无穷级数单元测试题答案
第十章 无穷级数 习题详细解答
解 若级数分别为
∑u
n =1 ∞
∞
n
= 1 − 1 + 1 − " + (−1) n −1 + " ；
∑v
n =1 ∞
n
= −1 + 1 − 1 + " + (−1) n + " ；
∞ ∞
则级数
∞
∑ (u n + vn ) 显 然 收 敛 ； 但 是 如 果 另 外 有 级 数 ∑ wn = ∑ u n ， 则 级 数
（3） （5） ∑ ( n + 2 − 2 n + 1 + n ) ;
n =1 ∞
（6）
1 1 1 1 + + 3 + 4 +"; 3 3 3 3
（7） ( − ) + (
1 1 1 1 1 1 − 2 ) + "" + ( n − n ) + " ; 2 3 2 3 2 3 2 1 3 5 7 2n − 1 +"; （8） + + + + " + 3 5 7 9 2n + 1
敛，由比较判别法,故级数
(sin 2n) 2 也收敛. ∑ 6n n =1
∞
（5）当 a > 1 时， u n =
∞ ∞ 1 1 1 1 ，而 收敛，故 收敛 < ∑ ∑ n n n n a 1+ a n =1 a n =1 1 + a
当 0 ≤ a ≤ 1 时， lim u n = lim
n→∞ ∞
（4）因为 S n = sin （5）因为
(整理)第十一章无穷级数(答案)34872
第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na 收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→nn u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21n u n≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p9、级数∑∞=1n na收敛，是级数∑∞=1n na绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 A A 、0>p B 、0≥p C 、1>p D 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n n n n k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关 12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sin n naAA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、D A 、收敛，收敛 B 、发散，发散 C 、收敛，发散 D 、发散，收敛 14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n n n 15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n n n D 、∑∞=-12)1(n n n16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n n n C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n n n n B 、∑∞=+-11)1(n n n n C 、∑∞=+-121)1(n nnn D 、∑∞=-12!)1(n nn n 18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2- C 、(-2,2) D 、(]2,2-19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x 的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1-20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2-二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n n n n α收敛。
《无穷级数》单元检测参考答案
《无穷级数》单元检测参考答案一 选择题1, （C ） 2, (D) 3, (C) 4, (A) 5, (B)二 填空题1, )3,3(- 2 , ln2 3 , ⎪⎩⎪⎨⎧-=11)(x e x S x 00=≠x x 4 , 0 5, α>35三 （1）当λ≠0，±1，±2，⋯时，0sin )(lim ≠=+∞→λππμλπnn ,级数发散。
（2）当λ=0，±1，±2，⋯时，πμμπλπλ∑∑∞=∞=--=+-11sin )1()1()sin()1(n n nn n n ，μ≠0时，级数收敛，μ=0时，级数收敛于0。
四 设nn nn u )1()1(-+-=，由于11)1(1)1()1(+≥-+=-+-n n n nnn ，所以原级数非绝对收敛。
下面讨论其条件收敛情况：)21121()4151()2131(2n n S n -+++-+-=上式中括号内每项小于0，所以⎨S 2n ⎬单调下降。
又2122121)21221()4161()2141(2->++-=-+++-+->n n n S n ，所以，⎨S 2n ⎬有下界。
故S S n n =∞→2lim。
又S u S S n n n n n =+=+∞→+∞→)(lim lim 22212， 故原级数条件收敛。
五 因为{}0lim,,0≥=∴↓≥∞→a a a a n n n n 。
若0lim ==∞→a a n n ，则∑∞=-1)1(n n n a 收敛，与∑∞=-1)1(n n na 发散矛盾，所以，0lim>=∞→a a n n 。
对∑∞=+1)11(n nn a ，用柯西判别法：111)11(lim <+=+∞→a a n n n n ，所以，级数收敛。
六 由于 f(-x)=f(x),所以)00(='f .又02)0(>=''f ，所以f(x)在x=0取得极小值1，由泰勒公式：)(0)0(!21)0()0()(22x x f f f x f +''+'+=。
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第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
无穷级数必考经典习题(附答案).pdf
无穷级数同步测试一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（ ）()A 若lim 0→∞≠n n u ，则级数21∞=∑n n u 发散.()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()C 若级数1∞=∑n n u 收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()D 若级数21∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u 收敛.2．已知幂级数1(1)∞=−∑nn n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（ ）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]A B C D3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!∞=∑n n n a x n 的收敛域为（ ）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D4. 设常数0>x ，则级数11(1)sin ∞−=−∑n n x n （ ）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关二、填空题5. 级数11()2∞=∑nn n 的和为 .6．2!lim(!)→∞=n n n .7．已知级数22116π∞==∑n n ，则级数211(1)∞=−=∑n n n .8．幂级数2101!∞+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数∞=n n .又由于0=n，但=n u 不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)∞=≥+++∑nn n x x x x x 的敛散性.11.求级数11(21)2∞=+∑nn n n 的和. 12.将2()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限2313521lim()2222→∞−++++nn n . 14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程()()()'''++=xy x y x y x e ，并求幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.若lim 0→∞≠n n u ，则2lim 0→∞≠nn u ，因此级数21∞=∑n n u 发散， ()A 正确；若1∞=∑n n u 绝对收敛，即1∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞==<nn n n nu u u根据正项级数的比较审敛法知21∞=∑n n u 收敛，()B 正确；若级数21∞=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞=⇒=nn n n u u ，()D 正确； 故选()C .事实上，令(1)=−nn u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2111∞∞===∑∑n n n u n发散. 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』 比较审敛法只限于正项级数使用.2.解 由于幂级数1(1)∞=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−<x ，即02<<x 内，级数绝对收敛.