高数齐次方程

ln
C (x 1)
得 C = 1 , 故所求特解为
思考: 若方程改为 提示:
如何求解?
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注：用一个新变量去代替整体变量的思想
如 dy f x y ,
dx 令 x + y = u ，则 y = u – x , 得
du 1 f u
dx 这是可分离变量的方程。
dx x x
x
u xu 2u u2
分离变量
u
d
2
u
u
dx x
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
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例2. 解微分方程
解: 方程变形为 dy 2 y y 2 , 令 u y , 则有
求解过程中丢失了.
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*二、可化为齐次方程的方程
( c2 c12 0 )
1.当 a1 b1 时,作变换 x X h, y Y k ( h, k 为待 ab
定常数), 则d x d X , d y dY , 原方程化为
ahbk c a1h b1k c1
dx
v c1
注: 上述方法可适用于下述更一般的方程
( c2 c12 0 )
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例3. 求解
解: 作变换 x X h, y Y k ，原方程可化为
dY X Y h k 4 d X X Y hk 6
令 h k 4 0 得 h 1, k 5 hk 6 0
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例1. 解微分方程 y 解: 令 u y , 则y
u
y x
tan y . x
x u, 代入原方程得
x
u x u u tan u
分离变量
d u d x cos u d u d x
tan u x
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
令
, 解出 h , k
(齐次方程)
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求出其解后,
即得原方
程的解.
2.当 a1 b1 时, 原方程可化为
ab
dy a x by c (b 0)
dx
(a x by) c1
令 v a x by, 则
dv
a
bd y
dx
dx
dv a b v c (可分离变量方程)
即 x X 1, y Y 5 , 得 dY X Y d X X Y
再令 u Y X
,
得
1u 1 u2
du dX X
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积分得
arctan u
1 2
ln
(1
u
2
)
ln
C
X
代回原变量, 得原方程的通解:
arctan
y x
5 1
1 2
ln
1
Leabharlann Baidu
y5 x 1
2
第三节 齐次方程
第七章
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程
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一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得
du
(u) u
dx x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.