解直角三角形的几种模型
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(六) 解直角三角形应用之三大模型
∴∠PBD＝60°， ∴∠CBD＝60°－45°＝15°，90°－15°＝75°. 即海监船由 B 处开始沿南偏东至多 75°的方向航行能安全通过这一海域．
3．(2020·泰州)泰州市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮 在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 15 m 的 A 处测 得在 C 处的龙舟俯角为 23°；他登高 6 m 到正上方的 B 处测得驶至 D 处 的龙舟俯角为 50°，两次观测期间龙舟前进了多少？ (结 果精确到 1 m，参考数据： tan 23°≈0.42，tan 40° ≈0.84，tan 50°≈1.19，tan 67°≈2.36)
1．如图，某校数学兴趣小组的小明同学为了测量位于玉溪大河畔的云铜 矿业大厦 AB 的高度，小明在他家所在的公寓楼顶 C 处测得大厦顶部 A 处 的仰角为 45°，底部 B 处的俯角为 30°.已知公寓 高为 40 m，请你帮助小明计算公寓楼与矿业大厦间 的水平距离 BD 的长度及矿业大厦 AB 的高度．(结果 保留根号)
解：楼房底端设为 E 点，由题意得 CE＝AE·tan 67°＝15×2.36＝35.4(m)， BE＝BA＋AE＝6＋15＝21(m)，
DE＝BE·tan 40°＝21×0.84≈17.6(m)． ∴CD＝CE－DE＝35.4－17.6≈18(m)． 答：两1·荆门)某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为 10(3＋ 3) 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60°的方向上，当海监船行驶 20 海里后到达 B 处，此时观测 小岛 P 位于 B 处北偏东 45°方向上． (1)求 A，P 之间的距离 AP； (2)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危 险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安 全通过这一海域？
(完整版)解直角三角形总结
解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
(3）三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)22 解直角三角形模型之实际应用模型(教师版)
专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。
将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。
在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。
为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
【答案】该建筑物BC【分析】由题意可知，【点睛】本题考查的是解直角三角形函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼学楼底部243米的C30 ，CD长为49.6米．已知目高(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线【答案】(1)教学楼AB的高度为【分析】（1）过点B作BG DC通过证明四边形GCAB为矩形，之间的和差关系可得CG【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度3:i，求斜坡AB的长．18C【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE BC于点E，在Rt△在Rt DEC △中，2018CD C ，，sin 20sin18200.31 6.2DE CD C ∵34AF BF ，∴在Rt ABF 中，2AB AF 【答案】大楼的高度BC 为303m 【分析】如图，过P 作PH AB 于QH BC ，BH CQ ，求解PH 704030CQ BH ，PQ CQ 【详解】解：如图，过P 作PH则四边形CQHB 是矩形，∴由题意可得：80AP ，PAH ∴3sin 60802PH AP ∴704030CQ BH ，∴∴403103BC QH模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
初中数学重点模型09 背靠背模型解直角三角形(基础)
专题09 背靠背模型解直角三角形【模型展示】【中考真题】1、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB ）是1.7m ，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M 在同一条直线上，测得旗杆顶端M 仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD ）是1.5m ，用同样的方法测得旗杆顶端M 的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B 、N 、D 在同一条直线上）．求出旗杆MN 的高度．（参考数据：4.12≈，7.13≈，结果保留整数．）解： 过点A 作AE⊥MN 于E ，过点C 作CF⊥MN 于F ……………………1分 则EF=5.17.1CD AB -=-=0.2 ……………2分 在Rt⊥AEM 中，⊥⊥MAE=45°，⊥AE=ME …………………………………3分 设AE=ME=x（不设参数也可）⊥MF=x ＋0.2，CF=28x - …………………………………………………………………4分 在Rt⊥MFC 中，⊥MFC=90°，⊥MCF=30°⊥MF=CF·tan⊥MCF ……………………………………………………………………5分 ⊥)28(332.0x x -=+ …………………………………………………………………… 6分 ⊥≈x 10.0 …………………………………………………………………………………7分 ⊥MN ≈12 ……………………………………………………………………………………8分 答：旗杆高约为12米． 【精典例题】1、由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，由题意得∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AB ＝80. 在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AB·sin60°＝40 3. 在Rt △BCD 中，∠BCD ＝45°， ∴BC ＝BDsin45°＝40 6.答：BC 的长为406海里．2、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是__33＋9__m(结果保留根号)．3、放置在水平桌面上的台灯的平面示意图如图所示，灯臂AO 长为40 cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°.由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA ，∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC .(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm.温馨提示：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，3≈1.73)解：在Rt △ACO 中，sin 75°＝OC OA ＝OC40≈0.97， 解得OC ≈38.8 cm.在Rt △BCO 中，tan 30°＝OC BC ≈38.8BC ≈1.733，解得BC ≈67.3 cm.答：该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是67.3 cm.4、如图，A ，B 两市相距150km ，国家级风景区中心C 位于A 市北偏东60°方向上，位于B 市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C 为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A ，B 两市的高速公路，高速公路AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）解：高速公路AB 不穿过风景区．过点C 作CH ⊥A B 于点H ，如图所示． 根据题意，得：⊥CAB ＝30°，⊥CBA ＝45°，在Rt⊥CHB 中，⊥tan⊥CBH ＝＝1，⊥CH ＝BH ．设BH ＝tkm ，则CH ＝tkm ，在Rt⊥CAH 中，⊥tan⊥CAH ＝＝，⊥AH ＝tkm ．⊥AB ＝150km ，⊥t +t ＝150，⊥t ＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．⊥54.75＞50，⊥高速公路AB 不穿过风景区．5、在一次海上救援中，两艘专业救助船A ，B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B 在A 的正北方向，事故渔船P 在救助船A 的北偏西30°方向上，在救助船B 的西南方向上，且事故渔船P 与救助船A 相距120海里．(1)求收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离；(2)若救助船A ，B 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．解：(1)过点P 作PC ⊥AB 于点C ，则∠PCA ＝∠PCB ＝90°. 由题意，得PA ＝120海里，∠A ＝30°，∠B ＝45°， ∴PC ＝12PA ＝60海里，PB ＝PC sinB＝602海里．答：收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离为602海里． (2)救助船A 所用的时间为12040＝3(小时)，救助船B 所用的时间为60230＝22(小时)，⊥3＞22，⊥救助船B 先到达．6、如图，要在江苏省某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B的北偏西60°方向上．（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：≈1.732）（2）若修路工程工程需尽快完成．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．解：（1）NM不穿过原始森林保护区．理由如下：作CD⊥AB于D，设CD＝x米，⊥⊥CAD＝45°，⊥AD＝CD＝x米，⊥⊥DCB＝60°，⊥BD＝CD•tan⊥DCB＝x，⊥AD+BD＝AB，⊥x+x＝600，解得，x＝300（﹣1）≈219.6＞200．⊥MN不会穿过森林保护区．（2）设甲工程队单独完成此项工程需要y天，则乙工程队单独完成此项工程需要（y+10）天．根据题意得：+＝，解得：y＝20．经检验知：y＝20是原方程的根．则y+10＝30．答：甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数分别是20天、30天．7、如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）．参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.732．