线段和最小值问题

运用图形的轴对称求线段和的最小值

学习目标：会用轴对称知识解决一些常见几何图形的线段和最小值问题.

学习重点：利用常见几何图形的对称特性运用转化思想，学生会解决有关线段和

最小值问题.

学习方法：自主探究法、合作交流法

学习过程：

一、知识链接

1、已知直线l 及其两侧两点，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 和最小。 （写出画图方法，画出图形）

2、如图，已知点A,B 在直线l 的同一侧，在l 上求作一点P ，使得PA+PB 最小。 （写出画图方法，画出图形）

总结：此时PA+PB 等于线段 。

二、知识应用 如图，铁路l 同侧有两个仓库A,B,它们到铁路的距离AD,BE 分别为500m,300m,DE=600m.

现要在铁路上建一个货场C,要求CA+CB 最小，求这个最小值。

三、自主探究

知识链接：在平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆中，是轴对称图形的有 。

1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，P 是BD 上一动点。连接EP,CP,则EP+CP 的最小值是

2、如图2，已知菱形ABCD,AB=6, ∠BAD=60°,E 为AD 的中点，M 为AC 上一动点，则EM+DM 的最小值是

3.如图3，梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°,直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一动点,则PC+PD 的最小值为 .

l A B l E

D A B

2(4)(3)(2)(1)P A C

D M P D A N M

E B D C P E D A B O C A B C B 4.如图4，⊙O 直径AB 为2，∠COB=60°，D 是弧BC 中点，P 是直线AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为

总结：以上问题利用了正方形、菱形、等腰梯形、圆的对称性，从图中能直接找到一个点的对称点。

三、研讨

1、在平面直角坐标系中有三点A(6,4),B(4,6),C(0,2),在x 轴上找一点D,使得四边形ABCD 的周长最小，求点D 的坐标。

四、延伸拓展

如图，点A(1,3),D(2,1),在y 轴上找到点B,在x 轴上找到点C ，使得四边形ABCD 的周长最小，并求周长的最小值。（显示画图痕迹。提示：从点A 发出的光线经镜面y 轴反射到镜面x 轴上，再经镜面x 轴反射后如果经过点D ,这样光线所走的路径最短）

五、课堂检测

1、如图，已知正方形ABCD 的边长为8，F 是DA 上一点，且

x y C (0,2)B (4,6)A (6,4)O

x y -1-13212D (2,1)A (1,3)O 1

FA=2，点P 是BD 上一动点，则 AP+PF 的最小值为 .

2、如图抛物线y=a x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C ，且A(-1,0) B(3,0) C(0,-3)（1）在对称轴上是否存在一点P 使△PAC 周长最小，若存在，请求出P 的坐标。若不存在，说明理由。（2）求△PAC 周长最小值。

学习收获

六、课外作业

1、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则其最小值为

2.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D,E 分别是AB,AC 的中点，点F 是BC 上的一动点，则△DEF 的周长的最小值是

3、一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0）、

B

（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

4.如图，圆柱形玻璃水槽外壁点A 处一只壁虎，距离上沿5cm,内壁点B 处有一只蚊子，距离上沿3cm.弧CD 的长为6cm.求壁虎从点A 处沿水槽壁爬行到B 处的最短距离。（提示：将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展成一个平面；画出平面图）

5、如图，一元二次方程2230x x +-=的二根12x x ，（12x x <）是抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点B C ，的横坐标，且此抛物线过点(36)A ，．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴

与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q

的坐标．

（3）在x 轴上有一动点M ，当

MQ MA +取得最小值时，求M 点的坐

标.

B A

D C