1矩阵分析
矩阵分析1-5,8)
t1a11 ... t r a1r ta1 j 0 即有 ...... t a ... t a ta 0 r mr mj 1 m1 由于该方程组系数矩阵的秩r 未知量个数r 1, 必有非0解，从而 / A(1 ),
故向量组 / A( 1 ),
Ｒ(/ A) span(/ A( 1 ), span(/ A( r 1 ),
又设 kr 1 / A( r 1 ) ...... kn / A( n ) 0 即 令 /A （k r 1 r 1 ... kn n） 0 kr 1 r 1 ... kn n k1 1 ... k r r
, / A( r ), / A( j )线性相关,
, / A( n )的秩等于r
设 / A是线性空间V1到V2的线性映射，令 N （ / A） / A（0） { V1 , / A( ) 0}
-1
易证 N （ / A）是V1的线性子空间。
定义1.5.2： 称 N (/ A)为线性映射 / A的核空间， 称 dim N (/ A)为 / A的零度。 可以证明，一般的线性映射不保持向量组 的无关性，但当N (/ A) {0}时，则线性映射保持 向量组的无关性。
定理1.5.2
设 / A是线性空间V1到V2的
线性映射，则 dim N (/ A) dim R(/ A) n 其中 dim V1 n.
证：设 1， 2 , 一组基 1， , r , 那么
, r 是N (/ A)的基，将其扩充为V1的 ,n ;
, / A( r ), , / A( n )) , / A( n ))
&1.5 线性映射的值域、核
设 : / A是线性空间V1到V2的线性映射， 令 / A(Ｖ ＝｛/ A( ) ／ Ｖ｝． １) １ 则 易证 / A （Ｖ）是Ｖ 的线性子空间。 １ ２ 定义１ .5.1 称 / A （Ｖ）是线性映射 １ / A的值域，记为Ｒ(/ A)；称 dimＲ(/ A) 为 / A的秩，记为rank (/ A).
矩阵分析引论第(1)章
第一章 线性空间与线性变换
定理 3 设 e1 , e2 , , en是数域 P 上 n 线性空间 V 的一组基， 在这组基下按照式 (3)建立的线性变换同矩阵 的对应 关系，则有： 1）线性变换的乘积对应 于矩阵的乘积； 2）可逆线性变换对应的 矩阵也可逆，且逆变换 对应 于逆矩阵。 定理 4 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间， e1 , e2 , , en 及 e1 , e2 , , en 是 V 的两组基，从前一组基 到后一组基的 过渡矩阵是 C 。又设 T 是 V 的一个线性变换，它在 前后 两组基下的矩阵分别是 A 与 B ，则有 B C 1 AC
第一章
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
线性空间与线性变换
线性空间的概念 基变换与坐标变换 子空间与维数定理 线性空间的同构 线性变换的概念 线性变换的矩阵表示 不变子空间
第一章 线性空间与线性变换
回顾几个预备概念
集合 数集
Q
有理数集
Q
复数集合中的任意非空子集合 P 含有 非零的数，且其中任意两数的和、差、 积、商仍属于该集合 P ，则称数集P 为一个数域。（注意0和1） 实数域 R 复数域 C
运算性质
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
逆变换
象子空间 秩 维数关系
TS ST I
T V Tv / v V T V 的维数 dim T V dim T 1 V n
核（ke rnel） K v V / Tv
5 线性变换的概念
称为线性变换 T 在基 e1 , e2 en下的矩阵 . 定理 2 数域 P 上 n 维线性空间 V 的所有线性变换构成的 线性空间 L (V )，在取定 V 的一组基之下，它与数 域 P 上 的一切 n n 矩阵所构成的线性空间 P nn是同构的。 推论 dim L(V) dim P nn n 2
矩阵分析课件(1-1,4)
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后知识题目解析
第1章 线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故 12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二 将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP 计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ. 方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T-.方法二 不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T-，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span ααα的基底就是12,,,nααα的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n ααα.1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββ就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基,解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==,则11,,,,,k l ααββ的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξA AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA 可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξA AA②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===，于是21,(),(),,()k -ξξξξA AA线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξAAA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]0000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξA A A AA A A A AAA AA 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξA AA 下矩阵表示为n 阶矩阵0000100001000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξA AA是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==设11,,,,,,r r s ξξξξξ是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s ααααα是的极大无关组.1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证.1-18证:对k 用数学归纳法证。
