导数乘除法则和复合函数求导1
导数的四则运算及复合函数求导
经济应用数学数学
2. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
dy dx
dy du
du dx
f (u) (x)
说明: 最基本的公式 (C) 0
(sin x) cos x
y yuux
(ln x) 1
x
3. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
u x2 3复合而成, 所以 dy dy du
dx du dx
2sinu2x 0
4xsin x2 3
经济应用数学数学
例9 设y tan 1 2x2 , 求 dy dx
解 因y tan 1 2x2由y tan u, u= v,v=1-2x2复合而成，所以
2 1 sec x sec x tan x 2222
sec2 x tan x 22
经济应用数学数学
例11 求函数 y ln tan 2x 的导数.
解：y ln tan x 1 tan 2x .
tan 2x
1 sec2 2x 2x
tan 2x
经济应用数学数学
三、小结
1. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (uv) uv uv
注意：
(Cu) Cu ( C为常数 )
u
v
uv uv v2
(v 0)
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
[u( x)] u( x) . v( x) v( x)
f (x) f
( x)
f
(x)
i1 i
1
2
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。
2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。
3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。
4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。
5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。
简单复合函数的求导法则
y ′ = f ′(u )ϕ ′( x ) = f ′(u ) ⋅ cos x = cos xf ′(sin x )
练习
导数的加减法法则： ＊ 导数的加减法法则： ′ [ f ( x ) + g ( x)] = f ′( x ) + g ′( x)
[ f ( x ) − g ( x )]
′
= f ′( x ) − g ′( x )
导数的乘除法法则： ＊ 导数的乘除法法则：
[ f ( x ) g ( x )]
′
′
= f ′( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′( x )
动手做一做
1. 求下列函数的导数： 求下列函数; 2)
(1) y = (5x + 2)10 (2) y = e
1−cos x
′ = sin x ⋅ e1−cos x y
2 2. 求曲线 y = x − ( 2 x − 1) 在 x = 6 处的切线方程。 处的切线方程。
[(2 x − 1) ] = f ′(u )ϕ ′( x)
3
′
= 3u 2 ⋅ 2 = 6( 2 x − 1)2
总结
利用复合函数的求导法则来求导数时， 利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间 变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数 变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数 是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的 是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清 其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作 其间的复合关系。要善于把一部分量、 一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。 一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时 需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中 需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏， 特别要注意中间变量的系数，求导后， 特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量 转换成自变量的函数。 转换成自变量的函数。 概括
导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）
导数的运算法则及复合函数的导数公式
x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
导数的四则运算与复合函数求导
导数的四则运算与复合函数求导在微积分学中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的四则运算和复合函数求导是微积分中的基本技巧，本文将重点介绍这两个内容。
一、导数的四则运算导数的四则运算包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则。
下面将逐一介绍这些法则的应用。
1. 常数倍法则设函数y=f(x)，其中f(x)可导，k为常数，则有：(d/dx)(k·f(x)) = k·(d/dx)f(x)即常数倍法则指出，常数与函数的导数之间可以交换次序。