又级数在2=x 处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−>x ，即0<x 或2>x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3. 解 由于1∞=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1lim1→∞+=nn n a a . 幂级数0!∞=∑nn n a x n 的收敛半径为 11!lim lim (1)(1)!→∞→∞++'==+=+∞+nn n n n n a an R n a a n ，因此收敛域为(,)−∞+∞，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .4. 解 由于存在充分大的n ，有,sin 02π<>x xn n，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞−=−∑k k nxk 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 收敛.又由于sinlim 01→∞=>n xn x n，因此级数111(1)sin sin ∞∞−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 条件收敛，故选()B .『方法技巧』 本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』 解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 212π− 8. 2x xe答案详细解析5. 解 考查幂级数1∞=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.由111∞∞−===∑∑nn n n nx x nx，令11()∞−==∑n n f x nx ，则111()1∞∞−=====−∑∑⎰⎰xxn n n n x f x dx nx dx x x因此21()()1(1)'==−−x f x x x ，故21()(1)∞===−∑nn x nx xf x x ，所以 2111112()()21222(1)2∞====−∑n n n f 『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』 在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n 或1=n ）.6. 解 考虑级数21!(!)∞=∑n n n ，由比值审敛法 212(1)!(!)1lim lim lim 01![(1)!]1+→∞→∞→∞+===<++n n n n nu n n u n n n 因此级数21!(!)∞=∑n n n 收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim 0(!)→∞=n n n . 『方法技巧』 本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7. 解 由题设 222211111236π∞==+++=∑n n，则2222222111111111(2)42464624ππ∞∞====++=⨯=∑∑n n n n 22222222111111111(21)35(2)6248πππ∞∞∞====+++=−=−=−∑∑∑n n n n n n 故 222222222111111111(1)122234(21)6812πππ∞∞∞===−=−+−+−=−=−⨯=−−∑∑∑nn n n n n n 『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8. 解 由于函数xe 的幂级数展开式为 01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n ，而 2122000111()!!!∞∞∞+=====∑∑∑n n n n n n x x x x x n n n 因此 22120011()()!!∞∞+=====∑∑n n x n n S x x x x xe n n .『方法技巧』 本题考查指数函数()=x f x e 的幂级数展开式01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n 一般而言，若幂级数的系数为1!n 时，求和时可能与指数函数x e 有关；若幂级数的系数为1(21)!−n 或1(2)!n 时，求和时可能与三角函数sin x 或cos x 有关.三、解答题9. 解 判断条件收敛的运算过程是错误的.由于lim11→∞→∞===n n n n u ，因此由比较审敛法知，级数∞=n2∞=n n 不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim →∞n n S 是否存在.正确解法：212⎛=+++ ⎝n S n由于每个括号均为负数，因此2n S 单调递减，且有212⎛=+++⎝n S n12⎛>+++⎝n=> 因此2lim →∞n n S 存在，不妨设2lim →∞=n n S S ，而21221221lim lim()lim lim 0+++→∞→∞→∞→∞=+=+=+=+=n n n n n n n n n n S S u S u S S S从而得到lim →∞=n n S S ，即级数∞=n n .『方法技巧』 本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1∞=∑nn u收敛⇔部分和n S 的极限存在，即lim →∞=n n S S『特别提醒』 莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10. 解 由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim 0 111limlim0111 12→∞+++→∞→∞⎧⎪=>⎪⎪+⎪⎪==≤<⎨+⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n n n n n n n nx x x u xx x u x x 故对任意的0≥x ，原级数均收敛.『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n ）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』 由于x 的范围不同，1lim+→∞n n nu u 不同，故需要分别进行讨论，但不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11. 解 考虑幂级数21(21)∞=+∑nn x n n由于2211(1)(23)limlim 1(21)+→∞→∞++==+n n n nu n n x x u n n ，故其收敛半径为1=R ，而当1=±x 时，级数11(21)∞=+∑n n n 均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令 22111()(1)(21)(21)+∞∞====<++∑∑n n n n x x S x x x n n n n则 2212112(),()21∞∞−=='''===−∑∑n n n n x xS x S x x n x 因此 22002()(0)()ln(1)1''''−===−−−⎰⎰xxxS x S S x dx dx x x又 (0)0'=S ，则 2()ln(1)'=−−S x x ，同理2201()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+'−==−−=−−+−−⎰⎰xxxS x S S x dx x dx x x x x而 (0)0=S ，则 21()ln(1)2ln1+=−−+−−xS x x x x x，故1111)](21)22∞====+−+∑nn n n2ln 21)=++『方法技巧』 本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n ，故所做级数为21(21)∞=+∑n n x n n，此时只要令=x ，即为所求的常数项级数.『特别提醒』 在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12. 解 2()ln(3)ln ln(3)=−=+−f x x x x x1ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xx x x 由于 234111ln(1)(1)(1)(11)234∞−−=+=−+−++−+=−−<≤∑nnn n n x x x x x x x x nn则 11111()(1)2()ln 2(1)(1)∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n n n x x f x n n12111(1)(1)ln 2(1)(1)2∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n nn n x x n n 111(1)ln 2[(1)]2∞−=−=+−−∑nn n n x n且满足1111112−<−≤⎧⎪⎨−−<≤⎪⎩x x，即 02<≤x . 『方法技巧』 本题考查形如()ln(1)=+f x x 的函数展开式及收敛域11−<≤x .首先将2()ln(3)=−f x x x 化为1()ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−+++xf x x ，将第一项中的1−x 看成标准形中的x ，第二项中的12−x看成标准形中的x ，再展开. 『特别提醒』 ()ln(1)=+f x x 的展开式可以用如下方法记忆：由于 231111111(1)(1)1∞−−−−==−+−++−+=−+∑n n n n n x x x xx x两边积分得11234011111(1)(1)ln(1)1234−−∞=−−+==−+−+++=+∑⎰n n xnnn x dx x x x x x x x n n13. 