理论力学动力学部分5达朗伯原理

+
P g
× aC
=
0
即：12 r（2 e A + e B）- 2rg + aC = 0 联立以上两式可以解得：
aC
=
4 5
g
JOe A
FOy FOx P
JCeB
D
P g
aC
P
4
五 达朗贝尔原理
解法2：利用质点系的动量矩定理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：
以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr
对时间取二阶导数
å 得：MarC = miari
å å r
FIR =
r FIi = -
mi ari
r FIR
=
MarC
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 这一简化结果与运动形式无关。
五 达朗贝尔原理
19
（2）惯性力系的主矩 对于惯性力系的主矩，除与刚体运动形式有关
å M y (Fi ) + M y (FNi ) + M y (FIi ) = M y (F ) = 0 i
å M z (Fi ) + M z (FNi ) + M z (FIi ) = M z (F ) = 0 i
五 达朗贝尔原理
17
4 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体
上各点的绝对加速度有关。 FIi＝－miai
R’和主矩MC’的大小分别为( B )。
( A)
R ' = mR
w
4
+
e
2
,
M
C
'
=
1 12
ml
2e
(B) R ' = mR w 4 + e 2 , M C ' = 0
(C) R ' = mRw2, M C ' = 0
(D)
R
'
=
mRe
,
MC
'
=
1 3
ml 2e
分析：AB作平动，故惯性力系简体只有主矢，其大小为质量 与质心加速度的乘积。
对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成 平面力系。
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成 空间一般力系。
在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究 其简化问题。
以刚体质心为简化中心
五 达朗贝尔原理
18
（1）惯性力系的主矢 刚体惯性力系的主矢与
刚体运动形式无关
把刚体质心坐标公式
rrC
å =
mi rri M
1
五 达朗贝尔原理
9
3 质点系的达朗伯原理
设非自由质点系由 n个质点组成，其中第 i 个
质点的质量为 mi，其加速度为 ai，作用在此质点上 的外力的合Fri力e +为FriFi i+e，Fr内Ii 力= 0的合力(i =为1,F2,i×。i ××, n)
对整个质点系来讲，有n 个这样的力系，将这 些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦 为平衡力系。任意力系的平衡条件是力系的主矢和
求导得：aC = e Ar + eBr
dH O dt
=
d dt
(
1 2
×
P g
×
r
2
×wA
+
1 2
×
P g
×r2
×wB
+
P g
×
vC
× 2r)
=
1 2
×
P g
×r2
× (e
A
+
eB
)
+
P g
×
aC
× 2r
å MO(F) = P × 2r
å 由 dHO =
dt
M O (F )得
1 2
×
P g
×
r2
× (e A
=
4 7
P
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-49】如图所示，均质圆柱A、B重均为P，半径均为r，
绳子一端绕在绕O轴转动的A圆柱上，另一端绕在B圆柱上。若不
计摩擦，则B落下时其质心C的加速度aC为( B )。
( A) g
(B) 4 g 5
(C) 3 g 4
(D) 1 g 2
分析：此题目的解法较多，可以用达朗伯原理，动能定理，动 量矩定理，及刚体平面运动微分方程等求解。
动力学部分
1
本部分主要内容 一、质点运动微分方程 二、动量定理 三、动量矩定理 四、动能定理 五、达朗伯原理 六、单自由度系统的振动
五 达朗贝尔原理
2
前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系动力学 问题提供了一种普遍的方法。
达朗伯原理为解决非自由质点系动力学问题提供了 另一种普遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究 平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此这种 方法又叫动静法。
5
质点的达朗贝尔原理
动静法
rr r F + FN + FI = 0
应用达朗贝尔原理求解非 自由质点动约束力的方法
（1）分析质点所受的主动力和约束力； （2）分析质点的运动，确定加速度； （3）在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。
