导数乘除法则和复合函数求导1

例1 求下列函数的导数：
(1) y x e ;
2 x
( 2) y x sin x ; ( 3) y x ln x
解析
解：
（1）设
f ( x) x , g ( x) e
2
x
，可知
x f ( x ) 2 x, g ( x ) e
由导数的乘法法则：
f ( x ) g ( x )
解析
解： （1）设 f ( x ) sin x, g ( x ) x ，则可知
f ( x ) cos x, g ( x ) 1
由导数的除法运算法则
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
可得：
2 x

f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
x 2 x 2 x
( x e ) 2 xe x e ( 2 x x )e
（2）由导数的乘法法则
f ( x ) g ( x )
可得：

f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
练习
2.求y tan x的导数 sin x 解 y cos x
＇ ' sin x （ sin x ) cos x sin x (cosx) y＇ ＝( ) cos x cos 2 x
1 cos x cos x sin x ( sin x) 2 2 cos x cos x
1 （ tan x） . 2 cos x
例3 求下列函数的导数：
cos x x (1) y x (ln x sin x ) ; ( 2) y x2
2
解析
解： （1）可设
f ( x) x , g ( x) ln x sin x
2
1 则有：f ( x ) 2 x, g ( x ) cos x x
2 3 k y 3 6
2 3 2 y( )x 3 6 18
3.用两种方法求y (2x
的导数
2
2
3)(3x 2)
2
解： y (2x 3)(3x 2) (2x 3)(3x 2) 法一：
4 x ( 3 x 2) ( 2 x 3) 3
随堂练习
求下列函数的导数
; 1 y e 2 y sin x 其中 , 均为常数 .
0.05 x 1
(3) y=㏑(3x+2)
练习1:求下列函数的导数: 课本: P25 1,2
(1) y ax bx c ( 2) y
3 2
1 1 2x2
10( 2 x 5)
4
三、例题选讲：
解:
1 ( 2) y (1 3 x )4
4
,设y=u-4,u=1-3x,则:
5 5
12 yx y . u u x ( u ) u (1 3 x ) x 4u ( 3) 12u 5 (1 3 x )
如: 求函数y=(3x-2)2的导数. 我们可以把平方式展开,利用导数的四则运 算法则,再求导. 思考: 能否用其它的办法求导呢?
一、复习与引入：
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导 数的运算法则,这就是复合函数的导数. 如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以令 y=u2,u=3x-2,则
三、例题选讲：
例1: 求下列函数的导数:
(1) y (2 x 1)
5
4
(3) y (1 sin x)
2
1 ( 2) y 4 (1 3 x )
解: (1) 设y=u5,u=2x+1, 则:
y y u ( u ) ( 2 x 5) 5u 2
' x ' u ' x 5 ' ' 4
（6） (log a x )
1 (ln x ) x
1 ( a 0, a 1) x ln a
返回
三、导数的运算法则
法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).
特别地：
解: (3) y (1 sin2 x)4 ,设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,
4 2 3 yx y u v ( u ) ( 1 v ) (sin x ) 4 u 2v cos x u v x u v x
4(1 sin2 x )3 2 sinx cos x 4(1 sin2 x )3 sin2 x . 说明: 在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
根据导数的乘法法则，得：
x (ln x sin x)
2

1 2 x(ln x sin x) x ( cos x ) x x 2 x ln x 2 x sin x x 2 cos x
2
本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。
例3 求下列函数的导数：
cos x x (1) y x (ln x sin x ) ; ( 2) y x2
2 y 1 x
1 y 1 cos x 2 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。
2. 求曲线 y x( 2 x 3 ) 2 在 (1,9) 处的切线方程。
k y 27
y 27 x 18
例3
小结
＊ 导数的乘除法法则：
f ( x ) g ( x )



f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
kf ( x) kf ( x)
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
结束
复合函数的导数
一、复习与引入：

1. 计算下列函数的导数：
x (1) y 1 cos x
1 cos x x sin x y (1 cos x )2
3x2 4x x 1 x 1 y ( 2) y 2 2 2 2 x ( x 1 ) x 1 x x e 1 2 e ( 3) y x y x e 1 (e 1) 2 x 2. 求曲线 y 在 x 处的切线方程。 sin x 3
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y
2 3 x
x
3
2
(1) y 3 x 2 2 x ( 2) y 4 log 3 x
x
1 y 4 ln 4 x ln 3
( 3) y sin x e
x
y cos x e x
( 3) y x 2 x x
3x 4 3 ( 4) y ( ) (5) y sin2 ax cosbx 6x 7 3 2 ( 2 ax b ) ax bx c 2x 答案: (1) y ( 2) y 2 2 2 3(ax bx c ) (1 2 x ) 1 2 x
2
18 x 8 x 9 3 2 法二： y (6 x 4 x 9 x 6)
2
18 x 8 x 9
2
1. 计算下列函数的导数：
(1) y ( 2 x 3)( 3 x 1)
2
y 18 x 2 4 x 9
( 2) y ( x 2) 2 x x ( 3) y x sin cos 2 2
1 y 2 2 x cos x 1
(4) y x 0.5 tan x
2. 使得函数 y 个？
3wenku.baidu.com
2 x 6 x 的导数等于0的 x 值有几
两个，±1 例2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一个
函数的导数乘以第二个函数 数
加上第一个函
乘以第二个函数的导数
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
sin x ( x sin x ) ( x ) sin x x (sin x ) x cos x 2 x
（3）由导数的乘法法则可得：
1 ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) 1 ln x x ln x 1 x
例2
法则3 :两个函数的商的导数，等于分
2 1 9 2 7 2
(5) b sinbx (2a b) sin(2a b) x (2a b) sin(2a b) x. 2 4 4
1 5 2 (3 x 4) 4 (3) y ( x x ) (5 x x ) (4) 135 4 9 ( 6 x 7) 1 2 1 1
＊ 导数公式：
（1） C 0 (C为常数)
n n 1 ( x ) nx (n R ) （ 2）
（3） (sin x ) cos x （4） (cos x) sin x
x x ( a ) a ln a ( a 0, a 1) （ 5）
(e x ) e x
yu 2u, ux 3,
从而
. yx y u ux 18 x 12
结果与用导数的四则运算法则求得的结果一致
二、新课——复合函数的导数：
1.复合函数的概念: 对于函数y= f [ (x)],令u= (x),若y=f(u)是 中间变量u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则 称y= f [ (x)]是自变量x的复合函数. 2.复合函数的导数: 设函数 u ( x )在点x处有导数 ux ( x) ,函数 y=f(u)在点x的对应点u处有导数 yu f (u) , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点x处也有导数, 且 yx yu ux ; 或记 f [ ( x )] f (u) ( x ).
子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
例2 求下列函数的导数：
sin x x2 (1) y ; ( 2) y x ln x
2
解析
（2）由导数的除法法则，可得：
cos x x x2 (cos x x ) x 2 (cos x x ) 2 x 2 2 (x ) ( sin x 1) x 2 2 x cos x 2 x 2 4 x x sin x 2 cos x x 例4 x3
x
注意: 在书写时不要把
f x ( x)
'
写成
f ( x )
'
,两
者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导, 而后者是对中间变量 ( x ) 的求导.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中 间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合 关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是 哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间 变量可直接求导,就不必再选中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要 有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数 的导数,逐步掌握复合函数的求导法则.
可得

sin x cos x x sin x 1 x cos x sin x 2 2 x x x
（2）由导数的除法运算法则可得：
2 1 2 x ln x x 2 x x( 2 ln x 1) x 2 2 ln x (ln x ) ln x