高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
解析：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。
综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。
将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。
思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。
此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是。
答案：或。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(精品)
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总例1、设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【练1】已知集合{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 。
例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围 【练2】若动点（x,y ）在曲线22214x y b+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（） （A ）()()2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（B ）()()2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（C ）244b +（D ）2b 例3、()2112x xa f x ⋅-=+是R 上的奇函数，（1）求a 的值（2）求的反函数()1f x - 【练3】函数()()111f x x x =-≥的反函数是（）A 、()2221y x x x =-+< B 、()2221y x x x =-+≥ C 、()221y x x x =-< D 、()221y x x x =-≥例4、已知函数()121x f x x-=+，函数()y g x =的图像与()11y f x -=-的图象关于直线y x =对称，则()y g x =的解析式为（） A 、()32x gx x -=B 、()21x g x x -=+C 、()12x g x x -=+D 、()32g x x=+ 【练4】已知函数y=log 2x 的反函数是y=f -1(x)，则函数y= f -1(1-x)的图象是（）例5、 判断函数()2lg 1()22x f x x -=--的奇偶性。
【练5】判断下列函数的奇偶性：①()2244f x x x =-+-()(111xf x x x+=--()1sin cos 1sin cos x x f x x x ++=+-例6、 函数()2221211log 22x x f x x x -+⎛⎫=<-> ⎪⎝⎭或的反函数为()1f x -，证明()1f x -是奇函数且在其定义域上是增函数。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B =I 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B =I知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=I 求r 的取值范围。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(1)
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B =易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由AB B =知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=求r 的取值范围。
高考数学易错题型全归纳
高考数学易错题型全归纳
高考数学易错题型有很多，这里列出了一些常见的类型：
1. 集合问题：这类问题通常涉及对集合的理解，如交集、并集、补集等。
学生容易混淆这些概念，导致错误。
2. 函数性质理解：对于函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，学生可能理解不透彻，导致在判断或应用时出错。
3. 等差数列和等比数列的性质理解：等差数列和等比数列是高中数学的重点内容，但学生容易在理解其性质和应用上出错。
4. 三角函数的性质：三角函数具有多种性质，如周期性、单调性、奇偶性等，学生可能对其中某些性质掌握不够，导致解题出错。
5. 立体几何中的空间想象：立体几何需要学生有一定的空间想象能力，对于空间中点、线、面的关系能够准确判断。
但学生往往由于缺乏这种能力而出错。
6. 解析几何中的问题：解析几何涉及直线、圆、椭圆等图形，学生可能在理解这些图形的性质和应用上出错。
7. 概率和统计问题：概率和统计是高考数学的必考内容，学生需要掌握各种概率和统计的基本概念和方法，一旦混淆就可能导致错误。
8. 不等式的性质和应用：不等式是高中数学的重要内容，但学生可能对不等式的性质和应用掌握不够，导致解题出错。
9. 数列的通项和求和公式：数列的通项和求和公式是高考数学的常见考点，学生需要准确理解和掌握这些公式，否则在解题时容易出现错误。
以上只是高考数学中可能出现的一些易错题型，实际上还有很多其他的问题，学生在备考时应全面复习，熟练掌握各种知识点，以应对各种题型。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(3)
【练30】已知函数()f x =R 试分别确定满足条件的a 的取值范围。
答案：（1）1a ≥或3a ≤-（2）31a -≤≤或1a =-【易错点31】不等式的证明方法。
学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活应用程度。
例31、已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1.求证：(a +a 1)(b +b 1)≥425.【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a +a1和 b +b 1不能同时取得等号，本题可有如下证明方法。
证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab≤41或ab ≥8.∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤41，从而得证. 证法二：(均值代换法)设a =21+t 1，b =21+t 2.∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t bb a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =21时，等号成立. 证法三：(比较法）∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222≥+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-⇒≥-⇒=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 425)1)(1(≥++b b a a 即 证法五：(三角代换法)∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，2π).425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2222222222222442222≥++≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=+-+=++=++b b a a b b a a 即得ααααααααααααααααα【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证. (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.【练31】数列{}nx 由下列条件确定：*+∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=>=N n x a x x a xn n n ,21,011（1） 证明：对于2n≥总有n x a ≥,（2）证明：对于2n ≥，总有1n n x x +≥.【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。
高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
例6、 函数 f x
2x 2
log 2 2x 1 x
1 或 x 1 的反函数为 f 1 x ，证明 f 1 x 是奇函数且在其定义域
2
2
上是增函数。
【思维分析】可求 f 1 x 的表达式，再证明。若注意到 f 1 x 与 f x 具有相同的单调性和奇偶性，只需研究
之间的转化如： A
x, y | x2 y2 4 ， B
2
x, y | x 3
2
y4
2
r
，其中 r
0,若
AB
求 r 的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合
A 表示以原点为圆心以 2 的
半径的圆，集合 B 表示以（ 3，4）为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
