九年级数学上册《24.3 相似三角形》课件
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相似三角形完整版PPT课件
相似三角形在几何变换中的应用 在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
谢谢您的聆听
THANKS
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
24.3 相似三角形 课件(华师大版九年级上册) (4)
[来源:]
③它们的周长比等于相似比； 面积比等于相似比的平方．
应用举例
例1 判断 ①所有的等腰三角形都相似． (×) ②所有的直角三角形都相似． (×)
③所有的等边三角形都相似． (√) ④所有的等腰直角三角形都相似． (√)
你能行!
（1）如图1，当 DE∥BC 时，△ABC∽ △ADE A ∠ AED= ∠ B （2）如图2，当 时， △ABC∽ △AED。
B
O A
x
y C2(4，4)
2 5
B
5
5 21A
1、相似三角形的识别方法？ 2、相似三角形的性质及运用？ 3、通过复习你收获了些什么？
∴ ∠ A =∠ 4
∴ ∠2=∠4 ∵ △FDB∽△FCD （两个角 分别对应相等的两个三角形相似） ∴ BD：CD=DF：CF ∴ BD· CF=CD· DF
F
知识延伸
在方格纸中，每个小格的顶点称为格点， 以格点的连线为边的三角形称为格点三角 形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想 作格点ΔABC与ΔOAB相似(相似比不能为1)， 则C点坐标____________． y
例2 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E 为AC的中点， ED交CB的延长线于F。
求证：BD· CF=CD· DF
证明：∵CD⊥AB， E为AC的中点
∴ DE=AE（直角三角形中，
斜边上的中线等于斜边的一半 ）
C E 1 D 2 3 4 B
∴∠1=∠A (等边对等角） ∵ ∠1=∠2（对顶角相等） ∴∠A=∠2 ∵∠ACB= 90° ∴ ∠3+∠4= 90° A ∵CD⊥AB ∴ ∠A+∠3= 90°
∽ △ DAC
例1、 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中 3 对三角形相似. 共有_____
③它们的周长比等于相似比； 面积比等于相似比的平方．
应用举例
例1 判断 ①所有的等腰三角形都相似． (×) ②所有的直角三角形都相似． (×)
③所有的等边三角形都相似． (√) ④所有的等腰直角三角形都相似． (√)
你能行!
（1）如图1，当 DE∥BC 时，△ABC∽ △ADE A ∠ AED= ∠ B （2）如图2，当 时， △ABC∽ △AED。
B
O A
x
y C2(4，4)
2 5
B
5
5 21A
1、相似三角形的识别方法？ 2、相似三角形的性质及运用？ 3、通过复习你收获了些什么？
∴ ∠ A =∠ 4
∴ ∠2=∠4 ∵ △FDB∽△FCD （两个角 分别对应相等的两个三角形相似） ∴ BD：CD=DF：CF ∴ BD· CF=CD· DF
F
知识延伸
在方格纸中，每个小格的顶点称为格点， 以格点的连线为边的三角形称为格点三角 形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想 作格点ΔABC与ΔOAB相似(相似比不能为1)， 则C点坐标____________． y
例2 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E 为AC的中点， ED交CB的延长线于F。
求证：BD· CF=CD· DF
证明：∵CD⊥AB， E为AC的中点
∴ DE=AE（直角三角形中，
斜边上的中线等于斜边的一半 ）
C E 1 D 2 3 4 B
∴∠1=∠A (等边对等角） ∵ ∠1=∠2（对顶角相等） ∴∠A=∠2 ∵∠ACB= 90° ∴ ∠3+∠4= 90° A ∵CD⊥AB ∴ ∠A+∠3= 90°
∽ △ DAC
例1、 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中 3 对三角形相似. 共有_____
数学九年级上相似三角形的应用ppt课件
相似
B’
C’
AA’BB’=
BC B’C’
=
AC A’C’
△ABC∽ △A’B’C’
回顾：相似三角形的性质？
1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等
2.相似三角形的对应高、对应角平分线、 对应中线的比等于相似比 3.相似三角形的周长比等于相似比
4.相似三角形的面积比等于相似比的平方
2.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,
解：∵ OA:OC=OB:OD=n 且∠AOB=∠COD ∴△AOB∽△COD
∵ OA:OC=AB:CD=n 又∵CD=b
∵AB=CD ·n = nb
又∵x = ( a － AB )÷2 = ( a － nb )÷2
D bC
x
Ox
AB． A
B
D
C
E
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到
了一点C,使AC⊥AB,在AC上找到一点D,
在BC上找到一点E,使ED⊥AC,测出
AD=35m，DC=35m,DE=30m,那么你
能算出池塘的宽AB吗?
