高中数列方法与解题技巧(学生版)

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4.数列求和(学生版)

第四节数列求和知识梳理一公式求和法(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式．(2)等差数列的前n项和公式：S n=n(a1+a n)2=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n.(3)等比数列的前n项和公式：S n=na1，q=1，a1-a n q1-q=a1(1-q n )1-q，q≠1.注意：等比数列公比q的取值情况，要分q=1，q≠1.二分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和．三倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．四裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．五错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．六并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{a n}是等差数列，求数列{(-1)n a n}的前n项和，可用并项求和法求解，分项数为奇数和偶数分别进行求和形如a n=(-1)n f(n)类型，可考虑采用两项合并求解．七四类特殊数列的前n项和①1+2+3+⋯+n=12n(n+1)．②1+3+5+⋯+(2n-1)=n2.③12+22+32+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)．④13+23+33+⋯+n3=14n2(n+1)2.题型探究一分组求和与并项求和一分组求和法解题通法分组转化法求和的常见类型(1)若a n=b n±c n，且{b n}，{c n}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n}的前n项和．(2)通项公式为a n=b n，n为奇数，c n，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{c n}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．1.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-12 n，则其前20项和为()A.379+1220B.399+1220C.419+1220D.439+12202.已知数列{a n}中，a1=a2=1，a n+2=a n+2，n是奇数，2a n，n是偶数，则数列{an}的前20项和为()A.1121B.1122C.1123D.11241.若数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列{a n}的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-22.若a n=1n n+2,n=2k-1,k∈N∗2n,n=2k,k∈N∗，求数列{a n}的前2n项的和S2n.二并项求和法3.已知数列{a n}中，a1=1,a n+1=13a n+n ,n为奇数a n-3n,n为偶数，n∈N*．(Ⅰ)证明：数列a2n-32是等比数列；(Ⅱ)记S n是数列{a n}的前n项和，求S2n．3.已知数列a n的通项公式a n=(-1)n(2n-1)，求该数列的前n项和S n．4.已知数列{a n}的前n项和为S n=1-5+9-13+17-21+⋯+(-1)n-1(4n-3)，则S15+S22-S31的值是()A.13B.76C.46D.-76二倒序相加法4.设f(x )=4x4x+2，若S=f12022+f22022+⋯+f20212022，则S=.反思感悟倒序相加法应用的条件与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解．5.　设f(x)=x21+x2，则f12022+f12021+⋯+f(1)+f(2)+⋯+f(2022)=40432.6.(2022·全国·高三专题练习)已知f(x)=21+x2 (x∈R),若等比数列{a n}满足a1a2020=1,则f(a1)+ f(a2)+⋯+f(a2020)=( )A.20192 B.1010 C.2019 D.20207.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=cos xcos30°-x，f1°+f2°+f3°+⋯+f59°=_ _______.三裂项相消法解题通法1.常见的裂项公式a n的裂项方法a n的裂项方法11n(n+k)=1k1n-1n+k72n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-121n+n+k =1k(n+k-n)8a-1a n(a n+b)(a n+1+b)=1a n+b-1a n+1+b31n2-1=121n-1-1n+19n+2n(n+1)2n=1n2n-1-1n+12n41(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+110n⋅2n-1(n+1)(n+2)=2nn+2-2n-1n+154n2(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1+1111n(n2+1)=121(n-1)n-1n(n+1)61n2(n+2)2=141n2-1(n+2)2121n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2)2.裂项的步骤（以表中7举例）①先只观察分母并对其因式分解：(2n-1)(2n+1-1)；②把分母中的两个因式分开并取倒数，然后做差：12n-1-12n+1-1；③通分：12n-1-12n+1-1=(2n+1-1)-(2n-1)(2n-1)(2n+1-1)=2n(2n-1)(2n+1-1);④跟原式进行比较来配平系数：系数为1.因此2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-13.裂项相消的注意事项①有时分母因式分解有三个因式（如11、12），这时需要把中间大小的重复利用两次，两两一组，分开，再取倒数做差；②裂项相消过程中，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，因此一次要真实相消；4.裂项相消的两种题型(1)直接考查裂项相消法求和．(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决第(2)类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变．在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{a n}的通项公式，达到求解的目的．一形如b n =1a n a n +1({a n }为等差数列)型5.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=26，a 1，a 3，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列1S n +n的前n 项和为T n ，求T n .二形如a n =1n +k +n型6.(2021·西安八校联考)已知函数f (x )=x α的图象过点(4,2)，令a n =1f (n +1)+f (n )，n ∈N +.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2022等于()A.2021-1B.2022-1C.2023-1D.2023+1三形如b n =a n(a n +k )(a n +1+k )({a n }为等比数列)型7.(2021·辽宁凌源二中联考)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,6S n =a 2n +3a n ，n ∈N *，b n =2a n(2a n -1)(2a n +1-1)，若对任意的n ∈N *，k >T n 恒成立，则k 的最小值是()A.17B.49C.149D.8441四带(-1)n的特殊裂项相消类型8.（2022.临沂一模，20）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，4S n=a n+1a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列b n满足a n b n a n+1=(-1)n n，求b n的前2n项和T2n(n∈N*).8.(角度1)在数列{a n}中，a n=1n+1+2 n+1+⋯+nn+1，又b n=1a n a n+1，则数列{b n}的前n项和S n=.9.(角度2)求和S=11+3+13+5+⋯+1119+121=( )A.5B.4C.10D.910.(角度3){a n}是等比数列，a2=12，a5=116，b n=a n+1(a n+1)(a n+1+1)，则数列{b n}的前n项和为( )A.2n-12(2n+1)B.2n-12n+1C.12n+1D.2n-12n+211.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4 =9，a2a3=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n=a n+1S n S n+1，求数列{b n}的前n项和T n．四错位相减法解题通法1.用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n·b n}是由等差数列{a n}与等比数列{b n}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和．第二步：(乘公比)设{a n·b n}的前n项和为T n，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有q k(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差．第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T n.2.用错位相减法求和应注意的问题(1)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式．(2)“S n-qS n”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n-1项，一般是n-1项．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解．3.错位相减法的快捷公式S n=An+Bq n-B(利用a n解出S1，S2解关于A和B的一元二次方程组即可)9.(2022·陕西榆林·三模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n-9.(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=a n⋅log3a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.12.(2020·课标Ⅰ，17节选)已知数列{a n}的通项公式a n=n(-2)n-1，求{a n}的前n项和S n．13.(2021·全国乙)设a n是首项为1的等比数列，数列b n满足b n=na n3.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求a n和b n的通项公式；(2)记S n和T n分别为a n和b n的前n项和．证明：T n<S n2.14.1+2x+3x2+⋯+nx n-1=.(其中x≠0)15.在数列{a n}中，任意相邻两项为坐标的点P(a n，a n+1)均在直线y=2x+k上，数列{b n}满足条件：b1=2，b n=a n+1-a n(n∈N*)．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n=b n∙log21bn，求数列{c n}的前n项和S n．16.已知等差数列{a n}公差不为零，且满足：a1= 2，a1，a2，a5成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=3n a n，求数列{b n}的前n项和．17.(2022·河南)已知在数列a n中，a1=1，a2= 2，a n+2=4a n n∈N*．(1)求a n的通项公式；(2)记b n=3n-5a n，求数列b n的前n项和T n．跟踪测验1已知数列{a n }满足a 1=1，且对任意的n ∈N *都有a n +1=a 1+a n +n ，则1a n的前100项和为( )A.100101 B.99100　C.101100D.2001012已知F (x )=f x +12-1是R 上的奇函数，a n =f (0)+f 1n +f 2n +⋯+f n -1n+f (1)(n∈N *)，则数列a n 的通项公式为( )A.a n =n B.a n =2n C.a n =n +1D.a n =n 2-2n +33(2021·哈尔滨三中期末)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =(-1)n (2n -1)，则S 2023=( )A.2021 B.-2021C.-2023　D.20234已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n +1=a n2，a n 为偶数3a n +1，a n 为奇数，如果a 1=1，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 2018=.5(2021·山东省济南市历城二中高三模考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5-2b 2=a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n =2S n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和T n ，求T 2n .6(2020·天津，19)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4-a 3)，b 5=4(b 4-b 3)．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n +2<S 2n +1(n∈N *)；(3)对任意的正整数n ，设c n =(3a n -2)b n a n a n +2，n 为奇数，a n -1b n +1，n 为偶数. 求数列{c n }的前2n 项和．7(2021·浙江，20,15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=-94，且4S n +1=3S n -9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n +(n -4)a n =0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．8(2021·湖南岳阳一模，18)已知数列{a n}满足a1=1，且点(a n，a n+1-2n)在函数f(x)=3x的图象上．(1)求证：a n2n+1是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)若b n=a n+1a n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n>3n+23.9已知数列{a n}的前n项和S n=-12n2+ kn(其中k∈N*)，且S n的最大值为8．(1)确定常数k，并求a n；(2)若数列9-2a n2n的前n项和为Tn.试证明：T n<4．10已知数列{a n}的前n项和S n=-a n-12 n-1 +2，数列{b n}满足b n=2n a n．(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)设c n=n(n+1)2n(n-a n)(n+1-a n+1)，求数列{c n}的前n项和T n．11已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n-na n =3n(n∈N*)，且a2=5．(1)证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n>310成立的最小正整数n的值．12记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =2a n -2n +1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =(-1)n ·log 223(a n +4)-43，求数列{b n }的前n 项和T n .13已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，b 1=2，数列{a n ⋅b n }的前n 项和为(n -1)⋅2n +1+2．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式．(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，c n =4S n ⋅t n -1n (n +1)b n ，t ≠0，求c 1b n +c 2b n -1+⋯+c n b 1．14(2023·菏泽模拟)已知数列{a n }中，a 1=1，它的前n 项和S n 满足2S n +a n +1=2n +1-1.(1)证明：数列a n -2n3 为等比数列；(2)求S 1+S 2+S 3+⋯+S 2n ；(3)求S 1+S 2+S 3+⋯+S n .15已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，满足32S n=1a n -2-1a n +4.(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列-1 n S n -3n 的前n 项和T n .16(2022·山东日照·模拟预测)已知数列a n 中，a 1=1，a 2=2，a n +2=ka n (k ≠1)，n ∈N ∗，a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5成等差数列．(1)求k 的值和a n 的通项公式；(2)设b n =a 2n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数，求数列b n 的前n 项和S n ．17(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n的前n项和为S n，且S5=25,a2+a5+a10=31.(1)求数列a n的通项公式以及前n项和S n；(2)若b n=2a n,n为奇数1a n a n+2,n为偶数，求数列b n 的前2n-1项和T2n-1.18(2022·沈阳第一二〇中学高三月考)已知数列a n的前n项和S n=a n a n+12，且a n>0．(1)证明：数列a n为等差数列；(2)若b n=a n⋅2na n+1⋅a n+2，求数列b n的前n项和T n．。