2. 和差法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) ± g(x)) = (d/dx)f(x) ± (d/dx)g(x)即和差法则指出，函数的求和或求差的导数等于各函数的导数的和或差。
3. 乘积法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) · g(x)) = f(x)·(d/dx)g(x) + g(x)·(d/dx)f(x)即乘积法则指出，函数的乘积的导数等于其中一个函数乘上另一个函数的导数，再加上另一个函数乘上第一个函数的导数。
4. 商法则对于可导函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则有：(d/dx)(f(x) / g(x)) = (g(x)·(d/dx)f(x) - f(x)·(d/dx)g(x)) / (g(x))^2即商法则指出，函数的商的导数等于分子的导数与分母的导数的差再除以分母平方。
二、复合函数求导当函数是由一个函数与另一个函数组合而成时，就称之为复合函数。
求解复合函数的导数需要运用链式法则。
1. 链式法则设函数y=g(f(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则有：(d/dx)g(f(x)) = (dg/df)·(df/dx)即链式法则指出，复合函数的导数等于外层函数对内层函数求导的结果乘上内层函数对自变量求导的结果。
级：导数的运算法则及复合函数的导数
17
1 7. 若 f x loga x, 则 f x ; x ln a 1 ' 8. 若 f x ln x, 则 f x . x
'
作业：《红对勾》P13
第 7课
即
说明：定义中明确指出的是函数对x的导数
5
二、新课教学
1、复合函数的概念 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y 可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数. 记作y=f(g(x))
函 数
复合函数 内层函数 外层函数
6
定义域
x∈A x∈A U∈D
1 5 2 (3 x 4) 4 (3) y ( x x ) (5 x x ) (4) 135 2 9 ( 6 x 7)4
2 1 9 2 7 2
2
15
三、小结 ：
（一）、关于复合函数的求导
⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数 的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为 较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则 求导； ⑵复合函数求导的基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代 （3）若 y=f(u), u g( x ) 则 y x yu ux
3. 若 f x sin x,则 f ' x cos x ;
'
4. 若 f x cos x,则 f x sin x ;
5. 若 f x ax ,则 f ' x a x ln a ; 6. 若 f x e ,则 f x e ;
2U 3 18x-12
3U2 1 3(x+1)2Байду номын сангаас
复合函数的导数及导数的运算法则
复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。
设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。
根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。
Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。
Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。
下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。
1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。
例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。
例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。
例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。
导数乘除法则和复合函数求导1
注意: 在书写时不要把
f x ( x)
'
写成
f ( x )
'
,两
者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导, 而后者是对中间变量 ( x ) 的求导.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中 间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合 关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是 哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间 变量可直接求导,就不必再选中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要 有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数 的导数,逐步掌握复合函数的求导法则.
2 y 1 x
1 y 1 cos x 2 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。
2. 求曲线 y x( 2 x 3 ) 2 在 (1,9) 处的切线方程。
k y 27
y 27 x 18
例3
小结
＊ 导数的乘除法法则：
f ( x ) g ( x )
练习