五 达朗贝尔原理
6
质点达朗贝尔原理的投影形式
å Fx + FNx + FIx = Fx = 0 i
等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向 与质心加速度的方向相反；力偶 M IC 的矩等于刚体
对过质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，
转向与角加速度的转向相反。
五 达朗贝尔原理
24
刚体惯性力系的简化如下表所示：
3
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-57】图示机构O1ABO2为一平行四边形，O1A=O2B=R， O1O2=AB=l，在该瞬时杆O1A绕O1轴的角速度为ω，角加速度为 ε，则质量为m的均质杆AB的惯性力系向其质心C简化的主矢量
大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。
五 达朗贝尔原理
22
现在讨论以下三种特殊情况：
① 当转轴通过质心C时， aC = 0 ， FIR = 0，
M IC = -JCe。此时惯性力系简化为一惯性力偶。
心，②惯当性刚力体系作简匀化速为转一动惯时性，力eFrI=R ，0，且若F转rIR 轴= -不Ma过rC，质
w e r a FInR
FIτR FIτi
MOIO
ain
i
aCn aCτ
Mi
Cτ
i
FIti = mi ait = mi ria FIni = mi ain = miriw 2 FIni
方向如图所示。该惯性力系的主矢为
r FIR＝－
marC＝－
m
(
arCt
+
arCn
)
即
FIRτ ＝－ maCτ
FIRn＝－
五 达朗贝尔原理
24
以刚体质心为简化中心 设刚体作平面运动，取质心C为基点，这 时可将刚体的作平面运动分解为随同质心 的主平矢动：和绕质心的Fr转IR＝动－。得M arC
FIR
e
aC
M IC
主矩：
M IC = - J Ce
结论：平面运动刚体的惯性力系，可以简化为通过 质心C的一个惯性力和一个惯性力偶。力FIR 的大小
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动 约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
五 达朗贝尔原理
3
1 质点的达朗伯原理
设质量为 m 的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬
时作用于质点M上的主动力为
加速mar度=为Fra+。FrN
rr F + FN + (-
F ，约束反力为FN，其
mar) = 0
F1 FI1 FNam2m121FIiFmN1iFNFi ai
合力和外约束反力的合力，于是得
F2 a2
i
å
Mår OFr(i
+ Fi
å FrNi )+å
M+r
å FrIi O (FNi
=0 )+å
Mr O
( FIi
)
=
0
即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所
有主动力系，约束反力系和惯性力系构成形式上的平
å Fy + FNy + FIy = Fy = 0 i
å Fz + FNz + FIz = Fz = 0 i
五 达朗贝尔原理
4
2 惯性力
对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等于 ma的力-ma存在，它作用在使质点运动状态发生改 变的物体上。
例如，人推车前进，这个 力向后作用在人手上。正 是通过这个力，我们感到 了物体运动的惯性，称这 个力为惯性力。
外，还与简化中心的位置有关。
1）平移
以刚体质心为简化中心
FrIR＝－marC
M IC＝0
结论：刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质 心的合力。其方向与平移加速度的方向相反，大 小等于刚体质量与加速度的乘积。
2
五 达朗贝尔原理
20
2）定轴转动
a）惯性力系的主矢 向转轴上任一点O简化，其上任
一点的惯性力的分量的大小为
mR 2e
JOe
maC
(C)
R
'
=
1 2
mR
w4
+
e
2
,
MO
'
=
1 2
mR2e
(D)
R
'
=
1 2
mR
w4
+
e
2
,
MO
'
=
3 4
mR2e
分析：按定轴转动(转轴不通过质心)刚体惯性力系的简体 定义求解即可。
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-59】均质杆AB长为l，重为P，用两绳悬挂如图示。当
右绳突然断裂时，杆质心C的加速度aC和左绳拉力T的大小为 ( C )。
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-58】半径为R、质量为m的均质圆盘绕偏心轴O转动，
偏心距e=R／2，图示瞬时转动角速度为ω，角加速度为ε，则
该圆盘的惯性力系向O点简化的主矢量R’和主矩MO’的大小为
( D )。
( A)
R
'
=