史荣昌魏丰版矩阵分析第一章(1)
矩阵分析主讲教师：张艳霞矩阵理论的应用微分方程、概率与统计、优化、信号处理、控制工程、经济理论等等。
工程经济理论等等如需更深入地学习和了解在自己专业的应用，可如需更深入地学习和了解在自己专业的应用可参考：《矩阵分析与应用》，张贤达著，清华大学出版社；《Matrix Analysis for Scientists & Engineers》:Alan J. Laub，SIAM.第章第一章线性空间和线性变换线性空间的基本概念及其性质线性空间的基底，维数, 坐标变换线性空间的基底维数线性空间的子空间，交与和线性映射及其值域、核线性变换及其矩阵表示矩阵（线性变换）的特征值与特征向量矩阵的可对角化条件第一节第节线性空间一：线性空间的定义与例子线性间的义定义设是一个非空的集合，是一个数域，V F 在集合中定义两种代数运算,一种是加法运算,来表示另种是运算用来表示V 用来表示; 另一种是数乘运算, 用来表示, +i并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律αββα+=+（2）加法结合律()()αβγαβγ++=++（3）零元素: 在中存在一个元素，使得对于V 0任意的都有V α∈0αα+=（4）负元素: 对于中的任意元素都存在一V α个元素使得β0αβ+=（5）i =1αα（6）()()k l kl αα=（7）()k l k l ααα+=+（8）()k k k αβαβ+=+为数域F 称这样的上的线性空间。
V例1全体实函数集合构成实数域上的线性空间。
R 例2复数域上的全体型矩阵构成的集C m n ×合为上的线性空间。
m n × C C 例3实数域上全体次数小于或等于的多项式R n 集合构成实数域上的线性空间;1[]n R x +R 实数域上全体次数等于的多项式集合不构成实数域上的线性空间;R n R二：线性空间的基本概念及其性质定义:线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩向量组的极大线性无关组向量组的秩R例1实数域上的函数空间中，函数组2x x1,cos,cos2是线性相关的函数组。
一 bcg矩阵分析
发展： 发展：继续大量投资，目的是扩大战略事业单位的市 场份额。主要针对有发展前途的问题业务和明星业务。 维持：投资维持现状，目标是保持业务单位现有的市 维持： 场份额，主要针对强大稳定的现有金牛业务。 收获： 收获：实质上是一种榨取，目标是在短期内尽可能地 得到最大限度的现金收入，主要针对处境不佳的现有 金牛业务及没有发展前途的问题业务和瘦狗业务。 放弃： 放弃：目标在于出售和清理某些业务，将资源转移到 更有利的领域。这种目标适用于无利可图的瘦狗和问 题业务。
五.综合案例分析 综合案例分析
BCG矩阵分析法 矩阵分析法
案例三
Y公司曾是一家生产系列电风扇的大企业,80年代末期， 该公司生产的系列电风扇所占市场份额名列前茅。公司 领导层决定扩大生产规模。扩建厂房、购进机械设备、 再装备三倍于现规模的电风扇生产流水线。由于当时电 风扇生产厂家剧增，特别是沿海一带乡镇企业生产的电 风扇大举进攻内地市场，电风扇市场迅速饱和，结果未 等到公司新生产流水线全部正式投产运作时，公司产品 囤积剧增，大量产品找不到销路。结果既没有及时地培 育明星业务，又导致一头好端端的“金牛”过早胀死。
五.综合案例分析 综合案例分析
BCG矩阵分析法 矩阵分析法
荣事达人并不满足于此，1994年3 月又与日本三洋电机 株式会社、三洋贸易株式会社、丰田通商株式会社、长 城贸易株式会社组建合资公司——合肥三洋洗衣机有限 公司，生产具有国际一流水准人工智能模糊控制全自动 洗衣机,在国内市场独占鳌头。1995年8月荣事达管理者 又从“金牛”身上取资与港台企业合资兴建“荣事达橡 塑制品有限公司”、“荣事达日用电器有限公司”等， 不断开发“问号”业务，培育“明星”业务，不仅实现 了公司资产保值增值，而且使组织机体始终处于良性循 环之中。1997年末荣事达集团产值、销售收入、利润分 别比上年增长31%、13%和18.8%,集团资产增长到26.2 亿元,比上年增长21.69%。
矩阵分析1
矩阵分析矩阵分析是数学中一门重要的分支，主要研究矩阵及其运算规律、性质和应用。
矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、工程学、信息科学、生物学等，成为现代科技和工程中不可或缺的一部分。
一、矩阵介绍矩阵是一种数学对象，由m行n列的元素数排列成一个矩形阵列。
一般用大写字母A、B、C等表示矩阵，而用小写字母a、b、c等表示元素。
如下所示：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)… … …am1 am2 … amn]其中，a11、a12、a21和a22等都是矩阵A的元素，其中第i行第j列的元素表示为aij，i表示行数，j表示列数。
二、矩阵的运算矩阵的运算包括加、减、乘和求逆，下面分别介绍。
1、加法令A、B是两个矩阵，则矩阵的加法定义为相加其对应的元素。
例如，如果A和B都是两行两列的矩阵，则A + B的结果为：A +B = [a11+b11 a12+b12a21+b21 a22+b22]2、减法矩阵的减法也是按照对应元素相减的规则。
例如，如果A和B都是两行两列的矩阵，则A - B的结果为：A -B = [a11-b11 a12-b12a21-b21 a22-b22]3、乘法矩阵乘法是指将一个矩阵的行乘以另外一个矩阵的列的结果所组成的矩阵。
例如，如果A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则它们的乘积C是m行p列的矩阵，C中第i行第j列的元素可以表示为：Cij = Σk=1,2,…n aikbkj其中，Σ表示求和符号，k表示矩阵A和B相乘的公共维度，即行数或列数。
4、求逆如果矩阵A是非奇异矩阵，即其行列式不为0，则可以求出其逆矩阵A-1，使得A×A-1=I，其中I为单位矩阵。
求逆矩阵的公式如下：A-1 = 1/|A| adj(A)其中，|A|表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