解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据题意，得⊥ABD＝67°，AB＝520，⊥CBD＝30°，在Rt⊥ABD中，AD＝AB•sin67°，BD＝AB•cos67°，在Rt⊥CBD中，CD＝BD•tan30°，⊥AC＝AD+CD＝AB•sin67°+AB•cos67°•tan30°≈520×0.92+520×0.38×≈592（km）．答：A地到C地之间高铁线路AC的长592km．8、如图，一架无人机在距离地面高度为21.4米的点B处，测得地面点A的俯角为47°，接着，这架无人机从点B沿仰角为37°的方向继续飞行20米到达点C，此时测得点C恰好在地面点D的正上方，且A，D两点在同一水平线上，求A，D两点之间的距离．（结果精确到1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07，≈2.45）解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点A作AF⊥BE于点F，由题意可知：CD⊥AD，⊥四边形AFED是矩形，⊥AD＝EF，在Rt⊥BCE中，BC＝20，⊥CBE＝37°，⊥BE＝BC•cos37°＝20×0.80≈39.2，在Rt⊥ABF中，AF＝21.4，⊥ABF＝47°，⊥BF＝＝≈20，⊥EF＝BE﹣BF≈39.2﹣20≈19，⊥AD＝EF≈19（米）．答：A，D两点之间的距离约为19米．9、如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时，望见渔船D在南偏东45°方向，又航行半小时到达C处望见渔船D在南偏东62°方向，若海监船的速度为40海里/小时，求A、B之间的距离．（精确到0.1海里，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）解：过点D作DE⊥AB于点E，⊥⊥ADE＝⊥BDE＝45°，⊥AE＝BE＝DE，设BE＝x，则DE＝x，⊥BC＝，⊥CE＝x+20，在Rt⊥CDE中，⊥CDE＝62°，，⊥，⊥，⊥AB＝2x＝2×22.72≈45.4，答：A、B之间的距离为45.4海里．10、科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt⊥ABD中，BD＝AB•sin⊥BAD＝8×＝4（千米），⊥⊥BCD中，⊥CBD＝45°，⊥⊥BCD是等腰直角三角形，⊥CD＝BD＝4（千米），⊥BC＝BD＝4（千米）．答：B，C两地的距离是4千米．。
初中数学培优专题四 三角函数应用解题模型
专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）26．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）27．（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）28．（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【小结】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米）.∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米）.∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米）.∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．【小结】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【小结】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键.11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【解析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD求出BC的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m.在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m.∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m.则BC的距离为20m.（2）根据题意，得20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度．13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【解析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．【小结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【解析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s.又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）【解析】如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．解直角三角形，分别求出BC、CD即可解决问题．解：如图，作BH⊥AD于点H，CE⊥AB于点E．∴BH=DH=30.∴DC=DH+CH=30+10.答：小明、小丽与舞台C的距离分别为20m和（30+10）m．【小结】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．【小结】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？【小结】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）解得x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【小结】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．∴AB=3BD=5×3=15.在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15.在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．【小结】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？【解析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°.【小结】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【解析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．答：此时风筝线AD的长度为12米.。
2025年广西九年级中考数学一轮复习小专题过关课件：专题11+解直角三角形实际应用之四大模型
测量
方案
AC=BD=0.8 m,点A,B与F在同一条水平直线上,A,B之间的距
离可以直接测得,且点G,F,A,B,C,D都在同一竖直平面内,点
C,D,E在同一条直线上,点E在GF上(其中:CE⊥GF,
GF⊥AF,AC⊥AF,BD⊥AF),测量示意图如图所示;
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量
∠GCE的度数
式结构,造型独特别致,远可眺太子山露骨风月,近可收临夏市城建全貌,巍巍峨峨,
傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后,开展了测量乾元塔
高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端,AB⊥BC,点C,D在点B的正东方向,在C点
用高度为1.6米的测角仪(即CE=1.6米)测得A点仰角为37°,向西平移14.5米至点D,
电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在AH两侧,CD=EF=1.6 直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得
筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据:sin
tan
4
53°≈ )
3
4
53°≈ ,cos
5
3
53°≈ ,
分别解两个直角三角形,其中公共边BC是解题的关键
原型
【等量关系】BC为公共边
【等量关系】如图①,BF+FC+CE=BE;
如图②,BC+CE=BE;
变式
如图③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
【针对训练】
9.(2024·湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动,记录如下:
在Rt△CEG中,∠GCE=39°,∴EG=CE·tan 39°≈0.81(x+0.9)m,∴x=0.81(x+0.9),
解直角三角形的应用模型初中数学模型
地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°,在点F处测得灯管支架顶
部C的仰角为30°,测得AE=3 m,EF=8 m(点A,E,F在同一条直线上).根据
以上数据,解答下列问题:
(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长;(结果保留根号)
∵AB⊥BF,EF⊥BF,∴∠ABF=∠EFB=90°,
∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°,
∴四边形BFEH为矩形,
∴EH=BF=3m,在Rt△AHE中,tanα= ,∴AH=
,
当∠α=65°时,AH=
≈ ≈1.40(m).
° .
当∠α=45°时,AH=
=3,
°
答:遮阳宽度CD约为3.6m.
模型4
6
7
微专题8 解直角三角形的应用模型
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(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果
精确到0.1 m).
(参考数据:sin65°≈0.90,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14, ≈1.41)
解：如图,过点E作EH⊥AB于点H, ∴∠BHE=90°.
返回类型清单
对应练习
5.(2022·铜仁一模)如图,某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌,广告牌高AB=2 m.根据商
场规定广告牌最高点不得高于地面20 m.经测量,测角仪支架高GH=CE=DF=1 m,在F处测得
广告牌底部点B的仰角为30°,在E处测得广告牌顶部点A的仰角为45°,EF=12 m.请计算说
如下结论:①AB≈18.8m;②CD≈8.4m;③若直
【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型