解 所求极限实际上是级数1212∞=−∑nn n 的和，因此可考虑幂级数 221(21)∞−=−∑n n n x令 22221222111()(21)()()1(1)∞∞−−==+''=−===−−∑∑n n n n x x S x n xxx x故2321113521112lim()31222222(1)2→∞+−++++===−n n n S 『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.『特别提醒』 1212∞=−∑nn n 不刚好等于S ，而是相差12倍. 14. 解 当(,)∈−∞+∞x 时，3693()13!6!9!(3)!=++++++n x x x x y x n ，(0)1=y则 25831()2!5!8!(31)!−'=+++++−n x x x x y x n ，(0)0'=y4732()4!7!(32)!−''=+++++−n x x x y x x n ，故4732258314!7!(32)!2!5!8!(31)!−−'''++=+++++++++++−−n n x x x x x x x y y y x n n369313!6!9!(3)!+++++++n x x x x n2345612!3!4!5!6!!=++++++++++=n x x x x x x x x e n所以()y x 满足方程'''++=x y y y e .由于幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y y y e 的满足条件(0)1,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210++=r r ，特征根为1,2122=−±r i ，对应的齐次方程的通解为212(cossin )22−=+x Y e C x C x ，又因1λ=不是特征根，则其特解形式为*=x y Ae ，代入原方程，解得13=A ，故微分方程的通解为11 2121(cos sin )223−=++x x y e C x C x e ，将(0)1,(0)0'==y y 代入得122,03==C C ，所求微分方程的特解为221cos 323−=+x x y e x e 因此32021cos (3)!323∞−==+∑x n x n x e x e n 『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程的求通解和特解.。
ch7答案
第七章 无穷级数 自测题答案一、填空题：1. 8.2. 1α≤3. 235.21xe -二、选择题：1. C2. B3. C4. A5. D三、充分性判断：1. E 2 .C 3. C 4 A. 5. A四、讨论题： 1.解：取541n v n=因为 351244l n 1l n l i ml i m /l i m 0n n n nnu n n v n n n →∞→∞→∞=== 且51141n n n v n∞∞===∑∑收敛故原级数312ln n n n∞=∑收敛。
2.解：记221nn m a u m n∞==+∑ 由于 22220111arctan ()022n n n n n n m a a x u a a dx a m n x n n n n ππ∞+∞=+∞=<==<++∑⎰ 而 1122n n n n a a nn ππ∞∞===∑∑由题意收敛。
故22111()nn n n m a u m n∞∞∞====+∑∑∑收敛。
3.解：因为(1)(1)1(1)11n n nn n u n n ⎤--⎣⎦===----而2(1)1nn n ∞=--∑由莱不尼兹定理知其收敛，211n n ∞=-∑发散故2n n n n u ∞∞===∑4.解：记1n pu n =当0p ≤时，lim 0n n u →∞≠，知级数发散；当1p >时，1n n u ∞=∑收敛，故111(1)n pn n ∞-=-∑绝对收敛； 当01p <≤时，1n n u ∞=∑发散，但由莱不尼兹定理知111(1)n p n n∞-=-∑收敛， 即级数 111(1)n pn n ∞-=-∑条件收敛。
五、计算题：1.解：111()(1)1lim lim ()211n n n n n nu x x u x n x +++→∞→∞--⎛⎫= ⎪++⎝⎭(1)112111nn x xn x x---⎛⎫= ⎪-++⎝⎭ 当 111xx -<+，即11x x -<+ 亦即x >0时,1()n n u x ∞=∑收敛;当x =0 时, 原级数为1(1)21nn n ∞=--∑收敛.故原级数的收敛域为[)0+∞，。
第十二章无穷级数自测题(含答案)
第十一章练习题一、 填空题1．级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为（ ）． 2．若∑∞=1n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n n u 收敛的充要条件是（ ）．3.级数∑∞=122sin2n nn π的敛散性为（ ）．4.幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为（）．5.幂级数∑∞=-122)1(n nnnx的收敛域为（ ）．6.将函数2)1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）．7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则=（ ）． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）．二、 单项选择题1. 若级数∑∞=1n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.A. 交换律成立；B.结合律成立；C.分配律成立；D.以上都不成立。
2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）．A.∑∞=+1121n n ； Ｂ．nn n)23()1(1∑∞=-；Ｃ．311)1(nn n∑∞=-； Ｄ．nn n n1)1(1--∑∞=．3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.A. ∑∞=+-11)1(n nn n ；Ｂ．∑∞=-11)1(n nn；Ｃ．∑∞=-121)1(n nn；Ｄ．∑∞=+-1)1(1)1(n nn n4. 已知级数∑∑∞=∞=--==-111215,2)1(n n n n n aa ，则级数∑∞==1n n a （ ）A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 95．幂级数nxnn ∑∞=1的和函数是（ ）．Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）.A. ∑∞=02!n nn xＢ．∑∞=⋅-02!)1(n n n n xＣ．∑∞=0!n n n xＤ．∑∞=⋅-0!)1(n nn n x7. 若∑∞=-1)1(n nn x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）.A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。
无穷级数题(含答案)
⎛ ⎜⎝
∞ n=0
xn
⎞′′ ⎟⎠
=
1 2
(1 +
∞
x)n=2n(n− 1) x n −2
∑ ∑ = 1 ∞ n(n −1)xn−2 + 1 ∞ n(n −1)xn−1
2 n=2
2 n=2
∑ ∑ ∑ = 1
∞ (n + 2)(n +1)xn + 1
∞
(n +1)nxn =
∞
(n +1)2 xn ,
x <1
n=1
(2n)!n
∑ 27, 令 S(x) = ∞ 2n + 3 x2n , x ∈ (−∞, +∞).，则 n=0 n!
∑ ∑ ∑ S(x) =
∞
2nx2n + 3 ∞
(x2 )n
∞
=2
x2n + 3ex2
n=0 n!
n=0 n!
n=1 (n −1)!
∑∞
=2
x2 (x2 )n + 3ex2 = 2x2ex2 + 3ex2 = (2x2 + 3)ex2 .
=1 e
≠ 0 ，级数发散。
n
（6） lim un+1 = 0 ， 级数收敛。 u n→∞
n
（7）因为 lim n→∞
un 1
∑ = lim n +1 = 1 ， 原级数与级数 ∞
1
敛散
n→∞ n
n=1 (n +1) ln(n +1)
(n +1) ln(n +1)
性相同，故原级数发散。 18， （1）条件收敛（用莱布尼兹判别法即可）；（2）条件收敛；
无穷级数单元测试题答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案一、判断题1、对；2、对；3、错；4、对；5、对；6、对；7、对；8、错；9、错；10、错 二、选择题1、A2、A3、D4、C5、D6、C7、C8、B 三、填空题1、2ln2、收敛3、54、π33--，ππ1248+-，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±=--±±==,...3,1,21,...4,2,0,21)(k k k S ππ四、计算题1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞=--1131arcsin)1(n n n解：这是一个交错级数，1arcsin31arcsin13lim13n n u n n n→∞==，所以n u 发散。
又由莱布尼茨判别法得 111arcsinarcsin 33(1)n n u u n n +=>=+ 并且1lim lim arcsin 03n n n u n→∞→∞==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。
（2）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+11n nn n解：lim lim()[lim()]1011n nn n n n n n u n n→∞→∞→∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。
