空间中的垂直关系ppt课件(自制)
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立体几何垂直关系课件理ppt
在机械工程中，轴和孔之间的垂直关系对于机器的精度和性能至关重 要。例如，在制造齿轮箱时，需要确保齿轮轴与箱体的垂直关系以确 保齿轮的正常运转。
地理学
在地理学中，地球的自转轴与地球表面的垂直关系导致了昼夜的变化 和季节的更替。此外，在测量和地图制作中，纬度和经度的确定也涉 及到垂直关系。
02
垂直的基本性质
垂直的分类
根据两条直线或平面与直线的垂直关系，可以将垂直分为点 垂直、线垂直和面垂直。
垂直的分类与判别
点垂直
当两个点重合时，可以认为它们是垂直的。在立体几何 中，点垂直的情况较少出现，更多的是线垂直或面垂直 。
线垂直
当两条直线相互垂直时，称为线垂直。线垂直可以通过 两条直线的方向向量来判断，如果它们的方向向量相互 垂直，则这两条直线垂直。
垂直也是高等数学中重要的概念之一，例如在微积分、线性代数等课程中都有广 泛的应用。
垂直在实际问题解决中的应用价值
在工程、建筑、地质等领域中，垂直 关系的应用十分广泛。例如，在建筑 设计中，需要利用垂直关系来计算建
筑物的高度、宽度等参数。
在地球物理学中，通过测量两地之间 的铅垂距离，可以计算出地球的半径
利用平行线的性质证明垂直
总结词
在立体几何中，我们还可以利用平行线的性质来证明垂直关系。当两条直线平行时，它们的夹角为90 度，这可以用来证明垂直关系。
详细描述
首先，我们需要了解平行线的性质，即两条平行线之间的夹角为90度。在立体几何中，我们通常利用 这个原理来证明垂直关系。例如，在矩形ABCD中，当AD平行于BC时，我们可以证明出BC与DC的夹 角为90度，即BC垂直于DC。
垂径定理
垂径定理是垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦 所对的两条弧。
地理学
在地理学中，地球的自转轴与地球表面的垂直关系导致了昼夜的变化 和季节的更替。此外，在测量和地图制作中，纬度和经度的确定也涉 及到垂直关系。
02
垂直的基本性质
垂直的分类
根据两条直线或平面与直线的垂直关系，可以将垂直分为点 垂直、线垂直和面垂直。
垂直的分类与判别
点垂直
当两个点重合时，可以认为它们是垂直的。在立体几何 中，点垂直的情况较少出现，更多的是线垂直或面垂直 。
线垂直
当两条直线相互垂直时，称为线垂直。线垂直可以通过 两条直线的方向向量来判断，如果它们的方向向量相互 垂直，则这两条直线垂直。
垂直也是高等数学中重要的概念之一，例如在微积分、线性代数等课程中都有广 泛的应用。
垂直在实际问题解决中的应用价值
在工程、建筑、地质等领域中，垂直 关系的应用十分广泛。例如，在建筑 设计中，需要利用垂直关系来计算建
筑物的高度、宽度等参数。
在地球物理学中，通过测量两地之间 的铅垂距离，可以计算出地球的半径
利用平行线的性质证明垂直
总结词
在立体几何中，我们还可以利用平行线的性质来证明垂直关系。当两条直线平行时，它们的夹角为90 度，这可以用来证明垂直关系。
详细描述
首先，我们需要了解平行线的性质，即两条平行线之间的夹角为90度。在立体几何中，我们通常利用 这个原理来证明垂直关系。例如，在矩形ABCD中，当AD平行于BC时，我们可以证明出BC与DC的夹 角为90度，即BC垂直于DC。
垂径定理
垂径定理是垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦 所对的两条弧。
空间中的垂直关系 课件
(2)若 AB =B C ,则 B D ⊥AC ,
由(1)可知,SD ⊥平面 AB C ,而 B D ⊂ 平面 AB C ,
因此 SD ⊥B D .