专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)． 在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米． 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°， 因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米， 所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4， 解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE， 则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。
解直角三角形的常见几种模型
解直角三角形的常见几种模型
1.30-60-90三角形模型：这种模型通常用于解决一个角为30度、另一个角为60度的直角三角形问题。
根据特定的比例关系，我们可以求出三角形的边长。
2. 45-45-90三角形模型：这种模型通常用于解决一个角为45度、另一个角也为45度的直角三角形问题。
同样地，我们可以根据特定的比例关系，求出三角形的边长。
3. 直角三角形勾股定理模型：这种模型是解决直角三角形问题的基础。
根据勾股定理，我们可以得出一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
4. 一般直角三角形模型：这种模型通常用于解决没有特定角度的直角三角形问题。
我们可以利用勾股定理和三角函数等方法求解。
以上是解直角三角形的常见几种模型，掌握这些模型可以帮助我们更好地解决直角三角形问题。
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中考数学难点突破与经典模型精讲练解直角三角形中的拥抱模型和12345模型(解析版)
专题16 解直角三角形中的拥抱模型和12345模型【模型展示】 分别解两个直角三角形，其中公共边BC 是解题的关键.在Rt△ABC 和Rt△DCB 中，BC=BC.一、单选题1．如图，某学校大楼顶部有一个LED 屏AB ，小明同学在学校门口C 处测得LED 屏底部A 的仰角为53°，沿大门楼梯CD 向上走到D 处测得LED 屏顶部B 的仰角为30°，D 、E 、F 在同一水平高度上，已知大门楼梯CD 的坡比i =80CD =米，30EF =米，大楼AF 和大门楼梯CD 的剖面在同一平面内，则LED 屏AB 的高度为（ ） 1.73≈，sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）A ．24.6米B ．30.6米C ．34.6米D ．44.6米 【答案】C【分析】如图，过D 作DH ⊥水平线于H ，延长AF 交水平线于,G 则,AG CH ⊥ 过C 作CO DE ⊥于,O 则,,DH CO CH DO 利用坡度的含义求解30,40,cos 30403,CDOOC OD CD 再求解30,tan53OC OE 60403,tan 5340,DF AF EF tan3074.6,BF DF 从而可得答案.【详解】解：如图，过D 作DH ⊥水平线于H ，延长AF 交水平线于,G 则,AG CH ⊥ 过C作CO DE ⊥于,O 则,,DH CO CH DO 由题意得：1:3,80,CD i CD 13tan ,33DHCO CDO CHDO 30,40,cos 30403,CDO OC ODCD53,ACG 而,DF HG ∥53,OEC AEF ACG ∴∠=∠=∠=︒4030,4tan 533OC OE 30,EF 4403303060403,tan533040,3DF AFEF 30,,BDFBF DF·tan 30604074.6,BF DF ∴=︒=+=≈ 74.64034.6.AB BF AF故选C【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度的含义，熟练的构建直角三角形是解本题的关键.2．如图，某建筑物AB 在一个坡度为i ＝1：0.75的山坡BC 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离BC ＝20米，在距山脚点C 右侧同一水平面上的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是42°，在另一坡度为i ＝1：2.4的山坡DE 上的点E 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，点E 到山脚点D 的距离DE ＝26米，若建筑物AB 和山坡BC 、DE 的剖面在同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45，sin 42°≈0.67．cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）A ．36.7米B ．26.3 米C ．15.4米D ．25.6 米 【答案】D【分析】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H 由坡度为i ＝1：0.75，BC ＝20可得BG =16,GC =12,由坡度为 i ＝1：2.4，DE ＝26可得DF =24,EF =10，分别在在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒化简联立得AB =25.6．【详解】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H△在BGC 中BC ＝20，坡度为i ＝1：0.75，△222BG GC BC +=， △2223()4BG BG BC +=， △222916BG BG BC +=， △22252016BG =， △22540016BG =， △21640025BG =⨯， △2256BG =，△16BG =， △3124CG BG ==． 在BGC 中DE ＝26，坡度为 i ＝1：2.4，△222DF EF DE +=，△22212()5EF EF DE +=， △22214425EF EF DE +=， △221692625EF =， △225676169EF =⨯， △2100EF =，△10EF =， △12245DF EF ==， △在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒, 即0.9AB BG GC CD +=+,0.45AB BH GC CD DF+=++ 其中BG =16、BG =12、BH =BG -EF =6、DF =24，代入化简得160.9(12)60.45(36)AB CD AB CD +=+⎧⎨+=+⎩①②， 令2②-①有2261620.45360.91220.450.9AB AB CD CD -+⨯-=⨯⨯-⨯+⋅⋅-△421.6AB -=，△AB =25.6．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键．3．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物CD 的高度，如图，已知斜坡AE 的坡度为i ＝1：2.4，小明在坡底点E处测得建筑物顶端C处的仰角为45°，他沿着斜坡行走13米到达点F 处，在F测得建筑物顶端C处的仰角为35°，小明的身高忽略不计．则建筑物的CD高度约为（）（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）A．28.0米B．28.7米C．39.7米D．44.7米【答案】D【分析】过点F作FG△BD于G，FH△CD于H，设FG=x米，则EG=2.4x米，在Rt△FGE 中，由勾股定理解得FG=5，EG=12，证明△CDE是等腰直角三角形，则CD=DE，设CD=y 米，在Rt△CHF中，由三角函数定义求解即可．【详解】过点F作FG△BD于G，FH△CD于H则△CFH＝35°，四边形DGFH是矩形，△HF＝DG，DH＝FG，△斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，△设FG＝x米，则EG＝2.4x米，在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF2FG2+EG2，即：132＝x2+（2.4x）2，解得：x＝5，△FG＝5，EG＝12，△△CED＝45°，△△CDE是等腰直角三角形，△CD＝DE，设CD＝y米，则CH＝（y﹣5）米，Rt△CHF中，tan△CFH＝CH HF，即tan35°＝512yy-+，则y﹣2＝tan35°×（y+12），解得：y≈44.7，即建筑物的CD高度约为44.7米；故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键4．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到D点．再测得顶点A 的仰角为22°，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60B．70C．80D．90【答案】D【分析】作AH△ED交ED H，根据坡度的概念分别求出CE、DE，根据正切的定义求出AB．【详解】解：作AH△ED交ED的延长线于H，设DE＝x米，△CD的坡度：i＝1：2，△CE＝8x米，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD8，即x2+（2x）2＝（2，解得，x＝30，则DE＝30米，CE＝60米，设AB＝y米，则HE＝y米，△DH＝y﹣30，△△ACB＝45°，△BC＝AB＝y，△AH＝BE＝y+60，在Rt△AHD中，tan△DAH＝tan22DH AH︒=则3060yy-+≈0.4，解得，y＝90，△高楼AB的高度为90米，故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD△AE，宣传牌CD的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．8.3米B．8.5米C．8.7米D．8.9米【答案】A【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，再求出EF即BG的长；在Rt△CBG中求出CG的长，根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．【详解】解：过B作BF△AE，交EA的延长线于F，作BG△DE于G．Rt△ABF 中，i =tan△BAF =BF AF ＝12.4，AB =26米， △BF =10（米），AF =24（米），△BG =AF +AE =54（米），Rt△BGC 中，△CBG =43°，△CG =BG •tan43°≈54×0.93=50.22（米），Rt△ADE 中，△DAE =60°，AE =30米，，△CD =CG +GE -DE =50.22+10-（米）．故选：A ．【点睛】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．6．如图，小明在距离地面30米的P 处测得A 处的俯角为15︒，B 处的心角为60︒，若斜面坡度为，则斜面AB 的长是（ ）米．A．B ．C ．D ．【答案】B【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，根据三角函数的定义得到30ABF ∠=︒，根据已知条件得到3045HPB APB ∠∠=︒=︒，，求得60HBP ∠=︒，解直角三角形即可得到结论．【详解】如图所示：过点A 作AF BC ⊥于点F ，斜面坡度为，AF tan ABF BF ∠∴== 30ABF ∠∴=︒，在P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15︒，山脚B 处的俯角为60︒，3045HPB APB ∠∠∴=︒=︒，，60HBP ∠∴=︒，9045PBA BAP ∠∠∴=︒=︒，，PB AB ∴=，303060PH PH m sin PB PB =︒===，，解得：)PB m =，故AB =，故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确得出PB AB =是解题关键．