A
B
D
E
C
如图,屋架跨度的一半OP=5m,高度
OQ=2.25m,现要在屋顶上开一个天窗,
天窗高度AC=1.20m,AB在水平位置.求
AB的长度（结果保留3个有效数字）。
解：由题意得，AB∥PO ∴∠ABC=∠OPQ
Q
∵∠CAB=∠POQ=Rt∠ ∴△ABC∽△OPQ ∴AB/OP=AC/OQ
AB
∴AB=OP×AC/OQ=5×1.2/2.25≈2.67m 答：AB的长约为2.67m。
C
P O
１４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
《相似三角形》相似图形PPT课件
定义
两个多面体，如果它们的对应角相等，对应边长 成比例，则称这两个多面体相似。
1. 对应角相等
通过测量或计算验证两个多面体的对应角是否相 等。
3
2. 对应边长成比例
通过测量或计算验证两个多面体的对应边长是否 成比例。
性质总结
性质一
相似多面体的对应面面 积之比等于相似比的平
方。
性质二
相似多面体的对应体积 之比等于相似比的立方
案例分析
测量河流宽度
通过构造相似三角形，可以测量 河流的宽度，为水利工程和桥梁
建设提供重要数据支持。
估算森林面积
利用航空照片和相似三角形的原理 ，可以对森林面积进行估算，为林 业资源管理和生态保护提供依据。
分析交通事故原因
在交通事故分析中，相似三角形可 以帮助分析事故原因，确定责任方 ，为交通事故处理提供科学依据。
。
性质三
相似多面体的对应棱的 中线之比等于相似比。
性质四
相似多面体的对应高的 比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于
相似比。
应用前景展望
建筑设计
在建筑设计中，利用相似多面体 的性质可以方便地按比例缩放建 筑模型，以适应不同规模和需求
的设计项目。
艺术创作
在机械、航空等工程领域，相似 多面体的概念可用于按比例放大 或缩小零部件和装置，以简化设
。
相似比与对应角关系
01
02
03
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比值称为相似比。
相等性
相似三角形的对应角相等 。
互补性
如果两个角在一个三角形 中是互补的，那么它们在 另一个相似三角形中也是 互补的。
性质总结
对应边成比例
24.3 相似三角形 课件(华师大版九年级上册) (7)
BC EF
任意平移l5，再度量 AB,BC，DE,EF的长 度.
AB DE 与 BC EF
A B
D E
l3 l4
相等吗？
C
F
l5
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对 应线段的比相等.
符号语言： ∵ l 3∥ l4 ∥ l5 ,
AB DE ∴ , BC EF
AB DE , AC DF
B F
A
E
C
Δ DBF∽Δ ABC
三角形相似 具有传递
性!
Δ ADE∽Δ DBF
典例：
例1、如图，△ABC中，DE∥BC， AB=8cm，AC=6cm，AE=4cm，DE=5cm, 求AD、BC的长。
A
D B
E
C
典例：
2、如图，△ABC中，DE∥BC， AD=6cm，BD=2cm，AE=4cm，求EC的 长。 A
l2
l1
l2
E
l3
E C
D
A B
l3 l4
C
l4
l5
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等.
思考：
如图，在△ABC中, DE∥BC，DE分别 交AB、AC于点D、E, △ADE与△ABC有 A 什么关系?
D B
F
判定三角形相似的定理：
（简称：平行线）
E C
练习：
3 、如图，在△ ABC 中，∠ C 的平分线交 AB 于 D ，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ，若 3:5 。 AD:DB=3:2，则EC:BC=______
B D
A
E
C
任意平移l5，再度量 AB,BC，DE,EF的长 度.
AB DE 与 BC EF
A B
D E
l3 l4
相等吗？
C
F
l5
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对 应线段的比相等.
符号语言： ∵ l 3∥ l4 ∥ l5 ,
AB DE ∴ , BC EF
AB DE , AC DF
B F
A
E
C
Δ DBF∽Δ ABC
三角形相似 具有传递
性!