2.求y tan x的导数 sin x 解 y cos x
＇ ' sin x （ sin x ) cos x sin x (cosx) y＇ ＝( ) cos x cos 2 x
1 cos x cos x sin x ( sin x) 2 2 cos x cos x
2
18 x 8 x 9 3 2 法二： y (6 x 4 x 9 x 6)
2
18 x 8 x 9
2
1. 计算下列函数的导数：
四则运算与复合函数求导法则
四则运算与复合函数求导法则在微积分中，求导是一个重要的概念和工具。
通过求导，我们可以计算函数在某一点上的斜率，进而研究函数的性质和变化规律。
本文将介绍四则运算和复合函数求导法则，帮助读者理解和应用这些常用的求导规则。
一、四则运算求导法则四则运算是指加法、减法、乘法和除法。
求导的四则运算法则可总结如下：1. 加减法：对于两个函数的和或差，求导后的结果等于各自函数的导数之和或差。
即如果函数f(x)和g(x)可导，则有：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)2. 乘法：对于两个函数的乘积，求导后的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
即如果函数f(x)和g(x)可导，则有：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x)3. 除法：对于两个函数的商，求导后的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数减去第二个函数乘以第一个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即如果函数f(x)和g(x)可导，并且g(x)≠0，则有： (f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x)) / (g(x))^2二、复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的复合形式，求导的复合函数法则可总结如下：1. 外函数求导后不变，内函数求导后乘上外函数对内函数的导数：若y = f(u)，u = g(x)，则y对x的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)2. 链式法则：对于一个复合函数，可以将其表示为一系列简单的函数的复合形式，利用链式法则求导，即将求导过程分解为多个简单函数的求导过程。
若y = f(u)，u = g(v)，v = h(x)，则有：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx = f'(u) * g'(v) * h'(x)综上所述，四则运算和复合函数求导法则是微积分中常用的工具。
导数的运算法则及复合函数的导数
导数的运算法则及复合函数的导数导数是微积分中非常重要的概念，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，我们常常需要对函数进行一系列运算，包括加减乘除和复合函数等，了解导数的运算法则以及复合函数的导数可以帮助我们更好地进行运算和解决实际问题。
1.导数的运算法则：(1)和差法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的和、差的函数f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在区间I上仍然可导，并且有如下的导数公式：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(2)乘法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的乘积函数f(x)g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(3)除法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，并且g(x)≠0，则它们的商函数f(x)/g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]²(4)常数法则：设c为常数，函数f(x)在区间I上可导，则常数函数cf(x)在区间I 上可导，并且有如下的导数公式：(cf(x))' = cf'(x)(5)幂函数法则：设函数f(x)=x^n在区间(x>0)上可导，则幂函数f(x)=x^k在区间(x>0)上可导，并且有如下的导数公式：(x^k)' = kx^(k-1)2.复合函数的导数：复合函数是指一个函数内部存在另一个函数，即一个函数的输入是另一个函数的输出。
在实际运算中，我们还需要计算复合函数的导数，可以利用链式法则来求解。
(1)链式法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由两个函数构成的复合函数，在函数f和g 满足一定的条件下dy/dx = dy/du * du/dx具体地，对于复合函数y=f(g(x))，先计算出f对u的导数df/du，再计算出g对x的导数dg/dx，最后将两个结果相乘即可得到复合函数对x的导数。
导数的四则运算和复合函数的求导
导数的四则运算和复合函数的求导导数的四则运算和数的四则运算一样，是简单的，但是我们必须要知道基本初等函数（就是我们中学阶段所接触的那些函数啦~）的导数是什么，就像我们要先学习数的加减乘除以及九九乘法口诀一样，只有把这些最基本的公式记牢，才可以对数的运算得心应手。
那么在导数的四则运算中我们所说的基本初等函数的导数又是什么呢？常用初等函数的求导公式Derivation formula❤温馨提示❤以上基本初等函数的求导公式都是已经验证过的，同学们在应用的时候可以放心大胆的应用了哦~另外小编还要提醒你们这16个公式需要你们记准记牢哟接下来，我们就来看一下函数的第一个也是非常重要的求导法则之一：四则运算的求导法则。
