(精典整理)平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结

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平行四边形、矩形、菱形、正方形知识方法总结

一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：

平行四边形

矩形

菱形

正方形

图形

一般 性质

1．边：

且 ； 2．角： ；

； 3．对角线 ；

1．边：

且 ； 2．角： ；

； 3．对角线 ；

1．边：

且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ；

1．边：

且 ； 2．角： ；

； 3．对角线 ；

面积

二. 判断（识别）方法小结：

(1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3方面）

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(2) 识别矩形的方法：（从定义、特殊元素（角、对角线）3方面） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ t R ⊕∠Y 一个 ） ②对角线相等的平行四边形是矩形； （ ⊕Y 对角线 =） ③有三个角是直角的四边形是矩形； （3t R ∠个 ）

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（ ⊕对角线互相平分对角线 =）

(3) 识别菱形的方法：（从定义、特殊元素（边、对角线）3方面） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （ =⊕Y 一组邻边 ） ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （ ⊕⊥Y 对角线 ） ③四边都相等的四边形是菱形； （4= 边）

④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（ ⊕⊥对角线互相平分对角线 ） (4) 识别正方形的方法：（从边、角、对角线3方面） 抓本质：矩形+菱形

①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（ = Rt ∠⊕⊕Y 一组邻边一个 ） ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （ ⊕⊕⊥=Y 对角线 对角线） ③有一组邻边相等的矩形是正方形； （ =⊕ 矩形一组邻边 ） ④对角线互相垂直的矩形是正方形； （ ⊕⊥矩形对角线 ） ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； （ Rt ∠⊕菱形一个 ） ⑥对角线相等的菱形是正方形； （⊕=菱形 对角线）

⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （ ⊕⊕⊥=对角线互相平分对角线 对角线） 小结：把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别方法的编号为 (1) ①，其他方法类似）

三、其他性质：

1、平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）：都具有的

（1）与面积有关的：任意一条对角线分得的两部分面积___________；两条对角线分得的四部分面积________。

⇒推广：若一条直线过平行四边形（系列图形）对角线的交点，则直线被一组对边截下的

线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形（系列图形）的面积。

（2）与对称性有关的：平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）都是____________________图形；但只有：矩形、菱形、正方形为_________________图形；平行四边形______________图形。

即：矩形、菱形、正方形既是_________________图形，又是____________图形；平行四边形只是______________图形。

○1 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。

○2 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。

○

3 正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 2、矩形具有平行四边形的一切性质 菱形具有平行四边形的一切性质

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 3、拓展知识：

（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

推广（灵活应用）：

（结合：三角形的中位线；三角形中位线定理；三角形相似）

以右图△ABC 为例，在 ○

1 D 为AB 中点 ○

2 E 为AC 中点 ○

3 DE BC ∥ ○

4 1

=2

DE BC 中知道任意两个必能够推得另外两个。 （3）菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。 （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

四、梯形：

1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。

3、直角梯形：有一个角是直角的梯形是直角梯形

4、等腰梯形的性质：

○1对称性：等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线所在的直线是对称轴，

○2角：等腰梯形同一底边上的两个角相等；同腰上的两个角互补。

○3对角线：等腰梯形的两条对角线相等。

○4边：两腰相等；上下底不等。

5、等腰梯形的判定定理

同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

6、等腰梯形的判定方法：

○1先判定它是梯形，○2再用两腰相等或同一底上的两个角相等来判定它是等腰梯形。

7、梯形常见的辅助线（解决梯形问题常用的方法：）

解梯形问题常用的辅助线：如图

1.延长两腰交于一点

作用：使梯形问题转化为三角形问题。

若是等腰梯形则得到等腰三角形。

2.平移一腰

作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。

3.作高

作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。

4.平移一条对角线

作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，

BE等于上、下底的和

（2）S梯形ABCD=S△DBE