7．如图，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为63.4︒，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为53︒．已知BC =90米，且B 、C 、D 在同一条直线上，山坡坡度i =5：12，求此人从所在位置点P 走到建筑物底部B 点的路程（ ）米.（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：4tan533︒≈，tan63.42︒≈）A ．119.2B ．137.1C ．129.2D ．127.1【答案】D 【分析】首先过点P 作PE △AB 于E ，PH △BD 于H ，由题意可知i =PH ：CH =5：12，然后设PH =5x 米，CH =12x 米，在Rt △ABC 中，63.4ACB ∠=︒，BC =90米，则可得tan63.4AB BC︒=，利用正切函数的知识可求AB ，在Rt △AEP 中，53APE ∠=︒，利用正切函数可得关于x 的方程，从而得出PH ，在Rt △PHC 中，利用勾股定理可求CP 的长度，进一步可求此人从所在位置点P 走到建筑物底部B 点的路程．【详解】解：如图：过点P 作PE △AB 于E ，PH △BD 于H ，设PH =BE =5x 米，CH =12x 米，在Rt △ABC 中，63.4ACB ∠=︒，BC =90米，则tan63.4AB BC ︒=， 即=290AB ， △AB =180(米)，在Rt △AEP 中，53APE ∠=︒，AE =AB -BE =180-5x ，BH =EP =BC +CH =90+12x ， △18054tan5390123AE x EP x -︒===+， 解得207x =， 经检验207x =是原方程的解，且符合题意， △201005577PH x ==⨯=(米)，在Rt △PHC 中，260371PC x ===(米)， 故此人从所在位置点P 走到建筑物底部B 点的路程是：26089090127.177+=≈(米)，故选：D ．【点睛】本题考查了仰角的定义，以及解直角三角形的实际应用问题，解题的关键是要能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．二、填空题8．一名高山滑雪运动员沿着斜坡FC 滑行，他在点D 处相对大树顶端A 的仰角为30︒，从D点再滑行米到达坡底的C 点，在点C 处相对树顶端A 的仰角为45︒，若斜坡CF 的坡比为1:3i =（点E ，C ，B 在同一水平线上），则大树AB 的高度___________米（结果保留根号）．【答案】【分析】作DH △CE 于H ，解Rt △CDH ，即可求出DH ，CH ，过点D 作DG △AB 于点G ，设BC ＝a 米，用a 表示出AG 、DG ，根据tan△ADG ＝AG DG列式计算得到答案． 【详解】解：过点D 作DH △CE 于点H ，过点D 作DG △AB 于点G ，设BC ＝a 米，由题意知CD ＝△斜坡CF 的坡比为i ＝1：3， △13DH CH =， 设DH ＝x 米，则CH ＝3x 米，△DH 2＋CH 2＝DC 2，△()(2223x x +=，△x ＝2，△DH ＝2米，CH ＝6米，△△DHB ＝△DGB ＝△ABC ＝90°，△四边形DHBG 为矩形，△DH ＝BG ＝2米，DG ＝BH ＝（a ＋6）米，△△ACB ＝45°，△BC ＝AB ＝a （米），△AG ＝（a −2）米，△△ADG ＝30°，△tan 30AG DG ︒==△26a a -=+△a ＝6+△AB ＝6+，故答案为：6+【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．9．如图，小明在P 处测得A 处的俯角为15°，B 处的俯角为60°，PB ＝30m ．若斜面AB 坡度为AB 的长是______m ．【答案】30【分析】根据斜面AB 坡度为30ABF ∠=︒，再利用角之间的关系求出601545∠=︒-︒=︒APB ，PAB 45∠=︒，进一步得到=30m =PB AB ．【详解】解：△斜面AB 坡度为1:，△tan∠ABF 30ABF ∠=︒，△在P 处测得A 处的俯角为15°，B 处的俯角为60°，△906030∠=︒-︒=︒HPB ，△60HBP ∠=︒，△90PBA ∠=︒，△601545∠=︒-︒=︒APB ，∠=︒，△PAB45=，△PB ABPB=，△30mAB=，△30m故答案为：30【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．三、解答题10．大楼AB是某地标志性建筑，如图所示，某校九年级数学社团为测量大楼AB的高度，一小组先在附近一楼房CD的底端C点，用高为1.5米的测杆CE在E处观测AB大楼顶端B 处的仰角是72°，另一小组到该楼房顶端D点处观测AB大楼底部A处的俯角是30°，已知楼房CD高约是45米，根据以上观测数据求AB大楼的高（精确到0.1米）．（，sin72°≈0.951，cos72°≈0.034，tan72°≈3.08）【答案】241.3米【分析】过E作EF△AB于F，则四边形ACEF是矩形，得到EF=AC，AF=CE，利用三角函数在Rt△ACD中求出AC，在Rt△BEF中求出BF，即可得到AB大楼的高．【详解】解：过E作EF△AB于F，则四边形ACEF是矩形，△EF=AC，AF=CE，在Rt △ACD 中，△DAC =30°，CD =45，△AC =tan30CD =︒在Rt △BEF 中，△BEF =72°，EF =AC =△BF =EF ∙tan72°=，△AB =AF +BF =239.78+1.5≈241.3(米)，答：AB 大楼的高为241.3米．【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造直角三角形解决问题是解题的关键．11．如图，坡AB 的坡度为1：2.4，坡面长26米，BC AC ⊥，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡(BE 请将下面两小题的结果都精确到0.1 1.732)≈．(1)若修建的斜坡BE 的坡角(即)BEF ∠恰为45︒，则此时平台DE 的长为______米；(2)坡前有一建筑物GH ，小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角为30︒，在坡底A 点测得建筑物顶部H 的仰角为60︒，点B 、C 、A 、G 、H 在同一平面内，点C 、A 、G 在同一条水平直线上，问建筑物GH 高为多少米？【答案】(1)7.0(2)建筑物GH 高约为17.9米【分析】（1）先利用勾股定理解直角BCA ∆求出10BC =，24AC =，再证BCA BFD ∆∆，推出12BF FD BD BC AC AB ===，代入数值即可求解； （2）过点D 作DP AC ⊥，垂足为P ，利用矩形的性质求出12PA AC PC =-=，5MG DP ==，12DM PG AP AG AG ==+=+，解Rt DMH ∆可得()tan3012HM DM AG =⋅︒=+，进而得出()125GH HM MG AG =+=++，再解Rt HGA ∆，列等式求出AG ，则HG =． 【详解】（1）解：由题意知，90BCA ∠=︒，26AB =，12.4BC AC =，△设BC x =，则 2.4AC x =，由勾股定理得：222BC AC AB +=，即()2222.426x x +=，解得10x =，△10BC =，24AC =．△45BEF ∠=︒，90BFE ∠=︒，△45FBE BEF ∠=∠=︒，△BF FE =．由题意，DF AC ∥，△BDF BAC ∠=∠，又△90BCA BFE ∠=∠=︒，△BCA BFD ∆∆， △12BF FD BD BC AC AB ===， △1132AD BD AB ===，152BF CF EF BC ====，1122DF AC ==， △1257.0(DE DF EF =-=-=米)；则平台DE 的长为7.0m ，（2）解：过点D 作DP AC ⊥，垂足为P ．在矩形FDPC 中，5DP CF ==，12PC DF ==，△12PA AC PC =-=．在矩形DPGM 中，5MG DP ==，12DM PG AP AG AG ==+=+，在Rt DMH ∆中，()tan3012HM DM AG =⋅︒=+，△()125GH HM MG AG =+=++， 60HAG ∠=︒，)1253tan60AG HG AG AG++∴︒===解得：AG =，17.9HG ∴==≈（米）， 即建筑物GH 高约为17.9米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．12．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C 处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m ，1.732≈）【答案】该建筑物AB 的高度约为31.9m【分析】如图，作DE AC ⊥交AC 于点E ，作DF AB ⊥交AB 于点F ，作CH DF ⊥交DF 于点H ，根据题意分别求出BF 和AF 的长，再根据AB AF BF =+即可求解．【详解】作DE AC ⊥交AC 于点E ，作DF AB ⊥交AB 于点F ，作CH DF ⊥交DF 于点H 则DE AF =，HF AC =，DH CE = △3tan 4θ= △设3DE x =，则4CE x =在Rt CDE △中，90E ∠=︒△222DE CE CD +=△222(3)(4)20x x +=△4x =（负值舍去）△12DE =，16CE =△12AF DE ==，16DH CE ==设BF y =，则(12)AB y =+在Rt BDF 中，30BDF ∠=︒ △tan BF BDF DF ∠=△DF =在Rt ABC 中，60ACB ∠=︒ △tan AB ACB AC ∠=△12)AC y =+即12)HF AC y ==+ △DF FH DH -=12)16y +=△(6y =+△6121831.9(m)AB BF FA =+=+=+≈答：该建筑物AB 的高度约为31.9m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．如图，在建筑物DF 的左边有一个小山坡，坡底B 、C 同建筑底端F 在同一水平线上，斜坡AB 的坡比为5:12i = ，小李从斜坡底端B 沿斜坡走了26米到达坡顶A 处，在坡顶A处看建筑物的顶端D 的仰角α为35︒，然后小李沿斜坡AC 走了C 点，已知建筑物上有一点E ，在C 处看点E 的仰角为18︒，（点A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内）建筑物顶端D 到E 的距离DE 长度为28.8米，求建筑物DF 的高度．（参考数据：4cos355︒≈， 7tan35?10≈，9cos1810︒≈，1tan183︒≈）【答案】40.8米【分析】如图AG BC ⊥于G ，AH DF ⊥于H ，连接AD CE ，根据比例设5AG x =，12BG x =，结合勾股定理求出=2x ，得到10AG =，再次由勾股定理求出8GC =，设EF m =，然后利用解直角三角形，求出12m =，即可得到答案．【详解】解：如图AG BC ⊥于G ，AH DF ⊥于H ，连接AD 、CE ，△AB 的坡比5:12i =，设5AG x =，12BG x =，△在Rt ABG 中，1326AB x ===， △=2x ，△10AG =，在Rt ACG 中，8GC ，设EF m =，在Rt CEF 中，1tan =tan18?=3EF CF β≈， △3CF m =，△四边形AGFH 是矩形，△83AH GF GC CF m ==+=+，又△()28.81018.8DH DE EH DE EF HF m m =+=+-=+-=+，在Rt AHD 中，7tan tan 3510DH AH α=︒=≈， 18.878310m m +∴≈+，12m =∴，△28.81240.8DF DE EF =+=+=，答：建筑物DF 的高度为40.8米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出正确的辅助线是解答此题的关键．