空间向量及其加减运算16567
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空间向量运算法则
空间向量运算法则空间向量是三维空间中的一个有向线段，它有长度和方向。
在三维空间中，向量的运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
下面我们来详细介绍一下空间向量运算法则。
1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量加法的运算法则是：将两个向量的对应分量相加，得到新向量的对应分量。
例如，向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)相加得到向量C(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
2. 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量减法的运算法则是：将被减向量的对应分量减去减向量的对应分量，得到新向量的对应分量。
例如，向量A(x1, y1, z1)减去向量B(x2, y2, z2)得到向量C(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
3. 数乘数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
数乘的运算法则是：将向量的每个分量乘以实数，得到新向量的对应分量。
例如，向量A(x1, y1, z1)乘以实数k得到向量B(kx1, ky1, kz1)。
4. 点乘点乘是指将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个实数。
点乘的运算法则是：将两个向量的对应分量相乘再相加，得到一个实数。
例如，向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)的点乘结果为x1x2+y1y2+z1z2。
点乘的应用非常广泛，例如可以用来计算两个向量之间的夹角，如果点乘结果为0，则表示两个向量垂直；如果点乘结果为正数，则表示两个向量夹角小于90度；如果点乘结果为负数，则表示两个向量夹角大于90度。
5. 叉乘叉乘是指将两个向量进行叉乘得到一个新的向量。
叉乘的运算法则是：将两个向量的对应分量按照右手法则进行叉乘，得到新向量的对应分量。
例如，向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)的叉乘结果为向量C(y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。
空间向量的加减运算及数乘运算
空间向量及其加减运算和数 乘运算
1.空间向量的概念 定义：在空间，我们把具有大小和方向的量 叫做空间向量一般用 a 或 OA, AB 等表示
向量的模： 向量的大小称为向量的模，表示为
| a | 或 | AB |
2.几类特殊向量
特殊向量 定 义 表示法
零向量 单位向量
DA AE EA1 A1 D1 D1C1 C1 B1 DB1
4.应用举例
例1.已知平行六面体ABCD-ABCD，化 简下列向量表达式，并在图中标出化简结 果的向量 （1）AB AD AA' （2）DD' AB BC 1 （ 3） AB AD ( DD' BC ) 2
AC' (4) AA AB BC =________.
1 AC' =________. 2
(5)
AB BC C C AC
0 =______.
2.如图，已知空间四边形ABCD中，向量
·
M
答案：
（1） AC' （2） BD'
（3）M为BC中点，则化简结果为 AM'
例2.如图，已知M、N分别是四面体ABCD
1 的棱AB、CD的中点，求证： MN ( AD BC ) 2
P ·
取AC中点P， 1 则 MP BC 2 1 PN AD 2
DM DA AM
课堂练习
1.已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表
达式:
BC' (1) AC AB =_______. AD' (2) AB BC B A =_________.
1.空间向量的概念 定义：在空间，我们把具有大小和方向的量 叫做空间向量一般用 a 或 OA, AB 等表示
向量的模： 向量的大小称为向量的模，表示为
| a | 或 | AB |
2.几类特殊向量
特殊向量 定 义 表示法
零向量 单位向量
DA AE EA1 A1 D1 D1C1 C1 B1 DB1
4.应用举例
例1.已知平行六面体ABCD-ABCD，化 简下列向量表达式，并在图中标出化简结 果的向量 （1）AB AD AA' （2）DD' AB BC 1 （ 3） AB AD ( DD' BC ) 2
AC' (4) AA AB BC =________.
1 AC' =________. 2
(5)
AB BC C C AC
0 =______.
2.如图，已知空间四边形ABCD中，向量
·
M
答案：
（1） AC' （2） BD'
（3）M为BC中点，则化简结果为 AM'
例2.如图，已知M、N分别是四面体ABCD
1 的棱AB、CD的中点，求证： MN ( AD BC ) 2
P ·
取AC中点P， 1 则 MP BC 2 1 PN AD 2
DM DA AM
课堂练习
1.已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表
达式:
BC' (1) AC AB =_______. AD' (2) AB BC B A =_________.