∵SD ⊥B D ,B D ⊥AC ,SD ∩AC =D ,∴B D ⊥平面 SAC .
T 题型二面
面垂直问题
例 2如图所示,已知△AB C 是等边三角形,E C ⊥平面 AB C ,B D ⊥
(1)求证:SD ⊥平面 AB C ;
(2)若 AB =B C ,求证:B D ⊥平面 SAC .
【证明】(1)如图所示,取 AB 中点 E ,连接 SE ,D E ,在 R t△AB C 中,D ,E 分别
为 AC ,AB 的中点,故 D E∥B C ,且 D E ⊥AB ,
∵SA=SB ,
∴△SAB 为等腰三角形.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫斜线
在平面内的射影.
(2)斜线和平面所成的角的定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这
个平面所成的角.
若直线在平面内或直线和平面平行,则说直线和平面成 0°
角;若直线和
平面垂直,则说直线和平面成 90°
角.
任一直线和平面所成角 θ
由于平面 P D C⊥平面 AB CD ,而直线 CD 是平面 P D C 与平面 AB CD 的交
线,
故 P E ⊥平面 AB CD ,由此得∠P B E 为直线 P B 与平面 AB CD 所成的角.
在△P D C 中,由于 P D =C D =2,P C =2 3,
可得∠P CD =30°
.
在 R t△P EC 中,P E =P C sin30°
空间中的垂直关系ppt课件
10m
8m
10m
6m
6m
课堂小结
1．线面垂直的定义： 如果一条直线垂直于一个平面内的任 何一条直线，则此这条直线垂直于这个平面. 2、性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于 这个平面内的所有直线。 3.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 那么此直线垂直于这个平面。 4 判定定理的推论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于同一个平面。
线线垂直
线面垂直的判定定理 线面垂直的性质定理
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想 平面问题 空间问题
有关的数学名言 ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以 及最高级智能活力美学体现。——普林 舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学 使人精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。—— 华罗庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐 明自然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。
C F B
典型例题
例2. 有一根旗杆AB A 高8m,它的顶端A挂 有两条长10m的绳子， 拉紧绳子,并把它的下 端放在地面上的两点 B （和旗杆脚不在同一 C 条直线上 ）C、D. 如 果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直，为什 么？
D
例题2
有一根旗杆AB高8米（如图），它的顶端A挂着两条长10米的 绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D（和旗 杆脚不在同一条直线上）。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6 米，那么旗杆就和底面垂直，为什么？
两条直线互相垂直
你认为直线与平面垂 思考：两条直线互相垂直 直该怎样定义才恰当？ 一定会有交点吗？
B
α
B1 C1
C
空间中的垂直关系PPT教学课件
的直径，C 是圆上一点,且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC
（2）BC 平面PAC
P
A
O
B
C
例3.如图，P是△ABC所在平面外的一点， PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是△ABC 的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
P
线线垂直
A
线面垂直
C EH D
B
线线垂直
练习
以港兴市
为“看不见的手”把脉
专题探究
一哄而下
设计目的：反映市场调节盲目性与自发性问题
靠山养山，方能吃山
设计目的：反映局部效益与整体效益冲突的现象
以港兴市
设计目的：反映政府调控失灵的现象
为“看不见的手把脉”
设计目的：综合分析市场机制的弊端
“看得见的手”所对应的课标内容
内容目标：从消极方面，讨论当代市场经济对社会 生活的影响。
目标4 了解当今科技发展和经济成长的特点，逐步 形成促进社会进步的思想观念。
第四单元 与经济成长、科技进步同行
课名
置身市场经济
主题
现代经济成长
感受科技之光
现代科技发展
与时俱进的时代精神
思想道德建设
第一课 置身于市场经济
框题
中心
看不见的手
市场在经济生活中的地位和作用
看得见的手
因地制宜 优势互补
角色与选择
防洪堤
l 市场无法提供的物品
路灯
l 某些产品不能任由市场调节
l 市场调节的弱点
滞后性 自发性 盲目性
枪支 毒品
物品
私人物品 公共物品
如苹果
私人物品 具有排他性 购买才能消费
市场调节
（2）BC 平面PAC
P
A
O
B
C
例3.如图，P是△ABC所在平面外的一点， PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是△ABC 的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