x1 , f x1 , x2 , f x2 连线的斜率都大于（小于）零。
（3）f x
ax b a 0, b 0 是一种重要的函数模型， 要引起重视并注意应用。 但注意本题中不能说 f x x
在
,b
a
b ,
上为增函数，在 0, b
a
a
b ,0 上为减函数 , 在叙述函数的单调区间时
a
不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”，
r 的取
【练 1】已知集合 A x | x2 4x 0 、 B x | x2 2 a 1 x a2 1 0 ，若 B A ，则实数 a
的取值范围是
。答案： a 1 或 a 1。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
解析：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。
综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。
将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。
思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。
此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是。
答案：或。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析第一部分高考函数考点易错题【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1．设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。
将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。
思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。
此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知,求的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，。
此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。
【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线上变化，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例3. 是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
高考数学易错易混易忘题分类汇总
高考易错易混易忘题分类汇总例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B xa x =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集个数？例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围。
例3、 ()2112x xa f x ⋅-=+是R 上的奇函数，（1）求a 的值（2）求的反函数()1f x -。
例4、已知函数()121x f x x-=+，函数()y g x =的图像与()11y f x -=-的图象关于直线y x =对称，则()y g x =的解析式为（）A 、()32x g x x -=B 、()21x g x x -=+C 、()12xg x x-=+ D 、()32g x x =+例5、 判断函数()2lg 1()22x f x x -=--的奇偶性。
例6、函数()2221211l o g 22x x f x x x -+⎛⎫=<-> ⎪⎝⎭或的反函数为()1f x -，证明()1f x -是奇函数且在定义域上是增函数。
例7、试判断函数()()0,0bf x a x a b x=+>>的单调性并给出证明。
例8、已知函数()3231f x a x x x =+-+上是减函数，求a 的取值范围。
例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+a1)2+(b+b1)2的最小值。
例10、是否存在实数a 使函数()2l o g a x xaf x -=在[]2,4上是增函数？若存在求出a 的值，若不存在，说明理由。
例11、已知1sin sin 3x y +=求2s in c o s y x -的最大值。
例12、数列{}n a 前n 项和s 且1111,3n n a a s +==。
（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。
例13、等差数列{}n a 的首项10a >，前n 项和s，当lm ≠时，m l s s =。
(完整版)高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-5,推荐文档
【练习58（2005浙江）如图，在三棱锥P —ABC 中，,AB BC AB BC kPA ⊥==，点O ，D 分别为AC ，PC 的中点，OP ⊥平面ABC 求证：OD//平面PAB证明：,O D Q 分别为AC 、PC 的中点//,OD PA ∴ 又PA ⊂平面,PAB,//PA PAB OD PAB OD PAB ⊂⊂∴平面平面平面【易错点59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨步太大。
例59、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11111,,C C B C C D 的中点，求证：平面MNP//平面1A BD 【易错点分析】本题容易证得MN//1A D ,MP//BD ，而直接由此得出面1//MNP A BD 面解析：连结111,,,B D B C P N Q 分别是1111,D C B C 的中点，11//,PNB D ∴11//,/B D BD PN BD ∴又11,//PN A BD PN A BD ⊄∴面平面同理：1//,MN A BD PN MN N =I 平面又1//DMN A BD ∴平面平面。
【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的条件缺一不可。
【练59】正方体1111ABCD A B C D -中，（1）M ，N 分别是棱1111,A B A D 的中点，E 、F 分别是棱1111,B C C D 的中点，求证：①E 、F 、B 、D 共面； ②平面AMN//平面EFDB ③平面11AB D //平面1C BD 证明：（1）①1111//,////,EF B D B D BD EF BD ∴Q则E 、F 、B 、D 共面。
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高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B =I 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B =I知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=I 求r 的取值范围。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
称，则 y g x 的解析式为（）
A、 g x 3 2x B、 g x 2 x C、 g x 1 x D、 g x 3
x
1 x
2 x
2 x
【易错点分析】解答本题时易由 y g x 与 y f 1 x 1 互为反函数，而认为 y f 1 x 1 的
反函数是
函数 f
x
2x2
log2 2x1
x
1 或x 2
1 2
的反函数为
f
1
x
，证明 f 1
x
是奇函数且在
其定义域上是增函数。
【思维分析】可求 f 1 x 的表达式，再证明。若注意到 f 1 x 与 f x 具有相同的单调性和奇偶性，
只需研究原函数 f x 的单调性和奇偶性即可。
2 x 1
f 1(b) a f (a) b 。
【练 6】（1）（99 全国高考题）已知 f (x) ex ex ，则如下结论正确的是（） 2
4
A、 f x 是奇函数且为增函数
B、 f x 是奇函数且为减函数
C、 f x 是偶函数且为增函数
D、 f x 是偶函数且为减函数
答案：A
（2）（2005 天津卷）设 f 1 x 是函数 f x 1 ax ax a 1 的反函数，则使 f 1 x 1 成立的 x 的 2
b a
和
b a
,
0
上分别为减函数.
【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应 引起足够重视。
（2）单调性的定义等价于如下形式： f x 在a,b 上是增函数 f x1 f x2 0 ， f x 在
x1 x2
f a,b 上是减函数
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集有多少个【易错点分析】此题由条件A B B =I 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B =I 知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=I 求r 的取值范围。
高考数学知识点易错题汇总
高考数学知识点易错题汇总高考是每个学生都要面对的重要考试，而数学作为其中的一门科目，往往是学生们心中的难题。
在高考数学中，有一些知识点常常让学生们感到头疼，不少同学在这些知识点上容易犯错。
