工程电磁场第二章静电场(二)解读

第2章 静电场(二)

2.1 静电场的唯一性定理及其应用

静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。 静电场求解方法：

(1) 直接由电场强度公式计算；

(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。

E ?-?=?-

=??

?ερ

?E 2 唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。

2.1.1 唯一性定理

静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。

2.1.2 导体边界时，边界条件的分类

(1) 自然边界条件：

有限值参考点=∞

→?r r lim

(相当于指定电位参考点的值)

(2) 边界衔接条件：σ?

ε?ε??=??-??=n

n 221121

(该条件主要用于求解区域内部)

(3) 导体表面边界条件

(a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。

该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。

S n ??-=?

εσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) q dS r S

=??-?)(1

1?ε (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。

思考？

为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。

2.1.3 静电场唯一性定理的意义

唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据

2.1.4 等位面法

1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。

2 等位面法成立的理论解释：

等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化：

(1)边界k 的等位性不变；

(2)边界k 内的总电荷量不变。(相当于给定了第二类边界条件)

3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用

现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。 解释：边界上电位值不变(给定的第一类边界条件不变)。

现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电场不受壳外电场的影向。 解释：(注意边界正方向的取向)

边界S 2为等位面；

边界S 2上的总电荷量不变。

2.2 平行双电轴法

1 问题的提出：

以求无限长双圆柱平输电线周围的电场分布为例。

导体表面的面电荷密度未知，不可能由电场计算公式计算；电场分布不具有对称性，不能用高斯定理求解,用求解泊松方程法，不能给出解析解。本节从静电场的唯一性定理出发，采用其它求解方法(电轴法)。 2. 两根细导线产生的电场

设 电轴上单位长度的电荷量为τ，电位参考点为Q 。 电场分布为平面场，根据叠加原理，

1100

1ln 22C d Q

P +-==?

ρπετ

ρρπετ? 2202ln 2C +--=ρπετ?

C P +=+=1

2021ln 2ρρ

πετ???

说明：式中Q 表示电位参考点。ρ表示由电荷到P 点的矢径。

以y 轴为参考点, C=0, 则

22220120)()(ln

2ln 2y

b x y b x P +-++==πετ

ρρπετ? *确定等位线方程：

常数令：=P ?

2

2

22

2)()(K y b x y b x =+-++ 等位线方程为圆： 222222)1

2()11(-=+-+-K bK

y b K K x

圆心的坐标： ??

????-+=0,)11(22b K K h 圆的半径为：122-=K bK

a

当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。 a 、h 、b 三者之间的关系满足:

22222

222

2

)1

1()12(h b K K b K bK b a =-+=+-=+

应该注意到: 线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即 ))((222b h b h b h a -+=-=

-- a 为等位线的半径；2b 两电轴间的距离；h 为等位圆圆心到坐标原点的距离。 附： 〖反演〗

没C 为一定圆，O 为圆心，r 为半径，对于平面上任一点M ，有一点M ’与它对应，使得满足下列两个条件： (1)O 、M 、M ’共线； (2)OM ·OM ’=r 2；

则点M ’称为点M 关于定圆C 的反演点，C 称为反演圆，O 称为反演中心，r 称为反演半径。 M 和M ’的关系是对称的，M 也是M ’的反演点。M 与M ’的对应称为关于定圆C 的反演。

*确定电力线方程：

根据 ?-?=E 及E 线的微分方程为x

y

E E dx dy =

得E 线方程为 4

)2(2

12212K

b K y x +=-+

说明：电力线方程表明， E 线为圆，其圆心位于y 轴上。K 1的不同取值确定不同的电力线。

3 电轴法的基本思想

由三个思考题，引出电轴法的解题思想。

(1)若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？ (2)、感应电荷是否均匀分布？

(3)、若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。

得出电轴法的思想：

电轴法：用置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法，称为电轴法。

电轴法解题的过程：

(1)根据圆柱导体的半径a 和两导体间的距离2h 求出等效电轴的位置b ；(2)设电轴上电荷线密度等于圆柱导体上单位长度的电荷量；(3)由电场计算公式

22220120)()(ln 2ln 2y

b x y b x P +-++==πετ

ρρπετ?(0电位参考点位于y 轴)

4 例题

例1．

试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。

解：(1)建立体系，取0电位参考点

(2)确定电轴的位置，22a h b -= (3)计算电场和电位分布：

??????

?=-=1202

10ln π2)11(π2ρρετ?ρρετρρp

P 21e e E

例2 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。

解：2

1212

2

222

21212,,h h b h h d a h b a h b 确定??

