无穷级数单元测试题答案
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第十二章 无穷级数单元测试题答案
一、判断题
1、对;
2、对;
3、错;
4、对;
5、对;
6、对;
7、对;
8、错;
9、错;10、错 二、选择题
1、A
2、A
3、D
4、C
5、D
6、C
7、C
8、B 三、填空题
1、2ln
2、
收敛 3、5 4、π33--,ππ1248+-,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±=--±±==,...
3,1,2
1,...4,2,0,2
1
)(k k k S ππ 四、计算题
1、判断下列级数的收敛性 (1)∑∞
=--1131
arcsin
)1(n n n
解:这是一个交错级数,
1arcsin
31arcsin
13lim
13n n u n n n
→∞==,所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin
arcsin 33(1)
n n u u n n +=>=+ 并且1
lim lim arcsin 03n n n u n
→∞→∞
==,满足交错级数收敛条件, 故该交错级数条件收敛。
(2)∑∞
=⎪⎭⎫
⎝
⎛+11n n
n n
解:lim lim()[lim()]1011n n
n n n n n n u n n
→∞→∞
→∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件,故级数发散。 (3)
)0,(,31
211>++++++b a b
a b a b a 解:另设级数1
()
n v n a b =+ 111111
1(1)()
23n n n v n a b a b n
∞
∞
====+++++++∑∑
上式为1
a b
+与一个调和级数相乘,故发散 又11
()
n n u v na b n a b =
>=++, 由比较审敛法可知,原级数发散。
(4) ++++++
n
n 134232 解:lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件,故该级数发散
2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法,求下列级数在收敛区间上的和函数
(1) ++++7
537
53x x x x
解:设357
()357
x x x f x x =++++
(补充条件1x <,或求出R )
逐项求导,得2462
1
()11f x x x x x '=++++=- (这是公比21q x =<的几何级数)
积分,得2
01
()()1x
x
f x f x dx dx x '==-⎰⎰
=0111()211x dx x x
+-+⎰=11ln
21x
x +- 即 ++++753753x x x x =11ln 21x
x
+-
(2)
+⋅+⋅+⋅4
332214
32x x x 解:设234
()122334
x x x f x =
+++⋅⋅⋅(补充条件1x <,或求出R )
逐项求导,得23
()123
n x x x x f x n '=+++
++ 再逐项求导,得21
()1n f x x x x -''=++++
积分一次,得00
1
()()ln(1)1x
x
f x f x dx dx x x
'''===---⎰⎰ 再积分一次,得00()()ln(1)(1)x
x
f x f x dx x d x '==---⎰⎰
= 0(1)ln(1)(1)ln(1)x
x x x d x -----⎰ = 0(1)ln(1)(1)x
x x d x ----⎰ = (1)ln(1)x x x --+
即
+⋅+⋅+⋅4332214
32x x x =(1)ln(1)x x x --+ (3) ++
+139513
92x x x 解:设5913
()5913
x x x f x =+++
(补充条件1x <,或求出R )
逐项求导,得44
8
12
4
()1x f x x x x x '=+++=- (这是公比41q x =<的几何级数)
积分,得4
01
()()(1)1x
x
f x f x dx dx x '==--
-⎰⎰ = 22
0111()211x x dx x x -++-+⎰= 111
ln arctan 412
x x x x ++--
即5913
5913
x x x +++
=111
ln
arctan 412
x x x x ++-- 3、将下列函数展开为x 的幂级数,并指出其收敛半径 (1)⎰+x
t dt
41 解:4
11t +是级数48144
1(1)n n t t t ---+-+-+之和 所以48144
4001(1(1))1x x n n dt t t t dt t
--=-+-+-++⎰⎰ =1591343
111
(1)591343
n n x x x x x n ----+-+
++-
收敛半径141
lim
lim 143
n n n n a n R a n →∞
→∞++==
=- (2
))1
ln(2x x +
+ 解:[ln(
x
'=
+
=
所以1
2
20
ln((1)x
x
x x dx -==+⎰⎰
=2
222011111
(1)(1)(1)12222
2[1()()]22!
!
x n n x x x dx n --------+-++
++
⎰
=357212
131352(2)!(1)()23245246
7
(!)(21)2
n
n x x x n x x n n +⋅⋅⋅-
+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
收敛半径为1R =
(3)x arcsin 解:1
2
20
arcsin (1)x
x
x x dx -
==-⎰⎰
=2
4201111
1
(1)(1)(1)12222
2[1()]22!
!
x n n x x x dx n --------++++
+-+
⎰