本文将通过几个典型的数学知识点，总结一些高考易错题，帮助同学们更好地备考。
一、函数与方程1. 函数的定义域：易错点：不认真审题，未排除函数定义域中的奇点。
解析：在题目中，有时候会给出函数的表达式或图像，要求求取其定义域。
要注意，函数在定义时是有要求的，可能会有分母为零等情况，需要排除掉这些奇点。
2. 二次函数的最值：易错点：对二次函数的抛物线形状理解不透彻。
解析：求二次函数的最值，可以通过求导数或配方法得到。
注意，当二次函数系数开头是负数时，抛物线开口朝下，最值出现在抛物线的顶点。
二、概率与统计1. 条件概率的计算：易错点：未正确理解条件概率的定义和计算方法。
解析：条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
计算条件概率时，要根据给定条件将样本空间缩小，再根据条件发生的样本数除以总样本数求得。
2. 抽样与抽样分布：易错点：对抽样方法和抽样分布的理解模糊。
解析：抽样是指根据一定的设计方案从总体中随机选取样本的过程。
常见的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样等。
抽样分布是指样本统计量的分布情况，如样本均值的分布符合正态分布等。
三、数列与数列极限1. 通项公式与前n项和的计算：易错点：没有清晰掌握数列的规律，公式使用错误。
解析：数列通常是根据规律推算的，通过观察可以找到数列的递推关系。
通项公式是指通过递推关系求得数列各项的表达式。
前n项和是指数列的前n项连加的结果，可以通过把通项公式代入得到。
2. 数列极限的定义与计算：易错点：对数列收敛与发散的判断不准确，收敛性和极限值的计算错误。
解析：数列极限是指数列在无穷项时的趋势或取值，如果数列的极限存在，且有限，称该数列收敛。
计算数列的极限时，可以通过递推公式、通项公式和极限的四则运算性质等方法得到。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B =易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B =知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=求r 的取值范围。
高中高考数学易错易混易忘题分类及解析
专题 高中高考数学易错易混易忘题分类及解析第一讲 代数部分“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本专题精心挑选学生在考试中常见的易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
失分点1忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？补救训练 1 已知集合{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 。
失分点2求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围补救训练2 函数y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为__________．失分点3函数值域和范围混淆致误例3、如果函数y ＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，求实数m 的取值集合补救训练3 已知函数y ＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3，对任意实数x ,都有y>=0, 求实数m 的取值集合失分点4混淆“切点”致误例4 求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程补救训练4 已知函数y ＝2x2＋3，则它过点P(2,9)的切线方程 为____________________________．失分点5极值点概念不清致误例5 已知f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.补救训练5 求函数f(x)＝x 4－x 3的极值，并说明是极小值还是极大值．失分点6忽视基本不等式的应用条件致误例6 函数y ＝x ＋2x －1的值域是______．补救训练6 函数y ＝x2＋5x2＋4的最小值为________．失分点7忽视三角函数值对角的范围的限制致误例7 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2， 求cos β.补救训练7 已知α、β∈(0，π2)，cos α＝55，且cos β＝1010，求α＋β.失分点8解三角形时，忽视分类讨论而致误例8 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝ 3.(1)若C ＝π3，求A ； (2)若A ＝π6，求b.补救训练8 在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．失分点9忽视向量共线致误例9 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．补救训练9 设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3.若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的范围．失分点10数列由Sn 求通项忽略对n=1的检验致误例10 已知数列{an}的前n 项之和为Sn ＝n2＋n ＋1，则数列{an}的通项公式为__________．补救训练10已知数列{an}的首项为a1＝3，通项an 与前n 项和Sn 之间满足2an ＝Sn·Sn－1(n≥2)． (1)求证：{1Sn}是等差数列，并求其公差； (2)求数列{an}的通项公式．失分点11忽视对等比数列中公比q=1讨论致误例11 设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________．补救训练11 已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的取值范围_________．失分点12 忽视等比数列中的隐含条件致误例12 各项均为实数的等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝_____.补救训练12 已知x ，y∈N*，若x,42，y 成等比数列，则x ＋y 的最小值是________．失分点13对数列的递推关系转化不当致误例13 已知函数f(x)＝2x x ＋1，数列{an}满足a1＝23，an ＋1＝f(an), bn ＝an1－an，n∈N*，求数列{bn}的通项公式．补救训练13 已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，x≠0，恒有f(1x )＝x 成立，数列{an}、{bn}满足a 1＝1，b 1＝1，且对任意n∈N*，均有a n ＋1＝anf(an)f(an)＋2，b n ＋1－b n ＝1an.(1)求函数f(x)的解析式； (2)求数列{a n }、{b n }的通项公式；专题 高中高考数学易错易混易忘题分类及解析第二讲 几何部分失分点14对线面关系定理条件把握不准致误例14已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：(1)若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；(2)若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；(3)若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；(4)若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β；(5)若m、n为异面直线，则存在平面α过m且使n⊥α.其中正确的命题序号是______ __．补救训练14已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是______ __．（理科）失分点15混淆空间角与向量所成角而致误例15如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点．(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值；(2)AP与平面ABCD所成角的正弦值．补救训练15已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC＝2AB＝2PA＝6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示．(1)求证：AN∥平面MBD；(2)求异面直线AN与PD所成角的余弦值；(3)求二面角M—BD—C的余弦值．失分点16忽视对直线斜率为零或,斜率不存在等特殊情况的讨论致误例16 a 为何值时，(1)直线l1：x ＋2ay －1＝0与直线l2：(3a －1)x －ay －1＝0平行？(2)直线l3：2x ＋ay ＝2与直线l4：ax ＋2y ＝1垂直？补救训练16与抛物线y 2＝2x 有且仅有一个交点，并且过点(0,1)的直线方程为___________．失分点17忽视曲线存在的条件致误例17 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a 的取值范围．补救训练17已知方程x25－2m ＋y2|m|－1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是__________．失分点18考虑不周全忽视特殊情况致误例18 双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________．补救训练18已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (b>a>0)，直线l 过点A(a,0)和B(0，b)，且原点到直线l 的距离为34c (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为______ __．失分点19忽视限制条件致误例19已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______ __．补救训练19如图所示，过点P(0，－2)的直线l交抛物线y2＝4x于A，B两点，求以OA,OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程．失分点20 答题中的各种不规范导致失分在高考试卷的批阅中，学生因答题不规范而造成的丢分现象是屡见不鲜的．要在高考中不丢分或少丢分，考生们必须从答题规范上下功夫．这里不再一一举例，仅把常见的几种情况罗列出来，希望在解答试题时注意。
