线段和最小值问题
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．第 2 页第 3 页解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．第 4 页第 5 页分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接CE ，交AB 于点P ，此时PC ＋PD 和最小，为线段CE ．因为AD ＝4，所以AE=4．因为∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE ＝∠BPC,所以△APE ∽△BPC ，所以.因为AE=4，BC ＝6，所以，所以，所以,因为AB ＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值第 6 页 为 ．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D 关于直线EF 的对称点为A ，连接BD ，交EF 于点P ，此时PA ＋PB 和最小，为线段BD ．过点D 作DG ⊥BC ，垂足为G ，因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC ＝60°，AD ∥BC ，所以∠BAD ＝120°．因为AB=AD ，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE ＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD 是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值第 7 页第 8 页 例6 如图6所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为 ．分析：根据正方形的性质知道，点B 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D 关于直线AC 的对称点为B ，连接BM ，交AC 于点N ，此时DN ＋MN 和最小，为线段BM ．因为四边形ABCD 是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN 的最小值为10. 例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ周长的最小值为 cm ．（结果不取近似值）．第 9 页分析：在这里△PBQ 周长等于PB+PQ+BQ ，而BQ 是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ 的和最小问题．因为题目中有一个动点P ，两个定点B,Q 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B 与点D 关于AC 对称，连接DQ ，交AC 于点P ，连接PB ．所以BP=DP ，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ ．在Rt △CDQ 中，DQ== ，所以△PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN 是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B)(C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB 的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．第 10 页四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB 的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB 的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC 的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
线段和的最小值 万能方法
M1 A1
A2
N1
提高
例2：如图，已知AB是⊙OB中AC的 30直0 径，
，点D是线段AC上的任意一点1 C（DO不D 含端点），
连接OD，当
的最小2值为6时，求AB的
长。
在RtOO1F中
O1 D1 C
O1OF 600
DE
OO1 4 3
A
FB
AB 8 3
O
线段和的最小值
方法策略
初中数学经常遇到求PA+PB最小值问题，或 者是求△ABC的周长最小值。 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最 短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模
存在一点P，使得△ABP的周长最
小A．B请 求BP出点APP的坐标． y 分析：因为AB的
长是确定的，故 △ABP的周长最 小时AP与BP的和
AO
x
P
为最小，所以可作 出右图所示的图
B
B
’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直 径，AB=4，点C是半圆的三等份点， 点D是弧BC的中点，AB上有一动点 P，连接PC，PD，则PC+PD的最小 值是多2 2少？并画出点P的位置C .
型1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）l 如
图，直线 表示草原上的一条河流。一骑
马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后
返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走， 能使路程最短？作出这条最B 短路P线'A P'B
直线l A为A'
线
的中垂
线段和最小值问题整理
线段和最小值问题是一类数学问题，通常涉及到在给定的线段上找到使某个函数取得最小值的点。
这类问题在数学建模、优化问题和几何学中都有应用。
下面是对线段和最小值问题的整理：
1. 定义线段：线段是由两个端点确定的一段连续的直线部分。
2. 定义函数：线段和最小值问题通常需要定义一个函数，该函数将线段上的点映射到一个实数上。
3. 最小值问题：线段和最小值问题的目标是找到线段上使函数取得最小值的点。
4. 解决方法：解决线段和最小值问题的方法通常包括数学分析和优化算法。
a. 数学分析：通过分析函数的性质、导数和极值点等，可以找到函数取得最小值的点。
b. 优化算法：如果函数较为复杂或者无法通过数学分析得到解析解，可以使用优化算法，如梯度下降法、遗传算法等，来搜索最小值点。
5. 约束条件：线段和最小值问题中，通常会存在一些约束条件，如线段的端点范围、函数的可行域等。
这些约束条件需要考虑在解决问题时。
线段和最小值问题的具体形式和解决方法会因具体情况而异，可以根据具体问题的特点来选择合适的方法进行求解。
(完整版)初中几何中线段和与差最值问题
三、其它非基本图形类线段和差最值问题
1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
压轴题
1、如图，正比例函数 的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.