Δ ADE∽Δ DBF
典例：
例1、如图，△ABC中，DE∥BC， AB=8cm，AC=6cm，AE=4cm，DE=5cm, 求AD、BC的长。
A
D B
E
C
典例：
2、如图，△ABC中，DE∥BC， AD=6cm，BD=2cm，AE=4cm，求EC的 长。 A
l2
l1
l2
E
l3
E C
D
A B
l3 l4
C
l4
l5
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等.
思考：
如图，在△ABC中, DE∥BC，DE分别 交AB、AC于点D、E, △ADE与△ABC有 A 什么关系?
D B
F
判定三角形相似的定理：
（简称：平行线）
E C
练习：
3 、如图，在△ ABC 中，∠ C 的平分线交 AB 于 D ，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ，若 3:5 。 AD:DB=3:2，则EC:BC=______
B D
A
E
C
24.3相似三角形的应用2(课件)(华师大版九年级上册)
相似三角形的应用2
等分线段
同学们看课本第82页,告诉我们应用一组等距离 的平行线可以把一线段五等分,你能把一线段三 等分或六等分吗?试试看
如果手头上没有这样等距离的平行线怎么 办呢?
C
A
D
E
F
B
把线段AB五等分 画法:
A1 A2
A3
A4
1.过线段AB的一端点A任意画一射线;
A5 P
2.在AP上依次截取五段相等的线段AA1、A1A2、 A2A3、A3A4、A4A5。 3.连结A5B； 4.分别过A4、A3、A2、A1点画BA5的平行线，这些 平行线与线段AB交于点F、E、D、C，这样就 把线段AB五等分。
为什么这样就五等分了呢？能否用相似三角 形性质说明理由。 因为A1C∥A5B， 因此∠AA1C=∠AA5B， 而∠A=∠A 所以△AA1C∽△AA5B， 则AA1/ AA5=AC/AB，而AA1/AA5=1/5 所以AC/AB=1/5，即AC=1/5AB。 同样道理：AD=2/5AB
练习
把线段AB七等分
把线段AB分成4：3的两部分
如图，在离某建筑物4米处有一棵树， 在某时刻，1.2m长的竹竿竖直地面， 影长为2m，此时，树的影子照射地 面，还有一部分影子在建筑物的墙上， 墙上的影长为2m，那么这棵树高约 多少米？
A A/ B/ C/ B
D C
课堂小结
应用相似三角形的知识，可以用于测量物
分别为35cm 和14cm。 1. 它们的周长差60cm，求这两个三角形的 周长。 2. 它们的面积差588cm2，求这两个三角形的 面积。 3.要做两个相似的三角形的框架，其中一个三角 形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形 框架有一边长为2，另两边的木料应多长可以使 它们相似？
24.3 相似三角形 课件(华师大版九年级上册) (5)
2 则△A’B’C’与△ABC的相似比为 2、如图，已知：△ABF∽△ECF， 则
AF EF
；
=
4 . 3
练一练
3、如图，正方形ABCD的边长 为1，点O为对角线的交点，试 指出图中的相似三角形． △AOB 、 △BOC、 △COD、 △DOA、 △ABC、 △BCD、 △CDA、 △DAB 4、如果一个三角形的三边长分别是5、12和 13，与其相似的三角形的最长边长是39，那 么较大三形的周长是多少？较小三角形与 较大三角形周长的比是多少？
——如果一个三角形的两个角分别与另 一个 三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似．
3.研究数学问题的方法 ——通过观察、测量、计算进行研究
相似三角形
课堂小结 1、相似三角形的定义，相似比的概念 2、三角形相似与全等的判定方法的类比. 3、三角形相似的判定定理1，并强调判定相似需且只需两个 独立条件. 4、常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知角度计算 得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤同角的余(补)角相等.
相似三角形
问题4：什么样的三角形为相似三角形？
如果△ABC 与△A’B’C’相似，则表 示为△ABC∽△A’B’C’. 问题6：什么是相似比，一般用什么符号来表示？ 如果△ABC , 这个比值就表示△ABC 和△A’B’C’的相似 比.