计算第43讲_分数数列找规律(学生版)A4

一．常见数列规律1．分子与分母分别为一个简单数列． 2．分子分母之间存在直观的简单规律．3．反约分数列：同时扩大数列中某些分数的分子与分母（分数值不变），从而时的分数的分子与分母分别形成简单数列．二．解题技巧1．经典约分：当分子和分母含有相同因子时，应将其化成最简分数． 2．经典通分：当分数的分母很容易化成一致时，将其化为相同数． 3．分子通分：当分数的分子很容易化成一致时，将其化为相同数．重难点：分数数列找规律．题模一：求某位置的数例1.1.1观察数列： 1111111111,,,,,,,,,,1223334444…．请问：其中的第150项是多少？例1.1.2观察数列： 1212121212,,,,,,,,,,1122334455… 请问：其中的第101项是多少？例1.1.3有这样一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数计算第43讲_分数数列找规律知识精讲三点剖析题模精选的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，．那么这个数列的第1000个数除以8所得的余数是=__________．例1.1.4一列数按下述规律排列：（1）第一项是101；（2）奇数项与下一项的比是3:2；（3）偶数项与下一项的比是4:3．那么，第10项与第15项的比为．例 1.1.5有一串数，13、36，59、712、915、1118、……，后一个数的分子比前一个数的分子大2，分母大3．所以第n个数为：213nn，第30个数是________，第45个数是________．例1.1.6观察数列：1121231234 ,,,,,,,,,, 1223334444…请问：其中的第150项是多少？例1.1.7观察数列：113135135720052007 ,,,,,,,,,,,, 244666888820082008…请问：其中的第2008项是多少？题模二：某数在什么位置例1.2.1观察数列：1111111111 ,,,,,,,,,, 1223334444…．请问：第一次出现的151是其中第几项？例1.2.2观察数列：1212121212,,,,,,,,,,1122334455…请问：149是其中第几项？例1.2.3观察数列：1121231234,,,,,,,,,, 1223334444…请问：4949是其中第几项？例1.2.4观察数列：113135135720052007,,,,,,,,,,,, 244666888820082008…请问：4748是其中第几项？例 1.2.5观察按下列规律排成的一列数：1121231234123451 ,,,,,,,,,,,,,,,,......, 1213214321543216在这个数列中，从左边起第m个数记为F（m），当F（m）=22001时，m=_______随练1.1观察数列：1111111111 ,,,,,,,,,, 1223334444…．请问：其中的第50项是多少？随练1.2观察数列：1212121212 ,,,,,,,,,, 1122334455…请问：其中的第100项是多少？随练1.3找规律填数：12，56，1112，1920，__________，4142，……随练1.4观察数列：1121231234 ,,,,,,,,,, 1223334444…请问：其中的第50项是多少？随堂练习随练1.5观察数列：113135135720052007 ,,,,,,,,,,,, 244666888820082008…请问：其中的第2009项是多少？随练1.6观察数列：1111111111 ,,,,,,,,,, 1223334444…．请问：第一次出现的149是其中第几项？随练1.7观察数列：1212121212,,,,,,,,,,1122334455…请问：250是其中第几项？随练1.8观察数列：113135135720052007,,,,,,,,,,,, 244666888820082008…请问：350是其中第几项？作业1观察数列：1111111111 ,,,,,,,,,, 1223334444…．请问：其中的第100项是多少？课后作业作业2观察数列：1212121212 ,,,,,,,,,, 1122334455…请问：其中的第99项是多少？作业3观察数列：1121231234 ,,,,,,,,,, 1223334444…请问：其中的第100项是多少？作业4观察数列：113135135720052007 ,,,,,,,,,,,, 244666888820082008…请问：其中的第2007项是多少？作业5有一串真分数12、13、23、14、24、34、15、25、35、45……那么按规律，第100个分数是（）．A．915B．315C．116D．316作业6观察下面一列数的规律，这列数从左往右第100个数是__________．12,35,58,711,914……．作业7观察数列：1111111111 ,,,,,,,,,, 1223334444…．请问：第一次出现的150是其中第几项？作业8观察数列：1212121212,,,,,,,,,,1122334455…请问：150是其中第几项？作业9观察数列：1121231234,,,,,,,,,, 1223334444…请问：150是其中第几项？作业10已知数列：11212312341 ,,,,,,,,,,,, 12132143215请问：（1）1130是第__________项．（2）数列第2012项是__________．。

