，则sin sin 2sin()A C A C +=+； ④ 若a ，b ，c 成等比，则cos B 的最小值为12. 其中结论正确的是______ ___.（填上全部正确的结论）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）公差不为0的等差数列中，13a =，57a =. （Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）若数列中，22n a n b -=，求数列前n 项的和.18．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为锐角．．△ABC 三个内角A ，B，C 的对边，2sin b C = (Ⅰ) 求角B 的大小；C(Ⅱ) 若2b =，ABC ∆的面积为a ，c 的值.19．（本小题满分12分）红旗化肥厂生产A 、B 两种化肥.某化肥销售店从该厂买进一批化肥，每种化肥至少购买5吨，每吨出厂价分别为2万元、1万元.且销售店老板购买化肥资金不超过30万元.（Ⅰ）若化肥销售店购买A 、B 化肥的数量分别是x (吨)、y (吨)，写出x 、y 满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示）.（Ⅱ）假设该销售店购买的A 、B 这两种化肥能全部卖出，且每吨化肥的利润分别为0.3万元、0.2万元，问销售店购买A 、B 两种化肥各多少吨时，才能获得最大利润，最大利润是多少万元？20．（本小题满分12分）如图：在平面四边形ABCD中，AB =6AC =，045ACB ∠=。
北京市2020学年高二数学上学期期中试题A卷
第一学期期中联考试卷 高二数学（A 卷）考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知()e =x f x ，则(0)f '=A ．0B ．e1C ．1D ．e2．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是A ．22a b >B ．2ab a >C ．2b ab >D ．a b <3．若等差数列{}n a 满足1320+=a a ，2440+=a a ，则公差d 等于A ．5B ．10C ．15D ．204．命题“对任意∈x N ，都有0≥x ”的否定是A ．存在∉x N ,使得0x <B ．存在∈x N ,使得0≥xC ．存在∈x N ,使得0x <D ．对任意∈x N ,都有0x <5．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，*12()n n a a n +=∈N ，则5S 等于A ．30B ．31C ．62D ．646．按数列的排列规律猜想数列23，45-，87，16-，…的第10项是 A ．51219C ．102421D ．102421-7．已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象 如图所示，设1212()()-=-f x f x k x x ，则下列不等式正确的是A ．12()()''<<k f x f xB ．12()()''<<f x k f xC ．21()()''<<f x f x kD ．12()()''<<f x f x k8. 已知函数()f x 在R 上可导，“0x =是函数()y f x =的极值点”是“(0)=0f '”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：若数列{}n x 满足12=x ，且对任意*∈n N ，点1(,)+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则2020=x A ．2B ．4C ．7D ．810．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，那么下列说法中正确的是A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线B ．函数()()f x g x -有两个极值点C ．对于任意0x >()()≥f x g x 恒成立D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
2020学年高二(上)期中数学试卷带答案
2020学年高二（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）数列{n+2n}中的第4项是．2．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为．3．（5分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．（5分）已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为．5．（5分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=．7．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．8．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．10．（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为．11．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．12．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．13．（5分）将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=．14．（5分）若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．16．（14分）已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，（2）对于n∈N*，都有a n＞a n，求实数k的取值范围．+117．（14分）某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18．（16分）（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．20．（16分）已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．二.高二数学试题（第二卷）21．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．22．（5分）若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．23．（5分）已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）24．（5分）下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）25．（10分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．26．（10分）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）数列{n+2n}中的第4项是20．【分析】根据题意，可得数列的通项a n=n+2n，将n=4代入通项计算可得答案．【解答】解：根据题意，数列{n+2n}的通项a n=n+2n，则其第4项a4=4+24=20；故答案为：20．【点评】本题考查数列的通项公式，涉及数列的表示方法，关键是理解数列通项公式的定义．2．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1．【分析】由抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣即可求得抛物线x2=4y的准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=﹣1．故答案为：y=﹣1．【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题．3．（5分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（0，2）．【分析】因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．【点评】本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．4．（5分）已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为50．【分析】由已知求得等差数列的公差，代入a n=33可求n的值．【解答】解：在等差数列{a n}，由a1=，a2+a5=4，得2a1+5d=4，即，．∴，由a n=33，得，解得：n=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．