1 2
mRw 2
,MO
'
=
1 4
mR 2e
(B)
R
'
=
1 2
mRw,
M
O
'
=
5 4
FI M
F
令 FrI = -mar 则有 Fr + FrN + FrI = 0
a
FN
假想 FI是一个力，称为质点的惯性力。大小等于质量 与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。
在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动 力、约束反力和惯性力构成形式上的平衡力系。这就 是质点的达朗贝尔原理。
五 达朗贝尔原理
对任意å点MrOO 的(åF主ieFr)i矩e++分åå别MrF等rOii(于+Fiå零i ) +，FrIåi即=Mr0O (FIi ) = 0
五 达朗贝尔原理
10
i 质值点反系向的，内有力å总Fr是ii =成0对出å 现Mr O，(F且ii )彼=；此0而等
剩下的外力系又可分为作用在质点系上 的主动力系和外约束反力系，设 、 分别Fi为作FN用i 在第 个质点上的主动力的 FI2
+
eB
)
+
P g
× aC
×
2r =P
×
2r
联立以上两式可以解得：aC
=
4 5
g
24
wA
FOy FOx
P
wB
D
P
vC
五 达朗贝尔原理
解法3：利用质点系动能定理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr
求导得：aC = e Ar + e Br
衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
五 达朗贝尔原理
11
质点系达朗贝尔原理的投影形式
å Fix + FNix + FIix = Fx = 0 i
å Fiy + FNiy + FIiy = Fy = 0 i
å Fiz + FNiz + FIiz = Fz = 0 i
å M x (Fi ) + M x (FNi ) + M x (FIi ) = M x (F ) = 0 i
五 达朗贝尔原理
24
解：
受力分析和运动分析如图示：
采用达朗伯原理求解： maC
å Fy = 0, maC + T - mg = 0
åM
D
(F
)
=
0,
JDe
-
mg
×
l 4
=
0
e JDe mg
aC
=
l 4
Hale Waihona Puke Baidu
e
,
J
D
=
1 12
ml
2
+
m
×
(
l 4
)
2
=
7 48
ml
2
求解以上方程，可以得到：
aC
=
3 7
g,T
ma
n C
五 达朗贝尔原理
21
b）惯性力系对转轴O的主矩为 M IO = å M O (FIti ) + å M O (FIin ) FIni 通过O点，有å M O (FIni ) = 0，所以
M IO = å M O (FIti ) = - å(mirie )ri = -(å miri2 )e
w e r FInR
五 达朗贝尔原理
24
解法1：利用达朗伯原理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：
以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr 求导得：aC = e Ar + e Br 由达朗伯原理：
åMO(F)
=
0,
1 2
×
P g
×r2
×eA
+
1 2
×
P g
×r2
×eB
-
P ×2r
同时力的作用线通过转轴O。
③当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时， r FIR = 0，M IC = 0 ，惯性力系自成平衡力系。
五 达朗贝尔原理
23
3）平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运 动平面与质量对称平面互相平行。
对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力 系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。
( A)
aC
=
1 4
g,T
=
3 4
P
(B)
aC
=
3 5
g,T
=
2 5
P
(C)
aC
=
3 7
g,T
=
4 7
P
(D)
aC
=
3 10
g,T
=
7 10
P
分析：可以利用刚体定轴转动的微分方程求质心C的加速 度aC ，再利用达朗伯原理求绳子的拉力T。或直接利用达 朗伯原理求解。（求解动反力问题时一般用达朗伯原理）
FIτR FIτi
a
MOIOaCn
n
aCτ
i i
Mi
aCiτ
故 M IO = - J Oe
FIni
结论：对称平面的刚体绕垂直于该平面的轴转动时， 惯性力系简化为在平面内通过转轴O的一个惯性力和 一个惯性力偶。力FIR的大小等于刚体的质量与其质心 加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反； 力偶M IO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度