AB k 与△A’B’C’相似 , 则 A' B'
练一练
1、 如果△ABC与△A’B’C’的相似比为2，
（第 2 题）
相似三角形
习题24．3 1． 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果 相似，请写出证明过程． （1） 如图，DE∥BC，△ABC与△ADE； （2） 如图，∠AED＝∠C，△ABC与△ADE．
AF EF
；
=
4 . 3
练一练
3、如图，正方形ABCD的边长 为1，点O为对角线的交点，试 指出图中的相似三角形． △AOB 、 △BOC、 △COD、 △DOA、 △ABC、 △BCD、 △CDA、 △DAB 4、如果一个三角形的三边长分别是5、12和 13，与其相似的三角形的最长边长是39，那 么较大三形的周长是多少？较小三角形与 较大三角形周长的比是多少？
——如果一个三角形的两个角分别与另 一个 三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似．
3.研究数学问题的方法 ——通过观察、测量、计算进行研究
相似三角形
课堂小结 1、相似三角形的定义，相似比的概念 2、三角形相似与全等的判定方法的类比. 3、三角形相似的判定定理1，并强调判定相似需且只需两个 独立条件. 4、常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知角度计算 得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤同角的余(补)角相等.
相似三角形
问题4：什么样的三角形为相似三角形？
如果△ABC 与△A’B’C’相似，则表 示为△ABC∽△A’B’C’. 问题6：什么是相似比，一般用什么符号来表示？ 如果△ABC , 这个比值就表示△ABC 和△A’B’C’的相似 比.
AB k 与△A’B’C’相似 , 则 A' B'
练一练
1、 如果△ABC与△A’B’C’的相似比为2，
（第 2 题）
相似三角形
习题24．3 1． 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果 相似，请写出证明过程． （1） 如图，DE∥BC，△ABC与△ADE； （2） 如图，∠AED＝∠C，△ABC与△ADE．
《相似三角形》ppt课件-2024鲜版
2024/3/27
7
02
相似三角形判定定理及其应用
2024/3/27
8
平行线截割定理
01
02
03
定理内容
两条平行线被一组横截线 所截，则对应线段成比例 。
2024/3/27
定理证明
通过相似三角形的性质进 行证明。
应用场景
在几何证明题中，常用于 证明线段之间的比例关系 。
9
三角形中位线定理
定理内容
2024/3/27
21
其他实际问题应用举例
2024/3/27
摄影中的透视问题
在摄影中，由于透视效应的存在，照片中的物体可能会产生变形。利用相似三角形原理可 以对照片进行透视校正，恢复物体的真实形状。
地理信息系统（GIS）中的应用
在GIS中，经常需要处理地理空间数据。利用相似三角形原理可以对地图进行缩放、旋转 和平移等操作，实现地理空间数据的可视化和分析。
似。
2024/3/27
4
相似之比称为相似比。
性质
01
相似三角形的对应角相等。
02
03
相似三角形的对应边成比例 。
04
2024/3/27
05
相似三角形的面积比等于相 似比的平方。
5
相似三角形对应角相等
2024/3/27
对应角
在两个相似三角形中，相互对应 的角称为对应角。
解析
由于△ABC与△DEF全等，所以△DEF的周长 等于△ABC的周长，即5cm + 7cm + 6cm = 18cm。
2. 例2
解析
已知△ABC与△PQR相似，且AB:PQ=2:3。 若△ABC的面积为12cm²，求△PQR的面积 。
相似三角形ppt课件
注意事项
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
24.3 相似三角形的性质 课件 (沪科版九年上册)3
内容分析
教学重点 掌握三角形一边的平行线的判定定理. 教学难点 三角形一边的平行线的判定定理的探索及 证明.
设计意图
通过三个问题的思考可使学生理解两个多边形相似条件的苛 刻性，对后面相似三角形判定的探索充满期待. 通过阅读，观察，讲解，使学生基本了解相似三角形的定义、 表示方法、对应关系、相似比. 紧接着提出问题，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习 数学的信心，才能真正掌握相似三角形中的对应关系和相似比 的概念. 通过让学生回忆三角形全等的知识，引导学生类比猜想两个 三角形相似的判定也有捷径可走，即不需要所有的对应角相等， 所有的对应边成比例也可相似.培养和提高学生对类比数学思想 的认识和理解.
A
AD AE FC AD , . ∴ AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形， ∴DE=FC，
D
E C F
DE AD . BC AB
B
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
五.定理归纳
A
D B A
3 2 k1 = ， k2 = 简析： 2 3
k1 k1 ≠1
归纳
若将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为 △A′B′C′∽△ABC的相似比记为 ，一般 k2 ，k1 =k1
1 k2 .当且仅当这两个三角形全等时，才有 k1=
k2 =1.