求数列通项公式方法(学生版)

求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ，求n a ；2.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；4.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，62239a a a =，求数列}{n a 的通项公式5.已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；6.已知数列}{n a 满足2122142++=⋅==n n n a a a a a 且，（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；7.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n nn n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；8.已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；9.数列已知数列{}n a 满足111,41(1).2n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式= （2）累加法1、累加法适用于：1()n n a a f n +=+21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例：1.已知数列{}n a 满足141,21211-+==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.数列计算-学生版

第2讲数列计算第一部分：知识介绍1、等差数列三个重要的公式：① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 ③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷22、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．3、公式综合：1）连续自然数求和(1)1232n n n ⨯+++++=L2） ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=L L L 3） N 个连续自然数的平方和 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=L4） N 个连续自然数的立方和 ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=L L 5）平方差公式：()()22a b a b a b -=+- 完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+ 6） 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+7） 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+4、等比数列：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q 表示()0q ≠。

（或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同的，这个数列就叫做等比数列。

）一般地，等比数列求和采用“错位相减法”。

（公比不为1）其它复合型数列整数与数列本讲数表应用题找规律计算等差数列应用题求和方法初步认识等比数列第二部分：例题精讲【例 1】（试题汇编）计算11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（）【例 1】在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第_______个数是1994．【巩固】5、8、11、14、17、20、L，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？已知数列0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少？【例 1】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？⑴3456767778L+++++++=⑵13578799L++++++=⑶471013404346L+++++++=【例 2】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是（）【例 3】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？【例 4】（试题汇编）有一本50页的书，再把这本书的各页的页码累加起来时，有一张纸的页码错误的多加了一次，得到的和为1302，那么中间多加的页码为（）。

数列题型及解题方法

数列题型及解题方法数列是数学中常见的概念，也是高中数学中重要的内容之一。

在数学学习中，数列题型及解题方法是学生们需要掌握的重要知识点。

本文将从数列的基本概念入手，介绍常见的数列题型及解题方法，希望能帮助学生们更好地理解和掌握数列的相关知识。

一、数列的基本概念。

数列是按照一定顺序排列的一串数，这些数之间存在着一定的规律。

数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列等多种类型。

在解题时，首先需要明确数列的类型，然后根据数列的特点和规律进行分析和计算。

二、等差数列题型及解题方法。

1. 求等差数列的通项公式。

等差数列的通项公式一般为an=a1+(n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。

通过已知的首项和公差，可以利用通项公式求出数列的任意一项。

2. 求等差数列的前n项和。

等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，通过这个公式可以求出等差数列前n项和的数值，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。

3. 应用等差数列解决实际问题。

在解决实际问题时，可以将问题转化为等差数列的形式，然后利用等差数列的性质进行求解。

例如，求等差数列中满足某个条件的项数，或者求解等差数列中某些项的和等问题。

三、等比数列题型及解题方法。

1. 求等比数列的通项公式。

等比数列的通项公式一般为an=a1q^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1为首项，q为公比，n为项数。

通过已知的首项和公比，可以利用通项公式求出数列的任意一项。

2. 求等比数列的前n项和。

等比数列的前n项和公式为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，通过这个公式可以求出等比数列前n项和的数值，其中n为项数，a1为首项，q为公比。

3. 应用等比数列解决实际问题。

同样地，可以将实际问题转化为等比数列的形式，然后利用等比数列的性质进行求解。

例如，求等比数列中满足某个条件的项数，或者求解等比数列中某些项的和等问题。

四、其他特殊数列题型及解题方法。

2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结(学生版+解析版)

2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结题型解密考点一：已知S n =f n ，求a n利用S n =a 1,n =1S n−Sn −1,n ≥2，注意一定要验证当n =1时是否成立【精选例题】1已知S n 为数列a n 的前n 项和，且S n =2n +1-1，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2nB.a n =3,n =12n,n ≥2C.a n =2n -1D.a n =2n +1【答案】B【详解】当n ≥2时，S n -1=2n -1，a n =S n -S n -1=2n +1-1-2n +1=2n ；当n =1时，a 1=S 1=21+1-1=3，不符合a n =2n ，则a n =3,n =12n,n ≥2.故选：B .2定义np 1+p 2+p 3+⋅⋅⋅+p n为n 个正数p 1,p 2,p 3,⋅⋅⋅,p n 的“均倒数”，若已知数列a n 的前n 项的“均倒数”为15n，则a 10等于()A.85B.90C.95D.100【答案】C【详解】因为数列a n 的前n 项的“均倒数”为15n ，所以n a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =15n⇒a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =5n 2，于是有a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 10=5×102，a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 9=5×92，两式相减，得a 10=5×(100-81)=95，故选：C3(多选题)定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n -1a nn为数列a n 的“优值”．已知某数列a n 的“优值”H n =2n ，前n 项和为S n ，下列关于数列a n 的描述正确的有()A.数列a n 为等差数列B.数列a n 为递增数列C.S 20222022=20252 D.S 2，S 4，S 6成等差数列【答案】ABC【详解】由已知可得H n =a 1+2a 2+⋯+2n -1a nn=2n ，所以a 1+2a 2+⋯+2n -1a n =n ⋅2n ，①所以n ≥2时，a 1+2a 2+⋯+2n -2a n -1=n -1 ⋅2n -1，②得n ≥2时，2n -1a n =n ⋅2n -n -1 ⋅2n -1=n +1 ⋅2n -1，即n ≥2时，a n =n +1，当n =1时，由①知a 1=2，满足a n =n +1．所以数列a n 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 正确，所以S n =n n +3 2，所以S n n =n +32，故S 20222022=20252，故C 正确．S 2=5，S 4=14，S 6=27，S 2，S 4，S 6不是等差数列，故D 错误，故选：ABC ．4设数列a n 满足a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -1a n =n +1，则a n 的前n 项和()A.2n -1B.2n +1C.2nD.2n +1-1【答案】C【详解】解：当n =1时，a 1=2，当n ≥2时，由a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -2a n -1+12n -1a n =n +1得a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -2a n -1=n ，两式相减得，12n -1a n =1，即a n =2n -1，综上，a n =2,n =12n -1,n ≥2 所以a n 的前n 项和为2+2+4+8+⋯+2n -1=2+21-2n -1 1-2=2n ，故选：C .【跟踪训练】1无穷数列a n 的前n 项和为S n ，满足S n =2n ，则下列结论中正确的有()A.a n 为等比数列B.a n 为递增数列C.a n 中存在三项成等差数列D.a n 中偶数项成等比数列【答案】D【详解】解：无穷数列a n 的前n 项和为S n ，满足S n =2n ∴n ≥2，a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1，当n =1时，a 1=S 1=21=2，不符合上式，∴a n =2,n =1,2n -1,n ≥2,所以a n 不是等比数列，故A 错误；又a 1=a 2=2，所以a n 不是递增数列，故B 错误；假设数列a n 中存在三项a r ,a m ,a s 成等差数列，由于a 1=a 2=2，则r ,m ,s ∈N *,2≤r <m <s ，所以得：2a m =a r +a s ⇒2×2m -1=2r -1+2s -1∴2m =2r -1+2s -1，则∴1=2r -m -1+2s -m -1，又s -m -1≥0⇒2s -m -1≥1且2r -m -1>0恒成立，故式子1=2r -m -1+2s -m -1无解，a n 中找不到三项成等差数列，故C 错误；∴a 2n =22n -1(n ∈N *)，∴a 2(n +1)a n =22n +122n -1=4∴a 2n 是等比数列，即a n 中偶数项成等比数列，故D 正确.故选：D ．2对于数列a n ，定义H n =a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn为a n 的“伴生数列”，已知某数列a n 的“伴生数列”为H n =(n +1)2，则a n =；记数列a n -kn 的前n 项和为S n ，若对任意n ∈N *,S n ≤S 6恒成立，则实数k 的取值范围为．【答案】 3n +1；227≤k ≤196.【详解】因为H n =(n +1)2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn，所以n ⋅(n +1)2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n ①，所以当n =1时，a 1=4，当n ≥2时，(n -1)⋅n 2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n -1)a n -1②，①-②：3n 2+n =na n ，所以a n =3n +1，综上：a n =3n +1，n ∈N *，令b n =a n -kn =(3-k )n +1，则b n +1-b n =3-k ，可知{b n }为等差数列，又因为对任意n ∈N *，S n ≤S 6恒成立，所以S 6-S 5=b 6≥0，S 7-S 6=b 7≤0，则有b 6=3-k ×6+1=19-6k ≥0，b 7=3-k ×7+1=22-7k ≤0，解得227≤k ≤196．故答案为：3n +1；227≤k ≤196考点二：叠加法(累加法)求通项若数列a n 满足a n +1−a n =f (n )(n ∈N *)，则称数列a n 为“变差数列”，求变差数列a n 的通项时，利用恒等式a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋅⋅⋅+(a n −a n −1)=a 1+f (1)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (n −1)(n ≥2)求通项公式的方法称为累加法。