三、矩阵的性质矩阵有很多基本的性质，其中包括：1、矩阵的行和列数可以不相等；2、矩阵可以相加和相乘，但不可以相减和相除；3、矩阵加法和乘法有结合律、分配律和交换律；4、矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。
有限元基础教学-1杆系矩阵分析1
!-----------------------读入单元特性参数，本程序为轴向刚度 EA -------------READ (10,*) prop; etype=1 !-----------------------如果单元属性多余一类，读入单元属性类型向量 --------IF (np_types > 1) READ (10,*) etype !-----------------------读入单元长度 --------------------------------------READ (10,*) ell; nf=1 !-----------------------读入约束信息 --------------------------------------READ (10,*) nr,(k,nf(:,k),i=1,nr); CALL formnf(nf); neq=MAXVAL(nf) ALLOCATE (kdiag(neq),loads(0:neq)) !-----------------------对单元循环，寻找整体数组尺寸-----------------------kdiag=0 elements_1: DO iel=1,nels; num=(/iel,iel+1/) CALL num_to_g(num,nf,g); g_g(:,iel)=g; CALL fkdiag(kdiag,g) END DO elements_1 DO i=2,neq; kdiag(i)=kdiag(i)+kdiag(i-1); END DO ALLOCATE (kv(kdiag(neq)))
• • • •
矩阵位移法复习
• 位移法基本思想 • 局部坐标单元分析 • 坐标转换 • 定位集装 • 解方程与后处理
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案第1章 线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间.同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++=1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二 将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ.方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββI ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -. 方法二 不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T -，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span αααL 的基底就是12,,,n αααL 的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n αααL .1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββI 就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==L L ,则11,,,,,k l ααββL L 的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξL A AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξL A A A②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===L ，于是21,(),(),,()k -ξξξξL A AA 线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξL A AA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]00000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξL L L L L L L M M M M L LA A A AA A A A AAA A A 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξL A AA下矩阵表示为n 阶矩阵00001000010000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M M L L评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξL A A A是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==L L L L L 设11,,,,,,r r s ξξξξξL L L 是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s αααααL L L 是的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα 设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。
矩阵分析英文课件1
(Neutrality y of f one, , If f 1 denotes the multiplicat p ive identity of the field F ) 9. a (v w ) = a v a w (Distributivity with respect to vector addition) 10. (a b) v = a v b v (Distributivity with respect to field addition)
5
Basis
Any linearly independent set which spans a vector space V is called a basis for V . A vector t space V is i called ll d finite fi it dimensional di i l if it has h a basis. b i Basis are not unique.