因此，三角形全等是三角形相似的特例.
设计意图
将探究的过程细化分解是为了降低难度，使 学生更容易自主探究，由浅入深，使探究的过程充 满乐趣，增强了学生探究的信心.通过系列的思考 学生找到问题的关键所在，突破作辅助线的难关， 最终解决问题.提问过程中学生自主分析已知条件， 找出问题的瓶颈所在，适时渗透转化的数学思想. 培养学生运用数学语言表述问题的能力，规范 学生证明的基本步骤和书写格式
相似三角形PPT课件
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利用相似三角形的性质，通过已知三 角形的面积和相似比求解未知三角形 的面积。
通过构造相似三角形，使得已知三角 形和未知三角形分别对应相似三角形 的对应边和对应高，从而求解未知三 角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角 形的性质求解其体积。例如，对于两 个相似的棱锥，其体积之比等于其对 应边长之比的立方。
1 2
练习1
已知△ABC和△A'B'C'中，AB=6cm，BC=8cm， AC=10cm，A'B'=12cm，B'C'=16cm， A'C'=20cm。求证：△ABC∽△A'B'C'。
练习2
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， AC=6cm，BC=8cm，求CD的长。
3
练习3
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=AC， DE=4cm，DF=6cm。求证：△ABC∽△DEF并求 出它们的相似比。
05
拓展：全等三角形与相似 三角形关系
全等三角形定义及性质回顾
01
全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别对应相 等，则称这两个三角形为全等三角形。
02
全等三角形的性质
03
对应边相等；
04
对应角相等；
05
面积相等；
06
周长相等。
全等三角形与相似三角形联系和区别
联系
全等三角形是相似三角形的特例，即 相似比为1:1的情况；
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似 三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度 等问题。
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
2024版相似三角形ppt初中数学PPT课件
相似三角形ppt初中数学PPT课件目录CONTENCT •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何图形中应用•相似三角形在解决实际问题中应用•相似三角形证明方法探讨•典型例题解析与练习•课堂小结与拓展延伸01相似三角形基本概念与性质01020304定义AAA 相似SAS 相似SSS 相似定义及判定方法如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似比与对应角关系相似比两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
相等角两个相似三角形的对应角相等。
补角两个相似三角形的非对应角互为补角。
两个相似三角形的对应边之间的比值相等。
对应边成比例两个相似三角形的对应高、中线、角平分线之间的比值也相等，且等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
面积比等于相似比的平方两个相似三角形的周长之比等于相似比。
周长比等于相似比性质总结02相似三角形在几何图形中应用平行线间距离问题利用相似三角形性质求解平行线间距离通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解平行线间的距离。
平行线间距离与相似三角形关系平行线间距离与相似三角形的对应高成比例，因此可以通过相似三角形性质求解平行线间距离。
角度平分线问题利用相似三角形性质求解角度平分线问题通过构造相似三角形，利用对应角相等的性质，可以求解角度平分线问题。
角度平分线与相似三角形关系角度平分线将相邻两边按照相同比例分割，因此可以通过相似三角形性质求解角度平分线问题。
直角三角形中特殊应用利用相似三角形性质求解直角三角形中特殊应用在直角三角形中，通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解一些特殊问题，如勾股定理、射影定理等。
直角三角形中特殊应用与相似三角形关系在直角三角形中，一些特殊应用可以通过构造相似三角形进行求解，这些应用与相似三角形的性质密切相关。
24.3.3 相似三角形的性质 课件 (沪科版九年上册)4
7.如图，点 A1，A2，A3，A4 在射线 OA上，点
B1，B2，B3 在射线 OB上，且
A1B1 ∥ A2 B2 ∥ A3 B3 ，A2 B1 ∥ A3 B2 ∥ A4 B3
则图中三个阴影三角形面积之和为
B B3 B2 4 B1 B1B2 、 △A3 B2 B3 的面积分别为1，4，
相似三角形的性质（3）
复习
相似三角形
我们已学习相似三角形哪些性质？
复习
相似三角形
我们已学习相似三角形哪些性质？
1、相似三角形对应高的比等于相似比,
相似三角形对应中线的比等于相似比,
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
2、相似三角形周长的比等于相似比， 3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（1）求y关于x的关系式。 （2）当x为何值时，y有最大值， 并求最大值。 B F C
（3）你认为 S BFED
Zxx,k
3 成立吗？为什么？ 4
．
A4 A
B B3
B2 B1 O 1 A1
4
A2
A3
A4
A
思考：△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上， DE∥BC,EF∥AB, AE 2 ，S ABC S
求：
S BFED
EC
3
A
延伸：若DE∥BC,EF∥AB， S ABC
AE x , EC
1，
. D E
S BFED y
5.例 如图，△ABC的边BC=12cm，高AD=6cm，边长为x的正 方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC 上. A (1)求x的值； (2)求△APN与 △ABC的面积比 P N
相似三角形ppt教学课件完整版
在摄影测量学中，通过拍摄地面的照片，并利用射影几何的原理进行解析，可以精确地测量 出地面点的三维坐标，为地图制作和地形分析提供重要数据。
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
相似三角形ppt教学 课件完整版
目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
相似三角形ppt教学 课件完整版
目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
19
不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
4.3 相似三角形 课件(共25张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
AD∶AC=2∶3，∠ADC=65°，∠B=37°.
