动静法

F'' FN 得出：损失力等于约束反力冠以负号
（6）达朗伯尔原理：
从上式移项可以得出达朗伯尔原理的表达式：
F'' FN 0
即：非自由质点所受的约束反力与耗损力相平衡。
（7）动静法：利用上式变形为：
F ma FN 0
令：F ma, F 称为惯性力
I I
可得到：
F FN F 0
对于动力学问题，“平衡力系”实际并不存在，此
处 仅仅是在每一个质点上假想地加上惯性力后，借用 静力学的平衡理论来求解动力学的问题，因此称为 “动静法”。
例 如图所示，机车沿水平直线轨道以匀加速度 a行驶，求水箱中水面的倾斜角θ。
解： （1）取水的自由表面
y
θ
上质量为m的某一水分
子为研究对象。 （2）受力分析： 水分子的重力mg， 其它水分子给该水分子
I
Ff FN
θ
D n cos 1800 g
2
2
mg
――此即脱离角θ应满足的 条件之一 与此相反，在离心 浇注混凝土管或钢管时， 必须满足：
1800 g n 2 D
这样才能保证混凝土浆或钢水紧贴转筒内壁 而被压紧成形。
2、惯性力系的简化
应用动静法解决质点系动力学的问题时，需要
在每个质点上附加相应的惯性力，这对于质点较多

(3)
即：如果质点系中的每一个质点都加上惯性力，则 作用于质点系的所有主动力约束反力以及惯性力在 形式上组成一平衡力系。 (3)式即为质点系的达朗伯尔原理的表达式。
(10) 动静法
在质点或质点系运动的某一瞬时，除真实作用 在质点或质点系的每一个点的主动力和约束反力外， 再假想地加上各自的惯性力，则可按静力学求解平 衡问题的方法，建立平衡方程，求解质点或质点系 的动力学问题。 具体求解时，仍然选择投影形式的平衡方程。
关于惯性力定义的讨论：该说法 不一定完全对，如图， 小球在平面内运动，人的手 F T 是施力物体，而FI并不作用于人 I F 的手上，而FI可分解为-mg和－FT， mg －FT是作用于人手上的，但-mg是 作用于地球上的，是分别作用于不同物体上的力，是 不能合成的，故上述说法在此就不一定完全对了。
（8）惯性力：
F ma
I
（a）定义：质点的惯性力等于质点的质量与加速度 的乘积并冠以负号，故惯性力的方向与加速度 的方向相反。
（b）性质：惯性力只是假想地加在所研究的质点上 而不是真正作用于该质点的力,否则质点将真正处于 平衡（或作惯性运动）而不是以加速度a运动了。
（c）作用： 引入了惯性力的概念，就可以认为 该质点在主动力F 约束反力FN及惯性力FI 的共同 作用下处于平衡，可把动力学的问题利用静力学 的平衡方程求解。
约束反力合力FN，对M加上惯性力FiI，若质点M在
该瞬时的加速度为a，则有：
Fi FN i Fi 0
I
——质点系运动的每一瞬时，作用于质点系内每一 个质点的主动力、约束反力和该质点的惯性力在形式上组 成一组平衡力系。
一般，质点系中的每一个质点都加上相应的 惯性力，则质点系上的所有主动力、约束反力以 及惯性力将构成一空间任意力系，利用空间力系 的简化方法，可在空间任选一点0作为简化中心， 将该空间力系向简化中心简化，简化结果为一主 矢量和一主矩。
I FR Fi FNi Fi
2 I M o mo Fi mo FNi mo Fi

I I m F m F m F m F F F 0 i o Ni o i 0 i Ni i
I
由此可见，若在质点实际所受的主动力F和 约束反力FN之外，再给它附加一个惯性力 FI， 则惯性力与质点所受的主动力和约束反力可视为 从形式上组成一个平衡力系。 利用该式，就可以利用静力学中解决平衡问 题的方法来求解非自由质点的动力学问题，这称 为质点的动静法。
需要指出的是，动静法不是牛顿第二定律的简单移项， 是经过分析约束对于质点运动的影响才得到的，因而有其 重要的力学含义。
a
θ
FI FN
mg
θ
x
的约束反力FN，虚加的惯性力FI， FI＝-ma
（3）列平衡方程：
F
x
0 : F cos mg sin 0
I
a 即 : ma cos mg sin 0 tg g
求得的θ即为水面相对于水箱平衡平衡时的倾角。
由此原理，可以制造测量 加速度的水准仪。将玻璃管制 成上面是圆弧形的水准器，并 θ o 标有代表加速度值的刻度。 当水箱匀速前进时，水泡位于水准仪正中央，当车箱加速 度前进时，因水面前倾故水泡向前偏离中心，根据水泡所 在之初与圆弧连心线的偏角θ，即可由此读出加速度的值。
(d) 实例
o
an
FN FT
M
v
FI
mg
如用手握住绳子的一端 O,在绳子的另一端系 一质量为m的小球M，当使小球在光滑水平支承面 上作匀速圆周运动时，由于小球所受的重力 mg恒 与支承面的约束反力FN相平衡，故小球的向心加速 度来自绳对球的拉力FT，即：
FT ma n
小球的惯性力为：
F ma n FT FT