2、如图，一元二次方程 的二根 ， （ ＜ ）是抛物线 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求点D的坐标；
（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？
若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．
线段和的最小值问题
课堂小结
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小 值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求 线段和的最小值问题。
达标检测
已知平面直角坐标系内两点A(1，2), B(2，-1),点P在y轴上运动，求当PA+PB取 得最小值时P点的坐标。
（第 1 题）
能力提升：已知A(0,5),EF=2,且EF在x轴 上平行移动，当AE+AF最小时求E、F 坐标。
典例一：两定一动,求和最小
例1：如图矩形顶点O在坐标原 点，OA=6，OB=8，D为OB边的 中点，若E为OA边上的一个动 点，当△DCE的周长最小时， 在图中画出E点的位置并求点 E的坐标；
变式练习1：已知平面直角坐标系中的两点A （1，2），B（4,2），点P在x轴上运动，则 PA+PB的最小值是_5__。
典例二：两定两动,求和最小
作图2：已知线段EF=1且EF在直线a上平行 移动，A 、B为两个定点，E点在什么位置 时，使得AE+BF最小，请在图中画出点来
• 变式练习2：如图矩形OACB，OA=6， OB=8，D为OB边的中点，若E、F为OA边 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、F的坐标。
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小 值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求 线段和的最小值问题。
自主学习
作图1：已知直线l，在直线l同侧 有两点A、B，在直线l上找一点P， 使+PB的值最小。
·B A﹒
l
知识点拨：
1、轴对称性； 2、三角形两边之和大于第三边。
线段差的最大值与线段和的最小值问题
线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。
2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。
3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。
作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。
即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。
证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。
一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜ABp'（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：1、作B关于直线L的对称点B。
B2、连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB、PB。
︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（两点之间线段最短）三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。
提示：EF长不变。
即求F N＋NM＋MF的最小值。
利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。
一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，边长是4，E 是BC 上一点，且CE ＝1，P 是对角线BD 上任一点，则PE ＋PC 的最小值是_____________。
线段和的最小值问题
练习
A’
P
C
B
A
E
P
D
C
DE
5
出题背景变式有：
1
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
2
解题思路：
3
找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
----线段和的最小值问题
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如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？
A
B
街道
P
P’
A B A’ P 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 街道 P’
4
变式1（2008 年湖北荆门市中考题） 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．
A
D
C
B
M
N
P
M’
P’
5
练习 (2011广西试题改编） 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是 （2）△BPG周长的最小值是 。
线段和的最小值
本节课我们学习了 问题， 这类问题的解题方法是怎样的？
线段和的最小值问题
线段和的最小值问题一直以来，“线段和的最小值问题”是中考的热点和难点问题之一。
学生在这方面常常出现丢分，问题是找不到解题的突破口。
怎样解决这个突破口呢？本人把它们归结为两个“典型题型”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。
所谓“典型题型”，就是某些题例它不是公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题解答。
下面就“线段和的最值”问题，运用两个“典型题型”的原命题进行探讨。
1.关于线段和的最小值问题例1：如图1所示，要在河边修建一个水站，向A、B区的居民提供自来水，水站应建在什么地方，才能使A、B区的居民到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点B的轴对称点 ,连接交直线于点P，则点P就是所求的水站位置。
利用这一题例的结论，可以解决类似的关联题。
图1[ 类型1：]如图2，菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、AC的中点，则PM+PN的最小值是________。
分析：根据菱形的对称性，在AD上找出的M关于AC的对称点（即AD的中点）,连结交AC于P，则PM+PN的最小值就是线段的长，等于菱形的边长5. 图2[ 类型2：]如图3，MN是的直径，MN=2，点A在上，∠AMN=，B为弧AN的中点，P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值是________。
分析：连结OA，由∠AMN=得∠AON=，取点B关于MN的对称点 ,连结 , ,则交MN于点P,则的长为PA+PB的最小值，且∠ ,即△为等腰直角三角形，故。