高中数学数列求通项七法 - 学生版

2 2 * 例 2、设数列 an 是首项为 1 的正项数列，且 n+1 an 1 nan an 1an 0 n N ，

求数列的通项公式.（也满足叠乘法）
例 2、已知数列 {an } 满足 a1 例 3、已知数列{a n}中，a1=
3 an 1 1 ， an （n 2），求通项 an ． 2 2
数列求通项方法练习题
1、观察法： 2、定义法： 3、公式法：若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系，求数列 an 的通项 an 可用公式
(n 1) Sn an Sn Sn 1 (n 2)
例 1、已知数列{a n}的前 n 项和 S n 满足 an 2Sn Sn 1 0 （ n 2 ），a1= ，求 a n ．
1 1 n 1 5 ， an 1 an ( ) ，求通项 an ． 3 2 6
例 11、已知数列 {a n } ，其中 a1 1 ，且 a n 1
an ，求通项 a n． 2 ·a n 3
n
例 12、⑴在数列 {an } 中， a1 2 ， a2 3 ， an 2 3 an 1 2 an ，求 a n ；
1 2
例 2、数列 an 的各项都为正数，且满足 Sn
a 1 n
4
2
n N ，求数列的通项公式．
*
例 2、已知数列 {a n } 满足 a n 1 a n 2 3n 1 ，a 1 3 ，求求通项 a n . 例 3、已知数列 an 满足 an1 2an 2n1 3n 1（ n N * ）， a3 5
2 1 ⑵在数列 an 中， a1 1 ， a2 2 ， an 2 an 1 an ，求 an ． 3 3

数学人教A版高中必修5数列专题：等差、等比数列的基本量计算复习(学生版)

1
1 1 1 ；
n(n 1) n n 1
升级： 1 1 (1 1 )
n(n k) k n n k
变式：
n
1 2-
（n 1
2）=
1= n2 3n 2
1
(2n 1)(2n 1)
专题：数列
微专题 1：等差、等比数列的基本量计算
立足于两数列的概念，设出相应基本量：
an 等差： a1, d , n, an, Sn
bn 等比： b1, q, n,bn, Sn (方程思想)
1、已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S1＋1，S3，S4 成等差数列，且 a1，a2，a5 成等比数列。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 S4，S6，Sn 成等比数列，求 n 及此等比数列的公比。
an
a1
(n 1)(3 2
2n
1)
=n 2
1, Q
a1
1 an
n2
练习：已知数列an满足 a1 2 ，且 an an1 2n (n 2, n N ) ，求数列 an
的通项公式。
4、累乘法（形如
an f (n) an1
）
例：已知数列 an满足 a1
2 ，且
an an1
1
1 n
N)
，求数列 an 的通项
公式。
6、构造法
方向 1：构造成等差数列（形如
an1
pan p qan
）
解法：
（取倒法）两边取倒数 1 p qan 1 1 q ，构造成等差数列。
an1
pan
an1 an p
（同除法）分式变成整式
pan1 qanan1
pan

数列题型(学生版)

=
1 , 则数列{an} 2
). B.an= 2�� D.an=
1 ��2 1
设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)a2 n＋1－
* na2 n＋an＋1an＝0(n∈N )，求通项公式 an.
题型六判断数列的单调性
方法归纳数列单调性的判断方法 (1)作差法：若 an＋1－an>0，则{an}是递增数列；若 an＋1－an<0，则{an}是递减数列； an＋1 an＋1 * (2)作商法：若 a >1(an>0，n∈N )或 a <1(an<0，n∈N*)， n n an＋1 an＋1 * 则{an}是递增数列；若 a <1(an>0， n∈N )或 a >1(an<0， n∈N*)， n n 则{an}是递减数列．
[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数 n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换 n，就可以求出数列的各项． (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．
由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若 n 和 n＋1 项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n 1 或
＋
(－1)n－1 来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式． (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．

2023届高考一轮复习数列专题数列求和常用方法(学生版)