5．（5分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=28．【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n 项和得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．7．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是5．【分析】将方程变形，代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：5【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑8．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a 的值．【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．【分析】由a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2，再由a4与2a7的等差中项为，得a4 +2a7 =，故有a7 =．求出首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式求出s5．【解答】解：数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2．再由a4与2a7的等差中项为，可得a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1=16．∴s5==31．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为4或8．【分析】分焦点在x，y轴上讨论，结合焦距为4，可求m的值．【解答】解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2=4，所以m=4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m=4，所以m=8，综上，m=4或8．故答案为：m=4或8．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生对椭圆方程的理解，属于基础题．11．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是[4，+∞）或（﹣∞，0] ．【分析】由题意可知===++2．由此可知的取值范围．【解答】解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时，+≥2，故≥4；当x•y＜0时，+≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考．12．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．13．（5分）将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=5252．【分析】根据题意，分析所给的图形可得a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），结合a1的值，可得a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99），代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析相邻两个图形的点数之间的关系：a2﹣a1=4，a3﹣a2=5，…由此我们可以推断：a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），又由a1=5，所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=5+4+5+…+102=5+=5252；即a100=5252；故答案为：5252．【点评】本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的运用，关键是依据图形，发现变化的规律．14．（5分）若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是20．【分析】用换元法，设=x，=y，则x≥0，y≥0；求出b与a的解析式，由a=+2得出y与x的关系式，再根据其几何意义求出a的最大值．【解答】解：设=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化为=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案为：20．【点评】本题考查了给出条件求最值的应用问题，主要考查了换元法和圆的方程的运用问题，考查了数形结合和运算能力，属于中档题．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．【分析】（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，由已知得a=2b，且椭圆过点（2，﹣6），由此能求出椭圆的标准的方程．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，由已知条件推导出c=b=3，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，∵长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，①∵椭圆过点（2，﹣6），∴=1，或=1，②由①②，得a2=148，b2=37或a2=52，b2=13，故所求的方程为或．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．故所求椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．16．（14分）已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，＞a n，求实数k的取值范围．（2）对于n∈N*，都有a n+1【分析】（1）将k=﹣5代入可知a n=（n﹣1）（n﹣4），进而令a n＜0可得负数项，通过配方可得最小值；＞a n化简得k＞﹣2n﹣1，进而可知k＞﹣2﹣1=﹣3．（2）通过a n+1【解答】解：（1）若k=﹣5，则a n=n2﹣5n+4=（n﹣1）（n﹣4），令a n＜0，则1＜n＜4，∴数列中第2、3项共2项为负数，∵f（x）=x2﹣5x+4是开口向上，对称轴x=的抛物线，∴当n=2或3时，a n有最小值22﹣5×2+4=﹣2；（2）依题意，a n＞a n，即（n+1）2+k（n+1）+4＞n2+kn+4，+1整理得：k＞﹣2n﹣1，＞a n，又∵对于n∈N*，都有a n+1∴k大于﹣2n﹣1的最大值，∴k＞﹣2﹣1=﹣3．【点评】本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．17．（14分）某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【分析】（1）由题目中，每件产品的销售价格为 1.5×（万元），则利润y=m[1.5×]﹣（8+16m+x），整理即可．（2）对（1）利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），利用基本不等式求最大值即可．【解答】解：（1）由题意知，每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y=m[1.5×]﹣（8+16m+x）=4+8m﹣x=﹣[+（x+1）]+29（x≥0）．（2）因为利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），所以，当x≥0时，+（x+1）≥8，∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=x+1，即x=3（万元）时，y max=21（万元）．所以，该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．【点评】本题考查了商品利润函数模型的应用，也考查了基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）的灵活运用，是中档题．目．18．（16分）（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．【分析】（1）把原不等式右边的未知项移项到左边进行合并，同时右边的式子分解因式，然后根据a﹣1大于0，a﹣1等于0及a﹣1小于0三种情况，根据不等式的基本性质把x的系数化为1，分别求出原不等式相应的解集即可；（2）解法一：分两种情况：a大于1时，根据相应的解集列出关于a的不等式组；同理a小于1时列出相应的不等式组，求出两不等式组解集的并集即可得到a的范围；解法二：把x=a2﹣4代入原不等式中化简，得到关于a的不等式，画出相应的图形，根据图形即可得到满足题意的a的取值范围．