无穷级数单元测试题答案

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第十二章 无穷级数单元测试题答案

一、判断题

1、对;

2、对;

3、错;

4、对;

5、对;

6、对;

7、对;

8、错;

9、错;10、错 二、选择题

1、A

2、A

3、D

4、C

5、D

6、C

7、C

8、B 三、填空题

1、2ln

2、

收敛 3、5 4、π33--,ππ1248+-,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±=--±±==,...

3,1,2

1,...4,2,0,2

1

)(k k k S ππ 四、计算题

1、判断下列级数的收敛性 (1)∑∞

=--1131

arcsin

)1(n n n

解:这是一个交错级数,

1arcsin

31arcsin

13lim

13n n u n n n

→∞==,所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin

arcsin 33(1)

n n u u n n +=>=+ 并且1

lim lim arcsin 03n n n u n

→∞→∞

==,满足交错级数收敛条件, 故该交错级数条件收敛。

(2)∑∞

=⎪⎭⎫

⎛+11n n

n n

解:lim lim()[lim()]1011n n

n n n n n n u n n

→∞→∞

→∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件,故级数发散。 (3)

)0,(,31

211>++++++b a b

a b a b a 解:另设级数1

()

n v n a b =+ 111111

1(1)()

23n n n v n a b a b n

====+++++++∑∑

上式为1

a b

+与一个调和级数相乘,故发散 又11

()

n n u v na b n a b =

>=++, 由比较审敛法可知,原级数发散。

(4) ++++++

n

n 134232 解:lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件,故该级数发散

2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法,求下列级数在收敛区间上的和函数

(1) ++++7

537

53x x x x

解:设357

()357

x x x f x x =++++

(补充条件1x <,或求出R )

逐项求导,得2462

1

()11f x x x x x '=++++=- (这是公比21q x =<的几何级数)

积分,得2

01

()()1x

x

f x f x dx dx x '==-⎰⎰

=0111()211x dx x x

+-+⎰=11ln

21x

x +- 即 ++++753753x x x x =11ln 21x

x

+-

(2)

+⋅+⋅+⋅4

332214

32x x x 解:设234

()122334

x x x f x =

+++⋅⋅⋅(补充条件1x <,或求出R )

逐项求导,得23

()123

n x x x x f x n '=+++

++ 再逐项求导,得21

()1n f x x x x -''=++++

积分一次,得00

1

()()ln(1)1x

x

f x f x dx dx x x

'''===---⎰⎰ 再积分一次,得00()()ln(1)(1)x

x

f x f x dx x d x '==---⎰⎰

= 0(1)ln(1)(1)ln(1)x

x x x d x -----⎰ = 0(1)ln(1)(1)x

x x d x ----⎰ = (1)ln(1)x x x --+

+⋅+⋅+⋅4332214

32x x x =(1)ln(1)x x x --+ (3) ++

+139513

92x x x 解:设5913

()5913

x x x f x =+++

(补充条件1x <,或求出R )

逐项求导,得44

8

12

4

()1x f x x x x x '=+++=- (这是公比41q x =<的几何级数)

积分,得4

01

()()(1)1x

x

f x f x dx dx x '==--

-⎰⎰ = 22

0111()211x x dx x x -++-+⎰= 111

ln arctan 412

x x x x ++--

即5913

5913

x x x +++

=111

ln

arctan 412

x x x x ++-- 3、将下列函数展开为x 的幂级数,并指出其收敛半径 (1)⎰+x

t dt

41 解:4

11t +是级数48144

1(1)n n t t t ---+-+-+之和 所以48144

4001(1(1))1x x n n dt t t t dt t

--=-+-+-++⎰⎰ =1591343

111

(1)591343

n n x x x x x n ----+-+

++-

收敛半径141

lim

lim 143

n n n n a n R a n →∞

→∞++==

=- (2

))1

ln(2x x +

+ 解:[ln(

x

'=

+

=

所以1

2

20

ln((1)x

x

x x dx -==+⎰⎰

=2

222011111

(1)(1)(1)12222

2[1()()]22!

!

x n n x x x dx n --------+-++

++

=357212

131352(2)!(1)()23245246

7

(!)(21)2

n

n x x x n x x n n +⋅⋅⋅-

+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+

收敛半径为1R =

(3)x arcsin 解:1

2

20

arcsin (1)x

x

x x dx -

==-⎰⎰

=2

4201111

1

(1)(1)(1)12222

2[1()]22!

!

x n n x x x dx n --------++++

+-+

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