高等数学电子教案

第四章不定积分

教学目的：

1、理解原函数概念、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）

与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

教学重点：

1、不定积分的概念；

2、不定积分的性质及基本公式；

3、换元积分法与分部积分法。

教学难点：

1、换元积分法；

2、分部积分法；

3、三角函数有理式的积分。

§4 1 不定积分的概念与性质

一、教学目的与要求：

1．理解原函数与不定积分的概念及性质。

2．掌握不定积分的基本公式。

二、重点、难点：原函数与不定积分的概念

三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ，

Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms.

四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）

五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版

一、原函数与不定积分的概念

定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有

F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx ,

那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.

例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.

又如当x ∈(1, +∞)时,

因为x x 21)(=', 所以x 是x

21的原函数. 提问:

cos x 和x

21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有

F '(x )=f (x ).

简单地说就是: 连续函数一定有原函数.

两点说明:

第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数.

第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数).

定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作

⎰dx x f )(.

其中记号⎰称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量.

根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即

⎰+=C x F dx x f )()(.

因而不定积分dx x f )(⎰可以表示f (x )的任意一个原函数.

例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以

C x xdx +=⎰sin cos .

因为x 是x

21的原函数, 所以

C x dx x

+=⎰21.

例2. 求函数x

x f 1)(=的不定积分. 解：当x >0时, (ln x )'x

1=, C x dx x

+=⎰ln 1(x >0); 当x <0时, [ln(-x )]'x

x 1)1(1=-⋅-=, C x dx x

+-=⎰)ln( 1(x <0). 合并上面两式, 得到

C x dx x

+=⎰||ln 1(x ≠0). 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.

解 设所求的曲线方程为y =f (x ), 按题设, 曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,

,

即f (x )是2x 的一个原函数.

因为 ⎰+=C x xdx 22,

故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C , 即曲线方程为y =x 2+C .

因所求曲线通过点(1, 2), 故

2=1+C , C =1.

于是所求曲线方程为y =x 2+1.

积分曲线: 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线.

从不定积分的定义, 即可知下述关系: ⎰

=)(])([x f dx x f dx d , 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([;

又由于F (x )是F '(x )的原函数, 所以

⎰+='C x F dx x F )()(,

或记作 ⎰+=C x F x dF )()(.

由此可见, 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.

二、基本积分表

(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数), (2)C x dx x ++=+⎰11

1μμμ, (3)C x dx x

+=⎰||ln 1, (4)C e dx e x x +=⎰, (5)C a

a dx a x x +=⎰ln , (6)C x xdx +=⎰sin cos ,

(7)C x xdx +-=⎰cos sin , (8)C x xdx dx x +==⎰⎰

tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x

+-==⎰⎰cot csc sin 122, (10)C x dx x

+=+⎰arctan 11

2, (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112

, (12)C x xdx x +=⎰sec tan sec ,

(13)C x dx x +-=⎰csc cot csc ,

(14)C x dx x +=⎰ch sh ,

(15)C x dx x +=⎰sh ch .

例4 ⎰⎰-=dx

x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131. 例5 ⎰⎰=dx

x dx x x 252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372. 例6 ⎰⎰-=dx x x x dx 343C x ++-=+-134134C x +-=-313C x +-=33. 三、不定积分的性质

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即