【解答】解：（1）（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a2+a﹣1）x﹣a2x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞（a﹣1）（a+2），当a＞1时，解集为{x|x＞a+2}；当a=1时，解集为∅；当a＜1时，解集为{x|x＜a+2}；（2）解法一：由题意，或，分别化为：或，解得：a＞3或﹣2＜a＜1，则实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）；解法二：将x=a2﹣4代入原不等式，并整理得：（a+2）（a﹣1）（a﹣3）＞0，根据题意画出图形，如图所示：根据图形得：实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）．【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了分类讨论及数形结合的思想，第二小题有两种解法：一种是利用转化的思想，讨论a大于1和a小于1，根据第一问求出的解集列出相应的不等式组；另一种是直接把x的值代入原不等式，借助图形来求解．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．【分析】（1）由题意可得a2﹣b2=1，代入已知点，可得a，b的方程，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到P的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，又代入点（，1），可得+=1，解方程可得a=，b=，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F（﹣1，0），设P（x，y），由PA=PF，可得=•，化简可得x2+y2=2，由c=1，即a2﹣b2=1，由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，可得b2≤2≤a2，又b=，可得≤a≤，即有离心率e=∈[，]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用方程的思想，考查轨迹方程的求法，以及椭圆和圆相交的关系，考查运算能力，属于中档题．20．（16分）已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由已知条件推导出a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），由此能证明数列{a n}为等差数列．（2）由a n=2n﹣1，知=1﹣，由此能求出所有的正整数m，使得为整数．（3）由a n=2n﹣1，知，由此利用裂项求和法结合已知条件能求出实数λ的取值范围．【解答】（1）证明：由，得，…（2分）所以，即，即（n≥2），所以a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），即a n﹣a n﹣1=2（n≥2）或a n+a n﹣1=2（n≥2），…（4分）若a n+a n﹣1=2（n≥2），则有a2+a1=2，又a1=1，所以a2=1，则a1=a2，这与数列{a n}递增矛盾，所以a n﹣a n﹣1=2（n≥2），故数列{a n}为等差数列．…（6分）（2）解：由（1）知a n=2n﹣1，所以==，…（8分）因为，所以，又2m﹣1≥1且2m﹣1为奇数，所以2m﹣1=1或2m﹣1=3，故m的值为1或2．…（10分）（3）解：由（1）知a n=2n﹣1，则，所以T n=b1+b2+…+b n==，…（12分）从而对任意n∈N*恒成立等价于：当n为奇数时，恒成立，记，则≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，当n为偶数时，恒成立．记，因为递增，所以g（n）min=g（2）=﹣40，所以λ＜﹣40．综上，实数λ的取值范围为λ＜﹣40．…（16分）【点评】本题考查等差数列的证明，考查满足条件的所有的正整数的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．二.高二数学试题（第二卷）21．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有80辆．【分析】由频率分布直方图先求出时速在区间[40，60）内的汽车的频率，由此能求出时速在区间[40，60）内的汽车数量．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10=0.4．∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200=80（辆）．故答案为：80．【点评】本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．22．（5分）若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．【分析】由甲与丙都不在第一天值班，得乙在第一天值班，由此能求出甲与丙都不在第一天值班的概率．【解答】解：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，∵甲与丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3种不同安排，∴甲与丙都不在第一天值班的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．23．（5分）已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的必要不充分条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）【分析】利用不等式的解法分别化简甲乙命题，进而判断出结论．【解答】解：命题甲：≥0，化为x（x﹣1）（x+1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．命题乙：log3（2x+1）≤0，化为0＜2x+1≤1，解得：0．则甲是乙的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24．（5分）下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是②、③．（把所有正确命题序号都填上）【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q 一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③【点评】本题考查命题的否定与命题的否命题的区别：命题的否定是将命题全盘否定，一般只将结论否定即可；二否命题是条件、结论同时否定．注意对数函数的单调性与底数的范围有关．25．（10分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k ﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k 的不等式组，解出即可．【解答】解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查一次函数以及二次函数的性质，是一道中档题．26．（10分）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．【分析】（1）甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，由此能求出抽出的2张都为A的概率．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两张都是A的方法有，由此能求出乙抽到2张A的概率．【解答】解：（1）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，∴抽出的2张都为A的概率p==．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两长都是A的方法有，∴乙抽到2张A的概率p==．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．。