函数的四则运算求导简单可记为Function derivation❤❤例题练习Examples exercising1题目：2题目：3题目：在高等数学的内容中，基本初等函数只是我们学习高等数学的敲门砖。
在高等数学中，我们最多接触初等函数。
与基本初等函数相比，初等函数是基本初等函数之间的加、减、乘、除和复合运算。
刚才已经简单介绍了四则运算的求导规则。
接下来，我们来了解一下复合函数及其求导规则。
复合函数，简单来说就是将不同类型的函数进行叠加运算，正是由于复合函数的这种特性，所以复合函数求导简单可记为其实复合函数的求导法则可以看作剥洋葱一样，由外层到内层一层层的进行求导，只是在对每一层求导时，相应的里面那一层是保留不动的。
所以，大家想一想，如果我们要学好有关复合函数求导的内容，我们应该先把什么搞清楚呢？思考一下，小编会在文末公布答案哦~4题目：5题目：在上述两个题目中，边肖对每个功能进行了编号。
不知道你有没有注意到。
事实上，这是边肖在对复合函数求导之前应该弄清楚的答案。
其实首先要区分这个复合函数有多少层。
你说的对吗？那我们给你留个练习题吧。
下次见答案。
作业题最后友情提醒:一定要先记住基本函数的求导公式，否则这些求导公式会成为后面一系列函数求导的障碍。
导数的基本运算法则
导数的基本运算法则导数在微积分中是一个非常重要的概念，它描述了函数在给定点的变化率。
导数的基本运算法则是微积分中的基础内容，它包括导数的四则运算、复合函数的导数、反函数的导数等内容。
在本文中，我们将详细介绍导数的基本运算法则，并通过具体的例子来展示如何应用这些法则。
导数的四则运算导数的四则运算是指对两个函数进行加、减、乘、除等运算后求导数的过程。
如果有两个函数f(f)和f(f)，它们的导数分别为f′(f)和f′(f)，那么它们的四则运算法则如下：•和函数的导数：(f(f)±f(f))′=f′(f)±f′(f)•差函数的导数：(f(f)−f(f))′=f′(f)−f′(f)•乘积函数的导数：(f(f)·f(f))′=f′(f)·f(f)+ f(f)·f′(f)•商函数的导数：$\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)' = \\frac{f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)}{(g(x))^2}$复合函数的导数复合函数是由两个函数组合而成的函数，例如f=f(f(f))。
求复合函数的导数时，需要应用链式法则。
设f=f(f)和f=f(f)，则复合函数的导数为：$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} · \\frac{du}{dx}$反函数的导数如果函数f=f(f)在某个区间上是一一对应的，并且在该区间上是可导的，那么它的反函数f=f−1(f)的导数为：$(f^{-1}(x))' = \\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$应用举例例1：求函数y=3y2+2y在y=1处的导数首先，对f=3f2+2f按照四则运算法则求导：f′=(3f2)′+(2f)′=6f+2然后，在f=1处求导数：f′(1)=6(1)+2=8所以，函数f=3f2+2f在f=1处的导数为8。
导数的运算法则和复合函数的导数
导数的运算法则和复合函数的导数导数是微积分中一个非常重要的概念，它表征了函数在其中一点上的变化率。
导数的运算法则以及复合函数的导数是我们在求导过程中经常用到的方法和技巧。
下面我将分别介绍导数的运算法则和复合函数的导数，并给出相应的例子进行说明。
一、导数的运算法则1. 常数规则：常数的导数为零。
即对于任意常数c，有d/dx (c) = 0。
例如，d/dx (3) = 0。
2. 幂规则：对于任意实数a和正整数n，有d/dx (x^n) = n *x^(n-1)。
例如，d/dx (x^2) = 2x。
3. 和差规则：两个函数的和(差)的导数等于两个函数分别的导数的和(差)。
即d/dx (f(x) ± g(x)) = d/dx (f(x)) ± d/dx (g(x))。
例如，如果f(x) = 2x^2和g(x) = 3x，则d/dx (f(x) + g(x)) = d/dx(2x^2) + d/dx (3x) = 4x + 34. 积法则：两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数再乘以第二个函数的导数。
即d/dx (f(x) *g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
例如，如果f(x) = x^2和g(x) = 3x，则d/dx (f(x) * g(x)) = 2x * 3x + x^2 * 3 = 6x^2 + 3x^35. 商法则：两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数再减去分子函数再乘以分母函数的导数，最后再除以分母函数的平方。
即d/dx (f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2、例如，如果f(x) = x^2和g(x) = 3x，则d/dx (f(x) / g(x)) = (2x * 3x- x^2 * 3) / (3x)^2 = (6x^2 - 3x^2) / (9x^2) = 3x / 9x^2 = 1 /3x。
导数基本运算法则
导数基本运算法则导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在计算导数时，我们可以利用导数的基本运算法则来简化计算过程，这些法则包括求和法则、常数法则、乘积法则、商法则和复合函数法则。
本文将分别介绍这些基本运算法则，并通过实例进行说明。
一、求和法则求和法则是导数运算中最基本的法则之一，它表明对于一个函数的和，它的导数等于每个函数的导数之和。
具体地说，设函数f(x)和g(x)都在某一区间内可导，则它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)在该区间内可导，且有h'(x)=f'(x)+g'(x)。