14．某工程队计划测量一信号塔OC 的高度，由于特殊原因无法直达到信号塔OC 底部，因此计划借助坡面高度来测量信号塔OC C 的高度．如图，在信号塔OC 旁山坡脚A 处测得信号塔OC 顶端C 的仰角为70︒，当从A 处沿坡面行走13米到达P 处时，测得信号塔OC 顶端C 的仰角为45︒．已知山坡的坡度1:2.4i =，且O ，A ，B 在同一条直线上．请根据以上信息求信号塔OC 的高度．（侧倾器高度忽略不计，参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.7︒≈）【答案】信号塔OC 的高度约为27.0米【分析】过点P 作PE △OB 于点E ，PF △OC 于点F ，设PE =5x ，则AE =12x ，在Rt △AEP 中根据勾股定理可得(5x )2＋(12x )2=132，解方程求出x ，设CF =PF =m 米，则OC = (m ＋5) 米，OA =(m －12)米，在Rt △AOC 中，由5tan 7012OC m OA m +︒==-求得m 的值，继而可得答案． 【详解】解：如图，过点P 作PE △OB 于点E ，PF △OC 于点F ，则四边形OFPE 是矩形， △OF =PE ，OE =PF ，△i ＝1：2.4，13AP =， △15tan 2.412PE PAE AE ∠===， △设PE =5x ，则AE =12x ，在Rt △AEP 中，由勾股定理得：(5x )2＋(12x )2=132，解得：1x =或=1x -（舍去），△PE =5，则AE =12，△△CPF =45°，PF △CF ，△△CPF =△PCF = 45°，△CF PF =，设CF =PF =m 米，则OC = (m ＋5) 米，OA =(m －12)米，在Rt △AOC 中，5tan 7012OC m OA m +︒==-， 解得：22.0m ≈，△22.0527.0OC ≈+=（米）△信号塔OC 的高度约为27.0米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角、坡度的定义，矩形的性质与判定，解题的关键是要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 15．感恩回馈，传播文化．2022年3月份，河南省绝大部分景点实施免门票政策，其中去嵩山少林寺的人数量巨大．如图，王林进入景区之后沿直线BD 行至山坡坡脚C 处，测得检票大厅顶点A 的仰角为60︒，沿山坡向上走到山门E 处再测得检票大厅顶点A 的仰角为37︒，已知山坡的坡比1:1.5i =，48BC =米．求王林所在山门E 处的铅直高度．（结果精确到0.1．参考数据：sin 370.60,cos 370.80,tan 37 1.73≈≈≈°°°）【答案】22.1米【分析】根据解直角三角形求得tan60AB BC =⋅︒=，如图，过点E 作EF AB ⊥于点F ，EG BD ⊥于点G ，则四边形EFBG 是矩形，设EG BF x ==米，求得()48 1.5EF BG x ==+米，列方程()0.7548 1.5x x +=，求解即可．【详解】解：在Rt ABC 中，48BC =米，60ACB ∠=︒， △tan60AB BC =⋅︒=．如图，过点E 作EF AB ⊥于点F ，EG BD ⊥于点G ，则四边形EFBG 是矩形，△,EF BG BF GE ==，设EG BF x ==米．在Rt EGC 中，1tan 1.5EG i ECG CG =∠==， △ 1.5CG x =（米），△()48 1.5EF BG x ==+米．在Rt AFE 中，37AEF ∠=︒，△()tan370.7548 1.5AF EF x =⋅︒≈+米．又△()AF AB BF x =-=米，△()0.7548 1.5x x +=，解得22.1x ≈，即22.1EG ≈（米）．答：王林所在山门E 处的铅直高度约为22.1米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．16．如图，某测绘小组在山坡坡脚A 处测得信号发射塔尖C 的仰角为56．31°，沿着山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为36．85°，已知AP =米，山坡的坡度1:3i =（坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且D 、A 、B 三点在同一条直线上，求塔尖C 到地面的高度CD 的长．（测角仪的高度忽略不计，参考数据：sin56.310.83︒≈，cos56.310.55︒≈，tan56.31 1.50︒≈，sin36.850.60︒≈，cos36.850.80︒≈，tan36.850.75︒≈）【答案】约为130米【分析】过点P 作PM CD ⊥垂足为M ，则四边形DBPM 是矩形，得DM BP =，MP DB =，根据1:3i =，且AP =，求出PB ，AB 的长度；在Rt CPM 中，36.85CPM ∠=︒，设CM x =，由三角函数值求出3443PM CM x ==，在Rt ACD 中56.31CAD ∠=︒，20CD x =+，()2203AD x =+，根据PM BD AB AD ==+列方程求出x ，即可得到CD 长度． 【详解】解：过点P 作PM CD ⊥垂足为M ，则四边形DBPM 是矩形DM BP ∴=，MP DB =， 1:3i =，且AP =20PB ∴=，60AB =，在Rt CPM 中，36.85CPM ∠=︒，设CM x =，3tan 36.854CM PM ︒==， 3443PM CM x ∴==， 在Rt ACD 中，56.31CAD ∠=︒，20CD x =+，203tan 56.312CD x AD AD +∴︒===， ()2203AD x ∴=+， PM BD AB AD ==+，即()42206033x x =++， 110x ∴=，130CD CM DM ∴=+=，答：塔尖到地面的高度CD 约为130米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，以及坡角问题，本题要求学生借助仰角关系，构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN 的高度，如图，在山坡的坡脚A 处测得大楼顶部M 的仰角是58︒，沿着山坡向上走75米到达B 处．在B 处测得大楼顶部M 的仰角是22︒，已知斜坡AB 的坡度3:4i =（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN 的高度．（图中的点A ，B ，M ，N ，C 均在同一平面内，N ，A ，C 在同一水平线上，参考数据：tan220.4,tan58 1.6︒≈︒≈）【答案】大楼MN 的高度为92米【分析】过点B 分别作BE △AC ，BF △MN ，垂足分别为E 、F ，通过解直角三角形表示出BF 、AN 、AE 的长度，利用BF =NE 进行求解即可．【详解】过点B 分别作BE △AC ，BF △MN ，垂足分别为E 、F ，90BEA BFN BFM MNA ∴∠=∠=∠=∠=︒∴四边形BENF 为矩形，,BE AN BF NE ∴==设MN x =，在Rt ABE 中，斜坡AB 的坡度3:4i =，即34BE AE =， 3sin 5BE BAE AB ∴∠== 75AB =45,60BE AE ∴==45FN ∴=45MF x ∴=-在Rt AMN △中，tan ,58MN MAN MAN AN∠=∠=︒ tan 58 1.6x AN∴︒=≈ 58AN x ∴≈ 5608NE AN AE x ∴=+=+ 在Rt BMF △中，tan ,22MF MBF MBF BF∠=∠=︒ 45tan 220.4x BF-∴︒=≈ 5(45)2BF x ∴≈- 5560(45)82x x ∴+=- 解得92x =，所以，大楼MN 的高度为92米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．18．如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB ，其旁边有一个坡面CQ ，坡角30QCN ∠=．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm ，在坡面上的影长为180cm ．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm 的木杆的影长为90cm （其影子完全落在地面上）．求立柱AB 的高度．【答案】【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF△BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF△BN于点F，在Rt△CDF中，△CFD=90°，△DCF=30°，则DF=12CD=90（cm），CF=CD•cos△DCF cm），由题意得：DFEF=6090，即90EF=6090，解得：EF=135，△BE=BC+CF+EF，6090，解得：AB答：立柱AB的高度为．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．19．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30︒（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）【答案】(1)9m(2)24m【分析】（1）过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，在Rt DCE 中，可得()4cos 1512m 5CE CD α=⋅=⨯=，再利用勾股定理可求出DE ，即可得出答案．（2）过点D 作DF AB ⊥于F ，设m AF x =，在Rt ADF 中，30AF x tan DF DF ︒===，解得DF =，在Rt ABC 中，()9m AB x =+，)12m BC =-，tan60AB BC ︒===x 的值，即可得出答案． （1）解：过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，在Rt DCE 中，4cos 5α=，15m CD =， ()4cos 1512m 5CE CD α∴=⋅=⨯=．()9m DE ∴===．答：C ，D 两点的高度差为9m ．（2）过点D 作DF AB ⊥于F ，由题意可得BF DE =，DF BE =，设m AF x =，在Rt ADF 中，tan tan30AF x ADF DF DF ∠=︒===解得DF =，在Rt ABC △中，()9m AB AF FB AF DE x =+=+=+，)12m BC BE CE DF CE =-=-=-，tan60AB BC ︒===解得92x =， ()9924m 2AB ∴=+≈． 答：居民楼的高度AB 约为24m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．20．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度．如图所示，测得斜坡BE 的坡度1:4i =，坡底AE 的长为8米，在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°，在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60°，求树高CD ．（结果保留根号）【答案】（3）米【分析】作BF CD ⊥于点F ，设DF x =米，则BF =米，(2)CD x =+米，从而计算出2)EC x =+米，结合AC EC AE -=，得到BF EC AE -=，建立起等式计算即可．