对于平面问题： Fx A Fx N Fx I 0 A N I Fy Fy Fy 0 m F m F m F I 0 o i o Ni o i

注意：质点系中的质点并没有受到惯性力的作用，
FN F
I
M a'' F ''
a ma a' F
（3）加速度：质点的加速度为 : a，且：ma F FN 满足牛顿第二定律
（4）约束对质点运动的影响：
ma=F+FN是主动力与约束反力之矢量和，那么
约束反力对运动的影响究竟怎么样的？
为了研究约束对质点运动的影响，先假定该 质点不受约束，且在同一主动力F的作用下运动的 加速度为a’，则: F=ma’， FN 由于有约束反力的存在， M F a ma 加速度不是a’而是a， a' a'' 而且： ma=F+FN 。 F F '' 所以由于约束反力的 出现，加速度变为a，就损失了一个加速度a’’。
I I F F F F F F i Ni i i Ni i

Fi FNi Fi 0,
I
m F F
0 i

Ni

Fi 0
I
Βιβλιοθήκη 于是（2）式可化为：I F F F i Ni i 0 I m F m F m F 0 i o Ni o i 0
2
F ω
I
Ff FN
θ
mg
考虑到钢球要与鼓室内壁脱离，还必须考虑
满足条件θ>0，从而 cosθ<1，亦即：
D n 1 1800 g
2 2
F ω
I
Ff FN
θ
1800 g n 2 D
mg
这就是钢球不致紧贴鼓室内壁而不脱离时 转速应满足的条件。
钢球开始脱离鼓室内壁的 瞬时，FN＝0，故有
F ω
束反力FN必与重力mg相平衡，从而，物体的加速
度a 由水平推力F所引起，既有F＝mg，又物体的 惯性力FI为：
F ma
I
F
F' C mg
a
即物体的惯性力等于物体 对人的反作用力FI 。
FN
由以上两例可见：当一个质点在力作用下以加速 度a 运动时，质点的惯性力等于质点对迫使它改变运 动状态的施力物体的反作用力。 或惯性力就是由于研究对象具有惯性，而反作用 于施力物体的力。
（e）实际意义：惯性力在工程中由重要的实用意义，
因为有些高速转动的物体的惯性力能达到很大值，
在这些物体进行强度计算或校核时，必须给予充分
的考虑。如燃气涡轮，离心浇注等，高速旋转，都 产生很大的惯性力，无缝钢管的制作等 。
(9) 质点系的达朗伯尔原理 设一非自由质点系，由n个质点组成，其中某一
质点M的质量为m，作用在该质点的主动力合力为Fi，
I
Mi ri c ac
ai
ai ac i 1,2,3,......n
因此，刚体内各质点的惯性力组成一个同向的 空间平行力系。
惯性力系的主矢量为：
F mi ai mi ac Ma c
I R i 1 i 1 n I I M c Fi mc Fi mi ri ac Mrc ac 0 i 1 i 1
空间问题的质点系的动静法的表达式为:
FxA FxN FxI 0 A N I F F F 0 y y y FA FN FI 0 z z z I m F m F m F 0 x i x Ni x i m F m F m F I 0 y i y Ni y i m F m F m F I 0 z i z Ni z i
前四章以牛顿定律为基础，解决质点和质点系 的动力学问题，对于自由质点和自由质点系是比较 方便的，但是在生产实践中，大量使用的是机械， 机械往往是非自由的质点系，受约束限制而运动。 由于约束限制运动，就出现约束反力，使物体 只能按照一定的方式运动，对于非自由质点约束反 力的存在，使得应用牛顿定律解决往往使比较繁琐 的，故人们应用达朗伯尔原理为求解基础，寻求解 决这类问题的新途经，形成了解决非自由质点系动 力学问题的一种简便而有效的方法。
F ω