例如，考虑函数f(x)=2x和g(x)=3x^2在区间[-1,1]上的和函数h(x)=f(x)+g(x)，我们可以分别求出f(x)和g(x)的导数为f'(x)=2和g'(x)=6x。
根据求和法则，我们可以得到h'(x)=f'(x)+g'(x)=2+6x。
这样，我们就通过求和法则求得了函数h(x)的导数。
二、常数法则常数法则表明对于一个常数c，它的导数等于0。
具体地说，如果常数c在某一区间内可导，则有(c)'=0。
例如，考虑函数f(x)=5在区间[-2,2]上，根据常数法则，我们可以得到f'(x)=0。
三、乘积法则乘积法则是导数运算中常用的法则之一，它表明对于两个函数的乘积，它的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数。
具体地说，设函数f(x)和g(x)都在某一区间内可导，则它们的乘积函数h(x)=f(x)g(x)在该区间内可导，且有h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
例如，考虑函数f(x)=x和g(x)=x^2在区间[0,1]上的乘积函数h(x)=f(x)g(x)，我们可以分别求出f(x)和g(x)的导数为f'(x)=1和g'(x)=2x。
复合函数求导法则
y' x 3e
u 3 x 1
y' x 3e
求下列复合函数的导数
y ln u, u = 1 + x
1 y 'u , u ' x 2 x u 2x y'x u 2x y'x 2 1 x
2. y = ln(1 + x )
2
1.先分解
2
2.分别求导 3. 求积 4. 还原
21
解:y = e , u = 2x
y'u e , u'x 2
y' x 2e
u
y'x 2e
2x
4. 还原
24
求下列复合函数的导数
ya
u
x
解：y e
u
lna
x
1.先分解
e
x lna
y e , u x ln a
2.分别求导 3. 求积
y'u e , u'x ln a
求下列复合函数的导数
3. y = sin(4 x - 5)
2
1.先分解
2
解:y = sin u, u = 4x - 5
y'u cosu, u'x 8x y'x 8x cosu
2.分别求导
3. 求积 4. 还原
y'x 8x cos(4x 5)
2
22
求下列复合函数的导数
. y sin x (sin x)
y'x e ln a
u
公式： a ' a ln a x ln a x y'x e ln a a ln a
导数乘除法则和复合函数求导1
导数乘除法则和复合函数求导1* 导数公式：(1) C 0 (C为常数)n n 1 ( x ) nx (n R ) ( 2)(3) (sin x ) cos x (4) (cos x) sin xx x ( a ) a ln a ( a 0, a 1) ( 5)(e x ) e x(6) (log a x ) 1 (ln x ) x1 ( a 0, a 1) x ln a返回三、导数的运算法则法则1: 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差),即：[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).特别地：[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)动手做一做1. 求下列函数的导数：y2 3 xx32(1) y 3 x 2 2 x ( 2) y 4 log 3 xx1 y 4 ln 4 x ln 3( 3) y sin x exy cos x e x1 y 2 2 x cos x 1(4) y x 0.5 tan x2. 使得函数y 个？32 x 6 x 的导数等于0的x 值有几两个，±1 例2法则2: 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数数加上第一个函乘以第二个函数的导数[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x). 例1 求下列函数的导数：(1) y x e ;2 x( 2) y x sin x ; ( 3) y x ln x解析解：(1)设f ( x) x ,g ( x) e2x,可知x f ( x ) 2 x, g ( x ) e由导数的乘法法则：f ( x )g ( x ) 可得：2 xf ( x )g ( x ) f ( x ) g ( x )x 2 x 2 x( x e ) 2 xe x e ( 2 x x )e(2)由导数的乘法法则f ( x )g ( x ) 可得：f ( x )g ( x ) f ( x ) g ( x )sin x ( x sin x ) ( x ) sin x x (sin x ) x cos x 2 x(3)由导数的乘法法则可得：1 ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) 1 ln x x ln x 1 x例2法则3 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：f ( x) f ( x)g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)其中g ( x) 0例2 求下列函数的导数：sin x x2 (1) y ; ( 2) y x ln x解析解：(1)设f ( x ) sin x, g ( x ) x ,则可知f ( x ) cos x,g ( x ) 1由导数的除法运算法则f ( x) f ( x )g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x) 可得sin x cos x x sin x 1 x cos x sin x 2 2 x x x(2)由导数的除法运算法则可得：2 1 2 x ln x x 2 x x( 2 ln x 1) x 2 2 ln x (ln x ) ln x练习2.求y tan x的导数sin x 解y cos x' ' sin x ( sin x ) cos x sin x (cosx) y' =( ) cos x cos 2 x1 cos x cos x sin x ( sin x)2 2 cos x cos x1 ( tan x) .2 cos x例3 求下列函数的导数：cos x x (1) y x (ln x sin x ) ; ( 2) y x22解析解：(1)可设f ( x) x ,g ( x) ln x sin x21 则有：f ( x )2 x, g ( x ) cos x x根据导数的乘法法则，得：x (ln x sin x) 21 2 x(ln x sin x) x ( cos x ) x x 2 x ln x 2 x sin x x 2 cos x2本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。