2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1．直线l 过点P （﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x ﹣y ﹣1＝0C ．x ﹣y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝02．设a ∈R ，则“a ＝﹣2”是“直线l 1：ax +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +（a +1）y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．直线x4+y 2=1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1＝0B ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0C ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0D ．x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝04．已知方程x 210−t+y 2t−4=1表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（ ）A ．（4，7）B ．（7，10）C ．（4，10）D ．（4，7）∪（7，10）5．已知圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：x 2+y 2﹣8y +7＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切6．抛物线y ＝x 2上的一动点M 到直线l ：x ﹣y ﹣1＝0距离的最小值是（ ） A ．3√28B ．38C ．34D ．3√247．直线l 过抛物线y 2＝2x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2＝3，则弦AB 的长是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．88．我们把离心率为黄金分割系数√5−12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．已知圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，则|PM ||AB |的最小值为（ ） A ．4B ．2C ．3D ．510．已知圆C ：x 2+y 2＝4，直线l ：y ＝kx +m ，若当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为（ ） A ．±2 B ．±√2 C ．±√3 D ．±311．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(13，23) B ．(12，1)C ．(23，1)D ．(13，12)∪(12，1)12．曲线C 是平面内与两个定点F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）距离之积等于定长4的点的轨迹，以下说法正确的是（ ） ①曲线C 过坐标原点； ②曲线关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于2； ④曲线C 与曲线x 24+y 23=1有且仅有两个交点．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13．已知抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝﹣1，则p ＝ ．14．已知双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y ＝±√33x ，则m ＝ ．15．圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝8与y 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 ． 16．设P 为椭圆C ：x 27+y 23=1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹方程为 ．17．若直线y ＝kx ﹣1与曲线y =−√1−(x −2)2有公共点，则k 的取值范围是 ．18．在平面直角坐标系中，定义d （S ，T ）＝|x 2﹣x 1|+|y 2﹣y 1|为两点S （x 1，y 1），T （x 2，y 2）之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是 ．（填序号） ①若A （0，0），B （1，1），则d （A ，B ）＝2；②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；③原点O 与直线x ﹣y +3＝0上任意一点M 之间的折线距离d （O ，M ）的最小值为3；④原点O 与圆（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点M 之间的折线距离d （O ，M ）的最大值为6+√2． 三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（15分）在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x ﹣2y +1＝0，∠A 的平分线所在直线方程为y ＝0，若点B 的坐标为（1，2）． （1）求点A 和点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在的直线l 的方程．20．（15分）设抛物线C 的方程为x 2＝y ，点M 为直线l ：y ＝﹣m （m ＞0）上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0，−14)时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系； （2）求证：直线AB 恒过定点． 21．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，|AB |＝3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P （异于点F ），使x 轴上任意点到直线P A ，PB 的距离均相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，1），焦距为2√3．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点P （﹣2，1）作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ．当|MN |＝2时，求k 的值．2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1．直线l 过点P （﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x ﹣y ﹣1＝0C ．x ﹣y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝0解：直线l 过点P （﹣1，2），且倾斜角为45°， 则直线l 的斜率为k ＝tan45°＝1， 直线方程为y ﹣2＝1×（x +1）， 即x ﹣y +3＝0． 故选：D ．2．设a ∈R ，则“a ＝﹣2”是“直线l 1：ax +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +（a +1）y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＝﹣2时，两直线方程分别为l 1：﹣2x +2y ﹣1＝0与直线l 2：x ﹣y +4＝0满足，两直线平行，充分性成立．当a ＝1时，满足直线l 1：x +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +2y +4＝0平行，∴必要性不成立，∴“a ＝﹣2”是“直线l 1：ax +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +（a +1）y +4＝0平行”的充分不必要条件， 故选：A ． 3．直线x4+y 2=1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1＝0B ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0C ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0D ．x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0解：直线x4+y 2=1在x ，y 轴上的截距分别为4，2，即A （4，0），B （0，2）则AB 的中点坐标为（2，1），且|AB |=2√5，∴以线段AB 为直径的圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5，即x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0． 故选：B ． 4．已知方程x 210−t+y 2t−4=1表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（ ）A ．（4，7）B ．（7，10）C ．（4，10）D ．（4，7）∪（7，10）解：∵方程x 210−t+y 2t−4=1表示的曲线是椭圆，∴{10−t ＞0t −4＞010−t ≠t −4，解得4＜t ＜10且t ≠7．