【详解】解：作BF CD ⊥于点F ，根据题意可得四边形ABFC 是矩形，△,AB FC AC BF ==，△斜坡BE 的坡度1:4i =，坡底AE 的长为8米，△2AB FC ==，设DF x =米，在Rt DBF 中，tan DF DBF BF ∠=， 则3tan 30DF BF ==（米）， 在Rt DCE 中，(2)CD DF CF x =+=+米，tan DC DEC EC ∠=， △32)tan 603CD EC x ==+米．△AC EC AE -=， △BF EC AE -=，8=．解得：1x =，则12)3)CD =+=米．答：CD 的高度是3)米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD ），放置在教学楼A 栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB 向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度为i =1：3，AB m ，AE =8m ．(1)求点B距水平面AE的高度BH．(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1）【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米(2)广告牌CD的高度约为2.1米【分析】（1）根据山坡AB的坡度为i=1：3，可设BH=a,则AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）过点B作BF△CE，垂足为F，则BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答．【详解】（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，△设BH=a,则AH=3a，△AB由勾股定理得BH=2，答:点B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中, BH=2，△AH =6，在Rt△ADE中, tan△DAE=DE AE.，即DE=tan60 ·AE，如图,过点B作BF△CE ,垂足为F，BF= AH + AE=6+8 =14，DF= DE-EF= DE-BH，在Rt△BCF中,△C=△CBF=45°，△ CF= BF= 14,△CD=CF-DF =14—（）答:广告牌CD的高度约为2.1米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．。
解直角三角形的基本类型及其解法公式(总结)
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法.2、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度..2)测量底部可以到达的物体的高度.1 ..3）测量底部不可到达的物体的高度（1）.测量底部不可到达的物体的高度（2）...第三部分真题分类汇编详解2007-2012（2007）19．（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离.小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈925，tan21.3°≈25，sin63.5°≈910，tan63.5°≈2）（2008）19．（本小题满分6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计A BC北东..图如图所示，其中，AB 表示窗户，且2AB =米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6，最大夹角β为64.5．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）0.34=，sin 64.50.90=，tan 64.5 2.1=）.（2009）19．（本小题满分6分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． （参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）.（2010）19．（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数） （参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，） 解：B37° 48°DCA 第19题图.（2011）19．(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 原来的40º减至35º．已知原楼梯AB 长为5m ，调整后的楼梯所占地面CD 有多长？(结果精确到0.1m ．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57，tan35º≈0.70)（2012）20.（8分）40ºDBC.附历年真题标准答案：（2007）19．（本小题满分6分）解：过C 作AB 的垂线，交直线AB 于点D ，得到Rt △ACD 与Rt △BCD ． 设BD ＝x 海里，在Rt △BCD 中，tan ∠CBD ＝CD BD，∴CD ＝x ·tan63.5°．在Rt △ACD 中，AD ＝AB ＋BD ＝(60＋x)海里，tan ∠A ＝CD AD，.∴CD ＝( 60＋x ) ·tan21.3°． ∴x ·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即()22605x x =+．解得，x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C 最近． …………………………6′ （2008）19．（本小题满分6分）解：设CD 为x ，在Rt △BCD 中， 6.18==∠αBDC ，∵CDBC BDC =∠tan ，∴x BDC CD BC 34.0tan =∠⋅=．2′在Rt △ACD 中， 5.64==∠βADC ， ∵CDAC ADC =∠tan ，∴x ADC CD AC 1.2tan =∠⋅=．∵BC AC AB -=，∴x x 34.01.22-=． 1.14x ≈． 答：CD 长约为1.14米． （2009）19．（本小题满分6分） 解：由题意知CD AD ⊥，EF AD ∥， ∴90CEF ∠=°，设CE x =，在Rt CEF △中，tan CECFE EF ∠=，则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°； 在Rt CEG △中，tan CECGE GE ∠=，则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°∵EF FG EG =+，∴845033x x =+． 37.5x =，∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=（米）．.答：古塔的高度约是39米． 6分（2010）19．（本小题满分6分）解：设CD = x ．在Rt △ACD 中，tan37AD CD︒=，则34AD x=，∴34AD x =.在Rt △BCD 中，tan48° = BDCD， 则1110BD x=，∴1110BD x =. ……………………4分∵AD ＋BD = AB ，∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6分（2011）19．（本小题满分6分）（2012）20.（8分）.教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
【万能解题模型】13 解直角三角形的实际应用中的基本模型(课件)中考数学
解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 D，BF⊥CD 于点 F. ∵CD⊥AD， ∴四边形 BEDF 是矩形． ∴FD＝BE，FB＝DE. 在 Rt△ABE 中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12， 设 BE＝5x，AE＝12x， 根据勾股定理，得 AB＝13x， ∴13x＝52.
解得 x＝4. ∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48. ∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24. ∴在 Rt△CBF 中， CF＝FB·tan ∠CBF≈24×43＝32. ∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52. 答：大楼的高度 CD 约为 52 米．
图形演变 2：
3．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶 端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角α是 45°，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i＝1∶ 3，则大楼 AB 的高度约为(精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)( D )
又∵BC＝221，即 CD＋BD＝221， ∴0.85x＋0.53x＝221， 解得 x≈160. 答：AB 的长约为 160 m.
模型 2 母子型(在三角形外部作高)
模型分析： 通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边 是解题的关键．
等量关系： 在 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共边，AD＋DC＝AC. 图形演变 1：
2．如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC， BC.测得 BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°.根据测得的数据， 求 AB 的长．(结果取整数，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60)
28章 锐角三角函数专题 解直角三角形实际应用的基本模型初中数学模型
(2)“母子”型 模型 已知三角形中的两角(∠1 和∠2)及其中一边， 模型分 在三角形外边作高 BC，构造两个直角三角形求 析 解，以高 BC 为桥梁是解题的关键
3.(成都中考)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极 落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面 的高度．如图，已知测倾器的高度为 1.6 米，在测点 A 处安置测倾器，测得点 M 的 仰角∠MBC＝33°，在与点 A 相距 3.5 米的测点 D 处安置测倾器，测得点 M 的仰角 ∠MEC＝45°(点 A，D 与 N 在一条直线上)，求电池板离地面的高度 MN 的长．(结 果精确到 1 米，参考数据：sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65)
ME x＋25 5 公楼 AB 的高度约为 20 米
(2)一般梯形模型 模型
模型 过较短的底 AD 作梯形的两条高 AE 和 DF，构造一个长方 分析 形和两个直角三角形，分别解两个直角三角形再加减求解
7.某轮滑特色学校准备建立一个如图①的轮滑技巧设施，从侧面看如图②，横 截面为梯形，高 1 米，AD 长为 2 米，坡道 AB 的坡度为 1∶1.5，DC 的坡度为 1∶2.