(名师推荐)高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B =易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B =知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=求r 的取值范围。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何 解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学 生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、 难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在， 另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风 破浪，实现自已的理想报负。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
【练 1】已知集合 A x | x2 4x 0 、 B x | x2 2a 1 x a2 1 0 ，若 B A，
则实数 a 的取值范围是
。答案： a 1 或 a 1。
【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例 2、已知 x 2 2 y2 1,求 x2 y2 的取值范围
函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。
解析：由于 f x f x 即函数 f x 为奇函数，因此只需判断函数 f x 在 0, 上的单调性
即 可 。 设 x1 x2 0
，
f
x1
f
x2
x1
x2
ax1x2 b x1x2
由 于 x1 x2 0
故当
x1, x2
b a
1
y 1
y 由于
y
1故 2x
1 1
y y
，
x
1 y
log21 y
，而
f
x
2x 2x
1 1
1
2 2x
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高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析"会而不对,对而不全"一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素,成为学生挥之不去的痛,如何 解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用.本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学 生在考试中常见的 66 个易错,易混,易忘典型题目,这些问题也是高考中的热点和重点,做到力避偏,怪, 难,进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习,一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在, 另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱,以达到授人以渔的目的,助你在高考中乘风 破浪,实现自已的理想报负. 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面. 例1, 设A = { x | x 2 8 x + 15 = 0} , B = { x | ax 1 = 0} ,若 A ∩ B = B ,求实数 a 组成的集合的子集有多少个? 【易错点分析】此题由条件A ∩ B = B 易知 B A ,由于空集是任何非空集合的子集,但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象. 解析:集合 A 化简得A = {3,5} ,由 A ∩ B = B 知 B A 故(Ⅰ)当 B = φ 时,即方程 ax 1 = 0 无≠φ时,即方程 ax 1 = 0 的解为 3 或 5,代入得 a解,此时 a=0 符合已知条件(Ⅱ)当 B=1 1 或 . 3 5综上满足条件的 a 组成的集合为 0, 1 1 , ,故其子集共有 23 = 8 个. 3 5 B时,要树立起分类讨论的数学思想,【知识点归类点拔】 (1)在应用条件 A∪B=B A∩B=A A 将集合A是空集Φ的情况优先进行讨论.(2)在解答集合问题时,要注意集合的性质"确定性,无序性,互异性"特别是互异性对集合元素的限制. 有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质,此外,解题过程中要注意集合语言(数学语 言)和自然语言之间的转化如:A = {( x, y ) | x 2 + y 2 = 4} ,2B={( x, y ) | ( x 3)2+ ( y 4) = r 2},其中 r> 0 ,若 A ∩ B = φ 求 r 的取值范围.将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是:集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆,集合 B 表示以(3,4) 为圆心,以 r 为半径的圆,当两圆无公共点即两圆相离或内含时,求半径 r 的取值范围.思维马上就可利 用两圆的位置关系来解答.此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用. 【练 1】已知集合A = { x | x 2 + 4 x = 0} , B = { x | x 2 + 2 ( a + 1) x + a 2 1 = 0} ,若 B A ,.答案: a则实数 a 的取值范围是= 1 或 a ≤ 1 .【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则.例 2,已知( x + 2)2+y2 = 1 ,求 x 2 + y 2 的取值范围 4【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解,但极易忽略 x,y 满足( x + 2)2y2 + = 1 这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大. 41解析:由于( x + 2) +2y2 y2 = 1 得(x+2)2=14 4当 x=-≤1,∴-3≤x≤-1 从而 x +y =-3x -16x-12=222+28 2 2 因此当 x=-1 时 x +y 有最小值 1, 38 28 28 2 2 2 2 时, +y 有最大值 x . x +y 的取值范围是[1, 故 ] 3 3 3【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件( x + 2) +2y2 = 1对 4x,y 的限制,显然方程表示以(-2,0)为中心的椭圆,则易知-3≤x≤-1, 2 ≤ 转化为三角最值求解.y ≤ 2 .此外本题还可通过三角换元【练 2】 (05 高考重庆卷)若动点(x,y)在曲线 ()x2 y 2 + = 1 ( b > 0 ) 上变化,则 x 2 + 2 y 的最大值为 4 b2 b2 b2 + 4 ( 0 < b < 4) b2 + 4 ( 0 < b < 2) (B) 4 (C) + 4 (D) 2b (A) 4 4 2b ( b ≥ 4 ) 2b ( b ≥ 2 ) 答案:A 【易错点 3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域.例3,f ( x) =a 2x 1 1 是 R 上的奇函数, (1)求 a 的值(2)求的反函数 f ( x ) 1 + 2x【易错点分析】求解已知函数的反函数时,易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错. 解析: (1)利用f ( x ) + f ( x ) = 0 (或 f ( 0 ) = 0 )求得 a=1.2x 1 1+ y x x ,设 y = f ( x ) ,则 2 (1 y ) = 1 + y 由于 y ≠ 1 故 2 = , x 2 +1 1 y1+ x 2x 1 2 = 1 x ∈ ( 1,1) 所以 f 1 ( x ) = log 2 1 x ( 1 < x < 1) 2x + 1 2 +1(2)由 a= 1即 f ( x) =1+ yx = log 2 1 y ,而 f ( x ) =【知识点归类点拔】 (1)在求解函数的反函数时,一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函 数的解析式后表明(若反函数的定义域为 R 可省略) . (2)应用f 1 (b) = a f (a ) = b 可省略求反函数的步骤,直接利用原函数求解但应注意其自变量和 f ( x ) = x 1 + 1( x ≥ 1) 的反函数是()B,函数值要互换. 