P
线线垂直
A
线面垂直
C EH D
B
线线垂直
练习
以港兴市
为“看不见的手”把脉
专题探究
一哄而下
设计目的：反映市场调节盲目性与自发性问题
靠山养山，方能吃山
设计目的：反映局部效益与整体效益冲突的现象
以港兴市
设计目的：反映政府调控失灵的现象
为“看不见的手把脉”
设计目的：综合分析市场机制的弊端
“看得见的手”所对应的课标内容
内容目标：从消极方面，讨论当代市场经济对社会 生活的影响。
目标4 了解当今科技发展和经济成长的特点，逐步 形成促进社会进步的思想观念。
第四单元 与经济成长、科技进步同行
课名
置身市场经济
主题
现代经济成长
感受科技之光
现代科技发展
与时俱进的时代精神
思想道德建设
第一课 置身于市场经济
框题
中心
看不见的手
市场在经济生活中的地位和作用
看得见的手
因地制宜 优势互补
角色与选择
防洪堤
l 市场无法提供的物品
路灯
l 某些产品不能任由市场调节
l 市场调节的弱点
滞后性 自发性 盲目性
枪支 毒品
物品
私人物品 公共物品
如苹果
私人物品 具有排他性 购买才能消费
市场调节
2018-2019学年第一章1.2.3 空间中的垂直关系课件(35张)
第一章 1.2.3
空间中的垂直关系
第1课时 直线与平面垂直
学习目标
1.理解直线与平面垂直的定义及性质. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解 决相关的问题.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 (1)直线与直线垂直
直线与平面垂直的定义及性质
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 直角，
A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.
证明
反思与感悟 平行关系与垂直关系之间的相互转化
跟踪训练2
如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，
垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 证明 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB， 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a⊂β， 所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.
证明 由例1知BC⊥平面PAC，
又∵AE⊂平面PAC，
∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.
证明
反思与感悟 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直.
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线.
(3)根据判定定理得出结论.
推论1
条垂直于一个平面， 结论：另一条直线也垂直于 这个平面
l⊥α ⇒ m⊥α l∥m _____
条件：两条直线垂直于同一个 _______
推论2 平面，
l⊥α ⇒l∥m _____ m⊥α
结论：这两条直线平行
[思考辨析 判断正误] 1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可 能平行.( × ) 2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × ) 3.若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( × )
空间中的垂直关系
第1课时 直线与平面垂直
学习目标
1.理解直线与平面垂直的定义及性质. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解 决相关的问题.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 (1)直线与直线垂直
直线与平面垂直的定义及性质
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 直角，
A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.
证明
反思与感悟 平行关系与垂直关系之间的相互转化
跟踪训练2
如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，
垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 证明 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB， 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a⊂β， 所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.
证明 由例1知BC⊥平面PAC，
又∵AE⊂平面PAC，
∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.
证明
反思与感悟 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直.
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线.
(3)根据判定定理得出结论.
