七年级新思维26-图形面积的计算

26.图形面积的计算

问题解决 例1 （“五羊杯”邀请赛试题）如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为225cm 和235cm ，那么梯形的面积是_______cm 2．

【答案】144 AOD S =△235(cm )BOC S =，△ AOD DOC

ABO BOC

S S DO S BO S ==，△△△△得249(cm )DOC S =△． 例2 （江苏省竞赛题）如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m n 、，那么△AEG 的面积的值（ ）． A ．只与m 的大小有关 B ．只与n 的大小有关 C ．与m n 、的大小都有关 D ．与m n 、的大小都无关

【答案】B 连AC AC ，∥GE ，21

2

AGE GCE S S n ==△△．

例 3 如图，三角形ABC 内的线段BD CE 、相交于点O ，已知2OB OD OC OE ==，．设三角形BOE 、三角形BOC 、三角形

COD 和四边形AEOD 的面积分别为1234S S S S 、、、．

（1）求1S ∶3S 的值； （2）如果22S =，求4S 的值．

【答案】（1）23212S S S S ==，，得1S ∶31S =∶2．

（2）由22S =,得1312S S ==，，连接OA ，设AOE S x =，△则1AOD AOB S S x ==+，△△ 因2AOC AOE S S =△△．故122x x ++=，解得314x x =+=，，所以4347S =+=．

例4 如图，△ABC 的面积为1，D E 、为AC 的三等分点，F G 、为BC 的三等分点． 求：（1）四边形PECF 的面积； （2）四边形PFCN 的面积．

【答案】（1）133

133x y x y ⎧

+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩

①②

①+②，得16x y +=，

即1

6

PECF S =四形边．

A

O

B

D

C

A

B C

D E

F G

A

B

C

D E

O

N M Q G

F

E D C

B

A P

（2）连NC ND ，，设NGB NCE S a S b ==，，△△则22NCG NEA

S a S b ==，，△△则133

2233a b a b ⎧

+=⎪⎪⎨

⎪+=

⎪⎩

解得121421

a b ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1115321642BEC BNG PFGN PECF S S S S =--=--=四形四形△△边边．

例5 （武汉市竞赛题）如图①，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点．求图中阴影部分的面积．

解法1 如图①，1

4

AMD AMC AMG S S S ==，△△△为公共部分，所以AGD MCG S S =，△△

因为AMG AMD 与△△的高相等（以A 为顶点作高），MCG MCD 与△△的高相等（以C 为顶点作高），

所以

AMG MCG

AMD MCD

S S MG S S MD

=

=，△△△△即1

41142

MCH

MCG S S -=，△△

解得111

2663

MCG S S ==⨯=影，△阴．

M C

M C

B

图①

图②

图③

解法2 如图②，连接GB ，由正方形的对称性得ABG AGD S S =△△，

又11

22AMG ABG AGD S S S ==，△△△

所以2211

22212343

AGD AMD S S S ==⨯

=⨯⨯=+影△△阴． 解法3 如图③，连接BD BG 、，设BD AC 、交于点O ，AMG S x =△，

因为1

4

AMD AOD ABCD S S S ==，△△

所以GOD AOD AGD AMD AGD AMG S S S S S S x =-=-==△△△△△△． 又BOG GOD BMG AMG S S x S S x ====，，△△△△ 因为AOB AGM GOB BMG S S S S =++△△△△，

即

14x x x =++，所以112

x =． 所以12().3

AGD MCG AMD AMG S S S S S =+=-=影△△△△阴

皮克公式

例6 （江苏省常州市中考题）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x ．

（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出

与x 之间的关系式．答：_______．

（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个格点．此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S =_______．

（3

）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？ 【答案】（1）111

;(2)1;(3)1222

S x S x S x n =

=+=+-． 数学冲浪

知识技能广场

1．（江苏省竞赛题）如图，一个大正方形被2条线段分割成2个小正方形和2个长方形，如果175S =cm 2，2215cm S =，那么大正方形的面积S =_______cm 2．

【答案】108 2．（《时代学习报》数学文化节试题）图中最大正方形的边长是10cm ，阴影部分的总面积是_______cm 2 【答案】25

（第1题）

A

B

C

D

E

F

G （第3题）

（第2题）

S 4S 3S 2

S 1

3．（2012年“希望杯”邀请赛试题）如图，边长为4cm 的等边△ABC 沿边BC 向右平移2cm 得△DEF ，DE 与AC 交于点G ，则ABC ABFD S S =四形△边∶_______．