数列专题数列求和常用方法（学生版）一、公式法1．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2．推导方法：倒序相加法．2．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1. 例1已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．跟踪练习1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝0，a 4＝1，则S 4＝( )A ．12B ．1C ．2D ．32、等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．83、(2022·天津模拟)设1＋2＋22＋23＋…＋2n －1>128(n ∈N *)，则n 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．94、设数列{a n }(n ∈N *)的各项均为正数，前n 项和为S n ，log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，且a 3＝4，则S 6＝( )A ．128B ．65C ．64D ．635、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．46、已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 4＝18，且a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，则k 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，23 B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎣⎡⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 7、(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是( )A ．a n ＝n (n ＋1)2B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前2 020项的和为2 0202 021 C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前2 020项的和为4 0402 021 D ．数列{a n }的第50项为2 5508、(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有( )A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n9、在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．10、数列{a n }满足：a 1＝1，点(n ，a n ＋a n ＋1)在函数y ＝kx ＋1的图象上，其中k 为常数，且k ≠0．(1)若a 1，a 2，a 4成等比数列，求k 的值；(2)当k ＝3时，求数列{a n }的前2n 项的和S 2n ．11、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；二、分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．例2(2022·北京模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n －n 2，n 为偶数，2a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8＝( )A ．546B ．582C ．510D ．5482、(2022·珠海模拟)已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项和为( )A ．1 009B ．1 010C ．2 019D ．2 0203、若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__ _____．4、(2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .5、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数. (1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；(2)求{a n }的前20项和．6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n ＋a ．(1)求a n ；(2)定义[x ]为取整数x 的个位数，如[1]＝1，[32]＝2，[143]＝3，求[a 1]＋[a 2]＋[a 3]＋…＋[a 100]的值．7、已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.8、(2022·重庆质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25.(1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .9、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围．10、(2022·青岛模拟)从“①S n ＝n ⎝⎛⎭⎫n ＋a 12；②S 2＝a 3，a 4＝a 1a 2；③a 1＝2，a 4是a 2，a 8的等比中项．”三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并解答．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，________，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝122n n S S ＋－，数列{b n }的前n 项和为W n ，求W n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11、(2022·株洲质检)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前(4n ＋3)项和T 4n ＋3.三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2； (3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ．例3(2022·南京质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．跟踪练习1、(2022·北京模拟)数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1 ，若{a n }的前n 项和为9，则n的值为( )A ．576B ．99C ．624D ．625 2、(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的前n 项和为B n ，则下列结论正确的是( ) A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋143、在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝____ ____. 4、已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1(2n －1)(2n ＋1)的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式12T n <a 2－a 恒成立，则实数a 的取值范围是__ __．5、(2022·本溪模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ，n ∈N *，a 1＝1．(1)在下列三个结论中选择一个进行证明，并求{a n }的通项公式； ①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列； ②数列{}a n ＋1－2a n 是等比数列；③数列{}S n ＋1－2S n 是等比数列．(2)记b n ＝S n ＋2S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个结论分别解答，则按第一个解答计分．7、给出以下三个条件：①4a 3,3a 4,2a 5成等差数列；②∀n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝2x －a 的图象上，其中a 为常数；③S 3＝7．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{a n }是一个公比为q (q >0，且q ≠1)的等比数列，且它的首项a 1＝1，________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2log 2a n ＋1(n ∈N *)，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n <12．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．8、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .9、设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求{b n }的前n 项和T n ，证明：38≤T n ＜34.10、已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)记b n ＝2n ＋1a 2n，求数列{b n }的前n 项和S n .11、(2022·合肥模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .12、已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足a 1＝b 1＝c 1＝1，c n ＝a n ＋1－a n ，c n ＋1＝b n b n ＋2c n，n ∈N *. (1)若{b n }为等比数列，公比q >0，且b 1＋b 2＝6b 3，求q 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若{b n }为等差数列，公差d >0，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1＋1d，n ∈N *.13、已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n＋2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.14、若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，S 2＝4. ①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .四、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．例4(2022·江门模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．跟踪练习1、(2022·广东模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n，求数列{b n }的前n 项和S n ．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．3、(2022·湖南模拟)某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清(即下题中“已知”后面的内容看不清)，但在(1)的后面保留了一个“答案：S 1，S 3，S 2成等差数列”的记录，具体如下：记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知_____________．①判断S 1，S 2，S 3的关系；(答案：S 1，S 3，S 2成等差数列)②若a 1－a 3＝3，记b n ＝n 12|a n |，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <43． (1)请在本题条件的“已知”后面补充等比数列{a n }的首项a 1的值或公比q 的值(只补充其中一个值)，并说明你的理由；(2)利用(1)补充的条件，完成②的证明过程．4设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．5、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．6、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .7、(2022·济宁模拟)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1,3a 2的等差中项，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n log 2a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .8、(2022·重庆调研)在等差数列{a n}中，已知a6＝12，a18＝36.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若________，求数列{b n}的前n项和S n，在①b n＝4a n a n＋1，②b n ＝(－1)n·a n，③b n＝2n ana 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．9、(2022·沈阳模拟)已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＋1＝2S n＋n＋1，a2＝2.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若b n＝a n·2n，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n>2 022的最小的正整数n的值．。

高考数学冲刺专题复习之——求数列通项公式(学生版)

高考数学（文）冲刺复习之——求数列的通项公式一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法.这种方法适用于已知数列类型的题目，此题目是必须掌握的基本运算，一般有“知二求一”的方程思想.例题等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.训练【2017新课标1文】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．二、利用n S 和n a 的关系求{}n a 的通项公式解法：巧用1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，.使用是根据具体条件和结论，正用、逆用或同时使用，对等式退（进）一步作差. 1、形如f(S n ,n)=0型可利用公式：⎩⎨⎧-=-11S S S a n n n )1()2(=≥n n 直接求出通项n a ；（讨论1a 能否被吸收）例题1 已知数列{a n }的前n 项和为（1）S n =2n 2-n ；（2）S n =n 2+n+1，分别求数列{a n }的通项公式；例题2 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1), 1.n n n S a n =+-≥求数列{}n a 的通项公式；变式1 数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n a S n n 32-=（n ∈N +），求数列}{n a 的通项公式n α；变式2 已知数列{}n a 的前n 项和为11,4n S a =且1112n n n S S a --=++，数列{}n b 满足11194b =-且13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且．（１）求{}n a 的通项公式；（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列；变式3 若前n 项和为S n 且满足a n =)2(1222≥-n S S n n ,且a 1=1，求数列的通项公式；2、形如f(S n ,S n+1)=0型方法（i ）.看成{S n }的递推公式，求S n 的通项公式，再由n S 求出n α.（ii ）.（逆用）利用a n =S n -S n-1转化成关于a n 和a n-1的关系式再求。

构造法求数列通项的八种技巧(三)(学生版+解析版)

构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如a n+1=ca n k,a n=ca n-1k或者a n+b=c(a n-1+b)k,b为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列a n中, a1=2,a n+1=a n2,求数列a n的通项公式.【经典例题2】数列a n中,a1=1,a n+1=2a n2,求数列a n的通项公式.【经典例题3】已知a1=2,点a n,a n+1在函数f x =x2+2x的图像上,其中n∈N*,求数列a n的通项公式.【经典例题4】在数列a n中, a1=1,当n≥2时,有a n+1=a n2+4a n+2,求数列a n的通项公式.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于a n+1=Aa n+Ba n-1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为a n+1-a n=(A-1)a n-a n-1,利用a n+1-a n成等比数列,以及叠加法求出a n.还有一小部分题型可转化为a n+1+a n=(A+1)a n+a n-1,利用a n+1+a n成等比数列求出a n.【经典例题1】已知数列a n满足a1=1,a2=3,a n+2=3a n+1-2a n n∈N*,求数列a n的通项公式.【经典例题2】已知数列a n中,a1=1,a2=2,a n+2=23a n+1+13a n,求数列a n的通项公式。