Extension to a basis
If {v1 , v 2 , , vk } is i a linearly li l independent i d d set of f a finite fi i dimensional vector space V , there exist additional vectors vk 1 , vk 2 , , vn V such h that h {v 1 , v 2 , , v k , v k 1 , , v n } is a basis of V . The extension of a independent set to a basis is not unique.
矩阵分析_第一章 北京理工大学
（5）
1
（6）
（7）
k (l ) (kl ) (k l ) k l
（8）
k ( ) k k
V中的元素称 为向量
称这样的 V 为数域
F 上的线性空间。
R
例 1 全体实函数集合 R 构成实数域 线性空间。 按函数的加法和数乘函数
R上的
例 2 复数域 C上的全体 m n 型矩阵构成 的集合为 C上的线性空间。
A线性表示, 且表示式是唯一的.
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
A0 : 1 , 2 ,, r，满足 （1）向量组 A0 : 1 , 2 ,, r 线性无关； （2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有
r 1个向量的话）都线性相关， 那末称向量组A0是
定理：过渡矩阵
P 是可逆的。
提示ＰＸ＝０ 只有零解
任取
V
，设 在两组基下的坐标分别为
T
x1 , x2 ,, xn
与
y1 , y2 ,, yn ，那么我们有：
T
x1 x 2 (1 , 2 , , n ) xn y1 y1 y y 2 ( , , , ) P 2 ( 1 , 2 , , n ) 1 2 n yn yn
按矩阵的加法和数乘矩阵
ห้องสมุดไป่ตู้
例 3 实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项 式集合 R[ x ]n 构成实数域 R上的线性空间 例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的 定义下也构成线性空间：
a b : ab, a , b R k a : a , a , k R
2016矩阵分析-第1章多项式矩阵与矩阵多项式-1.4(讲)
A1 0 A 0 A 2 并设 A1 , A2 的最小多项式分别为 g1 ( x ), g2 ( x ).
则A的最小多项式为 g1 ( x ), g2 ( x )的最小公倍式.
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 A s 且 Ai 的最小多项式为 gi ( x ), i 1,2,..., s 则A的最小多项式是为 [ g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x )].
A 的最小多项式没有重根.
