第一型线面积分

,
计算：
设光滑曲面的方程为z z( x, y), 在 xy 面上的投影区 域 为Dxy , z( x, y)在Dxy上 有一 阶 连 续偏 导 数, f ( x, y)在上 连 续, 则
f ( x, y, z)dA

f ( x, y, z( x, y))
1

z
2 x

z
2 y
y
15
o
x
2( ) (( ))2d

x x(t),
(5)
L
:

y

y(t ),
t
z z(t),
f ( x, y, z)ds
L


f ( x(t), y(t), z(t))
( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2dt.

注 : 第一型曲线积分无方向性,化成定积分时积分 限应上限大于下限。
L
a
(3) L : x x( y), c y d
f (x, y)ds
d
f ( x( y), y)
1 ( x( y))2dy
L
c
(4) L : ( ),
f ( x, y)ds
L


f (( )cos , ( )sin )
dxdy
.

Dxy
z z( x, y)时，dA
1

z
2 x

z
2 y
dxdy
若方程为 x x( y, z), Dyz : 在yz 平面上的投影,则
f ( x, y, z)dA f ( x( y, z), y, z)
1

x
2 y

xz2 dydz.

D yz
若的方程为 y y( x, z), Dxz : 在xz 平面上的投影,则
f (x, y, z)dA f (x, y(x, z), z)
1
y
2 x

yz2 dxdz.

Dxz
曲面的面积A 1dA
1
z
2 x

z
2 y
dxdy

Dxy

1
x
2 y

x
2 z
dydz
D yz

1
y
2 x

yz2 dxdz
Dxz
例6 求旋转抛物面z x2 y2上在平面z 1 下面的一部分曲面的面积。
(1)
L:
x

y

x(t ), y(t ),
t
f (x, y)ds

f ( x(t), y(t))
( x(t))2 ( y(t))2dt.

L
(2) L : y y( x), a x b
f (x, y)ds
b
f ( x, y( x))
Байду номын сангаас
1 ( y( x))2dx
例9 设曲面是球面x2 y2 z2 a2被平面z h(0 h a)
所
截
的
顶
部
，
求
1 z
dA
2a ln a
h
例10
计算 ( xy yz zx)dS，其中是由锥面z x2 y2
被柱面x2 y2 2ax所截得的有限部分。 z
64 2 a4
第一型曲线积分
概念：
n
L
f ( x, y)ds

lim
d 0 i1
f (i ,i )si
n
L
f ( x, y, z)ds
lim
d 0 i1
f (i ,i , i )si
计算
L是平面xOy内的分段光滑曲线, 函数f在L上连续，
弧微分公式: ds (dx)2 (dy)2
例1
计算 e x2 y2 ds, L是由圆周x2 y2 a2(a 0),直线 L
y x及x轴在第一象限中所围成图形的边界曲线。
2（ea 1) a ea
4
例2
计算 | y | ds, L是双纽线( x2 y2 )2 a2( x2 y2 ). L
2a2(2 2 )
例3 计算 ( x y z2 )ds, L为球面x2 y2 z2 a2与 L 平面x y z 0的交线。
2 a3
3
例4 计算
（( x
L

y)2

z2 )ds,
其
中L
:

x
2

y2 x
z2 z1
9 2.
18
例5 求圆柱面x2 y2 1位于平面z 0上方与z y
(5 5 1)
6
z
z 1
z x2 y2
o
x1
1y
例7
计算

x2

dA y2

z
2
,其
中
为
球
面
x2 y2 z2 4在第一卦限中的部分。

2
例8
计算(z 2x
4 y)dA,其中为平面 3
x y z 1在第一卦限中的部分。 2 34
4 61
下 方 那 部 分 的 侧 面 积A.
2
当f ( x, y) 0 时, L f ( x, y) ds 表示以 L 为准线,
母线平行于z轴,高为z f ( x, y)的柱面面积。
第一型曲面积分
概念：
n

f
( x,
y, z)dA

lim
d 0 k 1
f
(ξk ,ηk ,
k
)Ak