(3))0,(,31211>++++++b a ba b a b a 解：另设级数1()n v n a b =+ 1111111(1)()23n n n v n a b a b n ∞∞====+++++++∑∑上式为1a b+与一个调和级数相乘，故发散 又11()n n u v na b n a b =>=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。
(4) ++++++nn 134232 解：1lim lim10n n n n u n→∞→∞+==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1） ++++753753x x x x解：设357()357x x x f x x =++++ （补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得24621()11f x x x x x '=++++=- （这是公比21q x =<的几何级数）积分，得201()()1xxf x f x dx dx x '==-⎰⎰=0111()211x dx x x +-+⎰=11ln 21xx+-即 ++++753753x x x x =11ln 21x x +-（2）+⋅+⋅+⋅433221432x x x 解：设234()122334x x x f x =+++⋅⋅⋅ （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得23()123nx x x x f x n'=+++++再逐项求导，得21()1n f x x x x -''=++++ 积分一次，得001()()ln(1)1xxf x f x dx dx x x'''===---⎰⎰ 再积分一次，得00()()ln(1)(1)x xf x f x dx x d x '==---⎰⎰= 0(1)ln(1)(1)ln(1)x x x x d x -----⎰ = 0(1)ln(1)(1)xx x d x ----⎰ = (1)ln(1)x x x --+即+⋅+⋅+⋅433221432x x x =(1)ln(1)x x x --+ （3） +++13951392x x x 解：设5913()5913x x x f x =+++ （补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得448124()1x f x x x x x '=+++=-（这是公比41q x =<的几何级数）积分，得401()()(1)1xxf x f x dx dx x '==---⎰⎰ = 220111()211x x dx x x -++-+⎰= 111ln arctan 412x x x x ++--即59135913x x x +++ =111lnarctan 412x x x x ++-- 3、将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径 （1）⎰+xt dt41 解：411t +是级数481441(1)n n t t t ---+-+-+ 之和 所以481444001(1(1))1x x n n dt t t t dt t--=-+-+-++⎰⎰ =1591343111(1)591343n n x x x x x n ----+-+++- 收敛半径141limlim 143n n n n a n R a n →∞→∞++===- （2）)1ln(2x x ++ 解：2222121[ln(1)](1)1211x x x x xxx'++=+=++++所以122221ln(1)(1)1xxx x dx x dx x-++==++⎰⎰=2222011111(1)(1)(1)122222[1()()]22!!x n n x x x dx n --------+-++++⎰ =357212131352(2)!(1)()232452467(!)(21)2n n x x x n x x n n +⋅⋅⋅-+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 收敛半径为1R =（3）x arcsin 解：1222arcsin (1)1xxdx x x dx x -==--⎰⎰=242011111(1)(1)(1)122222[1()]22!!x n n x x x dx n --------+++++-+⎰=357212131352(2)!()232452467(!)(21)2n x x x n x x n n +⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+收敛半径为1R = （arcsin ,1y x x =≤） （4） x e x -3 解：因为 21112!!x n e x x x n =+++++ ， 所以2111()()()2!!x n e x x x n -=+-+-++-+=2111()2!!n x x x n -+++-+因此3()x f x x e -==3211(1())2!!n x x x x n -+++-+=345311()2!!n x x x x n +-+++-+=3(1)!n n n x n ∞+=-∑ (,)x ∈-∞+∞4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数. 解：（1）先求正弦级数，，将()f x 奇周期延拓 0n a =，只有n b ， 02()sin n b f x nxdx ππ=⎰=2()sin x nxdx πππ-⎰=22sin sin nxdx x nxdx πππππ-⎰⎰=0022cos (cos )nx xd nx n n πππ-+⎰=0022(cos 1)[cos cos ]nx x nx nxdx n n πππ--+-⎰=222[(1)1](1)n n n n n---+-=所以()f x 展开成正弦级数为 111()sin 2sin n n n f x b nx nx n∞∞====∑∑在端点0x =时，级数之和不能代表原函数，x π=时，级数之和能够代表原函数，所以(0,]x π∈（2）再求余弦函数，将()f x 偶周期延拓 0n b =，只有0a ，n a 2000221()[]2a x dx x x ππππππ=-=-⎰=π 02()cos n a f x nxdx ππ=⎰=2()cos x nxdx πππ-⎰=22cos cos nxdx x nxdx πππππ-⎰⎰=00221sin (sin )nx xd nx n n πππ-⎰ =22(cos 1)n n ππ--=22[1(1)]n nπ--=20,24,21(21)n mn m m π=⎧⎪⎨=-⎪-⎩所以()f x 展开成余弦级数为01()cos 2n n a f x a nx ∞==+=∑2141cos(21)2(21)n m x m ππ∞=+--∑，[0,]x π∈。
无穷级数练习及答案
第九章 无穷级数 测试题一、选择题（每小题4分，共24分） 1.级数∑∞=+111n na 敛散的情况是（ ） A. 当0>a 时收敛 B. 当0>a 时发散C. 当10≤<a 时发散，当1>a 时收敛D.当10≤<a 时收敛，当1>a 时发散 2. 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α （常数0>α） （ ）（A ）发散； （B ）条件收敛；（C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关. 3. 设0lim =∞→n n a ，则常数项级数∑∞=1n na（ ）（A ）一定收敛且和为0 （B ）一定收敛但和不一定为0（C ）一定发散 （D ）可能收敛也可能发散 4. 若∑∞=1n nu收敛，则下列级数中哪一个必收敛。
（ ）(A)∑∞=-1)1(n n nu (B)∑∞=12n nu(C)()∑∞=+-11n n nu u(D)∑∞=1n nu5、如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n n n x a ( )(A)当2<x 时收敛 (B) 当8<x 时收敛 (C) 当81>x 时发散 (D) 当21>x 时发散 6、级数 ∑∞=1!2n n n n n （1） 与级数∑∞=1!3n n n nn （2）( )（A ）级数（1）（2）都收敛 （B ）级数（1）（2）都发散（C ）级数（1）收敛，级数（2）发散 （D ）级数（1）发散，级数（2）收敛二、填空题（每小题4分，共28分） 1.已知级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n 则此级数的通项=n u .2.设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径是 .3. 幂级数()()()∑∞=---121311n n nn n x 的收敛域为 . 4. x ln 在10=x 处展开成的泰勒级数为x ln =_____________________ 5、如果幂级数()nn n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在开区间 内收敛.6、幂级数nn nx n n ∑∞=12cos 的收敛域是 . 7、幂级数()∑∞=-15n n nx 的收敛半径是 ，收敛域是 .三、解答下列各题（每题12分，共48分）1. 判别级数21cos 32n n n n π∞=∑的敛散性。
高等数学无穷级数章节练习卷
一、选择题1．设级数∑∞=-1)3(n n n x a 在6=x 条件收敛，在5-=x （ C ）。
A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．敛2．当)(1n n n v u +∑∞=收敛时，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v （ ）。
A ．可能都发散B ．必定都收敛C ．必定都发散D ．必定都绝对收敛 3．若nn n x a )1(0-∑∞=在2-=x 处收敛，则n n n x a )1(0-∑∞=在3=x 处（ ）。