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
练习：
1 1 求矩阵 A 1 1 1 1 1 1 的最小多项式. 1
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
解： A的特征多项式
x 1 1 f ( x ) | E AE | 1
1.4 矩阵的零化问题
1 0 2 8 5 4 2 A 0 1 1 , 2 A 3 A A A 4E . 例1. 设 求 0 1 0
3 f ( ) E A 2 1 解：A的特征多项式
用 f ( )去除 2 8 3 5 4 2 4 g( ), 得
g( ) f ( )(2 5 4 3 5 2 9 14) (24 2 37 10)
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
f ( A) 0,
2 A8 3 A5 A4 A2 4 E 24 A2 37 A 10 E
3 48 26 0 95 61 0 61 34
2016级矩阵分析
史荣昌魏丰版矩阵分析第二章(1)
例1
求下列 λ 矩阵的Smith标准形。 标准形
0 0 (λ − 1)2 0 0
⎡ 0 ⎢ 0 ⎢ (1) ( ) ⎢ 0 ⎢ 2 ⎣λ − λ
3
3
2
⎡ 1− λ ⎢ A(λ ) = ⎢ λ ⎢1 + λ 2 ⎣
λ2 λ ⎤ ⎥ λ −λ ⎥ λ 2 −λ 2 ⎥ ⎦
⇒ D3 (λ ) = λ + λ
2
注意 ：观察 D1 (λ ), D2 (λ ), D3 (λ ) 三者之间的关系。 定理： 等价 λ 矩阵有相同的各阶行列式因子，从而 有相同的秩 有相同的秩。
0 ⎤ −λ ⎥ ⎥ −λ 2 ⎥ ⎦
0 ⎡1 ⎢0 −λ ⎢ 2 ⎢ 0 − λ ⎣
⎤ ⎥ 3 2 −λ − λ + λ ⎥ −λ 4 − λ 3 − λ ⎥ ⎦ 0
⎤ ⎥ ⎥ λ (λ + 1)⎥ ⎦ 0 0
0 ⎤ −λ 3 − λ 2 + λ ⎥ ⎥ −λ 2 − λ ⎥ ⎦
⎡1 0 ⎢0 λ ⎢ ⎢ ⎣0 0
i列 i
行 j 行
定理 对一个 m × n 的 λ -矩阵 A( λ ) 的行作初等行变 换，相当于用相应的 m 阶初等矩阵左乘 A(λ ) 。对 A( λ ) 的列作初等列变换，相当于用相应的 n 阶初 等矩阵右乘 A(λ ) 。
P ( i , j )−1 = P ( i , j ), P ( i ( c ))−1 = P ( i ( c −1 )),
⎡ λ2 + λ − 4 λ−2 λ −1 ⎤ ⎢ 2 ⎥ 2 ⎢ 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 ⎥ ⎢ 4λ 2 + 3λ − 5 3λ − 2 λ 2 + 3λ − 4 ⎥ ⎣ ⎦
矩阵分析(1)
f ( ) 0 AX 0 X
由此可得定理：
0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值 是 f 的属于0 的特征向量 X是 A 的 属于0 的特征向量
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它们 就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A的 属于0 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐 标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征向量。
例 1 设 V 是数域 K上的3维线性空间，f 是 V 上 的一个线性变换，f 在V 的一个基 1,2 ,3 下的
矩阵是
2 2 2
A 2
1
4
2 4 1
求 f 的全部特征值与特征向量。
解： A 的特征多项式为
2 2 2 I A 2 1 4
y2
a21
a22
...
a2
n
x2
... ... ... ... ... ...
ym
am1
am2
...
amn
xn
线性映射与矩阵之间的一一对应关系
线性映射 f 在给定基下的矩阵表示 A 是唯一的，
反之，给定一个 m n 矩阵A (aij )mn ，那么存
下的坐标。
（3）求向量 , A( ) 在基 1, 2 , 3下的坐标。
对于有限维的线性空间 V ，线性变换 A 在不同 基下的矩阵表示有什么关系？对于线性空间 V 已 知两组基 {1,2 ,L ,n},{1, 2,L , n}，而且
[1, 2,L , n ] [1,2,L ,n ]P
矩阵分析第一章
∀α∈V, k∈F, η = kα∈V
满足下面 加法运算法则 运算法则： 法则： 满足下面四 下面四条加法运算 （1）交换律：α
+ β = β + α , ∀α , β ∈ V （2）结合律：(α + β ) + γ = α + ( β + γ ), ∀α , β , γ ∈ V
（3）零元素：∃0∈V，使得
的尺寸为r×n，具有和原始数据矩阵X一样的几何结构：
cos(θ ( xi , x j ) ) = cos(θ ( z i , z j ) )
d ( xi , x j ) = d ( zi , z j )
应用矩阵来表示和求解问题的例子还有很多很多
物理、通信、电子、系统、模式 识别、土木、建筑、航空航天、 LLLL
σ i ≥ 0 称为矩阵X的奇异值，大于零的奇异值是矩阵XTX
σ 1 ≥ σ 2 ≥ Lσ r > σ r +1 = σ r + 2 = Lσ n = 0
则：
S r = diag(σ 1 , σ 2 ,L, σ r )
X = U r S rVrT
U的前r列 数据矩阵 VT的前r行
Z r = S rVrT
X = (x1 , x2 , L, xn )
的尺寸为N×n。 任务是将数据尺寸从N×n减小至M×n ( M ≤ N )，并保 持数据的几何结构不变。这里的几何结构是指： 1. 任意两个xi , xj之间的距离
d ( xi , x j ) = xi − x j
2
2. 任意两个xi , xj之间的夹角 之间的夹角 cos θ ( xi , x j ) =
a + b := ab, ∀a, b ∈ R + k + k ⋅ a := a , ∀a ∈ R , ∀k ∈ R
矩阵分析-(1)(终)
《矩阵分析》 · 徐赐文
《矩阵分析》
1.教材：
《矩阵分析》史荣昌编，北京理工大学出版社
2.参考书：
《矩阵分析学习指导》魏丰，史荣昌等编， 北京理工大学出版社
2014-3-16
第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
难点: 求线性映射的值域、核的基与维数
2014-3-16
第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
首先, 我们回忆一下《线性代数》中的向量.