【练 3】(2004 全国理)函数A,y = x 2 2 x + 2 ( x < 1) y = x 2 2 x ( x < 1)y = x 2 2 x + 2 ( x ≥ 1)C,D,y = x 2 2 x ( x ≥ 1)2答案:B 【易错点 4】求反函数与反函数值错位 例 4, 已知函数 称,则 A, gf ( x) =1 2x 1 , 函数 y = g ( x ) 的图像与 y = f ( x 1) 的图象关于直线 y = x 对 1+ x 2 x 1+ x 1 x 2+ xy = g ( x ) 的解析式为()( x) =3 2x xB, g( x) =C, g( x) =D, g( x) =3 2+ x【易错点分析】解答本题时易由y = g ( x ) 与 y = f 1 ( x 1) 互为反函数,而认为 y = f 1 ( x 1) 的1 2 ( x 1) 1 + ( x 1) = 3 2x 而错选 A. x再求反函数是y = f ( x 1) 则 y = g ( x ) = f ( x 1) = =f ( x) =解析:由1 ( x 1) 2 x 1 2x 1 x 1 1 得 f ( x) = 从而 y = f ( x 1) = = 1+ x 2+ x 2 + ( 1) 1 + x2 x .正确答案:B 1+ xy = f 1 ( x 1) 的反函数得 g ( x ) =【知识点分类点拔】函数y = f 1 ( x 1) 与函数 y = f ( x 1) 并不互为反函数,他只是表示 f 1 ( x ) y = f ( x 1) 则 f 1 ( y ) = x 1 ,中 x 用 x-1 替代后的反函数值. 这是因为由求反函数的过程来看: 设x = f 1 ( y ) + 1 再将 x, 互换即得 y = f ( x 1) 的反函数为 y = f 1 ( x ) + 1 , y = f ( x 1) 的 y 故反函数不是y = f 1 ( x 1) ,因此在今后求解此题问题时一定要谨慎.-1 -1【练 4】 (2004 高考福建卷)已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f (x),则函数 y= f (1-x)的图象是()答案:B 【易错点 5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件:定义域关于原点对称. 例5, 判断函数f ( x) =lg (1 x 2 ) x2 2的奇偶性.【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域,而按如下步骤求解:f ( x) =lg (1 x 2 ) x+2 2≠ f ( x) 从3而得出函数f ( x ) 为非奇非偶函数的错误结论.1 x 2 > 0 解析:由函数的解析式知 x 满足 即函数的定义域为 ( 1, 0 ) ∪ ( 0,1) 定义域关于原点对称, x 2 ≠ ±2 在定义域下f ( x) =lg (1 x 2 ) x易证f ( x ) = f ( x ) 即函数为奇函数.【知识点归类点拔】 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件,因此在判断 函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域. (2)函数f ( x ) 具有奇偶性,则 f ( x ) = f ( x ) 或 f ( x ) = f ( x ) 是对定义域内 x 的恒等式.常常利用这一点求解函数中字母参数的值. 【练 5】判断下列函数的奇偶性:①f ( x ) = 4 x 2 + x 2 4 ② f ( x ) = ( x 1)1+ x 1 x③f ( x) =1 + sin x + cos x 1 + sin x cos x答案:①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系.从而导致解题过程繁锁.例6,函数f ( x ) = log 22 x2 2 x +11 1 1 1 证明 f ( x ) 是奇函数且在 x < 或x > 的反函数为 f ( x ) , 2 2 其定义域上是增函数. 【思维分析】可求 只需研究原函数f 1 ( x ) 的表达式,再证明.若注意到 f 1 ( x ) 与 f ( x ) 具有相同的单调性和奇偶性,f ( x ) 的单调性和奇偶性即可.2 x 1 2 x +1 2 x 1解析:f ( x ) = log 2 2 x +1 = log 2 2 x 1 = log 2 2 x +1 = f ( x ) ,故 f ( x ) 为奇函数从而 f 1 ( x ) 为 = 2x 1 2 1 1 t = 1 在 ∞, 和 , +∞ 上均为增函数且 y = log 2 为增函数, 2x +1 2x + 1 2 2 奇函数. 又令 t故1 1 f ( x ) 在 ∞, 和 , +∞ 上分别为增函数.故 f 1 ( x ) 分别在 ( 0, +∞ ) 和 ( ∞, 0 ) 上分别为 2 2 增函数. 【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论: (1)定义域上的单调函数必有反函数. (2)奇函数 的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性. (3)定义域为非单元素的偶函数不存在反函数. (4)周期函数不存在反函数(5)原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换.即f 1 (b) = a f (a ) = b .【练 6】 (99 全国高考题)已知 (1)e x e x f ( x) = 2,则如下结论正确的是()4A,f ( x ) 是奇函数且为增函数 f ( x ) 是偶函数且为增函数f 1 ( x ) 是函数 f ( x ) =B,f ( x)是奇函数且为减函数C,D,f ( x ) 是偶函数且为减函数答案:A (2) (2005 天津卷) 设1 x ( a a x ) ( a > 1) 的反函数,则使 f 1 ( x ) > 1 成立的 x 的 2取值范围为()A, (a2 1 , +∞) 2aB, ( ∞,a2 1 ) 2aC, (a2 1 , a) 2aD, ( a, +∞ )2 答案:A ( a > 1 时, f ( x ) 单调增函数,所以 f 1 ( x ) > 1 f f 1 ( x ) > f (1) x > f (1) = a 1 .) 2a()【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发,注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则. 例 7,试判断函数f ( x ) = ax +b ( a > 0, b > 0 ) 的单调性并给出证明. x【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答.特别注意定义x1 ∈ D, x2 ∈ D f ( x1 ) > f ( x2 ) ( f ( x1 ) < f ( x2 ) ) 中的 x1 , x2 的任意性.以及函数的单调区间必是函数定义域的子集,要树立定义域优先的意识. 解析:由于f ( x ) = f ( x ) 即函数 f ( x ) 为奇函数,因此只需判断函数 f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上的单调性x1 > x2 > 0,即可.设f ( x1 ) f ( x2 ) = ( x1 x2 )ax1 x2 b x1 x2由于x1 x2 > 0故当 b x1 , x2 ∈ , + ∞ a 函数时 b f ( x1 ) f ( x2 ) > 0 ,此时函数 f ( x ) 在 , + ∞ 上增函数,同理可证 a b b f ( x ) 在 0, 上为减函数.又由于函数为奇函数,故函数在 , 0 为减函数,在 a a b b b ∞, 为增函数.综上所述:函数 f ( x ) 在 ∞, 和 a , + ∞ 上分别为增函数,在 a a b b 0, 和 , 0 上分别为减函数. a a 【知识归类点拔】 (1)函数的单调性广泛应用于比较大小,解不等式,求参数的范围,最值等问题中,应 引起足够重视. (2)单调性的定义等价于如下形式:f ( x ) 在 [ a, b] 上是增函数 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2> 0 , f ( x) 在[ a, b] 上是减函数 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2< 0 ,这表明增减性的几何意义:增(减)函数的图象上任意两5点( x , f ( x ) ) , ( x , f ( x ) ) 连线的斜率都大于(小于)零.1 1 2 2(3)f ( x ) = ax +b ( a > 0, b > 0 ) 是一种重要的函数模型,要引起重视并注意应用.但注意本题中不 x能说 b f ( x ) 在 ∞, ∪ a b b b 在 , + ∞ 上为增函数, 0, ∪ , 0 上为减函数,在叙 a a a f ( x ) = ax + 1 x ( a > 0 ) (1)用单调性的定义判断函数 f ( x ) 在 ax述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号"∪"和"或", 【练 7】 (1) (潍坊市统考题)(2)设 f ( x ) 在 0 < x ≤ 1 的最小值为 g ( a ) ,求 y = g ( a ) 的解析式. ( 0, +∞ ) 上的单调性. 