图3[ 类型3：]如图4，在等腰△ABC中，∠ABC=，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）。
A.2 B. C.4 D.分析：把等腰△ABC沿AC翻折可得一个菱形，由上面[类型：1]的解图4答可知，PM+PN的最小值就是菱形的边AB的长，故AB=2，由AB=BC=2,∠ABC=120°，易求得AC=，因此△ABC的周长是。
七年级最值问题——线段和最小值问题
• C'D = 2√2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2) • 所以，有0 = -k b 2 = k b • 解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 当x = 0时，y =1，则P(0，1)
• 3、如下图，一次函数y=kx b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． • （1）求该函数的解析式；
• 4、作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) • 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定
长P'Q'； • 2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P； • 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q.. • 略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四
• 解析： 这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题， 经过分析，知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB 相交，点P在∠AOB内部，通常我们会用轴对称模型，分 别做点P关于直线OA和OB的对称点P₁、P₂ ，连结P₁P₂分 别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程 最短的地点.
• 3、如下图，村庄A、B位于一条小河的两侧， 若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与 河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才 能使A村到B村的路程最近？
• 这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、 三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
• 还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM MN BN的最小值。这时需平移BN（或AM），转化为求解 决，如下图所示．
中考数学最值问题3-线段和的最小值(将军饮马型)学生用
最值问题3 线段和的最小值线段和的最小值在直线l上求一点+PB 值最小。
A、B在直线异侧“将军饮马”）作图在直线l上求一点PA+PB 值最小．平移型将军饮马作图在直线l上求两点M、N（M在左），使MN a，并使AM+MN+NB 的值最小.向右平单＇的对称点，点左个单位称两点之间线段最短．AM最小值为A造桥选址”作图原理直线m ∥ n ，在m 、分别求点M、NMN⊥m，且AM+MN+BN值最小。
在直线l1、l2 上分别求点、N，使△PMN 的周长最小．作图在直线l1、l2上分别求点M 、N ，使四边形PQMN周长最小。
作图A 为l1上一定点，B上；A 为l1上一定点，上一定点，在l2上求点在l1上求点N ，AM+MN+NB 的值最小．作图l1上求点A，在lB，使PA+AB值最小．1. (1)已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB 的中点，则PD+PB的最小值为______cm.(2)如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．(3)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．(4)如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．（5）如图正方形ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF=22，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为．2. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标及最小值．3. 如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、点B，交y轴于点C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，在x轴上是否存在一点M，使△CPM的周长最小，若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．y轴相交于点C，顶点为D（1）求出点A，B，D的坐标；（2）若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值．5．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；y轴交于点C，已知点D（0，﹣）．（1）求直线AC的解析式；（2）如图1，P为直线AC上方抛物线上的一动点，当△PBD面积最大时，过P作PQ⊥x 轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM，NQ，求PM+MN+NQ的最小值．7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK 的最小值．8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=﹣x2﹣x+交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为﹣5．（1）求直线BD的解析式；（2）点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D．（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；（2）在（1）的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x 轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．10. 抛物线y=﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC的表达式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB 面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到y轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止．求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长．。