导数乘除法则和复合函数求导1
导数乘除法则和复合函数求导1导数乘除法则和复合函数求导1导数的乘法法则:若函数f(x)和g(x)都在一些区间上可导，则它们的乘积函数h(x)=f(x)g(x)也在该区间上可导，且h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
证明：利用极限的定义可以证明。
假设h(x)=f(x)g(x)，则h'(x) = lim┬(Δx→0)(h(x+Δx)−h(x))/Δx= lim┬(Δx→0)((f(x+Δx)g(x+Δx)−f(x)g(x))/Δx).根据极限的性质，我们可以将这个式子展开:=lim┬(Δx→0)((f(x+Δx)g(x+Δx)−f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)−f(x) g(x))/Δx)=lim┬(Δx→0)(g(x+Δx)(f(x+Δx)−f(x))+f(x)(g(x+Δx)−g(x))/Δx) =lim┬(Δx→0)g(x+Δx)lim┬(Δx→0)((f(x+Δx)−f(x))/Δx)+(lim ┬(Δx→0)g(x+Δx)−lim┬(Δx→0)g(x))/Δx)lim┬(Δx→0)f(x ).根据g(x)和f(x)可导的条件，上式等于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，所以乘法法则得证。
导数的除法法则：若函数f(x)和g(x)都在一些区间上可导，且g(x)不为0，则商函数h(x)=f(x)/g(x)也在该区间上可导，且h'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2证明：同样利用极限的定义可以证明。
假设h(x)=f(x)/g(x)，则h'(x) = lim┬(Δx→0)(h(x+Δx)−h(x))/Δx= lim┬(Δx→0)((f(x+Δx)/g(x+Δx)−f(x)/g(x))/Δx).根据极限的性质，我们可以将这个式子展开:=lim┬(Δx→0)(((f(x+Δx)g(x)−f(x)g(x+Δx))/[g(x)g(x+Δx)]) / Δx)= (lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)g(x)−f(x)g(x+Δx))/Δx) /[lim┬(Δx→0)g(x)g(x+Δx)/Δx].同样根据g(x)和f(x)可导的条件，且g(x)不为0，上式等于(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，所以除法法则得证。
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例1 求下列函数的导数：
(1) y x e ;
2 x
( 2) y x sin x ; ( 3) y x ln x
解析
解：
（1）设
f ( x) x , g ( x) e
2
x
，可知
x f ( x ) 2 x, g ( x ) e
由导数的乘法法则：
f ( x ) g ( x )
可得
sin x cos x x sin x 1 x cos x sin x 2 2 x x x
（2）由导数的除法运算法则可得：
2 1 2 x ln x x 2 x x( 2 ln x 1) x 2 2 ln x (ln x ) ln x
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y
2 3 x
x
3
2
(1) y 3 x 2 2 x ( 2) y 4 log 3 x
x
1 y 4 ln 4 x ln 3
( 3) y sin x e
x
y cos x e x
1. 计算下列函数的导数：
x (1) y 1 cos x
1 cos x x sin x y (1 cos x )2
3x2 4x x 1 x 1 y ( 2) y 2 2 2 2 x ( x 1 ) x 1 x x e 1 2 e ( 3) y x y x e 1 (e 1) 2 x 2. 求曲线 y 在 x 处的切线方程。 sin x 3
yu 2u, ux 3,
从而
. yx y u ux 18 x 12
结果与用导数的四则运算法则求得的结果一致
二、新课——复合函数的导数：
1.复合函数的概念: 对于函数y= f [ (x)],令u= (x),若y=f(u)是 中间变量u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则 称y= f [ (x)]是自变量x的复合函数. 2.复合函数的导数: 设函数 u ( x )在点x处有导数 ux ( x) ,函数 y=f(u)在点x的对应点u处有导数 yu f (u) , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点x处也有导数, 且 yx yu ux ; 或记 f [ ( x )] f (u) ( x ).
2 1 9 2 7 2
(5) b sinbx (2a b) sin(2a b) x (2a b) sin(2a b) x. 2 4 4
1 5 2 (3 x 4) 4 (3) y ( x x ) (5 x x ) (4) 135 4 9 ( 6 x 7) 1 2 1 1
随堂练习
求下列函数的导数
; 1 y e 2 y sin x 其中 , 均为常数 .