A ．一定发散B ．可能收敛可能发散C ．一定绝对收敛D ．一定条件收敛 4．级数11sin n n n∞=∑（ C ）A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 无法判别 5．当k >时，级数21(1)nn k n n ∞=+-∑（ B ）A 发散B 条件收敛C 绝对收敛D 无法判定二、填空题1． 设级数nn n x a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+021，若31lim 1=+∞→n n n a a ，则级数收敛半径是_____23_______。
2． 将xe 展开成1-x 的泰勒级数是0(1)!n n ex n ∞=-∑。
3．()nnnn x n !3110⋅-∑∞=的收敛区间是(,)-∞+∞。
4．幂级数nn nx n ∑∞=131的收敛域是 。
[3,3)-5．级数=+-+-+-!111!91!71!51!3111sin6．2322222!3!!nn +++++ 的和为。
21e -三、计算1. 判断级数是否收敛，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛（交错级数）（1）10(1)tan2nn n n π∞+=-∑（2）1(1)ln(1n n ∞=-+∑ （3）11(1)(1)nnn n e∞=--∑（4）1n n +∞=（5） 11(1)2n nn n -∞=-∑ 答案：（1）绝对收敛；（2）条件收敛；（3）发散；（4）条件收敛；（5）绝对收敛。
2. 求标准幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径、收敛域。
第十一章 无穷级数(答案)
第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→n n u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21nu n ≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q 8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p 9、级数∑∞=1n n a 收敛，是级数∑∞=1n n a 绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要 10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 AA 、0>pB 、0≥pC 、1>pD 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n nnn k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sinn na AA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、DA 、收敛，收敛B 、发散，发散C 、收敛，发散D 、发散，收敛14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n nn15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=-12)1(n nn16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n nn C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n nn n B 、∑∞=+-11)1(n nn n C 、∑∞=+-121)1(n nn n D 、∑∞=-12!)1(n nnn18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2-C 、(-2,2)D 、(]2,2- 19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1- 20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n nn n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2- 二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n nn n α收敛。
微积分10 无穷级数联系和习题解答
第10章 无穷级数练习和习题解答练 习 10.11.写出下列级数的一般项： (1) +-+-+-111111； 解：该级数一般项为1)1(--=n n u(2) +-+-97535432a a a a ； 解：该级数一般项为12)1(11+-=++n a u n n n (3)++++1741035221； 解：该级数一般项为12+=n nu n(4) +++++-635241021.解：该级数一般项为12+-=n n u n2.用定义判断下列级数的收敛性： (1)∑∞=-0)1(n n解： 01111112=-++-+-= n S ，1111111112=+-++-+-=+ n S 显然n n S ∞→lim 不存在，故原级数发散.(2)∑∞=+11lnn nn 解：ln )1ln(1ln-+=+=n nn u n [])1ln(ln )1ln()3ln 4(ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln +=-+++-+-+-=n n n S n∞=∞→n n S lim ，故原级数发散.(3)∑∞=⋅15199n n解：)511(49951)511(51995199519911nn n k k n k k n S -=--==⋅=∑∑== 499lim =∞→n n S ，故原级数收敛. (4)∑∞=-0)1(n nn x 解：x x x x x x S nn n k kn k kkn +--=----=-=-=∑∑-=-=1)(1)(1)(1)()1(110 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<<-+=+--=∞→∞→时或不存在，时1111,111)(1lim lim x x x xx x S nn n n ，所以当11<<-x 时原级数收敛，当1-≤x 或 1≥x 时原级数发散.(5)∑∞=+-1)12)(12(1n n n 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-=)12(1)12(121)12)(12(1n n n n u n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)12(1121n S n ，21lim =∞→n n S ，故原级数收敛.练 习 10.21.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性： (1)∑∞=-1212n n n ； 解：因为通项)(1212∞→→-=n nn u n ，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(2)∑∞=16sinn n π； 解：因为6sinlim lim πn u n n n ∞→∞→=不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(3)∑∞=⋅11sin n n n ;解：因为011sin lim lim ≠==∞→∞→nn u n n n ，故原级数发散. (4)∑∞=151n n;解：因为0151lim lim ≠==∞→∞→nn n n u ，故原级数发散. (5)∑∞=-1623n nnn ; 解：因为∑∑∑∞=∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-11131216263623n n n n n n n n n nn n ，而级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛121n n 和∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131n n 均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛.(6)∑∑∞==+1011001212n n n n ; 解：因为级数∑∞=10121n n收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛. (7)∑∞=+1)2131(n n n 解：因为级数∑∞=131n n 为发散调和级数，而级数∑∞=121n n 为收敛的几何级数，收敛级数和发散级数之和发散.2.若级数∑∞=1n nu收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的.(1)∑∞=--21)(n n nu u;解：因为级数∑∞=1n nu收敛，所以级数∑∞=2n nu和∑∞=-21n n u也收敛，因此原级数也收敛.(2)∑∞=+1n kn u( k 为某一确定的自然数)解：因为级数∑∞=1n nu收敛，而级数∑∞=+1n kn u相当于级数∑∞=1n nu去除前k 项后的新级数也收敛.(3)∑∞=11n nu 解：因为级数∑∞=1n n u 收敛，所以0lim =∞→n n u ，故∞=∞→nn u 1lim ，即级数∑∞=11n n u 发散.练 习 10.31.用比较判别法判别下列级数的敛散性：(1)121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；解：因为通项nnnn n n n n u ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21212，而级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛121n n为收敛的几何级数，根据比较判别法，级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+112n nn n 收敛.(2)21121n n∞=+∑；解：因为通项221121n n u n <+=，而级数∑∞=121n n为收敛的p -级数，根据比较判别法，级数21121n n∞=+∑收敛.