＋40 3 .∴小山 BC 的高度为(10＋40 3 )米
模型二：四边形模型 (1)直角梯形模型
模型
模型 过较短的底 AB 作直角梯形的高 BE，构造一个矩形和一
分析
个直角三角形，先解直角三角形再加减求解
6.如图，某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22°时， 办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE，而当光线与地面夹角是 45°时，办公 楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离(点 B，F，C 在一条直线上).求办 公楼 AB 的高度．(参考数据：sin 22°≈25 ，cos 22°≈1156 ，tan 22°≈25 )
解直角三角形教学设计
解直角三角形教学设计作为一位无私奉献的人民教师，很有必要精心设计一份教学设计，教学设计是连接基础理论与实践的桥梁，对于教学理论与实践的紧密结合具有沟通作用。
教学设计应该怎么写呢？以下是店铺收集整理的解直角三角形教学设计（通用5篇），供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
解直角三角形教学设计1教学目标：理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点：能运用直角三角形的角与角（两锐角互余），边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形。
教学难点：能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力。
教学过程：一、课前专训根据条件，解下列直角三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°（1）已知∠A＝30°，BC＝2；（2）已知∠B＝45°，AB＝6；（3）已知AB＝10，BC＝5；（4）已知AC＝6，BC＝8。
二、复习什么叫解直角三角形？三、实践探究解直角三角形问题分类：1、已知一边一角（锐角和直角边、锐角和斜边）2、已知两边（直角边和斜边、两直角边）四、例题讲解例1、在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°．求AB．例2、⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长（精确到0.1）．五、练一练1．在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，求平行四边形的面积．2．求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1）．六、总结通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．七、课堂练习1．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于_________．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＋b＝＋3，解这个直角三角形．3．求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积．八、课后作业1．在菱形钢架ABCD中，AB=2 m，∠BAD=72，焊接这个钢架约需多少钢材（精确到0.1m）2.思考题（选做）：CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin ∠COD ＝，求：（1）弦AB的长；（2）CD的长．解直角三角形教学设计2一、教学目标(一)知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型(学生版)
模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型【考点导航】目录【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】【类型二不含特殊角的非直角三角形】【类型三“独立”型】【类型四“背靠背”型】【类型五“叠合”型】【类型六“斜截”型】【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】1(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖CD(垂直于地面)的高度，小明从A点看向无人机B的仰角为45°．从无人机B处测得看山崖顶端C的仰角为30°，测得看山崖底部D处的俯角为60°，无人机B与山崖的水平距离BE为50米．(图中各点均在同一平面内)．(1)求山崖的高度(结果保留根号)；(2)若点A距离地面2米，求小明到山崖的水平距离(结果取整数)．(参考数据：2≈1.414，3=1.732)【变式训练】1(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔Р的北偏东30°方向上的B处．(1)在这段时间内，海监船与灯塔Р的最近距离是多少海里？(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？(结果保留根号)2(2023·海南·统考中考真题)如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB=度，∠BCM=度；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．3(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼DH楼顶D处的俯角为45°，测得楼EF楼顶E处的俯角为60°．已知楼EF和楼DH之间的距离HF为90米，楼EF的高度为12米，从楼EF的E处测得楼DH的D处的仰角为30°，AB∥HF．(点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内)．(参考数据：3≈1.73)(1)求楼DH的高度；(2)求此时无人机距离地面HF的高度．4(2023秋·海南海口·九年级校考期末)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得尾顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m 到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF∥CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上)．(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7)(1)求屋顶到横梁的距离AG；(2)求房屋的高AB(结果精确到1m)．5(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为1003米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B、C、D、P在同一平面内，参考数据：3≈1.732,2≈1.414)．(1)填空：∠ADP=度；(2)求楼CD的高度；(3)求此时无人机距离地面BC的高度(结果精确到1米)．【类型二不含特殊角的非直角三角形】1(2023秋·全国·九年级专题练习)如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角(锐角)为∠1，则tan∠1=．【变式训练】1(2023·江苏宿迁·统考中考真题)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC=．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，△ABC的三个顶点都在边长是1的小正方形的顶点上，则tan∠BAC=．3(2023春·浙江杭州·九年级专题练习)在△ABC中，AC=42，BC=6，∠C为锐角且tan C=1．(1)求△ABC的面积；(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC的值．4(2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D 为BC的中点，DE⊥AC于点E，连接BE．已知DE=2.(1)若tan C=12，求AB的长度；(2)若∠C=30°，求sin∠BEA．5(2023·宁夏吴忠·校考二模)问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，求cos∠CPN的值．方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M、N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中，问题解决：(1)求出图1中cos∠CPN的值；(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求tan∠CPN的值．6(2023秋·全国·九年级专题练习)在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α(用含sinα，cosα的式子表示)．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出sin2α=CDOC =sinα⋅AC12=sinα⋅cosα12=2sinα⋅cosα．阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．(1)如图3，∠ACB=90°，AB=1，若BC=12，则sinα=，sin2α=；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式(用含sinα，cosα的式子表示)．【类型三“独立”型】1(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，则教学楼的高度AB约为米．(结果精确到0.1米)【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】【变式训练】1(2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习)如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i=1:2(坡度i=坡面铅直高度与水平宽度的比)斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E(A、B、C、D、E在同一平面内)，在E处测得建筑物顶端A的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)()A.27.1米B.30.8米C.32.8米D.49.2米2(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；3如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5m ，风筝飞到C 处时的线长BC 为30m ，这时测得∠CBD =53°，求此时风筝离地面的高度．(精确到0.1m ，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)【类型四“背靠背”型】1(2023春·山东青岛·九年级统考开学考试)科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离(结果保留整数)(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin23°≈513，tan23°≈512)．【变式训练】1(2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习)如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为km ．2(2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中)某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．(1)填空：∠DBE=度，∠BED=度；(2)求A、C两点间的距离：(结果保留根号)(3)求这座大楼CD的高度．(结果保留根号)3(2023·黑龙江大庆·统考一模)如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．(点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号)(1)填空：∠ADC=度，∠BCD=度；(2)求此时无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离；(3)求教学楼BC的高度．【类型五“叠合”型】1(2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习)文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．(结果精确到1m，参考数据：，，，．)【变式训练】1(2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习)如图，小明为了测量小河对岸大树BC 的高度，他在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，沿斜坡走352米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF 的坡比为1:2，E ，A ，C 在同一水平线上．(1)求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度．(2)大树BC 的高度约为多少米?(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)2(2023·江苏苏州·校考二模)如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计)【类型六“斜截”型】1(2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习)如图，在南北方向的海岸线上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号，已知A ，B 两船相距海里，船C 在船A 的北偏东方向上，船C 在船B 的东南方向上，上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东方向上．(1)求出A与C之间的距离．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：，)【变式训练】1(2023·内蒙古·统考中考真题)某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度(结果精确到1米，参考数据：)．2(2023春·江苏苏州·九年级统考期中)如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．(1)求出此时点A到港口C的距离(计算结果保留根号)；(2)若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A 时，测得港口B在A 的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离(计算结果保留根号)．。
初三九年级数学冀教版 第26章 解直角三角形 专训1 构造三角函数的基本图形解决实际问题中的四种数学模型
