高中数列方法与解题技巧(学生版)

高中数列方法与解题技巧

一、数列求通项的10种方法

二、数列求和的7种方法

三、6道高考数列大题

数列求通项的10种方法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式.

方法：等式两边同时除以12n + ，构造成等差数列，利用等差数列公式求解。

形式：n a 项系数与后面所加项底数相同

二、累加法

例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式.

方法： 12121

........................

211n n a a n a a +--=+=⨯- 将上述各式累加，中间式子首尾项相抵可求得n a

形式：()1

n n a a f n +=+； 要求1n a +、n a 的系数均为1，对于n a 不为1时，需除以系

数化为1。 例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.

方法：同例2

例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.

方法：等式的两边同除以3，，将n a 系数化为1，再用累加法。

三、累乘法

例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式.。

方法：()()11

21

215..........................2115n

n n

a n a a a +=+=+ 将上述各式累乘，消除中间各项，可求得n a

形式：()1n n a f n a +=•；1n n a +是a 的关于n 的倍数关系。

例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式. 方法：本题与例5不同之处是想要通过错位相减法，求出1n n a a +与 的递推关系，然后才能用累成法求。

四、待定系数法（X,Y,Z 法）

例7 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式.

方法：构造数列()11

525,n n n n a x a x x +++•=+•反解。 形式：()1n n a ka f n +=+

例8 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：构造数列()11232n n n n a x y a x y +++•+=+•+ ，本题中递推关系中含常

数4，对于常数项，可看成是0n 。对于不同形式的n 要设不同的参数。

例9 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：同例8，但它的参数要设3个。

五、对数变换法

例10 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式.

方法：等式两边同取对数得到1

lga lg2lg35lg n n n a +=++ ，然后可利用待定系数法或者累加法求之。

形式：()1

x n n a f n a += ,其中对与n a 的高次方特别有效。

六、迭代法

例11 已知数列{}n a 满足3(1)2115n

n n n a a a ++==，，求数列{}n

a 的通项公式. 方法：按照数列对应函数关系，由1a 逐层加上去，直到推到n a 为止。

形式：()1n n a f a +=

七、数学归纳法 例12 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：演算n a 的前4项，猜测、发现项数n 与项值之间的关系，然后证明猜测的正确性。 形式：对于形式比较繁复，无从下手时，可以考虑用数归法去大胆猜测。

八、换元法

例13 已知数列{}n a

满足111(14116n n a a a +=

+=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法

：令n b =，可将数列n a 递推关系转化为数列n b

的递推关系。从而去掉

，实现有理化或者整式化。

形式

：111n n n a f a f a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭或者

九、不动点法

例14 已知数列{}n a 满足112124441

n n n a a a a +-==+，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：求函数()212441

x x f x x -==+ ，两个自变量与对应函数相等时的值，解得122,3x x == 。即存在k 使得113322

n n n n a a k a a ++--=-- ，由此可构成新的等比数列 形式：()

()112n n n f a a f a += ，且对应函数有两个不同的解。

例15 已知数列{}n a 满足1172223

n n n a a a a +-==+，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：本题对应函数的解相等，为1，所以不能用不动点法，只能才用数归法做。

十、阶差法（逐项相减法）

例16 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1(1)(2)6

n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式.

方法：由1n

n n a s s -=- 推出1n n a a -与 的递推关系，然后再求数列n a 的通项。 形式：()n

n s f a =

练习 已知数列}{n a 中, 0>n a 且2)1(21+=

n n a S ,求数列}{n a 的通项公式.

数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(21[+==∑=n n k S n

k n