空间向量及其加减运算PPT课件
浙江省玉环县楚门中学吕联华
㈠向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 a ·· ·
D
A C
B
D1 A1
C1
B1
这个”平移“就是一个向量 a=“自西向东平移4个单位”
㈡向量的表示方法：空间向量可用有向线段表示
a b
B
记作：向量a、b。 O
A
㈢向量的相等:当两个向量大小相等，方向相同时两向量相等。
（3）设M是线段CC1的中点，则AB+AD+1/2CC1= AC+CM=AM
（4）设G是线段AC1的三等分点，则1/3（AB+AD+AA1） =1/3AC1=AG
㈦巩固：
1。已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M，G分别 是BC、CD的中点，化间下列各表达式，并标出化间结果的向量
（1）AB+BC+CD； （2）AB+1/2（BD+BC） A （3）AG – ½（AB+AC）
a
a
a
a
b
baa
a
a
a
b
c
b
c
③数乘分配律：λ（a + b ）=λa +λb （由同学自已证明）
㈥平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨 迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
D1 A1 a
D
A
C1 B1
C B
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每 个面的边叫做平行六面体的棱。
（3）AF=AD+xAB+yAA1
㈠向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 a ·· ·
D
A C
B
D1 A1
C1
B1
这个”平移“就是一个向量 a=“自西向东平移4个单位”
㈡向量的表示方法：空间向量可用有向线段表示
a b
B
记作：向量a、b。 O
A
㈢向量的相等:当两个向量大小相等，方向相同时两向量相等。
（3）设M是线段CC1的中点，则AB+AD+1/2CC1= AC+CM=AM
（4）设G是线段AC1的三等分点，则1/3（AB+AD+AA1） =1/3AC1=AG
㈦巩固：
1。已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M，G分别 是BC、CD的中点，化间下列各表达式，并标出化间结果的向量
（1）AB+BC+CD； （2）AB+1/2（BD+BC） A （3）AG – ½（AB+AC）
a
a
a
a
b
baa
a
a
a
b
c
b
c
③数乘分配律：λ（a + b ）=λa +λb （由同学自已证明）
㈥平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨 迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
D1 A1 a
D
A
C1 B1
C B
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每 个面的边叫做平行六面体的棱。
（3）AF=AD+xAB+yAA1
空间向量及其加减运算 课件
[解析] ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴A→C＝A→B＋A→D，A→ B′＝A→B＋AA→′，AD→′＝A→D＋A→ A′， ∴A→C＋AB→′＋AD→′＝(A→B＋A→D)＋(A→B＋AA→′)＋(A→D＋ AA→′) ＝2(A→B＋A→D＋AA→′)． 又∵A→ A′＝C→ C′，A→D＝B→C， ∴A→B＋A→D＋A→ A′
命题方向 空间向量的数乘运算 [例 3] 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为底面 A1B1C1D1 的中心，设A→A1＝c，A→B＝a，A→D＝b，用 a、b、c 表示下列向量： B→C1、A→C1、B→D1、C→O.
[分析] 用 a、b、c 表示待求向量，应充分利用长方体的 特殊性和向量的“自由”移动性求解．
[点评] (1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方 向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的 必要不充分条件．
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
命题方向 空间向量的加减运算
[例 2] 如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化 简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
[答案] B
[分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定，由 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确．只定义加法具有 结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有A→B＋A→D＝ A→C正确．
＝A→B＋B→C＋C→C′ ＝A→C＋C→C′＝AC→′， ∴A→C＋AB→′＋AD→′＝2AC→′.
[点评] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
课件9:3.1.1 空间向量及其加减运算
【解析】1.方法一(统一成加法运算)：
原式＝AB CD AC BD AB BD DC CA AD DA 0.
方法二 利用OA OB BA :
原式＝AB CD AC BD
AB AC CD BD CB CD BD
DB BD 0.
方法三(利用 AB OB OA )： 设O是空间内的任意一点，则
【拓展提升】 1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用空间多边形法则化简. (2)利用向量的减法法则，即利用 OA OB BA 化简. (3)利用 AB OB OA，把各个向量转化成与空间的某一点有 关的向量化简.
