动能定理和能量守恒

一、动能定理的应用技巧

1.一个物体的动能变化ΔE k与合外力对物体所做的总功具有等量代换关系.若ΔE k＞0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功；若ΔE k＜0，表示物体的动能减少，其减少量等于合外力对物体所做的负功的绝对值；若ΔE k=0，表示合外力对物体所做的功为0,反之亦然.这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法.

2.动能定理中涉及的物理量有F、s、m、v、W、E k等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理.由于只需从力在整个位移内的功和这段位移始、末两状态的动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于动能和功都是标量，无方向性，无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别方便.

3.动能定理解题的基本思路

(1)选择研究对象，明确它的运动过程.

(2)分析研究的受力情况和各个力的做功情况，然后求出合外力的总功.

(3)选择初、末状态及参照系.

(4)求出初、末状态的动能E k1、E k2.

(5)由动能定理列方程及其它必要的方程，进行求解.

【例1】如图1所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止.求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功.

图1

练习：电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体.绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g取10 m/s2）

二、多物体多过程动能定理的应用技巧

如果一个系统有两个或两个以上的物体,我们称为多物体系统.一个物体同时参与两个或两个以上的运动过程,我们称为多过程问题.对于多物体多过程问题,我们可以有动能定理解决.解题时要注意:多过程能整体考虑最好对全过程列动能定理方程,不能整体考虑,则要分开对每个过程列方程.多个物体能看作一个整体最好对整体列动能定理方程,不能看作整体,则要分开对每个物体列动能定理方程.

【例2】总质量为M的列车，沿平直轨道匀速前进.末节车厢质量为m，在行驶中途脱钩，司机发现后关闭发动机时，机车已经驶了L，设运动阻力与质量成正比，机车发动机关闭前牵引力是恒定的，则两部分停止运动时，它们之间的距离是多少?

练习1：.物体由高出地面H高处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面进入沙坑h停止(如图5-3-4所示).求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍？

图2

图4

练习2：.如图5-3-5所示，物体沿一曲面从A 点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B 时，下滑高度为5m ，若物体的质量为lkg ，到B 点时的速度为6m/s ，则在下滑过程中，物体克服阻力所做的功为多少?(g 取10m/s 2)

练习3：如图4所示，质量为m 的物体静放在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光

滑的定滑轮由地面以速度v 0向右匀速走动的人拉着，设人从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此 过程中人所做的功 为( D )

A ．mv 02／2

B ．mv 02

C ．2mv 02／3

D ．3mv 02／8

练习4：如图5所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的滑块，距挡板P 为S 0，以初速度v 0沿斜面上滑，

滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？

三、机械能守恒定律的条件和机械能守恒定律的常用数学表达式

1. 守恒条件：只有重力或弹力做功，只发生动能和势能的转化.分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能，如果只是动能和势能的转化，而没有其它形式的能发生转化，则机械能守恒，如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不会发生变化.

2.常用数学表达式:

第一种：E k1+E P1=E K2+E P2从守恒的角度表明物体运动过程中，初状态和末状态机械能相等 第二种：△E k =-△E P 从转化的角度表明动能的增加量等于势能减小量

第三种：△E 1=-△E 2 从转移的角度表明物体1的机械能增加量等于物体2的机械能的减少量

【例3】如图6所示，一轻质弹簧固定于O 点，另一端系一重物，将重物从与悬挂点等高的地方无初速度释放，让其自由摆下，不及空气阻力，重物在摆向最低点的位置的过程中（ ） A ．重物重力势能减小 B ．重物重力势能与动能之和增大 C ．重物的机械能不变 D. 重物的机械能减少 四、应用机械能守恒定律解题的基本步骤

1.根据题意，选取研究对象（物体或相互作用的物体系）

.

图3

P 图5

图6

2.分析研究对象在运动过程中所受各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件．

3.若符合定律成立的条件，先要选取合适的零势能的参考平面，确定研究对象在运动过程的初、末状态的机械能值．

4.根据机械能守恒定律列方程，并代人数值求解． 【例4】如图7使一小球沿半径为R 的圆形轨道从最低点B 上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点A ？

五、应用机械能守恒定律解题

可以只考虑物体运动的初状态和末状态，不必考虑运动过程.

1应用机械能守恒定律解题的思路与方法

(1)选择研究对象——物体或物体系

(2)对研究对象所经历的过程，进行受力分析，做功情况分析，判断机械能是否守恒 (3)选择初、末状态及参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能 (4)根据机械能守恒定律列方程或方程组 (5)求解、检查、作答

2.机械能守恒定律与动能定理的比较

机械能守恒定律和动能定理是本章的两个重点内容，也是力学中的两个基本规律，在物理学中占有重要的地位，两者既有区别也有相同之处.

(1)相同点：都是从功和能量的角度来研究物体动力学问题. (2)不同点：

①解题范围不同，动能定理的范围相对来说要大些.

②研究对象及角度不同，动能定理一般来说是研究单个物体在研究过程中合外力做功与动能的变化，而机械能守恒定律只要满足其成立条件，则只需找出系统初、末状态的机械能即可.

3.几种常见的功和能量转化的关系

(1)合外力对物体所做的功等于物体动能的变化：W 合=E K2-E K1 此即动能定理. (2)只有重力（或弹力）做功时，物体的机械能守恒:E 1=E 2

(3)重力做功（或弹力做功）与重力势能的变化（或弹性势能的变化）的关系: W G =-△E P =E P1-E P2

(4)重力和弹簧弹力之外的其它外力对物体所做的功W F ，等于物体机械能的变化，即 W F =△E =E 2-E 1

W F >0,机械能增加. W F <0,机械能减少.

六、机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用

对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决．而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦，反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍。故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中.

【例5】如图8所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有

光滑的固定转动轴.AO 、BO 的长分别为2L 和

L .开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方.

让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A 到达最低点时，

图7 图8