(1)求∠ACB，∠ACD的度数.
(2)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式，并说出
相似比.
A
D
C
B
如图，D是AB上的一点，△ABC∽△ACD，且
AD∶AC=2∶3，∠ADC=65°，∠B=37°.
A
(1)求∠ACB，∠ACD的度数.
D
解：∵△ABC∽△ACD，
A
D
B
E
C
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC.
A
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
在△ADE和△ABC中，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A
ቋ
=
=
=
⇒△ADE∽△ABC(相似三角形的定义).
B
E
C
例2 如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，
B
例3 如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角
形相似吗？为什么？
解：相似. 理由如下：
设△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2.
由△ABC∽△A1B1C1，得∠A=∠A1，∠B=∠B1，
∠C=∠C1，
=
=
.
由△A1B1C1∽△A2B2C2，得∠A1=∠A2，
边是对应边；
④相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的
角是对应角.
两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它
们的相似比是多少？
(1)求∠ACB，∠ACD的度数.
(2)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式，并说出
相似比.
A
D
C
B
如图，D是AB上的一点，△ABC∽△ACD，且
AD∶AC=2∶3，∠ADC=65°，∠B=37°.
A
(1)求∠ACB，∠ACD的度数.
D
解：∵△ABC∽△ACD，
A
D
B
E
C
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC.
A
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
在△ADE和△ABC中，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A
ቋ
=
=
=
⇒△ADE∽△ABC(相似三角形的定义).
B
E
C
例2 如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，
B
例3 如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角
形相似吗？为什么？
解：相似. 理由如下：
设△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2.
由△ABC∽△A1B1C1，得∠A=∠A1，∠B=∠B1，
∠C=∠C1，
=
=
.
由△A1B1C1∽△A2B2C2，得∠A1=∠A2，
边是对应边；
④相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的
角是对应角.
两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它
们的相似比是多少？
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【3】两个等腰三角形一定相似吗？ 两个等边三角形呢？为什么？
所有的等边三角形都相似。因为等边三角形的每个角都等于 60°，且三边都相等，所以任两个等边三角形的对应角相等， 对应边成比例。因此所有的等边三角形都相似.
探究新知 （二）
P45做一做：如图24．3．2，△ABC中，D为 边 AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E， 用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与 △ABC是否相似．
×
二、认真填 一填 ：
1、如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形 ___全__等___
2、已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的三条边长 3cm,4cm,5cm,那么△A1B1C1的形状是__直_角__三__角__形___
3、若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是
____ 4/3
4、若△ABC的三条边长的比为3:5:6,与其相似的另一 个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么A′B′C′的最大边
长是_______2_4cm
三、用功选一选：
1、下列命题错误的是（ B）
A.两个全等的三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
数是（ ）
A.55° B.100C° C.250
D.不能确定
4、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，
那么下式中一定成立的是（ ）
A.3AB=4DE C.3∠A=4∠D
B.4AC=D3DE
D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）
我们学了些 什么？
对应角相等
定义
相
似
对应边成比例
两个全等三角形一定相似。全等三角形是相似三角形的特例！
【2两】个两直所等个角有腰直三直角的角角三等三角形腰角形中直形一都角呢定有三？相一为似角个什吗形么？直都？角相，似两。个因4为5°每的个角等，腰 且两条直角边相等，斜边等于直角边的2 倍, 所以任意两个等腰直角三角形的对应角相等，
对应边成比所例有。的因直此角所三有角的等形腰不直都角相三似角，形如都 左 相似。 图中的两个直角三角形就不相似；
D.相似的两个三角形不一定全等
2、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，
下列结论不能成立的是（ D ）
A.△ABC∽△A′B′C′
B. △ABC与△A′B′C′的相似比为1/3
C. △ABC与△A′B′C′的各对应角相等
D.△ABC与△A′B′C′的相似比为1/4
3、若△ABC与△A′B′C′ 相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′ 的度
如果D是AB的中点， 那么△ADE与△ABC 相似吗?如果相似，它 们的相似比为多少?