∴t 的取值范围为（4，7）∪（7，10）． 故选：D ．5．已知圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：x 2+y 2﹣8y +7＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2＝1，圆心为（0，0），半径r ＝1，圆C 2：x 2+y 2﹣8y +7＝0，即x 2+（y ﹣4）2＝9，圆心为（0，4），半径R ＝3， 圆心距|C 1C 2|＝4＝R +r ，两圆外切， 故选：D ．6．抛物线y ＝x 2上的一动点M 到直线l ：x ﹣y ﹣1＝0距离的最小值是（ ） A ．3√28B ．38C ．34D ．3√24解：（法一）对y ＝x 2求导可得y ′＝2x 令y ′＝2x ＝1可得x =12∴与直线x ﹣y ﹣1＝0平行且与抛物线y ＝x 2相切的切点（12，14），切线方程为y −14=x −12即x ﹣y −14=0 由两平行线的距离公式可得所求的最小距离d =|−14+1|2=3√28（法二）设抛物线上的任意一点M （m ，m 2）M 到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离d =|m−m 2−1|√2=|m 2−m+1|√2=|(m−12)2+34|√2由二次函数的性质可知，当m =12时，最小距离d =34√2=3√28故选：A ．7．直线l 过抛物线y 2＝2x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2＝3，则弦AB 的长是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8解：∵抛物线y 2＝2x ，∴p ＝1，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1+x 2+p ＝3+1＝4， 故选：A ．8．我们把离心率为黄金分割系数√5−12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解：黄金椭圆C 中，e =ca =√5−12， b 2＝a 2﹣c 2＝a 2−(√5−12)2a 2=√5−12a 2，∴b 2a 2=√5−12， ∴b 2a 2=c a，即b 2＝ac ， ∴OB 2＝OA •OF ， 即OB OA=OF OB，∴△AOB ∽△BOF ， ∴∠ABO ＝∠BFO ，∴∠ABF ＝∠ABO +∠OBF ＝90°． 故选：A ．9．已知圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，则|PM ||AB |的最小值为（ ） A ．4B ．2C ．3D ．5解：∵圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，∴（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，即圆心为（1，1），半径为2， 如图所示，连接AM ，BM ，四边形P AMB 的面积为12|PM|⋅|AB|，要使|PM ||AB |最小，则只需P AMB 的面积最小，即只需△P AM 的面积最小， ∵|AM |＝2， ∴只需|P A |最小，|AM |=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4，所以只需直线2x +y +2＝0上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离d =|2+1+2|√5=√5，此时PM ⊥l ，|P A |＝1，则此时四边形P AMB 的面积为2，即|PM ||AB |的最小值为4． 故选：A ．10．已知圆C ：x 2+y 2＝4，直线l ：y ＝kx +m ，若当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为（ ） A ．±2B ．±√2C ．±√3D ．±3解：圆心C （0，0），半径r ＝2，则圆心C 到直线l 的距离d =|m|√1+k ，设弦长为a ，则由弦长公式可得d =√r 2−(a 2)2=√4−a 24， 若a 取最小值2时，则d 取最大值√4−1=√3， 即又d =|m|√1+k ，√1+k 2≥1，故d 的最大值为|m |=√3，所以m ＝±√3，故选：C ． 11．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(13，23) B ．(12，1)C ．(23，1)D ．(13，12)∪(12，1)解：①当点P 与短轴的顶点重合时， △F 1F 2P 构成以F 1F 2为底边的等腰三角形， 此种情况有2个满足条件的等腰△F 1F 2P ； ②当△F 1F 2P 构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时， 以F 2P 作为等腰三角形的底边为例， ∵F 1F 2＝F 1P ，∴点P 在以F 1为圆心，半径为焦距2c 的圆上因此，当以F 1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时， 存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P ，在△F 1F 2P 1中，F 1F 2+PF 1＞PF 2，即2c +2c ＞2a ﹣2c ， 由此得知3c ＞a ．所以离心率e ＞13．当e =12时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠12同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e ＞13且e ≠12时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P 这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形 综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（13，12）∪（12，1）故选：D ．12．曲线C 是平面内与两个定点F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）距离之积等于定长4的点的轨迹，以下说法正确的是（ ） ①曲线C 过坐标原点； ②曲线关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于2； ④曲线C 与曲线x 24+y 23=1有且仅有两个交点．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④解：设曲线C 上的任意一点P （x ，y ），则|PF 1|•|PF 2|＝4，∴√(x +1)2+y 2•√(x −1)2+y 2=4，化为：[（x +1）2+y 2][（x ﹣1）2+y 2]﹣16＝0，①把x ＝y ＝0代入上述方程可得1﹣4＝0，此式不成立，因此曲线C 不过坐标原点，因此①不正确； ②把（﹣x ，﹣y ）代入上述方程中的（x ，y ），其方程不变，因此曲线关于坐标原点对称，因此②正确； ③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积=12|PF 1|•|PF 2|•sin ∠F 1PF 2=12×4×sin ∠F 1PF 2≤2，因此③正确； ④由曲线x 24+y 23=1，（x ∈[﹣2，2]），解得y 2＝3（1−x 24），并且代入曲线C ，化为x 2（x 2﹣32）＝0，x 2＝32舍去，∴x ＝0，解得y =±√3，可得曲线C 与曲线x 24+y 23=1有且仅有两个交点（0，±√3），因此④正确．综上可得：只有②③④正确． 故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13．已知抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝﹣1，则p ＝ 2 ． 解：由抛物线y 2＝2px ，得准线方程为x =−p2， 由题意，−p2=−1，得p ＝2． 故答案为：2．14．已知双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y ＝±√33x ，则m ＝ ﹣3 ．解：双曲线y 2+x 2m =1化为标准方程可得y 2−x 2−m =1， 所以m ＜0，双曲线的渐近线方程y ＝±√−mx ，又双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y ＝±√33x ，所以√−m=√33，解得m ＝﹣3． 故答案为：﹣3．15．圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝8与y 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 90° ． 解：当x ＝0时，得（y ﹣2）2＝4，解得y ＝0或y ＝4， 则AB ＝4﹣0＝4， 半径R =√8=2√2，∵OA 2+OB 2＝（2√2）2+（2√2）2＝8+8＝16＝（AB ）2， ∴△AOB 是直角三角形， ∴∠AOB ＝90°，即弦AB 所对的圆心角的大小为90°， 故答案为：90° 16．