【经典例题3】数列a n中,a1=1,a2=53,a n+2=53a n+1-23a n,求数列a n的通项公式。

此方法可以解决大多数的a n+1=Aa n+Ba n-1,A+B=1模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造a n+1-a n成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.【经典例题4】已知数列a n满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n n∈N*,求数列a n的通项公式.【经典例题5】已知数列a n满足a1=1,a2=43,a n+2=73a n+1-23a n n∈N*,求a n的通项公式.秒杀求法:a n+2=pa n+1+qa n(p,q≠0)类通项公式暴力秒杀求法a n+2=pa n+1+qa n(p,q≠0)对应的特征方程为:x2=px+q,设其两根为x1,x2当x1≠x2时, a n=Ax1n-2+Bx2n-2当x1=x2时, a n=(An+B)x1n-2其中A,B的值的求法,用a1,a2的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可【秒杀例题1】已知数列a n满足a1=1,a2=43,a n+2=73a n+1-23a n n∈N*,求a n的通项公式.【秒杀例题2】已知数列a n满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n n∈N*,求数列a n的通项公式.【练习1】在数列a n中,a1=1,a2=2,a n+1=3a n-2a n-1(n≥2),则a n=_______.【练习2】设数列a n的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=32,a3=54,且当n≥2时, 4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1.(1)求a4的值；(2)证明：a n+1-12a n为等比数列;(3)求数列a n的通项公式.【练习3】数列a n满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明b n是等差数列;(2)求a n的通项公式.◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)针对x n+1=ax n+bcx n+d这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.对于函数f(x),若存在实数x0,使得f x0=x0,则称x=x0是函数f(x)的不动点.在几何上，曲线y=f(x)与曲线y=x的交点的横坐标即为函数f(x)的不动点.一般地,数列x n的递推式可以由公式x n+1=f x n给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列x n,若其递推式为x n+1=f x n,且存在实数x0,使得f x0=x0,则称x0是数列x n的不动点。

专题23 数列的基本知识与概念 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题23数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列：，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N*-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ，，，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ，若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】题型一：数列的周期性题型二：数列的单调性题型三：数列的最大（小）项题型四：数列中的规律问题题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（）A ．2B ．5C ．7D ．8例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（）A ．16B ．16-C ．6D ．6-例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（）A ．67B ．68C ．134D ．167例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（）A ．15B ．25C ．35D ．45例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩ *(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（）A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（）A ．14-B ．45C ．5D ．45-例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（）A ．12-B ．12C ．-1D ．2题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（）A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（）A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（）A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据1n n a a ＋－的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列作商比较法根据1(>0<0)n n n na a a a +或与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（）A ．12B ．1C ．2D ．3例16．已知数列{}n a 满足110a =，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（）A ．-1B ．112C ．163D ．274例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n nn a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =．题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（）；()f n =（）．A ．352331n n +-B ．362331n n -+C ．372331n n -+D ．382331n n +-例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，()1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（）A ．()1,12B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9例23．将正整数排列如下：123456789101112131415……则图中数2020出现在A ．第64行3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（）A ．343B ．575C ．D ．12例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n -=+-，则下列说法正确的是（）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a 例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（）A ．12B ．34C ．1D ．32例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（）A ．235B ．143C 12D ．13例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（）A ．134B ．5C ．6D ．132例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（）A ．[]40,25--B ．[]40,0-C ．[]25,25-D ．[]25,0-【过关测试】一、单选题1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数()f x 定义如下表，数列{}()N n x n ∈满足02x =，且对任意的自然数n 均有()1n n x f x +=，则2022x =（）x 12345()f x 51342A ．1B ．2C ．4D ．52．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为{}n a ，其前n 项和为n S ，给出以下结论：①22122n a n n -=-；②182是数列{}n a 中的项；③21210a =；④当n 为偶数时，()2122n n n S S S n n *++-+=+∈N ．其中正确的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组()2,2，()3,4，()4,8，()5,16，()6,32，…，根据规律，可得第8个数组为（）A ．()9,128B ．()10,128C ．()9,256D ．()10,2564．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()()11120n n a a +-++=，112a =，则数列{}n a 的前2022项积为（）A ．16-B ．23C ．6-D ．325．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()1112,21*+-==∈-n n n a a a n N a ，则2022=a （）A ．13B ．1C ．2D ．526．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()2**2,5,,1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是（）A ．919,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．(]1,48．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{nan }中数值最小的项是（）A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项9．（2022·上海普陀·二模）数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-10．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（）A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n=D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-12．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1112,012,1321,12n n n n n a a a a a a +⎧⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩ ，则数列{}n a 中的项的值可能为（）A ．13B ．2C ．23D ．4513．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（）A ．数列2345,,,3456，⋯的一个通项公式是1n n a n =+B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，1-，1，1-，⋯与数列1-，1，1-，1，⋯是同一数列D ．数列11,24，⋯，12n是递增数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是{}n a 的前n 项和，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则下列选项错误的是（）A ．20212a =B ．20211012S =C ．331321n n n a a a ++⋅⋅=D ．{}n a 是以3为周期的周期数列15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }满足112,2712,62n n n n n a a a a a +⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，123a =，则数列{an }中的项的值可能为（）A ．19B ．16C ．13D ．4316．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（）A ．2-B ．23C ．32D ．317．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{}220,,s ts t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排列的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，…，则下列结论正确的是（）A ．第四行的数是17，18，20，24B ．()11232-+=⋅n n n a C ．()11221n n a n +=+D ．10016640a =18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（）A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n=D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（）．A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．122n a n=-D ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S 21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=（1，2，4，5，7，8与9互质），则（）A ．若n 为质数，则()1n n ϕ=-B ．数列(){}n ϕ单调递增C ．数列()2n n ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前5项和等于72D ．数列(){}3nϕ为等比数列三、填空题22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列{}n a 满足()111,2,3,n na n a +>= ，则{}n a 为递增数列”为假命题的数列{}n a 的通项公式可以为n a =__________．23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 是无穷数列；②{}n a 是单调递减数列；③20n a -<<.这个数列的通项可以是__________.24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a 的通项公式：n a =__________．①10n n a a +<；②数列{}n a 是单调递减数列；③数列{}2nn a 是一个等比数列．25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8n n a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________.27．（2022·山西·模拟预测（理））数列{}n a 中，已知11a =，20a >，()*21n n n a a a n ++=-∈N ，则2022a 的取值范围是___________.28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列{}n a 满足13a =，122n n n a a a ++=，则2022a 的值为______．29．（2022·全国·模拟预测）在数列{}na 中，11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，则1232021a a a a ++++= ___．。

考点38数列中的综合问题(2种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版)