八年级数学线段(和)最小值问题(教师版)
线段（和）最小值问题轴对称与等腰三角形1、如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 10 。
（第1题）（第2题）2、如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm时，这个六边形的周长为 60 cm。
3、如图，△ABC为等边三角形，在平面内找一点P，使△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形，则这样的点P共有 10 个。
（备用图）知识点轴对称与线段和最小1、两定一动（1）如图，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小。
（2）如图，点A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小。
2、三定一动平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是（2，0）。
3、一定两动型如图，点A是∠MON内部一点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使△ABC的周长最小。
4、两定两动型（1）AB是∠MON内部一条线段，在∠MON的两边OM、ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小。
（2）平面直角坐标系中有两点A（6，4）、B（4，6），在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是（0，2），点D的坐标应该是（2，0）。
5、定点与定长线段点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出两点O、P，使得OP＝1cm，且MO＋OP＋PN的值最小。
（轴对称与平移的结合）【例题精讲一】例1：1、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（0，3）。
2、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PB1＋PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA＋QC最小。
换一种思路求线段和的最小值
2020^.^1i m换一种思路求战段和的最小值■马先龙摘要：解答几何题时，经常需求线段和的最小值. 对于有的问题，直接求解，非常困难；若换一种思路，则 柳暗花明，别有洞天.关键词：线段和；最小值;折叠解线段和的最小值问题时，换一种思路，往往别有 洞天，易于求解.一、加上定长线段例1 如图丨，矩形中，/lB JM D ==6,点 M 、/V 分别是边 4Z )、 \ 'P <Q nC D 上的动点，且M i V =4,点五是线段”M N 的中点，点P 是边B C 上的动A , B c求P/l +■的最小值.分析:如图1，直接求+洲的 ，最小值比较困难.依题意，易知线段 图！况的长为定值，故欲求/M +P £的最小值，可加上定长线段£>£，先求出+ /^ + 的最小值，然后再减去线段的长即可.解：如图1，因为四边形4B C D 为矩形，所以乙S /1D =/1/1B C = zlCZM = 90。
•在 R t A M /V D 中，因为 乙M Z W = 90。
，£；为 M)V 的中点，MTV = 4,所以 £>£ =^■娜=2.延长仙到点水,使似，=仙，则点关于直线B C 对称.连接/M '，则/M = /M ',所以/M +P £ + Z )£ =凡4' + P £ +连接I D ，根据“两点之间线段最短”，知线段的长就是W +洲+训即/M +洲+ £>£ 的最小值•在 Rt中，= 90°，/i4,== 8,/lD = 6,由勾股定理，得 47) = VAA'2 + AD2=782 + 62 = 10,所以（以+J P £ + £)£)mm = 10,所以 (/M +P £；)m i … = 10-2 =8,即/M +™的最小值为8.点评:本题把求两条线段和的最小值问题转化为 求三条线段和的最小值问题.其中，发现定长线段并能灵活转化是解题的关键.本题考查了“直角三角形 斜边上的中线等于斜边一半”这一重要性质，考查了 矩形的性质，考查了勾股定理的应用，考查了“两点之 间线段最短”这一公理，考查了转化、轴对称、等线段 代换、化折为直等基本的数学思想和方法[1].例2 如图2,矩形4BCZ?中 ==5,A/、7V 分别是边上的动点，点£在边上，且=1，将沿财£所在的直线折叠 得到 A /4'O Z ,连接 n/V D ，求/t 'i V+ /V D 的最小值.分析:如图2,直接求A W +图2的最小值比较困难.由图形的折叠,知线段的长为 定值，故欲求的最小值，可加上定长线段 ^先求出f /V + /VZ)的最小值，然后再减去线段4'£的长即可.解:如图2,由图形的折叠，知= 1.因为 四边形为矩形，所以乙fiCD == 90。
线段和最小值问题
线段与最小值问题问题模型：如下图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．题型一：两定一动一线例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是______．方法总结：当有两个定点时，做任一定点关于线的对称点，连接另一点与对称点，与线的交点即为所求。
跟踪练习：如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为______．题型二：一定两动一线例2：如图，在矩形ABCD中，AB=10 ,BC=5 ．若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为______．方法总结：点P在AD上运动，则作线段AD关于线AE的对称线段，结合垂线段最短求最小值。
跟踪练习如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD与AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是______．拓展提升题型三：三动一线（做法参照题型二）例3：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，PE+PF的最小值等于______．题型四：一定两动两线例4：如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值______．方法总结：分别作定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段与的最小值。