0.05 x 1
(3) y=㏑(3x+2)
练习1:求下列函数的导数: 课本: P25 1,2
(1) y ax bx c ( 2) y
3 2
1 1 2x2
2 3 k y 3 6
2 3 2 y( )x 3 6 18
3.用两种方法求y (2x
的导数
2
2
3)(3x 2)
2
解： y (2x 3)(3x 2) (2x 3)(3x 2) 法一：
4 x ( 3 x 2) ( 2 x 3) 3
2
18 x 8 x 9 3 2 法二： y (6 x 4 x 9 x 6)
2
18 x 8 x 9
2
1. 计算下列函数的导数：
(1) y ( 2 x 3)( 3 x 1)
2
y 18 x 2 4 x 9
( 2) y ( x 2) 2 x x ( 3) y x sin cos 2 2
解析
解： （1）设 f ( x ) sin x, g ( x ) x ，则可知
f ( x ) cos x, g ( x ) 1
由导数的除法运算法则
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
10( 2 x 5)
4
三、例题选讲：
解:
1 ( 2) y (1 3 x )4
4
,设y=u-4,u=1-3x,则:
5 5
12 yx y . u u x ( u ) u (1 3 x ) x 4u ( 3) 12u 5 (1 3 x )
2 y 1 x
1 y 1 cos x 2 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。
2. 求曲线 y x( 2 x 3 ) 2 在 (1,9) 处的切线方程。
k y 27
y 27 x 18
例3
小结
＊ 导数的乘除法法则：
f ( x ) g ( x )
如: 求函数y=(3x-2)2的导数. 我们可以把平方式展开,利用导数的四则运 算法则,再求导. 思考: 能否用其它的办法求导呢?
一、复习与引入：
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导 数的运算法则,这就是复合函数的导数. 如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以令 y=u2,u=3x-2,则
sin x ( x sin x ) ( x ) sin x x (sin x ) x cos x 2 x
（3）由导数的乘法法则可得：
1 ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) 1 ln x x ln x 1 x
例2
法则3 :两个函数的商的导数，等于分
1 （ tan x） . 2 cos x
例3 求下列函数的导数：
cos x x (1) y x (ln x sin x ) ; ( 2) y x2
2
解析
解： （1）可设
f ( x) x , g ( x) ln x sin x
2
1 则有：f ( x ) 2 x, g ( x ) cos x x
＊ 导数公式：
（1） C 0 (C为常数)
n n 1 ( x ) nx (n R ) （ 2）
（3） (sin x ) cos x （4） (cos x) sin x
x x ( a ) a ln a ( a 0, a 1) （ 5）
(e x ) e x
2
解析
（2）由导数的除法法则，可得：
cos x x x2 (cos x x ) x 2 (cos x x ) 2 x 2 2 (x ) ( sin x 1) x 2 2 x cos x 2 x 2 4 x x sin x 2 cos x x 例4 x3
( 3) y x 2 x x
3x 4 3 ( 4) y ( ) (5) y sin2 ax cosbx 6x 7 3 2 ( 2 ax b ) ax bx c 2x 答案: (1) y ( 2) y 2 2 2 3(ax bx c ) (1 2 x ) 1 2 x
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
kf ( x) kf ( x)
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
结束
复合函数的导数
一、复习与引入：
子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
例2 求下列函数的导数：
sin x x2 (1) y ; ( 2) y x ln x
x
注意: 在书写时不要把
f x ( x)
'
写成
f ( x )
'
,两
者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导, 而后者是对中间变量 ( x ) 的求导.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中 间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合 关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是 哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间 变量可直接求导,就不必再选中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要 有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数 的导数,逐步掌握复合函数的求导法则.
练习
2.求y tan x的导数 sin x 解 y cos x
＇ ' sin x （ sin x ) co2 x
1 cos x cos x sin x ( sin x) 2 2 cos x cos x
可得：
2 x
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
x 2 x 2 x
( x e ) 2 xe x e ( 2 x x )e
（2）由导数的乘法法则
f ( x ) g ( x )
可得：
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
解: (3) y (1 sin2 x)4 ,设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,
4 2 3 yx y u v ( u ) ( 1 v ) (sin x ) 4 u 2v cos x u v x u v x