???+=-=-=

例3 试确定图示偏心电缆的电轴位置 解：

211

22

222222121,,h h b d h h b

a h

b a h ????????=-+=+=

例4 已知一对半径为a ,相距为d 的长直圆柱导体传输线之间电压为U 0 ，试求圆柱导体间电位的分布。 解：

1 确定电轴的位置 ???=-=h

d a h b 22

222 →22

)2(a d b -= 2 设电轴上电荷密度为±τ，任一点的电位为：

1

20ln 2ρρ

πετ?=

注意：式中的ρ2，ρ1分别为负电轴和正电轴到观察点P 的距离。

3 :0τ??解出由B A U -=

)

()

(ln

2)()(ln 2000a h b a h b a h b a h b U -+------+=

πετπετ → )

()(ln 2200a h b a h b U ---+=πετ 4 场中任一点的电位为：

120ln )

(ln

2ρρ

?a h b U P --=

2.3 无限大导电平面的镜象

一、镜象法

1.平面导体的镜像

通过比较两种边值问题的比较引出无限大导体平面的镜象法： (1)点电荷位于无限大导体平面上方，边值问题：

02=?? 除 q 所在点外的区域 0=? 导板及无穷远处

?=?s

q d S D S 为包围 q 的闭合面

(2)点电荷及其镜象位于两无限大平面两侧，上半空间的边值问题

02=?? 除 q 所在点外的区域

04400=-=r

q r q πεπε? 对称面及无穷远处

?=?s

q d S D S 为包围q 的闭合面

二、无限大导电平面镜象法的特点用应用 无限大导体平面镜象法的特点：

1 镜象电荷位于被研究的场域之外，与场源电荷关于平面对称；

2 镜象电荷所带的电量与边界面原来所具有的总电荷量大小相等，符号相同，与场源电荷量大小相等，符号相反；

3 被研究场域的边界电位值为0。

三、无限大导电平面的应用

1 点电荷对夹角为直角的两相联导电平面的镜象；

2 点电荷对夹角为α

3 长直圆柱导体对于导电平面(或地平面)的镜象；

例2-3 架空地线避雷原理。带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E 0，由于大气电场的影响将

导致高度为l 处的高压输电线A 的电位升高。若在A 的上方架设有架空地线G ，半径为r 0，G 是经过支架接地的，则在架空地线G 上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应电荷的电场叠加到大气电

场以后可以降低A 处的电位。试求由于架空地线的屏蔽作用而导致A 处电位的变化。

定性解释：

定量计算：

设:架空地线上单位长度的感应电荷量为τ，架空地线的半径为r 0，其等效电轴与地线中心重合。 架空地线的电位为：

02ln 2000=+h

r h E πετ → 地线上单位长度的电荷量: h

r h

E 2ln 20

00πετ-=

高压输电线上的电位:

h

r l h l h h E l E l h l h l E 2ln ln

ln 200000+--

=+-+=πετ?

架设架空地线前后,架空线电位比:

h

r l

h l h l h 2ln ln

100+--

=??

当m r m l m h 004.0, 10 ,110===时, %1.610

=??

D

2.4 球形导体表的镜象

2.4.1 接地导体球对点电荷的镜象

设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。 边值问题：

20

00

r ???→∞?===导球面 (除q 点外的导体球外空间) 设匀镜象电荷q ’位于球内，球面上位一点的电位为0,即：

0102

'

044p q q r r ?πεπε=-=

其中

222222122cos 2cos r d R Rd r b R Rb θθ=+-=+-

由上式或知，球面上的电位只是b 和θ的函数，位取两θ值，(0，180)则：

'0'0q q d R R b

q q d R R b ?-=??--?

?-=?++? 得：

2'R b d R q q d

===

由叠加原理，接地导体球外任一点P 的电位与电场分别为

0102'44p q q r r ?πεπε=-012

11

(4q R r d r πε=-?

12

22010244P r

r q qR

r dr πεπε=-E e e

注意：

1 镜像电荷等于负的感应电荷（符号与数量均相同），

但小于场源电荷量。

2 镜像电荷不能放在当前求解的场域内。

2.4.2 不接地导体球对点电荷的镜象

解: 边值问题

20

00

r s S

d ???→∞?===≠?=?

D S 球面常数

在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位

置

接地导体球外的

?在球内有两个等效镜象电荷。 ?正负镜像电荷绝对值相等。 ? 正镜像电荷只能位于球心。

任一点电位及电场强度为： 012012

11()()44q q q q R R r r r r dr dr ?πεπε''=-+=-+

12222012

1()4r r r q R R r dr dr πε=-+E e e e

补充题：

试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?

例2-4 空气中有一内外半径分别为R 11和R 22的导体球壳原不带电，其内腔介质为ε0，若于壳内距球心为b 处置点电荷q ，求球壳内外的电场强度和电位。 解:

1 计算球内的场，设球壳的电位为0

2111111R d b

R d

q q q

R b

=

'== 00

1222

010244q q R R πεπε'=-E R R 内 11010244R q q R R b

?πεπε=-内

2计算球外的场

球外表面的电荷均匀分布，球壳外电场具有球对称性。

d q ?=?E s 外S

204q R

πε=E R 外 220022

44R R q

q d

R R ?πεπε==-?E l 外外

2.5

无限大介质交界面的镜象

边值问题：

210??= 上半平面 220??= 下半平面

1212t t

n n

E E D D ==

'''

cos cos cos 222444112

'''sin sin sin 112222444112

q q q r r r q q q r r r

θθθπεπεπεεθεθεθπεπεπε+=-=

112'''

'''

q q q q q q εεε+=-= 得 12122

12

'2''q q q q εεεεεεε-=+=+

讨论与引伸

1 介质1中的电场是由q 与q ’ 共同产生，其有效区在上半空间，q ’是等效替代极化电荷的影响。

2 介质2中的电场是由q 〃 决定，其有效区在下半空间，q 〃是等

效替代自由电荷与极化电荷的作用。

122

2121

2'''q q q q q q εεεεεεε-=-=-=++

思考题？

为求解图示，区域1与 区域2的电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置？

例2-5 离河面高度为h 处，有一输电线经过，导线单位长度的电荷量为τ，且导线半径R<

2122160''81

ετττεε==+

()022,22x y x y h x y R R R R ττπεπε''''-??