设P 为椭圆C ：x 27+y 23=1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹方程为 （x +2）2+y 2＝28 ．解：∵P 为椭圆C ：x 27+y 23=1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|+|PF 2|=2a =2√7，|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|+|PQ|=|F 1Q|=2√7，∴Q 的轨迹是以F 1（﹣2，0）为圆心，2√7为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为（x +2）2+y 2＝28． 故答案为：（x +2）2+y 2＝28．17．若直线y ＝kx ﹣1与曲线y =−√1−(x −2)2有公共点，则k 的取值范围是 [0，1] ．解：曲线y =−√1−(x −2)2表示圆心为（2，0），半径为1的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx ﹣1为恒过（0，﹣1）点的直线系，根据题意画出图形，如图所示：则直线与圆有公共点时，倾斜角的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．18．在平面直角坐标系中，定义d （S ，T ）＝|x 2﹣x 1|+|y 2﹣y 1|为两点S （x 1，y 1），T （x 2，y 2）之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是 ①③④ ．（填序号）①若A （0，0），B （1，1），则d （A ，B ）＝2；②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；③原点O 与直线x ﹣y +3＝0上任意一点M 之间的折线距离d （O ，M ）的最小值为3；④原点O 与圆（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点M 之间的折线距离d （O ，M ）的最大值为6+√2． 解：对于①：坐标代入d （A ，B ）＝|x 2﹣x 1|+|y 2﹣y 1|＝|0﹣1|+|0﹣1|＝2，故①对．对于②：到原点的“折线距离”不大于1的点的集合{（x ，y ）||x |+|y |≤1}，如图：构成的区域面积为2×12×2×1＝2，故②不正确．对于③：设M （x ，x +3），则d （O ，M ）＝|x |+|x +3|={2x +3，x ≥03，−3＜x ＜0−2x −3，x ≤−3，函数图像如下：则d （O ，M ）最小值为3，故③正确；对于④：因为圆（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝1表示以（2，4）为圆心，1为半径的圆，设M （x ，y ），则d （O ，M ）＝|x |+|y |＝x +y ，令z ＝x +y ，即x +y ﹣z ＝0， 所以√2≤1，解得6−√2≤z ≤6+√2，即d （O ，M ）最大值为6+√2，故④正确；故答案为：①③④．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（15分）在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x ﹣2y +1＝0，∠A 的平分线所在直线方程为y ＝0，若点B 的坐标为（1，2）．（1）求点A 和点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在的直线l 的方程．解：（1）由已知点A 应在BC 边上的高所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点，由{x −2y +1=0y =0得{x =−1y =0，故A （﹣1，0）． 由k AC ＝﹣k AB ＝﹣1，所以AC 所在直线方程为y ＝﹣（x +1），BC 所在直线的方程为y ﹣2＝﹣2（x ﹣1），由{y =−(x +1)y −2=−2(x −1)，得C （5，﹣6）． （2）由（1）知，AC 所在直线方程x +y +1＝0，所以l 所在的直线方程为（x ﹣1）﹣（y ﹣2）＝0，即x ﹣y +1＝0．20．（15分）设抛物线C 的方程为x 2＝y ，点M 为直线l ：y ＝﹣m （m ＞0）上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0，−14)时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点．解：（1）当M 的坐标为(0，−14)时，不妨设过M 点的切线方程为y =kx −14，联立{y =kx −14x 2=y，消去y 并整理得x 2−kx +14=0， 令Δ=k 2−4×14=0，解得k ＝±1，代入切线方程中，解得B(12，14)，A(−12，14)，因为AB 的中点N(0，14)，且|NA|=|NB|=|NM|=12，所以过M ，A ，B 三点的圆的圆心为N(0，14)，半径为12， 则圆的方程为x 2+(y −14)2=14．因为圆心坐标为N(0，14)，半径为12， 所以圆N 与直线l ：y =−14相切；（2）证明：已知抛物线方程为y ＝x 2，可得y ′＝2x ，不妨设切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则过点A （x 1，y 1）的切线斜率为k ＝2x 1，此时切线方程为y −x 12=2x 1(x −x 1)，即y =2x 1x −x 12， 又切线过点M （x 0，﹣m ），所以−m =2x 1x 0−x 12，①即﹣m ＝2x 1x 0﹣y 1，同理得过点B （x 2，y 2）的切线为y =2x 2x −x 22，又切线过点M （x 0，﹣m ），所以−m =2x 2x 0−x 22，②即﹣m ＝2x 2x 0﹣y 2，因为点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均满足﹣m ＝2xx 0﹣y ，所以直线AB 的方程为﹣m ＝2xx 0﹣y ，又M （x 0，﹣m ）为直线l ：y ＝﹣m （m ＞0）上任意一点，则2xx 0＝y ﹣m 对任意x 0成立，可得x ＝0，y ＝m ，故直线AB 恒过定点（0，m ）．21．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，|AB |＝3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P （异于点F ），使x 轴上任意点到直线P A ，PB 的距离均相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意得：{ 2b 2a =3，c a =12，a 2=b 2+c 2，， 解得：a =2，b =√3，c =1．所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；（ II ）依题意，若直线l 的斜率不为零，可设直线l ：x ＝my +1（m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 假设存在点P ，设P （x 0，0），由题设，x 0≠1，且x 0≠x 1，x 0≠x 2．设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1=y 1x 1−x 0，k 2=y2x 2−x 0． 因为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在x ＝my +1上，故x 1＝my 1+1，x 2＝my 2+1．而x 轴上任意点到直线P A ，PB 距离均相等等价于“PF 平分∠APB ”，继而等价于k 1+k 2＝0．则k 1+k 2=y 1x 1−x 0+y 2x 2−x 0=x 1y 2+x 2y 1−x 0(y 1+y 2)(x 1−x 0)(x 2−x 0)=2my 1y 2+(1−x 0)(y 1+y 2)(x 1−x 0)(x 2−x 0)=0． 联立{x 24+y 23=1x =my +1，消去x ，得：（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 有y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 则k 1+k 2=0=−18m−6m+6mx 0(3m 2+4)(x 1−x 0)(x 2−x 0)=−24m+6mx 0(3m 2+4)(x 1−x 0)(x 2−x 0)， 即﹣4m +mx 0＝0，故x 0＝4或m ＝0（舍）．当直线l 的斜率为零时，P （4，0）也符合题意．故存在点P （4，0），使得x 轴上任意点到直线P A ，PB 距离均相等．22．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，1），焦距为2√3．