(3)1n ∞=；解：因为通项21)2(1)2(12+=+>+=n n n n u n ，而级数∑∞=+121n n 相当于发散调和级数∑∞=31n n，根据比较判别法，级数1n ∞=发散.(4)11n na b∞=+∑ )0,0(>>b a ；解：因为通项)(11b a n b na u n +>+=，又调和级数∑∞=11n n 发散，因此级数∑∞=+1)(1n b a n 也发散，根据比较判别法，原级数∑∞=+11n bna 也发散. (5)311031n nn ∞=-∑； 解：令13103-=n n u n ，21n v n =，显然参照级数∑∞=021n n为收敛的p -级数，而2311310limlim n n nv u n nn n -=∞→∞→3101310lim 33=-=∞→n n n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数311031n nn ∞=-∑也收敛. (6)2111n n n ∞=++∑； 解：令112++=n n u n ，21n v n =，显然参照级数∑∞=021n n为收敛的p -级数，而111lim lim 22=++=∞→∞→nn n v u n nn n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数2111n n n ∞=++∑也收敛.(7)1n ∞=； 解：令1212-++=n n n u n ，2/31n v n =，显然参照级数∑∞=02/31n n为收敛的p -级数，而2/321121lim lim n n n n v u n nnn -++=∞→∞→1121lim 22/3=-++=∞→n n n n n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数1n ∞=也收敛.(8)n ∞=解：因为通项2/34411nn nn n u n =<+=，参照级数∑∞=02/31n n 为收敛的p -级数，根据比较判别法，原级数1n ∞=也收敛.2.用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性： (1)∑∞=+112tann n n π；解：因为1212t a n 2t a n 1(l i m l i m 121<=+=++∞→+∞→n n n nn n n n u uππ），根据比值判别法，原级数∑∞=+112tann n n π收敛.(2)∑∞=⋅123n nnn ； 解：因为12323lim lim >=⋅=∞→∞→nn n n nn n n u ，根据根值判别法，原级数∑∞=⋅123n n nn 发散. (3)11nn n∞=∑；解：因为101lim 1lim lim <===∞→∞→∞→n n u n n n n nn n ，根据根值判别法，原级数11n n n∞=∑收敛.(4)2113n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑； 解：因为13311lim 31limlim 2<=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→∞→e n n n u nn nn n n n n n ，根据根值判别法，原级数2113n n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.(5)211(1)n n n ∞=-∑； 解：因为1111lim 11lim lim 2<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→∞→en n u nn n n n n n n ，根据根值判别法，原级数211(1)n n n ∞=-∑收敛. (6)[]11ln(1)nn n ∞=+∑.解：因为()10)1ln(1lim )1ln(1lim lim <=+=+=∞→∞→∞→n n u n nn n n n n ，根据根值判别法，原级数[]11ln(1)nn n ∞=+∑收敛.3. 判别下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：(1)1(1)21nn n ∞=--∑；解：该级数为交错级数，令121-=n u n ，由于11)1(21121+=-+>-=n n u n n u ，且0121lim lim =-=∞→∞→n u n n n ，根据交错级数收敛判别法，该级数收敛.又由于∑∞=0n n u 是发散的调和级数，因此原级数1(1)21n n n ∞=--∑条件收敛.(2)11(1)(1)n nnn n n -∞=-+∑； 解：由于01111lim 1lim )1(lim lim ≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→∞→∞→e n n n n n u nn n n n n n n n ，不满足级数收敛的必要条件，因此原级数11(1)(1)n nnn n n -∞=-+∑发散. (3)11(1)2n n n n ∞+=-∑；解：该级数为交错级数，其对应的正项级数∑∞=12n nn收敛，因此该级数绝对收敛.(4)11cos 4nn n ππ∞=∑； 解：令4cos 1ππn u n n =，由于n n n n u πππ14cos 1≤=，而级数∑∞=01n n π是收敛的p -级数，根据比较判别法级数∑∞=0n n u 收敛，因此原级数11cos4nn n ππ∞=∑绝对收敛. (5)11(1)n pn n -∞=-∑. 解：该级数为交错级数，令p n nu 1=，根据p -级数的收敛性质，我们知道，1>p 时，∑∞=01n pn收敛，因此原级数11(1)n pn n -∞=-∑绝对收敛；10≤<p 时，∑∞=01n pn发散，n p p n u n n u =<+=+1)1(11，且0lim =→∞n n u ，根据莱布尼茨判别法，原级数11(1)n p n n -∞=-∑收敛，且为条件收敛；0≤p 时，p n nu 1=单调递增，0lim ≠∞→n n u ，不满足级数收敛的必要条件，原级数11(1)n pn n -∞=-∑发散.练 习 10.41.求下列幂级数的收敛域： (1)11ln(1);1n n n x n ∞+=++∑ 解：令1)1ln(++=n n a n ，1)1ln(12)2ln(lim lim 1=++++=→∞+→∞n n n n a a n nn n ，收敛半径1=R ，收敛区间为)1,1(-，当1=x 时，级数∑∞=++11)1ln(n n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n 收敛，所以原级数的收敛域为)1,1[-.(2)1(2);!nn x n ∞=∑解：令!2n a n n =，012lim 2!)!1(2lim lim 11=+=⋅+=→∞+→∞+→∞n n n a a n n n n nn n ，所以收敛半径为+∞=R ，原级数的收敛域为),(+∞-∞.(3)1();nn nx ∞=∑解：令nn n a =，+∞=++=+=→∞+→∞+→∞)1()1(lim )1(lim lim 11n n n n n a a n nn n n n nn n ，所以收敛半径为0=R ，原级数只在0=x 处收敛.(4)21;n n n x ∞=∑解：令n n n n a 2)1(-+=，2x t =，原关于2x 的幂级数化为关于t 的幂级数∑∞=-+12)1(n n n t n n ，n n n nn n n n n n a a 2)1(2)12(lim lim 11-++-+=+→∞+→∞ 21212lim =+++++⋅=→∞n n nn n ，∑∞=-+12)1(n nn t n n 收敛半径211=R ，∑∞=-+122)1(n nn x n n 的收敛半径为222=R ，当22±=x 时，级数∑∑∞=∞=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+112)1(222)1(n n nnn n n n 发散，因此，原幂级数的收敛域为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22. (5) nn n x n)1(21-∑∞=解：设1-=x y ，na nn 2=，原关于1-x 的幂级数转化为关于y 的幂级数.22lim lim ==→∞→∞n n n n n n n a ,幂级数n n n y n∑∞=12的收敛半径为21=R ，收敛区间为⎪⎭⎫⎝⎛-21,21因此幂级数n n n x n)1(21-∑∞=的收敛半径也为21=R ，收敛区间为⎪⎭⎫⎝⎛23,21，当21=x 时，级数∑∑∞=∞=-=-111)1()21(2n n n n n n n 收敛，当23=x 时，级数∑∑∞=∞==111)21(2n n n n n n 发散，因此，幂级数n n n x n)1(21-∑∞=的收敛域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,21.2.利用例10-33的结果，求级数12(1)!n n n +∞=+∑的和.解：根据例10-33，0,(,).!nx n x e x n ∞==∈-∞+∞∑∑∞=++01)!1(2n n n ∑∞==1!2n n n 1!20-=∑∞=n nn 12-=e . 3.求幂级数21021n n x n +∞=+∑的和函数，并求级数21011212n n n ∞+=+∑的和. 解：设∑∞=++=01212)(n n n x x S ，两边同时对x 求导，得'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='∑∞=+01212)(n n n x x S ∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=01212n n n x ∑∞==02n nx 211x -=，11<<-x 两边同时在],0[x 上积分，得='⎰xdx x S 0)(⎰-xdx x 0211xx S x S -+=-11ln 21)0()(，由0)0(=S ，得 xx x S -+=11ln 21)(，11<<-x ，即 21021n n x n +∞=+∑x x -+=11ln 21，11<<-x3ln 2121211ln21)21(2112121121120120=-+==⎪⎭⎫⎝⎛+=++∞=+∞=∑∑S n n n n n n . 