推论1
条垂直于一个平面， 结论：另一条直线也垂直于 这个平面
l⊥α ⇒ m⊥α l∥m _____
条件：两条直线垂直于同一个 _______
推论2 平面，
l⊥α ⇒l∥m _____ m⊥α
结论：这两条直线平行
[思考辨析 判断正误] 1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可 能平行.( × ) 2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × ) 3.若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( × )
空间里的垂直关系PPT优选课件
2020/10/18
4
ι
α
α
Ｏ
直线与平面垂直
一般地，如果一条直线ι和一个平面α相交于点
O，并且与平面α内经过交点的两条相交直线都垂直，
我们就说直线ι和这个平面α互相垂直，直线ι叫做平
面α的垂线。
记作： ι⊥α或α⊥ι ，垂线ι和平面α的交点叫做
垂足。 2020/10/18
5
2020/10/18
β
空间里的 垂直关系
2020/10/18
施教老师：
1
空间里的 垂直关系
2020/10/18
施教老师：莫益群
2
问题：
在同一平面内，两条直线之间有 哪两种位置关系？
（平行、相交）
2020/10/18
3
(1)每星期二我们学校都要举 行升旗仪式，大家看到的旗 杆和地面给我们一种怎样的 印象？
(2)教室里的墙面和地面给我们一种什么印象？
又∵ 平面AB1平面经过AB，
∴ 平面AB1⊥平面 BC1 ， 同理平面 A1C1 ⊥平面BC1。
（2）过点C和平面AD1垂直的棱 是的平C面D是，平过面点DCC和1平和面平A面DA1C垂直。
2020/10/18
C1 B1
C B
9
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
ι
o
α
6
平面与平面垂直
一般地，如果平面β经过平面α的一条垂线ι ，我们 就说这两个平面互相垂直。
记作： α⊥β或β⊥α 。
2020/10/18
7
例：在右图的长方体中，
哪些棱和平面AC垂直， 哪些面所在的平面和平 面AC垂直？
D1 A1
《空间中的垂直关系》课件
《空间中的垂直关系》PPT课 件
垂直关系在空间中起着重要的作用。本PPT课件旨在介绍垂直关系的定义、 基本概念、应用和重要性，以及建筑结构中的具体应用。
引言
空间中的垂直关系是指物体在垂直方向上的位置和相互关系。垂直关系在建筑、城市规划等领域具有重 要作用，能够影响空间的布局和设计。
垂直方向的基本概念
2
垂直投影的定义和应用
垂直投影是指物体在某个垂直平面上的投影，可以用于建筑设计和工程测量等领 域。
3
垂直距离的测量方法
垂直距离是指两个物体之间在垂直方向上的距离，可以通过测量工具或基于三角 关系计算得出。
应用
1 垂直的重要性和应用
2 实例分析：建筑结构中的垂直关系
垂直关系在建筑结构、城市规划和室内设 计等领域中起着重要作用，能够优化空间 布局和提升空间感。
以高层建筑为例，垂直关系可以影响建筑 的稳定性、使用功能和美观性，是建筑设 计中不可忽视的因素。
总结
垂直关系在空间中具有重要性，能够决定空间的布局和设计。深入了解垂直 关系的定义、基本概念和应用，将有助于提升空间规划与设计的质量。
本PPT课件提供了垂直关系的基本知识和应用框架，以及建筑结构中的实例 分析，可根据实际需求进行具体运用。
垂线的定义
垂线是指与给定直线或平面垂直相交的直线。
垂直平面的定义
垂直平面是指与给定平面垂直相交的平面。
垂直角的定义
垂直角是指两条相交直线、弦或切线所夹的 角为90度。
空间中的垂直关系
1
不同垂直关系的分类
在空间中，垂直关系可以分为垂直与水平、垂直与斜面等不同类型。
参考文献
• 李宁，蔡明华. 理论建筑设计教程 [M]. 机械工业出版社，2015. • Thom as P.J. Architecture 101: From Frank Gehry to Ziggurats,
垂直关系在空间中起着重要的作用。本PPT课件旨在介绍垂直关系的定义、 基本概念、应用和重要性，以及建筑结构中的具体应用。
引言
空间中的垂直关系是指物体在垂直方向上的位置和相互关系。垂直关系在建筑、城市规划等领域具有重 要作用，能够影响空间的布局和设计。
垂直方向的基本概念
2
垂直投影的定义和应用
垂直投影是指物体在某个垂直平面上的投影，可以用于建筑设计和工程测量等领 域。
3
垂直距离的测量方法
垂直距离是指两个物体之间在垂直方向上的距离，可以通过测量工具或基于三角 关系计算得出。
应用
1 垂直的重要性和应用
2 实例分析：建筑结构中的垂直关系
垂直关系在建筑结构、城市规划和室内设 计等领域中起着重要作用，能够优化空间 布局和提升空间感。
以高层建筑为例，垂直关系可以影响建筑 的稳定性、使用功能和美观性，是建筑设 计中不可忽视的因素。
总结
垂直关系在空间中具有重要性，能够决定空间的布局和设计。深入了解垂直 关系的定义、基本概念和应用，将有助于提升空间规划与设计的质量。
本PPT课件提供了垂直关系的基本知识和应用框架，以及建筑结构中的实例 分析，可根据实际需求进行具体运用。