考点38数列中的综合问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n 项和公式等【核心题型】题型一　等差数列、等比数列的综合运算　数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．【例题1】（2023·湖北荆门·模拟预测）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A 给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%，当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为（）A ．11小时B ．13小时C ．17小时D ．19小时【变式1】（2023高三·全国·专题练习）已知集合{}*112|,A x x k k ==ÎN ，{}2*2|3,k B x x k ==ÎN ，将A B È中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27m a =，则m 的值等于，50S 的值为 .【变式2】（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列{}n a 满足：123,,1a a a +成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足：121131n n n n a b a b a b -+++=-L ，求数列{}n b 的前n 项和n T .【变式3】（2023高三·全国·专题练习）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；题型二　数列与其他知识的交汇问题(1)数列与不等式的综合问题及求解策略①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n 项和公式、求和方法等对式子化简变形命题点1　数列与不等式的交汇【例题2】（2024·重庆·三模）数列{}n a 的前n 项和为n S ，234n n S a n =-+，若()3320n a n l +-+>对任意*n ÎN 恒成立，则实数l 的取值范围为（）A ．1,2æö+¥ç÷èøB ．()1,+¥C ．5,4æö+¥ç÷èøD ．()2,+¥【变式1】（2024·江苏苏州·三模）已知函数*(),N n f n a n =Î.①当2a =时，11()n b f n =+，记{}n b 前n 项积为n T ，若n m T >恒成立，整数m 的最小值是;②对所有n 都有33()1()11f n n f n n -³++成立，则a 的最小值是 .【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*321223n a a a a n n n++++=ÎN L .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 满足12nn n a b +=.①求数列{}n b 的前n 项和n T ；②若不等式()12nn n n T l -<+对任意*n ÎN 恒成立，求实数l 的取值范围.【变式3】（2024·辽宁·二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且10a d ¹.若等差数列{}n b ，满足2nn nS b a =.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若514d =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n T S >，求n 的最大值.命题点2　数列与函数的交汇【例题3】（2024·福建莆田·三模）已知定义在(0,)+¥上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，且(1)1f =，则()100f =（）A ．10021-B ．10021+C ．10121-D ．10121+【变式1】（2024·广西来宾·模拟预测）函数()|1||2||3||15|f n n n n n =-+-+-++-L （n 为正整数）的最小值为．【变式2】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数()()cosπR f x x x x =+Î的所有正零点构成递增数列{}()N*n a n Î．(1)求函数()f x 的周期和最大值；(2)求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ．【变式3】（2024·上海·模拟预测）已知()21122f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,N n n S n Î均在函数()y f x =的图象上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()442x x g x =+，令()*N 2025n n a b g n æö=Îç÷èø，求数列{}n b 的前2024项和2024T .【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列{}n a 中，7a 是函数π()sin(2)6f x x =-的一个极大值点，则59)tan(a a +的值为（）ABC．D．2．（2020·辽宁辽阳·二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前50项和50T =（）A ．5051B ．4950C ．100101D ．501013．（2024·山东·二模）欧拉函数()()*n n j ÎN 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如()42j =.已知()123n n nb j +=，*n ÎN ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若n T M <恒成立，则M 的最小值为（）A ．34B ．1C ．76D ．24．（2024·福建泉州·二模）在等比数列{}n a 中，15,a a 是函数2()10ln(3)f x x x t x =-+的两个极值点，若2432a a =-，则t 的值为（）A ．4-B ．5-C ．4D ．5二、多选题5．（2024·云南·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()21f =-，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 关于点()2,1-对称C ．设数列{}n a 满足()n a f n =，则{}n a 的前2024项和为0D ．103f æöç÷èø可以是126．（2024·湖北·模拟预测）对于正整数n ，()n j 是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数()n j 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96j =（1,2,4,5,7,8与9互质），则（）A ．若n 为质数，则()1n n j =-B ．数列(){}n j 单调递增C ．数列()2nn j ìüïïíýïïîþ的最大值为1D ．数列(){}3nj 为等比数列三、填空题7．（2021·江西·模拟预测）已知公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1k a ，2k a ，3k a ，……构成等比数列{}n a ，且11k =，22k =，35k =，则n k =.8．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知实数a 、b 、c 、d 成等差数列，且函数()ln 2y x x =+-在x b =时取到极大值c ，则a d += .9．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列{}n a 满足1ln 1n n a a +=+，函数()ln 1xf x x =+在0x x =处取得最大值，若()420ln 1a a x =+，则12a a += 四、解答题10．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，124325a a a ++=，且32a +，4a ，52a -成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ={}n b 的前n 项和n T ．11．（2024·浙江·二模）欧拉函数()()*N n n j Î的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，例如：()11j =，()42j =，()84j =，数列{}n a 满足()()*2N n n a n j =Î.(1)求1a ，2a ，3a ，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记()222log 1nnn na b a =-，求数列{}n b 的前n 和n S .【综合提升练】一、单选题1．（2024·辽宁·二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)(N )n n S n *Î在函数2()(,,)f x Ax Bx C A B C =++ÎR 的图象上，则（）A ．01C =B ．若0A =，则0N n *$Î，使n S 最大C ．若0A >，则0N n *$Î，使n S 最大D ．若0A <，则0N n *$Î，使n S 最大2．（2022高三·全国·专题练习）已知数列{}n a 为等差数列，且7π2a =.设函数()2sin22cos 2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为（）A ．13π2B ．7πC ．7D ．133．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足(211:n n n na a q q a a +++= 为常数，*N n Î）的数列{}n a 称为二阶等比数列，q 为二阶公比.已知二阶等比数列}n a ∣的二阶公比为121,a a ==，则使得2024n a > 成立的最小正整数n 为（）A ．7B ．8C ．9D ．104．（2024·江苏徐州·一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且321n n S a =+，*n ÎN ．若2024k S ³，则正整数k 的最小值为（）A ．11B ．12C ．13D ．145．（23-24高三上·山西运城·期末）已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A ．51-B ．48-C ．17-D ．06．（2024·安徽池州·二模）对于数列{}n a ，若点(),n n a 都在函数x y cq =的图象上，其中0q >且1q ¹，则“1c q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．（2024·上海奉贤·三模）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，关于正整数n 的方程1n n S S a +×=记为F ，命题p ：对于任意的R a Î，存在等差数列{}n a 使得F 有解；命题q ：对于任意的R a Î，存在等比数列{}n b 使得F 有解；则下列说法中正确的是（）A ．命题p 为真命题，命题q 为假命题；B ．命题p 为假命题，命题q 为真命题；C ．命题p 为假命题，命题q 为假命题；D ．命题p 为真命题，命题q 为真命题；8．（2024·青海·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()226f x y f x f y f x f y +=--+，()14f =，则()()()1299f f f ++×××+=（）A ．992198+B ．992196+C ．1002198+D ．1002196+二、多选题9．（2024·贵州·三模）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()()22,f x y f x f y x y xy f x +=+¢++为()f x 的导函数，且()12f ¢=，则（）A ．()00f =B ．()f x 为奇函数C ．()27f ¢-=D ．设()()*n b f n n ¢=ÎN ，则2024202320252b =´+10．（2024·河南·三模）将函数()2πsin (0,0)3f x x x w w æö=->>ç÷èø的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{}n a ，且123a =，则（）A ．2w =B ．()f x 在()1,2上先增后减C ．10313a =D ．{}n a 的前n 项和为236n n +11．（2022·海南·模拟预测）对于无穷数列{}n a ，给出如下三个性质：①10a <；②*,n s "ÎN ，n s n s a a a +>+；③*n "ÎN ，*t $ÎN ，n t n a a +>，定义：同时满足性质①和②的数列{}n a 为“s 数列”，同时满足性质①和③的数列{}n a 为“t 数列”，则下列说法正确的是（）A ．若23n a n =-，则{}n a 为“s 数列”B ．若12n n a =-，则{}n a 为“t 数列”C ．若{}n a 为“s 数列”，则{}n a 为“t 数列”D ．若等比数列{}n a 为“t 数列”，则{}n a 为“s 数列”三、填空题12．（2024·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且n a ={}n b 的前n 项和为n T ，且()121n bn n S a +-=，则满足2n T ³的正整数n 的最小值为.13．（2023高三·全国·专题练习）函数()f x 满足()()()()*111,1N 12f n f n f n +==Î+．若不等式()()1f n f n M +-£对任意的n 恒成立，则M 的最小值是．14．（23-24高三上·河北邢台·开学考试）函数()2f x x x a =-+的最小值是12，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，11a =，则数列{}n a 的通项公式是．四、解答题15．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列{}n a 满足25a =，9672a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a +=-，若432mS >，求正整数m 的最小值.16．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n na S a =+．(1)证明：数列{}2n S 是等差数列；(2)数列{}n S 的每一项均为正数，11,11,2nn n n n S b n S S -ì=ïï=íï³ï+î，数列{}n b 的前n 项和为n T ，当21012n T ³时，求n 的最小值．17．（2024·四川成都·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为,342n n n S S a =-.(1)证明：数列{}n a 是等比数列，并求出通项公式；(2)设函数()21ln 2f x x x æö=×-ç÷èø的导函数为()f x ¢，数列{}n b 满足()n n b f a =¢，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（23-24高三下·河北衡水·期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21,1n n S a n =-³．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：12311112nS S S S ++++<L ．19．（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =.(1)若2421n n n a S a =--，求数列{}n a 的通项公式；(2)若函数()2e x f x x =+，正项数列{}n a 满足：*1)()(n n a f a n +=ÎN .（i ）证明：31nn S n ³--；（ii）证明：*2222234)1111(1)(1)(1)(1)2,5555nn n a a a a ++++<³ÎN L .【拓展冲刺练】一、单选题1．（2023·陕西安康·模拟预测）设函数()21f x x =+，数列{}n a ，{}n b 满足()(),n n a f n f b n ==，则2a =（）A ．7b B ．9b C ．11b D ．13b 2．（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）已知等差数列{}n a 中，73π8a =，设函数()24cos 2sin cos 222x f x x x æö=-++ç÷èø，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为（）A ．7B ．13C ．20D ．263．（2022高三·全国·专题练习）已知数列{}n a 满足1145,31n n a a a +==-，则满足不等式10k k a a -×<的k 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．74．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知数列{}n a 满足113a =-，且()112n n n a a ++=+-，若使不等式n a l £成立的n a 有且只有三项，则l 的取值范围为（）A ．1135,33æùçúèûB ．1335,33æùçúèûC ．1135,33éö÷êëøD ．1335,33éö÷êëø二、多选题5．（23-24高三下·河北·开学考试）欧拉函数()()*N n n j Î是数论中的一个基本概念，()n j 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如()84j =，因为1，3，5，7均与8互质，则（）A ．()()()4610j j j ×=B ．数列()2n j 单调递增C ．()10040j =D ．数列()()23nn j j ìüïïíýïïîþ的前n 项和小于326．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知正项数列{}n a ，对任意的正整数m 、n 都有222m n m n a a a +£+，则下列结论可能成立的是（）A ．n mmn a a a m n+=B ．m n m n na ma a ++=C ．2m n mn a a a ++=D ．2m n m na a a +×=三、填空题7．（2024·云南楚雄·一模）将函数()2sin f x x x =+（0x >）的所有极小值点按从小到大的顺序排列成数列{}n a ，则()2023tan a = ．8．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）设函数21()1f x x =-，122()ex f x --=，31()sin 2π3f x x =，99i ia =，0,12,,99i =L .()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-L ，1,2,3k =，试将1I 、2I 、3I 从小到大排列为 .9．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列{}n a 的首项1012a =，且()23568a a a a +=+，记{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则当不等式0n n S T -<成立时，n 的最大值为．四、解答题10．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）点(,)n A n a （N n *Î）在函数2()log (32)f x x =+图象上.数列{n b }满足2n a n b =.(1)证明：数列{n b }为等差数列.(2)数列{n c }满足231()2n b n c -=.求n T 为{n n b c }前n 项和及当274n T >，求n 的最小值.11．（23-24高三下·湖南·阶段练习）若数列{}n a 在某项之后的所有项均为一常数，则称{}n a 是“最终常数列”.已知对任意()*,n m m n ³ÎN ，函数()f x 和数列{}n a 满足{}()11min n i i na f a +££=.(1)当()f x x >时，证明：{}n a 是“最终常数列”；(2)设数列{}n b 满足11m b a +=，对任意正整数()1,n n n b f b +=.若方程()0fx x-=无实根，证明：{}n a 不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数i ，i m i b a +=；(3)若(){}21,,n m f x x a ==不是“最终常数列”，求1a 的取值范围.。