练 习 10.51. 写出下列函数的n 阶麦克劳林公式：(1))1ln()(x x f += 解：x x f +='11)(，2)1(1)(x x f +-=''，kk k x k x f )1()!1()1()(,1)(+--=- ， ,3,2=k ， 0)0(=f ，1)0(='f ，)!1()1()0(1)(--=-k f k k ， ,3,2=k)(!)0()1ln()(0)(x R x k f x x f n knk k +=+=∑= 1111)1)(1()1(1)1(++=-++-+-=∑n n n k nk k x n x k ξ，ξ在0到x 之间，]1,1(-∈x (2).)1()(αx x f +=解：1≠α时，1-)1()(ααx x f +='，2-)1(1-)(αααx x f +=''）（，1)0(=f ，k k x k x f -++--=αααα)1)(1(1)()( ）（)1(1)0()(+--=k f k ααα ）（， )(!)0()1()(0)(x R x k f x x f n knk k +=+=∑=α)(!)1()1(!2)1(12x R x n n x x n n ++--++-++=αααααα其中11!)1)(()1()(+--+--=n n n x n x n x R αθααα ，10<<θ.2.将下列函数展开成x 的幂级数，并求收敛域： (1)22)(x e x x f =；解：由于 +++++=!!212n x x x e nx,+∞<<∞-x所以 +++++=!2!2221222n x x x e n nx ,+∞<<∞-x)!2!2221()(22222 +++++==n x x x x e x x f n nx+++++=+!2!22222432n x x x x n n∑∞=+=02!2n n n n x ,+∞<<∞-x (2)2cos)(2x x f =； 解: 2cos 12cos )(2x x x f +==x cos 2121+= 由于∑∞=-=02)!2()1(cos n nn n x x ,+∞<<∞-x∑=-+=+=n n nn n x x x f 02)!2()1(2121cos 2121)(,+∞<<∞-x (3))1ln()(2x x x f ++=.解: 212222111122111)(-+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++='（x xx x x x x f 根据++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)12ααααααα（,11<<-x ,可知2121)(）（x x f +=' +-----++--+-=n x n n x x 242!)212()25)(23)(21(!2)23)(21(211+-⋅⋅⋅⋅-++⋅+-=n n n x n n x x 2422!2)12(5311!2231211）（ +-⋅⋅⋅⋅-+=∑∞=12!2)12(53111n nn nx n n ）（，11<<-x两边在],0[x 上积分∑∞=++-⋅⋅⋅⋅-+=-112)12(!2)12(5311)0()(n n nnx n n n x f x f ）（，11≤≤-x由于0)0(=f ，所以∑∞=++--+=++=1122)12(!)!2(!)!12(1)1ln()(n n nx n n n x x x x f ）（，11≤≤-x 3.将函数x x f ln )(=展开成1-x 的幂级数. 解：对)(x f 求导，得 x x f 1)(=')1(11-+=x 由于∑∞=-=+-++-+-=+032)1()1(111n n n nn x x x x x x ，11<<-x所以∑∞=--=-+='0)1()1()1(11)(n n n x x x f ，111<-<-x上式两边在区间],1[x 上积分，得∑∞=++--=-011)1()1()1()(n n nn x f x f ，111≤-<-x 由于0)1(=f ，因此∑∞=---==11)1()1(ln )(n nn nx x x f ，210≤-<x . 4.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： (1)e （精确到0.001）解：根据)(!0x R k x e n nk kx+=∑=，1)!1()(++=n n x n e x R ξ，ξ在0到x 之间21=x 时，只要 311021)!1()21(-+<⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n e R ξ，即只要 3111021)!1(221)!1()21(-++<⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n e R ξ当4=n 时，3414102!5121)!14(2-+<⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+，所以只要去展开式的前5项就可得到满足精度的近似值：648.121234121231212121121!14324021≈⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑=k k k e(2)5250（精确到0.001）解：515555243713737243250⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+= 根据)(!)1()1(!2)1(1)12x R x n n x x x n n++--++-++=+ααααααα （,11<<-x 取51=α，2437=x ，001.051!)51()251)(151(5151!)51)(()1()51(111<⎪⎭⎫ ⎝⎛---<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=++--n n n n n n n n R αθααα当3=n ，003.000022.051!)51()251)(151(51)51(1<≈⎪⎭⎫ ⎝⎛---<+n n n n R0057.12437!3)251)(151(512437!2)151(512437511)243713251≈⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+（ 017.30057.13243713250515=⨯≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(3)3ln （精确到0.0001） 解：)31ln(1)31(ln ))3(ln(3ln eee e e e e -++=-+=-+= 根据1111)1)(1()1(1)1()1ln(++=-++-+-=+∑n n n k nk k x n x k x ξ，ξ在0到x 之间，]1,1(-∈x 取eex -=3，1113)1(1)1)(1()1(+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤++-n n n n e e n x n ξ，当3=n 时，0001.00000288.03)1(1)1)(1()1(111<≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤++-+++n n n n e e n x n ξ，取展开式的前3项即可得到近似值：0986.133********)1(1)31ln(13ln 32311≈⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-++=∑=-e e e e e e e e k e e k k k (4)。
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第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
高数各章综合测试题与答案
第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然（ ） (A) 绝对收敛； (B ） 条件收敛; (C) 发散； （D ） 收敛性不定。
2、下列级数条件收敛的是（ ）.（A ） 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 11n n -∞= （C ）111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D) 11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑（ )(A) 1;S a + （B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ）.(A ） 绝对收敛； （B) 条件收敛； (C ） 发散; （D ） 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑,其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1()2S -等于（ ） （A) 1;2- （B ） 1;4- （C) 1;4 （D) 12。
二、填空题1、 设14n n u ∞==∑,则111()22n nn u ∞=-=∑（ ) 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为( ）3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于（ ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为（ ）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数,且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211n n n a a n∞+=+∑ （2） 试证:对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。