垂线的定义
垂线是指与给定直线或平面垂直相交的直线。
垂直平面的定义
垂直平面是指与给定平面垂直相交的平面。
垂直角的定义
垂直角是指两条相交直线、弦或切线所夹的 角为90度。
空间中的垂直关系
1
不同垂直关系的分类
在空间中，垂直关系可以分为垂直与水平、垂直与斜面等不同类型。
参考文献
• 李宁，蔡明华. 理论建筑设计教程 [M]. 机械工业出版社，2015. • Thom as P.J. Architecture 101: From Frank Gehry to Ziggurats,
空间中的垂直关系 人教课标版精品公开PPT课件
（1）找交线
（2）在其中一个平面 内找与交线垂直的直线
符 号 语
I l
m
l
言
l m
4、常用结论
文 1、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个
字 语 言
平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在 第一个平面内
图 形
Pl
语
言
提供了一种点向面 作垂线的方法，有 利于求点面距
符 号 语 言
P Pl
a
图 形 语 言
α
2、判定定理：
文 如果一条直线 a 与一个平面 内两条相交直
字 线都垂直，我们就说直线 a 与平面 互相
语 垂直，记作： a
言
a
线
图
不
形
语 言
b
Oc
在 多 ，
ab
符 号 语 言
a b
c c
O
a
b
相 交 就 灵
c
3、性质定理：
文 字
如果两条直线垂直于同一个平面，那么
C
P
根据平面几何知识得到：BDC90o，
DCBD
D Q平面PBD平面BDC且平面PBDI 平面BDCBD
B
CD平面PBD，
C
PB平 面 PBD CDPB 又 QPBPD ， CDI PDD ， CD平 面 PCD ， PD平 面 PCD PB平 面 PCD,
QPB平面PBC 平面PBC平面PCD
A1
D
O
A
B1 A C 平 面 B D D （ 1平 面 B D D 1 B 1 )
C B
线面垂直
ACBD1 线线垂直
AC B1D
面面垂直
经 过 A C 的 平 面 平 面 B D D 1 B 1
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C 又 平面PAD 平面ABCD AD CD 平面PAD
B
CD平面PCD 平面PAD平面PCD
变式题: 在四边形ABCD中，AD∥BC，ADAB，BCD45，
BAD90,将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的
位置为P，且使平面PBD平面BCD
求证：平面PBC平面PCD
P
A
D
B P
B
D
B C
C
关于平面图形的翻折，关键是弄清翻 折前后的数量关系和位置关系的变化 D 和不变化
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C
B
几何画板
变式题
在 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， M 、 N 、 P 分 别 是 C C 1 、 B 1 C 1 、 C 1 D 1 的 中 点 ， 求 证 ： M N A P
D1 A1
P
C1
N
B1
M
D1 A1
C1 B1
D A
C B
D A
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
2、判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的垂线，
文 字 语
那么这两个平面互相垂直 （如果能在一个平面内找到另一个平面
言 的垂线，那么这两个平面互相垂直）
图
形
l
语
言
符 号 语
l l
言
3、性质定理
文 字 语
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
言
图
l
形
语 言
91.要及时把握梦想，因为梦想一死 ，生命 就如一 只羽翼 受创的 小鸟， 无法飞 翔。― ―[兰斯 顿·休 斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而 较不像 跳舞的 艺术； 最重要 的是： 站稳脚 步，为 无法预 见的攻 击做准 备。― ―[玛科 斯·奥 雷利阿 斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还 有些使 人烦恼.怀疑.感到压 迫的事 。请你 看看蔚 蓝的天 空和闪 烁的星 星吧!你的心将 会平静 下来。[约翰·纳森·爱 德瓦兹]
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
如果两条直线垂直于同一个平面，那么
语 这两条直线平行
言
线面垂直
图
a
b
形
语
言
线线平行 线面平行
符 号 语
a b
a∥b
言
4、常用的结论
a
b
（1）
a∥b
a
b
（2）两个唯一： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.