2．在几何体中用已知向量表示其他向量时的解答技巧 灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路(即沿 几何体的边选择途径)，多个向量运算时，先观察分析 “首尾相接”的向量使之结合，使用减法时，把握“共 起点，方向指向被减向量”.
AA 1 AB 1 AD, 22
x y 1. 2
3AF AB BC CF
AB AD 1 (BA BB) 2
AB AD 1 (AB AA) 2
AD 1 AB 1 AA, 22
x y 1. 2
【拓展提升】利用向量解决几何问题的一般思路
【易错误区】对空间向量的概念理解不到位而致错 【典例】下列说法中，正确的个数为( ) ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若向量 AB，CD 满足AB CD ，且 AB与CD 同向，则 AB＞CD ； ③若两个非零向量 AB与CD满足 AB CD 0，则 AB与CD为相反 向量．
(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾 向量的终点，因此，求空间若干向量之和时，可通过平 移将它们转化为首尾相接的向量，如图：
空间向量及其加减运算 课件
[一点通] (1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题 的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类 题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范． (2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加 法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时 可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
空间向量及其加减运算
李老师下班回家，先从学校大门口骑自 行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m， 最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个 过程中，李老师从学校大门口回到住处所发 生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．
问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？ 提示：不是． 问题2：如何刻画李老师行驶的位移？ 提示：借助于空间向量的运算．
空间向量
定义
在空间，把具有 大小 和 方向 的量叫 做空间向量.
长度
向量的 大小 叫做向量的长度或 模 .
几何表示法 空间向量用 有向线段 表示.
用一个字母表示，如图，此向量的起 表
点是A，终点是B，可记作a，也可记 示 法 字母表示法 作 AB ，其模记为|a|或| AB |.
定义 在空间，把具有 大小 和方向 的量叫做空间向量. 几 ①零向量：规定 长度为0 的向量叫做零向量，记 类 为0 . ②单位向量： 模为1 的向量称为单位向量. 特 ③相反向量：与向量a长度 相等 而方向 相反 的向 殊 量称为a的相反向量，记为 －a . ④相等向量：方向 向 相同 且模 相等 的向量称为相等向量．在空间，
量 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义 在空间，把具有 大小 和 方向的量叫做空间向量.
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如 空间向
空间向量及其加减法 课件
空间向量及其加减运算
引入 复习平面向量
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示. 字母表示法： 用字母a,b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法：
ab b
a
平行四边形法则
ab
b
4.扩展 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由
起始向量的起点指向末尾向量的终点的量． 即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量
b
a
B
b
O
aA
结论：空间任意两个向量都是共面向量，
所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.
探究点2 空间向量的加减运算
1. 空间向量的加减运算
由于任意两个空间向量都能平移到同一 空间，所以空间向量的加减运算与平面向量 的加减运算相同.
A a
o
B
b
C
B
o
a
A
加法: OB=OA+AB=a+b， 减法：CA=OA-OC=a-b.
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),
所以 (a + b) + c = a + (b + c).
引入 复习平面向量
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示. 字母表示法： 用字母a,b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法：
ab b
a
平行四边形法则
ab
b
4.扩展 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由
起始向量的起点指向末尾向量的终点的量． 即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量
b
a
B
b
O
aA
结论：空间任意两个向量都是共面向量，
所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.
探究点2 空间向量的加减运算
1. 空间向量的加减运算
由于任意两个空间向量都能平移到同一 空间，所以空间向量的加减运算与平面向量 的加减运算相同.
A a
o
B
b
C
B
o
a
A
加法: OB=OA+AB=a+b， 减法：CA=OA-OC=a-b.
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),
所以 (a + b) + c = a + (b + c).
空间向量及其加减运算 课件
(4)特殊向量
长度为0
0
模为1 相同
相等
相等
相反
－a
2.空间向量的加减法与运算律
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运 算(如图)：
空间向 量的加
减法
O→B＝O→A＋A→B＝___a_＋__b___；
C→A＝O→A－O→C＝___a_－__b___.
加法运 (1)交换律：a＋b＝___b_＋__a___； 算律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_)___.