==+

???

E R e e ()2

22R x y h =+-

()()()222

20,81x y

x y h

x y x y h x y h τπε??-=+ ? ?+-+-??

E e e

2.6 电容与电容的计算

一、电容

1 电容器的电容

AB

def

U q

C ≡ 单位：法位F ，F F μ1106=- pF F 11012=- 2 独立导体的电容

?

q C def

=

说明：电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。 二、电容计算思路：

?=→?=→→U

Q

C d U Q l E E 设

三，电容计算

1 平行板电容的电容

d

S C ε=

2 球形电容器的电容

a

b ab U q C -== 4πε

3 单层介质圆柱形电容器的电容

1

2

ln 2R R U C πετ==

4 双层介质圆柱形电容器的电容

ln 2ln 21

23

2121R R U

C πεπετ

+=

=

讨论：

A 总电容相当于两个电容器串联的总电容

B 内外层介质场强最大值的位置，最大场强相等时有： 1122R R εε=

2.7

双输电线的电容

b

R U

C -=

=

000

0ln

πετ

讨论：0b ,0≈>>时当R d

00

000ln ln

R d

R R d C πεπε≈-≈

例2-7 两根平行细长导线位于与地面平行的平面内，导线的半径为R 0，轴线间距离为d 。当导线与地面间的距离不小于多大值时，忽略地面的影响，导线电容计算值的误差才不超过1%。

????

??+=

0220

'024ln R h d

h d C πε 考虑大地的影响

00

0ln ln

R d R R d C πεπε≈

-≈

不考虑大地的影响

2.8 多导体系统的部分电容

静电独立系统：静电独立系统 — 线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；D 线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统中的其余带电体，与外界无任何联系。

电容的概念

1. 已知导体的电荷，求电位和电位系数 [][][]q α?=

电位系数的计算方法

电位系数的性质

2 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数

[][][][][]?β?α==-1q

3 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容 [][][]U C q =

部分电容的性质：

部分电容的计算方法：以教材为主讲解

静电电容网络

等效电容的概念：

ij

ij

ij

e

ij

kk

e

e e

333332323123323232222212121212121210111U C U C U C q U C U C U C q U C U C U C q ++=++=++=

2.9

带电导体系统的电场能量及其分布

平板电容器的电场能量与电场能量密度 在普通物理学中，已知平行板电容器的电场能量密度计算式

因而平行板电容器的能量表达式可写为

式中：V 为电容器两极板所辖空间的体积。上式说明，静电场的能量，是以能量密度的形式，储存于整个电场所遍及的空间，而不是附着于两极板板面有电荷处。它说明有电场处即有能量存在。上式可以推广到非均匀的电场中去。

多个带电导体系统的电场能量

为了研究问题简便，请注意下面三项原则：

1.基于场的物质性，一定的物质状态，对应唯一的能量状态，因而电场能量确定于场的最终分布状态，而不随其建立方式与过程之不同而不同。

2.电场所处空间为线性媒质，因而各导体电位与各导体电荷具有线性关系，电场各量( 、 、 、)适用叠加原理。

3.不考虑电场建立过程中媒质的热损耗及诸如辐射等等所带来的不可逆能量损耗。

例2-9 真空中的孤立带电导体球带有电荷q ，半径为R 1，计算电场储存的能量。

2.10 虚位移法计算电场力

虚位移法： 基于功能守恒原理，电场力作功与电场能量的变化，应该平衡于外部电源所作的功： 电场力所作的功＋电场能量的变化=外部电源所作的功

所谓虚位移法，即是基于功能转换过程而建立的。假设带电导体系统的电场中，某一被研究的带电导体，在电场力的作用下，作一想象的微小位移，电场能量亦相应存在想象的微小变化，根据功能守恒原理，即可求得该带电导体所受的电场力。由于该方法中导体的位移是想象(虚构)的位移，故称之为虚位移

D E E w e

?==21212ε1

2

e e V V W dV E DdV ω==

???

法。

为了正确地计算带电导体在电场中所受电场力，应该注意下面3个要点：

(1)选择一个合适的坐标系来描写导体的虚位移情况，并将电场能量写为位移坐标的函数。

(2)选择一个方便的计算公式进行计算。例如在求平行板电容器极板所受的电场力时，选取式(2-75)较为方便。此时应该注意公式运用的条件。

(3)根据f g dg＞0，对电场力的作用方向进行判断。

例2-10求作用于静电电压表的可动极板上的静电力矩。