等差数列(学生版)

等差数列导引：假设干个数排成一列,称为数列。

数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。

从第二项开场,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。

例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。

计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,假如首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。

例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项练习：1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。

2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？练习：1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。

2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。

3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。

练习：1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。

2、计算5+10+15+20+⋯ +190+195+200的和。

3、计算100+99+98+…+61+60的和例题4计算〔1+3+5+...+l99l)-〔2+4+6+ (1990)练习：1、计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)2、计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99)3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。

数列求和的基本方法和技巧(学生版)

数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n 3、 ()11232n n n +++++=4、 4、()()222211231216n n n n ++++=++ 5、 ()233332112314n n n ++++=+ [例1] 已知21=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：[例2]求2222222212345699100-+-+-+--+ 的和。

解：练习：1.已知数列{}n a 的通项公式为()1+=n n a n ，求前n 项和n S二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n xn x x x S 解：[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：练习：1.求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-12. 求数列13521,,,,,2482n n - 的前n 项的和。

三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：练习：1. 已知lg(xy)=a ，122221lg lg()lg()lg()lg()lg n n n n n n S x x y x y x y xy y ----=++++++ ，求S.2.设()244-=x x x f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=199919981999219991f f f S 的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：)23(1,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：练习：1.求数列1111123424816、、、、的前n 项的和。

专题：数列求和[学生版]

高考专题复习：数列求和一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式．二、教学重点：特殊数列求和的方法．三、教学过程：（一）主要知识：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）2．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

3．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

4．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 5．并项求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；（三）例题分析：考点1 直接运用公式求和1.在等比数列{}n a 中，如果27S =，691S =，那么4S 为( ) A ．28 B ．32 C ．35 D ．492.在等比数列{}n a 中，如果,8,44231=+=+a a a a 那么该数列的前8项和为( ) A ．12 B ．24 C ．48 D ．2043．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于 ( )（A ）10 （B ）12 （C ）15 (D) 304.数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，若其首项满足a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1，且a 1，b 1∈N *，则数列{n b a }前10项的和等于 ( )A ．100B ．85C ．70D ．555.（广东）已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A.21B. 22C. 2D.26.（2012广东）若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________．考点2 分组求和 1.求和：101111123102482++++= 101562-2.已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和。