【答案】 A
【名师点评】 在进行减法运算时,可将减去 一个向量转化为加上这个向量的相反向量； 而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量 在哪个平面内，然后与平面向量求和一样， 运用向量运算的平行四边形法则、三角形法 则及多边形法则来求即可．
空间向量及其有关概念
例1 下列几个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)零向量没有方向；
(4)对于任何向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.Βιβλιοθήκη 其中正确命题的序号为( )
A．(1)，(2)
B．(4)
C．(3)，(4)
D．(1)，(4)
【解析】 对于(1)：单位向量是指长度等于1 个单位长度的向量，而其方向不一定相同， 它不符合相等向量的定义,故(1)错；对于(2)： 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量, 故(2)错；对于(3)：零向量有方向，只是没有 确定的方向，故(3)错；对于(4)：(4)中为向量 模的不等式，正确，故选B. 【答案】 B
空间向量及其加减运算
1.空间向量 (1) 定 义 ： 在 空 间 ， 把 具 有 _大__小___ 和方__向____ 的量叫做空间向量． (2) 长 度 ： 向 量 的 _大__小___ 叫 做 向 量 的 长 度 或 __模____．
空间向量及其加减运算 课件
中运算的结果为向量1 的共有(
)
① + + 1 ;②1 + 1 1 + 1 1 ;③ − 1 +
1 1 ;④1 + + 1 1 .
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质,逐一进
行判断:① + + 1 = + 1 = 1 ;②1 + 1 1 +
相反向量;⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向
量一共有 4 个.其中正确命题的序号为
.
解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,
也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于 0,模等于 0 的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同;
1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;③ − 1 + 1 1 = 1 + 1 1 =
1 ;④1 + + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;因此所给四个式
子的运算结果都是1 .
答案：D
对空间向量的有关概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,错误的个数为(
解析： = + + =- − +
=-a-b+c=c-a-b.
答案：B
空间向量及相关概念的理解
【例 1】 给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相
等;②只有零向量的模等于 0;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中,1 与1 是相等向量;④在空间四边形 ABCD 中, 与是
)
(1)若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,
)
① + + 1 ;②1 + 1 1 + 1 1 ;③ − 1 +
1 1 ;④1 + + 1 1 .
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质,逐一进
行判断:① + + 1 = + 1 = 1 ;②1 + 1 1 +
相反向量;⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向
量一共有 4 个.其中正确命题的序号为
.
解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,
也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于 0,模等于 0 的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同;
1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;③ − 1 + 1 1 = 1 + 1 1 =
1 ;④1 + + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;因此所给四个式
子的运算结果都是1 .
答案：D
对空间向量的有关概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,错误的个数为(
解析： = + + =- − +
=-a-b+c=c-a-b.
答案：B
空间向量及相关概念的理解
【例 1】 给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相
等;②只有零向量的模等于 0;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中,1 与1 是相等向量;④在空间四边形 ABCD 中, 与是
)
(1)若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,
空间向量及其加减运算_课件_(人教版)
2OF OA OC
O
将三式相加，得
2OD OE OF 2OA OB OC D
A
F E B
C
OA OB OC OD OE OF .
K=0？
b
a
ka
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律： λ(a + b) =λa +λb ；
⑷数乘结合律： λ(μa ) = (λμ) a
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A ,C A , B , A , D , A , A , AB AD AA
BD , BA BC BB , , AB AD AA DB , DA DC DD ,
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
A1
An1
An
A2
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭 图形，则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An An A1 0
A1
A2
A3 An
An1
AC AA'
AC CC ' AC '
A
D B
C
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体中以公共始点为始点的对角线所示向量
例1已知平行六面体ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： 1 (3) ( AB AD AA' )． 3
O
将三式相加，得
2OD OE OF 2OA OB OC D
A
F E B
C
OA OB OC OD OE OF .