向量的运算及性质
负向量： 向量 ( a1 , a2 ,, an ) 称为向量 的负向量
2014-3-16
第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
向量的差： ( )
2014-3-16
第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
2014-3-16
第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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第一章 线性空间和线性映射
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第一章 线性空间和线性映射
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第一章 线性空间和线性映射
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第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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第一章 线性空间和线性映射
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第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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第一章 线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
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电机的矩阵分析1
电机理论的发展
电机的发展 －直流机、两相交流机、三相交流机 －电机种类繁多，原理各不相同 克朗电机统一理论 －寻找电机的共性 －提出原型电机 －利用矩阵变换
电机统一理论的特点和要求
核心－线性变换 适用于具有常系数微分方程或经过变换后具有常 系数微分方程的装置 电机的假定条件 －交流电机的定转子至少一方是隐极，且该隐极 方的绕组对称 －忽略空间谐波 －忽略磁路饱和 －角速度为常数
一、矩阵代数和常用矩阵类型
矩阵代数特点： －矩阵形式简明，同类变量和参数能用一 个简单的符号表示 －能提供求解的常规方法 －通过线性变换和矩阵分块能使求解问题 得到简化
1－1 矩阵的运算
1矩阵的加法和减法 －只能在阶数相同的情况下进行，即矩阵列数 和行数均相同
M aa M ba M ab N aa ± N M bb ba N ab M aa ± N aa = M ± N N bb ba ba M ab ± N ab M bb ± N bb
1－1 矩阵的运算
3矩阵的微分和积分
dM aa dM dt = dt dM ba dt dM ab dt dM bb dt
pM aa pM ba
pM ab = pM bb
M aa p M ba
M ab M bb
1－1 矩阵的运算
2－2 基本旋转电机的矩阵方程
异步电机的矩阵方程
u = Zi = Ri + pΨ = Ri + p(Li )
矩阵的转置 矩阵的共轭 矩阵的求逆
1－2 联立方程组的矩阵求解
1联立方程组的矩阵表示
y1 = a11 x1 + a12 x2 y2 = a21 x1 + a22 x2
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t11 t11 t12
2 2 2
2
2
2
t1n ,
2
2
t12 t22 t22 t23 t1n t2 n
2 2
t2 n ,
2
2
tnn tnn
2
解之得 tij 0 (i j ) ，即 T 是对角矩阵，故 A 酉相似于对角矩阵. 定理 3 正规矩阵的不同特征值所对应的特征向量必正交. 证明留作习题. 例 3 设有两个 Hermite 矩阵 A 和 B ，证明： AB BA 成立的充分必要条件 是存在一个酉矩阵 U ，使 U 1 AU , U 1BU 都为对角矩阵. 【证明 】充分性 若存在酉矩阵 U ，使
T
( , ) y Ax ，
其中 A 是某基的度量矩阵， x 和 y 是
其中 A 是某基的度量矩阵， x 和 y 是
, 在该基下的坐标
, 在该基下的坐标
B P T AP
A, B 分别是两个基的度量矩阵， P 是
B P AP P H AP
A, B 分别是两个基的度量矩阵， P 是
酉空间与 Householder 变换
1.1 酉空间 1.1.1 酉空间的定义 定义 1 设 V 是复数域
上线性空间，在 V 上定义了一个二元函数，称为
内积，记作 ( , ) ，它具有以下性质： 1． ( , ) ( , ) ，这里 ( , ) 是复数 ( , ) 的共轭复数； 2． (k , ) k ( , ) ； 3． ( , ) ( , ) ( , ) ； 4． ( , ) 0 ，且 ( , ) 0 当且仅当 0 . 这里 , , 是 V 中任意的向量, k 为任意复数，这样的线性空间称为酉空间 . 例 1 设 (a1 , a2 ,
为基 1 , 2 ,
, n 的度量矩阵或 Gram 矩阵 .