专训1构造三角函数的基本图形解决实际问题中的四种数学模型名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．构造直角三角形解决实际问题1．【中考·山西】太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50 cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米(结果保留根号)．(第1题)2．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1 m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．(第2题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题3．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°.在M 的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？(第3题)4．【中考·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1 m．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．【导学号：83182074】(第4题)5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)．(第5题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题6．【中考·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为 4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度(结果保留根号)．【导学号：83182076】(第6题)7．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大【导树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，求大树的高度(结果保留根号)．学号：83182075】(第7题)构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题8．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6 m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 °，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21 m，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．【导学号：83182077】(第8题)答案1．解：如图，过点A 作AG ⊥CD 于点G ，则∠CAG ＝30°.(第1题)在Rt △ACG 中，CG ＝AC·sin 30°＝50×12＝25(cm )，∵GD ＝50－30＝20(cm )，∴CD ＝CG ＋GD ＝25＋20＝45(cm )．连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，则∠H ＝30°， 在Rt △CDH 中，CH ＝CDsin 30°＝2CD ＝90 cm ，∴EH ＝EC ＋CH ＝AB －BE －AC ＋CH ＝300－50－50＋90＝290(cm )， 在Rt △EFH 中，EF ＝EH·tan 30°＝290×33＝29033(cm )． 答：支撑角钢CD 和EF 的长度各是45 cm ，29033cm .2．解：如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点C 作CH ⊥DF 于点H ，(第2题)则DE ＝BF ＝CH ＝10 m ，在Rt △ADF 中，∵AF ＝80－10＝70(m )， ∠ADF ＝45°，∴DF ＝AF ＝70 m .在Rt △CDE 中，∵DE ＝10 m ，∠DCE ＝30°， ∴CE ＝DE tan 30°＝1033＝103(m )．∴BC ＝BE －CE ＝70－103≈70－17.32≈52.7(m )． 答：障碍物B ，C 两点间的距离约为52.7 m . 3．解：由题易得，∠AMN ＝30°， ∠ABN ＝45°.如图，过点A 作AC ⊥MN 于点C.(第3题)在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝ACBC，∴BC ＝AC.在Rt △AMC 中，tan ∠AMC ＝ACMC ，∴MC ＝3AC.由MB ＝MC －BC ，得3AC －AC ＝400， ∴AC ＝200(3＋1)≈546(m )>500 m .∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．4．解：延长AD 交BC 的延长线于点G ，作DH ⊥BG 于点H ，如图．(第4题)在Rt △DHC 中，∠DCH ＝60°，CD ＝4 m ，则CH ＝CD·cos ∠DCH ＝4×cos 60°＝2(m )，DH ＝CD·sin ∠DCH ＝4×sin 60°＝23(m )， ∵DH ⊥BG ，∠G ＝30°， ∴HG ＝DH tan G ＝23tan 30°＝6(m )，∴CG ＝CH ＋HG ＝2＋6＝8(m )， 设AB ＝x m ，∵AB ⊥BG ，∠G ＝30°，∠BCA ＝45°， ∴BC ＝x m ，BG ＝AB tan G ＝xtan 30°＝3x(m )．∵BG －BC ＝CG ， ∴3x －x ＝8， 解得x ≈11.答：电线杆的高(AB)约为11 m .5．解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F.在Rt △ABF 中，∠ABF ＝α＝60°，∴AF ＝AB·sin 60°＝20×32＝103(m )． 在Rt △AEF 中，β＝45°，∴AF ＝EF.∴AE＝AF2＋EF2＝（103）2＋（103）2＝106(m)．即改造后的坡长AE为10 6 m.(第5题)6．解：如图，作AD⊥BC于点D，BH垂直水平线于点H，(第6题)由题意得∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝32 m，∴AD＝CD＝AB·sin 30°＝16(m)，BD＝AB·cos 30°＝163(m)．∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)m，则BH＝BC·sin 30°＝(8＋83)m.即这架无人飞机的飞行高度为(8＋83) m.7．解：如图，作CE⊥AB于点E.(第7题)则CD＝BE＝5 m，CE＝BEtan 30°＝53(m)，AE＝CE·tan 45°＝53(m)，∴AB＝AE＋BE＝(5＋53)m.即大树的高度为(5＋53) m.8．解：∵∠CBE＝45°，CE⊥AE，∴CE＝BE.∴CE＝21 m.在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，AE＝AB＋BE＝6＋21＝27(m)，∴DE＝AE·tan 30°＝27×33＝93(m)．∴CD＝CE－DE＝(21－93) m.即该屏幕上端与下端之间的距离CD为(21－93) m.。
2023年中考数学专题20 解直角三角形(原卷版)
专题20 解直角三角形一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°32123三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2；2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1）．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2）．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3)．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.5．解直角三角形实际应用的一般步骤1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一求三角函数的值1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则cos B的值为（）A．B．C．D．2．△ABC在网格中的位置如图，则cos B的值为（）A．B．C．D．23．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB等于．4．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是．考向二利用特殊角的三角函数值求值5．tan30°的值等于（）A．B．C．D．6．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tan C的值是（）A．B．C．1D．7．已知α是锐角，sin（α+15°）＝，则cosα＝．8．若，那么△ABC的形状是．考向三解直角三角形的应用—坡角（堤坝）问题9．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．7米10．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1 000m，则他升高了（）A．200m B．500m C．500m D．1 000m11．如图是一斜坡的横截面，某人沿着坡度为i＝1：的斜坡从点A向上走了5米到点B处，则此时人离水平面的垂直高度为．12．如图，小李从西边山脚的点A走了300m后到达山顶C，已知∠A＝30°，东边山坡的坡度tan B＝．（1）求山顶C离地面的高度．（2）求B、C的距离．考向四解直角三角形的应用—仰角俯角问题13．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10B．15C．15D．15﹣514．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（）A．米B．90米C．120米D．225 米15．如图，在A点有一个热气球，由于受西风的影响，以20米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得地面上的B点俯角为30°，则A、B两点间的距离为米．16．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为260米，在坡顶A处的同一水平面有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）考向五解直角三角形的应用—方位角问题17．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（）千米．A．4B．4C．2D．618．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．3019．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为海里．20．深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向B移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响．（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈，cos42°≈，tan42°≈）考向六解直角三角形的应用—其他问题21．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x22．如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的高为（）A．3米B．6米C．3米D．2米23．如图，一个无底的圆锥铁片，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，则制作这样一个无底圆锥需要铁片平方米（结果保留π）．24．图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．25．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为70°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝60厘米，DC＝40厘米，求点D'到BC的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）一．选择题1．cos30°的值是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cos A＝，那么AB的长是（）A．3B．C．D．3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC 的值为（）A．2+B．2C．3+D．34．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（）A．B．C．D．5．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其东北方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（）海里．A．15+15B．30+30C．45+15D．606．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（）A．55m B．60m C．65m D．70m二．填空题7．计算：＝．8．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为．9．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是50m，则甲楼的高AB是m（结果保留根号）．10．如图，一根竖直的木杆在离地面2.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为m．（结果保留一位小数）（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）三．解答题11．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．12．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为100米，从建筑物AB的顶点A处测得建筑物CD 的顶部C处的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D处的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．13．如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？14．如图，在一段观景斜坡DE上种有若干棵树，小明测得斜坡上铅直的两棵树间水平距离AB＝4米，斜面距离BC＝4.25米，斜坡总长DE＝85米．（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为15cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？（最后一个高不足15cm时，按一个台阶计算）（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95）。
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坡度、坡角在实际中的应用
1、如图,一段河坝的断面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坡角α和坝底宽AD(结果果保留根号).
2、学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC=30∘,斜坡AB长为12米。
为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD的坡比是1:3(即为CD与BC的长度之比).A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
3、如图,小山岗的斜坡AC的坡度是34,在与山脚C 距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6∘,求小山岗的高AB(结果取整数)
参考数据：sin26.6∘=0.45,cos26.6∘=0.89,tan26.6∘=0.50).
4、如图,广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米,高8米,背水坡的坡角为45∘的防洪大堤(横截面为梯形ABCD)急需加固。
经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1:2.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长；
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?
专题：解直角三角形的几种模型
类型一：“背靠背”型
5、如图,A、B两座城市相距100千米,现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路(即线段AB).经测量,森林保护区中心P点在A城市的北偏东30∘方向,B 城市的北偏西45∘方向上。
已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内。
请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区?为什么?
类型二：“叠合”型
6、如图,在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC,李明同学为了测量信号塔的高度,在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30∘,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处,又测得信号塔顶端C的仰角为60∘,CD⊥AB与点E,E、B. A在一条直线上。
请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度(结果保留
整数,3≈1.7,2≈1.4 ) 类型三：“母抱子”型
7、如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值。
测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为37∘,塔底B的仰角为26.6∘.已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,图中的点O、B. C. A. P在同一平面内,求山坡的坡度.(参考数据sin26.6∘≈0.45,tan26.6∘≈0.50;sin37∘≈0.60,tan37∘≈0.75)
类型四：“斜截”型
8、某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60∘,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长.(精确到1m,3√≈1.732)。