K=0？
b
a
ka
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律： λ(a + b) =λa +λb ；
⑷数乘结合律： λ(μa ) = (λμ) a
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A ,C A , B , A , D , A , A , AB AD AA
BD , BA BC BB , , AB AD AA DB , DA DC DD ,
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
A1
An1
An
A2
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭 图形，则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An An A1 0
A1
A2
A3 An
An1
AC AA'
AC CC ' AC '
A
D B
C
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体中以公共始点为始点的对角线所示向量
例1已知平行六面体ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： 1 (3) ( AB AD AA' )． 3
311空间向量及其加减运算16567-PPT文档资料
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量及其加减运算
知识对比
平面向量
概念 具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
运 加法交换律 abba
算 加法结合律 律
(ab)ca(bc)
加法交换律 abba 加法结合律 成立吗？
(ab)ca(bc)
空间向量推广:
知识对比
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注意：1）零向量是一个特殊的向量； 2）零向量与非零向量的区别。
1.平面向量的基本知识
复习回顾
向 量 几何表示 : 有向线段
的 表
字母表示 :a、 AB等
示 坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
2、平面向量的加法、减法运算
复习回顾
首尾连，指终点b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
b
共起点，指被减 a
向量减法的三角形法则
3、平面向量的加法、减法运算律
复习回顾
加法交换律： abba 加法结合律： (ab)ca(bc)
空间向量及其加减运算课件
③|-a|=|a|,其中正确命题的序号是
.
【解析】①若|a|=0,则a=0,故①错误;②正确;③正确.
答案:②③
知识点2 空间向量的加法、减法运算 1.空间向量加法、减法运算法则 (1)语言叙述:加法,“首尾顺次相接,由首指向尾”;减法,“起 点相同,尾尾相连,指向被减”.
(2)图形叙述: ①向量加法三角形法则: 特点:首尾相接,首尾连
＝AB－CD－AC＋BD
＝AB－AC＋DC－DB
答＝C案B＋：B0C＝0.
【题型示范】
类型一 空间向量的概念及其简单应用
【典例1】
(1)(2014·成都高二检测)在如图所示的平行六面体ABCD-
A1B1C1D1中,与向量
相等的向量有
AA1
个(不含 ).
AA1
(2)如图所示,在以长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方 体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中, ①单位向量共有多少个? ②试写出模为 的所有向量.
【补偿训练】在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,模与向量
的模相等的向量有(
AB
A.7个
B.3个
) C.5个
D.6个
【解析】选A.
| D C | ＝ D C ＝ | C D | ＝ C D ＝ B A ＝ A B ＝ | B A | ＝ | A B | .
类型二 空间向量的加法、减法运算
(3)向量的相等:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向 量. (4)向量的平移:空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内, 成为同一个平面内的两个向量.
2.对零向量的三点说明 (1)方向的不确定性:零向量的方向不确定,是任意的;由于零向 量的这一特性,在解题中一定要看清题目中所指的向量是“零 向量”还是“非零向量”. (2)长度的固定性:零向量的长度为零,零向量与零向量相等. (3)规定:零向量与任何向量平行.
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(a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a 加法结合律 成立吗？
(a b) c a (b c)
空间向量推广:
知识对比
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
平面向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 减法 运算
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
运 算
加法交换律 a b b a
律
加法结合律 (a b) c a (b c)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？ 课 后 思 考
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
2、平面向量的加法、减法运算
复习回顾
首尾连，指终点b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
b
共起点，指被减 a
向量减法的三角形法则
3、平面向量的加法、减法运算律
复习回顾
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c)
4、平面向量的推广:
复习回顾
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
解：⑴AB BC AC
⑵AB AD AA'
D’ A’
C’ B’
AC AA'
D
C
AC CC' AC'
A
B
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
小结
概念
类比思想 数形结合思想
课堂总结
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
空间向量的基本知识
新课讲解
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量：长度为0的向量，记作0.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 Anห้องสมุดไป่ตู้
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1:
新课讲解
F3
已知F1=2000N,
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a
算 加法结合律 律
(a b) c a (b c)
加法交换律 加法结合律 成立吗？
向量加法结合律：
新课讲解
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间
的夹角都为60度, 它们的合力的大小
为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量 ……
问题 2:
新课讲解
a, b在一个平面吗？
D A
D1 A1
C1 B1
a CC b D
B
A
C B
空间向量的基本知识
新课讲解
r
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量. r c
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
空间向量及其加减与数乘运算 知 识 对 比
平面向量
概念 具有大小和方向的量
空间向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
运 加法交换律 a b b a
算 加法结合律 律
(a b) c a (b c)
空间向量的加法、减法运算:
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
典例分析
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量r相r等，则它r 们的r起点、终r 点相r同；