（三）面面垂直 1、定义： 如果两个平面所成的二面角是直二面角， 那么就说这两个平面互相垂直
证明：
ACBC
D是AB的中点 CDAB
棱 柱 A B C A 1 B 1 C 1 是 直 棱 柱 AA1底 面 ABC
C1
CD AA1
CD平 面 ABC
A1
B1
AA1 平 面 ABB1 A1
AB 平 面 ABB1 A1
AA1 AB A
C
A
D
C D 平 面 A B B 1A 1
1、回归课本： （ 1）指出下列命题是否正确，并说明理由
①若a∥b,ca,则cb ②若ac,bc,则a∥b
（2）已知直线l，m，n与平面，指出下列命题
是否正确，并说明理由
①若l ，则l与相交 ②若m,n,l m,l n,则l ③若l∥m,m,n,则l∥n
（3）判断下列命题是否正确，并说明理由
①若， ，则∥ ②若， ，则 ③若∥1，∥1，，则1 1
S
（1） （2）
Q
B
P
C
D
A
（1）连接BD，在梯形ABCD中根据平面几何知识得：BD AP
SB底面ABCDSB AP
又 SB平面SBD，BD平面SBD
且SB BDB
AP平面SBD
S
又 SD平面SBD
APSD
B
P
C
A
D
（2）过P点作PQ SC交SC于Q点
SB 底面ABCD SB CD
BCD 90 CD BC SB 平面SBC BC 平面SBC
空间中的垂直关系
l
m
垂直关系的考查一般有两种方式：
1、通过命题的真假判定，直接考查有关的定义、 判定和性质。
2、以空间几何体作为载体，证明有关线线、线面、 面面的垂直关系。
一、知识网络 二、回归课本 三、案例分析 四、规律总结
一、知识网络
线线垂直 空 间 中 的 线面垂直 垂 直 关 系 面面垂直
A1
D
O
A
B1 A C 平 面 B D D （ 1平 面 B D D 1 B 1 )
C B
线面垂直
ACBD1 线线垂直
ACB1D
面面垂直
经 过 A C 的 平 面 平 面 B D D 1 B 1
线面垂直 B 1D 1平 面 A C C 1A 1
D1 A1
D A
C1 B1
那么面对角线 B 1 C 呢？
88.每个意念都是一场祈祷。――[詹 姆士·雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而 一切恶 行都围 绕虚荣 心而生 ，都不 过是满 足虚荣 心的手 段。― ―[柏格 森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变 成某种 定型的 化石， 我们的 心灵正 在失去 自由， 成为平 静而没 有激情 的时间 之流的 奴隶。 ――[托 尔斯泰 ]
例2：
四 棱 锥 P A B C D 中 ， 四 边 形 A B C D 是 矩 形 ， 侧 面 P A D 底 面 A B C D 求 证 ： 平 面 P A D 平 面 P C D
P
提出问题:
D A
C 1、面面垂直怎么证？
B
2、面面垂直怎么用？
P D
A
证明： 四边形ABCD是矩形
CD AD 平面PAD 平面ABCD
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
CD
平面SBC
PQ平面SBC
SB BSC B
Q
CDPQ
PQ SC SC 平 面 SCD CD 平 面 SCD SC CD C
B
P
C
A
D PQ平 面 SCD 平 面 A P Q 平 面 SC D
PQ平面APQ
因为SB=BC，所以Q点是SC的靠近C点的四等 分点
（二）以命题的形式，考查垂直的定义、判定和性质
B
变式题：在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 是 A A 1 的中点，
ACAB 求证：平面 B1DC 平面 BB1C1C 分析：
面面垂直怎么证明呢？
A
D
A1
在其中一个平面内找另一个
C
平面的垂线 B
C1 B1
证 明 ： 取 BC和 B1C的 中 点 E、A