题型五：两定两动两线例5：如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_______.方法总结：分别作两定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段与的最小值。
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以∠AME∠∠AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF∠BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∠BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∠BC，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以∠APE∠∠BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG∠BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∠BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE∠AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，果不取近似值）．分析：在这里∠PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt∠CDQ中，DQ==，所以∠PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的∠O的直径，点A在∠O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()(A)2(B) (C)1(D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），∠AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使∠AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里∠AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时∠AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为∠BCE∠∠BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当∠CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以∠的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∠EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
《线段和最小值问题》专题教学设计
《线段和最小值问题》专题教学设计【专题的地位与作用】线段和最小值问题，是历年来全国各地中考的热门试题，其在试题中呈现的方式涵盖在选择、填空、解答、作图等各种形式，特别是广州近几年对于这类的题目也加大了考察力度， 2017 年 24 题，2018 年 23 题都涉及到这个知识点的应用，而且多以压轴题的形式出现。
关于线段运算的最值问题课本上只有两处出现：一是两点之间线段最短；另一个是垂线段最短。
在平时的上课中，大多关注的是相等关系，对于不等关系学生接触较少，因此学生碰到这类题目的时候就比较棘手。
而解决这种不等关系的工具也不多，所以在教学过程中让学生能认清两个公理的本质特征，及其在不同的背景下的应用方法是非常迫切的，因此在中考复习中进行本专题的教学也是很有必要的。
【学情分析】由于学生在平时的《几何》学习过程中接触到不等关系，特别是最值问题的机会比较少，在这方面知识的工具也不多，因而大部分学生处理这个问题都是有一定的难度的。
本节课就是想通过学习让学生能认识两个基本模型的辨识及其应用方法，同时通过教学渗透化归思想，提高学生数学的核心素养。
【教学目标】知识与技能目标：1、掌握模型变式 1 和模型变式 2 两类题型的结构特征，并能在实际问题中找出相关要素。
2、能初步使用“一对称一连线”和“一对称一垂直”的方法解决相关数学问题3、体会用化归思想解决数学问题，经历由猜想到验证的过程，培养严密的数学思维习惯。
过程与方法目标：通过问题引导、模型变式启发发学生能依赖小组合作模式逐步探索出问题模型的解决方法，经历由猜想到证明的严谨的思维过程。
情感态度与价值观目标：1、通过小组合作探索培养学生小组协作精神2、通过教师的引导启发培养学生探索求知的精神，激发学生对数学的学习兴趣【教学重点】1、模型变式 1 和模型变式 2 的结构特征2、“一对称一连线”和“一对称一垂直”的应用条件及应用方法【教学难点】1、模型变式 2 解决方法的探求2、模型变式 1 和模型变式 2 在实际应用时，求表示最小值的线段长度的方法【教学方法】引导启发式、自主探究式、小组合作【教学用具】几何画板PPT【教学流程】教学环节问题情境师生活动设计意图复习旧知基本模型：如图1，在直线两侧有两个定点A、B,在直线l 上有一动点P，当PA+PB 的最小时，画出点 P 的位置，并说明理由。
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD ＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN ＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以, 所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E 的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E 的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
线段和的最小值问题
线段和的最小值问题
发布时间：2021-05-08T14:48:57.603Z 来源：《教育学文摘》2021年4期作者：莫秋燕
[导读] 一直以来，“线段和的最小值问题”是中考的热点和难点问题之一
莫秋燕
深圳笋岗中学 518002
一直以来，“线段和的最小值问题”是中考的热点和难点问题之一。
学生在这方面常常出现丢分，问题是找不到解题的突破口。
怎样解决这个突破口呢？本人把它们归结为两个“典型题型”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。
所谓“典型题型”，就是某些题例它不是公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题解答。
下面就“线段和的最值”问题，运用两个“典型题型”的原命题进行探讨。
一、关于线段和的最小值问题
上述原命题还可以进一步引申：[引申题]咪咪在某景区游玩，他打算从景点A到河边（直线）走一段（长度为已知线段a）再到景点B,怎么走最近？
希望以上的题例对学生能起到举一反三的作用。
图9。
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运用图形的轴对称求线段和的最小值
学习目标：会用轴对称知识解决一些常见几何图形的线段和最小值问题.