浙江理工大学无穷级数测验(含答案)
无穷级数自测题一、选择题（每题5分）1、当n 充分大时，有 ，则由∑∞=1n nb发散，可确定∑∞=1n na发散。
（ ）（A ）n n b a ≥ （B ）n n b a ≥|| （C ）||n n b a ≥ （D ）||||n n b a ≥2、幂级数nn nn n n x ba b a ∑∞=+-0，()b a <<0的收敛半径为 （ ） （A ）b （B ）a 1 （C ）b1（D ）半径与b a ,无关 3、设a 为正实数，若级数∑∞=1!n n n n n a 收敛，级数∑∞=--+222n an n n 发散，则 （ ） （A ）e a > （B ）e a = （C ）e a <<21 （D ）210≤<a4、设()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=πππx x x x f 21201的正弦级数∑∞=1sin n nnx b 和函数为()x s ，则=⎪⎭⎫⎝⎛π25s （ ） （A ）1 （B ）12-π （C ）4π（D ）0 5、幂级数()()() -⋅-+⋅--⋅-+--5314313312311443322x x x x 在其收敛区间的两个端点处（ ）（A ）全发散 （B ）全收敛 （C ）左端点收敛，右端点发散（D ）左端点发散，右端点收敛二、填空题（每题5分） 1、()∑∞=-111n p nn，当 时绝对收敛，当 时条件收敛。
2、若幂级数∑∞=0n n nx a在3-=x 处条件收敛，则其收敛半径为 。
3、幂级数()∑∞=⋅-122n nnn x 的收敛域为 。
4、()=-∑∞=11.0n nn。
5、把()11+=x x f 展开为()1-x 的幂级数，其收敛区间为 。
三、讨论级数()∑∞=-11n nn na ，()0>a 的敛散性。
（10分）四、求级数∑∞=1ln 2n nn x n的收敛域。
（10分）五、将函数()()221x x f -=展开成x 的幂级数。
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第十二章 无穷级数单元测试题答案一、判断题1、对；2、对；3、错；4、对；5、对；6、对；7、对；8、错；9、错；10、错 二、选择题1、A2、A3、D4、C5、D6、C7、C8、B 三、填空题1、2ln2、收敛 3、5 4、π33--，ππ1248+-，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±=--±±==,...3,1,21,...4,2,0,21)(k k k S ππ 四、计算题1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞=--1131arcsin)1(n n n解：这是一个交错级数，1arcsin31arcsin13lim13n n u n n n→∞==，所以n u 发散。
又由莱布尼茨判别法得 111arcsinarcsin 33(1)n n u u n n +=>=+ 并且1lim lim arcsin 03n n n u n→∞→∞==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。
（2）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+11n nn n解：lim lim()[lim()]1011n nn n n n n n u n n→∞→∞→∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。
(3))0,(,31211>++++++b a ba b a b a 解：另设级数1()n v n a b =+ 1111111(1)()23n n n v n a b a b n∞∞====+++++++∑∑上式为1a b+与一个调和级数相乘，故发散 又11()n n u v na b n a b =>=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。
(4) ++++++nn 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1） ++++753753x x x x解：设357()357x x x f x x =++++（补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得24621()11f x x x x x '=++++=- （这是公比21q x =<的几何级数）积分，得201()()1xxf x f x dx dx x '==-⎰⎰=0111()211x dx x x+-+⎰=11ln21xx +- 即 ++++753753x x x x =11ln 21xx+-（2）+⋅+⋅+⋅433221432x x x 解：设234()122334x x x f x =+++⋅⋅⋅（补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得23()123n x x x x f x n '=+++++ 再逐项求导，得21()1n f x x x x -''=++++积分一次，得001()()ln(1)1xxf x f x dx dx x x'''===---⎰⎰ 再积分一次，得00()()ln(1)(1)xxf x f x dx x d x '==---⎰⎰= 0(1)ln(1)(1)ln(1)xx x x d x -----⎰ = 0(1)ln(1)(1)xx x d x ----⎰ = (1)ln(1)x x x --+即+⋅+⋅+⋅433221432x x x =(1)ln(1)x x x --+ （3） +++13951392x x x 解：设5913()5913x x x f x =+++（补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得448124()1x f x x x x x '=+++=- （这是公比41q x =<的几何级数）积分，得401()()(1)1xxf x f x dx dx x '==---⎰⎰ = 220111()211x x dx x x -++-+⎰= 111ln arctan 412x x x x ++--即59135913x x x +++=111lnarctan 412x x x x ++-- 3、将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径 （1）⎰+xt dt41 解：411t +是级数481441(1)n n t t t ---+-+-+之和 所以481444001(1(1))1x x n n dt t t t dt t--=-+-+-++⎰⎰ =1591343111(1)591343n n x x x x x n ----+-+++-收敛半径141limlim 143n n n n a n R a n →∞→∞++===- （2）)1ln(2x x ++ 解：[ln(x'=+=所以1220ln((1)xxx x dx -==+⎰⎰=2222011111(1)(1)(1)122222[1()()]22!!x n n x x x dx n --------+-++++⎰=357212131352(2)!(1)()232452467(!)(21)2nn x x x n x x n n +⋅⋅⋅-+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+收敛半径为1R =（3）x arcsin 解：1220arcsin (1)xxx x dx -==-⎰⎰=242011111(1)(1)(1)122222[1()]22!!x n n x x x dx n --------+++++-+⎰=357212131352(2)!()232452467(!)(21)2n x x x n x x n n +⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+收敛半径为1R = （arcsin ,1y x x =≤） （4） x e x -3 解：因为 21112!!x n e x x x n =+++++， 所以2111()()()2!!x n e x x x n -=+-+-++-+=2111()2!!n x x x n -+++-+因此3()x f x x e -==3211(1())2!!n x x x x n -+++-+=345311()2!!n x x x x n +-+++-+=3(1)!n n n x n ∞+=-∑ (,)x ∈-∞+∞4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数. 解：（1）先求正弦级数，，将()f x 奇周期延拓 0n a =，只有n b ， 02()sin n b f x nxdx ππ=⎰=2()sin x nxdx πππ-⎰=22sin sin nxdx x nxdx πππππ-⎰⎰=0022cos (cos )nx xd nx n n πππ-+⎰ =0022(cos 1)[cos cos ]nx x nx nxdx n n πππ--+-⎰=222[(1)1](1)n n n n n---+-=所以()f x 展开成正弦级数为 111()sin 2sin n n n f x b nx nx n∞∞====∑∑在端点0x =时，级数之和不能代表原函数，x π=时，级数之和能够代表原函数，所以(0,]x π∈（2）再求余弦函数，将()f x 偶周期延拓 0n b =，只有0a ，n a2000221()[]2a x dx x x ππππππ=-=-⎰=π2()cos n a f x nxdx ππ=⎰=02()cos x nxdx πππ-⎰=22cos cos nxdx x nxdx πππππ-⎰⎰=00221sin (sin )nx xd nx n n πππ-⎰=22(cos 1)n n ππ--=22[1(1)]n n π--=20,24,21(21)n mn m m π=⎧⎪⎨=-⎪-⎩所以()f x 展开成余弦级数为01()cos 2n n a f x a nx ∞==+=∑2141cos(21)2(21)n m x m ππ∞=+--∑，[0,]x π∈。