1 2 ( a ≥ 1) 1 1 a 答案: (1)函数在 , +∞ 为增函数在 0, 为减函数. (2) y = g ( a ) = a a a ( 0 < a < 1) (2) (2001 天津) a 设> 0 且 f ( x) =ex a + a ex为 R 上的偶函数.1) a 的值 试判断函数在 ( 求 (2)( 0, +∞ )上的单调性并给出证明. 答案: (1) a= 1 (2)函数在 ( 0, +∞ ) 上为增函数(证明略)【易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用,导致错误 结论. 例 8, (2004 全国高考卷)已知函数 【易错点分析】f ( x ) = ax 3 + 3x 2 x + 1 上是减函数,求 a 的取值范围.f ′ ( x ) < 0 ( x ∈ ( a, b ) ) 是 f ( x ) 在 ( a, b ) 内单调递减的充分不必要条件,在解题过程 f ( x ) = x 3 在 R 上递减,但 f ′ ( x ) = 3 x 2 ≤ 0 . f ′ ( x ) = 3ax 2 + 6 x 1 ( 1 ) 当 f ′ ( x ) < 0故 时,中易误作是充要条件,如 解析:求函数的导数f ( x)是减函数,则f ′ ( x ) = 3ax 2 + 6 x 1 < 0 ( x ∈ R )a < 0 < 03解 得a < 3.( 2 ) 当a = 3时 ,1 8 f ( x ) = 3 x + 3 x x + 1 = 3 x + 易知此时函数也在 R 上是减函数. (3)当 a > 3 时, 3 9 3 2在 R 上存在一个区间在其上有 的取值范围是f ′ ( x ) > 0 ,所以当 a > 3 时,函数 f ( x ) 不是减函数,综上,所求a( ∞, 3] .f ( x ) 可导, 其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明: f ′( x ) > 0 ①6【知识归类点拔】 若函数与f (x) 为增函数的关系: f ′( x) > 0 能推出 f (x) 为增函数,但反之不一定.如函数 f ( x) = x 3 在(∞,+∞) 上 单 调 递 增 , 但 f ′( x) ≥ 0 , ∴ f ′( x) > 0 是 f (x) 为 增 函 数 的 充 分 不 必 要 条 件 . ② f ′( x) ≠ 0 时, f ′( x) > 0 与 f (x) 为增函 数的关 系:若 将 f ′( x) = 0 的根作 为分界 点,因 为规定 f ′( x) ≠ 0 ,即抠去了分界点,此时 f (x) 为增函数,就一定有 f ′( x) > 0 .∴当 f ′( x) ≠ 0 时, f ′( x) > 0 是 f (x) 为增函数的充分必要条件. f ′( x) ≥ 0 与 f (x) 为增函数的关系: f (x) 为增函数, ③一定可以推出f ′( x) ≥ 0 ,但反之不一定,因为 f ′( x) ≥ 0 ,即为 f ′( x) > 0 或 f ′( x) = 0 .当函数在 f ′( x) = 0 ,则 f (x) 为常数,函数不具有单调性.∴ f ′( x) ≥ 0 是 f (x) 为增函数的某个区间内恒有必要不充分条件.函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上 三个关系,用导数判断好函数的单调性.因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单 调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题.但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理. 因此本题在第一步后再对 a 维的严密性. 【练 8】 (2003 新课程)函数 (1) A, b ≥ 0 答案:A (2) 是否存在这样的 K 值, 使函数 上递增? 答案: k 在 B, b ≤ 0 C, b= 3 和 a > 3 进行了讨论,确保其充要性.在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多,这需要同学们在学习过程中注意思y = x 2 + bx + c ( x ∈ ( 0, +∞ ) ) 是是单调函数的充要条件是()D, b < 0>0f ( x ) = k 2 x4 2 3 1 x kx 2 + 2 x + 在 (1, 2 ) 上递减, ( 2, +∞ ) 在 3 2=1 . (提示据题意结合函数的连续性知 f ′ ( 2 ) = 0 ,但 f ′ ( 2 ) = 0 是函数在 (1, 2 ) 上递减, 2) ( 2, +∞ ) 上递增的必要条件,不一定是充分条件因此由 f ′ ( 2 ) = 0 求出 K 值后要检验.【易错点 9】应用重要不等式确定最值时,忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量 值是否在定义域限制范围之内. 例 9, 已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+1 1 ) +(b+ ) 的最小值. a b2 2错解 :(a+ 值是 81 1 1 1 ) +(b+ ) =a +b + 2 + 2 a b a b2 2 2 2+4≥2ab+1 2 +4≥4 ab ab ab+4=8∴(a+1 1 ) +(b+ a b2) 的最小2【易错点分析】 上面的解答中,两次用到了基本不等式 a +b ≥2ab,第一次等号成立的条件是 a=b= 二次等号成立的条件 ab=221 ,第 21 ,显然,这两个条件是不能同时成立的.因此,8 不是最小值. ab7解析:原式= a +b +1 1 1 1 1 1 2 + 2 +4=( a +b )+( 2 + 2 )+4=[(a+b) -2ab]+ [( + ) ]+4 2 a b ab a b a b 1 a+b 1 1 1 1 1 )= 得:1-2ab≥1- = ,且 2 2 ≥16,1+ 2 2 ≥17 =(1-2ab)(1+ 2 2 )+4 由 ab≤( 2 4 2 2 a b a b a b 1 25 1 1 1 25 ∴原式≥ ×17+4= (当且仅当 a=b= 时,等号成立)∴(a+ ) +(b+ ) 的最小值是 . 2 2 2 a b 22 2 2 2 2 2 2 2 2【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时,要注意它的三个前提条件缺一不可即"一正,二定,三 相等" ,在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内. 【练 9】 全国卷文 22 理 22) 乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地, (97 甲, 速度不得超过 c km/h , 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km/h)的平 方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1) (2) 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?答案为: (1) y=a s ( bv2 + a ) ( 0 < v ≤ c )(2)使全程运输成本最小,当 b v≤c 时, 行驶速度 v=a b;当a b>c 时,行驶速度 v=c.【易错点 10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时,没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函 数的真数的限制条件. 例 10,是否存在实数 a 使函数 明理由. 【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法,在解题过程中易忽略对数 函数的真数大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩大. 解析:函数f ( x ) = log a ax2x在[ 2, 4] 上是增函数?若存在求出 a 的值,若不存在,说f ( x ) 是由 φ ( x ) = ax 2 x 和 y = log aφ ( x ) 复合而成的,根据复合函数的单调性的判断方f ( x ) = log a ax2法(1)当 a>1 时,若使x在[ 2, 4] 上是增函数,则 φ ( x ) = ax 2 x 在 [ 2, 4] 上是增函21 ≤2 ax x 数且大于零.故有 2a 解得 a>1. (2)当 a<1 时若使 f ( x ) = log a 在 [ 2, 4] 上是增 φ ( 2 ) = 4a 2 > 0 1 ≥4 函数,则 φ ( x ) = ax x 在 [ 2, 4] 上是减函数且大于零. 2a 不等式组无解.综上 φ ( 4 ) = 16a 4 > 0 2所述存在实数 a>1 使得函数f ( x ) = log a ax2x在[ 2, 4] 上是增函数【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如:一次函数的单调性取决于一次项系数的符号,二 次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置,指数函数,对数函数的单调性决定于其底数的 范围 (大于 1 还是小于 1) 特别在解决涉及指, , 对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想 (对 数型函数还要注意定义域的限制) . 8【练 10】 (黄岗三月分统考变式题)设 a (1) 间. 