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点P （﹣2，1）作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ．当|MN |＝2时，求k 的值．解：（Ⅰ）由题意得，{b =12c =2√3，∴b ＝1，c =√3，a ＝2， ∴椭圆E 的方程为x 24+y 2＝1．（Ⅱ）设过点P （﹣2，1）的直线为y ﹣1＝k （x +2），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），联立得{y −1=k(x +2)x 24+y 21=1，即（1+4k 2）x 2+（16k 2+8k ）x +16k 2+16k ＝0， ∵直线与椭圆相交，∴Δ＝[（16k 2+8k ）]2﹣4（1+4k 2）（16k 2+16k ）＞0，∴k ＜0，由韦达定理得x 1+x 2=−16k 2+8k 1+4k 2，x 1•x 2=16k 2+16k 1+4k 2， ∵k AB =y 1−1x 1，∴直线AB 为y =y 1−1x 1x +1， 令y ＝0，则x =x 11−y 1，∴M （x 11−y 1，0），同理N （x 21−y 2，0）， ∴|MN |＝|x 11−y 1−x 21−y 2|＝|x 1−k(x 1+2)−x 2−k(x 2+2)|＝|1k （x 2x 2+2−x 1x 1+2）| ＝|1k •2(x 2−x 1)(x 2+2)(x 1+2)|＝|1k •2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]|＝|2k √(−16k 2+8k 1+4k 2)2−4(16k 2+16k)1+4k 216k 2+16k 1+4k 2−2(16k 2+8k)1+4k 2+4|＝2，∴|2k •√−64k 4|＝2，∴|√−k k|=12， ∴k ＝﹣4．。
北京市汇文中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试卷及答案
北京汇文中学2020-2021上学期期中考试高二数学一、选择题1.已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ）A. 2B. 1C.21 D. 不存在2. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ）A. 5)2()3(22=-+-y x B. 5)2()3(22=-++y x C. 25)2()3(22=-+-y xD. 25)2()3(22=-++y x3. 焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）A. 4B.94C. 1D.344. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ） A.65 B. 1 C.85D.2 5.已知抛物线x y C =2:的焦点为F ，),(00y x A 是C 上一点，045||x AF =，则0x ＝（ ） A. 1B. 2C. 4D. 86. 过点P )1,3(--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. ]6,0(πB. ]3,0(π C. ]6,0[πD. ]3,0[π7.已知抛物线24y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．12 8.直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论：① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<则所有正确结论的序号是A.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a = ；直线l 的方程为 .12. 已知F 为双曲线22:13x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______.13.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 23=上一点，△12PF F 是底角为30°的等腰三角形，则C 的离心率为___________。
高二上学期期中数学试卷含答案(共5套,北京)
北京高二年级上学期期中考试数学试卷（文科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 直线l 经过原点和点（-1，-1），则l 的倾斜角是（ ） A. 45°B. 135°C. 135°或225°D. 60°2. 点P （-1，1）关于直线ax-y+b=0的对称点是Q （3，-1），则a ，b 的值分别是（ ） A. -2，2B. 2，-2C.21，-21D.21，213. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m∥α，n⊥β，则（ ） A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m ⊥n4. 已知三条直线x=1，x-2y-3=0，mx+y+2=0交于一点，则m 的值为（ ） A. 1B. 2C. -1D. -25. 已知圆x 2+y 2-2x+4y+1=0与两坐标轴的公共点分别为A ，B ，C ，则△ABC 的面积为（ ） A. 3B. 23C. 2D. 46. 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则下列关系中不正确的是（ ）A. PA ⊥BCB. BC ⊥平面PACC. AC ⊥PBD. PC ⊥BC7. 已知过定点P （2，0）的直线l 与曲线y=22x -相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 150°B. 135°C. 120°D. 30°8. 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 1，P 2分别是线段AB ，BD 1（不包括端点）上的动点，且线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，则四面体P 1P 2AB 1的体积的最大值是（ ）A. 241B.121C.61D.21二、填空题共6小题。
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2020北京汇文中学高二（上）期中
数 学
一、选择题
1.已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ）
A. 2
B. 1
C.
2
1 D. 不存在
2. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ）
A. 5)2()3(2
2
=-+-y x
B. 5)2()3(2
2=-++y x
C. 25)2()3(2
2
=-+-y x
D. 25)2()3(2
2
=-++y x
3. 焦点在x 轴上的椭圆22
13
x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）
A. 4
B.
94 C. 1 D.3
4
4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ）
A.
65 B. 1 C.8
5
D.2 5.已知抛物线x y C =2
:的焦点为F ，),(00y x A 是C 上一点，04
5
||x AF =，则0x ＝（ ） A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
6. 过点P )1,3(--的直线l 与圆12
2=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. ]6
,
0(π
B. ]3
,
0(π
C. ]6
,
0[π
D. ]3
,
0[π
7.已知抛物线2
4y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12 8.直线1
:10l ax y a
+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论：
① 1
1,2
AOB a S ∆∀≥=
； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<
则所有正确结论的序号是
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③ 二、填空题
9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =
10. 双曲线22
1169
x y -=的渐近线方程为_________________.
11.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆2
2
(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a =_______；直线l 的方程为__________.