D
A1
F， 并 连 接 AE、 DF、 EF
D是AA1的中点
AD∥BB1且AD=
1 2
BB1
B
又EF∥ BB1且 EF=1 2BB1
AD∥AD=EF
四边形ADEF是平行四边形
EC F
C1
B1
DF平面B1DC 平面B1DC平面BB1C1C
AE∥DF
在 例 1中 已 经 证 明 过 AE平 面 BB1C1C
DF平 面 BB1C1C(需 要 证 明 )
（1）找交线
（2）在其中一个平面 内找与交线垂直的直线
符 号 语
l
m
l
言
l m
4、常用结论
文 1、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个
字 语 言
平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在 第一个平面内
图 形
P
l
语
言
提供了一种点向面 作垂线的方法，有 利于求点面距
符 号 语 言
P Pl
l
l
2、
l
l
l
三、案例分析
（一）以几何体为载体，证明线线、线面、面面的垂直
B
CD平面PCD 平面PAD平面PCD
变式题: 在四边形ABCD中，AD∥BC，ADAB，BCD45，
BAD90,将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的
位置为P，且使平面PBD平面BCD
求证：平面PBC平面PCD
P
A
D
B P
B
D
B C
C
关于平面图形的翻折，关键是弄清翻 折前后的数量关系和位置关系的变化 D 和不变化
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C
B
几何画板
变式题
在 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， M 、 N 、 P 分 别 是 C C 1 、 B 1 C 1 、 C 1 D 1 的 中 点 ， 求 证 ： M N A P
D1 A1
P
C1
N
B1
M
D1 A1
C1 B1
D A
C B
D A
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
2、判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的垂线，
文 字 语
那么这两个平面互相垂直 （如果能在一个平面内找到另一个平面
言 的垂线，那么这两个平面互相垂直）
图
形
l
语
言
符 号 语
l l
言
3、性质定理
文 字 语
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
言
图
l
形
语 言
91.要及时把握梦想，因为梦想一死 ，生命 就如一 只羽翼 受创的 小鸟， 无法飞 翔。― ―[兰斯 顿·休 斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而 较不像 跳舞的 艺术； 最重要 的是： 站稳脚 步，为 无法预 见的攻 击做准 备。― ―[玛科 斯·奥 雷利阿 斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还 有些使 人烦恼.怀疑.感到压 迫的事 。请你 看看蔚 蓝的天 空和闪 烁的星 星吧!你的心将 会平静 下来。[约翰·纳森·爱 德瓦兹]
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
如果两条直线垂直于同一个平面，那么
语 这两条直线平行
言
线面垂直
图
a
b
形
语
言
线线平行 线面平行
符 号 语
a b
a∥b
言
4、常用的结论
a
b
（1）
a∥b
a
b
（2）两个唯一： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.