答案:当 0> 0 ,且 a ≠ 1 试求函数 y = log a 4 + 3 x x 2 的的单调区3 3 3 < a < 1 ,函数在 1, 上单调递减在 , 4 上单调递增当 a > 1 函数在 1, 上单调 2 2 2 递增在3 2 , 4 上单调递减. 1 f ( x ) = log a ( x 3 ax ) ( a > 0, a ≠ 1) 在区间 ( ,0) 内单调递增,则 a 的 2 3 9 9 B, [ ,1) C, ( , +∞) D, (1, ) 4 4 4(2) (2005 高考天津)若函数 取值范围是()A, [ 答案: (记 g B.1 ,1) 4则 要使得 f ( x ) 是增函数, 则需有 g ' ( x ) > 0 ( x ) = x3 ax , g ' ( x ) = 3x 2 a 当 a > 1 时,23 1 恒成立,所以 a < 3 = .矛盾.排除 C,D 当 0 < a < 1 时,要使 2 4 成立,所以 a > 3 = .排除 A) 4 2 【易错点 11】 用换元法解题时,易忽略换元前后的等价性. 12f ( x ) 是函数,则需有 g ' ( x ) < 0 恒31 2 求 sin y cos x 的最大值 3 1 【易错点分析】此题学生都能通过条件 sin x + sin y = 将问题转化为关于 sin x 的函数,进而利用换 3 元的思想令 t = sin x 将问题变为关于 t 的二次函数最值求解.但极易忽略换元前后变量的等价性而造成例 11,已知 sin x + siny=错解, 解 析 : 由 已 知 条 件 有 siny=2 ≤ sin x ≤ 1 3, 而1 1 sin x 且 sin y = sin x ∈ [ 1,1] ( 结 合 sin x ∈ [ 1,1] ) 得 3 3 1 2 sin y cos 2 x = sin x cos 2 x = = sin 2 x sin x 令 3 3即2 2 2 2 t = sin x ≤ t ≤ 1 则 原 式 = t 2 t ≤ t ≤ 1 根 据 二 次 函 数 配 方 得 : 当 t = 3 3 3 3 sin x = 2 4 时,原式取得最大值 . 3 9【知识点归类点拔】"知识"是基础,"方法"是手段,"思想"是深化,提高数学素质的核心就是提高 学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是"能力",解数学题时,把某个式子看成一 个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和 设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标 准型问题标准化,复杂问题简单化,变得容易处理.换元法又称辅助元素法,变量代换法.通过引进新的 变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的 形式,把复杂的计算和推证简化. 【练 11】 (高考变式题)设 a>0,000 求 f(x)=2a(sinx+cosx)-sinxcosx-2a 的最大值和 (1)29最小值.答案:f(x)的最小值为-2a -221 2 ) (0 < a < 1 2 2 2 a- ,最大值为 2 1 2 2 2a + 2 2 a 2 ( a ≥ 2 ) (2)不等式 x >ax+ 答案: a3 的解集是(4,b),则 a=________,b=_______. 21 = , b = 36 (提示令换元 x = t 原不等式变为关于 t 的一元二次不等式的解集为 2, b 8())【易错点 12】已知 Sn 求 an 时, 易忽略 n=1的情况. 例 12, (2005 高考北京卷)数列{an } 前 n 项和 sn 且 a1 = 1, an+1 =1 sn . (1)求 a2 , a3 , a4 的值及数列 3{an } 的通项公式.【易错点分析】此题在应用 sn 与 an 的关系时误认为 an 的情况的验证.易得出数列= sn sn 1 对于任意 n 值都成立,忽略了对 n=1{an } 为等比数列的错误结论.解析:易求得1 4 16 1 1 a2 = , a3 = , a4 = . 由 a1 = 1, an +1 = sn 得 an = sn 1 ( n ≥ 2 ) 故 3 9 27 3 3 1 1 1 4 1 an +1 an = sn sn 1 = an ( n ≥ 2 ) 得 an +1 = an ( n ≥ 2 ) 又 a1 = 1 ,a2 = 故该数列从第 3 3 3 3 3 1( n = 1) 二项开始为等比数列故 an = 1 4 n 2 . ( n ≥ 2) 3 3 s1 ( n = 1) = 利用两者之间的关系 sn sn 1 ( n ≥ 2 ) 【知识点归类点拔】对于数列 an 与 sn 之间有如下关系: an可以已知 sn 求 an . 但注意只有在当 a1 适合 an 的形式. 【练 12】 (2004 全国理) 已知数列 则数列= sn sn 1 ( n ≥ 2 ) 时两者才可以合并否则要写分段函数 = a1 + 2a2 + 3a3 + … + ( n 1) an 1 ( n ≥ 2 ){an } 满足 a1 = 1, an.{an } 的通项为1( n = 1) 答案: (将条件右端视为数列 {nan } 的前 n-1 项和利用公式法解答即可) an = n ! ( n ≥ 2) 2【易错点 13】利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子 集(从 1 开始) 10例 13,等差数列{an } 的首项 a1 > 0 ,前 n 项和 sn ,当 l ≠ m 时, sm = sl .问 n 为何值时 sn 最大?【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数,可将问题转化为求解关于 n 的二次函数的最大 值,但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件.解析:由题意知 sn =f ( n ) = na1 +n ( n 1)2d=d 2 d n + a1 n 此函数是以 2 2 n 为变量的二次函数,因为 a1> 0 ,当 l ≠ m 时, sm = sl 故 d < 0 即此二次函数开口向下,故由 f ( l ) = f ( m ) 得当l+m l+m + 时 f ( x ) 取得最大值,但由于 n ∈ N ,故若 l + m 为偶数,当 n = 时, sn 最大. 2 2 l + m ±1 当 l + m 为奇数时,当 n = 时 sn 最大. 2 x=【知识点归类点拔】数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集(从 1 开始)上 的函数,因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题.特别的等差数列的前 n 项和公 式是关于 n 的二次函数且没有常数项, 反之满足形如 sn= an 2 + bn 所对应的数列也必然是等差数列的前n 项和.此时由sn s = an + b 知数列中的点 n, n 是同一直线上,这也是一个很重要的结论.此外形如 n n前 n 项和 sn= ca n c 所对应的数列必为一等比数列的前 n 项和.【练 13】 (2001 全国高考题)设 结论错误的是()A, d{an } 是等差数列, sn 是前 n 项和,且 s5 < s6 , s6 = s7D, s6 和 s7 均为 sn 的最大值.> s8 ,则下列< 0 B, a7 = 0 C, s9 > s5答案:C(提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项和关于 n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答) 【易错点 14】解答数列问题时没有结合等差,等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐. 例 14,已知关于的方程 x2 3 x + a = 0 和 x 2 3 x + b = 0 的四个根组成首项为a + b 的值.何排列的. 解析:不妨设3 的等差数列,求 4【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件,结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如3 2 是方程 x 3 x + a = 0 的根,由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程 42 x 2 3 x + a = 0 的另一根是此等差数列的第四项, 而方程 x 3 x + b = 0 的两根是等差数列的中间两项,根据等差数列知识易知此等差数列为:3 57 9 27 35 31 , , 故a = ,b = 从而 a + b = . 4 4, 4 4 16 16 8【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面,有解题中充分运用数列的性 质往往起到事半功倍的效果.例如对于等差数列{a n },若 n + m = p + q ,则 a n + a m= a p + aq ;11对于等比数列{a n },若 n + m = u + v ,则 a n a m= a u a v ;若数列 {a n }是等比数列, S n 是其前n项的和, k ∈ N * ,那么 S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 成等比数列;若数列 项的和, k{a n }是等差数列, S n 是其前 n∈ N * ,那么 S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 成等差数列等性质要熟练和灵活应用.2【练 14】 (2003 全国理天津理)已知方程 x 为 2 x + m = 0 和 x 2 2 x + n = 0 的四个根组成一个首项B,1 的等差数列,则 m n 4=()A,13 4C,1 2D,3 8答案:C 【易错点 15】用等比数列求和公式求和时,易忽略公比q=1的情况 例 15,数列 {a n } 中, a1 (I)求使 a n a n +1= 1 , a 2 = 2 ,数列 {a n a n+1 } 是公比为 q ( q > 0 )的等比数列.