12. 已知F 为双曲线2
2:13
x C y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______. 13.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 2
3
=上一点，△12PF F 是底角为
30°的等腰三角形，则C 的离心率为___________。
14. 已知点1(,0)2
A -， 抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP = 三、解答题：
15.已知圆2
2
:1010340C x y x y ++++=.
（Ⅰ）试写出圆C 的圆心坐标和半径；
（Ⅱ）圆D 的圆心在直线5x =-上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程； （III ）过点(0,2)P 的直线交（Ⅱ）中圆D 于,E F 两点，求弦EF 的中点M 的轨迹方程.
16.已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.
(I)将||AB 表示为t 的函数；
(II)若||AB =AFB △的周长.
17.已知椭圆2
2:14
x W y +=，直线l 过点(0,2)-与椭圆W 交于两点,A B ，O 为坐标原点. （Ⅰ）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为
3
2
时，求线段OC 的长；
（Ⅱ）当∆OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率.
18.如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12
x
C y +=交于,P Q 两点. 过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的
另一个交点为A .
(I)求直线PA 与AQ 的斜率之积；
(II)若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.
2020北京汇文中学高二（上）期中数学
参考答案
一、选择
1.A
2.D
3.A
4.C
5.A
6.D
7.B
8.C 二、填空
9.1或-1 10.y =±3
4x
11.1
2；2x-y-1=0
12.1
13.3
4
14.√5
2
三、解答题
15.（Ⅰ）(x +5)2+(y +5)2=16，圆心(-5,-5)，半径r=4.
（Ⅱ）因为圆D 圆心在x=-5上，所以设圆D ：(x +5)2+(y −b)2=R 2， 因为圆D 与圆C 外切，所以|CD|=b+5=R+r=4+R.
因为圆D 被x 轴截得弦长为10，所以圆心D 到x 轴距离|b|=√R 2−52. 解得R=13,b=12，即圆D ：(x +5)2+(y −12)2=132 （III ）连接DM 、PM 、DP ，PM 中点为N(−5
2,7)，
因为M 为弦EF 中点，所以DM ⊥PM ，△MPD 为直角三角形，|MN |=1
2|DP |=1
2
√(−5−0)2+(12−2)2=
5√5
2
. 因为动点M 到定点N(−5
2,7)的距离为定值
5√5
2
，所以动点M 的轨迹为圆，其方程为(x +52)2+(y −7)2=
1254
.
16.（Ⅰ）{y =2x +t y 2=4x ，整理得4x 2+4(t −1)x +t 2
=0，由韦达定理可得{x 1+x 2=1−t x 1x 2=
t 2
4
. |AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 =√1+22√(x 12)212 =√5√(1−t)2−t 2=√5−10t.
（Ⅱ）若|AB |=3√5，则t=-4， |AF |+|BF |=x 1+x 2+2=7。
△AFB 周长为7+3√5.
17.（Ⅰ）因为直线l 过(0,-2)，斜率为3
2，所以l:y =3
2x −2.
联立{y =3
2x −2
x 2+4y 2
−4=0
，得到5x 2−12x +6=0.
由韦达定理，有{x 1+x 2=12
5
x 1x 2=
65
，所以C(65,−15
)， |OC |=√(65
)2+(−1
5
)2=
√37
5
. （Ⅱ）设l:y =kx −2
联立{y =kx −2
x 2+4y 2
−4=0，得到(4k 2+1)x 2−16kx +12=0 由韦达定理，有{x 1+x 2=16k
4k 2+1
x 1x 2=12
4k 2+1 O 到直线l 的距离为d =
22
，
|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√k 2+1∙√(x 1+x 2)2−4x 1x 2. S △OAB
=1
2d ·|AB |=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√
(16k)2−48(4k 2+1)
(4k 2+1)2
=
√64k 2−484k 2+1
=1. 化简得(4k 2−7)2=0，解得k =±
√7
2
，即直线l:y =
√72
x −2或y =−
√72
x −2.
18.（Ⅰ）设P (x 1,y 1),A(x 2,y 2)，联立{y =kx
x 2+2y 2
=2
，得(2k 2+1)x 2=2，所以Q (−x 1,−y 1) k PA =y 2−y 1x 2
−x 1
,k AQ =y 2+y 1x 2
+x 1
. k PA ·k AQ =y 2−y 1x 2
−x 1
·y 2+y
1x 2
+x 1
因为P,A 都在椭圆上，所以
x 1
22
+y 12
=1，
x 2
22
+y 22
=1.
k PA ·k AQ =
y 12−y 22x 12−x 2
2=
(1−
x 122)·(1−x 222)
x 12−x 2
2=12(x 2
2−x 1
2)x 12−x 2
2=−1
2
.
（Ⅱ）因为k AQ =y 2+y 1x 2
+x 1
=−1
2k PA
，又PQ ⊥PA ，即k PA =−1
k
所以k AQ =k 2，所以直线AQ ：y 1=k
2(x +x 1). 因为P 在直线y=kx 上，所以y 1=kx 1， 代入得到B 点的横坐标为x =x 1， 所以直线PB 与x 轴垂直.。