(1 , n ) ( 2 , n ) ( 2 , n )
（7）设 V ，如果对于任意 W1 ，恒有 ( , ) =0，则称 与子空间 W1 正交，记为 W1 . 如果对于任意 W1 和任意 W2 ，恒有 ( , ) =0，则称子空间 W1 与子 空间 W2 正交，记为 W1 W2 . 如果 W1 W2 ，且 W1 +W2 =V ，则称 W2 是 W1 的正交补，记作 W1 .显然，
( , )
2
由于是复数，不易定义夹角
2ห้องสมุดไป่ตู้
正交矩阵 AT A AAT E 正交变换 ( , ) ( , ) 实对称矩阵 AT A 对称变换 ( , ) ( , )
( , ) x T Ay y T Ax ，
酉矩阵 AH A AAH E 酉变换 ( , ) ( , ) Hermite 矩阵 AH A Hermite 变换 ( , ) ( , )
1 En1 U AU1 U AU1
H 1 1 1
阵 U1 ，使 其中 1 , 2 ,
r Enr
（1）
, r 互异，且 n1 n2
nr n .由 AB BA ，得
(U1H AU1 )(U1H BU1 ) (U1H BU1 )(U1H AU1 ) .
其中 B 是 n -1 阶复矩阵，由归纳假设知，存在 n -1 阶酉矩阵 Q ，使得
2 Q BQ Q BQ
1 H
n
1 0T 令 U U1 ，则 U 是 n 阶酉矩阵，且 0 Q
1 0T H 1 0T U AU U AU U AU1 H 1 0 Q 0 Q
( x, y) ( x, y) .
称线性变换 为线性变换 的伴随，记为 H . 若线性变换 在某组基下的矩阵是 A，则线性变换 在该组基下的矩阵是 AH. （10）设 A
nn
是 Hermite 矩阵 ，
n
,称 x H Ax 为 Hermite 二次型 .
1.1.3 欧氏空间与酉空间的比较 欧氏空间与酉空间相比，基础数域由实数域变成了复数域，内积的对称性变 成了共轭对称性.因此，欧氏空间的结构与酉空间的结构是不相同的.但酉空间的 内积近似于欧氏空间的内积.这样，酉空间有与欧氏空间平行的一套理论.学习过
U 1 AU U H AU T .
【证明 】对 n 作数学归纳法，当 n =1 时，命题显然成立. 现假设命题对 n -1 阶复矩阵成立， 下证对 n 阶复矩阵也成立.设 x 为 A 属于特征值
1 的特征向量，将其单位化 e1
e1 , e2 , , en ，令 U1 (e1 , e2 ,
A 满足 AH A AAH （满足该式的矩阵 A 称为正规矩阵）.