(II)求数列 {a n } 的前 2 n 项的和 S 2 n . + a n +1 a n + 2 > a n + 2 a n +3 成立的 q 的取值范围;【易错点分析】对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况,造成概念性错误.再者学生没有从 定义出发研究条件数列 {a n a n+1 } 是公比为 q ( q > 0 )的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口.使思维受阻. 解: (I)∵数列 {a n 由 a n a n +1 a n+1 } 是公比为 q 的等比数列,∴ a n+1 a n+ 2 = a n a n +1 q , a n+ 2 a n+ 3 = a n a n +1 q 2 ,+ a n +1 a n+ 2 > a n + 2 a n +3 得 a n a n +1 + a n a n+1 q > a n a n+1 q 2 1 + q > q 2 ,即q2 q 1 < 0 ( q > 0 ) ,解得 0 < q <1+ 5 2.(II) 由数列 {a n a n+1 } 是公比为 q 的等比数列,得a n +1a n + 2 a = q n+ 2 = q ,这表明数列 {a n } 的 a n a n+1 an = 1 , a 2 = 2 ,∴当 q ≠ 1 时,所有奇数项成等比数列,所有偶数项成等比数列,且公比都是 q ,又 a1S 2 n = a1 + a 2 + a 3 + a 4 + + a 2 n 1 + a 2 n = (a1 + a 2 + a 3 + + a n ) + (a 2 + a 4 + a 6 + + a 2 n )a1 (1 q n ) a 2 (1 q n ) 3(1 q n ) = + = ,当 q = 1 时, 1 q 1 q 1 qS 2 n = a1 + a 2 + a 3 + a 4 + + a 2 n 1 + a 2 n = (a1 + a 2 + a 3 + + a n ) + (a 2 + a 4 + a 6 + + a 2 n )12= (1 + 1 + 1 + + 1) + (2 + 2 + 2 + + 2) = 3n .【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列,其中a n +2 = q 是解题的关键,这种给出数列 an的形式值得关注.另外,不要以为奇数项,偶数项都成等比数列,且公比相等,就是整个数列成等比数列, 解题时要慎重, 写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为 1 这种 特殊情况.高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误. 【练 15】 (2005 高考全国卷一第一问)设等比数列 围. 答案:{an } 的公比为 q,前 n 项和 sn> 0 (1)求 q 的取值范( 1, 0 ) ∪ ( 0, +∞ )【易错点 16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n 项和不会采用错项相减法 或解答结果不到位. 例 16,(2003 北京理)已知数列 . (1)求数列{an } 是等差数列,且 a1 = 2, a1 + a2 + a3 = 12= an x n ( x ∈ R ) 求数列 {bn } 前项和的公式.{an } 的通项公式(2)令 bn【思维分析】本题根据条件确定数列{an } 的通项公式再由数列 {bn } 的通项公式分析可知数列 {bn } 是一个等差数列和一个等比数列构成的"差比数列" ,可用错项相减的方法求和. 解析: (1)易求得 an (2)由(1)得 bn= 2n= 2nx n 令 sn = 2 x + 4 x 2 + 6 x 3 + … + 2nx n (Ⅰ)则xsn = 2 x 2 + 4 x 3 + … + 2 ( n 1) x n + 2nx n +1 (Ⅱ)用(Ⅰ)减去(Ⅱ) (注意错过一位再相减)得(1 x ) sn = 2 x + 2 x2+ 2 x + … + 2 x 2nx3 nn +1n 2 x (1 x ) 当 x ≠ 1 sn = nx n +1 当 1 x 1 x x = 1 时 sn = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n ( n + 1)综上可得:n 2 x (1 x ) 当 x ≠ 1 sn = nx n +1 当 x = 1 时 sn = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n ( n + 1) 1 x 1 x 【知识点归类点拔】一般情况下对于数列{cn } 有 cn= an bn 其中数列 {an } 和 {bn } 分别为等差数列和等比数列,则其前 n 项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来 求解,实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例. 【练 16】 (2005 全国卷一理)已知un = a n + a n 1b + a n 2 b 2 + … + ab n 1 + b n ( n ∈ N + , a > 0, b > 0 ) 当 a = b 时, 求数列 {an } 的13前 n 项和 sn答案: a≠ 1 时 sn( n + 1) a n + 2 ( n + 2 ) a n +1 a 2 + 2a 当 a = 1 时 sn = 2 (1 a )=n ( n + 3) 2.【易错点 17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法,在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的 规律不清,导致多项或少项. 例 17,求 S n=1 1 1 1 + + + …+ . 1 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 ++ n n(n + 1) ,∴ 2【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口,其次在裂项抵 消中间项的过程中,对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误. 解:由等差数列的前 n 项和公式得 1 + 2 + 3 + + n=1 1 1 1 2 1 1 …, , …, , = = 2( ) ,n 取 1 ,2 ,3 , 就分别得到 , 1 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + 3 + + n n( n + 1) n n +1∴ Sn= 2(1 1 ) + 2( 1 1 ) + 2( 1 1 ) + + 2( 1 1 )2 2 3 3 4 n n +1= 2(1 1 2n )= . n +1 n +1【知识归类点拔】 "裂项法"有两个特点,一是每个分式的分子相同;二是每项的分母都是两个数(也可三 个或更多)相乘,且这两个数的第一个数是前一项的第二个数,如果不具备这些特点,就要进行转化.同 是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的.常见的变形题除本题外,还有其它形式,例如:求1 1 1 1 + 2 + 2 ++ 2 ,方法还是抓通项,即 1 +2 2 +4 3 +6 n + 2n21 1 1 1 1 = = ( ) ,问题会很容易解决.另外还有一些类似"裂项法"的题目, n + 2 n n ( n + 2) 2 n n + 22如: a n=1n + n +1,求其前 n 项和,可通过分母有理化的方法解决.数列求和的常用方法:公式法,裂项相消法,错位相减法,倒序相加法等.【练 17】 (2005 济南统考)求和 S n=22 + 1 42 + 1 62 + 1 ( 2n ) 2 + 1 + 2 + 2 +…+ . 22 1 4 1 6 1 ( 2n ) 2 1答案: S n1 1 1 1 1 1 1 1 2n = 1+ +1+ +1+ + … + 1+ =n + . 1 3 3 5 5 7 2 n 1 2n + 1 2n + 1【易错点 18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用,缺乏严谨的逻辑思维. 例 18, (2004 年高考数学江苏卷,20)设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 3 (Ⅰ)若首项 a1 = ,公差 d = 1 ,求满足 S 2 = ( S k ) 2 的正整数 k; 2 k (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S 时极易根据条件"对于一切正整数 k 都有 Sk2= ( S k ) 2 成立.【易错点分析】 本小题主要考查数列的基本知识, 以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)k2= ( S k ) 2 成立"这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差,但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件,但不是条件成立 14。