（三）面面垂直 1、定义： 如果两个平面所成的二面角是直二面角， 那么就说这两个平面互相垂直
证明：
ACBC
D是AB的中点 CDAB
棱 柱 A B C A 1 B 1 C 1 是 直 棱 柱 AA1底 面 ABC
C1
CD AA1
CD平 面 ABC
A1
B1
AA1 平 面 ABB1 A1
AB 平 面 ABB1 A1
AA1 AB A
C
A
D
C D 平 面 A B B 1A 1
1、回归课本： （ 1）指出下列命题是否正确，并说明理由
①若a∥b,ca,则cb ②若ac,bc,则a∥b
（2）已知直线l，m，n与平面，指出下列命题
是否正确，并说明理由
①若l ，则l与相交 ②若m,n,l m,l n,则l ③若l∥m,m,n,则l∥n
（3）判断下列命题是否正确，并说明理由
①若， ，则∥ ②若， ，则 ③若∥1，∥1，，则1 1
S
（1） （2）
Q
B
P
C
D
A
（1）连接BD，在梯形ABCD中根据平面几何知识得：BD AP
SB底面ABCDSB AP
又 SB平面SBD，BD平面SBD
且SB BDB
AP平面SBD
S
又 SD平面SBD
APSD
B
P
C
A
D
（2）过P点作PQ SC交SC于Q点
SB 底面ABCD SB CD
BCD 90 CD BC SB 平面SBC BC 平面SBC
空间中的垂直关系
l
m
垂直关系的考查一般有两种方式：
1、通过命题的真假判定，直接考查有关的定义、 判定和性质。
2、以空间几何体作为载体，证明有关线线、线面、 面面的垂直关系。
一、知识网络 二、回归课本 三、案例分析 四、规律总结
一、知识网络
线线垂直 空 间 中 的 线面垂直 垂 直 关 系 面面垂直
A1
D
O
A
B1 A C 平 面 B D D （ 1平 面 B D D 1 B 1 )
C B
线面垂直
ACBD1 线线垂直
ACB1D
面面垂直
经 过 A C 的 平 面 平 面 B D D 1 B 1
线面垂直 B 1D 1平 面 A C C 1A 1
D1 A1
D A
C1 B1
那么面对角线 B 1 C 呢？
88.每个意念都是一场祈祷。――[詹 姆士·雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而 一切恶 行都围 绕虚荣 心而生 ，都不 过是满 足虚荣 心的手 段。― ―[柏格 森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变 成某种 定型的 化石， 我们的 心灵正 在失去 自由， 成为平 静而没 有激情 的时间 之流的 奴隶。 ――[托 尔斯泰 ]
例2：
四 棱 锥 P A B C D 中 ， 四 边 形 A B C D 是 矩 形 ， 侧 面 P A D 底 面 A B C D 求 证 ： 平 面 P A D 平 面 P C D
P
提出问题:
D A
C 1、面面垂直怎么证？
B
2、面面垂直怎么用？
P D
A
证明： 四边形ABCD是矩形
CD AD 平面PAD 平面ABCD
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
CD
平面SBC
PQ平面SBC
SB BSC B
Q
CDPQ
PQ SC SC 平 面 SCD CD 平 面 SCD SC CD C
B
P
C
A
D PQ平 面 SCD 平 面 A P Q 平 面 SC D
PQ平面APQ
因为SB=BC，所以Q点是SC的靠近C点的四等 分点
（二）以命题的形式，考查垂直的定义、判定和性质
B
变式题：在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 是 A A 1 的中点，
ACAB 求证：平面 B1DC 平面 BB1C1C 分析：
面面垂直怎么证明呢？
A
D
A1
在其中一个平面内找另一个
C
平面的垂线 B
C1 B1
证 明 ： 取 BC和 B1C的 中 点 E、A
D
A1
F， 并 连 接 AE、 DF、 EF
D是AA1的中点
AD∥BB1且AD=
1 2
BB1
B
又EF∥ BB1且 EF=1 2BB1
AD∥AD=EF
四边形ADEF是平行四边形
EC F
C1
B1
DF平面B1DC 平面B1DC平面BB1C1C
AE∥DF
在 例 1中 已 经 证 明 过 AE平 面 BB1C1C
DF平 面 BB1C1C(需 要 证 明 )
（1）找交线
（2）在其中一个平面 内找与交线垂直的直线
符 号 语
l
m
l
言
l m
4、常用结论
文 1、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个
字 语 言
平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在 第一个平面内
图 形
P
l
语
言
提供了一种点向面 作垂线的方法，有 利于求点面距
符 号 语 言
P Pl
l
l
2、
l
l
l
三、案例分析
（一）以几何体为载体，证明线线、线面、面面的垂直