【证明 】 必要性 设矩阵 A 酉相似于对角矩阵， 即存在酉矩阵 U ，使
U 1 AU U H AU diag (1 , 2 , , n ) Λ
则 A UΛU H ，且 ΛH Λ ΛΛH ，于是
AH A (UΛU H )H (UΛU H ) (UΛHU H )(UΛU H ) UΛHU HUΛU H UΛH ΛU H UΛΛHU H (UΛU H )(UΛHU H ) (UΛU H )(UΛU H )H AAH
（2）
由式（1）和式（2）可得
B1 U BU1 U BU1
H 1 1 1
. Br
由于 B H B ，所以 BiH Bi (i 1, 2, 即存在酉矩阵 Qi ，使 Qi1BiQi Di (i 1, 2,
.r ) ，从而 B1 , B2 ,
T
这两个基的过渡矩阵 两个标准正交基的过渡矩阵是正交矩 阵 正交变换在标准正交基下的矩阵为正 交矩阵 对称变换在标准正交基下的矩阵为对 称矩阵
这两个基的过渡矩阵 两个标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵 酉变换在标准正交基下的矩阵为酉矩 阵 Hermite 变换在标准正交基下的矩阵为 Hermite 矩阵
对实对称矩阵 A ，存在正交矩阵 Q ， 使得 Q 1 AQ Q T AQ = 实对角阵. 对实二次型 f x T Ax 存在
U 1 AU diag(1 , 2 , , n ), U 1BU diag(1 , 2 , , n ) ，
则有 故 必要性
U 1 ABU diag(11 , 2 2 ,
, n n ) U 1 ABU ，
. A B B A 因为 AH A ，所以 AH A AAH ，即 A 是正规矩阵，从而存在酉矩
V W1 W1 .
（8）如果对任意 , V 都有 ( , ) ( , ) ，则称线性变换 为 V 的酉 变换 . 如果对任意 , V 都有 ( , ) ( , ) ，则称线性变换 为 V 的 Hermite 变换 . （9）设 是酉空间 V 的任一线性变换，则 V 上的存在惟一的线性变换 ， 使
, Br 都是正规矩阵，
, r ) ，其中 Di 为对角矩阵.令
Q1 U2
D1 ，Λ Qr
， Dr
则 U 2 是 n 阶酉矩阵， Λ 为 n 阶对角矩阵，且
B1 1 U2 Q1T U 2 Br Q1T B1Q1 B1 T Qr Q1 Br Qr Λ Dr
1
为将向量 单位化 .
2
（3） ( , ) =0 时，称向量 与向量 正交 . （4）如果 n 维酉空间 V 的一个基中的向量两两正交，则称该基为 V 的一个 正交基 ；由单位向量组成的正交基称为标准正交基. （5）设 A
nn
， AH 表示矩阵 A 的共轭转置矩阵， 即 A AH .
, an )T , (b1 , b2 , , bn )T 是
n
中的任意向量， 定义内积为
( , ) a1 b1 a2 b2
则
n
an bn H .
是一个酉空间，其中 H 表示向量 的共轭转置向量. 设 f ( x), g ( x) 是 [ x]n 中的任意两个多项式，定义内积为
充分性 若 A 满足 AH A AAH ，由 Schur 定理知，存在酉矩阵 U ，使得
UAUH T ，其中 T 是上三角矩阵，于是
T HT (UAU H )H (UAU H ) UAH AU H UAAHU H (UAU H )(UAHU H ) TT H
设 T (tij )n (tij 0, i j ) 代入上式，并比较两边矩阵的对角线元素，得
1 x ，并将 e1 扩充成 x2
n
的一组标准正交基
, en ) ，则 U1 是 n 阶酉矩阵，且
U1H AU1 U1H A(e1 , e2 ,
e1H H e , en ) 2 ( Ae1 , Ae2 , eH 3
1 0 , Aen ) B 0
1 H
1 1 0T 0 1 0T H B 0 Q 0 Q 0
1 1 2 0 T . Q H BQ n 0 定理 2 设 A 是 n 阶复矩阵，证明： A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件是
f 1 y1 y1 2 y2 y 2
这里 1 , 2 ,
n yn y n
这里 1 , 2 ,
, n 为 A 的特征值
, n 为 A 的特征值
定理 1 (Schur 定理 )设 A 是 n 阶复矩阵，则 A 可酉相似于上三角矩阵 T ， 即存在 n 阶酉矩阵 U ，使得