（2）若空间向量 a、b 满足| a || b |，则 a b ；
uuur uuuur
（（34））在若正 空方间体向量ABmuCr、Dnr、uprA1B满1C足1Dmu1r中，nr ,必nr 有uprA，C则
Aur1C1 m
u；r p
；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
C 其中不正确命题的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
典例分析
例2、已知平行六面体ABCD A' B 'C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
rrr
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
a r
r
r
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
b
uuur
uuur
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
uuur 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
A 类似于平面向量,为了研究的 起点
方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量及其加减运算
知识对比
平面向量
概念 具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
运 加法交换律 a b b a
算 加法结合律 律
教学过程
复习回顾 新课讲解 知识对比 典例分析 课堂总结 课后思考
1.平面向量的基本知识
复习回顾
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量：长度为0的向量，记作0.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注意：1）零向量是一个特殊的向量； 2）零向量与非零向量的区别。
1.平面向量的基本知识
复习回顾
向 量 几何表示 : 有向线段
的 表
字母表示 : a 、AB 等
示 坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
新课讲解
C
a+ b
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减运算
知识对比
平面向量
概念 具有大小和方向的量
加法交换律 a b b a 加法结合律 成立吗？
(a b) c a (b c)
空间向量推广:
知识对比
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
平面向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 减法 运算
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
运 算
加法交换律 a b b a
律
加法结合律 (a b) c a (b c)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？ 课 后 思 考
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
2、平面向量的加法、减法运算
复习回顾
首尾连，指终点b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
b
共起点，指被减 a
向量减法的三角形法则
3、平面向量的加法、减法运算律
复习回顾
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c)
4、平面向量的推广:
复习回顾
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
解：⑴AB BC AC
⑵AB AD AA'
D’ A’
C’ B’
AC AA'
D
C
AC CC' AC'
A
B
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
小结
概念
类比思想 数形结合思想
课堂总结
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
空间向量的基本知识
新课讲解
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量：长度为0的向量，记作0.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 Anห้องสมุดไป่ตู้
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1:
新课讲解
F3
已知F1=2000N,
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a
算 加法结合律 律
(a b) c a (b c)
加法交换律 加法结合律 成立吗？
向量加法结合律：
新课讲解
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间
的夹角都为60度, 它们的合力的大小
为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量 ……
问题 2:
新课讲解
a, b在一个平面吗？
D A
D1 A1
C1 B1
a CC b D
B
A
C B
空间向量的基本知识
新课讲解
r
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量. r c
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
空间向量及其加减与数乘运算 知 识 对 比
平面向量
概念 具有大小和方向的量
空间向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
运 加法交换律 a b b a
算 加法结合律 律
(a b) c a (b c)
空间向量的加法、减法运算:
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
典例分析
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量r相r等，则它r 们的r起点、终r 点相r同；
（2）若空间向量 a、b 满足| a || b |，则 a b ；
uuur uuuur
（（34））在若正 空方间体向量ABmuCr、Dnr、uprA1B满1C足1Dmu1r中，nr ,必nr 有uprA，C则
Aur1C1 m
u；r p
；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
C 其中不正确命题的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
典例分析
例2、已知平行六面体ABCD A' B 'C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
rrr
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
a r
r
r
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
b
uuur
uuur
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
uuur 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
A 类似于平面向量,为了研究的 起点
方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量及其加减运算
知识对比
平面向量
概念 具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
运 加法交换律 a b b a
算 加法结合律 律
教学过程
复习回顾 新课讲解 知识对比 典例分析 课堂总结 课后思考
1.平面向量的基本知识
复习回顾
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量：长度为0的向量，记作0.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注意：1）零向量是一个特殊的向量； 2）零向量与非零向量的区别。
1.平面向量的基本知识
复习回顾
向 量 几何表示 : 有向线段
的 表
字母表示 : a 、AB 等
示 坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
新课讲解
C
a+ b
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减运算
知识对比
平面向量
概念 具有大小和方向的量