学习重点：利用常见几何图形的对称特性运用转化思想，学生会解决有关线段和
最小值问题.
学习方法：自主探究法、合作交流法
学习过程：
一、知识链接
1、已知直线l 及其两侧两点，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 和最小。
（写出画图方法，画出图形）
2、如图，已知点A,B 在直线l 的同一侧，在l 上求作一点P ，使得PA+PB 最小。
（写出画图方法，画出图形）
总结：此时PA+PB 等于线段 。
二、知识应用 如图，铁路l 同侧有两个仓库A,B,它们到铁路的距离AD,BE 分别为500m,300m,DE=600m.
现要在铁路上建一个货场C,要求CA+CB 最小，求这个最小值。
三、自主探究
知识链接：在平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆中，是轴对称图形的有 。
1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，P 是BD 上一动点。
连接EP,CP,则EP+CP 的最小值是
2、如图2，已知菱形ABCD,AB=6, ∠BAD=60°,E 为AD 的中点，M 为AC 上一动点，则EM+DM 的最小值是
3.如图3，梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°,直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一动点,则PC+PD 的最小值为 .
l A B l E
D A B
2(4)(3)(2)(1)P A C
D M P D A N M
E B D C P E D A B O C A B C B 4.如图4，⊙O 直径AB 为2，∠COB=60°，D 是弧BC 中点，P 是直线AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为
总结：以上问题利用了正方形、菱形、等腰梯形、圆的对称性，从图中能直接找到一个点的对称点。
三、研讨
1、在平面直角坐标系中有三点A(6,4),B(4,6),C(0,2),在x 轴上找一点D,使得四边形ABCD 的周长最小，求点D 的坐标。
四、延伸拓展
如图，点A(1,3),D(2,1),在y 轴上找到点B,在x 轴上找到点C ，使得四边形ABCD 的周长最小，并求周长的最小值。
（显示画图痕迹。
提示：从点A 发出的光线经镜面y 轴反射到镜面x 轴上，再经镜面x 轴反射后如果经过点D ,这样光线所走的路径最短）
五、课堂检测
1、如图，已知正方形ABCD 的边长为8，F 是DA 上一点，且
x y C (0,2)B (4,6)A (6,4)O
x y -1-13212D (2,1)A (1,3)O 1
FA=2，点P 是BD 上一动点，则 AP+PF 的最小值为 .
2、如图抛物线y=a x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C ，且A(-1,0) B(3,0) C(0,-3)（1）在对称轴上是否存在一点P 使△PAC 周长最小，若存在，请求出P 的坐标。
若不存在，说明理由。
（2）求△PAC 周长最小值。
学习收获
六、课外作业
1、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则其最小值为
2.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D,E 分别是AB,AC 的中点，点F 是BC 上的一动点，则△DEF 的周长的最小值是
3、一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0）、
B
（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
4.如图，圆柱形玻璃水槽外壁点A 处一只壁虎，距离上沿5cm,内壁点B 处有一只蚊子，距离上沿3cm.弧CD 的长为6cm.求壁虎从点A 处沿水槽壁爬行到B 处的最短距离。
（提示：将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展成一个平面；画出平面图）
5、如图，一元二次方程2230x x +-=的二根12x x ，（12x x <）是抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点B C ，的横坐标，且此抛物线过点(36)A ，．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴
与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q
的坐标．
（3）在x 轴上有一动点M ，当
MQ MA +取得最小值时，求M 点的坐
标.
B A
D C。