答：相似比为1：2
图 24.3.2
猜猜 看!
平行于三角形一边的直线和其他两 边 (或两边的延长线)相交所构成的 三角形与原三角形相似吗?
∵DE ∥ AB,
∴ AE AD DE , AE AD , EC DB
AE AD DE , AE AD , EC DB AC AB BC EC DB AC AB
一、细心判一判
1、如果两个三角形全等，则它们必相似。 √
2、若两个三角形相似，且相似比为1， 则它们必全等。
√
3、如则果这两两个个三三角角形形都必与相第似三。个三角形相似，√
4、相似的两个三角形一定大小不等。
三 表示法：
∽ 角
形
相似比： 对应边的比
简单计算及运用
巩固知识，发散思维
思考：有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在
这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，
求该草坪其他两边的实际长度。
20m
55cmcm
思考下列问题:1、草坪的形状与其图纸上相应的形状 是否相似? 2.它们的相似比是多少？
△ ADE 中 ∠ AED+∠AEDE+∠A=1800 ， 所 以 ∠ADE=1800-400-450=950
⑵ 因 为 △ ABC∽△ADE ， 所 以 由 相 似 三 角 形对应边成A比例，得D AE：BAC=DE：BC， 即
5想0一想（:在5上0述+的30条件）下,=线D段EDE：与B7C平0行，吗?所 以 D为什E=么4?3图.中75有cm哪些线段成比例?
AC AB BC EC DB AC AB
A
B
C
2cm
6cm
D
E
运用知识，拓展思维
例1：如图，已知△ABC∽ADE， AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm， ∠BAC=450，∠ACB=400， 求⑴∠AED和∠ADE的度数；
⑵DE的长
C
E 400
450？
A
DB
解 对：应⑴角因相为等△，AB得C∽∠AADEED，=∠所A以CC由B=相40似0 。三而角形在
C1
多边形叫相似多边形，相似多边形 的对应边的比叫做相似比。
E1
D1
24.3相似三角形
探究新知 （一）
定义：对应角相等、对应边成比例
的三角形叫做相似三角形。 B
表示法：∽，读作“相似于”
相似比：相似三角形对应边的比k叫做相 似比(求相似三角形的相似比要注意顺序)
如右图所示:△ABC相似于△DEF就
蓦然回首
A
1、什么叫做全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做
D
B
C
全等三角形。（如右图△ABC≌DEF）
2、全等三角形的对应边、对应角之间 各有什么关系？
E
F
AB
F
C
全等三角形的对应边相等、对应角相等。 E D
3、什么叫做相似多边形？
A1
B1
什么叫做相似多边形的相似比？
对应角相等，对应边成比例的两个 F1
么△ABC与△A2B2C2相似吗？为什么？由此可得相
似三角形有什么性质？
A
D
B
相似三角形具有传递性
D
【1】两它个与全相等似三三角角A 形形一有定什相么似关吗系？？为什么？
两边个一全定等 成B三比角例形，的且对相应 似边 比C相 为1等，，因对此应满角E足相相等似，表示为△ABC∽△DEF
E
对应顶点一定要写在对应位置，这样可以 准确地找出相似三角形的对应角和对应边。
A C
D
F
想一 想
1、如图所示如果△ADE∽△ABC，那么哪些角是对应角？ 哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
对应角相等、对应边成比C 例
E
2、如果△ABC∽△A1B1C1， △A1B1C1∽△A2B2C2，那